（应用数学专业论文）扰动hamilton系统的极限环分支.pdf

上海交通大学博士学位论文 扰动h a m i l t o n 系统的极限环分支 摘要 本文借助丁向量场的小扰动和定性分析的方法讨论了几类h a z n i l t i o n 系统( 主要为三次哈密顿系，等变系统以及一类l i e n a r d 系统) 在多项式 扰动下的极限环分支问题对于等变系统的奇闭轨线的稳定性和分支理 论进行系统的研究，给出了一类等变系统中复眼环的稳定性的判据，讨 论了这类系统的极限环分支问题；发展了利用同宿( 或者异宿、双同宿) 轨线稳定性的改变产生极限环的办法，并用来讨论_ r 三次哈密顿系统的 扰动分支问题，得到了j 次系统具有1 1 个极限环的；种新的分布；给出 了四次系统的h i l b ej t 数以及一类l i e n a r d 系统的a b e l 积分的零点个数的 线性估计 第一章讨论了一类具有复眼环的岛等变系统的复眼的稳定性闻题 和复眼环的分支问题首先建立r 后继函数，然后通过对后继函数的讨 论给出了复眼环的稳定性的判定量，借助于复眼环稳定性的改变和分支 理论讨论了这类系统的极限环分支问题。作为定理的应用，在本章的最 后讨论了一类z ，等变哈密顿系统的极限环分支问题 第二章讨论了一类具有9 个有限远奇点，而无无穷远奇点的系统在 三次多项式小扰动下的极限环分支问题。借助于计算m e n i k o v ( 又称为 a b e l 积分) 的简单零点的个数，李继彬等得到这类系统可以产生1 1 个极 限环并且给出了他们的一种分布。在本章中，我们首先利用隐函数定理 给出了这些系统在小扰动下奇闭轨( 同宿轨或者异宿轨) 存在的条件， 然后讨论了他们的稳定性问题，j 借助于符号运算系统计算出了决定奇 闭轨稳定性的判定量( 鞍点的发散量、发散量积分) ，接着利用定性分 析的办法得到包围所有奇点的大极限环，最后利用定性分析和分支理论 的技巧，通过改变这些奇闭轨线的稳定性产生极限环的办法给出1 1 个 极限环以及它们的两种分布，其中一种和李继彬得到的分布相同i 不考 虑与奇点的位置关系的意义下) ，另外一种分布为新的。 第三章讨论了一类具有7 个有限远奇点，而无无穷远奇点的系统在 三次多项式小扰动f 的极限环分支问题。利用和前一章类似的方法得到 中又摘要 这类系统有1l 卜极限环以及它们的两种分布，其中一种和李继彬得到 的分布相同，另外一种分布为新的 在前面的几章中，我们讨论的是关于原点( 包括关于z ，v 轴) 对称的 三次哈密顿系统在扰动下的分支问题在第四章中，我们利用在前面章 节里发展起来的方法讨论了一类只关于z 轴对称的哈密顿系统的三次扰 动分支问题。发现这类系统当产生1 1 个极限环时具有更多种形式的分布 ( 共三种分布，其中两种为新的) 。 如果令h ( ，0 为n 次系统的h i l b e r t 数( 即n 次系统可出现的极限环 的最大个数) ，则我们可知日( n ) 是有限的，且由李继彬的综述性文章可 知：h ( 2 ) j4 ，t i ( 3 ) 11 1h ( 5 ) 12 4 ，最近韩茂安和y up q 给出了三次系统 出现1 2 个极限环的例子，从而使得打( 3 ) 1 2 但是，当n = 4 时，情况如 何? 本文的第五章中，我们给出了日( 4 ) = 1 5 第六章中，我们讨论了一类l i e n a t d 系统在多项式扰动下的a b e l 积分 的零点个数问题。在该章的前四节里，我们首先给出了p i c a r d f u c h s 方程 和r i c a r t i 方程；借助于它们讨论了( p ( ) ，0 ( ) ) 曲线和( ”( ，。) ，”( ) ) 曲线的 性质，从而得到a b e i 积分 ) = n ，o + p ，l ( ) + ，2 ( h ) 的零点个数不超过 三。在该章的后面几节垦，借助于j ( ) 的代数结构，利用p i c a r d f u c h s 方 程和r i c a l t i 力程得到这类系统在多项式扰动下的a b e l 积分的零点个数小 于等于7 5 关键词极限环分支，m e | n i k o v 函数，p o i n c a ，e 分支，h a m i l t o u 系统， h i l b e r t 第十六问题，a b e l 积分，乙等变系统 i r 上海交通大学博士学位论文 t h eb 1 f u r c a t l 0 no fu m l tc y c l e so fh a m i i 汀o n s y s t e m su n d e rp e r t u r b a t i o n s a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d yt h