（应用数学专业论文）l拓扑空间中的j连通性和j紧性.pdf

本人声明 我声明，本论文及其研究工作由本人在导师指导下独立完成，完成论文所用 的一切资料均已在参考文献中列出。 作者：涂金基 擀婚智基 2 0 0 8 年4 月日 摘要 连通性和紧性是拓扑空间中的重要概念，而在l 拓扑空间中，由于其层次 结构的复杂性，其连通性和紧性的描述比一般拓扑空间更为复杂，本文首先在 l - 拓扑空间中利用我们引入的j 闭集，j - 闭包等概念，提出了l 连通性的概念， 给出了j 连通性的一些等价刻画，并证明k f a n 5 定理在j - 连通性下成立。其次， 利用我们引入的j - 闭远域的概念，给出了j - 紧性的概念，研究了j - 紧性的等价刻 画，并探讨了它的基本性质。 关键词：l 拓扑空间；j 开集；j 闭集；j 连续序同态；j 远域；j 连通性； j 紧性。 3 a b s t r a c t c o n n e c t e d n e s sa n dc o m p a c t n e s sa r ei m p o r t a n tn o t i o n si nt o p o l o g y , i nl - t o p o l o g y , o w n i n gt ot h ec o m p l i c a t i o no ft h eg r a d a t i o n ，t h es t r u c t u r eo fc o n n e c t e d n e s sa n d c o m p a c t n e s sa r em o r ec o m p l i c a t e dt h a ng e n e r a lt o p o l o g y i nt h i st h e s i s ，f i r s t , w eu s e t h ec o n c e p to fj - c l o s e ds e t ，j - c l o s u r ew h i c hw ei n t r o d u c e di n o p o l o g i c a ls p a c e s , a n dm e nw ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fj - c o n n e c t e d n e s s ，g i v es o m ee q u i v a l e n t c h a r a c t e r i z a t i o n so fj - c o n n e c t e d n e s sa n dp r o v et h ek f a nst h e o r e ms t i l lh o l df o r j - c o n n e c t e d n e s s s e c o n d ，b a s e do nt h ec o n c e p to fj - c l o s e d r c m o r en e i g h b o r h o o dw e i n t r o d u c e ，w eg i v et h ec o n c e p to fj - c o m p a c t n e s s ，s t u d yt h ec h a r a c t e r i z a t i o no f j - c o m p a c m e s s a n dt h e nd i s c u s si t sp r o p e r t y k e yw o r d s ：l - t o p o l o g i c a ls p a c e ；l - j o p e ns e t ；l j - 。c l o s e ds e t ；j - c o n t i n u e o r d e rh o m o m o r p h i s m ；j - r e m o t en e i g h b o r h o o d ；j - c o n n e c t e d n e s s ； j - c o m p a c t n e s s 4 i n t r o d u c t i o n s i n c et h eh a u s d o r f fc o m b i n e dc a n t o r ss e tt h e o r yw i t hn e i g h b o r h o o dt od e s c r i b e t o p o l o g i c a ls p a c e ，t h ec l a s s i c a ld e f i n i t i o no fg e n e r a lt o p o l o g yi su s u a l l yd e f i n e da s f o l l o w i n g ： s u p p o s et h a tx i sa n o nn u l lc r i s ps e ta n dt 2 ，di sc a l l e dat o p o l o g i c a ls p a c e i 仔ts a t i s f yt h et h r e ea x i o m s ： ( 1 ) 9 t ，x t ； ( 2 ) i f a ，b t ，t h e na f i b t ； ( 3 ) i f a i ：i i _ c t ，i i ，t h e nu a i t i nw h i c hai sc a l l e da no p e ns e ta n dai sc a l l e dac l o s e ds e t s i n c et h ec o n c e p to ff u z z ys e tw a si n t r o d u c e db yp r o f e s s o rl a z a d e h 17 ，w h oi s a na m e r i c a ne x p e r ti nc o n t r o lt h e o r y ，i n19 6 5 m a n yc l a s s i c a l s u b j e c t ss u c ha s a l g e b r a ，t o p o l o g y ，a n dp r o b a b i l i t yw e r eg e n e r a l i z e di n t of u z z ya l g e b r a ，f u z z y t o p o l o g y ，f u z z yp r o b a b i l i t y ，e t c a m o n go ft h e m ，f u z z yt o p o l o g ya t t r a c t sm a n y s c h o l a r s a t t e n t i o n n o wl e tu sr e c a l l i n gt h ep r o c e s s i o ns i n c et h ef u z z yt o p o l o g i c a l s p a c ew a si n t r o d u c e db yc l c h a n g 15 i n19 6 8 i nf a c t ，c l c h a n gi n t r o d u c et h ec o n c e p to ff u z z yt o p o l o g yb a s e do nt h eg e n e r a l t o p o l o g y ，h ec