（光学专业论文）y型波导功分器和波分器的研究.pdf

硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 y 型波导功分器和波分器的研究型波导功分器和波分器的研究 摘 要 y 分支波导是集成光学中的常用器件，被广泛应用于分束器、 光开关和调制器等波导器件中。本文以二维波导的有限差分波束传 播法(fd-bpm)、耦合模理论(cmt)和多模干涉理论(mmi)为基础， 对 y 分支波导的波分器和功分器进行了分析研究。 本文首先分析了 y 分支波导结构中五层波导的传播常数和模 场，详细介绍了 fd-bpm 方法和耦合模理论，并推导了本文所需的 耦合模方程。然后结合应用耦合模理论和 pad(1,1)近似的 fd-bpm 方法对多模 y 分支波导的损耗特性进行了分析。比较了零阶模在单 模和多模转折波导中传播时的辐射损耗，用耦合模理论分析了 y 分 支波导内部的模式转化情况，计算了 y 分支波导的辐射损耗和分支 角之间的关系，解释了多模 y 分支波导的辐射损耗曲线产生振荡的 原因。通过降低 y 分支波导结构中转折点处 1 阶模的比例，提出了 一个设计宽角度低损耗 y 分支波导的思路。 其次提出了一个基于 mmi 效应的紧凑的 1310/1550nm y 分支波 导解复用器的结构。分析和计算表明器件性能可以通过优化波导宽 度、 折射率分布和耦合器长度等结构参数而得到优化。 应用 pad(1,1) 近似的有限差分波束传播法（fd-bpm）计算了器件的对比度和插 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 入损耗等性能指标，并分别得到了渐变折射率和阶跃折射率分布时 的优化参数取值和波形传播图。 关键词： y 分支波导，有限差分波束传播法，耦合模理论，多模干 涉效应，解复用器 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 the study of y-branch waveguide power splitter and demultiplexer abstract y-branch waveguides are basic and important devices in optical integrated circuits and have been used in power splitters, optical switches, and mach-zehnder modulators. based on the two-dimensional finite- difference beam propagation method(fd-bpm), coupled mode theory(cmt) and multimode interference theory, this paper studied the y-branch power splitter and demultiplexer. firstly, propagation coefficients and guided modes in the five-layer structure of a y-branch waveguide are analyzed. secondly, the loss properties of y-branch waveguides are analyzed using pad(1,1) approximation fd-bpm combined with cmt. the radiation losses of 0th-order mode propagating in single and multi-mode turning channel waveguides are compared. the mode conversion in the symmetric five- layer waveguide for multi-mode y-branch configuration is analyzed. the relations between radiation loss and the branching angle for single and multi-mode y-branch waveguides are obtained and explained. finally, a multi-mode y-branch waveguide with low loss and wide angle based on 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 these relations is presented. a compact y-branch waveguide 1310/1550nm