（光学专业论文）玻色—爱因斯坦凝聚（bec）的现象及其热力学性质的研究.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 l l 玻色一爱因斯坦凝聚( b e c ) 的研究是当前物理学研究的一个新热点。自从1 9 9 5 、点 年美国的三个小组应用外势阱约束、激光冷却和蒸发冷却等先进技术分别在铷、锂、 钠原子蒸气中实现了爱因斯坦在7 0 多年前所预言的玻色一爱因斯坦凝聚以来，与b e c 相关的基础理论研究就越发显得必要而且正受到越来越多的关注。 在过去的几十年中，科学工作者从各个方面( 如系统温度t = 0 和t 0 ，基态和 激发态，散射长度a 0 和a 0 ，g r o u n ds t a t ea n d e x c f f a t i o ns t a t e ，s c a t t e r i n gl e n g t ha 0a n da 0 ) 的原子气体中 实现b e c ，而r i c e 大学的h u l e t 小组是在具有负散射长度( a 0 ，基态和激发态，散射长度a 0 和a 0 ，基态和激发 态，散射长度a 0 和a 0 ，外势阱的作用，空间维数的影响，粒子的运动特征，等 等) 对b e c 现象作了不同的探讨和研究。研究表明，在讨论b e c ( 自旋为零) 的热 力学性质时，外部势、有限粒子数、原子间的相互作用及空间维数是几个主要的影响 因素嘲。 1 9 9 5 年9 月，g r o s s m a n ns & h o l t h a u sm 洲研究了各向异性的三维谐振势阱中， 粒子数相当小的理想玻色系统的热力学性质。发现：有限粒子数导致凝聚温度互的下 华中科技大学硕士学位论文 降：当t 时，该效应增大了系统的热容；另外，有限粒子数效应虽然恢复了系统 热容的连续性，但在一个小的温度范内，热容仍下降得很快。 1 9 9 6 年1 月，k e t t e r l ew & v a n d r u t e nn j ( 6 5 1 利用巨正则统计分布研究了三维( 各 向同性) 和一维谐振势阱中粒子数有限的理想玻色气体的热力学性质，从而考虑了有 限粒子数对系统热力学性质的影响。结果发现：三维势阱中，临界温度z 少“低于热力 学极限( n m ) 时所得到的值p ；另外，降低维数可以提高临界温度( 我们知道， 在热力学极限的条件下，一维谐振势阱中是不可能形成b e c 的) ，这是有利于b e c 的形成的。 三维时， 等_ l - 熊芋胪小2 7 5 胪 ( 1 2 ) 一维时， 一t i f i n i t e 一_ 警丽n ( 1 s ) 1 9 9 6 年4 月，k i r s t e nk & t o m s dj 研究了各向异性的三维谐振势阱中理想气 体的b e c ，从定性与定量的角度比较了束缚全同系统与自由全同系统在热力学性质方 面的区别，从而考虑了外部势对系统热力学性质的影响。分析表明：束缚系统中不存 在文献【6 7 】中所定义的表征产生相变的临界温度，但仍具有一个确定的温度。在此温 度，比热达到最大值，我们可以把该温度看成b e c 产生时的特征温度。 1 9 9 6 年7 月，g i o r g i n is ，p i t a e v s k i ilp & s t r i n g a r is 呻利用基于p o p o v 近似的平均 场方法，计算了各向异性的三维谐振势阱中，粒子数为、存在排斥相互作用的玻色 气体的凝聚系数和临界温度与温度的关系，从而考虑了原子间相互作用对系统性质的 影响。研究表明：与无相互作用时的情况相比( 粒子数相同) ，凝聚系数与临冥温度 均有明显的降低。 华中科技大学硕士学位论文 孕叫3 3 - 暑- n 忡 ( 1 4 ) ca h o 其中口为三维s 波散射长度，o = ( 影m w ) i 2w = ( w x w y w ；) 们。 