（理论物理专业论文）非对易时空量子场论若干问题的研究.pdf

乙 a b s t r a c t a b s t r a c t w ec a l c u l a t et h ep h o t o ns e l fe n e r g yi n n o n c o m m u t a t i v es c h w i n g e rm o d e la tf i r s t o r d e ro ft h en o n c o m m u t a t i v ep a r a m e t e ra n ds h o wt h a ti tr e v e a l sa ne m e r g e n c eo fa h i g h e rd e r i v a t i v eo p e r a t o r w ea d dt h eh i g h e rd e r i v a t i v eo p e r a t o ri n q u e s t i o nt ot h e l a g r a n g i a na n dd i s c u s st h ep r o b l e mo fu n i t a r i t y o n er e c e n t l yd e v e l o p e da p p r o a c hf o r s o l v i n gt h eu v i rm i x i n gi st r a n s l a t i o ni n v a r i a n tm o d e l s w ea d d r e s st h ei s s u eo f w a r di d e n t i t yi nt h i sn e wa p p r o a c ha n ds h o wb ys o m ee x p l i c i tc a l c u l a t i o n st h a tt h e r e a r es o m ep o l e s t h u s ，t h ec o n v e n t i o n a lw a r di d e n t i t yn e e dt ob em o d i f i e di no r d e rt o t a k ec a r eo ft h o s ep o l e s f i n a l l y , an e wi d e at o w a r d sg r a v i t yi nn o n c o m m u t a t i v e s p a c e t i m ew a sa p p l i e dt os c a l a rf i e l da n dg a u g ef i e l d w ee x t e n di tt of e r m i o n ，a n d s h o wt h a ti td o e sn o tw o r k t h i st h e s i sc o n t a i n sa m o n gt h er e s u l t so fo u ri n v e s t i g a t i o n a no v e r v i e wo ft h ep r e s e n ts i t u a t i o ni nt h ef i e l d ar e v i e wo fs t a rp r o d u c ta n di t s p r o p e r t i e s ，ar e v i e wo fh o w t oc o n s t r u c tf i e l dt h e o r i e so nn o n c o m m u t a t i v es p a c e t i m e ， a n dah r i e fr e v i e wo fs e i b e r g w i t t e nm a p k e y w o r d s ：n o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r y ；w a r di d e n t i t y ； s e i b e r g w i t t e nm a p ；s c h w i n g e rm o d e l l i 摘要 摘要 研究正则非对易时空中的量子场论有两个主要困难：一个是违背幺正性；二 是紫外红外混合。本文主要计算了在非对易s c h w i n g e r 模型中非对易参数为一阶 情况下光子的自能，并指明它揭示了更高阶导数算数的出现。同时，我们在拉格 朗日量问题中加入更高阶导数算符并讨论了幺正性问题。近来，解决紫外红外 混合的一个方法是平移不变模型。本文也论述了这种新方法中的w a r d 特性，并 且通过一些具体计算发现还有一些极点需要处理。最后，我们发现把非对易场理 论看成嵌入在由规范场产生的引力背景中的守恒场理论，对于费米子是不成立 的。 本论文包括了我们对这个领域现状的调研结果：星积的综述和它的性质， 如何在非对易时空中建立场理论，s e i b e r g w i t t e n 映射的简单综述。 关键词：非对易几何；s e i b e r g w i t t e n 映射；w a r d 特性；s c h w i n g e r 模型 i l l c o r l t e n t s c o n t e n t s 1i n t r o d u c t i o n 2s t a r - p r o d u c ta n dn o n c o m m u t a t i v ef i e l dt h e o r y 2 1s t a r - p r o d u c ta n di t sp r o p e r t i e s 2 7 7 2 2f i e l dt h e o r yo nn o n c o m m u t a t i v es p a c e t i m e 1 3 2 3 s e i b e r g - w i t t e nm 印1 7 3 u n i t a r i t yo fn o n c o m m u t a t i v ef i e l dt h e o r y 1 9 3 1t h ev i o l a t i o no ft h e o p t i c a lt h e o r e mi nc a n o n i c a ls p a c e 1 9 3 2n o n c o m m u t a t i v es c h w i n g e rm o d e l 2 l 3 2 1 p r o m ( n + 1 ) n o n c o m m u t a t i v eq e d t on o n c o m m u t a t i v es c h w i n g e r m o d e l 2 3 3 2 2v a c u u mp o l a r i z a