（应用数学专业论文）复杂时滞动力网络的鲁棒脉冲同步.pdf

摘要 本文主要研究脉冲控制下一般复杂时滞动力网络的鲁棒完全同步在 简要地介绍了复杂动力网络的同步和控制的研究背景、发展现状以及一些 数学预备知识后，研究的工作主要集中在如下两个方面。 ( 1 ) 节点含时滞的般复杂动力网络的鲁棒脉冲同步 针对网络的节点本身很可能存在滞后的现象这个问题，研究了脉冲控 制下节点含时滞的一般复杂动力网络的鲁棒完全同步应用脉冲时滞动力 系统的稳定性理论。给出了一些简单而又般的网络同步化准则这里控制 策略的特点是。控制的同步态根据实际的控制目标可以选取为网络中所有 节点状态的一个权重平均进一步地，通过对由混沌时滞h o p f i e l d 神经网 络为动力节点所构成的网络的数值模拟，验证了所获理论结果的正确性另 外，我们还研究了不确定的节点含时滞的复杂动力网络的鲁棒脉冲同步， 其中网络的耦合方式可以是线性或非线性的，甚至可以是未知的 ( 2 ) 结构含时滞的一般复杂动力网络的鲁棒脉冲同步 由于有限的信号传输和记忆效应，网络中的各个节点在相互作用时自 然就会有延时效应我们研究结构含时滞的复杂动力网络的脉冲鲁棒同步 问题，其主要的工作是设计并实施了一个简单且有效的脉冲控制器，使得 控制的动力网络的所有节点的状态鲁棒脉冲同步到一个期望的同步态进 步地，将所提出的控制方法应用于由混沌f h n 神经元振子为动力学节点 所构成的网络，数值模拟证实了该控制方法的有效性 关键词：复杂时滞动力网络，鲁棒完全同步，脉冲控制，混沌h o p f i e l d 神 经网络，混沌f h n 神经元振子 ab s t r a c t t h i st h e s l si sd e v o t e dt ot h e s t u d yo fr o b u s tc o h l p l e t e 盯n c h r o n i z a t i o n 1 ng e n e r a lc 0 1 n p l e xd e l a y e dd y n a m i c a ln e t w o r k s v i ai m p u l s i v ec o n t r 0 i a f - t e rab r i e fd e s c n p t i o no fh i s t o r i c a l b a c k g r o u n da n d 撇c hp r o g r 髑f o r t n e 踟c h r o n i z a t i o na n dc o n t r o lo fc o m p l e x d y n a i i l i c 龃n e t w o r l c s ，蹈w d l 船 s o m em a t h e m a t i c a lp r e l i m i n a r i e s ，t h er e s e a r c hw o r k s f o c l l 8m a i n l yo nt h e f o l l o w i n gt w oa s p e c t s ： ij ， d 6 淞。m p u l s i v es y n c h r o n i z a t i o n 讥g e n e r a lc d 唧妇仃e t w o r k sw i t h d e l a y e dd y n a m i c a ln o d e s b y u t i l i z i n gt h es t a b i l i t yt h e o 巧o ni m p u l s i 、他d e - l a 删d y n 锄i 洲s y s t e m s ，s o m es i m p l ey e tg e n e r i cc r i t e r i ao ni m p u l s i v e s y n - c n r o n l z a t l o no ft h en e t w o r k sa r ed e r i v e da n a l y t i c a l l y a d i s t i n c t i v ef e a t u r e 0 tt h ec o n t 删s c h e m ei st h a tt h e c o n t r o l l e ds y n c h r o n i z a t i o n8 t a t ec a nb e 睁 l e c t e d 铺aw e i g h t e da v e r a g eo ft h e s t a t e so fa l lt h en o d e si nt h en e t w o r kf o r t n e p u r p o 0 fp r a c t i c a lc o n t r o ls t r a t e g y f u r t h e r m o r e ，s i m u l a t i o n e x a m p l 船 缸ep 。