（运筹学与控制论专业论文）一类不存在本质连通区的问题的研究.pdf

摘要 本文从近似解的角度，运用集值映射这一工具对一类不存在本质解和本质连 通区的问题进行了系统的研究 全文共分三章： 第一章，预备知识其中，空间理论及凸集的基本知识介绍了h a u s d o r f f 空 间、集合间的h a u s d o r f f 距离、集合的b a i r e 分类、以及凸集等四个方面：集值 分析部分主要介绍单值映射的半连续性以及集值映射的半连续性、闭性和紧性： 本质点、本质集和本质连通区部分主要介绍了本质点、本质集和本质连通区等有 关概念和性质。 第二章，研究定义在紧距离空间上的连续函数的最优化问题近似解的稳定性， 得到紧距离空间上在b a i r e 分类下大多数最优化问题的近似解都是稳定的，特别 地精确解是近似解集的本质点这扩充了罗群博士论文 3 4 】的结果。 第三章，研究定义在线性赋范空间上的非线性方程问题近似解及其解集的稳定 性，得到线性赋范空间上在b a i r e 分类下大多数非线性方程问题的近似解都是稳 定的；精确解是近似解集的本质解；包含精确解的近似解集的连通区是本质连通区； 包含精确解的近似解集的连通区为有限个 关键词：h a u s d o r f f 距离，本质点，本质连通区，近似解，精确解 a b s i r a c i t h ea i mo ft h i sp a p e ri st os t u d yp r o b l e m sw h i c hh a v en o te s s e n t i a lp o i n t sa n d e s s e n t i a lc o m p o n e n t sb ys e t - v a l u e dm a p p i n g i tc o n s i s t so f t h r e ec h a p t e r s ， c h a p t e r1 i st h ep r e l i m i n a r i e s f i r s t l y , w er e c a l ls o m en o t i o n sa n dr e s u l t sa b o u t s p a c et h e o r y , i n c l u d i n gh a n s d o r f fs p a c e ，h a u s d o r f fd i s t a n c eb e t w e e ns e t s ，b a l r e s c a t e g o r y a b o u ts e t sa n dc o n v e xs e t s e c o n d l y , t h e s e m i - c o n t i n u i t y , c l o s u r e ， c o m p a c t n e s so fs e t - v a l u e dm a p sa r ei n t r o d u c e di ns e t - v a l u e da n a l y s i s f i n a l l y , e s s e n t i a lp o i n t ，e s s e n t i a ls e ta n de s s e n t i a lc o m p o n e n ta r ei n t r o d u c e d c h a p t e r2 ，w es t u d yt h es t a b i l i t yo fa p p r o x i m a t es o l u t i o n so fo p t i m i z a t i o n p r o b l e m s ( t h ec o n t i n u o u sf t m c t i o ni sd e f i n e di nt h ec o m p a c td i s t a n c es p a c e ) ，w ep r o v e t h a tm o s to fa p p r o x i m a t es o l u t i o n so f o p t i m i z a f i o np r o b l e m s ( u n d e rb a i r e sc a t e g o r y ) a r es t a b l e ，e s p e c i a l l ya l la c c u r a t es o l u t i o n sa r et h ee s s e n t i a lp o i n t so ft h es e to f a p p r o x