（应用数学专业论文）常微分方程边值问题.pdf

b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ro r d i n a r y 料炒炒 d i f f e r e n ti a le q u a ti o n s y i nq i f e n g at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e 1 n a p p l i e dm a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rg u os h a n g j i a n g 0 c t o b e r ，2 0 1 0 成果 已经 文中 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，奄年解密后试用本授权书。 2 、不保密匝 ( 请在以上相应方框内打“”) 日期：沁口年f 月j 日 日期钿c 矿年fl 月f 日 ，砌、归 磊 卫 磅、及吖 ，_ ： ：r ， 蕊轧舀 签签 烈雁佑斟 硕士学位论文 摘要 边值问题普遍存在于自然科学的各个领域，其解的存在性一直是广大学者和 专家关注的问题本论文借助不动点定理( 包括k r a s n o s e l s k i i s 不动点定理、锥和 增算子不动点定理、s c h a u d e r 不动点定理) 研究几类非线性微分方程边值问题解 的存在性本文共分四章，主要包含三个方面的内容：一是一阶无穷区间上脉冲边 值问题解的存在性；二是一阶边值问题解存在性；三是n 阶无穷区间上脉冲积分 微分方程边值问题正解的存在性 第一章简述了非线性常微分方程边值问题的历史背景和发展，及本文的主要 工作 第二章考虑了一阶无穷区间上脉冲边值问题解的存在性，通过利用k r a s n o s e l s - k i i s 不动点定理讨论其解的存在性建立了一类无穷区间上脉冲边值问题解的存 在性 第三章研究了一类一阶边值问题解的存在性，通过构造一类特殊锥和增算子 不动点定理，我们得到了此问题解存在性 第四章研究了n 阶无穷区间上脉冲积分微分方程边值问题正解的存在性，通 过s c h a u d e r 不动点定理考察了其解的存在性 关键词：微分方程；边值条件；k r a s n o s e l s k i i s 不动点定理；增算子不动点定 理；s c h a u d e r 不动点定理。 l i 硕士学位论文 a b s tr a c t b o u n d a r vv a l u ep r o b l e m so c c u ri nv a r i o u sf i e l d so fn a t u r a ls c i e n c e t h ee x - i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa t t r a c t sm u c ha t t e n t i o no fm a n y f 籼u sm a t h e m a t i c i a n sa l la r o u n dt h ew o r l d i nt h i st h e s i s ，t h ee x i s t e n c eo fs o - 1 u t i o i l sf o rs e v e r a lc l a s s e do fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m sa r ei n v e s t i g a t e db yu s i n gt h ef i x e d - p o i n tt h e o r e m s ( i n c l u d i n gk r a s n o s e l s k i i s f i x e d p o i n tt h e o r e m ，i n c r e a s i n go p e r a t o rf i x e d p o i n tt h e o r e m ，s c h a n d e rf i x e d p o i n t t h e o r e m ) t h et h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ep r e s e n tas h o r tb a c k g r o u n da n dh i s t o r yo fr e s e a r c h e so n b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h e m a i nc o n t r i b u t i o n so ft h ep a p e r