eb i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e so fh a m i h o n i a ns y s t e m s u n d e rp e r t u r b a t i o n su s i n gt h em e t h o do fb i f u r c a t i o na n dq u a l i t a t i v ea n a l y s i sw e g i v et h ec o n d i t i o n so ft h es t a b i l i t yo ft h ec o m p o u n dc y d e sf o rs o m ez qe q u i v a r i a n t s y s t e m s ，t h en e wd i s t r i b u t i o n so fc u b i cs y s t e m s ，t h eh i l b e r t sn m n b e ro fn=4a n d t h el i n e a re s t i m a t eo ft h en u m b e ro fz e r o so ft h ea b e l i a ni n t e g r a l s i nc h a p t e ；】，k i n do fz 。e q u i v a f i a n ts y s t e m si sd i s c u s s e d u s i n gt h er e t u r l ) m a p ( p o i n c a r ei n a p ) ，w eg i v et i l ec o n d i t i o n so ft h es t a b i l i t yf o rt h ec o m p o u n dc y c l e t h e n w es t u d 3t h eb i f u r c a t i o no ft h ee o l a l p o n n dc y c l ea st h ea p p l i c a t i o no ft h e m a i nr e s u l t s ，i nt h el a s to ft h i sc h a p t e r ，w ed i s c u s sac l a s so f 岛e q u i v a r i a ns y s t e m ， w h i c hc a nh a v e1 3j i m i tc y c i e s 1 ne h a p t p r2 t , h es y s t e mw i t h9f i n i t es i n g u l a rp o i n t sh a sb e e ns t l t i e d w h i c h i sac l a a so fc m ) i ch a m i l t o n i a ns y s t e mu n d e ls m * l lp e r t u r b a t i o n sb y cm n p u t i n g t h en u t u b e ro fz e r o so ft h ef i r s ti v l e l n i k o vf u n c t i o n ，l ij o b t a i n e dt h a tt i l ea b o v e s y s t e mc a nh a x el ll i m i tc y c l e sw i t ho i l sd i s t r i b u t i o n i nt h i sp a r t ，w ef i r s tg i v et h e e x i t e n c ec o n d i t i o n so ft h eh o m o c l i n i no rh e t e r o c l i n i el o o p ss e c o n d ，c o m p u t et h e v a l u e so fd e t e r m i n gt h es t a b i l i t yo ft h e s el o o p sa tl a s t ，w eo b t a i nt h a tt h ea b o v e s y s t e mc a nh a v e1l l i m i tc y c l e sw i t ht w od i f f e l e n td ) s t r i b u t i o n s ，a n l u n gw h i c ho l i n o f t h e mj sf l e w i nc h a p t e l3 ，t h ec u b i cs y s t e