i m a t es o l u t i o n t h i sc h a p t e ri st h ep r o m o t i o no f t h er e s u i to f l u o 3 4 c h a p t e r3 ，w es t u d yt h es t a b i l i t yo fa p p r o x i m a t es o l u t i o n so fn o n l i n e a re q u a t i o n p r o b l e m s ( t h ec o n t i n u o u sf u n c t i o ni sd e f i n e di nt h el i n e a rn o r m e ds p a c e ) w ep r o v et h a t m o s to fa p p r o x i m a t es o l u t i o n so fn o n l m e a re q u a t i o np r o b l e m s ( u n d e rb a i r e sc a t e g o r y ) a r es t a b l e ；a l la c c u r a t es o l u t i o n sa r et h ee s s e n t i a lp o i n t so ft h es e to fa p p r o x i m a t e s o l u t i o n ；t h ec o n n e c t e dc o m p o n e n tw h i c hc o n t a i n st h ea c c u r a t es o l u t i o ni st h e e s s e n t i a lc o m p o n e n to ft h es e to fa p p r o x i m a t es o l u t i o n ；e s p e c i a l l yt h en u m b e ro f e s s e n t i a lc o m p o n e n t si sf i n i t e k e y w o r d s ：h a u s d o r f fd i s t a n c e ，e s s e n t i a lp o i n t ，e s s e n t i a lc o m p o n e n t ，a p p r o x i m a t e s o l u t i o n ，a c c u r a t es o l u t i o n 前言 一般认为本质解概念起源于f o r t 2 1 为研究不动点的连续性而引入的本质不 动点因为，并非每个连续映射都至少有一个本质不动点，k i o n s h i t a 2 8 弓i , k t 连续 的映射不动点集本质连通区的概念吴文俊和江嘉禾【3 5 】引入了有限n 人非合作 对策本质n a s h 平衡点的概念，江嘉禾【2 8 】进而引入了有限n 非合作对策n a s h 平衡 点集本质连通区的概念，并证明了每个对策的n a s h 平衡点集中至少存在一个本质 连通区1 9 8 6 年，k o l h b e r g 和m e r t e n s 3 1 用代数几何的方法证明了每个有限对策的 n a s h 平衡点集由有限个连通区组成，而其中至少有一个是本质的 近年来，有关本质解和本质连通区的结果层出不穷，如，本质解：集值映射的 n a s h 平衡点集的通有稳定性；广义向量似变分不等式解集的通有稳定性；有界线 性算子的谱的通有稳定性；向量平衡问题解集的通有稳定性；惯性最优控制问题的 通有稳定性等等本质连通区：非线性问题的本质连通区；广义向量似变分不等式 解集本质连通区；k yf a n 点集的本质连通区：集值映射的平衡点集的本质连通区； 动态经济学平衡点的本质连通点；不动点集的本质连通区；似变分不等式的解集 的本质连通区：1 9 9 9 年，y u 和x i a n g 【3 8 】证明了一般1 2 人非合作对策n a s h 平衡 点集的本质连通区的存在性等等而y u 8 进一步给出了一个统一的本质连通区 的存在性概念和一个统一的本质连通区的稳定性的概念但是在我们收获这些成 果的喜悦时，我们就会问：不存在本质解和本质连通区的问题是否存在? 答案是肯 定的l u o 3 4 给出了：若最优化问题的最优解集至少包含两个以上的解，则该解集 中没有本质最优解；若最优化问题的最优解集能分成两个以上的互异的连通区，则 该解集没有本质连通区曹素元和王湘美 1 3 1 也证明了某些非线性方程组没有本 质解而最优化问题和非线性方程组问题是我们日常最常见的问题，这两篇文章的 结论不得不引起我们的进一步的思考：我们应怎样研究这一类问题? 