（理论物理专业论文）richclub网络与叶子网络时空混沌同步研究.pdf

# l 、t ， 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：垒卫塞垒 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：刍臣錾篓i ： 指导教师签名：羔细 签名日期：年月日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 复杂网络的同步研究已成为当代科学研究中的一个非常重要的具有挑战性的课题。 复杂网络的同步可以解释自然界的许多复杂现象，并与人们的日常生活和社会有着十分 紧密的联系，因此，对复杂网络的同步研究具有一定的实际意义和广泛的应用价值。本 文对复杂网络的研究进展做了概括性的介绍，包括复杂网络的研究历程、复杂网络的一 些基本概念、复杂网络模型的建立、复杂网络的性质、复杂网络同步的意义以及国内外 研究现状。此外，还研究了两种典型的复杂网络模型的同步：r i c h - c l u b 网络的同步和叶 子网络的同步。本文第三章研究了以p l a n k t o n 时空混沌系统作为网络节点，通过非线性 耦合构成r i c h - c l u b 网络的完全同步问题。基于l y a p t m o v 稳定性定理，通过理论分析确 定了实现网络完全同步的条件。进一步利用计算机仿真模拟对理论分析的结果加以验 证。第四章利用个n s 方程( n a v i e r s t o k e s 方程) 系统作为叶子网络节点，采用非 线性耦合构造叶子网络。首先给出了复杂网络中连接节点之间的非线性耦合函数的结 构，然后基于l y a p t m o v 稳定性定理，分析了实现整个网络混沌同步的条件，最后通过 仿真模拟检验了叶子网络的混沌同步效果，同时也验证了此方法的可行性。 关键词：时空混沌同步；r i c h c l u b 网络；叶子网络；l y a p u n o v 稳定性定理；数值模拟 r i c h - c l u b 网络和叶子网络时空混沌同步研究 s t u d yo ns y n c h r o n i z a t i o no fs p a t i o t e m p o r a lc h a o si nr i c h c l u ba n d l e a v e s n e t w o r k a b s t r a c t 髓es t u d yo ns y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e xn e t w o r kh a sb e c o m ea l li m p o r t a n ta n d c h a l l e n g i n gt o p i c m a n yc o m p l e xp h e n o m e n a i nn a t u r ec a nb e e x p l a i n e db y s y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e xn e t w o r k , a n di th a sac l o s er e l a t i o nw i t ho u rd a i l yl i f ea n d t h es o c i e t y ，t h e r e f o r e ，i ti so fg r e a tp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dh a sab r o a da p p l i c a t i o n p r o s p e c t ab r o a di n t r o d u c t i o ni sm a d eo nt h er e s e a r c hp r o g r e s so fc o m p l e xn e t w o r k si n t h i sp a p e r , w h i c hi n c l u d e st h er e s e a r c hc o u l 墨eo fc o m p l e xn e t w o r k s ，s o m eb a s i cc o n c e p t s ， t h ee s t a b l i s h m e n to fc o m p l e xn e t w o r km o d e l s ，n e t w o r kp r o p e r t i e s ，t h es i g n i f i c a n c eo f c o m p l e xn e t w o r ks y n c h r o n i z a t i