wavelength demultiplexer based on mmi couplers is demonstrated in this paper. we analyze the design of the configuration and show that the structure performance can be optimized by careful selection of several structural parameters such as waveguide width, refractive index profiles and coupler length. the structure performance in terms of contrast and insertion loss are calculated using pad(1,1) approximation finite- difference beam propagation method(pa-fd-bpm). optimum values for structural parameters are obtained. key words: y-branch waveguide, finite-difference beam propagation method, coupled mode theory, multimode interference theory, demultiplexer 附件四 上海交通大学 学位论文原创性声明 附件四 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：向端燕 日期： 2006 年 1 月 18 日 附件五 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 附件五 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规 定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密保密，在 年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密 不保密 。 （请在以上方框内打“”） 学位论文作者签名： 向端燕 指导教师签名：金国良 日期： 2006 年 1 月 18 日 日期：2006 年 1 月 18 日 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 1 第一章 引言 人类进入二十世纪以来，信息技术的发展主要是依靠电子学和微电子学技 术实现的。随着大容量和高速度的信息技术发展，电子学和微电子学遇到其局 限性。光子的速度比电子速度快得多，光的频率比无线电的频率高得多，为提 高传输速度和载波密度，信息的载体由电子过渡到光子是必然的发展趋势。光 通信的兴起和它在近二十年来的飞快发展，已使人们认识到光子学、光电子学 技术的重要性和它广阔的发展前景。把光子作为信息载体，是二十世纪中的一 个划时代变化，用光纤通信代替电缆并与微波通信相结合，简言之，信息的传 输发生了本质性的变革。12 光子学、光电子学的发展是借鉴微电子学集成技术发展的。随着光波导技 术应用的不断发展，光波导器件的快速、精确的数值模拟设计技术显得越来越 重要。特别是对一些结构复杂的光波导器件，由于很难有具体的解析解，数字 模拟作为器件设计的重要一环而越显关键。从用于光波导器件设计中数值解法 的发展历史来看，和时域相关的方法有时域有限差分法(fdtd)；不和时域相关 的有两类主要方法：一类是传统的有限元或差分方法，另一类是所谓的波束传 播法（简记bpm 法，beam propagation method）。这两类方法中，前者常常 用于求解波导横向特性这样的定解问题；后者是真正意义上的波导传输数值解， 因为它可以模拟折射率随传播方向发生变化的波导情形，比特殊的波导模式更 广泛，形象的反映了场在波导中的传播与变化情况。对于器件设计而言后者无 疑具有更大的实用价值。 y 分支波导是集成光学中的常用器件，被广泛应用于分束器、光开关和调 制器等波导器件中。一般的 y 分支波导在分支角大于 2时传输损耗较大，目 前已有许多文献提出了宽角度低损耗 y 分支波导的设计。这些设计一般都是由 单模波导构成的。然而，研究发现，对于多模和单模转折波导，如果除波导宽 度以外，其他结构参数均相同，则当这两个波导同时传输零阶模时，多模波导 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 2 引起的辐射损耗较小。由此提出了通过在多模波导中传输零阶模来设计一个多 模低损耗 y 分支波导的思路。 