o q d e db yu s i n gt h e c h a o t i cd e l a y e dh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r ka sn o d e 8 o lt h ed y n a m i c mn e t w o r k ，a n dt h e c o r r e c t n e s so ft h eo b t a i n e dt h e o r e t i c a l r e s u l t sa r ev e r i f i e d i na d d i t i o n ，r o b u s ti m p u l s i v e s y n c h r o n i z a t i o no fu n c e r - t a l nd e l 删d y n a m i c a ln e t w o r k si s a l s oi n v e s t i g a t e d ，w h e r et h e c o u p l i i l g f u n c t i o n sc a nb el i n e a ro rn o n l i n e a r ，e v e nu n l 【i l o w n 【z j 氕d 6 u s z2 r e p u l s i v es y n c h r o n i z a t i o ni n 口m o d e lo yc d 唧矗叼咖眦m 矗 c 口l 仃e 硼口r k s w i 地c o u p 如n gt i m e d e l a y s as i m p l ea n de f f e c t i v ei m p u l s i v e c o n t r o j l e ri sd e s i g n e da n d i m p l e m e n t e dt om a k et h es t a t e s0 fa nt h e n o d e 8 1 nt h en e t w 0 r kr o b u s t l yi m p u l s i v e l y s y n c h r o n i z ew i t h ad e s i r e ds y n c h r o n i z 舡 t l o ns t a t em o r e o v e r ，t h e d e v e l o p e dt e c h n i q u ei sa p p l i e dt oa t y p i c a ln e t w o r k c o n s l 8 t l n g0 fc o u p l e dc h a o t i cf h n n e u r a lo s c i l l a t o r s ，a n dt h en u m e r i c a l s i i n - u l a t i 0 璐a r ew o r k e do u tt oi l l u s t r a t et h e e f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p 0 8 e dc o n t r o l k e yw o r d s ：c 。m p l e xd e l a y e dd y n a m i c a ln e t w 0 r k s ，舶b 璐t c o m p l e t e 母y n c h r o n i z a t i 。n ，i m p u l 8 i v ec o n t r o l ，c h a o t i cd e l 唰h 。p f i e l dn e u r 甜n e t w o r k ，c h a o t i cf h nn e u r o no s c i l l a t o r s 原创性声明 本人声明。所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 貅炉目嗍叫砌纱 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，l l p , 学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名。憩蝴扁导师签名l缈舰 弘t 呷、形i y 第一章绪论 1 1引言 近年来，复杂网络的研究已经渗透到许多科学领域，从物理学、数学、生物学 到工程学与社会科学等领域，已成为一个跨学科的研究热点 1 - 3 1 事实上，如果用 节点( n o d e ) 表示个体或单元，而边( e d g e ) 表示它们之间的物理链接或相互作用， 那么自然界、社会生活、生物系统中的众多复杂系统都可以用由大量的节点通过边 的相互连接而组成的复杂网络来描述例如。