t i o n 2 7 3 2 3 u n i t a r i t y 3 1 4w a r di d e n t i t yi nn o n c o m m u t a t i v ef i e l dt h e o r y3 4 4 1w a r di d e n t i t yi nn c q e d 3 4 4 2w a r di d e n t i t yi nt r a n s l a t i o n - i n v a r i a n tm o d e l s 3 8 5n o n c o m m u t a t i v eg r a v i t y4 6 5 1r e v i e w so fv i c t o r sa p p r o a c h 4 6 5 2c a s eo ff e r m i o ni nt h ea p p r o a c ho fv i c t o r 4 8 6c o n c l u s i o n5 1 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n ”t h ei n f a n c yo fa n yt r u et h e o r yc r e a t e sg r e a to p p o r t u n i t i e sf o ry o u n gr e s e a r c h e r s w h os u d d e n l yf i n dt h e m s e l v e sp i o n e e r si nt e r r ai n c o g n i t a ，w i t hs om a n y i n t e r e s t i n g ，i m p o r t a n ta n dc h a l l e n g i n gp r o b l e m sa r o u n d 1 1 1 a tt h eb e g i n n i n go ft h el a s tc e n t u r y ，t w om a j o rt h e o r i e se m e r g e d ：q u a n t u mm e c h a n i c s a n dg e n e r a lr e l a t i v i t y q u a n t u mm e c h a n i c sh a sr e v o l u t i o n i z e do u ru n d e r s t a n d i n go ft h ev e r ys m a l lo b j e t s l i k ea t o m s w ec o m et ou n d e r s t a n dt h el a wt h a tg o v e r n st h em o t i o no fs u b a t o m i c p a r t i c l e s o nt h eo t h e rh a n d g e n e r a lr e l a t i v i t yo rs i m p l yr e l a t i v i t yh a sc h a n g e df o r e v e ro u r v i e w so ft h ev e r yl a r g es c a l eo fu n i v e r s e a n dm o r ei m p o r t a n t l yo u rc o n c e p t i o no f s p a c ea n dt i m ea st w os e p a r a t e de n t i t yh a sc h a n g e dt oap i c t u r ew h e r es p a c ea n d t i m ec o m b i n et of o r mac o n t i n u u mt e r m e dc o n t i n u u ms p a c e t i m e u n i f y i n gt h e s et w ot h e o r i e ss o u n d sl i k eas h o t g u nm a r r i a g e 1 o n er a i s o nf o rt h i si st h a t t h e yd on o ts p e a kt h es a m el a n g u a g e s o m ef u n d a m e n t a ld i f f e r e n c e sb e t w e e nt h et w o t h e o r i e sa r el i s t e di n 【1 1 ，a n dl e tu sb r i e f l ym e n t i o ns o m eo ft h e m i nt h ef i r s tp l a c e ， w el e a r ni nq u a n t u mm e c h a n i c st h a ts p a c ea n dt i m ea r ef i x e da n ds t a t i c ，w h i l eg e n e r a l r e l a t i v i t yt e a c h e su st h a ts p a c e t i m ei sd y n a m i c a l f u r t h e r m o r e ，o b j e c t sl i k ep h o t o n s ， 1m a s h i f m a n i t e pl e c t u r e so np a r t i c l e sp h y s i c sa n df i e l dt h e o r y , v o l u m e i 2 m o o nc a l lh a v ead e f i n i t eq u a n t i t i e s ，s u c ha sp o s i t i o n ，v e l o c i t y ，a n de n e r g yi ng e n e r a l r e l a t i v i t y , w h i c ha r eu n a c c e p t a b l ei nt h es i d eo fq u a n t u mm e c h a n i c s w h a ti sm o r e ，w e c a l lf o r g e ta b o u tq u a n t u mm e c h a n i c sw t l e nw ea r es t u d y i n gt h eg r a v i t yf o rag i v e ns y s t e m ， a n dv i c ev e r s a t h a ti s ，o n ef i n d sq u a