bpm方法尽管可以得到损耗曲线，也可以得到能量传输的情况，但是它无 法知道波导中各个模的传输及耦合情况，也就不能知道模式耦合对损耗是如何 影响的，这就需要借助于耦合模理论。 对于多模波导，当波导宽度达到一定值时，零阶模将会向高阶模转化。本 文通过耦合模理论对对称 y 分支波导中的模式转化情况进行了分析。y 分支波 导的分支部分可以看成是对称五层平板波导结构。耦合模理论的分析结果表明， 随波导宽度增大且在一定范围内时，部分零阶模将会转化成二阶模。随传输距 离变化，这两个模式在波导中传播时将会发生干涉而引起能量的互相转移。当 传播长度和分支角满足一定条件时，几乎所有的能量都转移到零阶模，此时 y 分支波导具有较低的辐射损耗。 在实际应用中，y 分支波导常常通过一段直波导结构和光纤连接。所以在 y 分支波导结构输出处出现转折点。在 y 分支波导的分支部分，随着两分支臂 间的距离增大，二阶模分离成两个一阶模，零阶模和一阶模同时在每个分支臂 中传播。这两个模式之间的干涉造成了波形传播的振荡。在转折点处，一阶模 引起的辐射损耗大于零阶模，这是辐射损耗随分支角的变化曲线产生振荡的原 因。当转折点处一阶模的比例较小时，y 分支波导具有较低的辐射损耗。这是 设计一个宽角度、低损耗多模 y 分支波导的基本思路。这些思想通过 pade（1， 1）近似的 fd-bpm 得到了很好的证明。 波分复用技术（wdm）在光纤通信系统中被广泛应用于增加信息容量。波 分复用/解复用器是波分复用传输系统中的关键器件，主要用于联合或分离载有 不同信息的波长信号3。平面光波回路（plc）适合于大量生产，并且具有高性 能、低成本和高可靠性等特点，这些是 wdm 传输系统所需要的。 近年来，对多模干涉效应（mmi）的研究越来越多45。mmi 器件的主要 优点是结构紧凑、低损耗和较大的制作容许偏差。此外，mmi 器件设计简单， 与弱导和强导器件均兼容。由于 mmi 耦合器对波长的变化相对不敏感，因此 mmi 器件的长度可能会很长。但是对于两个只相差几百纳米的波长，可以设计 出小尺寸的波分复用/解复用器。 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 3 本文首先分析了 y 分支波导结构中五层波导的传播常数和模场，这在后面 耦合系数的计算中将会用到。然后详细介绍了 fd-bpm 方法和耦合模理论，并 推导了本文所需的耦合模方程。接下来本文结合应用耦合模理论和 pad(1,1)近 似的 fd-bpm 方法对多模 y 分支波导的损耗特性进行了分析。比较了零阶模在 单模和多模转折波导中传播时的辐射损耗，用耦合模理论分析了 y 分支波导内 部的模式转化情况，计算了 y 分支波导的辐射损耗和分支角之间的关系，解释 了多模 y 分支波导的辐射损耗曲线产生振荡的原因。通过降低 y 分支波导结构 中转折点处 1 阶模的比例，提出了一个设计宽角度低损耗 y 分支波导的思路。 此后，本文提出了一个基于 mmi 效应的紧凑的 1310/1550nm y 分支波导解复用 器的结构。分析和计算表明器件性能可以通过优化波导宽度、折射率分布和耦 合器长度等结构参数而得到优化。应用 pad(1,1)近似的有限差分波束传播法 （fd-bpm）计算了器件的对比度和插入损耗等性能指标，并分别得到了渐变 折射率和阶跃折射率分布时的优化参数取值和波形传播图。 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 4 第二章 介质平板波导分析第二章 介质平板波导分析 如图 2-1 所示为三段式 y 分支波导的结构图。 fig.2-1 basic structure of ay-branch waveguide 图 2-1三段式 y分支波导结构 如图，y 分支波导结构中 a 和 b 部分可看作三层波导，c 部分可看作五 层波导。下面将分别对三层和五层波导中的传播常数及模场进行分析。 2.1. 介电常数阶跃变化的平板波导介电常数阶跃变化的平板波导 介电常数阶跃变化的平板波导是一种最简单的波导，一般具有严格的解析 解，研究问题方便，但又不失一般性，其结果能定性说明很多问题。 fig.2-2 basic structure of a three-layer waveguide 图 2-2 普通三层波导结构， 123 ,nn n d d d h z w a d c b 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 5 众所周知，三层阶跃式平板波导 te 模的本征方程为：1 11 tan ()tan ( ) (m0,1,2,.) (2-1) pq hm =+= 其中 222 1/2 222 1/2222 1/2 010203 (),p(),q() k nk nk n= 若为对称波导上式变为 1 /2/2tan () (m0,1,2,.) (2-2) p hm =+= 各阶模的截止厚度 22 012 /() m hmknn=， 0 2 /k =，为真空中波长。