mw i t h7f i r t i t es i n g u l a r9 0 i a t ni ss t u d i e du s i a g t h es a m em e t h o da sc h a p t e r2 i nc h a p t e r4 ae l a s 8o fc u b i ch a m i l t o n i a ns y s t e m si ss t u d i e d ，w h i c hi ns y m m e t i e a lw i t hr e s p e c t i v et ot h e 一“i s u s i n gt h em e t h o dd e v e l o p e di nt h ec h a p t e r 2 - 3 ，w eo b t a i nt h a ts o m ec u b i cs y s t e mc a nh a v e3d i s t r i b u t i o n s ，a m o n gw h i c ht w o a r en e w i fl e t ( n ) b et h eh i l b e gn u m b e ro ft h ep o l y n o m i a ls y s t e m so fm d e r7 ，t h e n i l l a b s ；r r a 乙1 一 w ek n o w t h a t h f n ) = 1 5 。借助于p i c a r d f u c h s 方程和r i c c a t i 方 挣以及a b e l 积分的代数结构得到两类a b e l 积分简单零点个数上界分别为3 和 7 n - 5 所得结果具有较大的创耨性。上述部分结果已经以论文的形式在s c i 杂志 上发表( 其中第一作者5 篇第一作者3 篇) 。该同学的论文条理清晰，文笔流畅， 幽文j f 茂。结果很丰富，也很有意义，所使用的分析方法和技巧都很有特色也很 有斌艘，推理细致严密。可见作者分析功底扎实，解决实际问题的能力很强，有 根强的从事科研i 作能力。在答辩过程中能够正确的回咎答辩委员会的提问。答 辩委员会一致认为张同华同学的博士论文是一篇优秀的博士学位论文，一致同意 授予晡十学位。， 表扶抖粜 一趿通也 答辩委员会主席( 签名) 6 旯f 7h 上海交通大学 学位论文原创性声明 小人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的 研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名 i 嘲争 日期：2 0 0 5 年徊口 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部fj 或机构送突论文的复印和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权上海交涵大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 保密匝1 在，、年解密后适用木授权书 夺学位论史属十 不保密卅 ( 请在以卜方框内打“，) 学位论文作者签名：研司绰 指导教师签名 l 期：2 0 年 0 ，其中了是刻画气体流速的常数；第一个真正能 够用物理手段实现的混沌系统c h u a 电路： i = p ( - x + y 一，p ) ) y = o y 十2 z = - q y 分支作为非线性科学( 包括：分支、混沌、分形、孤立子和复杂性) 的一个重 要组成部分，无论是在理论研究还是在应用上都有重要意义在数学上我们王要 研究： 上海交通大学博士学位论又 由微分方程( 向量场) 所定义的连续动力系统的分支； 由映射所定义的离散动力系统的分支； 函数方程的零解随参数变化而产生的分支 对于由微分方程所定义的连续动力系统的分支的研究，最早可以追溯到p o i n c a r d 时代，但这一方面尤其是对平面多项式系统而言取得长足的进展，只是近3 0 4 0 年的事( 【1 1 一 1 05 1 ) 正如叶彦谦在文【8 6 1 所说：大范围分支理论的结果大多是属 于二次系统的，包括： 当二次系统不存在极限环时的分支现象。