神经系统可以看作是由大量神经细胞 通过神经纤维相互连接形成的网络；w w w 虚拟网络可以看作是大量的网页通过 超链接相互作用形成的网络类似的还有通信网络、电力网络、社会关系网络、交 通网络、新陈代谢网络、基因调控网络，等等【1 _ 2 1 可以说，人们已经生活在一个 充满着各种各样的复杂网络的世界中，而且我们生活中的很多问题都涉及到复杂网 络的研究，比如传染病在人类社会以及动物界中的传播，电力网络中局部小的故障 引发的大面积的停电事故，交通网络的优化等一些现实中急需解决的问题深入地 研究复杂网络，可以揭示隐藏在自然界、生物界、工程界和人类社会界中多种关乎 国计民生的复杂系统中的共同规律，这种一般性规律的揭示对于把握复杂系统的宏 观特征，对于调节复杂网络上的动力学行为都将具有重要意义 现实网络系统的拓扑结构看上去错综复杂。极其混乱，而且网络拓扑结构可能 随时发生变化；网络演化导致网络节点不断增加，节点间的连接也在不断地增长， 且连接之间存在着多样性；网络的动力学具有复杂性，每个节点本身可以是非线性 系统，具有分岔和混沌等非线性动力学行为而且在不停地变化可以说，现实生活中 的网络系统都是很复杂的鉴于网络的拓扑结构影响着发生于其中的动力学过程， 为了考察这种影响的程度及其内部机理，从而优化和改善网络的动力学行为，就需 要了解网络的结构特征并在此基础上建立合适的网络结构模型【9 7 】由于现实世界 网络的规模大，节点间相互作用复杂，其拓扑结构基本上未知或未曾探索早期人 们通常是基于规则网络来研究空间结构和动力学行为之间的关系2 0 世纪5 0 年代 末到9 0 年代末，匈牙利数学家e r d s s 和r 百n 妒提出了e r 随机图模型【6 他们 用随机图来描述网络的拓扑结构，这为复杂网络的研究奠定了一个数学理论基础 随机图的思想主宰复杂网络研究达四十年之久然而，随着混沌、分形和非平衡态 】 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 物理等新兴学科的创立及迅速发展，人们对现实世界的理论认识达到了全新的广度 和深度；而且计算机技术的飞速发展和计算能力的提高，使得对大规模网络数据的 采集和分析成为可能从而，在计算机仿真和大规模实际网络数据库的支持下，大 量的实证研究【2 3 】发现，绝大部分的实际网络( 如因特网和万维网) 都具有时间 演化行为和一定的自组织机制，不能仅仅依靠纯粹的随机性来构造，是一种介于有 序与无序之间的中间模式 1 9 9 8 年w a t t s 和s t r o g a t z 提出了包含一个可调参数 的介于规则网络和随机网络之间的小世界网络模型( 简称w s 模型) f 8 l ；1 9 9 9 年， b a r a b 缸i 和a l b e r t 基于网络中幂率起源的两个基本机制，提出了生成无标度网络 的算法模型( 简称b a 模型) 【驯之后，在上述两项重要发现的推动下人们又相继提 出了多种复杂网络模型 1 0 - 1 ，并研究了其相关性质，从而掀起了一股研究复杂网 络的热潮 对网络的研究可以分为对网络模型、网络的统计学特征、网络上的动力学行为 等的研究当网络中每个节点都看作个动力系统时，网络就成了复杂动力网络为 了更好的研究复杂动力网络，不仅要考虑网络拓扑结构，还要考虑网络中每个节点 的动力学行为作为动力网络的一个基本特征，复杂网络系统中的同步研究是非常 重要和有意义的同步是自然界中的一种基本现象，人们已观测到的同步现象包括 夏日夜晚青蛙的齐鸣、萤火虫的同步发光、心肌细胞和大脑神经网络的同步【2 3 - 2 5 1 ， 剧场中观众鼓掌频率的逐渐同步【2 6 】等等历史上为了弄清各种同步的机理，科学家 经历了漫长的探索道路现在，人们意识到耦合动力系统的同步运动可以很好地解 释自然界中观察到的许多现象由于耦合混沌动力系统不仅具有非常丰富和令人感 兴趣的复杂的动力学现象，如自动波、盘旋波、混沌激变等，还可以模拟大规模的复 杂网络系统并且在模式结构识别，神经网络等诸多领域具有潜在的应用前景近年 来，对由耦合混沌动力系统组成的大规模网络的同步动力学的研究越来越感兴趣特 别是网络的拓扑结构与网络的同步化行为之间的关系成为了人们研究的热点。