i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rac l a s so ff i r s t o r d e r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m o i la nu n b o u n d e dd o m a i nw i t hi m p u l s i v ec o n d i t i o n s w e o b t a i nt h ee x i s t e n c ec o n d i t i o n sb ym e a n so fk r a s n o s e l s k i i sf i x e d p o i n tt h e o r e m i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mf o rf i r s to r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n b yc o n s t r u c t i n ga s p e c i a ln o r m a lc o n e a n du s i n gt h ei n c r e a s i n go p e r a t o rf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w ep r e s e n ts o m ee x i s t e n c e r e s u l t sa b o u tp o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rac l a s so ff i r s to r d e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n c h a p t e r4i sd e v o t e dt ot h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h eb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mf o ra nn t h - o r d e rn o n l i n e a ri m p u l s i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o na ni n f i n i t ei n t e r v a lb ym e a n so fs c h a u d e rf i x e dp o i n t k e yw o r d s ：d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；b o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n s ；k r a s n o s e l s k i i s f i x e d p o i n tt h e o r e m ；i n c r e a s i n go p e r a t o rf i x e d - p o i n tt h e o r e m ；s c h a u d e r f i x e d p o i n tt h e o r e m i i i 硕士学付论文 目录 学位论文原创- 陛声明和学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t 第1 章绪论1 1 1 背景介绍1 1 2 问题的提出4 第2 章一阶无穷区间上脉冲边值问题解的存在性9 2 1 引言9 2 2 准备工作1 1 2 3 主要结论1 2 第3 章一阶边值问题解的存在性1 7 3 1 引言1 7 3 2 准备工作1 8 3 3 主要结果2 0 3 4 例子2 1 第4 章n 阶无穷区间上脉冲积分微分方程边值问题正解的存在性2 3 4 1 引言2 3 4 2 准备工作2 5 4 3 主要结果3 0 结论3 3 参考文献3 4 附录( 攻读学位期间所撰写的学术论文目录) 3 9 致谢4 0 硕士学位论文 1 1 背景介绍 第1 章绪论 从十七世纪到十九世纪后半期，这一漫长的时期内，人们设法用各种方法求微 分方程的通解，随着历史的发展，人们在求解的过程中遇到的困难越来越大，随着 科学技术的发展和进步又提出大量的常微分方程问题，这就要求人们寻找新的途 径来解决这些问题 在常微分方程基础教程中我们知道，常微分方程的重要定解问题一初值问题 然而，在科学技术、生产实际问题中，还向我们提出了另一类定解问题一边值问题 常微分方程边值问题最初是用分离变量法解二阶线性数学物理方程时提出的【l j 1 8 