尤其是站在 计算机的角度上，如何为用计算机算出来的解提供理论的保证? 我们知道随着计算机而迅速发展起来的计算数学，其主要内容计算方 法，已有悠久的历史了。被称为数值数学的计算方法，是研究代数，微分方程， 泛函分析，统计数学等各类问题的数值解法。而非线性方程组和最优化问题的数 值解法是其中一个经典的问题，以牛顿法为中心的算法是其中的代表。以后发展 起来的还有如同伦算法，单纯形算法等。不论哪种算法，在进行机器求解时，不 可避免会带来原方程组系数的小扰动，此时自然要考虑算法的稳定性和是否会丢 失原问题的某些解。在本文中，我们从近似解的角度，运用集值映射这一工具对这 一类不存在本质解和本质连通区的问题进行了系统的研究 2 第一章预备知识 在本章中，我们简要介绍本文将要用到的一些主要概念、性质和主要结果， 包括空间理论及凸集的一些基本知识、集值映射的连续性、本质解、本质连通区、 连通分支等相关概念和结果 1 1 空间理论及凸集的一些基本知识 1 1 1h a u s d o r f f 空间和h a u s d o r f f 距离 h a u s d o r f f 空间 定义1 1 1 设x 是一个拓扑空间，如果x 中任何两个不相同的点各自有 个开邻域，使得这两个开邻域互不相交即如果x ，y x 且x y 存在x 的一个开 邻域u 和y 的一个开邻域v 使得u n v = o 则称拓扑空间z 是h a u s d o r f f 空间 下面的引理见熊金城 1 4 ，推论7 2 3 】 引理1 1 1 紧空间中的每一个闭集都是紧集；h a u s d o r f f 空间中的每一个紧子集都 是闭集；紧h a u s d o r f f 空间中一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧子集 h a u s d o r f f 距离 设矽为度量空间，爿，b c x 是两个子集，x x ，通常地，点x 到集合4 的“距 离”和集合爿到b 的距离分别定义为 d ( x ，a ) = i n f y 。d ( x ，y ) ，d ( a ，b ) = i n f y “：。口d ( y ，z ) ， 但是这种定义并不能真正反映两个集合的“接近程度”，例如肛r ，a = ( o o ，o ) ， b = ( 0 ，+ o d ) ，d ( a ，b ) = 0 ，但这两个集合甚至没有公共点且一个集合中的点到另 个集合的距离可以无穷大，即这两个集合的“贴近程度”并不好事实上，这种定义 并不满足距离公理，也就是说这种“距离”并不是真正意义上的距离为了真正的 反映集合间的接近程度，h a u s d o r f f 引进了一种满足距离公理、并以其名字命名的 距离 定义1 1 2 设陇矽为度量空间，acx 是一个子集，x x ，定义 d ( x ，4 ) = i i l f 。a ( x ，y ) v a r + ，记旯+ a = 缸x ：d ( x ，a ) 0 ，依日的定义 ac s + b ，同时bc 占+ a 由a c 占+ b 得v x a ，x s + b ，即a ( x ，功 0 ，a c 百cs + b ，b c j c 占+ a 由h 的定义得 h ( a ，b ) 占，令s _ 0 得h ( a ，b ) = 0 ( 2 ) w ，b c z ，h ( a ，b ) = i n f 旯：a ( 2 2 五+ b 且b c 五+ a ) = i n f a ：b c 五十一上l 4 c a + b ) = 日( b ，a ) ( 3 )w ，b ，c c x 设h ( a ，b ) = d 1 日( b ，c ) = d 2v 占 0 ，我们证明 一c 4 + 如+ 占+ c 事实上由( 彳，印= 4 ，得a c d l + 昙+ 层审h ( bc ) = 以得 b c d 2 + 三+ c ，爿，3 y b ，d ( x ，y ) d l + 三对y b ，d ( y ，c ) d 2 + 三从而 a ( x ，c ) a ( x ，y ) + d ( y ，c ) d l + d 2 + 占，所以z d l + d 2 + 占+ c ，由x 的任意性得 a c d l + 破+ 占+ c ，同理可证c c d l + d 2 + s + 爿，所以h ( a ，c ) d l + d 2 + s ，令 占一o ，得日口，c ) 吐+ 幺= h ( a ，研+ h ( b , c ) 1 1 2 b a i r e 分类 定义1 1 3 设a 是拓扑空间x 中的个集合，若i n t ( a ) = m ，则称4 为x 中的 疏子集；若a 可以表示成至少多个可数个疏子集的并集，则称a 是x 中的第一个 纲集；j 的子集a 如果不是第一纲的则称为第二纲的；如果a 是z 中的第二个 纲集，则称4 包含了z 中大多数点( 在b a i r e 分类意义下) 注意到在b a i r e 分类意义上的大多数与在测度论意义上的几乎处处是两个 不同的概念，不能从其中一个成立推出另一个成立下面是俞建教授提供的例子 例1 1 6 ( 1 0 】) i 发0 a ，( 功一占，则称厂在x 下半连续； ( 3 ) 如果，在x 既上半连续又下半连续，则称，在x 连续，即v 占 o ，存在x 的 邻域( x ) ，使当v x n ( x ) 时，f ( x ) 一s 0 ，存在邻域( 功使 v x ( ，f ( x ) c u ( f ( x ) ，s ) 和f ( x ) c u ( f ( x ) s ) 同时成立，即 日( f ( x ) ，f ( x ) ) 0 ，使对任意z e x , 只要d ( x ，工) 0 ，使对任意x 五只要d ( x ，x + ) 0 使对任意x e x r p ( x 期 r 以c ，定义 以的距离为p 仉， ) 2 1 搿肌似以似i 显然( c c 的，p ) 是完备度量空间 定义两个集值映射s ：c 的一2 。和t ：c ( 的一2 。， ( 1 ) 对任意 c ( j f ) ，记： s 0 0 2 缸刎酝) 2 鼍璺( u ) ) 则s ( 7 ) 为厂的精确最优解集，v x s ( 7 ，称为厂的精确最优解； ( 2 ) 给定占。 0 ，s 。为一序数，对任意斥c 的，记： t 伊衅删唧+ s 。) 则t q ) 为厂的s 。近似最优解集，v x t ( ) 称为厂的s 。近似最优解 定理2 1 1 仉) c c ( a 9 ，若 _ 工则m 啦l g ) j m 睁艄 j e ，e 证明： 在z 上必有最小值，设x 。是它的一个最小值点，且一g 。) 2 卿 ， x 。为，的一个最小值点，因缸。 c x , 故不失一般性有x 。- - ) x x 今证瓜) 乏取。) ， 设若不然必有他) 谁。) ，必存在r o ，使如) r f l x 。) ，对昙，3 n 。 o ，当i l n 。时， 有 。) 三饰。) ，成立，则有m ) 。j r 巩( x 。) 因l 。) 他) ，因此对二2 ， j n 2 0 ，当n n2 时， l ( x 。) 稚) 钒o 。) + 三 故对三，当n m a x ( n 。 n ：) 时，有 。主+ ；巩( ， 即有：疋 。溉( x 。) ，矛盾 2 2 主要结果 定理2 2 1t ：c 一2 。是上半连续紧映射 证明：下证t ；是u s c o 映射，因x 紧，由引理1 2 4 ，只需证明g r a p h ( t ) 是闭的，v le c ( x ) ， 叫v x 。e t 以n 。- - x ，故3 n l o ，v n _ n 1 时， 可o 。) + 罢，( 1 ) 由p f t ，力一0 ，故对上述s 0 ，3 n2 o ，使v n n2 时，对v “e x , 以 ) 气( 功+ 昙，( 2 ) l ( “) 领“) + 要，( 3 ) 在( 2 ) 式中令“鼍。，得 似。) 吼o 。) + 要，( 4 ) j 由x 。眠) ，故对vu 五 ( x 。) 罢j 争厶( 】) + so s ( “) + 占o ， ( 5 ) ，e 令n - - m 缸 n 。 n ：) ，则当n n 时，f l t ( 1 ) ，( 4 ) ，( 5 ) ，( 3 ) 式，可得 - ，( x ) 攻“) + 占o + s ， 由6 0 的任意性知 颈“) + 占o ， v 甜疋因而有 硬力理睁苁”) + s 。，即x t o o 0 e 定理2 2 2 存在c ( 的的一个稠密剩余集q ，使v f eq ，集值映射t 在厂处 下半连续，从而是连续的 证明：因( c ( 的，p ) 是一个完备度量空间，从而是一个b a i r e 空间，由定理 2 3 1 知，t 是一个r s c o 映射，由f o r t 定理立即可知本定理成立 下面研究近似解集的稳定性 定义2 2 1 对任意厂c c 的，称z s ( 7 ，( 或x t o o ) 是，的一个本质解，如果 1 2 对z 的任意开领域n ( x ) c x , v c ，当p 以，力斗o 时，有s 以) n n ) a ( 或 t 以) n n g ) 如果v x s ( 或x 珊) 对s ( 或t ) 都是本质的，则称厂 是对s ( 或t ) 来说是本质的 注2 2 1 如果x s ( 7 ) ( 或x t ( 7 ) ) 是本质的，则当l 玎时，存在 的精 确最优解( 或近似最优解) x 。