a l l e das u b f a m i l y6o f 【o ，l 】xaf u z z yt o p o l o g yo nx i f0 ，l 6 ，a n d6i s c l o s e du n d e rf i n i t ei n t e r s e c t i o n sa n da r b i t r a r yu n i o n s ，0 ，la r er e s p e c t i v e l yt h el e a s ta n d t h eg r e a t e s tm a p p i n g so nx ，a n dt h ei n t e r s e c t i o n sa n du n i o n sa r et h eo p e r a t i o n sb y t a k i n gi n f i m aa n ds u p r e m ao fm a p p i n g sr e s p e c t i v e l y t h ep a i r ( x ，6 ) i sc a l l e daf u z z y t o p o l o g i c a ls p a c e b a s e do nt h ec o n c e p to ff u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ，v a r i o u sc o r r e s p o n d i n gc o n c e p t s c a nb ed e f i n e da c c o r d i n gt ot h eg e n e r a lt o p o l o g y m u c ho ft h e s ee a r l i e rw o r k sw e r e d o n eb yc k w o n g 14 】a n db h u t t o n 2 ，b u tm a n yc o n t r a d i c t i o n sa n dd i f f i c u l t i e s a t t e n d e d ，f o rt h e i rw o r k sw e r ed i r e c t e dg e n e r a l i z a t i o no fp o i n ta n dn e i g h b o r h o o d s y s t e mi nc l a s s i c a lt o p o l o g y t h o u g ht h e yd i de x c e l l e n tw o r ko nq u a s iu n i f o r m i t i e s i n19 7 7 ，p r o f e s s o ry m l i u 19 】i n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fq u a s ic o - i n c i d e n t n e i g h b o r h o o d ( q n e i g h b o r h o o d ) ，h i sw o r kc r e a t i v e l yp a v e da n e w w a yt od e s c r i b et h e p o i n tw i s ei nf u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ，a n dt h e nr e s e a r c hi nf u z z yt o p o l o g yd e v e l o p e d q u i c k l y c o n s i d e rt h ef u z z yt o p o l o g ya r eb a s e do nt h ei n t e r v a l 0 ，l 】，a n d 【0 ，1 】i sas p e c i f i c l a t t i c e ，w i t ht h ec o n c e p to fp o i n ti np o i n ts e tt o p o l o g ya n df u z z yp o i n ti nf u z z y t o p o l o g y ，g j w a n g 3 0 i n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fm o l e c u l a r , w h i c hi st h ea b s t r a c t i o n o ft h ec o n c e p to fp o i n t si np o i n ts e tt o p o l o g ya n dc o n c e p to ff u z z yp o i n t si nf u z z y t o p o l o g y ，t h e n ，f o rm o l e c u l a r ，r e m o t en e i g h b o r h o o dw e r ei n t r o d u c e d ，w h i c hi st h e a b s t r a c t i o no ft h en e i g h b o r h o o di np o i n ts e tt o p o l o g ya n dq n e i g h b o r h o o di nf u z z y t o p o l o g y ，t h u s ，m o l e c u l a r ，r e m o t en e i g h b o r h o o d ，w i t ht h en e wh o m o m o r p h i s m - o r d e r h o m o m o r p h i s mb e c o m et h ek e yt h e o r yi nw a n g st o p o l o g i c a lm o l e c u l a rl a t t i c et h e o r y t o d a y ，l - f u z z yt o p o l o g yh a sb e e nac o m p l e t es y s t e m w i t ht h ed e v e l o p m e n to ff u z z yt o p o l o g y r e s e a r c ht u r ni n t om a n yd i r e c t i o n s i n 19 81 ，k k a z a d e 1 】e x t e n ds e m i - o p e ns e ta n ds e m i - c l o s e ds e tt of u z z yt o p o l o g y ，t h e n m a n yp a p e r sd i s c u s s e dn e a r l yo p e ns e t so nt h i sa r e a , j u s t 嬲p r e - s e m i c l o s e ds e t s ， s t r o n g l ys e m i o p e ns e t , s e m i r e g u l a r l ys e m i o p e ns e t s 3 5 6 】a l lo ft h e s ew o r k s s h o w e dt h a tt i