对于 各种不同类型、不同拓扑结构的复杂网络已经有许多重要的结果1 2 7 7 2 , 7 5 - 8 3 , - 9 4 j 1 2 复杂动力网络同步的研究概况 1 2 1 复杂动力网络同步的概念 2 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 考虑个节点的网络，第 个节点的m 维状态变量甄( t ) ，其在孤立时满足 觑( ) = ( x i ( t ) ) 设日：f p _ ，p 是每个节点状态变量的耦合函数，在存在耦合 作用的情况下，第i 个节点所满足的状态方程是 2 2 】 觑( t ) = f ( x t ( ) ) + 盯a , j i - l ( z j ( t ) ) ， ( 1 2 1 2 ) j = l 其中口是耦合强度， g 玎是具有l a p l a c i a n 结构的耦合矩阵g 的矩阵元素若动 力网络系统在耦合的作用下，当t _ o o 时，有 1 i mi i x , ( t ) 一s ( t ) l i = 0 ，i = 1 ，2 ，n ， ( 1 2 2 ) 就称网络( 1 2 1 ) 实现完全同步，s ( t ) 称为网络的同步流形，其可以是平衡点、周 期轨道甚至是混沌轨道 1 2 2 复杂动力网络的同步稳定性研究 常见复杂动力网络的同步可大致分为如下几类一般复杂动力网络的同步、时 变复杂动力网络的同步和时滞复杂动力网络的同步下面，我们将阐述这些同步的 研究进展，更为详细的介绍可查阅文献【9 7 】 ( i ) 一般复杂动力网络的同步 p e c o r a 和c a r r o l l 于1 9 9 8 年研究了线性耦合动力系统同步的稳定性问题，给出 了主稳定函数判据 2 7 - - 2 8 下面我们简单地介绍主稳定函数的定义及其使用方法 首先对动力网络系统的同步流形进行线性稳定性分析，在同步流形s ( t ) 附近对 状态方程( 1 2 1 ) 进行线性化 2 7 - 3 3 l ，得到 & = d f ( s ) f i + a d h ( s ) g1 ， ( 1 2 3 ) 其中6 是节点l 在同步流形s ( ) 上的变分，f = ( f l ，已，知) ，d f ( s ) 和d h ( s ) 分别是函数f ( s ) 和h ( 8 ) 的m m 阶j a c o b i a n 矩阵上式的稳定性是由g 的特 征值入决定的，设其对应的特征值向量为e 。并且令町= f e ，得到 而= d f ( s ) r l + a d h ( s ) r l h ， ( 1 2 4 ) 其中a = d i a g ( a l ，a 2 ，a n ) 为对角矩阵这样原来要讨论的m n 维空间的稳 定性问题被简化到m m 维空间，并且通常情况下m n 3u 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 可利用( 1 2 4 ) 式计算单个系统的李雅普诺夫指数( l y a p u n o ve x p o n e n t s ) ，如 果所有这些横截李雅普诺夫指数都小于零，则系统是稳定阻一3 引 在方程( 1 2 4 ) 中，若矩阵g 为非对称矩阵时，其特征值可能为复数，令a x i = q + t p ，定义如下主稳定方程 1 7 = 【d f ( s ) + ( 0 1 + i p ) d 日( s ) 】y ，( 1 2 5 ) 该方程最大的l y a p u n o v 指数7 m a z 称为动力网络的主稳定函数【3 5 1 对于耦合强度仃，在复平面上可以对应地找到固定的一点口九，该点对应的 眦的正负号反映了该特征模态的稳定性若所有特征模块都稳定，则在该耦合强 度下整个网络的同步流形是稳定的 ( i i ) 时变复杂动力网络的同步 上面讨论了复杂动力系统的同步的研究工作主要集中在静态网络系统，即网络 的拓扑和耦合方式在网络中是不变的然而，真实世界中的许多网络系统( 例如， 生物网络、移动通讯网络和社会网络等) ，其网络的结构会随着时间发生变化连 续时间耦合时变动力网络的模型为， n 现( t ) = ，( ( ) ) + 乏：a i j ( t ) h ( t ) x j ( t ) ，i = 1 ，2 ，n ， ( 1 2 6 ) j = l 其中，：d _ 舻，内部耦合矩阵h ( t ) 册黼，外部耦合矩阵a ( t ) = ( 凸玎( z ) ) j 在t 时刻满足。若a i j ( t ) 0 ，表示在t 时刻从节点i 到节点j 有一条连接 线，且满足a i i ( t ) = 一磐1 ，j t n 巧( t ) 对于时变网络系统，其同步的研究比较困难相比于静态网络系统的研究，其 研究成果还较缺乏根据当前对时变网络系统的研究情况，大致可以分为两种方 法1 9 7 j - 基于l y a p u n o v 稳定性判据法和基于连接图判据法l i i 等 a 6 - 3 7 】基于 l y a p u n o v 稳定性判据，将一般时不变动力网络系统的同步稳定性理论推广到时变 的情形，研究了时变动力网络系统( 1 2 6 ) 的同步问题，并且给出了同步稳定性的 判据其研究结果表明。