，x 。寸从而x 是稳定的如果厂对s ( 或对t ) 来说是 本质的，则当厶吖时厂的每一个解都可被 的解逼近，从而，是整体稳定的 下面的定理2 2 3 见j y u 2 6 ，定理2 2 4 见l u o 3 4 定理2 2 3 对厂c ( 2 0 ，如果s 0 9 = x ) 是单点集，则点x 是一个本质最优解 定理2 2 4 对，c c 的，如果s ( 7 ) 至少包含两个以上的点，则s ( 7 ) 中没有本质最优 解 证明：假设厂c 0 0 且s o 包含两个以上的点，则对任意z s ( 7 ，存在x s q ) 使x x ，于是存在x 的邻域( x ) c x 使x 隹n ( x ) ，因此s ( 7 ) 旺n ( x ) 其中( x ) 表 示n ( x ) 的闭包对任意8 0 ，定义函数g ：x 专r 为： 如，榷亿矿i f ：岩 ， 其中可取旯( 甜) = d ( “，x ( x ) ) d i a m ( x ) ，d i a m ( x ) 表示z 的直径贝0 a ：n ( x ) 寸 0 ，1 】连续，且u e b d ( n ( x ) ) 当且仅当五( “) = o ，b d ( n ( x ) ) 表示 ( 曲的边界 容易验证g y 且p ( f ，g ) 0 ，使v n n 时，u n t f f ) a 即可，任取x u n t ，则有 m m i n 删垤。， ( 1 ) 因l 坷故vc 0 ，3 n l o ，使v n n l ，对v x 五有 儿一彤) l o ，3 n2 o ，使v n _ n 2 时， j e j z e i 卿 m 争x x ) l n 时，对v x u n l 们，由( 2 ) ，( 1 ) ，( 3 ) 式得 l o 的任意性知， l 卿厶十s 。，即x 毗) ， 从而当n n 时，u n t ( 7 c t ( f ) ，因而u n t 6 q ) a 即x 对于t 来说是本质的 此定理表明f 的精确最优解对于t ( ) 来说总是稳定的，这更表明对于佧c c j ( ) ， 我们求1 仂比求s 6 5 优n ，n n n l 矿时，x + s ，可能不能用 的精确最优解 来逼近，但一定可以用 的近似最优解来逼近厂的精确最优解x 2 3 结论与讨论 本文扩充了罗群博士论文【3 4 】的结论。由于用计算机求解时，最优化问题中 1 4 的数据会出现小扰动，因而在机器上求解实际上是求原最优化问题的近似问题， 自然要考虑稳定性和是否会丢失原最优化问题的某些解定理2 2 3 说明原最优化 问题的最优解集是单点集，则该点是本质最优解，而定理2 2 4 说明原最优化问 题的最优解集若包含两个以上的点，则该解集没有本质最优解，这说明原最优解 集若有多于一个精确解，则这些点在逼近过程中可能被漏掉，这是我们在计算中 不希望出现的情况在近似解集中精确解是其本质点，从而精确解可以被近似解 逼近从而我们可以知道，对一个最优化问题，我们求其近似最优解优于求其精 确最优解，因其近似最优解总能被逼近，而其精确最优解不一定能被逼近 第三章一类不存在本质连通区的问题的研究 3 1 引言 有关本质连通区的存在性的研究成果，可参见【2 5 】【2 7 】 2 9 】【3 6 】【3 7 】【3 8 】等等，而 在【3 4 】中，l u o 给出了：最优化问题的最优解集若能分解成两个以上的互异连通 区，则该解集没有本质连通区；在 1 3 d p ，曹素元和王湘美也证明了某些非线性 方程组没有本质解由此可知无本质连通区的集值映射是存在的，也是常见的( 如 最优化问题和非线性方程组问题) 本文研究了定义在线性赋范空间上具有的连 续映射的非线性方程问题的近似解集的稳定性，得到在b a i r e 分类下，大多数具 有的连续映射的非线性方程问题的近似解都是稳定的；精确解是近似解集的本质 解：包含精确解的近似解集的连通区是本质连通区；包含精确解的近似解集的连 通区为有限个 3 2 预备知识 一切最优化问题和非线性方程组问题都可归结为非线性方程问题来求解，如： 最优化问题：f m i 旷= o ；非线性方程组问题：f = 0 ，p 饥以以) 因而我们有如下的 定义： 设e 。，e ：为两个线性赋范空间，且分别有范数0 0 。，i i i i ：，厂：e 。专e ： 是一个连续映射，s c e 。