主要是不同分界线环的重舍与交换 位置，积分直线的有无，以及有限与无鼠远奇点的产生与消失等问题； 从已知没有极限环的二次系统出发，添加新的项研究前面所说的问题以及极 限环与分界线环的产生于消失等问题 局部分支理论则假设出发的方程有高阶奇点或一族闭轨，然后给它添加一个或多 个小的扰动项，研究奇点的分解和极限环与分界线环的个数以及随参数而变化的 情况，主要包括( 可参考文献1 7 ，5 l ，8 2 ，8 3 】) 多重奇点分支 闭轨分支( p o i n c a r 6 分支) h o p f 分支 同宿、异宿分支( h o m o c l i n i eo rh e t e r o c l i n i eb i f u r c a t i o n ) 倍周期分支 提到二次系统分支理论，我们就必须提及被称之为常微分方程分支理论的开创性 工作见8 孔其中研究了方程：z = 乩可= 一1 + 掣1 萝+ z 2 十弘2 x y 的极限环的扩 大和消失问题以及有关普适开折问题；关于三次以至更高次多项式系统的分支理 论，大多是局部分支问题近年来，上述分支理论的方法也被用来研究偏微和泛函 微分方程的周期解的存在性问题 1 9 0 0 午，h i l b e r tf 1 ，2 7 】提出了2 3 个数学问题其中的第1 6 问题的第二部 分是属于常微分方程和动力系统方面的； 考虑右端为1 1 次的实平面多项式微分自治系统。 塞= r ( z ，n 面d y q 。( z ，f ) ， ( 晶) 问这类方程最多可以有多少个极限环以及它们的相对位置如何? 这个问题自在1 9 0 0 年的巴黎国际数学家大会上提出之后，引起了愈来愈多的 2 第零章：绪论 数学家的关注( 李继彬【5 7 l 、s c h l o m i u k1 7 7 i ) 但到目前为止即使是在n - 2 时 的存在性问题也还没有完全解决( n = 2 时的闭轨的相对位置问题，如果不计个数 则问题早已解决( 可参看叶彦谦的专著1 8 4 ，8 5 ，8 6 ) 由此可见这个问题是非常困 难的，正如著名的动力系统专家ss m a l e 8 0 】所i 兑：这是h i l b e r t 的2 3 个数学问 题中除r i e m a n 问题外最困难的一个最近几年人们进而转向研究与闭轨分支有 关的p o m c a r e p o n t l j g i n a n d r o n o v 问题f 3 j ( 也即弱化的h i l b e r t 第1 6 问题) 当n 大干等一f3 时的存在性问题以及可能出现的极限环的相对位置问题方面的研究成 果目前就更少了f 8 6 1 因此考虑r l 为3 时的h i l b e r t 问题是有意义的 0 2国内外研究现状和产生极限环的办法 对于平面多项式系统的有限性问题 + l l y a s h e n k o 【8 7 】在d u l a c 的基础上于1 9 8 2 年给出了证明；但是对于任意 的n 能否找到一个共同的界、这界是什么、它与i i 有什么样的关系等，目 前虽有一些结果【5 7 1 ，但是这是非常少的，还有待解决 + 国内的叶彦谦1 8 5 ，8 6 - 张芷芬【1 0 5 】、韩茂安 2 8 h 36 | 、张祥【9 39 4 ，9 剐、 朱德明1 1 0 0 、自冬梅【9 2 ，李承治1 4 8 】、于江【9 q 、赵育林f 9 69 7 ，9 目以 及国外的l l i e v 、h o r o z o v 、g a v r i l o v 、d u l n o r t j e r 、l l i b r e 、h u a i p i n g z l m 等【8 i + 【l 乩1 2 4 11 2 6 ，1 3 8 4 4 ，4 6 ，【6 4 1 一1 6 6 ， 9 9 l 对n2 、3 、4 时的 h a r n i l t o n 系统或者可积非h a m i l t o n 在高次扰动下的弱化的h i l b e r t 第1 6 问题进行了研究，并得到了一系列深刻结果但是对于次数高一点的或者 积分因子较为复杂的( 比如积分因子为指数函数，李承治上个世纪9 0 年 代在jde 上有这方面的一篇文章) 可积系统研究较少 研究三次系统的极限环的个数以及可能出现的极限环的相对位置问题 + 目前国内主要有李继彬、黄其明、韩茂安等李继彬、李；i 字富、黄其明等 【5 0 一f 6 3 1 用扰动对称h a m i l t o n 系统的方法得到了多种极限环的不同分布 ( 叶彦谦的【8 6 1 ) ，其中最多可以产生出1 1 个极限环( 具有一种分布) 最近韩茂安、y up 等借助于计算机通过计算焦点量发现t - 次系统可以 产生1 2 个小振幅极限环9 0 1 + 国外学者ac i m a 在他的博士论文中得到了的极限环的一切可能的拓扑分 布共有5 4 种( 具体参看叶彦谦的专著【8 6 1 ) ，但是这訾图能否都能被三次 3 上海交通大学博士学位论文 系统所实现还需要迸一步研究 最近的一篇综述文章中，韩茂安等对平面系统产生极限环的办法进行了总结， 并给出了一种新的产生极限环的办法： s t a b i l i t y c h a n g i n g 针对上述现状，在第一章中我们讨论了一类乙对称系统的极限环分支问题首 