不同于静态网络系统，时变动态网络系统的同步完全由内 部矩阵h ( t ) ，外部耦合矩阵a ( t ) 的特征根a 七，k = 2 ，和特征向量矩阵函数 决定d a n i e l 等f 3 8 】利用切换系统的思想来研究快速的时变网络系统，指出了如 果振子网络逼近静态平均时间网络，前提是时变网络的切换速度充分快尽管该方 法得到的条件相对保守，但也为解决时变网络系统同步问题提供了一种新的解决方 4 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 法由于基于l a y p u n o v 稳定性判据法要计算一个复杂网络系统达到同步流形稳定 的条件时，必须计算网络的l y a p u n o v 函数和特征根但在网络结构不规则的情况 下，很难求得特征根，所以不能采用上述方法判定网络系统是否可以达到同步为 此， b e l y k h 等【3 9 一删提出了将l y a p u n o v 函数法和图论相结合，利用连接图的稳 定性方法( c o n n e c t i o ng r a p hb a s e ds t a b i l i t ym e t h o d ，c g s ) 来研究时变网络系统 同步的全局稳定性问题 c g s 法的优点是不需要计算l y a p u n o v 指数和耦合矩 阵的特征值，即使在网络结构不规则、耦合特征值不易求的情况下，也可得到系统 同步的个全局稳定条件此外，该方法可给出不同边的不同耦合强度的下界，比 l y a p u n o v 法减少了保守性 ( i i i ) 时滞复杂动力网络的同步 时滞是自然界和人类社会中普遍存在的一种客观的现象它通常是由有限的信 号传输、反应时间和记忆效应所引起的例如流行病网络中病毒扩散和i n t e r n e t 拥 塞，节点之间的连接就具有延时效应因此研究具有时滞的复杂动力网络是非常必 要的具有耦合时滞的复杂动力网络模型如下 也( t ) = ，( 甄( ) ) + 仃芝：a i j h x j ( t 一1 - ) ， 江l ，2 ，( 1 2 7 ) j = l 其中，矩阵h 舻黼，吼a i j 与动力网络( 1 2 1 ) 完全相同r 0 为时滞常数 “和c h e n 等阻】将式( 1 2 7 ) 的同步状态稳定性问题转化了n 一1 个n 维如 下形式的时变时滞微分方程 曲( t ) = j ( t ) 叫( t ) + a a k h w ( t r ) ，k = 2 ，( 1 2 8 ) 其中g ( t ) = d f s ( t ) 舻黼是f ( t ) 在s ( ) 处的j a c o b i a n 矩阵，若式( 1 2 8 ) 的零 解是渐近稳定的，则式( 1 2 7 ) 同步状态是渐近稳定的该文利用线性矩阵不等式 给出了时滞复杂网络系统模型同步状态稳定性的充分条件此外，该文讨论了依赖 于时滞的稳定性，给出同步状态依赖于时滞的渐近稳定的一个时延的上界，使得对 于任意小于这个上界的时滞，系统是稳定的随后，g a o 等【4 5 】给出了新的依赖于 时滞的同步状态渐近稳定的条件，且所得的结果表示为比较容易求解的线性矩阵不 等式形式通过比较可知，文献【4 4 】中的相关结论可以作为文献【4 5 的个特例， 即同步稳定性条件的保守性大大降低了采用类似的方法，文献【4 5 】也给出了离散 时滞网络系统同步的条件w a n g 等【媚】利用矩阵测度的方法也对文献【4 4 】的结果 进行了讨论，得到了矩阵测度形式的结论 5 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 “和s u n 等【4 7 】研究了两种类型的时滞复杂网络系统一种网络中每个节点的 状态不同的时滞，但所有的节点具有相同的时滞向量另一种网络中每个节点具有 不同的滞，但每个节点的状态也有不同的时滞针对这两种类型的网络，利用矩阵测 度理论出了相应的同步稳定性的结论，避免了构造l y a p u n o v k r a s o v s k i i 函数的 困难性l i 和y i 等阳】对具有时变时滞的一类复杂网络系统进行研究，发现时滞复 杂网络系统的同步可以由网络的拓扑决定利用耦合矩阵得到了网络系统全局渐近 同步稳定和指数同步稳的充分条件，而这些条件比较容易验证l u 和c h e n 等【4 9 1 研究了般微分方程线性时滞耦合网络系统的同步问题对于单耦合时滞的复杂网 络系统，从数学上进行详尽地分析得到局部同步稳定准则和全局同步稳定准则同 时，他们对同步与耦合强度和时滞大小的关系进行分析。