为e ，中一紧凸集，记p 为厂在s 中有零点的厂的全体， 以p ，可以用距离p 仉，2 ) 2 1 黔忻( x ) 一以( x ) 0z ，来定义距离，且( p ，p ) 形成距离空间 注3 2 1 若j x e 。，使m ) = 曰，那么x 称为方程删= 目的零点，口为e ：上的零 元( 零点存在则该问题的最优解存在) 。 定理3 2 1 ( j ，p ) 是s 上的完备度量空间 证明：p 是c 上的度量显然因p 定义的收敛是一致收敛，因此任给 1 6 玑) c p 为s 中一c a u c h y 列，则一定存在连续的肭，使p 以，力一o ( n j ) ，今 证删= 口在s 上有解因厶p ，故在s 中，至少存在一点x 。s ，使( x 。) = 0 ( n = l ，2 ) ，因s 是紧的，p 。) c s ，因此不妨设x 。- - x s ( 否则可选一子列) ， 因而l l 厂o ) i l ：= l l f o ，上不等式右端第一项由厂的连续性；第二项由一致收敛性，对充分大n 皆 可任意小，故i ，( x ) 0 ： 0 ，万为一序数，对任意厂p ，记： t 。o = x 川，( x ) 0 ：占s ) t 。( 7 ) 为方程倚产口在s 中的j 近似解集，v x e t d 称为删= 口的占近 似解 3 3 主要结果 定理3 3 1 t d ：j r 一2 。是上半连续紧映射 证明：下面证t 5 是r s ：o 映射，因s 紧，由引理1 2 4 ，只需证明g r a p h ( t s ) 是闭 的，v lep ， 叫v x 。t 5 以协。一x ，故j n l 0 , v n n l 时， 帆x ) 0 ： o ，3 n 2 o ，使v n n 2 时，对v 甜s ， 帆“) 0 ： 帆( “) i i ：+ 昙， ( 2 ) 在( 2 ) 式中令甜鼍。，得 1 1 1 ( x ) 1 1 ： 0 ，3 n 。 f o ( x + ) ，p 丑而f o ( x + ) 2 口，所以x + t ( f 0 ) c g ，矛 盾因而v 厂ep ，聊上半连续 定理3 3 3 存在p 的一个稠密剩余集q ，使v ，q ，集值映射t 。在厂处下半连 续，从而是连续的 证明：因( j ，p ) 是一个完备度量空间，从而是一个b a i r e 空间，由定理3 _ 3 1 知，t d 是一个u s o o 映射，由f o r t 定理立即可知本定理成立 下面研究非线性方程的近似解集的稳定性 定义3 3 1 对任意，p ，称x e t o ( 或z t 。o ，) 是厂的一个本质解，如果对 1 8 x 的任意开领域n ( x ) c s ，v p ，当p 以，力_ o 时，有t 以) n n o 。a ( 或 t 5 以) n n ) a ) 如果v x 珊( 或x e t j o ) 一对t ( 或t 5 ) 都是本质的， 则称，是对t ( 或t 。) 来说是本质的 注3 3 1 如果x e t ( ) ( 或x t s ) 是本质的，则当l 吖时，存在 的精 确解( 或近似解) x 。，x 。专x ，从而x 是稳定的如果，对t ( 或对t8 ) 来说是本质的， 则当可时，的每一个解都可被l 的解逼近，从而厂是整体稳定的 定理3 3 4vx t ( ，) ，则x 对于t 。来说必是本质的 证明：显然t 6 0 c t 。o ，故x t ，必有x t 5 ( 7 ，设u 为任一包含x + 的 开邻域，则u a t 。( 7 ) g ，v p ，当l 吖时，我们只需证明3 n 0 ，使 v n n ，u n t d ( 7 ) g 即可任取x u n t d ，则有 i i s ( x ) l i ：j ， ( 1 ) 因 吖故ve 0 ，3 n 0 ，使v n n ，对v x s ，有 | i l ( x ) - f ( x ) l i ： s ， 从而有 i i f x x ) t l ： o 的任意性知， i i s o ( x ) l i ：艿，即x t 。( ) ， 从而当n n 时，u n t 。( ) c t 。以) ，因而u n t 5 以) a 即x + 对于t 5 来说必是 本质的 此定理表明，的精确最优解对于t 。来说总是稳定的，这更表明对于斥p ，我们 求t 。( 7 ) 比求哪优越，因为当l 吖时，x + t ，可能不能用厶的精确最优解来逼 1 q 近，但一定可以用 的近似最优解来逼近厂的精确最优解x 下面给出具有连续映射的非线性方程问题近似解集的连通区的性质 点x t 。( 7 ) 的连通区是t 。( 7 ) 中的所有包含点x 的连通子集的并，见【1 4 】的 p p l 2 2 ，连通区是t6 ( 7 ) 的闭的连通子集，从而也是紧的连通子集容易看出t 。