o na n dt h er e s e a r c hs i t u a t i o na th o m ea n da b r o a da sw e l l m e a n w h i l e ，t w ok i n d so ft y p i c a lc o m p l e xn e t w o r ks y n c h r o n i z a t i o na r ea l s os t u d i e di n t h e p a r p e r ， w h i c ha r er i c h - c l u bn e t w o r k s y n c h r o n i z a t i o n a n dl e a fn e t w o r k s y n c h r o n i z a t i o n t h ec o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o no fr i c h - c l u bn e t w o r kw h i c hi sn o n l i n e a r c o u p l e dw i t hp l a n k t o ns p a t i o t e m p o m lc h a o sa sn o d e si ss t u d i e di nt h et h i r dc h a p t e r 啊1 c c o n d i t i o no fc o m p l e t en e t w o r ks y n c h r o n i z a t i o ni so b t a i n e dt h r o u g ht h e o r e t i c a la n a l y s i s b a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r e m f u r t h e rs i m u l a t i o ni sm a d et ot e s tt h e t h e o r e t i c a la n a l y s i sr e s u l t s nn a v i e r s t o k e se q u a t i o n sa r eu s e da sn o d e so ft h el e a v e s n e t w o r kw h i c hi sn o n l i n e a rc o u p l e di nt h ef o u r t hc h a p t e r 髓es t r u c t u r eo fn o n l i n e a r c o u p l i n gf u n c t i o nw h i c hc o n n e c t st h en o d e so ft h en e t w o r ki sg i v e nb a s e do nl y a p u n o v s t a b i l i t yt h e o r e m 硼1 cc o n d i t i o nt or e a l i z et h en e t w o r ks y n c h r o n i z a t i o ni sa n a l y z e d a n d s i m u l a t i o ni sm a d et ot e s tt h ee f f e c to ft h en e t w o r ks y n c h r o n i z a t i o na n dt h ef c a s i b i l i t yo f t h em e t h o d k e yw o r d s ：s p a t i o t e m p o r a lc h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ；r i c h - c l u bn e t w o r k ；l e a v e sn e t w o r k ； l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r e m ；n u m e r i c a ls i m u l a t i o n i i 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 1 绪 论一1 1 1 复杂网络概述1 1 2 复杂网络基本概念3 1 2 1 平均路径长度3 1 2 2 度与度分布。