（应用数学专业论文）拟样条的几点研究.pdf

摘要 为了构造高逼近阶的紧小波框架，d a u b e c h i e s ，h a n ，r o n 和s h e n 引入了一 型拟样条与此同时，s e l e s n i c k 也独立地介绍了一型拟样条从考虑对称性的角度 出发，d o n g 和s h e n 构造了二型拟样条拟样条提供了很多新的细分函数它包含 了插值细分函数，正交细分函数和b 样条作为特例h a n 和s h e n 利用拟样条的面 具构造了一系列紧支集c o o 的非固定细分函数并发展了一套与之对应的非固定紧 小波框架的理论本文研究了拟样条的几个性质，主要从以下几个方面展开； 拟样条的正则性： 构造对称复拟样条，通过复拟样条，我们构造l 2 ( r ) 中具有高逼近阶的对称 或逆对称紧小波框架； 结合拟样条和箱样条这两个定义，我们定义了拟箱样条，拟箱样条是拟样条 从一维到高维的一个自然的推广； 通过拟样条的面具，构造对称c 非稳定紧支集复拟样条和拟箱样条 另外我们研究了无限支集面具在己2 ( r ) 空间中的细分算法收敛性同时，我 们证明了对于一类无限支集具有h s l d e r 连续性的面具，我们都能构造无限支集的 r i e s z 小波基对于给定的非齐次细分方程，我们给出一个一般算法，通过这个算 法，我们对非齐次细分向量的每个分量的支集都做出了精确的估计 关键词：小波基，复小波，多尺度分析，拟样条，拟箱样条，非稳定细分函数 a b s t r a c t t l l ef i r s tt y p eo fp s e u d os p l i n e sw e r ei n t r o d u c e db yd a n b e c h i e s ，h a n ，r o na n d s h e nt oc o n s t r u c tt i g h tw a v e l e t sf r a m e sw i t hh i g ha p p r o x i m a t i o no r d e r t h e y 骶r e i n t r o d u c e db ys e l e s n i c ki n d e p e n d e n t l y c o n s i d e rs y m m e t r y , d o n ga n d s h e nc o n - s t r u c t e dt h es e c o n dt y p eo fp s e u d os p l i n e s p s e u d os p l i n e sp r o v i d e sar i c hf a m i l y o fr e f i n a b l ef u n c t i o n b - s p l i n e s ，o r t h o g o n a lr e f i n a b l ef u n c t i o n sa n di n t e r p o l a t i o n r e f i n a b l ef u n c t i o i l sa r es p e c i a lc a s e so fp s e u d os p l i n e s w i t ht h em a s k so fp s e u d o s p l i n e s h a na n ds h e nc o n s t r u c t e dc n o n s t a t i o n a r yr e f i n a b l ef u n c t i o n s w i t hc o m p a c ts u p p o r ta n dg i v eac o m p l e t ea n a l y s i so fn o n s t a t i o n a r yt i g h tw a v e l e t sf r a m e s i nt h i sp a p e r w ei n v e s t i g a t es o m ep r o p e r t i e so fp s e u d os p l i n e sa sf o l l o w i n g , g i v ear e g u l a r i t ya n a l y s i so fp s e u d os p l i n e s ； c o n s t r u c ts y m m e t r i cc o m p l e xp s e u d os p l i n e sa n ds y m m e t r i co ra n t i s y m m e