3 3 年至1 8 4 1 年间s t u r m 和l i o u v i l l e 密切合作讨论了二阶线性齐次方程的边值 问题和s t u r m - l i o u v i l l e 特征值问题1 8 9 3 年p i c a r d 讨论了特殊的边值问题： ( 亡) = ，( t ) ，x ( a ) = 0 = z ( 6 ) 1 8 9 4 年，b u r k h a r d 又讨论了一般边界条件下的边值问题，并引入了常微分方程 的g r e e n 函数2 0 世纪起是由h i l b e r t 和b o c h e r 奠定了常微分方程的边值问题的 理论基础在1 9 1 2 年第五届国际数学家大会上b o c h e r 作了一维边值问题的综合 报告【2 】此后，在各个领域不断提出了常微分方程的边值问题例如在研究河渠中 的流体流动时，提出了边值问题吼 p ( t ) z 7 ( t ) ) 7 + 入z ( t ) = lt 0 ，1 】 x 7 ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 ； 均匀杆轴向受力时，在研究杆的弯曲规律时提出了边值问题【4 】： z ( t ) + a z ( t ) = 0t 【0 ，1 】 z 7 ( o ) = x ( 1 ) = 0 在化学反应理论中，提出了边值问题【5 】： p 安一生+ f ( z ) ：0 d tp 丽一一十，- 户 一z 7 ( o ) - 4 - a x ( o ) = 0 ，x ( 1 ) = 0 ； 在研究过两点的悬链线时提出了边值问题【6 】= d 2 z ：1 v 气+ x 2 一= d t 2 o x ( a ) = a ，x ( b ) = b ； 一1 一 常微分方程边值问题 微分方程边值问题已成为微分方程学科的重要组成部分之一，广泛存在于自然界 的各种数学模型当中，如弹簧的振动，梁的非线性振动，种群生态系统等【7 , 8 , 9 】从 上世纪七十年代开始，人们逐渐利用非线性泛函分析学中的方法来研究边值问题 解的存在性如锥理论、不动点定理、拓扑度理论及变分法等随着人们对自然界 的不断深入，已逐渐认识到非线性数学、物理学、化学、生物学、医学、经济学、工 程学、控制论等科学领域的重要性目前非线性泛函分析已成为现代数学中的一 个重要分支，并在其他分支中发挥重要的作用非线性泛函分析是处理非线性问 题的重要的有力工具，尤其在处理应用中出现的大量微分方程中发挥不可替代的 作用在非线性泛函分析中主要方法有半序方法、拓扑方法、变分法其中用锥理 论( 半序方法) 来处理方程是直观而又实用的方法在这方面，以郭大钧教授为代 表的学派在锥拉伸锥压缩不动点理论、上下解理论、抽象空间微分方程理论、抽 象空间脉冲微分方程理论上取得了辉煌的成就 2 0 世纪以来，泛甬分析逐渐成为研究微分方程边值问题的重要理论基础从 上世纪七十年代开始，人们逐渐利用非线性泛函分析学中相关方法来研究边值问 题解的存在性，如锥理论、不动点、拓扑度理论及变分法等但是随着研究问题的 深入，经典两点边值问题( 如d i r i c h l e t 边值问题，s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题等) 已 不再满足新的数学模型，人们需要研究更为广泛的边界条件( 如多点边界条件，积 分边界条件等) 探索更具有一般性的方程( 如脉冲泛函微分方程，具p l a p l a c i a n 算子微分方程等) 解的存在区间不再局限于有限区间事实上，常微分运算和 积分运算的共同特征是，它们作用到一个函数后都可得出新的函数，可以将这些 运算统一抽象为算子泛函分析正是在算子概念的基础上发展起来的3 0 年代中 期法国数学家勒雷( j l e r a y ) 和绍德尔( j s c h a u d e r ) 建t l e r a y - s c h a u d e r 度理 论1 1 0 , l l 】他们的方法用于研究线性微分、积分、泛函方程时，取得了巨大成功，尤 其是这种理论对常微分方程边值问题的应用，形成了常微分方程拓扑方法或泛函 分析方法1 1 2 , 1 3 ，其核心是各类不动点定理的建立和应用 在泛函分析理论以及实际问题的推动下，常微分方程边值问题的研究在近半 个世纪里发展十分迅速除了传统的二阶常微分方程两点边值问题之外，开始研究 高阶微分方程的边值问题【1 4 】并且随着新问题的出现，形成了许多新的研究方向。 