指出在一些条件下，如果 耦合强度充分大，微分方程耦合网络系统任意耦合时滞都能达到同步另一方面， 如果耦合时滞充分小，耦合网络系统也能达同步，随后在文献【5 0 】中被推广到指数 同步的情况z h o u 等【5 2 】研究了具有脉冲效应复杂时滞动力网络的同步动力学问 题，指出此类系统的同步严重依赖于网络中连接配置的脉冲效应随后，他们删 进一步研究了一般复杂时滞网络系统的全局同步问题，该文指出如果孤立动态节点 本身是稳定的，那么对于任时滞，只要耦合强度足够小，此类复杂网络系统都能达 到全局同步；另一方面，如果网络的动力节点是混沌的，则网络的全局同步除了同 网络的拓扑结构相关外，将严重地依赖于网络中耦合时滞的效应，并将结论应用到 典型的由神经网络系统( c e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s ) 构成的小世界网络和无标度网络 中，且验证其结果的正确性最近，w h 等【5 5 4 研究了非对称耦合的复杂时滞网络 的同步，给出了一些时滞相关与时滞无关的同步准则，并指出时滞动力网络的同步 能力并不定由耦合配置矩阵的第二最大特征值决定即使它的特征值全部是实的 1 3 复杂动力网络控制的研究概况 由于自然界、社会生活、生物系统中的众多复杂系统都可以用复杂网络来描述 因此，人们一直在思考如何结合网络的特性通过控制手段来提高网络的性能，并开 始利用一些控制策略进行了初步的研究下面我们简单地介绍近年来复杂网络系统 控制的研究进展，更为详细的介绍可查阅文献 9 7 】 1 3 1 牵制控制 6 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 牵制控制的基本出发点是只对网络中的部分节点进行控制，来达到有效控制整 个网络的目的牵制控制最早应用于规则网络的时空混沌控制f 5 7 1 ，近年来已被用 于控制大规模的动力网络【弱一6 1 ，6 5 - 6 7 】 基于连续时间线性耦合网络系统模型，w a n g 和c h e n 等【弱】对无标度网络中 的占网络节点总数的比例6 ( 0 0 ( 0 ) 表 示m 是正定矩阵( 半正定矩阵) ( i i i ) 设g ( ve ) 表示顶点集为y ，边集为e 的权重有向图，其中v = 1 ，n ) 是非空节点集合，ecv v 为边的集合图g ( ve ) 的邻接矩阵a = ( a o ) 舻煳定义为。对任意的i j ，如果0 ，i ) e ，那么a o 0 ，否则，a o = 0 ； 其对角元素a i i = 0 ( i = 1 ，n ) 图g ( ve ) 的l a p l a c i a n 矩阵l = ( 1 q ) 册姗 定义为 f “= j 却a 0 和l i j = - - a 0 ，对所有的i j 由定义可知，l a p l a c i a n 矩阵的每行之和为零，因此l a p l a c i a n 矩阵总有属于零特征值的九= 0 的右特征向 量坼= ( 1 ，1 ，1 ) t 在有向图中，如果任意一个节点都有一条有向路径到达其 余所有的节点，则该有向图是强连通的在无向图中，如果任意节点对间有路径连 接，就称该无向图是连通的一个矩阵b 称为不可约的，如果其对应的图g 是强 连通的，否则称为可约的 ( i v ) 一个有向图g ( ve ) 称为一颗有向树，如果它有礼个节点和礼一1 条 边，及存在一个具有有向路径到达所有其它节点的根节点一颗有向树日称为一 个图g ( ke ) 的一颗生成有向树，如果日和g 有相同的节点集 ( v ) p c = p c ( - r ，o 】，舻) = 咖：【一1 - ，0 】一形l ( t ) 除了在有限个第一类 不连续点t 外都连续，庐( 砖) ，( t _ ) 均存在，且( t ) = ( 以) ，其范数定义为 i i 咖1 1 r = s u p r 口 o 忡( p ) i i c ( r + ，r + ) 表示定义域为冗+ ，值域为冗+ 的全体连续 9 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 函数的集合品= z 船：忙0 0 当t o ) 下面，我们给出扩散耦合矩阵及非负扩散耦合矩阵的概念 定义2 1 1m 对一个给定的实矩阵b = ( b 玎) r ，如果每- 彳亍g r 有元素的和 都等于零。也就是 幻= 0 ，i = 1 ， 那么矩阵b 称为扩散耦合矩阵另外。如果矩阵b 的所有的非对角线元素都是非 负的。也就是 b 0 ，v i 歹( 1 l ，j ) ， 那么矩阵b 称为非负扩散耦合矩阵所有非负扩散耦合矩阵的全体记为b r 引理2 1 1 【3 6 】如果矩阵b 是扩散耦合矩阵，那么下面结果成立， ( j ) 0 是矩阵b 的一个特征值，相应的特征向量为( 1 ，1 ) 。 ( 2 ) 如果b b r 。