t r i c c o m p l e xt i g h tw a v e l e t sf r a m e sw i t hh i g ha p p r o x i m a t i o no r d e r i nl 2 ( r ) ； c o m b i n et h ed e f i n i t i o n so fb - s p l i n e sa n db o xs p l i n e s ，w ed e f i n ep s e u d ob o x s p l i n e s p s e u d ob o xs p l i n e sa r eo n em u l t i v a r i a t eg e n e r a l i z a t i o no fu n i v a r i a t e p s e u d os p l i n e s w i t ht h en 瑚妇o fp s e u d os p l i n e s ，w ec o n s t r u c tn o n s t a t i o n a r ys y m m e t r i cc c o m p l e xp s e u d os p l i n e sa n dp s e u d ob o xs p l i n e s m o r e o v e r ，w ei n v e s t i g a t et h ec o n v e r g e n c e o fc a s c a d ea l g o r i t h ma s s o c i a t e dw i t h t h em a s k sh s l d e rc o n t i n u o u s w ec o n s t r u c tr i e s zw a v e l e tb a s e si nl 2 ( r ) w i t hf a s t d e c a y w ea l s oi n v e s t i g a t et h es u p p o r to fa r e f i n a b l ev e c t o rs a t i s f y i n ga l li n h o m o - g e n e o u sr e f i n e m e n te q u a t i o n b yu s i n gs o m e m e t h o d si n t r o d u c e db ys oa n dw a n g ， a ne 8 t i m a t ei s 西v e nf o rt h es u p p o r to fe a c hc o m p o n e n tf u n c t i o no fac o m p a c t l y q u p p o r t e dr e f i n a b l ev e c t o rs a t i s f y i n ga n w i t hf i n i t e l ys u p p o r t e dm a s k s i n h o m o g e n e o u sm a t r i xr e f i n e m e n te q u a t i o n v v 1 k e y w o r d s w a v e l e t sb a s i s ，c o m p l e xw a v e l e t s ，m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，p s e u d o s p l i n e s ，p s e u d ob o xs p l i n e s ，n o n s t a t i o n a r yr e f i n a b l ef u n c t i o n 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得逝姿盘鲎或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：签字同期：年月同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解迸姿盘堂有权保留并向国家有关部门或机构送交本 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权逝婆盘茔可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：年月日签字日期：年月日 致谢 值此论文完成之际，谨在此向多年来给予我关心和帮助的老师，同学，朋友和 家人表示衷心的感谢! 