1 9 9 6 年l o 月，h a u g s e tt h a u g e r u dh & a n d e r s o n jo ”9 喇用e u l e r - m a c l a u r i n 近似 方法研究了囚禁在三维各向异性谐振势阱中理想玻色系统的凝聚系数和比热。结果表 明：对于粒子数有限的玻色系统而言，不存在相变，但仍存在定义明确的临界温度( 参 看文献 6 6 】) ；同时也讨论了大极限和粒子数有限时，一维和二维势阱中的情况。 1 9 9 7 年8 月，h a u g s e tt & h a u g e r u dh 1 7 0 1 讨论了一维和二维谐振势阱中，粒子数 很少的、有相互作用的玻色子系统。通过对多体哈密顿量的精确数值对角化：确定了 低激发态的能量、基态的能量以及密度型，得到了它们对g ( 由三维s 波散射长度a 决定的相互作用耦合常数) 和粒子数| v 的依赖关系；并计算了比热。 1 9 9 9 年5 月，李明哲，陈丽璇，陈金灿，严予浚和陈传鸿惭1 研究了任意维谐振势 阱中，粒子数有限的理想玻色气体。结果发现：对于低能激发态，有限粒子数对凝聚 系数和临界温度的影响更加明显，且外部势的不对称性可以增强这些效应。 丝：l f 一 n、t ：。 等= c 争4+ 墨2 9 艘d ( i 翌k a t ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 一t f r o a e 一茄嘉 乃 2 0 0 0 年4 月，刘淑鹃等人研究t - - 维各向异性谐振势阱中非理想玻色气体的热 力学性质。利用对巨正则系综求和与平均场方法，同时给出了原子间相互作用与有限 9 一r 。_j 一纽 华中科技大学硕士学位论文 粒子数对系统热力学性质的修正。 所有这些结论都表明：外部势、有限粒子数、原子间的相互作用及空间维数的确 是影响b e c ( 自旋为零) 热力学性质的主要因素。 1 4 我所做的工作 在已经取得的这些结果中，他们有的只考虑了外部势对系统热力学性质的影响 呻l ；有的虽然考虑了外部势和有限粒子数的影响，但没有考虑维数和原子间弱相互作 用的影响 6 4 1 ；有的考虑了外部势和原子间弱相互作用的影响1 6 8 1 ，但又没有考虑维数和 有限粒子数的影响；有的考虑了维数、有限粒子数和外部势的影响，但没有计及相互 作用的影响啪”“9 1 ；文献 7 1 1 倒是同时给出t ； t - 部势、有限粒子数和相互作用对三维 系统热力学性质的修正，但没有考虑低维时的情况。我们知道，在实际的实验中，外 部势、有限粒子数和原子间相互作用都是客观存在的，并且会对实验结果产生显著的 影响；另外，虽然到目前为止所报到的实验均是在三维系统中实现的，但利用光学偶 极阱或者高度各向异性的磁阱，我们可以在低温条件下，使某一维或某两维方向上的 谐振子“冻结”，从而得到实验上可以实现的准二维和准一维系统，而且低维系统与 通常的三维系统相比具有一些特殊的性质( 也就是说维数对系统性质的影响不能忽 略) 。因此不论是从理论研究的角度，还是从将来的实验发展角度来说，研究低维系 统中外部势、有限粒子数和相互作用对系统性质的共同修正都是很有必要的。由于篇 幅有限，我们将在以上工作的基础上，利用最简单的平均场近似一h a m e e f o c k 理论 与巨正则系综的求和方法讨论低维谐振势阱中粒子数有限的非理想玻色系统的热力学 性质。我的工作主要是以下几个方面： 1 总结了三维自由理想玻色气体的基本热力学特性，讨论了低维( 一维和二维) 自 由理想玻色气体的基本热力学量，并对这三种情况进行了分析比较。 2 分别讨论了在热力学极限和粒子数有限这两种条件下，三维和低维( 准一维和准 二维) 谐振势阱中理想玻色系统的热力学性质。 o 华中科技大学硕士学位论文 3 研究了三维和低维谐振势阱中，粒子数有限的、具有弱相互作用( 只讨论了排斥 相互作用) 的玻色系统的基本热力学特性，同时给出了有限粒子数和相互作用对 系统热力学性质的共同修正。 