那么矩阵b 的所有特征值的实部都小于或等于零，而 且具有零实部的所有特征值都是实特征值口 ( ? ) 如果b 所是不可约的，那么d 是矩阵b 的单重根 引理2 1 2 【7 6 j 设b 所及r a n k ( b ) = n 一1 定义矩阵雪= b + b t 一三，其中 三= d i a g ( b 1 ，b ) 且马= 丝1b k j ，那么矩阵雪b r 是对称不可约矩阵 证明：不失一般性，我们假设 其中b q g r 口口，q = 1 ，p ，是不可约矩阵另外，对每一个q ，存在k g ，使 得b 七0 这一点可以理解为 t e l 由这个耦合矩阵的装置矩阵b t 产生的图应 1 0 功 即肋砌；助 2 2 夙岛 o既o ；o ，j-_-_-_-。一一 = 日 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 埘一悖b 誊b 1 2 廿b 1 p 2 2 脉冲时滞动力系统的稳定性理论 考虑如下的脉冲时滞动力系统【7 3 】 p 卜八厶觑) 碍“。副0 ( 2 2 1 ) ix ( t - j ) = 巩( z ( i ) ) ，t = t k ，七= 1 ，2 ， 其中x ( t ) 舻，：【t o ，+ o o ) xp c 一舻，巩：s 一舻对任意的t t o ， x t p c 定义为x t ( s ) = x ( t + s ) 对所有的s 【- - 7 ，0 】脉冲时间序列【如 酱满足 0 t o t l t 2 “一1 0 ，使得当i i r 叩 时，p 2 f j 的解z ( ；t o ，西) 满足 i i x ( t ；t o ，咖) 0 s ，t t o ， 1 1 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 则称偿2 纠的零解是一致稳定的 定义2 2 2 【7 3 】如果馏2 的零解是一致稳定的，且存在7 7 0 ，使得对任意的 e 0 ，存在t = 丁( s ) 0 ，当仃t o 和i i 1 1 r ，7 时，满足 0 z ( t ；t o ，) 0 ，t d r + z 则称俾2 砂的零解是一致渐近稳定的 定义2 2 3 【7 3 】令v ：【t o ，+ o 。) 昂_ r + ，则称v 峋类如果 p jv 【t 七一l ，t 七) 品是连续的，且对于每一个z 昂，k = 1 ，2 ，都有 l i m v ( t ，y ) = y ( 坛，z ) 【t ，掣) 一【k ， 俐y 关于z 讳满足局部l i p s c h i t z 条件，且对所有的t t o ，v ( t ，0 ) 兰0 定义2 2 4 7 3 】对于( t ，z ) 【t k 一1 ，“) 舻，v ( t ，z ) 的d i n i 倒数定义为 d + v ( t , x ) = 牌s u p h v ( t + h 7 x + m ，$ ) ) 一眦z ) 】 引理2 2 1 【7 3 】假设存在v v o ，叫1 ，叻k 妒k + 和日e ，使得 p j 埘1 ( 1 1 ：e 1 1 ) sv ( t ，z ) 毗( 1 l z i i ) ，当( t ，z ) 【t o ，+ o o ) 品； 例对于所有的z 昂。，0 0 和a 0 ，使得对所有的 k = 1 ，2 ，和p 0 ，使得 l t k t k 一1 2 和 乞，南一e 。小脚a 则方程偿2 j ，的零解是一致渐近稳定的 第三章节点含时滞的一般复杂动力网络的鲁棒脉冲同步 近年来，复杂动力网络控制下的同步在理论研究和实际应用方面都已经成为了 个相当重要的研究课题在已有的结果中，一些作者基于网络拓扑的直觉信息， 通过对复杂动力网络引入少数的线性反馈控制器研究它们的控制问题，其中控制下 的同步态是齐次系统的个特解【5 9 l ；而些作者基于些数学分析，通过对复杂 动力网络引入单个控制器研究同样的问题【6 1 】进一步地，这些控制策略已经被推 广到处理非对称耦合时滞的一般复杂动力网络【吲 另方面，在过去的几年中，脉冲控制策略已经被广泛地应用于稳定和同步耦 合混沌动力系统，由于它比一般的连续控制方案更具潜在的优势在一些实际的应 用中，例如在耦合混沌动力系统的同步中，脉冲同步方法是有效和鲁棒的另 外，脉冲控制器一般具有相对简单的结构最近，利用脉冲控制策略，复杂动力网 络的鲁棒同步已经得到了研究，并获得了保证不确定复杂动力网络及耦合时滞神经 网络鲁棒脉冲同步的几个充分条件【7 0 一讫, s o - s 2 在本章中，我们将进一步研究非对称耦合的节点含时滞的复杂动力网络的鲁棒 脉冲同步问题通过利用脉冲时滞动力系统的稳定性理论【7 3 8 4 _ 8 5 】，获得了保证控 制任意给定的时滞动力网络到一个期望的同步态的一些简单而又一般的网络同步 化准则不同于先前的研究结果 7 0 , 7 2 ，8 0 - 8 2 】，这里控制的同步态，依据实际控制策 略的目的，可以选取为网络中所有节点状态的一个权重平均这个结论表明动力网 络中的每个节点可以通过它的权重影响网络的同步进一步地，通过对由混沌时滞 h o p f i e l d 神经网络为动力节点所构成的网络的数值模拟，验证了所获理论结果的正 确性另外。