我衷心地感谢导师李松教授，沈佐伟教授多年来对我的悉心指导与不倦教诲 李老师渊博的知识，严谨的科学态度，对真理的孜孜以求，对学生的极高责任心和 无微不至的关怀使我受益匪浅，我的一点一滴进步都与这些分不开，而且这些也 是我人生的宝贵财富，将成为我工作和学习中永远汲取的营养感谢沈老师将我 带入拟样条这一极具兴味的学术领域，让我学到很多思考问题的方法，体验所学术 带来的快乐与激情在李老师和沈老师的关心和指导下，我学到了很多小波分析的 理论知识，度过了求学生涯并完成了这篇论文衷心地感谢李老师和沈老师! 衷心地感谢潘祖梁，方道元，贾荣庆，周定轩，韩斌等老师在科研上对我的指教 和启迪和他们的交流，包括个人主页，学术报告以及课程讲义，使我获益良多特 别感谢莫群老师几年来对我生活科研各方面的帮助与启迪。 衷心感谢中国浙江大学和新加坡国立大学的合作项目，感谢新加坡国立大学 及数学系的友好接待感谢朱成波，沈立新，纪辉，潘素起，许字宏，董彬，庄晓生， 赵伟，赵汗青，吴刘臻等的许多帮助 我还要感谢我的师兄弟妹，他们是胡瑞芳，刘志松，王国卯，冼军，苑瑞玲，潘 雅丽，李娜，倪凯，杨建斌，孙娟娟，陈伟，郑瑜，康风代，金晶，李萍，张骁雅与他 们的讨论和交流让我在学 - - j 和生活上受益，充实，快乐感谢我的很多同学朋友，他 们在生活上和工作上给予我很多支持和帮助他们是潘建江，沈守枫，张挺，朱晓 睿，王成波，钟思佳，孙佳蕾，尚绪凤，方琳，傅可昂，张亮，柴劲松，翁逻瀛，杨晓奎， 陈优优，张启迪，屠子恒，谢剑，项燕彪等同学感谢我的几位室友：李太龙，陈平和 任平平 谨把本文献给我的父母和夏琦 第一章绪论 1 1引言 小波分析思想萌芽于1 9 3 0 年至1 9 8 0 年，但是直到上个世纪8 0 年代初，m o r l e t 和a r e n s 等人才首次提出了“小波这个概念m o r l e t 当时的主要工作是通过分析 由爆破方法产生的人造地震数据来探知地下石油的分布层，即如何从地震反射信 号中提取有用的信号信息但是，在探测高频时，假如送到地下的可调脉冲波持续 时间太长，便不能用来分辨密聚的地层结构因此，m o r l e t 认为不能始终发射相同 的波长，在探测高频时应发送更短的波，这种由单个函数伸缩得到的波就是小波 1 9 8 1 年，m o r l e t 在对傅立叶变换和短时傅立叶转换的异同，特点及函数构造进行 创造性研究的基础上，首次提出了“小波分析”的概念，给出了以他命名的m o r l e t 小波，该小波在地质数据处理中取得了非常大的成功然而对于身为一名理论物理 学家的g r o s s m a r m ，他在量子物理中的工作跟m o r l e t 的方法有着很多的相似性 在g a b o r 之后的将近4 0 年，m o r l e t 与g r o s s m a n n 重新鼓动了理论物理学与信号 处理领域专家的合作，使所谓的连续小波变换得以产生但是，这些对于从事调和 分析的数学家以及致力于计算机视觉中多尺度图像处理的研究者而言，这些观念 并不是全新的不同知识背景不同领域的科学家一起交流，使各个不同领域的研究 重新融合，从而发展了小波理论之后，m e y e r 对m o r l e t 的方法进行了深入系统的 研究，为小波分析的诞生和发展做出了极为重要的贡献，使小波分析取得突破性的 进展然而，当从事计算机视觉与图像分析的研究者m a l l a t 与数学家m e y e r 进行 合作之后，使得小波的发展有了一个更大的飞越他们共同提出了多尺度分析的理 论框架，这就使得以前提出的各种构造小波的方法得到了统一，成为小波构造的通 用的框架；而且，统一了各种信号处理的方法而d a u b e c h i e s 在多尺度分析的基础 上，构造了连续的紧支集正交小波，使小波有了再一次的突破性进展小波变换联 系了应用数学，物理学，计算机科学，信号与信息处理，地震勘探等多个学科数学 家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析，f o u r m r 分析，数值分析的 完美结晶；信号和信患处理专家认为，小波分析是时问一尺度分析和多分辨分析的 一种新技术，它在信号分析，图像识别，计算机视觉，数据压缩，地震勘探等方面的 研究都取得了有科学意义和应用价值的成果 1 2 1 2 小波系统 1 2 小波系统 对于一个给定的l 2 ( r d ) 中的紧支集函数矽，我们定义它的伸缩和平移如下 锄，七：= 2 j a 2 矽( 一) v j z ，k z d 令皿是l 2 ( r d ) 