先，给出了判定复眼极限环稳定性的判定量，然后的借助于隐函数定理给出了扰 动的乙等变h a m i | t o n i a n 系统存在复眼极限环的条件，最后利用分支理论研究了 该系统的分支问题作为定理的应用，在这一章的最后我们讨论了一个具体的蜀 等变系统在邑对称扰动下可以产生1 3 个极限环在第二、三章中，我们讨论了 两类分别具有9 个和7 个有限远奇点且关于中心、x 轴和y 轴都对称的三次哈密 顿系统的小扰动问题，得到这类系统可以产生具有两种分布的11 个极限环，其中 一种为新的在第四章中，我们讨论了一类关于z 轴对称的，具有9 个有限远奇 点的三次哈密顿系统在任意三次扰动下的极限环分支问题得到这类系统可以产 生具有三种不同分布的1 1 个极限环，其中两种分布为新的从而使得三次系统有 11 个极限环时的分布由一种达到了 种在第五章中，我们研究了一类三次哈密 顿系统在四次多项式扰动下的分支问题，给出了= 4 时的h i l b e r t 数( 4 ) 21 5 在文章的最后一部分里，我们研究了牛顿力学中的一个常见系统；l i e n a r d 系统在 小的多项式扰动下弱化的h i l b e r t 第1 6 问题得到了在一类多项式扰动下的a b e l 积分的零点个数小于等于7 n + 5 4 第一章一类复眼极限环的分支 1 1复眼环的稳定性 考虑如下系统 z = ，( z ，) ，口= 9 ( z ，)( 1 l1 ) 令z 二q - i y ，i = z i y ，则( 1 11 】成为 傺篱： c ，r 其中f ( z ，i ) = ，( 雩，! 茅) + 姆( ! 笋，鲁) 由文献 5 2 l 可知，如果( 1l1 ) 7 中的f 有下面形式 f ( z ，i ) = m ( 秒。1 + h 一( i 。卅1 ， ( 4 ) 其中鲰( r ) ，h k ( r ) 关于r 是可微的并且g 2 ，则( i11 ) 称为是乙等变的很 多的数学家都研究过h a m i l t o n 等变向量场在等，变扰动下的极限环分支问题，如文 献 3 ，5 3 ，5 4 ，5 5 ，5 6 ，5 7 1 - 在这一节我们始终假设( a ) 成立，并且( 111 ) 有一个复 眼环f q ，它由g 个双曲鞍点s ，岛和q 个同宿环，l 。( 其中l ，通过 s ) 和q 个异宿轨1 2 ，l 丝，一，l 。1 构成，其中 w ( l i ，i + 1 ) = s + l ，a ( l + 1 ) = s ，i = 1 ，q ，( 2 ) l q j q 十1 。l q l ，s q = s 1 令 l 口+ l = l 1 2 t 3 l e 3 u l jl 口 为了确定，不妨假设同宿环l 一，l 。和异宿环l 。+ l 都是顺时针定向的令 ， 0 和a 。 o ( 0 使得l l 上的一点a 可以表示为a = a 1 + 。n l ， 0 ，k ? 0 为常数且 0 2 = 场( 1 + e 虮) ，口；= 用 因此我们立即可得r 口是稳定的( r e s p ，不稳定的) 当0 1 1 + 0 1 2 0 ) 时，l 口+ 1 是稳定的( 嘲p 不稳定的) 当7 l2 o ( r e s p ，( 7 1 2 0 或着口12 = 0 且口； 0 ) 时 因此我们有下述定理 定理1 1 1 考虑具有q 个同宿环l h，l 口，一个异宿环l 口+ i = l l2 uu l q l 和连接q 个双曲鞍点s i ，s g 的复艰r q 的z g 等变系统( 111 ) 令 口。一( 丘+ 9 p ) ( s 1 ) 、口1 l = ( 厶十9 p 一( 7 0 ) d ，j 1 2 = ( l + 9 p 一口u ) 洲 j l ld l 用_ r 1 表示糸统在s l 曲一阶鞍点量，则有 ( 2 ) 如果o o 0 或者o o = 0 且口 0 ，或者o o = 0 1 。= 0 且r i 0 j ，则同宿环 l 1 ，l q 和l 卅l 是内稳定的r 他印，不稳定的，其中当i = 1 时对应同宿环， t = 2 对应上，口+ 1 ( i ；) 如果0 0 ( o ，或者印= o 且1 + 印2 0 ，或者口o = 口l l4 口1 2 0 且 r l 0 ，则复眼环r 是外稳定的r 他印，不稳定的， 假设五等变系统( 111 ) 有一个复眼r ：，它连接q 个双曲鞍点s 1品， 并有异宿轨l 亿l 2 3 ，l q1 m l 口1 其中 u ( l + 1 ) 一s + 1 ，( l + 1 ) = s ，2 = 1 ， ，q ， ( 1 l3 ) l q , q + l = l 小s 口+ l = 岛和g 个异宿轨l 1 口，l 山一，工2 l 其中 ( l 件l ，。) = s ，n ( 厶扎。) = s + l ，i = 1 ，2 ，一，q ，( 1l4 ) 7 上海交通大学博士学位论文 、色 。