我们还研究了不确定的节点含时滞的复杂动力网络的鲁棒脉冲同步， 其中网络的耦合方式可以是线性的或非线性的，甚至可以是未知的 3 1 动力学模型 考虑一个由n 个恒同的非线性时滞动力系统以线性扩散排列耦合的形式组成 的一般复杂时滞动力网络，整个网络的状态方程可以描述为 3 6 , 5 9 , 6 3 , 7 5 - - 7 7 , 7 9 赢( t ) = y ( t ，甄( t ) ，戤( t 一7 - ) ) + c b i j r x j ( t ) ， i = 1 川2 一，n ( 3 1 1 ) j = l 】3 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 其中甄( t ) = ( z n ( t ) ，x i n ( t ) ) t 彤为第i 个耦合时滞系统的状态变量； ，： r 舻舻一舻为连续的向量值函数；丁 0 为时滞常数；常数c 0 代表耦 合强度；内部连接矩阵r 0 为对称正定矩阵；耦合矩阵b = ( b ) n 代表整个 网络的拓扑结构，其中b r 定义为t 若节点j 到节点i ( i j ) 存在连接，那么 幻 0 ；否则，幻= o 不失一般性，我们进一步假设耦合矩阵j e i 满足下面的性 质t n b = 0 ，i = 1 ，2 ，n ， ( 3 1 2 ) j = l 及r a n k ( b ) = n 一1 正如【6 1 ，7 5 ，7 6 】所述的，耦合矩阵j b 可以看作是具有一颗生成树的权重图的 l a p l a c i a n 矩阵并且它有单重特征根零注意，这里耦合矩阵b 没有假定为对称的 或不可约的显然，网络( 3 1 1 ) 是【3 6 ，5 9 ，6 3 ，7 5 7 7 ，7 9 】中所讨论的模型的推广 它也是一个无穷维的非自治时滞动力系统 下面我们考虑动力网络( 3 1 1 ) 中的个孤立的动力系统这个动力系统可由 如下礼维时滞微分方程描述一 圣( ) = f ( t ，z ( t ) ，x ( t 一7 - ) ) = a x ( t ) + a ( t ，z ( t ) ，x ( t 一丁) ) ，( 3 1 3 ) 其中z ( t ) = ( x l ( t ) ，x n ( ) ) t 舻，a 胛n ，向量值函数g ( t ，z ( ) ，x ( t 一7 ) ) = ( g l ( t ，z ( t ) ，x ( t r ) ) ，鲰( t ，z ( t ) ，x ( t 一下) ) t 舻在本章中，我们总是假定向量 值函数g ( t ，z ( t ) ，x ( t r ) ) 关于时间t 满足一致l i p s c h i t z 条件，也就是， ( a 1 ) 对于任意的z ( t ) = ( x l ( z ) ，x n ( t ) ) t 舻，u ( t ) = ( u l ( t ) ，蜘( t ) ) t 尼。，存在常数 0 ，和b 0 使得 i 仇( t ，z ( t ) ，x ( t 一7 - ) ) 一g i ( t ，y ( ) ，y ( t 一丁) ) l s ( k i j l x j ( t ) 一协( t ) i + 幻啪一丁) - y j ( t - r ) i ) ，t = ”一，n ( 3 1 4 ) j = l 注3 1 1 可以验证，以式p f 纠和p 1 4 ) 的形式所表示的系统包括几乎所有具有 时滞和没有时滞的混沌动力系统，如著名的l o r e n z 系统、c h u a 电路系统、 c h e n 系统以及时滞m a c k e y g l a s s 系统、时滞l k e d a 方程、时滞h o p f i e l d 神经网络和时 滞细胞神经网络( c n n s ) 等等 5 2 , s 0 - 8 2 】 1 4 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 本章的主要目标是设计和实施合适的脉冲控制器 圮阢k ( t ，z ( 坛) ，z ( 坛) ， s ( t ) ) ) ，使得时滞动力网络( 3 1 1 ) 所有节点的状态鲁棒渐进地同步到一个期望的同 步态s ( ) ，即对于动力网络( 3 1 1 ) 所有的解甄( ) ，i = 1 ，2 ，满足 t 羔乳蚓) 一s ( ) i l = 0 ，i = 1 川2 一，n ( 3 1 5 ) 这里期望的同步态s