( 7 ， 的相异两点的连通区要么重合，要么互不相交，因此t 。( 7 的所有连通区就组成 t 。( 7 的一种分解，即t5 ( 7 2uc 。( 7 ) ，其中 是一指标集，对任意口e ，c 。 是t a o 的一个非空紧的连通区，且对任意口，卢a ( 口) ，c 。o n c 。( 7 = a 定义3 3 2 对于，p ，称c 。为t ；( 7 ，的一个本质连通区，如果对任意包含 c 。o ，的开集o ，存在万 0 使对任意g j r ，且p 伍曲 o ，使对任意g p ，且p 伍曲 0 ，j n 。，当n t n l 时，有 i i i ( x ) 9 ：= l ( x + ) 一( h ：s ，由s 的任意性知船+ ) = 0 ，因而x t a ( 7 设 z + c 。o ，对于己给的f i o ，由f 的连续性，j 艿。 o ，使当忙一x ， 5 ，时，有 l i s ( x ) 一厂( x + ) i i ： 占成立在e l 中，领域u ( x + ) 2 xi i x - - x * - n ：时，x 。c 。o ，这与x 、的选取矛盾因此假设 为无限集不成立，所以 、 a 为有限集，不妨设为 l ，2 ，n ) ，从而c = u c 。，每个c 。为t 。( 7 ) 中包含 i f f i l 精确解的一个连通区 3 4 结论和评述 结论：从l o u 3 4 ，我们知道最优化问题的最优解集若能分解成两个以上的互 异连通区，则该解集没有本质连通区，而从曹素元和王湘美【1 3 中，我们知道某 些非线性方程组是没有本质解的这说明不存在本质解，本质连通区的问题是存 在的，而且也是常见的由于最优化问题和非线性方程组问题是两种典型且应用 广泛的问题，因而我们有必要对其作进一步的研究本文把这两问题统一为非线 性方程问题，运用集值映射的方法对非线性方程问题的近似问题作了研究：定理 3 3 1 和定理3 3 3 说明在b a i r e 纲的意义下，“大多数”非线性方程问题的近似解 集是稳定的；定理3 3 4 说明任一精确解都是近似解集的本质点，因而我们可用 近似解来逼近精确解；定理3 3 5 和定理3 3 6 说明非线性方程问题的近似解集中 包含精确解的连通区是本质连通区，且包含精确解的连通区为有限个这说明对 该类不存在本质点和本质连通区的问题，考虑其近似问题比考虑原问题更优越 评述：本文是l o u 3 4 和曹素元和王湘美【1 3 】的一个发展近年来有关本质连 通区的结论层出不穷，但是有关本质连通区的求解却很罕见如何求解本质连通 区。是致力于这一方面研究的学者所希望解决的问题本文从计算机的角度考虑， 对囊括了最优化问题和非线性方程组问题的非线性方程问题的近似解及其解集 进行研究，最终目的是希望能给本质连通区的求解提供理论依据在求解时，我 们可以通过不断缩小扰动万，找到所要的结果 2 1 致谢 衷心感诗r 思师曹素元教授和俞建教授! 戎学业的完成完全得益 于老师们不倦的教诲和元私的指导从详实的授课、论文的选题、文 献的收集到论文的撰写，都离不开两位恩师的耐j 辅导二位思师渊 博的掌识、严谨的治掌作风、永不停息的奋斗精神以及甘为人梯的高 ： 尚师德将令我终生受益 三年来我的家人和亲友砸1 都默默地鼓励我和给予我物质和精神 上的极大支持我要深深地感谢他啊1 瑟还要衷心的感谢理学院的其 他老师们，他口1 给了我生活和工作上的极大关照在此也感谢瑟的同 窗好友们，他们使我获得了真挚的友谊和生活上的帮助，助我顺利完 成掌业 最后，请允许瑟再一次向所有关心、支持、鼓励我的人们表示 诚挚的谢意和深深的祝福! 祝你们 万事如意、心想事成! 参考文献 【1 】王则柯单纯不动点算法基础咖中山大学出版社，1 9 8 6 【2 】王则柯等经济学拓扑方法d 川北京大学出版社，2 0 0 2 【3 】那汤松实交函数论嗍( 徐瑞云译) 高等教育出版社，1 9 5 8 【4 】张从军集值分析与经济应用嗍北京：科学出版社，2 0 0 4 【5 】张恭庆泛函分析( 上、下) 【m 】北京大学出版社，1 9 9 0 【6 】李雷，吴从j ；斤集值分析口田科学出版社，2 0 0 3 【7 侯定丕博弈论导论【m 中国科学技术大学出版社，2 0 0 4 【8 】俞建，陈国强向淑文杨辉本质连通区的存在性和稳定性【j 】应用数学学 报，2 0 0 4 ，2 7 ( 0 2 ) ：2 0 1 - 2 0 9 1 9 1 俞建，罗群k yf a n 点集的本质连通区川应用数学学报，2 0 0 0 ，2 3 ( 0 2 ) ：2 9 4 - 2 9 8 【i o 】俞建n a