首先是奇异边值问题1 9 2 7 年托马斯【1 5 】( l h t h o m a s ) 和费米1 1 6 1 ( e f e r m i ) 为确定原子中的电动势独立导出了二阶常微分方程的奇性边值问题 x l i 乩13 z 嘉， ， 这里所说的奇性，是指 l i m ( t ) = l i m t t - o + t - o + 一z ；( t ) = 、，、 之后对这类边值问题的研究形成了有着其独特方法的研究方向即奇异边值问 刷1 7 i 一2 一 硕士学位论文 其次是无穷区间上的边值问题最早的例子由基德( r e k i d e r ) 给出1 1 8 】设 半无穷多孔介质在起始时刻t = 0 时充满压力为岛的气体，此时在流出面上的压 力突然由r 减到r 且以后一直保持p 1 压力，这样气体就在介质中产生非稳态流 对于从z = 0 延伸至z = o 。的一维介质，压力与位置及时间的关系为 嘉( p 筹) = a 箬， 其中a 是由介质性质确定的常数，压力应满足的初边值条件为 ip ( x ，0 ) = r ，0 z 。， i - p ( o ，t ) = p 1 ，0 t 0 0 ， 引进度量z = 考( 丽a ，_ z 1 及量纲一变量 毗胁。1 ( 1 一掣) ， 其中q = 1 一鬈掣，就得出无穷区间上的边值问题 p + 南一o ， m ， 1w ( 0 ) = 1 ，w ( o o ) = 0 ， 对这类问题的一系列研究，形成了无穷区间上的边值问题 经典的二阶常微分方程边值问题，无论是周期边界条件还是s t u r m - l i o u v i l l e 边界条件，定解条件都是在给定区间的两个端点施加限制由于边界条件的离散 化，从2 0 世纪8 0 年代中期开始出现研究二阶常微分方程的多点边值问题【1 9 2 0 1 ，也 就是所给的两个定解条件涉及到端点间其它点上的函数值，例如， + 巾 u ，) - 0 ，0 t 1 ，( 1 1 3 ) i - 让( o ) = u ( 1 ) 一q u ( 毒) = 0 ，0 1 ，0 t l t 2 1 ，且 i k ：r r ，k = 1 ，n 是李普希兹连续的脉冲条件 a u ( t 知) = 乱( t j ) 一u ( t i ) ， 这里u ( t i ) 和u ( t d 是u ( 亡) 在如，k = 1 ，扎的左右极限 关于边值问题研究，学者们主要利用a v e r y - p e t e r s o n 不动点定理、l e r a y s c h a u d e r 连续定理、k r a s n o s e l s k i i s 不动点定理和上下解方法无穷区间上边 值问题解的存在性已经被许多学者研究特别的，文献【5 6 】研究了奇异微分方程边 值问题 黧嚣秽扮。 仁抛， 【z ( ) = 触( o ) 、7 作者利用锥拉伸和压缩不动点定理建立了方程( 2 1 2 ) 在无穷区间上几个正解的 存在性结果 在文【4 6 】，作者运用- j k r a s n o s e l s k i i s 不动点定理讨论了下面的边值问题 旧裂云嬲n 摆酢- p ，# l i r a 勘p ( t ) u ( t ) = o 。，, 在文【4 7 】中，作者利用k u r a t o w s k i i 非紧性测度和著名的m 6 n c h 不动点定理 在b a n a c h 空间中研究下列微分方程解的存在性 i ( t ) = f ( t ，u ( t ) ) ， v t z t t k ， a u t ：t 。= 厶( 札( ) ， k = 1 ，2 ，( 2 1 4 ) 【z u ( o ) = u ( o o ) ， 一9 3 l2 ，i i 、 、，n 如p n 轧 m l = t 七 常微分方程边值问题 其中，= 0 ，o o ) ，f c jxe ，e 】，( 。) = l i m t 。u ( 0 ，p 1 ，0 t l t 2 t k ，t 七_ 。( 当尼一。) 得出结论：在满足下列条件下，方程( 2 1 4 ) 至少有 一个解存在 ( h i ) 存在口( ) ，b ( t ) c r + 】nl j , r + 】以及非负常数g ( 七= 1 ，2 ) ，使得 且 f ( t ，u ) l i o ( t ) l l u l i - i - 6 ( 亡) ，v t zu e ； i i 厶( u ) f l 瓯i l u l l ， 收敛，而且 舟n 舢t + 副n ( h 2 ) 存在z 1 l 0 ，o o ) 以及非负常数慨使得对任意有界集dce 有 w e ( f ( t ，d ) ) l lc t ) o l e ( d ) ，v t 一 a e ( i k ( d ) ) 尥q e ( d ) ， 2 舟2 + 岛墨l 尥 1 ， 其中，l = 铲l l ( t ) d t 受上述文献的启发，本章利用k r a s n o s e l s k i i s 不动点定理建立了问题( 2 1 1 ) 解的存在性下面关于k r a s n o s e l s k i i s 不动点定理是本章的主要工具，叙述如下： 引理2 1 1 ( 4 6 ) 设m g 是b a n a c h 空间( x ，”1 1 ) 的一个有界闭凸子集如果 