注 意截止厚度和模数 m 成正比。 模场： exp() 0 x ( )cos( )sin() -hx0 (2-3) cos()( )sin()exp () -x-h y aqx q exaxx q ahhp xh + = + n1 n2 n3 n4 n5 d1 h d2 z x 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 6 如图所示的五层结构，易写出其中的模场形式： 11 22221 333311 4444 exp() -0 exp()+exp(-) 0 ( )exp()+exp(-) (2-4) exp()+exp(-) y ek xx eik xeik xxd exek xek xdxdh eik xeik x + + + =+ 112 551212 exp(-() dhxdhd ekxddhdhdx + + + 其中 22 0 |() |,(1,2,3,4,5) ii knki=, 0 k是真空中的传播常数。 根据在四个边界上的,/ yy eex连续，容易得到 te 模的本征方程如下： 22 1321 322135435442 22 33121 322135435442 ()()tan()()()tan() exp( 2)()()tan()()()tan()0 (2-5) kk kk kkk dkk kk kkk d k hkk kk kkk dkk kk kkk d + += 一般情况下，模场表达式非常复杂，这里不给出了，借助于软件 mathematica 可以得 到准确的表达式。 下面给出所研究的对称波导的本征方程和模场。 所研究的对称波导满足 1352412 ,nnn nn ddd=，这样本征方程简化为 1 2222 2121212 tan() ()()2 (2-6) k h k dkkkkek k += 在本文下面的所有的模拟计算中，都取 132 1.5,1.51,1.55nnnm=，这是比 较符合实际玻璃波导的情况。 fig.2-4 the relation between effective refractive index and waveguide width d (three-layer waveguide structure) 图 2-4 普通三层波导的有效折射率与宽度 d 关系曲线 0 模 1 模 2 模 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 7 fig.2-5 the relation between effective refractive index and waveguide width d (five-layer waveguide structure) 图 2-5 五层波导有效折射率与宽度 d 关系曲线，图中只画出了 0 模（左面一套）和 1 模 （右面一套） ，其它高阶模只需将上面这些线向右平移 4.47m 当0h , 式(2-6)变为 212212 tan()/tan(/2)/k dkkk dkk=+=和,该两式可以 合并为 1 212 /2tan (/)k dmkk =+，该式与（2-2）实际上是一样的，由于h=0， 是两个波导合并成一个波导，这里的d为实际波导宽度的一半。从图2-5可以 看到h=0时曲线和图2-4一致，只是横坐标都缩小了一半，这和上面的分析是 一致的。 当h ， 12 2 22 21 2 tan() k k k d kk = ， 即 1 212 /2/2tan (/)k dmkk =+， 该式与 （2-2） h=-1(0 模) h=0(0 模) h=3(0 模) h=-1(1 模) h=0(1 模) h=3(1 模) h=50 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 8 完全一致，当h时，实际上就变成两个独立的完全一样的波导。 由图2-5可见，随着h由0逐渐增大，相邻的奇偶模的传播常数差别越来 越小（对于确定的宽度d而言） ，最终逐渐变成一个模。图中还画出了h为负值 的情况，这尽管没有物理意义，但数学上还是有意义的，这样可以将整个图空 间填满，使各值都连续。在下面给出的传播常数与h的关系中可以看到两图的 严格对应。从图2-5中还得到一个重要结论，五层波导偶模的截止条件可以由 h时 的 情 况 得 到 ， 即 可 由 三 层 波 导 的 截 止 厚 度 公 式 2 /(0,1,2.) m dmm =求出。 fig.2-6 the relation between effective refractive index and spacing h (five-layer waveguide) 图 2-6 五层波导有效折射率与间距 h 关系曲线 这两张图与图2-5是完全一致的，相当于在图2-5中固定横坐标d看有效 折射率与间距h的关系。 下面给出5,6hm dm=时所能存在的模式图。 