n t u mm e c h a n i c si sw e a kw h e ng r a v i t yi ss t r o n g ，a n d g r a v i t yi sw e a kw h e nq u a n t u mm e c h a n i c si ss t r o n g o n ec a nd r e s sal i s to fd i f f e r e n c e s b e t w e e nt h et w ot h e o r i e s a tf i r s ti ts e e m st h a tt h eo n l yf e a t u r et h e yh a v ei nc o m m o n i st h ef a c tt h a tb o t ho ft h e mb r e a k d o w na ta ne n e r g yc o m p a r et ot h ee n e r g yo fp l a n c k s c a l e ( 如竺1 0 1 9 g e v ) h e n c e ，an e wt h e o r ys h o u l dt a k ep l a c ea th i g h e re n e r g yr e g i m e a n o t h e rw a yo fs a y i n gt h i si st h a tt h ep h y s i c sa tv e r ys h o r td i s t a n c e ss h o u l db ed i f f e r e n t t ot h a tw ek n o wt o d a y a tt h ef o r m a t i v es t a g eo fq u a n t u mm e c h a n i c s ，h e i s e n b e r gi n t r o d u c e dt h ei d e ao fa n p h a s es p a c eu n c e r t a i n t yw h i c he n a b l e so n et os o l v et h eu l t r a v i o l e tc a t a s t r o p h ei nq u a n t u m m e c h a n i c s l a t e ro n ，q u a n t u mm c c h a n i c sa n ds p e c i a lt h e o r yo fr e l a t i v i t yw e r eu n i f i e di n t o as i n g l et h e o r yc a l l e dq u a n t u mf i e l dt h e o r y t h en e wt h e o r yt h e nw a ss h o w nt ob ep l a g u e d b yu l t r a v i o l e td i v e r g e n c e s t oc o n t r o lt h o s ed i v e r g e n c e s ，h e i s e n b e r gp r o p o s e dt oe n l a r g e h i su n c e r t a i n t yp r i n c i p l e so fq u a n t u mp h a s es p a c et os p a c e t i m es e c t o r s p e c i a lr e l a t i v i t y , o n eo ft h ec o m p o n e n to fq u a n t u mf i e l dt h e o r y , i sb a s e do ni n v a r i a n c eu n d e rl o r e n t z t r a n s f o r m a t i o no fs p a c e t i m ec o o r d i n a t e s t h ep r o b l e mt h e nw a sh o wt oi n t r o d u c ea l l u n c e r t a i n t yr e l a t i o n s h i pa m o n gs p a c e t i m ec o o r d i n a t e st h a tw o u l dn o tv i o l a t el o r e n t z i n v a r i a n c e t h es o l u t i o nt ot h i sd i l e m m aw a sg i v e nb ys n y d e ri n1 9 4 7i nap a p e rc a l l e d q u a n t i z e ds p a c e t i m e 【2 1 。b u tt od e t e r m i n et h ec o n t a i no fap h y s i c a ls y s t e m ，o nn e e d s p o i n c a r ei n v a r i a n c e 2 f e ww e e k sa f t e rt h ew o r ko fs n y d e r ，c n y a n gg a v eav e r s i o nt h a t i sf u up o i n c a r 6i n v a r i a n t t h es i t u a t i o nh a sd r a m a t i c a l l yc h a n g e di n1 9 7 4 ，w h e nap i o n e e rw o r ko fh a w k i n g s h o w e dt h a tq u a n t u me f f e c t sa l l o wb l a c kh o l e st oe m i tab l a c kb o d yr a d i a t i o n 【3 1 t h e r e - f o r e ，t os t u d yt h ep h y s i c so fb l a c kh o l e s ，o n en e e d sb o t hq u a n t u mm e c h a n i c sa n dg e n e r a l r e l a t i v i t y o v e rt h el a s td e c a d e s ：ag r e a td e a lo fe f f o r th a sb e e np u ti nt r y i n gt om e s ht h et w o 2 p o i n c a r 垂i n v a r i a n