4 1 2 3 聚类系数6 l - 3 网络的基本模型7 1 3 1 规则网络：8 1 3 2l 泣机图9 1 3 3 小世界网络一1 0 1 3 4 无标度网络1 2 1 4 复杂网络的研究意义1 3 1 5 本文的主要工作15 2 复杂网络混沌同步方法j 1 6 2 1 复杂网络同步简要概述1 6 2 2 复杂网络同步的判定方法1 7 2 2 1 连续时间耦合网络的完全同步判据1 7 2 2 2 基于l y p u n o v 稳定性的判据1 9 2 3 复杂动态网络完全同步2 0 2 3 1 规则网络的完全同步一2 0 2 3 2 小世界网络的完全同步研究2 l 2 3 3 无标度网络的完全同步2 2 2 4 其他网络完全同步判据：2 3 2 4 1 离散时间耦合网络完全同步判据2 3 2 4 2 环形网络同步研究一2 4 2 4 3 随机网络的完全同步2 5 3 大规模r i c h - c l u b 网络的时空混沌同步：2 7 3 1 引言2 7 3 2 网络同步原理2 7 空混沌同步研究 3 0 4 0 4 1 z 1 1 4 2 4 3 4 7 4 8 4 8 4 9 5 0 ：；：； ：5 4 辽宁师范大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 复杂网络概述 2 0 世纪9 0 年代以来，随着经济的发展、科技的进步，网络已经离不开人们的生活。 人们常用的计算机互联网；各种新陈代谢、神经网等生物网络，铁路、公路、航天等交 通网络；亲戚、朋友等社会关系网等等，网络在人们的生活中随处可见。但是，凡事都 有两面，人类社会的网络化就像一枚硬币也有两个面：网络化正面是给人们生产和生活 提供了方便，提高了人们的生活质量，反面是同时它产生了一定的负面影响，如传染病 ( s a r s 、h i n l 流感) 的传播、计算机病毒的传播以及大面积的停电事故等等。因此， 人们为了更好的适应我们这个网络化社会就要更好的认识和研究网络行为。：o 复杂网络是具有一定的特征和功能的、互相影响和关联的基本单元所构成的复杂集 合体。一般的复杂网络节点数目众多，拓扑连接结构也是多种多样的。复杂网络的作用 是广泛的，它可以描述人与人之间的关系、物种之间的捕食关系、计算机之间的网络连 接、科学家之间的合作关系、以及科研文章之间的引用关系等等。复杂网络是一个复杂 的集合体，因此不适宜对个体进行孤立的分析、适合采用系统的整体的分析方法，同时 还需研究复杂网络的动力学行为，因为研究复杂网络的动力学行为有助于社会学、通信 科学、生命科学和电力科学等不同科学的研究发展。社会网络是社会学的研究对象；通 信网络是通信科学的研究对象；生物网络是生命科学的研究对象；电力网络是电力科学 的研究对象可以看出复杂网络已经渗透到众多不同的研究领域【l 。1 0 】，因此对复杂网 络的研究已成为网络时代的挑战性课题。复杂网络的本质是节点与节点之间的相互连 接、作用和影响，要找到它们之间的共性和适用的处理方法。 随着复杂网络研究的兴起，使得人们开始广泛关注网络结构复杂性及其与网络行为 之间的关系。对于网络研究的兴起，这要追溯到1 8 世界伟大的数学家e u l e r 对“七桥问 题”的研究。在东普鲁士( 现俄罗斯) 的一个小城镇有一条横贯这座城镇的河，河中有 桥， 之，则 r i c h - c l u b 网络和叶子网络时空混沌同步研究 的研究思想与人们对复杂网络的研究思想在有些地方是一致的，即网络结构和网络性质 之间有着紧密的联系。 在e u l e r 解决七桥问题后，匈牙利数学家e r d 6 s 和r 6 n y i 创建的随机图理论在数学 上开创了复杂网络理论的系统性研究并且成为了研究复杂网络的基本理论。e r d 6 s 和 r 6 n ) ，i 在研究的随机图模型过程中，他们认为任意两个节点之间都有一条概率为p 的边 相连。因此，若有一个随机图模型共有个节点，这个随机图边的总数为一个期望值为 p n ( n 一1 ) 2 】的随机变量。那么，产生一个有个节点、m 条边的随即图的概率为 p 肘( 1 一p ) ( n - 1 ) 坨埘。接着e r d o s 和r 6 n y i 又系统地研究了当寸( 2 0 时随即图的性质与 概率p 之间的关系。具体方法是先做如下定义：几乎任意一个随即图都具有某种性质r ， 且当寸0 0 时产生这种性质r 的随机图的概率为1 。e r d o s 和唧还有一个非常最重 要的发现就是：对于随即图的某些性质，任一给定的概率p ，要么几乎每一个图都具有 这个性质，要么几乎每一个图都不具有这个该性质。e r d o s 和r 6 r n y i 创建的随机理论在 当时被当作复杂网络研究的基本理论，并且持续了很长时间。在此期间，人们也做了尝 试操作了像m i l g r a m 的小世界实验、弱连接强度、k e v i nb a c o n 游戏、1 n t e m e t 上的小世 界实验等等一些解释网络特征的实验。但是有很大部分的网络结构并不是完全随机的， 也不是规则的，而是具有不同的统计特征的网络。