1 模 0 模 1 模 2 模 3 模 (a) d=4m(b) d=6m 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 9 fig.2-7 guided mode profile(amplitude) 图 2-7 模场分布情况（振幅） （其中虚线代表波导边界） 综合上述分析，可以得到如下几条结论： 1. 五层波导偶模的截止条件可由 22 2021 /(0,1,2.) m dmknnm=求出，与h 无关。0模没有截止条件，总能传播。奇模的截止条件随着h的不同而不同， 当h很大时，截止条件同偶模，事实上此时这两个模趋同。 2. 相邻偶奇模一般总是成对出现，最终汇聚成一个。 3. 当h很大时，五层波导的2m与(2m+1)阶模退化为三层波导的m阶模，区 别仅仅是2m阶模退化出来的是同相的两个m阶模，(2m+1)阶模退化出来 的是两个反相的m阶模。 1 模 2 模 3 模 0 模 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 10 具体来说，对于所模拟的情况，有下面一些结论比较重要，后面还要多次用 到。对称波导中0模总存在，2m模截止厚度 2 4.47(0,1,2.) m dm m=，特别对 于 2 模， 2 4.47dm=。联系后面要研究的y分支波导，若原来分支前的波导 是单模的，则不会出现二模，也就没有模式耦合。 2.2. 介电常数连续变化的平板波导2.2. 介电常数连续变化的平板波导 在渐变折射率波导中，传播的光线不再是锯齿形的，而将变为连续的“弧形 光线”，从而避免了因界面不规则引起的散射损耗 。到目前为止，除有限的几 种折射率分布，绝大多数非均匀波导只能用近似法和数值法求解。近似方法中， 光线近似和wkb近似具有物理图像清晰、分析简单的特点，因而获得了广泛 的应用，但它们或多或少有着误差，有时会很严重，而且很难得到模场分布。 本文将利用转移矩阵方法1，这种方法不仅物理清晰、计算方便，可以方便的 控制精度，而且具有给出解析公式的潜力。 fig.2-8 refractive index profile similar to three-layer waveguide 图 2-8 类似三层波导折射率分布（单峰） ， 12 , tt xx所对应的折射率为有效折射率， dc xx , 为截断点 对于相当于三层阶跃波导的情况 （如图2-8， 即只有一个峰） ， 将区域(xc,xt1)、 (xt1,xt2)、(xt2,xd)分别分为l、m和n等份，每层的厚度均为u，容易得到色散方 程。 在 12 , tt xx内，转移矩阵为 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 11 1 cos() -sin(u) (1,2,.,) (27 ) sin() cos() jj j j jjj u mjlllma uu = + 其中 222 0jj k n= 在这个区间之外，转移矩阵为 1 cosh() -sinh(u) (1,2,., ) (27 ) sinh(u) cosh() ii i i iii u milb u = 1 cosh() -sinh(u) (1,2,.,) (27 ) sinh(u) cosh() kk k k kkk u mklmlmlmnc u = + 其中 222 /0/i ki k k n=。 在 dc xx ,截断点外，折射率几乎已没有变化，模场可表示为 exp() ( )(28) exp() cccc y dddd apxxxx ex apxxxx 则色散方程为 0 1 1 111 = + += + +=d nml mlk k ml lj j l i ic p mmmp (2-9) 模场 ()() ( ) ()() td ytyd td xx xyy exex m x exex = (2-10) 经过一些代换，上述式子可以得到意义更明确的解析表达式: ( )() 2 1 11 l1l l 1l tantan0,1, 2,(2 11) t t x m x m pp dxsnn + + +=+= l l p和 1l m p + 分别对应与区域 1t xx的对应的等效衰减系数，它们由 以下两式确定： 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 12 ()() ()() () 1 1 sinhcosh 1, 2,(212 ) coshsinh i ii i ii i ii i p uu pila p uu + = + l 其中 0c pp=，而() 1 2 222 0cc pk nx= ()() ()() () 1 1 sinhcosh 1,2,(212 ) coshsinh k kk k kk k kk k p uu pklmlmlmnb p uu + + + = + + l 其中 1l m nd pp + + =，而() 1 2 222 0dd pk nx= ( ) l+m-1 1 1 11 tantan(2 13) i ii i l i s + + = = () 11 1 tan tan1,2,(214) tan i iii i i i i p puilllm p + = + = l 若对称，上式化为 ( )() max 1 1 l l 1 /2tan0,1, 2,(2 15) t x x p dxsnn + +=+= l 在下面的研究中，渐变折射率均用 2 1/cosh 类型，这种类型比较符合实际 情况。 