c em e a n sl o r e n t zi n v a r i a n c ep l u st r a n s l a t i o ni n v a r i a n c e 3 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h e o r yt o g e t h e ri nau n i f i e do n ew h i c hi st e r m e daq u a n t u mt h e o r yo fg r a v i t yo rs i m p l y q u a n t u mg r a v i t y t h e r ei sn oc o n s e n s u sa b o u tt h ew a yh o wt og e tu n i f i e dt h e o r yo fg r a v i t y a n dq u a n t u i nt h e o r y s o m em a i nv e r ys t r i n g e n ta p p r o a c h e sa r es t r i n gt h e o r ya n dl o o p q u a n t u mg r a v i t y 一n t oad e e pm e a n i n go ft h ep r i n c i p l eo fe q u i v a l e n c e ( o n eo ft h em o s ti m p o r t a n tp r o p - e r t yo fg e n e r a lr e l a t i v i t y ) ，i ts e e m st h a tw eh a v et oq u a n t i z e dat h e o r yt h a td e s c r i b et h e g e o m e t r yo fs p a c e t i m er a t h e rt h a naf o r c e 【4 j a n o t h e rc o g e n ta r g u m e n ti nf a v o u ro ft h i s l i n eo ft h i n k i n gi st h a tg r a v i t yc a nb ev i e w e da sg e o m e t r y 3 s oq u a n t i z i n gg r a v i t yt h e n m e a n sq u a n t i z i n gt h eg e o m e t r yo fs p a c e t i m e i th a sb e e nl o n g t i m es p e c u l a t e dt h a ts p a c e t i m es t r u c t u r ec h a n g e sa tv e r ys h o r td i s t a n c e s q u a n t u ms t ) a c e t i m e ，i e ，n o n c o m i n u t a t i v eg e o m e t r y , b e c o m e st h e nt h et a r g e tf o r s e a r c h i n gaq u a n t u mt h e o r yo fg r a v i t y n o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r y 【5 】h a sr e c e i v e da l o to fa t t e n t i o na m o n g s tp h y s i c i s t si nt h el a s td e c a d e s o n ec a ne v e ns h o wt h a to u r p r e s e n tu n d e r s t a n do fe l e m e n t a r yp a r t i c l e sc a nb ed e s c r i b eb yan o n c o m m u t a t i v eg a u g e t h e o r yo fg r a v i w 【6 1 t h i sn e wf r a m e w o r ko fn o n c o m m u t a t i v eg e o i n e t r yh a sg a v ea c o n - s i d e r a b l eb o o s tt ot h es t u d yo fn o n c o m m u t a t i v ef i e l dt h e o r i e sw h i c hh a v em a n yd e s i r a b l e f e a t u r e s u s i n gh e i s e n b e r g su n c e r t a i n t yp r i n c i p l eo fq u a n t u mm e c h a n i c sa n de i n s t e i n sg e n e r a l r e l a t i v e ，as e m i c l a s s i c a la n a l y s i sp e r f o r m e db yd o p l i c h e re ta l 【7 】s h o w e dt h a tt h ec o o r d p n a r e so fs p a c et i m ea tp l a n c ks c a l ef a i lt oc o m m u t e a n dt h ec o o r d i n a t e so ft h eq u a n t u m s p a c e t i m es a t i f y 【痧，痧】= i 伊”( 圣)( 1 0 1 ) w i t hs o n l ea d d i t i o n a lc o n s t r a i n t so n 口p p t i l es t u d yo fq u a n t u mf i e l dt h e o r yo nt h i s k i n do fn o n c o m m u t a t i v es p a c e t i m eg a v ea l s or i s et ot h es a m ed i f f i c u l t i e s ：t h ev i o l a t i o no f u n i t a r i t y , a n dt h eu l t r a v i o l e t i n f r a r e d ( u v i r ) m i x i n g t h er e c