中有限个函数的组成的集合我们定义由小波母函敷皿生成的小波 系统如下 x ( 皿) ：= 奶，k ：矽皿，j z ，k z d 小波系统可以是l 2 ( r d ) 空间中的一组正交基，r i e s z 基或者框架最简单的小波母 函数就是h a a r 小波，它最初是由数学家h a a r 在1 9 1 0 年提出来的 在本文的讨论中，我们研究从多尺度分析( m r a ，出发得到的小波函数1 9 8 6 ， m e y e r 和m a l l a t 提出了多尺度分析这个概念令 k ) j z 是l 2 ( r d ) 中的一族闭线 性子空间，如果我们有 ( a ) cv _ jc cv - icv oc c c kc ； ( b ) n j z 巧= o ) 且屿z v j 在l 2 ( r d ) 中稠密； ( c ) f v o 当且仅当f ( 2 j ) k ； ( d ) 存在一个紧支集的函数l 2 ( r d ) 使得 v o = s ( ) = s p a n ( c ( 一后) ) 七z d 我们称闭子空间族 巧b z 构成三2 ( r d ) 的一个m r a 注意到v oc ，我们 有如下的细分方程 = 2 d 口( 七) ( 2 一七) ， ( 1 2 1 ) k c = z d 其中a 是定义在z d 上的序列，称为细分面具，简称为面具满足细分方程( 1 2 1 ) 的函数咖，我们称之为细分函数在本文的讨论中，如无特别说明，我们总是假设 面具a 是有限序列且满足a ( o ) = 1 。 细分函数是紧支集函数，满足参( o ) = 1 浙江大学博士学位论文 3 在上面的假设下，对于一个属于l 2 ( r d ) 中的紧支集细分函数，定义 v o = s ( ) ，巧：= ，( 掣) ：，v o ) ， j z 则 巧) j z 构成一个多尺度分析 对( 1 2 1 ) 两边做f o u r i e r 变换，我们可以得到 参( 2 ) = 砺( 1 2 2 ) 对上式的右边做迭代，得到$ = 兀暑1a ( 2 一j ) 这个等式意味着：细分函数可以由面 具唯一确定 1 5 】 对于给定的细分函数，选择适当的有限序列 玩，冬1 ，我们可以定义小波系统 皿：= 矽l ，e l ，其中， 讥( 2 ) ：= 玩，i = 1 ，l ( 1 2 3 ) 对于给定的细分函数及其对应的面具，当我们选择不同的有限序列 6 t 怎1 ，我们 可以得到正交小波基，r i e s z 小波基，小波框架等等这三类小波系统有各自的特 点，在实际应用中起着不同的作用( 参见【9 ，1 5 ，6 8 】等) 1 3拟样条 由上面的讨论我们知道，寻找细分函数以及由已给细分函数出发构造小波函 数是小波分析理论的基本内容下面我们介绍一类新的细分函数：拟祥条 对于七z ，我们用氏定义d i r a c 序列：南= 1 且以= 0 对于所有k 0 我 们称一个连续函数是插值的，如果( 七) = 氏对于所有的k 我们称一个函数 和它的整数平移是正交的，如果 缈( 一k ) = 如 阶b 样条可以通过其f o u r i e r 形式定义如下， 菇( u ) = e f s i n u ( w 2 2 ) 、a n d 酬= e 半c o s ( 蝴w 6r , 其中，当n 是偶数时j = 0 ，当n 是奇数时j = 1 4 1 3 拟样条 拟样条是定义在己2 ( 酞) 上的紧支集细分函数它是通过面具由( 1 2 2 ) 以 f o u r i e r 变换的形式定义的拟样条给人们提供了很多新的细分函数它包含了插 值细分函数，正交细分函数和b 样条作为特例对于给定的正整数n ，f n 其中 l n 记 晰卜柰( j ) 一型( n ，1 ) 阶拟样条的面具定义如下： 1 确1 2 ：= c o s 2 ( 2 ) p n ，t ( s i n 2 ( 2 ) ) ( 1 3 4 ) 因此，通过f e j 6 r - r i e s z 引理可知由l 五、1 1 2 开方可以得到实系数三角多项式1 面豇 二型( n ，1 ) 阶拟样条的面具定义如下： 葡：= i 葡1 2 (1352anl l a n 13 ) ，：= i，1 1 【) 当z = 一1 时，一型拟样条是 1 5 】中定义的d a u b e c h i e s 正交细分函数，二型拟样 条是f 2 5 1 中定义的插值细分函数当2 = 0 时，两个类型拟样条是b 样条 1 】其他 阶的拟样条则从某种意义上实现了从正交细分函数到b 样条的过渡，以及从插值 细分函数到b 样条的过渡为了构造高逼近阶的小波紧框架，d a u b e c h i e