l e yp r e s e r v el o t so ft o p o l o g i c a lp r o p e r t i e s s i n c e19 9 0 s ，i nt h el a s t c e n t u r y ，p r o f e s s o rs ，z ，b a ig e n e r a l i z e dt h ea l m o s to p e n ( c l o s e d ) s e t si nl a t t i c et o p o l o g y a n dt h es e tp r e s e r v em a n yg o o dp r o p e r t i e si ng e n e r a lt o p o l o g y i nt h i st h e s i s ，w ew o u l dg i v es o m er e l a t i v e l yb a s i cd e f i n i t i o n si np r e l i m i n a r i e s ，t h e n ， an e wc l a s so fs e tc a l l e dt h ej - o p e ns e ta r ei n t r o d u c e da n dt h e i rp r o p e r t i e sa r es t u d i e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ean e w t y p eo fc o n n e c t i v i t y c a l l e dj - c o n n e c t i v i t y ，s t u d yt h ep r o p e r t i e si tp r e s e r v ea n di t sc h a r a c t e r i s t i cm e t h o d ，i n t h i sc h a p t e r , w eg i v et h eg e n e r a l i z a t i o no fk f a n st h e o r e m ，i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w e s t u d yan e wt y p eo fc o m p a c t n e s sc a l l e dj - c o m p a c t n e s s ，w ef i n d i tc a nb e c h a r a c t e r i z e di nt e r m so fc o n s t a n ta - n e t , r - j - c o v e ra n dr - jf i n i t ei n t e r s e c t i o np r o p e r t y c h a p t e r ip r e l i m i n a r i e s i nt h i st h e s i s ，w ew i l ld e n o t exan o n - e m p t ys e t , la nf u z z yl a t t i c e ( ac o m p l e t e l y d i s t r i b u t i v el a t t i c ew i t ha l lo r d e r - r e v e r s i n gi n v o l u t i o n ”) l xi st h es e to fa l ll - s e t s o nx 0a n d1d e n o t et h el e a s ta n dt h eg r e a t e s te l e m e n ti n l ( ，万) d e n o t ea n l - t o p o l o g i c a ls p a c e d e f i n i t i o n1 【1 5 1 9 2 0 2 2 2 4 2 7 1l e t ( ，万) b ea l ll t o p o l o g i c a ls p a c e ae ， t h e n ( 1 ) i fa e 艿，o ra ，t h e na i sc a l l e da sa no p e ns e to rac l o s e ds e t ，d e n o t et h e i n t e r i o ra n dt h ec l o s u r eo f ab ya oa n d a ，r e s p e c t i v e l y ( 2 ) ai sc a l l e dar e g u l a r l yo p e ns e ti f fa = ( a 寸a n da i sc a l l e dar e g u l a r l yc l o s e ds e t i f f a = 翻) ? ( 3 ) ai sc a l l e das e m i o p e ns e ti f ft h e r ee x i s tb 艿，s u c ht h a tb a b a n da i s c a l l e ds e m i c l o s e ds e ti f f t h e r ee x i s tb s u c ht h a tb o a b ( 4 ) a o = v bib a ，bi ss e m i o p e ns e t ，a 0i sc a l l e ds e m i i n t e r i o ro f a 九= a bla b ，bi ss e m i c l o s e ds e t ，九i sc a l l e ds e m i c l o s u r eo f a ( 5 ) ai sc a l l e dap r e o p e ns e tj f ra ( a ) oa n da i sc a l l e dap r e c l o s e ds e ti 疗a ( a 寸 ( 6 ) a 口= v bib a ，a i sa p r e - o p e ns e t ，a 口i sc a l l e dp r e i n t e r i o ro f a ( 7 ) a = 八 blb a ，ai sap r e - - c l o s e ds e t ) ，a i sc a l l e dp r e - c l o s u r eo f a ( s ) ai sc a l l e dar e g u l a r l yp r e o p e ns e ti f fa = ( a ) 口，a n da i sc a l l e dar e g u l a r l y p r e c l o s e ds e ti f f a = ( a 口) ( 9 ) ai sas e m i p r e o p e ns e ti f ft h e r ee x i s t sap r e o p e ns e tb s u c ht h a tb a b a n dai s c a l l e das e m i p r e c l o s e ds e ti f f t h e r ee x i s t sa p r e e l o s e ds e tb s u c ht h a tb o a b ( io ) a o = v blb a ，ai sas e m i p r e - o p e ns e t ，a 口i sc a l l e ds e m i p r e - i n t e r i o ro f a ( 11 ) a 一= 八 bib a ，ai sas e m i p r e - e l o s e ds e t ) ，a i sc a l l e ds e m i p r e c l o s u r eo f a 。