下列条件满足? ( i ) 映射a ：m _ x 是全连续的j ( i i ) 映射b ：m x 是一个压缩映射j ( i i i ) 对于所有的u ，2 m ，a u + b m 则映射a + b 在m 中有一个不动点 定义2 1 1 若算子a ：d _ e 是连续的，而且又是紧的，则称a 是映d 入e 的全 连续算子 定义2 1 2 设( x ，p ) 是一个距离空间，如果存在0 a 1 ，使得p ( t x ，t y ) a p ( x ，y ) ( v z ，y x ) 则称t ：( x ，p ) 一( x ，p ) 是一个压缩映射 一1 0 一 瓯 胁 硕上学化论文 本章如果没有特别说明，我们假设下列条件成立： ( f ) 存在函数咖- ，咖2 ：【0 ，) _ 【0 ，。o ) 满足 j”审、(s)ds。o，j旧2(s)ds0 0 ， 咖1 0 ，存在 0 使得对于z w ，当t 1 ，t 2 n ，有 l x ( h ) 一z ( t 2 ) i 0 且定义x 的一个闭凸子集m 如下： m = “x ：i l u l l r ) 对于所有t 【0 ，。) ，定义映射a ：m _ x 和b ：x _ x 如下： a u ( t ) = g ( t ，s ) f ( s ，u ( s ) ) d s ，o o j 0 和 b u ( t ) = g ( t ，如) 厶( 乱( t k ) ) 七= 1 ( 2 3 1 ) 定义 d i = 矧s u 引p 舟z 。肼歹1 , 似s ，d s 仁3 国 ( i = 1 ，2 ，3 ) 设 和 口= 善t 【o s u p i g ( 削。陆 凰= fs u pi g ( t ，t 屉) l l z k ( o ) l 。 “k = l 1 0 ，o 。) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 定理2 3 1 假设条件例和满足，且设d l ，k o 0 ，d 2 ，q 0 使得d l + 娲 0 和d 2 + q 0 有 d 1 + k o + ( d 2 + q ) r 7 ，( 2 3 5 ) 则脉冲边值问题( 2 j ) 至少存在一个解u p c i o ，o o ) n c ( 【o ，) j ) 满足l l u | l r 证明 设7 0 ，且m 由( 2 3 1 ) 定义首先证明映射am x 是全连续的 我们分三步证明： ( 1 ) 证明映射a 是映m 入x 的映射设u m ，则l i u l l r 由( f ) 及g ( t ，8 ) 关 于t 的连续性知，对于任意的t l ，t 2 【0 ，+ o 。) 有下面式予成立： ( a u ) ( t 1 ) 一( a u ) ( t 2 ) i 一0 ，t l _ t 2 一1 2 + 古( 州懈( s ) m s ) | ) d s 】 d a + d 2 1 1 u l i d 1 + d 2 r 因而a u 有界 ( 2 ) 证明映射am x 是连续的设当n _ + ，珏n _ 让，乱n ，u m ，我们将 证明在x 中，当礼_ + 。时，a u n _ a u 由( f ) 知 ，+ i a u 。( t ) 一a u ( t ) i = i g ( t ，s ) ( ，( s ，u n ( s ) ) 一，( s ，钍( s ) ) ) d s i + o o 所以由勒贝格控制收敛定理及，的连续性，我们有： ，+ o o i a u 。( ) 一a u ( t ) l = l g ( ，s ) ( ，( s ，u n ( s ) ) 一，( s ，u ( s ) ) ) d s l _ 0 ，n _ + 说明a 是连续的 ( 3 ) 证明映射a ：m _ x 是紧的设s 是m 巾的任意有界集，即存在7 1 使 得i l u l l r l ，由i i a u l l d 1 + d 2 r t + o 。知a s 是一致有界的用类似证明算子a 连续的方法，我们可得出a s 是等度连续的因而由6 1 理( 2 2 3 ) 知a s 是一个列紧 集从而a 是映m 入x 的紧算子由定义知映射am _ x 是全连续的 注意至：l j q 0 并且附加下面的条件( 局部的) ： ( f 7 ) 存在函数- ，： 0 ，o 。) 一 o ，o 。) 满足 厂0 抓o o ，厂0 蜊认o 。， jj 使得 i s ( t ，z ) i 咖1 ( t ) + 也( t ) l x l ，t 0 ，o o ) ，i z l r ； ( 1 7 ) 存在常数c k 0 使得 i 厶( z ) 一厶( 可) i c k i z 一引， i z l ，i y i r ，后= l ，钆 我们有下面的结果： 定理2 3 2 假设条件伊，和，满足，且设d 1 ，k o 0 ，d 2 ，q ，r 0 使得d 1 + o 和( 2 3 5 ) 满足，则脉冲边值问题( 2 j - ) 至少有一个解u p c i 0 ，o o ) n c ( o ，o o ) j ) - o - t i l l l r 存在 1 4 硕士学位沦文 证明类似定n 2 3 1 ，我们略去 假设 ( f 2 ) 存在函数妒s ： 0 ，) 一 0 ，o o ) 满足 z 。