华中科技大学硕士学位论文 2自由理想玻色气体理论 本章回顾了玻色一爱因斯坦凝聚的基本原理，总结了三维自由理想玻色气体的基 本热力学特性，计算了低维( 一维和二维) 自由理想玻色气体的基本热力学量，并对 这三种情况进行了分析比较。 2 1三维自由理想玻色气体的玻色一爱因斯坦凝聚旧 我们首先计算玻色一爱因斯坦凝聚温度i ，然后研究当t 驴r = 萼峨嚣 魄湍 g 式( 2 9 ) 指出，当t - + o 时，g _ o ；， 3 r 2 。再考虑到温度很高时，由于b e 分布过渡到m b 分布，从而 有g = 3 r 2 ，于是自由理想玻色气体的定容热容量随温度的变化情况可用图2 - 2 表 示。如果把，= 瓦时看成是发生了某种相变，则这种相变是g 连续而g 的导数不连 续，所以这种相变应属于三级相变。 图2 - 2 热容随温度的变化图 华中科技大学硕士学位论文 2 2 二维自由理想玻色气体的玻色爱因斯坦凝聚 与2 1 节讨论的步骤一样，我们首先计算玻色一爱因斯坦凝聚温度。 自旋为零的玻色子能量为占= p 2 2 m ，此时在占占+ d 占之间玻色子的单粒子态数 为 g ( 6 ) d 6 = 2 石脚= 事2 石m d 占 ( 2 1 2 ) 则玻色气体的总粒子数可表示为 = 肌占) 如= 竽f 南 ( 2 1 s ) 与三维时的情况一样，化学势随温度的降低而升高，当温度降到某一临界温度碍。时， 将趋于零，( 2 1 3 ) 式不再成立，所以巧。就是( 2 1 3 ) 式成立的最低温度，也就是总粒 子数和体积一定下开始发生b e c 的温度。将t = 巧d ( p 。) = o 代入式可确定z 。 = 孚f 忐 从而得到 z o = 0( 2 1 5 ) 也就是说，二维自由理想玻色系统中不可能产生玻色一爱因斯坦凝聚。 2 3 一维自由理想玻色气体的玻色一爱因斯坦凝聚 与2 2 节类似，我们还是首先计算玻色一爱因斯坦凝聚温度。 自旋为零的玻色子能量为占= p 2 2 m ，此时在占一- 占+ d 占之间玻色子的单粒子态数 为 6 华中科技大学硕士学位论文 删址鲁勿= 延学占啪如 ( 2 1 6 ) 门z 九 则玻色气体的总粒子数可表示为 = 肼咖( 批= 1 ( 2 m ) 广w l c o ( 2 1 7 ) 将r = 霉o ，( 霉o ) = o 代入( 2 1 7 ) 式可确定乏。 = ( 2 m ) v 2 l f 2 h 畿1 皂 、d ：“一 、t 从而得到 甲=0(z19) 所以存一维自由理想玻色系统中也不能产牛玻仁一爱因斯蝈凝聚。 2 4 分析与讨论 由( 2 4 ) ，( 2 1 5 ) 和( 2 1 9 ) 可知，对于三维自由理想玻色系统来说，只有当 呻。d ，y 斗c o ，且n v 为一有限常数时，该式才有意义，也就是说三维条件下的结果 只在热力学极限的条件下成立；而在一维和二维的条件下，系统中根本不可能产生玻 色一爱因斯坦凝聚。 1 7 华中科技大学硕士学位论文 3 谐振势阱中的理想玻色气体 到目前为止，在实现了b e c 的实验中【3 4 】，玻色气体并非自由的，而是处于有外 势约束的情况，因为各组都采用先进的实验技术实现不同构型的磁陷阱，提供紧的、 稳定的约束，以抵消样品中粒子数的损失。不过由于气体十分稀薄，仍可近似视为理 想的，而且绝大部分实验中所用的束缚阱都可以很好地近似为谐振势阱。因而研究处 于简谐势阱中的理想玻色系统的性质是很有必要的。本章计算了简谐势阱中的理想玻 色气体的热力学量，并考虑了维数及有限粒子数的影响。 3 ，1 三维谐振势阱中的理想玻色气体m 】 3 1 1凝聚系数与临界温度( 热力学极限) 为讨论普遍的谐振势下理想玻色气体的特性，我们设谐振势为 ( 尹) = 要( 以z 2 + w ；y 2 + w 2 9 2 ) ( 3 1 ) 则气体粒子的单体哈密顿为 h = p 2 2 m + 罢( 征x 2 + w 2 y y 2 + 以= 2 ) ( 3 2 ) 式中x ，y ，z 为粒子的坐标，p 为粒子的动量，w ，w ，w ：为谐振势的轴向频率。