像两个城市之间是不是有直达的火车， w w w 上两个网页之间是否有超文本链接，一个院系的两个同学是否认识等都不能靠抛 硬币来决定。 在2 0 世纪即将结束之际，人们对复杂网络的研究和探索发生了重要的转变，复杂 网络理论研究也不再只限于数学领域。人们开始研究节点数众多，连接结构复杂的实际 网络的整体特性，并在从物理学到生物学的众多科学中掀起研究复杂网络的热潮。美国 c o m e l l 大学理论和应用力学系的博士生w a t t s 及其导师非线性动力学专家s t r o g a t z 教授 于1 9 9 8 年6 月在n a t u r e 杂志上发表的论文题为小世界网络的集体动力学和美国 n o t r e d a m e 大学物理系的b a r a b a s i 教授及其博士生a l b e r t 于19 9 9 年10 月在s c i e n c e 杂 志上发表的论文题为随机网络中标度的涌现被看作复杂网络研究新纪元开始的标志。 这两篇论文揭示了复杂网络小世界特征和无标度性质，并建立了模型以阐述这些特性的 产生机理。 自然界中存在的大量复杂系统可以通过形形色色的网络加以描述，网络的复杂性主 要包括构成网络结构的复杂性、耦合的复杂性、时空演化复杂性等方面。一个典型网络 是由许多点与连接两个点之间的边组成的。其中用节点来代替实际系统中表示个体的单 元，连接网络节点的边用来代替个体与个体间的相互作用。一般来说，现实生活中许多 系统都可以用复杂网络模型来表示。例如，人们的社会关系可以看作是由人们和人与人 辽宁师范大学硕士学位论文 之间的沟通和交流将人们连系在一起形成的网络；大量神经细胞通过神经纤维相互连接 形成的网络；计算机网络可以看作是光纤和计算机相互连接形成的网络；食物链网是由 物种和各物种之间的捕食关系所构成的网络；社会是由人组成的复杂网络；科研交流网 中各学科和各学科的交叉所组成；类似的还有航空网、交通网、经济网络、电力网等 1 1 - 1 3 】。 ， 迄今，为了更好地研究复杂网络，不仅需要考虑网络中每个节点的动力学行为，还 需要考虑复杂网络的拓扑结构、复杂网络的耦合方式、复杂网络的同步技巧等因素对网 络的影响。目前，人们对网络模型、网络特征、网络的动力学行为等方面均做了大量的 研究，也提出了许多概念和方法，下面介绍复杂网络的基本概念。 1 2 复杂网络基本概念 一个具体复杂网络数学上可以抽象为由节点集y 和边集e 组成的结构图 z = ( 以e ) 。其中节点数记为m = l v i ，e 是复杂网络中连接所有节点的边的集合，记为 n = i e l ，e 中每条边都有y 中一对点与之对应。如果任意的两个节点( f ，歹) 与u ，f ) 所连 接的边只对应为一条边，这种网络称为无向网络，否则，称为有向网络。如果给每条边 赋予相应的权值，那么该网络就称为加权网络，否则称为无权网络。无权网络也可以看 作权值为1 的等权网络。 随着复杂网络的研究受到了广泛关注，在描述网络结构特征上又提出了一些基本概 念，其中三个重要的基本概念为：平均路径长度、节点度分布、聚类系数。事实上， w a t t s 和s 们g t z 所构造的小世界网络模型的设想，就是在构造个综合特性的网络模型， 这种网络模型既要具有小的平均路径长度( 相似于随机图) 和较大的聚类系数( 相似于 规则网络) ，既不能当作规则网络，也不能看作随机网络，后来人们把大的聚类系数和 小的平均距离两个统计特征联系在一起成为小世界特征，具有这种特征的网络成为小世 界网络。大量事实表明，几乎所有真实的网络都具有小世界特性，同时科学家们还发现 大部分真实网络的节点度分布服从幂率分布，对于实际网络的度分布呈现出幂律分布的 这种形式，b a r a b 矗s i 和a l b e f t 称之为无标度网络模型。下面介绍具体介绍平均路径长 度、节点度分布、聚类系数这三个概念。 1 2 1 平均路径长度 平均路径长度是网络中一个非常重要的特征量度。网络中，两个节点f 与，之间的 最短距离d 圩定义为连接这两个节点对之间的最短路径上边的数目。任意节点对之间的 距离的最大值称为网络的直径，记为d ，即 d 2 学嘞 ( 1 1 ) r i c h - c l u b 网络和叶子网络时空混沌同步研究 平均路径长度定义为任意两个节点之间距离的平均值。它描述了网络所有节点的分离程 度。网络中的任意两点间有一条最短的路径，它等于沿这条路径从一个节点到另一个节 点所经过的最少边数，平均路径长度表示网络中所有节点对之间的最短路径的平均值。 ( 这里我们不考虑节点到本身的距离) 平均路径长度可以表达为： 三= r 一毛 ( 1 2 ) 之n 心- 1 ) 哦 其中n 为网络节点数。近期的研究发现，尽管实际许多复杂网络节点数很大，但网络的 平均路径长度却小得惊人。 