s ，h a n ， r o n 和s h e n 在2 0 0 3 引入了一型拟样条f 1 6 1 与此同时，s e l e s n i c k 也在 8 1 】中独 立地介绍了一型拟样条在【2 4 】中，d o n g 和s h e n 引入了二型拟样条如何刻画拟 样条的正则性并不是一个简单的问题，甚至对于它的特殊情况：d a u b e c h i e s 正交 细分函数，都没有一个理论性的证明【1 5 】四位学者在提出一型拟样条这一概念 时，也只对其中的几个特殊情况做了分析 1 6 】在【2 4 】中，两位作者对拟样条的正 则性做了完美的刻画关于正则性分析的相关工作，还可以参见 6 9 】从拟样条出 发，d o n g 和s h e n 他们构造了l 2 ( r ) 中的r i e s z 小波基，对称紧小波框架线性无 关是紧支集细分函数的一个重要性质，这个性质和多尺度分析，s u b d i v i s i o n 算法 收敛都有密切的关系d o n g 和s h e n 证明了对于任意的拟样条，它的整数平移都是 线性无关的f 2 3 1 细分函数的整平移线性无关是其否存在对偶的充分必要条件在 f 2 3 1 的基础上，对任一拟样条d o n g 和s h e n 构造了它的对偶【2 2 】d y n ，h o r m a n n ， s a b i n 和s h e n 将二型拟样条面具的系数用于s u b d i v i s i o n 算法，得到任意阶多项式 的重构 2 0 】在实际应用中，支集大小和光滑性是两个非常重要的，然而对于传统 的细分方程，c o o 和紧支集是两个相矛盾的性质 1 5 1 为了得到紧支集c 函数 生成的多尺度分析，h a n 和s h e n 在 1 3 】的启发下，利用拟样条的面具构造了一系 浙江大学博士学位论文 5 列紧支集c 的非固定细分函数并发展了一套与之对应的非固定紧框架的理论 【3 8 ，3 9 】 1 4 本文的主要内容 本文关心的是，从拟样条出发构造的对称紧小波框架及其相关性质，例如正则 性，逼近阶等等主要从四个方面作了研究：拟样条的正则性证明，对称复拟样条的 存在性，拟箱样条，非固定拟箱样条它们分别在第二，三，四，五，六章中予以讨论 在第二章中，我们首先介绍一些熟知的定义和定理在后面的讨论中，我们将 主要研究第二章涉及到的小波性质 在第三章中，我们用不同的方法证明了l e a l 中的性质3 2 性质3 2 是分析拟 样条正则性的关键所在在证明的过程中，我们构造了一些辅助多项式并利用了凸 函数的一些性质幸运的是，证明过程中的几个引理后来被用于证明对称复拟样条 的存在性 一般来说，一型拟样条是不对称的对于其中的特殊情况：d a u b e c h i e s 正交细 分函数，h a l l 证明了，当n 是奇数时，我们可以得到对称复d a u b e c h i e s 正交细分 函数【3 1 】受到h a i l 工作的启发，我们在第四章中证明了，当l 是偶数时，我们可以 得到对称复拟样条通过复拟样条，我们构造了对称复紧小波框架： 紧小波框架的逼近阶为m i n n , 2 1 + 2 ) 小波函数有z + 1 阶消失矩 小波函数是复对称紧支集函数 其中一个小波函数的平移和正交构成l 2 ( r ) 中的r i e s z 1 , i 皮基 在第四章中，我们还讨论了复小波的一些基本性质：整平移线性无关性，正则性等 等我们构造了复拟样条的对偶复细分函数，通过复拟样条和它的复对偶，我们可 以得到一对复对偶r i e s z 小波基，同时我们还得到一对实对偶小波框架 在第五章中，我们讨论了结合箱样条和拟样条，定义了拟箱样条拟箱样条是 拟样条从一维到高维的自然推广我们讨论了拟样条的一些基本性质，主要分析了 它的稳定性和正则性最后我们证明，通过拟箱样条可以构造l 2 ( r d ) 中的高逼近 阶的紧框架 61 4 本文的主要内容 在第六章中，我们构造了非固定的复拟样条和拟箱样条，它是紧支集的c 非 固定细分函数从构造上来说非固定细分函数是传统的细分函数的推广，但我们仍 然可以构造多尺度分析及对应的紧小波框架和传统的紧小波框架相比，它的生成 小波是c 函数，并且有任意逼近阶 在第七章中，我们研究了无限支集细分面具在l 2 ( r ) 空间中的细分算法收敛 性同时，我们证明了对于一类无限支集具有h s l d e r 连续性的面具，我们都能构造 无限支集的r i e s z 小波基 在第八章中，对于给定的非齐次细分方程，我们给出一个一般算法，通过这个 算法，我们对细分向量的每个分量的支集都做出了精确的估计 第二章背景知识 2 