e n tw i l di n t e r e s to ff i e l dt h e o r yo nc a n o n i c a ln o n c o m m u t a t i v es p a c e t i m e ，h o w - e v e r ，i sp r i n c i p a ld u et oap a p e rp u b l i s h e db yn a t h a ns e i b e r ga n de d w a r dw i t t e n 【3 6 | 3 g r a v i t y ：a ni n t r o d u c t i o nt oe i n s t e i n sg e n e r a lr e l a t i v i t y , j a m e sb h a r t l e ，c h a p t e r3 4 - t h e ya r g u e di nt h ec o n t e x to fs t r i n gt h e o r yt h a tt h ec o o r d i n a t ef u n c t i o n so ft h ee n d p o i n t s o fo p e ns t r i n g sc o n s t r a i n e dt oad b r a n ei nt h ep r e s e n c eo fac o n s t a n tn e v e u c s c h w a r t z b f i e l d i 8 e q u i v a l e n tt oac o n s t a n tm a g n e t i cf i e l do nt h eb r a n e i a w o u l ds a t i s f yt h en o n c o i n - m u t a t i v ea l g e b r a t h ei m p l i c a t i o ni st h a taq u a n t u mf i e l dt h e o r yo nn o n c o m m u t a t i v e s p a c e t i m ec a l lb ei n t e r p r e t e da sal o we n e r g yl i m i to ft h et h e o r yo fo p e ns t r i n g s u n f o r t u n a t e l y ，n o n c o m m u t a t i v ef i e l dt h e o r yi ss t i l li ni t sf o r m a t i v es t a g e ，t h e r e f o r ei t i sn o tc o m p l e t e b u ta tt h i sl e v e l ，i th a ss e r i o u sf u n d a m e n t a ld i f f i c u l t i e s ，s u c ha su n i t a r i t y v i o l a t i o na n dai n f a m o u sm i x i n gb e t w e e nt h eu l t r a v i o l e ta n di n f r a r e dd i v e r g e n c e s t h e r e t w oi n e q u i v a l e n ta p p r o a c h e st ou n i t a r i t yi nn o n c o m m u t a t i v es p a c et i m e ：t h et i m eo r d e r p e r t u r b a t i v et h e o r y ( t o p t ) 8 】a p p r o a c ha n dt h eu s u a lo p t i c a lt h e o r e ma p p r o a c h b u t i nt h ef o r m e ra p p r o a c h ，t h ew a r di d e n t i t yi ss h o w nt ob ev i o l a t e d 9 o u rr e s u l t so nn o n c o m m u t a t i v es c h w i n g e rm o d e lp r o v i d e dat h i r da p p r o a c hf o rs o l v i n g t h eu n i t a r i t yp r o b l e m t h e r en ou v i ri nt h ef r a m e w o r ko fs e i b e r g - w i t t e nm a p o u rc a l c u l a t i o n so nt h ew a r di d e n t i t yi nn o n c o m m u t a t i v et r a n s l a t i o n a li n v a r i a n tg a u g e t h e o r yd e m o n s t r a t e dap r e s e n c eo fp o l e sw h i c hn e e dt ob ef i a r t h e ri n v e s t i g a t e d o n c et h eq u a n t u mf i e l dt h e o r ys t u f fh a v eb e e ne x p l a i n e d ，w et h e nt u r no u ra t t e n t i o n t og r a v i t yi nt h en o n c o i n i n u t a t i v es e t t i n g t h e r ea r en u m e r o u sa p p r o a c ht og r a v i t yo n n o n c o m m u t a t i v es p a c e t i m e 【1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 9 ，7 3 ，7 4 】 o u re x a m p l eo ft h ec a s eo ff e r m i o n sc o n f i r m st h a tn o n c o m m u t a t i v ef i e l dt h e o r i e sc a l l - n o tb ec o n s i d e r e da sc o n v e n t i o n a lf i e l dt h e o