1 2 2 度与度分布 度是一个跟节点有关的重要概念，节点i 与该节点连接的其他节点的数目定义为节 点的度忽。在网络中度起着重要的作用，而且在不同的网络具有不同的含义。例如在社 会网络中，作为个体的节点，如果它的度越大，它对整体的影响力就越大，也就是说在 整个网络中的作用就很大，反过来，如果节点的度很小，它的影响力就小。因此，节点 的度反映了个体对整个网络的影响力。例如，在图1 1 所示的网络示意图中，根据上述 节点度的定义，通过计算节点a 的连通度k 。= 2 ，节点b 的连通度= 1 ，c 的连通度 t = 2 ，节点d 的连通度为= 3 。 b 图1 1 网络示意图 一4 一 辽宁师范大学硕士学位论文 网络中所有节点i 的度七，的平均值叫做网络节点的平均度，记为( k ) 。节点的度分布 用分布函数p ) 来描述。p ) 定义为一个随机选定的节点的度恰好为k 的概率，p ( 七) 是 用来描述网络中节点的度分布情况。从目前的研究来看，节点的度分布主要有两种：一 种分布是幂率分布，节点度服从幂率分布就是指某一个固定度的节点数与这个固定度之 间的关系可以用一个幂函数来近似地表示。从数学上，我们知道，幂函数曲线是一条缓 慢下降的曲线，也就是说真是网络中会存在很多度很大的节点。对于规则网络和随机网 络，度分布的区间非常狭窄，大部分节点的度都与度均值接近，因此节点的度均值可以 看作一个特征的标度也叫做网络饿无标度特性。由此分析出幂函数分布具有标度不变 性，我们把节点度服从幂率分布的网络称之为无标度网络，另一种是指数分布，随着节 点度k 的增大，。p ( 豇) 以指数形式衰减，如图1 2 - 1 3 所示。 节点度分布是描述复杂网络的一个重要统计特性。网络中节点的度指的是与该节点 连接的边数，因此也叫连通度。也就是说节点度越大连通的范围就越广，节点在网络中 的影响力也就越大。 以交通网为例，北京作为中国铁路网的一个节点，由于北京与中国其它很多城市都 直接连通的，那么北京这个节点的度就大，北京在整个中国铁路网所起的作用就大，在 中国铁路网的地位就重要。 p o i s s o n0 i g i r i h 建i o n 良 图1 2 p o i s s o n 分布 r i c h - c l u b 网络和叶子网络时空混沌同步研究 图1 3 幂律分布 1 2 ：3 聚类系数 在航空网中，北京可以直达大连和沈阳，大连和沈阳也可以直达，这种相似的属性 就是网络的聚类特性。网络中的一个节点f ，这个节点和其它节点之间有k ，条边相连， 对应连接的这k 。个节点就是节点i 的邻居。那么在这些最邻近的节点点之间最多可能存 在的边数为屯阮一1 ) 2 条，我们把这t 个节点之间实际存在的边数局和总的可能的边数 t ；一1 ) 2 的比值定义为节点f 的聚类系数g ，表达式为 q = 2 e , 一1 ) ) ( 1 3 ) 也就是说，用聚类系数q 表示这些可能存在的边中实际上存在的百分比，它能描述网络 中节点与节点集合成团的趋势。 一一。 聚类系数义是由w a t t s 和s t r o g a t z 提出的，上述定义可以等价为： 。包含顶点舶三角形的个数 i = 一 以顶点沩中心的三元组的个数 ( 1 4 ) 辽宁师范大学硕士学位论文 这里，包括节点珀勺三个节点表示与节点i 相连的三元组，并且节点i 到其他两个节 点的有两条边至少存在。 我们把所有节点i 的聚类系数e 的平均值称为整个网络的聚类系数，用c 表示。很 明显，c 的取值范围是0 c 1 。若c = 0 也几意味着节点之间没有任何边连接，也就 是说这些节点为孤立节点；若c = 1 ，则说明网络中任意节点都是直接相互连接的，也 就是此时的网络是全局耦合的。很多大规模的实际网络，它们的聚类效应都很明显。 下面我们以图1 1 所示的网络为例来计算网络的聚类系数。节点a 的邻居是节点d 和 节点c ，它们最多可能存在一条边，而实际上也存在一条边，所以得出节点a 聚类系数 e = 1 。与节点c 最临近的节点a 和d ，同理也得出节点c 的聚类系数c = l 。与节点d 相 邻的节点是a ，b ，c ，它们最多可存在三条边相连，而实际上却只有一条边相连，所以得 出q = 1 3 。 对于度为0 或1 的节点，由于与节点相连的三角形和三元组的个数都为0 。定义这 些顶点的聚类系数g = 0 ，所以g = 0 。那么，整个网络的聚类系数就是求g 的平均值， 即： c = 三军g 利用( 1 4 ) 得出整个网络的集聚系数平均值，即： c = ( 1 + 0 + 1 3 + 1 ) 4 = 7 1 2 ( 1 5 ) 1 3 网络的基本模型 随着人类社会趋于网络化，人们对网络的研究也越来越关注，研究的角度也越来越 广泛，从网络结构、网络行为、网络同步等多方面研究。对于网络的研究，网络结构的 研究是网络研究的基础，并在此基础上建立不同的网络模型。