d e f i n i t i o n 2 3 0 】l e tl b eal a t t i c ea n de l ei sc a l l e dap r i m ee l e m e n to f l ，i f p 八q 9 i m p l i e sp 鱼o rq9 ，w h e r ep ，q l d e f i n i t i o n 3 2 7 ll e tlb eal a t t i c ea n deel ei sc a l l e da ni r r e d u c i b l ee l e m e n to f l ，i f 7 t h ee q u a l i t yp v q = ei m p l i e sp = eo rq = e ，w h e r ep ，q 三 l e tm ( l ) b et h es e to fa l ln o n z e r oi r r e d u c i b l ee l e m e n t so fl f o rt h ed e f i n i t i o no fa n l - f u z z yp o i n tx , , ，w ef o l l o w p a r t i c u l a r l y ，w h e naem ( l ) , w es h a l lc a l lx , , ap o i n t ( o r a m o l e c u l e ) i n l x p u tm ( 三) = 吃：x xa n d 口m ( l ) ) d e f i n i t i o n 5 2 l e tl b eal a t t i c ea n d 口el as e tbo fli sc a l l e dam i n i m a ls e to f & ，i f t h ef o l l o w i n gt w oc o n d i t i o n sh o l d ：( 1 ) b f a ；( f o re a c hx e b a n de v e r ys u b s e t co f lw i t hc 之口，t h e r ei sz e cs u c ht h a tz ) 【 i naf u z z yl a t t i c e ，e a c he l e m e n tah a sag r e a t e s tm i n i m a ls e tw h i c hw ew i l ld e n o t e b y ( 口) ，p ( a ) n m ( d i sam i n i m a ls e to f 口，a n dt h a t 口 f ( 三) i f f f l ( a ) n m ( l ) i s ad i r e c t e d s e t 3 0 w e w i l lp u t 矿 ) 2f l ( a ) n m ( l ) a n d 口( ，) = ( r ) ，f o re a c h el ，w eh a v et h ed e f i n i t i o n ： 西= a ：a e ，vo = v p ：p e ，八o = a p ：p e ， f o rr e l ，c a ) 2 x e x ：a ( x ) r ) d e f i n i t i o n 6 3 0 】an e ti n ( ，万) i sam a p p i n gs ：d 专m ( 三) ，d e n o t e db y s = s ( n ) ，ned ，w h e r ed i sad i r e c t e ds e t i f aefa n df o re a c hned ，s ( n ) ea ，t h e n si sc a l l e dan e ti na an e tsi sc a l l e da n 口n e t ( 口m ( 三) i ff o r e a c h 名( 口) ，t h e r ei sn oe ds u c ht h a tv ( s ( n ) ) 名w h e n e v e rn n o ，w h e r e v ( s ( n ”i st h eh e i g h to f p o i n ts ( n ) d e f i n i t i o n 7 3 0 as e t c i sc a l l e daf i l t e r , i fp sq t o g e t h e rw i t hpe 怠i m p l i e sq a n d p , q e ：ii m p l i e s p a q e z a f i l t e r i n l x i s c a l l e da n a - f i l t e r ( a m ( 三) ) ， i f f o r e a c hf 怠，v ，。x f ( x ) 口 8 c h a p t e r i il - f u z z yj - - o p e ns e t 2 1j - o p e ns e t d e f i n i t i o n2 1 1 1 2 s l e t l x ，万) b ea l ll - t o p o l o g i c a ls p a c ea n da e l x , a i sc a l l e d j - o p e ns e ti f a - ( a n ) 口a n da i sc a l l e dj c l o s e ds e ti f a ( a 口) “ w ew i l ld e n o t e a st h ef a m i l yo fj - o p e ns e t sa n dd e n o t e a st h ef a m i l yo ft h e j - c l o s e ds e t s p r o p o s i t i o n2 1 2r e g u l a r l yp r e - o p e ns e ti sj - o p e ns e t p r o p o s i t i o n2 1 3j - o p e ns e ti sp r e o p e ns e t t h er e v e r s eo f p r o p o s i t i o n1 ，2a r en o th o l d ，i tc a nb es h o w e db ye x a m p l e1 e x a m p l e1l c t x - a ，b ) ，l 一 o ，吉，詈，詈詈，昙，1 ) ，r o r 锄y ael ， 彳，_ - 九州( o ，0 ) ，( 吉，i 2 ，詈) ( 吾，吾) ( 1 ，1 ) ) t h e 删s e v i d e n tt h a t ( l x ，6 ) i sal - t o p o l o g i c a ls p a c e ( d s i n c e 【( 詈，詈) 人】口= ( 詈，昙) 口= ( 詈，i 4 ) ，s 。 - 2 6 ，詈) i s a j - o p e ns e t ( 2 ) s t n c e 【 - 2 6 ，昙