222 ( )2/cosh (2 / )(2 16) ss nxnnnx d=+ 在下面的模拟中，均设1.5,0.01 s nn= =。 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 13 fig.2-9 refractive index profile(d=6m) 图 2-9 d=6m 时的折射率分布 对于五层波导的情况4，折射率分布如图。 fig.2-10 refractive index profile similar to five-layer waveguide 图 2-10 类似五层波导折射率分布（双峰） ， 12 , tt xx所对应的折射率为有效折射率， s x为 截断点 这里只研究对称的情况。 在区间 2112 , tttt xxxx之内， 转移矩阵同 （2-7a）, 在这个区间外，转移矩阵为(2-7b),(2-7c)。 n x -xt2 -xt1xt1xt2 -xsxs l m n 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 14 可以认为 exp() ( )(2 17) exp() ssss y ssss apxxxx ex ap xxxx + 则色散方程为 111 111 1 10 (2 18) l mlll ml m n skjiijk k l m nj l mi lij lk l ms pmmmmmm p + = += += += + = 模场为 = st xxx s y sy t y ty xe xe xm xe xe )( )( )( )( )( (2-19) 有了这些方程，可以得到任意一个折射率分布波导对应的传播常数和模场 分布。 下面给出5,6hm dm=时所能存在的模式图。 fig.2-11 guide mode profile (amplitude) 0 模1 模 2 模 3 模 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 15 图 2-11 模场分布情况（振幅） ，虚线是波导公式(2-16)中 d 决定的边界 可以看到这个模场和阶跃折射率分布时差不多，只是限制能量的能力稍强， 这也导致了后面两种情况模拟的情况很相似，也就是说在这样的参数选取下， 可以用阶跃波导来研究各种性质，这样可以大大的简化运算，把注意力集中到 其物理本质上来。 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 16 第三章 二维波导的 fd-bpm 方法第三章 二维波导的 fd-bpm 方法 本章中将考虑 fd-bpm 在二维波导中的应用问题。首先将给出傍轴近似条 件下的具体的差分格式公式，然后给出宽角 fd-bpm 法的推导过程及近似精确 度问题的探讨。 3.1 二维傍轴 fd-bpm 法3.1 二维傍轴 fd-bpm 法1 3.1.1 标量波动方程的傍轴近似 1 3.1.1 标量波动方程的傍轴近似 二维空间中)exp(),(tizx形式的单色波，满足标量方程： 0),( 2 2 2 2 2 2 2 =+ + zxn czx （3-1） 其 中z为 波 传 输 方 向 ，为 光 的 角 频 率 ，),(zxn是 介 质 折 射 率 ， ),(),( 0 zxnkzxk=表示与折射率空间分布有关的波数， 0 k 为自由空间的波数。令 )exp(),(),(zikzxuzx r =， r k为任意常数，要求它的选择应使),(zxu为z的慢变 函数。把此式代入上式，忽略u关于z的二阶偏导 2 2 z u ，即为傍轴近似条件，则 近似后的 helmholtz 方程为： 0)(2 22 =+ukkuuik rxxzr （3-2） 其中 z u和 xx u分别表示u关于z的一阶偏导和关于x的二阶偏导。 3.1.2 求解波动方程的差分格式3.1.2 求解波动方程的差分格式 应用有限差分方法来求解偏微分方程定解问题的步骤如下： 、 利用网格线将定解区域化为离散点集； 、 在此基础上，通过适当的途径将微分方程离散为差分方程，并将定 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 17 解问题离散化，构造出差分格式； 、 建立差分格式后，就把原来的偏微分方程定解问题化为代数方程 组，通过解代数方程组，得到由定解问题的解在离散点集上的近似值组 成的离散解； 、 根据需要应用插值法可从离散解得到定解问题在整个定解区域上的 近似解。 