其中包括小世界网络模型、 无标度网络模型、最邻近网络模型、全局网络模型、星形网络模型、链式网络模型等。 下面介绍几种基本网络模型。 r i c h - c l u b 网络和叶子网络时空混沌同步研究 1 3 1 规则网络 在网络研究的初期，人们开始研究的是规则网络。规则网络是指节点之间的连线是 按规则确定的，像一维链、二维格，如图1 4 1 5 。一些常见的规则网络还有全局耦合 网络、最邻近复杂网络、星形复杂网络、链式网络等。如图1 6 所示，全局耦合网络是 指网络中任意两个节点之间都是用边直接连接的，因此全局耦合网络的平均路径长度是 三= 1 和聚类系数c = 1 。如图1 7 所示，最近邻耦合网络是指网络中每一个节点与它相 邻的节点相连接，网络的聚类系数为c = 嚣等岩署。显然最邻近网络最有最高的聚 类系数且与网络的规模没有关系，而且不具有小世界特征，其平均路径长度为l 。， 如图1 8 所示，星型网络是指网络中中心的节点与它周围所有的节点都连接。如图1 9 所示，链式网络是指网络中的节点是顺次连接。 图1 4 一维格 图1 6 全局耦合网络图 图1 5 二维格 图1 7 最近邻耦合网络 辽宁师范大学硕士学位论文 气 1 膨心 7n 图1 8 星型网络图1 9 链式网络 1 3 2 随机图 随机网络是与规则网络相反的网络。最典型的随机网络模型是e r d o s 和r a a y i 研究 的随机图模型( 简称e r 随机图) 。e r 随即图模型的定义为：在图中的个节点间， 随机连接行条边形成的随机网络。e r d 6 s 和r 6 咖系统地研究了e r 随机图的性质：当 0 0 时，e r 随即图能产生某种性质的概率是1 ，那么就可以说几乎每一个e r 随机图 都能产生这种性质。对于一个给定的概率尸，要么几乎任意一个e r 随机图都具有该性 质，要么几乎任意一个e r 随机图都不具有该性质。下面介绍随机图的描述方式。e r 随机图的描述方式有两种：第一种是假设网络给定了个节点，任意节点之间连接的概 率为p ，并且用d ( ，p ) 表示生成的网络，由于网络中节点之间的连接边数是一个随机 变量值，这个值的取值范围是从0 - n ( n 一1 ) 2 ，那么将以概率为 p ( d u ) = p m ( 1 一p ) e ( - 1 ) 他m 产生一个，随机网络具有n 个节点，m 条边。同时可以得 出可以产生2 ( _ 1 ) 化个不同的随机网络，他们服从二项分布。第二种：已知网络节点数 n ，和连接边的总数m ，总的边的连接可能有n ( n 一1 ) 2 条，从这些边中连接m 条，并 且忽略重边的产生情况，用d ( n ，m ) 表示生成的网络，构成一个概率空间。生成的网络 都服从均匀分布，生成任何网络的概率都是相同的。 麓 布遵循 数的特 的网络 的小世 间的连 机网络 备聚类 而现实 都不相 ，w a t t s 辽宁师范大学硕士学位论文 和s t r o g a t z 提出的小世界网络模型( 简称w s 小世界网络) 。w a t t s 和s t r o g a t z 提出的小 世界网络模型具有较小的平均路径长度同时具有较大的聚类系数。 w s 模型构造算法如下描述：首先假定有一个含有个节点的规则网络中的最邻近 网络，每个节点与它最邻近的k 2 个节点相连，( 这里k 为偶数) 构成一个规则的环。 接着，对边进行随机化重连，即以概率p 对网络中的每一条边进行重新连接，即保持边 的一个端点固定不变，而另一个端点随机地放到另一个节点位置上，过程中要求不能出 现重复连接和与自身连接。 上述w s 模型中，通过对概率p 的调节，实现了由规则网络过渡到完全随机网络， 如图1 1 1 所示。 ( a ) 隧机重连 图1 1 1 小世界网络模型的构造 w s 小世界网络的基本特征： ( 1 ) 、w s 小世界网络聚类系数表示为： 嘶) = 3 4 ( k - 一2 1 ) ) r p ) 3 可以看出小世界网络具有较高的聚类系数。 ( 2 ) 、w s 小世界网络平均路径长度。这里，利用重正化群( n e w m a n 与w a t t s ) 的 方法得到如下近似表达式： 三。) = 竿肌2 ) ( 1 7 ) 疗，17 、 r i c h - c l u b 网络和叶子网络时空混沌同步研究 其中以) 为一普适标度函数，满足 厂0 ) = 恤u ) u “ 1 厂 ) = c o n s t a n t“1 ( 1 8 ) ( 3 ) 、w s 小世界网络的度分布： 当k k 1 2 时有， 尸 ) = l k - k y j t w 勋- 、) 雀l - 等) 肛七靠 ( 。 当k 0 ；h ( x ，) 为各个节点状态变量之间的内部耦合函数也叫各节点的输出函数，这里 假设每个节点状态变量之间的耦合函数( 节点的输出函数) 是完全相同的；耦合矩阵 a = 0 扩) 尺m 表示网络的拓扑结构，并且耦合矩阵满足耗散条件嘞= 0 ，当所有节 j = 0 点状态都相同时，混沌耦合系统系统方程2 2 1 式右端的耦合项就会自动消失。