1函数空间 本章主要介绍一些基本的定义和定理为了方便讨论，先引入一些通用的记 号z = ( x l ，x 2 ，x d ) r d 表示d 维欧氏空间r d 中的元素z y = 垒lx i y i 表 示欧氏内积，相应的h = 而是由欧氏内积诱导的欧氏范数 ( r d ) ，1 p 表示通常的l e b e s g u e 空间，即所有满足 盯忆p ：= ( 上d 抓圳p 如) v p ，1 p 的函数己( r d ) 表示所有本性有界的函数1 p ( z d ) 表示所有定义在z d 上的序列n 满足 、1 p j i n j l 知：= ( l a ( 后) i p ) 0 ，我们定义 s o b o l e v 空问为所有满足 i l f l l 缸孑( r , ) ：2 上。( 1 + ”) m ) 1 2 0 ，a = n + ，0 p 0 ， 则，c 口 2 2 框架和r i e s z 基 我们称一个l 2 ( r d ) 中的可数函数序列 纵) a a ) 勺b e s s e l 序列，如果对于任一 l 2 ( r d ) 中函数，存在常数b 使得， l ( ，肌) 1 2 b u l l 2 a a 一个小波系统x ( 皿) 称为l 2 ( r d ) 中的一个小波框架，如果存在常数a ，b 使得， a i i f l l 2 9 ) 1 2 b u l l 2 g x ( 皿) 当a = b = 1 时，我们称x ( v ) 为三2 ( r d ) 中的一个紧小波框架，即霍生成三2 ( r d ) 中的一个紧小波框架紧框架是标准正交基的推广但一般来说，紧框架中的元素 一般是线性相关的，也就是通常说的冗余性 如果皿：= 矽1 ，矽l ) ，画= 移1 ，移l ) 均生成三。( r d ) 中的一个小波框架， 并且对所有，g l 2 ( r d ) ，有 我们称皿，西构成l 2 ( r d ) 空间的一对对偶小波框架对于小波系统而言，一个工 程上非常关心的性质是小波母函数的消失矩我们称一个小波系统x ( 皿) 具有伽 茆蟛d蟛仃 剃弼 l m = 茆仃 浙江大学博士学位论文 9 阶消失矩，如果对于任意矽皿，移有m o 阶零点当小波系统用于刻画函数空间的 函数时，消失矩将直接影响刻画的效率【1 2 ，1 5 ，1 6 】 一个可数序列 纵) a 称为l 2 ( f ) ) 中的一个r i e s z 序列，如果存在常数a ， b 使得， i | a i l c f i i | 么纵l | a i i c l i ，vc e1 2 ( a ) i j a e a 另外，如果 纵) a a 的线性张成在l 2 ( r d ) 中稠密，则称 纵) a a 为l 2 ( r d ) 中的一 个r i e s z 基 如果x ( 皿) 是l 2 ( r d ) 中的一个r i e s z 基，我们称皿生成l 2 ( r d ) 中的r i e s z 小 波塞对于给定的皿：= 砂1 ，砂工，面= 莎1 ，多l ，我们称( x ( 皿) ，x ( 画) ) 是 l 2 ( r d ) 中的双正交小波基，如果 ( 1 ) x ( 霍) ，x ( 西) 是l 2 ( r d ) 中的b e s s e l 序列， ( 2 ) x ( 皿) ，x ( 面) 的线性张成在l 2 ( r d ) 中稠密， ( 3 ) ( 蟛，七，蟛，七，) = 西一r 毋。，氏一 v f ，f 7 = 1 ，三，歹，j z ，七，k z d 上面三个条件说明，x ( 皿) ，x ( 西) 是l 2 ( r d ) 中的r i e s z 基，因此，我们称( x ( 霍) ，x ( 西) ) 是l 2 ( x d ) 中的双正交r i e s z 小波基 框架和p d e s z 基有如下关系： 命题2 2 1 s a 设可数序列 纵) a 是l 2 ( r d ) 中的框架，则下面两个条件是等价 的 例 纵是三2 ( r d ) 中的r i e s z 一砂 纵) 是线性无关的，即 以纵= 0 ， 玖) 入a z 2 ( a ) 令c a = 0 va a a a 紧框架和标准正交基有如下的关系： 命题2 2 2 口彰给定紧框架x ( 皿) ，如果a = 1 ，且对于所有g x ( 皿) ，l i = 1 ， 则x ( 皿) 为如( r d ) 中的一个标准正交基 1 0 2 3 线性无关性 r i e s z 基和标准正交基有如下的关系： 命题2 2 3 设可数序列 纵) a a 是l 2 ( r d ) 中的r i e s z 基，g = ( 缈，a ) ，缈，a = ( g j ，纵) 设g 