差分格式在总体上分为两大类：显式格式和隐式格式。其中显式具有较快 的计算速度，但需要满足一定的稳定性条件，而隐式格式通常是无条件稳定的， 但是速度较慢。差分的稳定性是一个比较重要的概念，由于差分格式的计算是 逐层进行的，计算第1+n层上的 1+n j u时，要用到第n层的结果，即存在误差传 递问题。如果误差的影响是可以控制的，差分格式的解基本上能计算出来，那 么这种差分格式就是稳定的，反之，则为不稳定的。 对于（3-2）式的具体情况，首先将（3-2）式变换为： uzxbuzxau xxz ),(),(+= （3-3） 其 中 r kizxa2/),(=， rr kkkizxb2/ )(),( 22 =。 将),(zxu离 散 ， 记 为 ),( rs r s zxuu =，其中横向节点为xsaxs+=；ns, 0 =；nabx/ )( =； 横向计算窗口范围为),(ba，x为横向节点距，1+n为节点总数；纵向（波导 传播方向）节点位于zrzr=；, 1 , 0=r；z为纵向步长。 式（3-3）具有抛物线偏微分方程形式。对于这类问题，可采用差分格式中 的古典格式、加权隐式格式、du fort-frankel 格式、三层隐式格式和跳点格式。 其中古典格式和跳点格式属于显式格式，需要满足稳定性条件；du fort-frankel 格式是无条件稳定的差分格式，而且可以显式求解，但相容性是有条件的，因 此对于式（3-3）的z方向传播步长还是受到很大限制；三层隐式格式具有三层 格式的固有缺点，即占计算机内存多和计算第一层时必须用另外的格式来实现。 对于式（3-3） ，我们采用隐式格式，这是因为隐式格式是无条件稳定，而且 尽管每一步都要求解一次矩阵方程，但此矩阵方程具有特殊的三对角形式，对 这种特殊结构的矩阵方程用追赶法求解几乎具有显式格式的求解速度。 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 18 基于上述原因，加权隐式格式是比较适合（3-3）式求解的一种格式，具体 表达式如下： 10 0 2 )1 ( 2 2 1 1 11 1 2 11 1 = + + + + h uuu h uuuuu n j n j n j n j n j n j n j n j （3-4） 当2/1=时，上式称为 crank-nicholson 格式，这时差分格式是二阶精度的。 对于(3-3)式的实际情况，采用 crank-nicholson 格式并略加修改，关于半步长点 )2/1,(+rs作差分近似，即： z uu u r s r s z = +1 2/1 2 1 1 11 1 2 11 22 2 1 + + + + + + + + = r s r s r s r s r s r s r s xx a x uuu x uuu au （3-5） 2/11 2 1 + += r s r s r s buubu 将上式代入（3-3） ，得到下列方程组： 1)-n,1,(s , 1 1 11 1 =+ + + + s r ss r ss r ss ducubua 2/1 2 + = r sss a x z ca 2/12/1 2 12 + += r s r ss zba x z b (3-6) )(12 11 2/1 2 2/12/1 2 r s r s r s r s r s r ss uua x z uzba x z d + + + + + = 在已知第r步场的情况下，可求出 sss dca,b, s 。上式列出的方程总共有 1n 个，但是未知变量为1+n个，下面将引入一定的边界条件，从而组成一个三对 角方程组，由第r步的场就可以求出第1+r步位置的场。 3.1.3 稳定性分析3.1.3 稳定性分析 上面提到的隐式格式是无条件稳定的，下面将采用von-neumann法验证式 （3-6）的稳定性2。 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 19 以)exp()exp(sdxirdz代入（3-6）式，消去公共因子得到放大因子为： 2/12 2 2/12 2 )2/(sin42 )2/(sin42 + + + + = r s r s dzbdsa dx dz dzbdsa dx dz 根据前面的定义可知ba,都是纯虚数，故可以断定1=，可见算法是无条 件稳定的。 3.1.4 边界条件3.1.4 边界条件 计算窗口的有限截断会引起波导中的辐射波在边界形成反射波返回波导区 而造成不必要的干涉，因此必须小心选取边界条件。