当耦合 矩阵彳描述了一个无权无向的简单网络的拓扑结构时，具体定义如下：若节点f 和节点歹 ( i j ) 之间有连接，则口扩= a 芦= 1 ；否则a 分= a = 0 ( i j ) 。对角元为 nn = 一口掌= 一口f 】f = 咄，i = 1 ，2 ，n ( 2 2 2 ) ，= lj 耐 ，耐，耐 r i c h - c l u b 网络和叶子网络时空混沌同步研究 这里后；为节点f 的度。耦合矩阵彳此时显然是对称矩阵。由图论可知，一彳称为图 的l a p l a c e 矩阵。如果假设网络是连通的，则彳是一个不可约矩阵。通过矩阵理论可以 得到，耦合矩阵彳有且仅有个重数为l 的零特征根，并且其对应的特征向量为 ( 1 ，l ，1 ) r ，此时耦合矩阵彳对应的是网络的不同步形式。而矩阵么其余的特征根都是负 实数。由于耦合矩阵彳为对称矩阵，由耦合矩阵彳除零特征根以外的所有特征根对应的 特征向量构成了n 一1 维子空间的正交特征向量( 1 ，1 ，1 ) r 。 如果当t 一时，有 x l ( f ) _ x 2 ( f ) - 9 一确( f ) 一s ( t ) ( 2 2 3 ) 就称为方程( 2 2 1 ) 达到完全同步。由于耗散耦合条件，同步状态s ( 力r 必为单 个孤立节点的解，满足j ( f ) = 厂( s ( f ) ) 。其中s ) 是可以使孤立节点的平衡点，或者周期 轨道，甚至是混沌轨道。 对于方程( 2 2 1 ) 关于同步状态s o ) 线性化，令4 为第f 个节点状态的变分，得如 下变分方程： 磊= 巧( 占) 匹+ 鲈d h ( s ) 8 ： ( 2 2 4 ) ，1 1 其中d f ( s ) 和d h ( s ) 分别为厂( s ) 和日o ) 的关于s 的j a c o b i 矩阵，令万= 4 ，疋，西】， 则式( 2 2 4 ) 可以写为 万= o f ( s ) j + c d h ( s ) t t 4 2 记a r = s a s 1 为矩阵么的j o r d a n 分解，这里不妨假设彳为对角阵，即 人= d i a g ( 2 1 ，如) oo 丸) ，其中 疋) 盘是矩阵彳的特征根，且a = 0 。再令 ，7 = 【7 7 1 ) 刁2 ，刁 ，】= 舔，得疗= 三矿( s ) 7 7 + c d h ( s ) r l a 上式可等价为 巩= 【d r ( s ) + c 2 k d h ( s ) j ，l k ，后= 2 , 3 ，n ( 2 2 5 ) 判断同步流型稳定的一个常用判据是要求方程式( 2 2 5 ) 的正交l y a p u n o v 指数的 值全为负值。 在方程式( 2 2 5 ) 中，这里只有r 。和4 与k 相关。考虑到当矩阵么为非对称阵时， 其特征值可能为复数，因此定义主稳定方程如下： 夕= 【d r ( s ) + ( 口+ i f l ) d h ( s ) y ( 2 2 6 ) 该方程的最大l y a p u n o v 指数为变量口和的函数，也是方程( 2 2 1 ) 的主稳定函 数。 辽宁师范大学硕士学位论文 若给定一耦合强度c ，在( 口，) 复平面上可以对应地找到固定的一点c 以，点以 所对应的最大l y a p u n o v 指数的正负号反映了该特征模态是否稳定( 若正号，表示不稳 定，负号则表示稳定) 。如果与五 = 2 ，3 ，忉对应的所有的特征模块都是稳定的， 那么此时整个网络的同步流型形式( 2 2 3 ) 是渐进稳定的。 2 2 2 基于l y p u n o v 稳定性的判据 当一个系统足够远离热力学平衡并且内部涉及某些适当的非线性动力学系机理时， 均匀的不随时间变化的非平衡定态可以变得不稳定。在平衡和近平衡情况下，不论系统 中的动力学机制如何，发展过程总是单向地趋于平衡态或与平衡态有相似行为的非平衡 态。而在远离平衡态的条件下，过程的发展方向不能单存依靠热力学方法来确定。而这 种动力学行为则需要动力学方程及其解来确定。 运用l y a p u n o v 函数法【4 8 】，我们可以不需要求解复杂的非线性微分方程，而是构造 一个l y a p u n o v 函数。要求构造的l y a p u n o v 函数正定且对时间的全导数为负定，以此来 判定系统的稳定性。l y a p u n o v 函数法在复杂网络混沌同步中已经被广泛应用。尽管复 杂网络混沌同步的稳定性分析中，运用l y a p u n o v 函数法，构造l y a p u n o v 函数能够使复 杂问题简单化，但是构造l y a p u n o v 函数也并不是轻而易举的，构造l y a p u n o v 函数的技 巧、方法和经验在解决非线性问题时是十分重要的。 