根据玻 色一爱因斯坦分布( b e 分布) 可知，总粒子数n 应为基态粒子数n 。与激发态粒子 数的总和 = 0 + e 南圭o + 吉鹄( ，3 ) 其中d3 r = d x d y a z ，为化学势。联立( 3 2 ) 和( 3 3 ) ，并注意到 华中科技大学硕士学位论文 南= 挈舶7 4 ， = f ( 3 ) = 1 2 0 2( 3 5 ) 便可求出临界温度与总粒子数和轴向频率间的关系为 掣= 等c 尚班 ( 3 6 ) 其中f ( x ) 为黎曼z e t a 函数，h = 形2 石，w = ( 比w 。w z ) 驰是谐振频率的几何平均。 当t p 时，玻色气体的内能为 u ( t 掣) = 等 由上式可得 又因为 毗丁( 等) ，芝眺r ，删石j ( 3 1 1 ) c ( t 贮) ：丝 f312)ot 、 = z c 簪3 蓦e j 眺7 专+ ，b 丁c 移3 c 苦一_ ) 薹砂牖7 专 = 等 ( 3 1 3 ) = 静3 妻j = l e 一专 x , j - 上式求导，可得 生南一- t ( s tjkatk s tj 肌7 候, , - - i tv ) 旬 23 。 j l j 。l 。j 、。一7 华中科技大学硕士学位论文 联立( 3 1 2 ) - 与( 3 1 4 ) ，并注意到r 一时，= 0 ，便可求出系统从r 譬趋于f 时的热 容 c c 硼 4 器一，别 嘲 式中f ( 2 ) = ；, r 2 6 。由( 3 1 0 ) 和( 3 1 5 ) 可知，系统在临界点的热容是不连续的，跃变量为 a c = c ( 贮一1 ) 一c ( 霉+ ) = 9 n k b f ( 3 ) f ( 2 ) 圭6 5 8 n k n( 3 1 6 ) 3 2 有限粒子数的影响 ( 3 6 ) 式表明，只有当一o o ，w 斗0 ，n v 3 w 为一有限常数( 谐振势阱中所定义的热 力学极限) 时，该式有意义，也就是说该结果只在热力学极限的条件下成立。但是在 实际的实验中，谐振阱中样品的粒子数并不能达到真正意义上的无穷大，而是有限的， 因而在理论上应把有限粒子数对系统热力学性质的影响包括进去，再将所得结果与实 际的实验结果进行比较并分析。 3 2 1临界温度与凝聚系数( 粒子数有限) 我们从巨正则系综出发。在巨正则系综中，温度为t ，化学势为的玻色系统的 总粒子数为 肚。蚤：丽丽石瓦i 西面而再丽。1 7 其中毛：昙( m + m + w ：) 是零点能。令e = 3 吩，m ，p e 0 为有效化学势如，逸度 z 定义为e x p ( , u , g k 8 ，) = e x p ( f l u 盯) 。那么b o s e - - e i n s t e i n 分布可改写为 2 l 华中科技大学硕士学位论文 鹕) = 万去百= 喜九嗝” ( 3 1 8 ) 珂所有琵缴求和，玎狱得总税于数为 亍妻妻z j e - j e , ：妻卉( 1 一。一m 肘) - l 】，( 3 1 9 ) 因为当z 寸1 时，和式( 3 1 9 ) 发散，所以我们把( 3 1 9 ) 式改写为瞰1 = 者+ 扑胁t - i 百m 叮i _ 1 2 。， 这相当于把凝聚原子数o 从总粒子数n 中分离出来。因为( 3 2 0 ) 式中 r j l u ，壳，壳m ，则( 3 2 0 ) 式可近似为“6 5 1 = 者圳z ， 钢3 恻z ，( 等) 2 2 ， 其中y = 罢，w = ( 比m w ：) v 3 ，霄= ( 心+ + w ：) 3 ，我们在推导( 3 2 1 ) 式的过程中只保留 了等的两个最高阶次项。