最常用的方法是在边界附 近的区域设置人工吸收边界，但是这类边界条件的设置需要极其小心，既要使 用足够小的吸收变化率以防止吸收体本身产生反射，又必须使吸收体有足够的 厚度以完全吸收波导中的辐射波，这样就不得不对吸收函数的形状和吸收区域 进行精心设计，反复试验，每一个问题都需要不同的边界设置模型。本文将采 用瞬时边界条件（transparent boundary condition） ，简称为tbc条件3。 tbc边界条件也同样从标量傍轴的波束传播方程出发，用)exp(ziku r 的形 式代入方程，由于我们只对边界区域感兴趣，而且在式（3-2）中，一般选用 0 knk sr =， s n为衬底折射率，这样在边界上有 r kk =，标量波动方程变成为： 2 2 2x u k i z u = （3-7） 对方程（3-7）进行简单的积分，得到如下的能量守恒方程： ab b a b a ff x u u x u u k i dxu z += = | 2 * * 2 （3-8） 其中 b f代表离开右边界的能量流， a f代表进入左边界的能量流。由于两部 分边界的情况是一样的，这里我们就只考虑右边界的情况。假定在这个边界上 传播场满足方程)exp( 0 xikuu x =， 0 u和 x k均为复数， x k在这个时刻是未知的， 在这些假设条件下， b f可表达为： 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 20 k bukr f x b 2 0 )()( = （3-9） 因此只要 x k的实数部分是正的，在整个能量的变化中，这部分边界的能量 总是负的，也就是说，辐射的能量只是从计算窗口流向外部。 如果我们采用crank-nicholson格式对方程（3-7）进行有限差分分析，就会 发现上述讨论保证了能量守恒关系，因此假定边界附近的传播场具有上面提到 的指数形式，在第) 1( +r步前，我们可以调整边界上的传播场的值 r n u，使 )exp( 2 1 1 dxik u u u u x r n r n r n r n = （3-10） 从上式可以求出 x k的值，那么下一步的边界条件变为： )exp( 1 1 1 dxikuu x r n r n + + = （3-11） 即给出了第1+r步的边界上两个节点 1+r n u和 1 1 + r n u之间的线性关系，它正好提 供了一个独立的方程，和差分方程组（3-6）以及计算窗口的另一端边界条件组 成了一组完全的方程组。应该注意的是，在应用过程中采取 x k的实部强迫取为 正的方法，以保证场是向外辐射的。 上述推导中很重要的一点是在处理波场向前传播过程中， x k的值是允许变 化的，这就使tbc方法具有一定的普遍性，而不需要针对每一个问题设置不同 的边界模型。 3.2 二维宽角 fd-bpm 法3.2 二维宽角 fd-bpm 法 bpm法在导波光学中之所以得到广泛的应用，原因之一是它的数值计算的 简单和快速特点。这两个优点主要是使用傍轴近似简化helmholtz方程的结果。 但是傍轴近似条件的使用，极大的限制了两个方面2：一是那些包含与传输轴 夹角大于一定角度的傅立叶项的光束将会产生相位误差，因此傍轴近似法不能 处理宽角传输情况；二是对于折射率差相对于折射率大于一定百分比的区域， 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 21 光束在上面传输也会产生相位误差。 由于傍轴近似条件这些苛刻的限制，fd-bpm法的研究逐渐转移到了非傍 轴情况的研究，即宽角bpm法。到目前为止，已经有许多的基于bpm法的近 似方法来解决宽角传输的问题，如文献6、7、8、9、10等。当然，我们 前面也探讨过傍轴bpm法的计算量问题，而这些方法或多或少的都增加了计 算量，但对于飞快发展的计算机来说已经不是一个很大的问题。这些方法都有 自己的适用特性，对于不同的器件模拟，可能要使用不同的方法以达到要求的 精度。在本文里，作者不一一介绍这些方法，只对pad近似法给出具体的公式 推导，而后面的应用实例都是用的是pad近似。 3.2.1 pad3.2.1 pad 近似法原理近似法原理 pad近似bpm法是1992年g. ronald hadley提出的6。这个方法不仅在宽 角传输情况，而且还在折射率突变情况上都有很大的进步。pad近似的基本思 想是用高阶 (n, n)的pad近似操作符来代替标量helmholtz传播操作符，把微 分方程离散化成为一个2n+1维的矩阵方程，然后用标准的隐函数解法来解这 个矩阵方程。 二维空间中)exp(),(tizx形式的单色波，满足标量方程： 0),( 2 2 2 2 2 2 =+ + zxn czx (3-12) 其中z为波传输方向，为光的角频率，),(zxn是介质折射率， ),(),( 0 zxnkzxk=表示和折射率空间分布有关的波数， 0 k为自由空间的波数。令 )exp(),(),(zikzxhzx r =， r k为任意常数，要求它的选择应使),(zxh为z的慢 变