一1 2 = ( h j ， ) 则_ 【 ) 入a 便是l 2 ( r d ) 的一组标准正交基，其中 = h j 加a a a 2 3 线性无关性 在这一节，我们主要介绍稳定性和线性无关等概念对于一个细分函数来说， 稳定性和线性无关性是非常重要的性质例如，如果一个细分方程是稳定的，则它 所对应的s u b d i v i s i o n 算法在任意l p ( r d ) 函数空间中收敛，如果一个单变量的细分 方程存在任意光滑的对偶当且仅当该细分方程的整数平移是线性无关的 给定一个咖l z ( r d ) ，我们称砂的整平移是稳定的( 或简称咖是稳定的) ，如果 存在常数a 和b 使得 a i i c “i k e z dc c 尼，c 一尼，i i i i b i | c | l i | 对于所有有限序列c 当咖是一个紧支集函数的时候，上式中的第一个不等号自然 满足紧支集函数是稳定的，当且仅当 ( ( u + 2 丌后) ) 七z d 0 v u 酞d ，( 2 3 1 ) 这里0 代表z d 中的零向量【4 3 ，5 2 】 为了引入线性无关这个概念，我们定义i ( z d ) 上的子空间( ) ， w 卜 矧c z m 荟m 磁一沪。) 如果( ) = o ) ，我们就称的整数平移是线性无关的如果咖是一个紧支集广 义函数，r o n 在中 7 4 】证明，的整数平移是线性无关的当且仅当 ( ( e + 2 丌七) ) 融；z d 0v ( c d ( 2 3 2 ) 比较( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 发现，我们可以发现线性无关比稳定要强 浙江大学博士学位论文 2 4紧小波框架的逼近阶 在本节中，我们主要介绍构造2 ( r d ) 中紧小波框架的普遍方法：u n i t a r y e x t e n s i o np r i n c i p l e ( u e p ) 7 5 ，7 6 1 给定的紧支集细分函数咖及其面具a 如果存 在一组2 7 r 为周期的三角多项式b 一、x ，对于所有的 o ，1 d a 一+ 善l 茂丽= ： 偿4 通过( 1 2 3 ) 定义小波函数皿= 矽- ，妒l ) ，则x ( 皿) 构成l 2 ( r u ) 中间的一个紧 小波框架 注记2 4 1 从似彳剀易知，通过u e p 构造紧小波框架的一个, g 4 e 条件是，面具满 足： l a ( + 7 r ) 1 2 1 o ，l d 我们称一个函数西满足m 0 阶s t r a n g - f i x 条件，如果 氟o ) 0 ，及2 7 r 七) = 0 ，vk z 弋 o ) ，vi j l m o 我们定义一个紧小波框架的截断算子q n ： q 住：，一 ( ，仍，七) 奶，七( 2 4 4 ) c e q , ，k e z d ，j n 我们称紧小波框架x ( 皿) 提供m l 阶逼近阶，如果对于s o b o l e v 空间吩1 ( r d ) 中的 任何函数，有 l i ，一q n i i = 0 ( 2 一n 仇1 ) 如果一个由紧小波框架x ( v ) 是细分函数通过u e p 生成，且 砂满足m o 阶s t r a n g - f i x 条件， 1 一l a | 2 = 0 ( i i m 。) 则x ( 皿) 提供m 1 阶逼近阶，其中，m l = m i n m o ，m 2 ) f 1 6 第三章拟样条的正则性 本章主要证明【2 4 中的性质3 2 ，该性质是刻画拟样条正则性的关键步骤 3 1几个引理 在这一节中，我们证明四个引理，这些引理将被用于本章中的主要定理的证明 如果没有特殊的说明，我是总是假定 晰净壹( 肛于 ) 一j - - o 、 ， ， 其中n ，f 是给定的整数并且0 0 由p ( z ) 和9 ( z ) 定义，g ( z ) = ；：o c i d ( j ) x j ，其中d ( 亡) ：= ( 1 + 1 一、而) 2 + t ( 亡一1 ) 一2 t ( + 1 一、7 r f i ) 容易验证d ( t ) = ( 1 + 1 一、f 干1 一t ) 2 - t ， 因此d ( 1 + 1 ) = 0 = d ( z + 1 2 v 僵+ 1 。