因为我们是利用求和而不是积分得到上述结果，g g d a ( 3 2 1 ) m 妒 式已经包括了有限粒子数效应，就代表了有限粒子数对系统热力学性质的影响。 从( 3 2 1 ) 式, q - i 发可以计算临界温度和凝聚系数 尹叫卜器爿 2 z ， 等小匆3 一焉务c 争2 z s ， 由( 3 2 2 ) 可得 鼍芸一善酪叫3 ( 3 2 4 ) p3 f ( 3 ) 妒一 v 。叫 从式( 3 2 4 ) 口- j 以看出，由于有限粒子数效应而导致的临界温度的漂移总县债的， 华中科技大学硕士学位论文 甲, t i r l l f 并且在大| v 极限时消失。= 三r 也与谐振势阱的不对称性有关，且当势阱是各向同性 时达到最小。粒子数的减少对应着凝聚温度的降低，这在物理上是完全合理的。因为 b e c 是一种量子简并现象，当热波长a ( 由温度决定) 和粒子间距离r ( 由数密度决 定) 相当时，就会出现b e c 。当减少粒子数导致，增大时，要使b e c 出现必然要降 低温度使a 增大，从而再次使五与，相当。 当_ o o 时，从( 3 2 2 ) 和( 3 2 3 ) 我们可以得到理想三维玻色气体在大极限时的结 果 t 2 等嗡虬p ( 3 z s ) 等小c 争 z s ， 3 2 2 热容量( 粒子数有限) 上面我们已经计算了有限粒子数对临界温度和凝聚系数的影响，下面的任务就是 讨论有限粒子数对系统热容量的影响。 谐振势阱中粒子数为n ( 有限) 的玻色系统的平均能量为 u n e o = 3 k b t ( - 警- ) 394(z)+2，k丁(娑)293(?wn w z )( 3 2 7 ) 当t 垆“时，热容量为 功 一 ： 鱼订一 匆悟一 嚣一嚣 嘶4 竺： 晦铊一 错塑“堂竺 华中科技大学硕士学位论文 其中 一r ? a z 芋甓 j 订r 喇+ y 芋( 等严北) 。 从( 3 2 8 ) ，( 3 2 9 ) n ( 3 3 0 ) n 以看m , ，当t = 7 少“。时 薷= 彘刮z 器“y c 争啪 b s ， 舭b 七日f ( 3 ) 一j v 7”7 也就是说，有限粒子数效应恢复了系统在临界点处热容的连续性。 3 3 准二维谐振势阱中的理想玻色气体 我们考虑n 个玻色子被束缚在一个扁平的三维谐振势阱中，且他 心，w y 。当 温度足够低，以致于机 k b t 时，我们可以认为z 方向上的谐振量子数他= o ，从 而把一个实际的三维势阱转化为准二维谐振势阱。 3 3 1 临界温度与凝聚系数( 热力学极限) 我们首先不考虑有限粒子数对该系统的影响，仍然在上一节所定义的热力学极限 条件下进行计算。 此时谐振势为 吃( f ) = 罢( 记x 2 + w ：y 2 ) ( 3 3 2 ) z 气体粒子的单体哈密顿为 h = p 2 2 肌+ i m 【嵋x 2 + 嵋y 2 ) ( 3 3 3 ) 式中x ，y 为粒子的坐标，p 为粒子的动量，心，w 。为谐振势的轴向频率。根据b e 分 布可知，总粒子数| v 应为基态粒子数n 与激发态粒子数的总和 华中科技大学硕士学位论文 = o + 南e 0 + 古鹄( 3 s 4 ) 其中d 2 r = 威咖，t 为化学势。联立( 3 3 3 ) g i ( 3 3 4 ) ，并注意到 爿i ：艺e 删v 两5 缶8 一 芝去= ：石：6 j - l r 3 3 5 ) f 3 3 6 ) 便可求出临界温度与总粒子数和轴向频率间的关系为 瓦2 詈( 尚啦 b s ，) 其中w = ( 地) ”2 是谐振频率的几何平均。当t 瓦) = 万2 1 由上式可得 c 叮 瓦) a u a r 又因为 啦r c 静2 粪抄肘 = s 岛c 等，2 粪e 肌7 亭+ 2 如丁c 簪2 c 告一。薹e ，眺7 专 = 等 = 静2 e 萎。