设矿k ，屯，) 为在相空间原点( x 。= x 2 = 毛= o ) 某个邻域d 中的单值连续函 数，若y 在d 中不变号，仅保持在原点处为零，则称y 是定号的；如果y 在d 中取同号 或零值，则称y 是半定号的；除上述情况外，则称矿是非定号的【4 9 】。 1 ：参考态( 而= x ，= = x 。= o ) 在区域d 中，如果可以确定一个定号函数矿，它的 全导数矿是定号的，而且y 在矿中取值能使形 0 ，则参考态是不稳定的。 2 ：如果可以在d 中确定一个定号函数矿，它的全导数矿在d 中是符号与y 相反的 半定号函数，或者为零，则参考态是稳定的。 3 ：如果可以确定一个定号函数y ，它的全导数矿是定号的，而且有和y 相反的符 号，则参考态是渐近稳定的。 通过稳定性的定义以及l y a p u n o v 稳定性理论可以知道，若能找出一个和定态相关 的l y a p u n o v 函数，则可以确定系统的定态在某一有限范围的稳定性而避免了直接去描 述系统动力学行为的动力学方程的解。但是对于大多数实际系统来说，寻找一个 l y a p u n o v 函数也并不是一件很容易的事，为此，人们找出另一种简便有效的方法对描 述系统动力学行为的动力学方程组定态解的稳定性作出定性的判断，这种方法是在非线 r i c h - c l u b 网络和叶子网络时空混沌同步研究 性动力学方程组来研究定态解对小扰动的稳定性，我们称之为稳定性分析的方法。f 回 介绍稳定性分析定理 定理设有非线性方程组 警钒厶x j ) 阳庐沙刀) ( 2 2 7 ) 设毛( f ) 是定态解x i 。附近的小扰动， x i = x i o + x i 矧“= 1 ，2 ，露 ( 2 2 8 ) 方程组( 2 2 7 ) 在定态解玩附近的线性化方程为 瓦d x i = 羔j = l ( 箬j 坞 ( 2 2 9 ) 若此线性化方程组的零解事渐进稳定的，则非线性化方程组( 2 2 7 ) 的定态解也是 渐进稳定的；若其零解不是稳定的，则定态解x ，。也是不稳定的。 2 3 复杂动态网络完全同步 2 3 1 规则网络的完全同步 下面介绍规则网络的完全同步【4 7 】。网络的同步化能力由耦合矩阵4 的第二大特征值 厶确定。对于节点度k ( 假设为偶数) 的最邻近耦合动态网状态方程( 2 2 1 ) 而言，它 对应的耦合矩阵彳。是一个循环阵，它的第二大特征值为 k ， 二一 一? 五聊- - 4 e s i n 2 ( 等) ( 2 3 1 ) j i l ” 对任意给定的k ，当网络规模一时，如。单调上升趋于零，因此，当网络规模很大 时，最邻近耦合网络无法达到同步。 ， 全局耦合网络对应的耦合矩阵为 如= 一+ 1 l l l l 一+ l 1 1 ： 1 1 1 1 1 一+ 1 辽宁师范大学硕士学位论文 如除了一个零特征根外其余的特征根都为一n 。因此，当网络规模寸时，第 二大特征根五。= - n ，单调下降趋于负无穷大，说明全耦合网络很容易达到同步。例 如动态网络状态方程( 2 2 1 ) 若有星形的耦合结构，那么对应的耦合矩阵如下： 以= 一+ 1 l l l 1l 1 一lo 0 o0 0 00 一1 它的第二大特征根为厶。= 一1 ，与网络的规模无关，所以网络的同步化能力与网络的规 模无关。 基于上述分析，对于连续时间耗散耦合的动态网络状态方程( 2 2 1 ) ，可以得到如 下结论：l 、对给定的耦合强度c ，不管它有多大，当网络的规模充足够大时，最邻近耦 合网络无法达到同步。2 、对于给定的非零耦合强度c ，不管它有多小，只要网络规模充 分大，全局耦合网络必然可以达到同步。3 、星形耦合网络的同步化能力与网络规模无 关，即只要当耦合强度大于一个网络规模无关的临界值时，星形网络可以实现同步。 2 3 2 小世界网络的完全同步研究 考虑具有n w 小世界拓扑结构的连续时间耦合动态网络状态方程( 2 2 1 ) 的同步化 能力【4 7 】。假设n w 小世界网络网络的耦合矩阵中0 元素对应于以概率p 加边的过程，以 概率p 置换为1 ，所以，将最邻近耦合矩阵彳。中d d = a 。= 0 的元素，以概率尸置换为 口口= 口。= 1 ，再根据( 2 2 1 ) 式重新计算对角线元素，就可以得到n w 小世界网络的耦 合矩阵，记为彳。( p ，忉。令五。( 只 d 为对应的第二大特征根。 图2 1 如。( p ，忉随概率p 的变化曲线图n = 2 0 0 r i c h - c l u b 网络和叶子网络时空混沌同步研究 努 图2 2 如。仍聊随概率尸的变化曲线图n = 5 0 0 图2 1 - 2 2 分别给出了节点数n = 2 0 0 和节点数n = 5 0 0 的情形下，具有不同连接概率p 的n w 型小世界网络模型对应