中考数学专题复习第5章四边形第16讲特殊的平行四边形.doc

中考数学专题复习第5章四边形第16讲特殊的平行四边形归纳一矩形 1. 定义:有一个角是直角 的平行四边形叫做矩形2. 性质矩形的四个角都是直角 矩形的对角线互相平分并且相等 矩形是一个 轴对称 图形，它有 2 条对称轴，矩形是一个 中心对称 图形，它的对称中心是 两条对角线的交点 3. 判定有 1 个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等 的平行四边形是矩形归纳二菱形1. 定义:有一组邻边相等 的平行四边形是菱形2. 性质菱形的四条边相等 菱形的对角线互相垂直平分 每条对角线平分 一组对角 菱形是 轴对称 图形，它有 2 条对称轴，菱形是 中心对称 图形，它的对称中心是 两条对角线的交点 3. 判定四条边相等 的四边形是菱形对角线互相垂直平分 的平行四边形是菱形归纳三正方形1. 定义:有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形 叫做正方形2. 性质正方形对边 平行 正方形四边相等 正方形四个角都是直角 正方形对角线 相等 ，互相 垂直平分 ，每条对角线平分 一组对角 正方形既是 轴对称 图形也是中心对称 图形，对称轴有 4 条，对称中心是 对角线的交点 3. 判定有一组邻边相等的 矩形 是正方形有一个角是直角的 菱形 是正方形【常考题型剖析】 题型一、矩形的应用【例1】（20xx营口）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若ACB=30，AB=2，则OC的长为（）A. 2B. 3C. D. 4【答案】A【分析】根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4，再根据矩形的对角线互相平分解答【解答】解：在矩形ABCD中，ABC=90，ACB=30，AB=2，AC=2AB=22=4，四边形ABCD是矩形，OC=OA=AC=2【举一反三】1. (20xx无锡) 如图1，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是 图1 图2 【答案】3【分析】根据矩形的面积公式，可得关于AD的方程，根据解方程，可得答案【解答】解：由边AB的长比AD的长大2，得AB=AD+2由矩形的面积，得AD（AD+2）=15解得AD=3，AD=-5（舍去）2. (20xx成都) 如图2，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为 【答案】【分析】因为AE垂直平分OB，所以，ABAO3，BDAC2AO6，AD3. (20xx岳阳) 如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EFDF，求证：BF=CD【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证【解答】证明：四边形ABCD是矩形，B=C=90，EFDF，EFD=90，EFB+CFD=90，EFB+BEF=90，BEF=CFD，在BEF和CFD中，BEFCFD（ASA），BF=CD 题型二、菱形的应用【例2】（20xx莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直【答案】D【解答】解菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直【例3】（20xx遵义）如图，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A. AB=AD B. ACBD C. AC=BDD. BAC=DAC【答案】C【解答】解：A、根据菱形的定义可得，当AB=AD时ABCD是菱形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，ABCD是菱形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；D、BAC=DAC时，ABCD中，ADBC，ACB=DAC，BAC=ACB，AB=BC，ABCD是菱形BAC=DAC故命题正确【举一反三】4. (20xx无锡) 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）A. 对角线相等 B. 对角线互相平分C. 对角线互相垂直D. 邻边互相垂直【答案】C【解答】解：（A）对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；（B）对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；（C）对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；（D）邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有5. (20xx湘西州) 如图4，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为 图5 图6 【答案】24【分析】直接根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半进行计算即可【解答】解：菱形的面积=6. (20xx南充) 如图5，菱形ABCD的周长是8cm，AB的长是 cm【答案】2【分析】根据菱形的四边相等即可解决问题【解答】解：四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=DA，AB+BC+CD+DA=8cm，AB=2cm，AB的长为2cm 题型三、正方形的应用【例4】（20xx市）ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且ACBD，请添加一个条件：_，使得ABCD为正方形【答案】BAD=90【分析】根据正方形的判定定理添加条件即可【解答】解：ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且ACBD，ABCD是菱形，当BAD=90时，ABCD为正方形【举一反三】6. (20xx河北) 关于ABCD的叙述，正确的是（ ）A. 若ABBC，则ABCD是菱形 B. 若ACBD，则ABCD是正方形C. 若AC=BD，则 ABCD是矩形 D. 若AB=AD，则ABCD是正方形【答案】C【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误，C正确；即可得出结论【解答】解：ABCD中，ABBC，四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项A错误；ABCD中，ACBD，四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B错误；ABCD中，AC=BD，四边形ABCD是矩形，选项C正确；ABCD中，AB=AD，四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项D错误；7.（20xx崇左）下列命题是假命题的是（ ）A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B. 对角线互相垂直的矩形是正方形C. 对角线相等的菱形是正方形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】D8.（2016无锡）如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF连接DE、DF求证：DE=DF【分析】根据正方形的性质可得AD=CD，C=DAF=90，然后利用“边角边”证明DCE和DAF全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可【解答】证明：四边形ABCD是正方形，AD=CD，DAB=C=90，FAD=180DAB=90在DCE和DAF中，DCEDAF（SAS），DE=DF【巩固提升自我】1.（20xx大庆）下列说法正确的是（）A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直C. 一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 四边相等的四边形是菱形【答案】D.【解析】选项A：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，错误；选项B：矩形的对角线不会互相垂直，错误；选项C：一组对边平行的四边形也可能是梯形，错误；选项D：四边相等的四边形是菱形，正确.2.（20xx广东）如图2，菱形ABCD的边长为6，ABC=60，则对角线AC的长是 . 图2 图3 图4【答案】6【分析】由菱形ABCD中，ABC=60，易证得ABC是等边三角形，继而求得对角线AC的长【解答】解：四边形ABCD是菱形，AB=BC，ABC=60，ABC是等边三角形，AC=AB=63.（20xx广东）如图3，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连接EF为边的正方形EFGH的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】由正方形的性质和已知条件得出BC=CD=1，BCD=90，CE=CF=，得出CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长【解答】解：正方形ABCD的面积为1，BC=CD=1，BCD=90，E、F分别是BC、CD的中点，CE=BC=，CF=CD=，CE=CF，CEF是等腰直角三角形，EF=CE=，正方形EFGH的周长=4EF=4=2；4.（20xx广东）如图4，矩形ABCD中，对角线AC=，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B处，则AB= 【答案】【分析】先根据折叠得出BE=BE，且ABE=B=90，可知EBC是直角三角形，由已知的BC=3BE得EC=2BE，得出ACB=30，从而得出AC与AB的关系，求出AB的长【解答】解：由折叠得：BE=BE，ABE=B=90，EBC=90，BC=3BE，EC=2BE=2BE，ACB=30，在RtABC中，AC=2AB，AB=AC=2=，5.（20xx广州）如图，矩形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,若AB=AO， 求ABD的度数.【解析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得：AO=BO，则AOB为等边三角形，进而得到ABD=60.解： 四边形ABCD为矩形AO=BO又AB=AOAB=AO=BOABD为等边三角形ABD=606.（20xx广东）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将ADE沿AE对折至AFE，延长交BC于点G，连接AG.(1)求证：ABGAFG；(2)求BG的长. 【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，B=AFG=90，利用HL定理得出ABGAFG即可；（2）利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；【解答】解：（