e j , u k b t 丁1 对上式求导，可得 r 3 4 2 ) ( 3 4 3 ) ( 3 4 4 ) 华中科技大学硕士学位论文 参一孝1 2 陲”7 1 心7 ( 善伸 4 s ， 联立( 3 4 3 ) - 与( 3 4 5 ) ，并注意到r _ t o 时= 0 ，便可求出系统从r 写趋于瓦时的热容 c ( 耻6 n k b ( t ) 器圭6 帆器 ( 3 4 6 ) 由( 3 4 1 ) 和( 3 4 6 ) 可见，准二维系统的热容即使在热力学极限下也是连续的( 这与三维 时的情况不同) 。 下面我们的任务就是讨论有限粒子数对准二维系统热力学性质的影响。 3 3 3 临界温度与凝聚系数( 粒子数有限) 我们依然从巨正则系综出发。在二维巨正则系综中，温度为t ，化学势为的玻 色系统的总粒子数为 肚荟面而鬲1 + n y w y ) ( k s r ) + ( e _ o a ) ( k b 而t ) 1 ( 3 4 7 ) 瓮e x p 【意( 心 一一 ”7 其中毛= 兰( 叱+ m ) 是零点能。令目= 喜 w f ，一岛为有效化学势物，逸度z 定 义为e x p ( a 矿k b t ) = e x p ( 屏锄) 。那么b o s e - - e i n s t e i n 分布可改写为 幅) = 万南= 争e 喁7 ( 3 4 8 ) 对所有能级求和，可获得总粒子数为 2 = 一p 。妈7 b 7 = z 兀( 1 一p m 7 b 7 ) 1 】， ( 3 4 9 ) ，- l j z l- l i z l 因为当z 斗1 时，和式( 3 4 9 ) 发散，所以我们把( 3 4 9 ) 式改写为 华中科技大学硕士学位论文 = 击+ 静融玎) - i - - | s n y g ( 3 5 0 ) 式中丁 壳比，h w , ，则( 3 5 0 ) 式可近似为 - 一击坛( 等 2 忱出等) s t ， ；乓o e r = 詈，w = ( 比b ) 啦，诼= ( 比十w , ) 1 2 。 我们通过下式引入态密度 一o = f p ( e ) h ( e ) d e ( 3 5 2 ) 其中o 是基态占据数。由( 3 5 1 ) n ( 3 5 2 ) 式可得 朋) = 志+ 嘉 ( 3 5 3 ) 我们注意到，当温度低于临界温度时，( 3 5 1 ) 5 戈中的第三项是发散的。为了避免 无物理意义的低频发散，我们联立( 3 5 2 ) - 与( 3 5 3 ) ，并以零点能岛= 昙( 心+ ) = 壳面作 为积分的下限。( 3 5 1 ) 式可被改写为 = 击吲力( 等 2 佻( 删可e o ) 厣) k a t b s 从f 3 5 4 ) 式出发可以计算临界温度和凝l i t 系数 其中 矿兰等( 尚q t 等小( 黔，f ( 2 ) v 2 1r 丁、 万i 刮 ( 3 5 5 ) 、叫一 而盈牡 竺蚴 g 一 华中科技大学硕士学位论文 瓦= 詈( 尚啦 ( 3 s ，) 由( 3 5 5 ) 和( 3 5 7 ) p - i 得 坚j 篷 五 2 f ( 2 ) v 2 1 n v 2 r 3 5 8 ) 可以看出，与三维时的情况一样，由于有限粒子数效应而导致的临界温度的漂移 总是负的，并且在大极限时消失；艿7 2 与束缚势阱的各向异性有关，它通过参数 ，= 吾= 专嵩蔷孚依赖于谐振势阱的轴向频率，且当心：c 即谐振势阱各向同性， 时，达到最小值。 当n _ 。o 时，从( 3 2 2 ) 和( 3 2 3 ) 我们同样可以得到理想二维玻色气体在大n 极限时 的结果 z 2 等( 尚瓦 ( 3 5 9 ) 等小( 寺) 2 ( 3 s 。) 3 3 4 热容量( 粒子数有限) 谐振势阱中粒子数为n ( 有限) 的玻色系统的平均能量为 u n e o = 2 k r ( 每2 9 3 ( z ) + ，如r 了k n t9 2 ( z ) 当t 7 少“。时，热容量为 薷= s 器c 争2 埘隅n 吻七。