= 喝嗡 令， 莒一飞 e ，7 f 1 9 l1 ( a ) 当q = 3 时，r 口的图像；( b ) 当q = 3 时，f ：的图像 l ”】，口= l l 口，s q + 1 一s 】 则总共有g 十2 个异宿环：l 。= l + 1 u l p i = 1 、2 ，q ，f l = l l2 u l 2 3 u u l 舭和r 2 = l 1 9 u l 口，口一1u u l 2 1 如前，令 a o = ( 丘+ 巩) ( s ) ， r， o i l = ( 厶+ g y ) d r ，0 1 2 = ( 丘+ 野) d r ，a s i f 0 = 0 ， ol 1 2 d 2 j r l 为系统在s 的一阶鞍点量为确定计，假设l 。是顺时针定向的i = 1 ，q 则类似于定理111 ，我们可以证明 定理1 1 2 ( t ) 如果o 0 ，或者 7 0 = 0 且口l l + ( 7 1 2 0 ，或者口。= 6 r l l + 2 = 0 且_ r 1 0 j ，则异宿环工h ，口是内稳定的r 不稳定的， ( i i ) 如果g o 0 ，或者( t 0 = 0 且o 1 。 0 ，或者o o = o h = 0 且r l 0 ，则当i = 1 时异 宿环r ，是外稳定的，当z = 2 时是内稳定的 8 第一章：一类复眼极限环的分支 1 2 极限环分支 考虑如下小扰动下的蜀等变系统 士= h ”( z ，) + e ，( z 、y ，a ) = f ( z ，y ，e ，8 ) 口= 一，。( z ，y ) + e g ( x ，y ，n ) = g ( x ，y ，o ) ，( 12 1 ) 其中e 0 ，o 瓞5 ，h ，和g 是e 函数且满足条件( 4 ) 如前，假设当= 0 时( 1 2 1 ) 具有由q 个双曲鞍点sh _ - ，岛，q 个同宿环 ，k 以及一个q 异宿环l 州= 厶2 u 2 3 u u 上订构成的复眼环令 r m 1 ( n ) = 壬( g d x f d y ) ， j l l r m ，2 ( n ) = ( g d x f d y ) ， a o ( a ) = ( 丘+ 9 。) ( 岛，n ) ， o c l l ( 。) = ( 厶+ g ”a o ( a ) ) d t ， j l l r f f l 2 ( a ) = ( 厶+ 岛一口o ( n ) ) 矾 j l l 2 s = s ，斗f s ：- + o ( c 2 ) 表示系统( 12 1 ) 在s 附近的鞍点并且局= f r ，o ( n ) + 0 ( 2 ) 表示当( 厶+ g d ( s , ，e ，。) = 0 0 曼i 曼q ) 时鞍点s t 的一阶鞍点量由鞍点量r 。的 表达式，我们知道r o ( a ) 只依赖于s ，函数以h 。，和g 在鞍点的值以及它们 在鞍点的前三阶导数因此，实际上a ，o ( o ) 是能够直接计算的这一节的主要结 果如下 定理1 2 t 假设存在a o = ( d l o ，n 柏，n 5 0 ) r 5 使得 m i ( o o ) = m 1 2 ( a o ) = g o ( a o ) = o 1 1 ( d 0 ) = o - 1 2 ( d o ) = 0 ，r 1 0 ( o o ) 0 ， a e t 等蓑罴孚c 州。 则对于充分小的e 0 存在a o 的一个开集以使得对所有的a 以，r j2 在 f 口附近有具有两种分布的3 口+ 4 个极限环 证明对充分小的e 0 ，在工】和l 2 附近有分界线研、q 、l ；2 和l i 2 满 足u ( q ) = 岛，o ( 研) = 岛，( 工如) = 袅，( l i ：) ；岛由文献1 3 5 可知，存在函数 d 1 ( ，口) = e f v l i m l ( a ) + o 忙) 3 ，d 2 ( ，n ) = 】2 l m l z ( n ) 十0 扛) 9 上海交通大学博士学位论文 其中n ，、12 为正的常数，它们分男q 决定了埘和埘的相对位置以及l k 和l i 2 的 相对位置。为确定计，由条件浮) ，我们可以假设尝( n 。) 0 ，考虑方程函( r ，a ) = 0 由隐函数定理可知，存在函数籼( ，a 2 ，a 5 ) = 也o ( 0 2 ，- - ，。5 ) 十0 ( e ) 使得 令 由f 2 i ) m 1 ( 也o ，0 2 面o m ( n 。) l 。：一徘，a 。， d 2 hn ) i 。，：。= e n d 2 m ：2 ( 。2 ， 我们假设 警。 ，0 5 ) = 0 ， n 5 ) j 0 目d l ( e ，a ) 10 1 2 5 ) + o ( ) 1 二噶( e ，。”