州揪。， 使得 i f ( t ，z ) 一f ( t ，秒) i 咖3 ( t ) 1 x v l ，t 0 ，。) ，x ，y 酞 根据巴拿赫压缩映射原理，我们有 定理2 3 3 假设条件f 兄) 和满足，且常数口，d 3 o 满足 d 3 + g 1 则脉冲边值问题( 2 1 1 ) 有唯一解u p c o ，0 0 ) nc ( 【0 ，o o ) j ) 存在 证明首先类似定理( 2 3 1 ) 的证明，知脉冲边值问题( 2 1 1 ) 有至少有一解u p c i o ，。o ) nc ( o ，) ，) 存在下面证明解的唯一性假设存在两个解u ( t ) ， ( t ) 则 ) ：厂。0g ( t , 8 ， + 妻g ( ，( t k u ( t v ( ts ) f ( su ( s ) ) d st k ) i k ( u ( t k ) ) ，t 0 ，o 。) ， ) = ， + g ( ， ， ，o 。) ， j 0 k = 1 和 秒( 亡) 一g ( t ，s ) m ，u ( s ) ) d s + g ( t ，t k ) i k ( v ( t k ) ) ，t o ，o o ) ， 0 0 k = l 因而， l 钍( t ) 一 ( t ) l ：1 0 0 c ( t ，s ) ( ，( s ，u ( s ) ) 一，( s ， ( s ) ) ) d s + 产g ( t ，t k ) ( i k ( u ( t k ) ) 一 ( 七) ) ) l = ，s ) ( 厂( s ，u ( s ) ) 一，( s ， ( s ) ) ) d s + ：g ( t ， ) 一 ( 七) ) ) l d 0 七= 1 厂g ( t ， ，钆( s ) ) 一，( s ，+ 岁! g o ，) l ( i d s ) l ( f ( sv ( s ) ) ) l d st k ) l ( i ku ( t k ) ) 一i k 岛) ) ) i ， ，钆( s ) ) 一，( s ，+ ：g 0 ， u ( t k ) ) 一 岛) ) ) i j 0 k = l c ( t ，s ) 0 3 ( s ) l 牡( s ) 一口( s ) l d s + g ( t ，t k ) c k l u ( t k ) 一v ( t k ) l ( d 3 + q ) l u ( t ) 一v ( t ) 1 由假设 d 3 + q 1 近年来，许多作者研究带边值条件的常微分方程解的存在性问题，微分方程边 值问题一直是微分方程理论的一个重要的分支，新的研究成果不断出现学者们 主要利用s c h a u d e r 不动点定理、k r a s n o s e l s k i i s 不动点定理和上下解方法、不动 点指数定理、s c h a e f e r 不动点定理及l e r a y - s c h a u d e r 度的性质等方法来研究边值 问题的解的存在性特别的，在文 5 7 】中，t i s d e l l 研究了一阶非线性周期边值问题： z ：拶孑 _ f ( t , z ) 【0 1 】 ( 3 1 2 ) 【z ( o ) = z ( 1 ) ， 、 利用l e r a y - s c h a u d e r 度的性质及不动点理论，得到了边值问题( 3 1 2 ) 解得存在性 的一些充分条件在文 5 8 】中，z b a i 和a z h a o 等人矛l j m s c h a e f e r 不动点定理研究 了如下一阶边值问题 t 支引紫_ f ( t , z ) ，挺 0 ，1 】 ( 3 1 3 ) 【z ( o ) = z ( 1 ) ， 、7 其o p b ( t ) = d i a g b l ( t ) ，b 2 ( t ) ，k ( t ) 】建立了( 3 1 3 ) 解存在的充分条件 文【5 9 】中，h l i 利用格林函数的正性和更一般的锥不动点定理给出下面微分 方程一个正解的最优存在条件， “：掣黑2 f ( t , u ”， ( 3 1 4 ) 【u ( o ) = 乱( t ) ， 、 其中，a ( t ) c ( o ，卸，( 0 ，o 。) ) ，c ( o ，卅x 【0 ，o o ) ， o ，o 。) ) 然而，利用增算子不动点定理研究阶非线性边值问题解的存在性的文献不多 受以上工作的启发，我们的目的是应用增算子不动点定理，讨论边值问题( 3 1 1 ) 解 的存在性在本章中，如果没有其它说明，假设下列条件成立 ( h 1 )