f ( 2 ) 、瓦7 “ 、瓦 r 3 6 1 ) r 3 6 2 ) 华中科技大学硕士学位论文 当t ，矿“时，热容量为 殳n k 8s 器c 马r o2 协商1 2 nc 争f ( 2 ) 。f ( 2 )啦、瓦7 z 器c 扣蒜c 稚嘉 。6 3 黔t 等鬻 za r ，、? j ，f ( 2 ) 、，、 从( 3 6 2 ) ，( 3 6 3 ) 和( 3 6 4 ) 可以看出，当t = 巧“时， 旦n k 8 = 旦n k b 圭6 器协( 等严f ( 2 ) 一7 面a c = - 2 ) , i f ( 等) l 2 一= 一i n k 8n k 8 j 、n 1 ( 3 6 4 ) ( 3 6 5 ) 但由( 3 4 6 ) 和f 3 6 5 ) 可 ( 3 6 6 ) 3 4 准一维谐振势阱中的理想玻色气体 我们考虑有限数目的玻色子被束缚在一个扁平的三维谐振势阱中，且 m = w 比，。当温度足够低，以致于k a t a = h w ，则( 3 7 5 ) 式可近似为 = 击+ 9 1 l 唧( 一翠h wj v l k 口t 1 2 kth wz i 一 。八 2 击_ ( 望肿一砸一划h w h w 1 一z li一2 七。r 7 从( 3 7 6 ) 式出发可以计算临界温度和凝聚系数 r 3 7 5 ) ( 3 7 6 ) = 监h wh f 监h w b ， ij 、 no=1一碡tln(等wt) b ，s ， 矿( 呈箪= ) 。 3 5 结果与讨论 i 根据式( 3 8 ) 和( 2 6 ) 画出在热力学极限的条件下三维系统中o 随着r 壳以，壳以，矗形，贝l j ( 4 1 2 ) 式可近似为 = 击+ 啪，( 等) 3 + 倒z ，( 等) 2 s ， 其中w = ( 嵋w ；形) 轳= f w 代表了相互作用的影响，而，= 昙旦则代表了有限粒子数对 系统热力学性质的影响。 我们通过下式引入态密度 n n o = 【p ( e ) n ( e ) d e ( 4 1 4 ) 其中是基态占据数。由( 4 1 3 ) 与( 4 1 4 ) 式可得 朋，= 圭嘉+ ，斋 哟 4 1 2 凝聚系数和临界温度 由( 4 1 3 ) 可以得到凝聚系数和临界温度。凝聚系数为 4 l 华中科技大学硕士学位论文 n o 1 l c 掣t 、1 3r - 3 一，器嘉2 ， 当系统处于临界温度时，0z 0 ，z z l ，所以 州吼) f ，k 驯b t 。，3 + 卿( 等) 2 因而 h w w ln ，、1 怕旧器嘉 等= 等= 坚r ：o + 等 掣p。贮 ”“7 t s t l “= 一兰3 盟( ( 3 ) 2 3 去n ( 4 2 0 ) 瓦 驴 、一 等刊哟i i 1 7 2 吒a 儿圳杀胪 ( 4 2 1 ) 其中a h o = ，f 竺是谐振长度。结果( 4 2 0 ) 给出了有限粒子数影响的精确结果( 3 2 4 ) ： y n l ， 贸，是由于原子间相互作用而引起的临界温度的迁移。f i ：i ( 4 2 1 ) 式可知由于相互作用 而引起的临界温度的迁移田可以为正，也可以为负，依赖于三维s 波散射长度口。 当原子间以排斥力( a 0 ) 相互作用i l , j ，可以使原子云扩展，从而i i i 低密度峰的值： 反之，以吸引力( 口 壳以， ，则( 4 3 8 ) 式可近似为 华中科技大学硕士学位论文 = 击+ 9 2 ( ：l ( 丽k b t , j 、2 吲咖罟， ( 4 3 9 ) 其中w = ( 嵋w ：) “2 = f w 代表了相互作用的影响，而，= 兰则代表了有限粒子数对系统 w 熟力学性质的影响。 我们通过下式引入态密度 一n o = f p ( 跏( e ) a e 其中0 是基态占据数。由( 4 3 9 ) - 与( 4 ，4 0 ) 式可得 p ( e ) = 丽e + 专， f 4 4 0 ) r 4 4 1 ) 4 2 2 凝聚系数与临界温度 与三维时的情况不同的是，当温度低于临界温度时，( 4 3 9 ) 式中的第三项是发散 的。