+ 1 ) 由此可知存在一个整数l 0 ，f 】，使得 1 6 3 2 主要定理证明 d ( j ) 0 对于歹= 0 ，三； d ( j ) 0 对于j = l + 1 ，1 对于某一项c f l ( j ) x j ，j = 0 ，z ，或者歹一l 小于等于0 或者c f l ( j ) 小于等 于0 因此夕( z ) z 山在( 0 ，+ ) 上递减如果g ( x o ) 0 对于某一个z o 0 ，则有 g ( z o ) z o l 0 因此，9 ( z ) z l 0 对于所有的z x o 即有，g ( x ) 0 对于所有 z x o 因此， p ( z ) ( z + 1 一、f 订) 2 + x 2 p ( x ) 2 叫( z ) ( z + 1 一、而) vz 陋o ，+ o o ) 即有 p ( z ) ( z + 1 一而) 2 p 2 p ，( z ) p ( z ) ( z + 1 一而) 2 vz 【+ o 。) 上面的不等式等价于p ( z ) ( z ) 沙( z ) 】2 对于z i x o ，+ 。o ) 因此函数l n p ( x ) 在 【x 0 ，+ ) 下凸由此我们可以得到对于z ，可【x o ，) ，l n p ( x ) + l n p ( y ) 2 1 n p ( 字) 即有( 3 1 7 ) 成立 口 3 2 主要定理证明 在本节中，我们首先陈述并证明本章的主要定理基于该定理，d o n g 和s h e n 刻画了拟样条的最优正则性 2 4 定理3 2 1 p ，z ( z ) p ，z ( i ) vx 0 ，；】， p ，l ( z ) p ，t 4 x ( 1 一z ) 】【p ，f ( 掰vz i ，1 】 ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 证明因为p ，l ( z ) 在【0 ，o o ) 上递增，( 3 2 8 ) 成立接下来我们证明( 3 2 9 ) 容易验 证对于所有z 【i ，1 】，4 x ( 1 一z ) 2 一z 因此我们只要证明 p r ( z ) p f ( ；一z ) p ，f ( i ) 2v x i ，1 】 ( 3 2 1 0 ) 另一方面，由引理3 1 3 和3 1 4 ， p ，l ( z ) p ，l ( y ) p ，f ( 宇) 2v x ，y ，1 】， 浙江大学博士学位论文 1 7 因此( 3 2 1 0 ) 成立综上，( 3 2 9 ) 成立 口 一个细分函数在f o u r i e r 域的中的衰减可以通过它的面具口刻画 定理3 2 2 口纠令a 为细分函数的面具，并具有如下形式 i a ( u ) i = c o s n ( 2 ) i c ( u ) i ，u 一7 r ，7 r 】 如果有 i c ( u ) l i c ( 虿2 7 1 ) l ，l u l 警； ( 3 2 1 1 ) l c ( u ) i f c ( 2 u ) f i c ( 誓) 1 2 ，等i u l 7 r 则i 参p ) i c ( 1 + i u i ) 一时尤，其中心= l o g ( 1 ( ；) 1 ) l o g2 ，并且这个衰减估计是最优 的 为了论文的完整性，我们对于拟样条正则性给出一个简短的证明二型拟样条 的面具可以写成 主石葡( u ) ：= c o s 2 ( u 2 ) j ) ，( s i n 2 ( u 2 ) ) 定理3 2 2 中的l c ( u ) i 就是p n ，z ( s i n 2 2 ) ) 刻画拟样条正则性的问题就转换为验 证定理3 2 2 中条件3 2 1 1 定理3 2 3 纠令2 咖为二型( n ，z ) 阶拟样条，则 i 彩( u ) l c ( 1 + i u i ) 一2 + k( 3 2 1 2 ) 其中，k = l o g ( p n ，t ( i ) ) l 0 9 2 令1 4 , 为一型( n ，f ) 阶拟样务，则 i 而( u ) i c ( 14 - i u i ) 一+ 一2 ， 证明令y = s i n 2 2 ) ，由定理3 2 1 ，我们有 p ，l ( y ) 尸，l ( i ) ，y 【0 ，3 4 直接计算可得 i c ( u ) i = p ，t ( s i n 2 ( u 2 ) ) = p ，f ( ) p ，l ( 3 4 ) = 尸，l ( s i n 2 ( 考) ) ，i u l 警 1 8 3 2 主要定理证明 同理， i c ( u ) f i c ( 2 u ) f= p ，, ( s i n 2 ( u 2 ) ) p ，, ( 4s i n 2 ( w 2 ) ( 1 一s i n 2 2 ) ) ) = p ，z ( ) 尸，z ( 4 ( 1 一) ) ( p ，l ( 3 4 ) ) 2 = ( p n ，t ( s i n 2 ( 吾) ) ) 2 ，孥l u i 丌 由定理3 2