r i e se m b e d d e di nag r a v i t a t i o n a lb a c k g r o u n d p r o d u c e db yt h eg a u g ef e l d t h eo r g a n i z a t i o no ft h et h e s i si sa sf o l l o w s ： c h a p t e r2o p e n sw i t has u r v e yo fs t a r - p r o d u c ta n di t sp r o p e r t i e s a f t e r w a r d s w e i n t r o d u c ef i e l dt h e o r i e so nc a n o n i c a ln o n c o m m u t a t i v es p a c et i m e a n de n du pw i t h ab r i e f l yr e v i e wo fs e i b e r g - w i t t e nm a p i nc h a p t e r3 w es t a r to f fw i t har e v i e wo ft h ev i o l a t i o no fo p t i c a lt h e o r e mi nl i o n - c o m m u t a t i v ef i e l dt h e o r i e s ，a n da f t e r w a r d sw ec o n s i d e rn o n c o m m u t a t i v es c h w i n g e r m o d e la n dc a l c u l a t ea tf i r s to r d e ri n0t h eo n e - l o o pv a c u u mp o l a r i z a t i o nf o rt h e 5 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n g a u g ef i e l do f i f 伲s h o wi nd e t a i l sh o w h i g h e rd e r i v a t i v eo p e r a t o r se m e r g ei nt h e f r a m e w o r ko fs e i b e r g - w i t t e nm a p a f t e ra d d i n gt ot h em o d e li t sq u a n t u mc o r r e c t i o nd u et ot h en o n c o m n n l t a t i v i t yo fs p a c e t i n mc o o r d i n a t e s ，w ea d d r e s st h ep r o b l e m o fu n i t a r i t y i nc h a p t e r4 w ec o m p u t et h es - c h a n n e lc o n t r i b u t i o nt ot h ew a r di d e n t i t yi nt r a n s l a - t i o ni n v a r i a n tn o n c o m m u t a t i v eg a u g em o d e l t h er e s u l ts h o w st h a tt h ec o n v e n t i o n a l w a r di d e n t i t yi sn o ts a t i s f i e da si tw a st h ec a s ei nn o n c o m m u t a t i v eg a u g et h e o r y f u r t h e r m o r e ，t h e r ea r es o m eu n s u s p e c tp o l e s ，w h i c hp h y s i c a lm e a n i n ga r eu n d e r i n v e s t i g a t i o n s i nc h a p t e r5 ，w es h o wt h a tc o n s i d e r i n gn o n c o l n n n l t a t i v ef i e l dt h e o r i e sa sc o i l v e n - t i o n a lf i e l dt h e o r i e se m b e d d e di nag r a v i t a t i o n a lb a c k g r o u n dp r o d u c e db yt h eg a u g e f i e l dd o e sn o tw o r ki ng e n e r a l f i n a l l y w es u m m a r i z e dt h et h e s i si nc h a p t e r6 6 p h y s i c a ls c a l e ( i e ， 口) i n t ot h et h e o r yt h a tc a nb eu s c da sa ne x p a n s i o np a r a m e t e rf o ra p e r t u r b a t i v ea n a l y s i s i ti sa l s oi m p o r t a n tt on o t et h a t ，f o rac o n s t a n tp ，t h el o r e n t z i n v a r i a n c ei sv i o l a t e dd u et ot h ep r e s e n c eo fap r e f e r r e dd i r e c t i o n a l i t yi ns p a c e t i m e ，t h a t i s ，t h en o n c o m m u t a t i v ed i r e c t i o n s t h i sv i o l a t i o ni ss u b j e c tt od e b a t e i n s t e a do fu s i n g t h ea b s e n c eo fp o i n c a r 6i n v a r i a n c et oj u s t i f yt h ev i o l a t i o no ft h el o r e n t zi n v a r i a n c e ，o n e r e f e r st ot h ec o n c e p