，如) ( 5 0 ) 0 考虑方程啦= 0 如前，存在函数妒2 ( e ，a 3 ，铂，n 5 ) = 西2 0 ( n 3 ，n 4 ，如) + o ( f ) 使得 m 2 ( q 5 2 0 ，a 3 。n d ，n 5 ) = 0 豢k 一蜮e 慨轴，蚓j 2o 啾郇：，瞄) 三。 对吲+ i n o o 充分小成立 令1 = 4 ) 1 ( e ，a 2 ，0 5 ) 和a 2 = 妒2 ( ，a 3 ，口4 ，。5 ) ，则在l l 和上i2 附近存在同 宿环l 1 ( f ) 和异宿轨l ，2 ( e ) 由对称性，在f 。附近存在复眼环f 。( e ) ，下面考虑 其稳定性 令而( ，a 3 ，a 4 ，a 5 ) = ( r + g ；) ( a ，e ，。) i 。f “。：如，则 而( ，a 3 ，a 4 ，o , 5 ) = i 瞄( 0 , 4 ，a 5 ) + d ( e ) 1 ， 其中口；( 。3 ，a 4 ，a 5 ) = 印( n ) i 。：m ：t 。 再一次利用条件( ”) 假设 瑟( a 蚺。 注意到( 8 3 。，o ，a 5 p ) = 0 隐函数定理意昧着存在函数九忙，铂，口5 ) = 如。 础，8 s ) 斗 0 ( e ) 使得当。3 口= 毋旧o ，0 5 0 ) ，0 0 ( n ) l 。产如户l 矗3 = 0 时，有 警【0 3 喃。t 一诽，曲! 。 1 0 第一章：一类复眼极限环的分支 对i i + l 。一的i 充分小成立同样的道理，存在函数幽( e ，n b ) = 西4 0 ( d 5 ) + o ( c ) 和九( e ) = 毋5 0 + o ( e ) ，使得当( o ) i * ：女n 仁驻23 ，4 = 0 ，饥2 ( o ) l 。，：仁12345 = 0 ，= ( 1 5 0 时，有 其中 誓旧 甏k 5 ( e ) 1 0 # j j 】2 ( e ，n 5 ) 10 口二，( 1 5 ) = 0 1 1 ( ) j m ：f ”3 ， 口：2 ( a s ) = a 1 2 ( a ) ：4 n m l2 ，3 m i l l ( e ，n 4a 5 ) = 垂( 正 g y ) i 。，：“。l2 ，3 _ 口：l ( n 5 ) + o ( f ) a l ? ( e ( 1 5 】，( 厶+ 9 v ) 。：“攀m ，34 = 口i 2 ( n 5 ) + o ( e ) 显然，如果o t = a ，2 = l ， ，5 ，则n = a o + o ( ) 因此r 】= e r l o ( ( o ) 十0 ( c2 ) 又由假设，我们知道r l o ( a o ) 0 ，为确定计，比如说尺。o 0 ，则由定理111 ，当 n ：= 也，pi ，5 ，e 0 充分小时，下述结论成立 ( 。) q 个同宿环 hl 。是内稳定的； ( ) 异宿环l g + 1i 占1 2 u l 2 3 u u l q 】是内稳定的； ( m ) 复眼环r 。是，f 稳定的 现在先保持。= 也，z = l ，2 ，3 并f 女次改变鸭和使得 oc 酉8 1 7 1 1 m , _ 幽( 叩5 ) ) c c 等( n s 一绯) ) ce 则l ，? = 1 ，2 ，g + 1 的稳定性发生了改变( 从内稳定变成r 内不稳定) ，因此 出现q + 1 个稳定极限环( 1s 。q + 1 ) 然后保持。，= 也，i = l ，2 并改变 n 3 使得 。c 一薏_ 钆) c c 誓( 旷幽) 则q 十2 个环l h ，工叶和r 。的稳定性从不稳定变成了稳定( 对前q 十1 个 环指的是内稳定，最后一个指的是外稳定) ，因此出现q + 2 个新的不稳定极限环 上怠( 1 兰。兰g + 2 ) 其中t + 22 包围所有其他的极限环 进一步，保持n - = 1 并改变。2 使得 。c 訾喃) i 蒙咱) i ( 1 22 ) 上海交通大学博士学位论文 或者 。c 一墼d a 2 ( n 2 嘞) 0 时； ( i i ) 2 q + 2 个极限环，当口1 l ( o o ) 口1 2 ( n o ) 0 时； ( 谢) 2 q + 1 个极限环，当( 7 1 1 ( n 0 ) 0 1 2 ( n o ) 0 ，在“o 的一个邻域内存在开集以使得对所有“填系统 ( 121 ) 有3 q + 3 个极限环在r 附近 类似推论122 ，有 推论1 2 4 假设存在a o = ( o m “2 0 ，n 3 0 ) 孵使得 ( i ) u l ( a 。) = = d 。( n 。) = = 。( 。) = 。，d e t ! 瓣( 。) 。 ( i i ) o l l ( 0 0 ) 0 ，0 i 2 0 ，o n ( a o ) + a 1 2 ( a o ) 0 则对充分小的 0 ，在的一个邻域内存在开巢址使得对所有的“u 系统 ( 12 1 ) 有2 q + 3 印，2 q + 2 ) 个极限环在f ：附近当一7 1 1 ( n o ) d l ，( n o ) o ( r e s p ， 0 充分小且 p ( z ，) = 0 1 z + n 3 ( z 2 + y 2 ) z 十a 7 ( 一一矿) + n 8 ( z 2 十y 2 ) 2 ：r + n 9 ( z 6 5 x 4 y 2 5 x 2 y 4 + 6 ) + n o ( z 7 9 x 5 y 2 5 x 3 4 + 5 x y 6 ) 0 扛，9 ) = a l y + 2 3 ( z 2 + y 2 h 一2 a7 ( x 3 y + x y 3 ) + a 8 ( z 2 + 可2 ) 2 y + 0 9 ( 4 。5 y 4 x y 5 ) + 。o ( 5 一f 3 5 x 6 斗斗9 x 2 y 57 ) 1 3 ( l3 1 ) ( b ) 土塑壅望查堂堡圭堂垡笙丕 一 当f ：0 时，系统( 1 , 3 1 ) 是哈密顿系统，其哈密顿函数为 川训) = , t 3 - x y 2 + ；南2 + ：( “们+ 去( z 4 “) 扰动系统的奇点为s l ( ，j 一2 o ) ，s 。q ( 2 一以) ， 坐二竽) ，岛( ；( 2 一v 巨) 一、坐二磐) c i ( 一2 一以，o ) ，c 1 2 ( 专4 、学) ，g ( 专厘，v ，学) ，o ( o ，o ) 其中s - s 2 和5 3 是鞍点；g ，岛巳和o 是中心用f 3 = l l ul 2 ul 3 u l l 2 u l 2 3 u l 3 1 表示由玎( z ，) = 一器+ ；以定义的复眼则容易知道l ，和l 1 2 的定义式由下式 给出 、6 + 2 4 z 一3 z ，+ 4 瓶二再了f 瓦再硒 92 历 其中一44 3 6 5 1 t 7 3 9 9 7 以2 以一2 , 1 7 0 ，i 磬 0 ，所以由隐函数定理可知，存在函数 咖= 一1 69 0 2 4 4 1 5 6 a 3 + 2 65 t 0 9 8 4 a 7 2 8 62 9 2 1 1 5 8 a s + 1 6 4 35 4 6 6 8 9 a 9 上海交通大学博士学位论文 一1 0 9 65 5 1 5 a o + 0 ( f ) ， 0 2 ：1 ，5 8 5 5 0 5 t 6 7 a 7 1 71 3 2 8 3 4 9 1 0 8 + 9 83 6 6 3 8 6 8 a 96 56 2 9 5 3 8 5 7 a o + o ( e ) 3 = 1 35 3 5 4 8 2 7 6 a 8 8 02 3 8 6 3 6 6 2 a 9 + 5 38 2 7 6 0 5 9 6 a o + o ( e ) 使得 d 1 ( r e s p ) 0 当且仅当m ( r e s p ) 妒l d ? 三( j e s p ， ) 赴 印三( 1 e s p ， ) o 当且仅当日7 ( t e s p ， ) 屯 l35 i36 l37 在条件a 1 = 幽a 3 ：咖，0 7 = 九下，我们有 g l l = 2 0 6 8 8 2 8 7 5 8 a a + 66 0 0 9 8 3 5 9 a 9 1 7 68 1 0 9 7 9 9 0 _ 04 - o ( f ) ， 0 12 = 02 5 2 1 9 1 2 7 8 9 a 8 17 4 0 0 4 3 9 8 3 a 9 十12 1 8 3 7 7 1 0 7 a o + d 忙) 再次利用隐函数定理，可知存在函数 札= 85 4 6 4 2 8 9 5 a o 一03 1 9 0 6 8 6 3 0 7 a 3 + o ( ) 九= l8 5 3 1 6 8 2 7 8 f l o + 0 ， 使得 0 1 1 ( r e s p ) 0 当且仅当a 8 ( r e s p ， 0 1 2 是系统( 1 31 ) 的特征值由文献【3 5 j 可知，一阶鞍点量由下 式给出： 第一章：一类复艰极限环的分支 当n l = 廿i ，g 3 = 锄，嘶= 幽，a s 二幽，n 9 = 时，有 m 2 1 = 0 , 8 3 7 6 7 4 1 4 1 2 3 3 a o + d ( e 2 ) ， m 1 1 = 41 3 1 7 3 + 5 4 3 8 3 3 0 v e + 0 ( e 2 ) ， m 2 0 = 一0 5 0 1 4 8 1 0 , 8 2 8 9 3 7 0 萜+ o ( e 2 ) n 0 2 = 2 0 6 5 8 7 + 3 4 1 4 8 4 a o c 十o ( r 2 )