所以为了避免无物理意义的低频发散，我们联立( 4 4 0 ) 和( 4 4 1 ) ，并以有效零点能 酽= 要( 以+ 嵋) + 叩l a 2 作为积分的下限。则( 4 3 9 ) 式可被改写为 = 壶+ 球，( 等 2 蝎( 删卧吾 y 等 c 4 蚴 当系统处- t - i 植i 界温度时，n o * 0 ，z z l ，所以 因而 心( 铡2 + 晶卜毳，) ，静， “等( 甜 ( 4 “) 一_ 一 4 6 上扩亭上打 华中科技大学硕士学位论文 竖：尘三：翌竺。壁 t ot ot ot o 占z ，”， 瓦 2 翌t o 一三2 易叩：芒v 石2 也 r 4 4 5 ) 万i ， ( 4 4 6 ) f 4 4 7 ) 其吣舞是z 方向的谐振长度。结果( 4 岣给出了有限粒子数影响的精确结果 ( 3 5 8 ) ；6 才是由于原子间相互作用而引起的临界温度的迁移。由( 4 4 6 ) 式可知，源 自有限粒子数效应的占巧”总是负的，且在大极限时消失；占矿“与束缚势阱的各 向异性有关，它通过参数) ，：兰依赖于谐振势阱的轴向频率 w 且当w x = ( 即谐振势 阱各向同性) 时，达到最小值。而由于相互作用而引起的临界温度的迁移占“可以为 正，也可以为负。值得注意的是6 “依赖于三维散射长度口和z 方向的谐振长度b ：， 而与粒子数没有关系，这与三维时的情况不同【见4 1 节 。 当t c 时，热容量为 丢“器c t o 产协意1 2 nc 三t o 矿1 f ( 2 ) 、f ( 2 ) ”、7 + 29 2 ( ：z ，) c 3 + y 商务c 护 等鱼o t 一5 1 1( 4 1 黔o t 争鬻 z 丁。一? j ，f ( 2 ) 、，、 从( 4 5 0 ) ，( 4 5 i ) ：1 1 1 ( 4 5 2 ) 可以看出，当t = i 时， 旦一：j 王圭6 型，一z + 2 ，( 兰盟n 一 n k 8n k nf ( 2 ) 一。 f 4 5 2 ) r 4 5 3 ) 也就是说，在准二维谐振势阱中，粒子数有限的非理想玻色系统也保持了临界点处热 容量的连续性；同时与式( 3 6 5 ) 相比，相互作用的影响也提高了系统在临界点处的 热容，与三维时的情形相同；与三维系统不同的是，在二维系统中有限粒子数效应不 仅仅是保持了热容的连续性，它也起到了增强临界点处热容的作用。 4 3 结果与讨论 1 不管是准二维谐振系统还是三维谐振系统，原子间的弱排斥相互作用均使得系统 在临界点处的热容增加了。 2 图4 - 1 中的( a ) 、( b ) 分别显示了当n = 1 0 2 和1 0 4 时，准二维谐振势阱中口原子 华中科技大学硕士学位论文 的凝聚系数与叫正的关系；而( c ) 、( d ) 则分别显示了当= 1 0 2 和1 0 4 时，三维 谐振势阱中口原子的凝聚系数与叫瓦的关系。我们选择如下的谐振频率：三维， 心= 6 0 0 s - l , = 孔，比= 玑；准二维时，m = 6 0 0 s - t , w ，= 孤，心* 1 0 ，心。 其中实线表示考虑有限粒子数与相互作用共同作用的情况，虚线表示只计及有限 粒子数效应的情况，点线表示热力学极限下的理想情况。 ( a )准二维 ( c ) 三维 图4 - 1 口原子的凝聚系数随温度的变化曲线 ( d ) 华中科技大学硕士学位论文 从图4 一l 可以看出，不管是准二维系统还是三维系统，有限粒子数对系统的影响 都随着粒子数的增大而减小，直至消失。但准二维系统与三维系统相比，有限粒 子数对系统的影响较小，相互作用对系统的影响占主要地位，且相互作用的影响 与粒子数无关。三维系统中，有限粒子数的效应占主要地位，但随着粒子数的增 大，相互作用的影响( 与成正比) 逐渐起主要作用。 3 根据式( 4 1 6 ) ，( 4 4 8 ) 分别画出n =