（应用数学专业论文）markowitz模型的两种改进以及实证分析.pdf

摘要 开始于1 9 5 2 年的m a r k o w i t z t 2 j 证券组合理论是现代金融经济学的起点。在其 投资组合理论中，m a r k o w i t z 把证券收益率的方差作为证券收益风险的度量，投 资者在选择证券组合时考虑证券组合的收益率，同时兼顾证券组合的风险。但 在实际投资中，收益期望u i 用证券i 过去的收益均值来代替，对于那些人为操纵 的证券不能排除在投资组合之外。因此，仅用方差来代表证券的风险有其局限性。 本文定义一个新的统计量m r ，应用这个统计量的良好性质对m a r k o w i t z 模型加 以改进，实证分析表明，改进的模型可以减少那些人为操纵的证券的在投资组合 中所占的份额。 关键字：m r 有效子集m a r k o w i t z 模型期望换手率风险主成分分析 a b s t r a c t t h ep o r t f o l i os e l e c f i o nt h e o r yw h i c hw a sa d v a n c e db ym a r k o w i t zi n1 9 5 2i st h e s t a r tp o i n to f m o d e r nf i n a n c ee c o n o m i c s i nh i st h e o r y , m a r k o w i t zr e g a r d st h ev a r i a n c e o fr e t u r na st h er i s ko fs e c u r i t i e s r e t u r n w h e l li n v e s t o r ss e l e c tp o r t f o l i o s t h e yt a k e b o t ht h er e t u r n sa n dr i s k so fp o r t f o l i o si n t oa c c o u n t b u tt h ee x p e c t a t i o no fr e t u r ni s r e p l a c e db yt h ea v e r a g e o f s e c u r i t yr e t u r n , s ot h o s es e c u r i t i e sw h i c h a r ec o n t r o l l e db y as m a l lg r o u pp e o p l ea r en o te x c l u d e df r o mp o r t f o l i o s s oi th a ss o m el o c a l i z a t i o nb y r e p l a c i n gs e c u r i t i e s r i s k w i t ht h er e t u r n sv a r i a n c eo n l y t os o l y et h i s q u e s t i o n i d e f i n ean e ws t a t i s t i c a lm ra n d a p p l yi t s g o o dc h a r a c t e rbm e n dm a r k o w i t z m o d e l ，a n dt h e l lp u tt h e mi n t op r a c t i c e i tp r o v e st h a tt h es h a r eo fs e c u r i t i e sw h i c ha r e c o n t r o l l e db yas m a l lg r o u pi sr e d u t e db y a p p l y i n g t h ea d v a n c e dm o d e li np r a c t i c e k e y w o r d s ：m re f f i c i e n ts u b c l a s sm a r k o w i t zm o d e l e x p e c t a t i o n v o l u m er a t i or i s k p r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i s i a r k o wit z 模型的两种改进以及实证分析 第一章m ar k o w i t z 模型的简介 1 1 、现代组合理论的产生发展 “不要把鸡蛋放在一个篮子里”，在证券市场，投资者往往把自己的资金 投资于若干种有价证券来达到分散风险的目的，从而产生投资组合的概念。 投资组合是指个人或机构投资者所拥有的各种有价证券的总称，通常包括各 种长、中、短期债券，股票和存款单。投资者通过投资组合，降低非系统风 险。 证券组合的发展历史十分悠久，传统的证券组合管理方法主要是基本面 分析和技术分析方法。基本面分析方法主要以价值决定价格为理论基础，通 过分析证券的收益率、营业收入、分红扩股、股东人数等基本情况来选择证 券。而技术分析方法主要是以供求决定价格为其理论根据，通过分析证券价 格的走势来选择证券。 传统的证券组合理论是一种非数量的方法，而现代的证券组合管理理论 是一种数理化组合管理方法。 2 0 世纪3 0 年代，希克斯对证券投资进行了阐述。他在关于简化货币 理论的建议一文中曾指出，从事多种风险性投资所遭受的全部风险，并不 是简单地等于各个独立投资者分别承受的风险之和。在大多数情况下，大数 定律将发挥作用，所以从事若干个独立的证券的风险投资者所承担的风险， 将小于将全部资金投资于一个方向所遭受的风险。当投资很分散时，全部风 险会降到很小。但是，希克斯的分析只是一个雏形，他没有深入研究这一问 题，从而未形成一个完整的体系。 1 9 5 2 年，美国经济学家、金融学家、诺贝尔奖获得者哈里，马科维茨在资 产组合选择一文中，第一次从风险资产的收益率与风险之间的关系出发， 讨论了不确定经济系统中最优资产组合的选择问题。在这篇文章中，马科维 茨将收益率的方差作为风险度量，投资者在投资收益率和风险中寻求平衡。 在收益率一定的时候，投资者选择资产组合，使这个组合的方差最小。或者 在风险定的情况下，投资者选择投资组合，使组合的收益率最大。m a r k o w i t z 在讨论不确定经济系统中最优资产组合的选择问题时，获得了著名的基金分 离定理，为资产定价理论奠定了坚实的基础。应该说m a r k o w i t z 的资产组合 均值方差理论是现代资产组合理论的奠基石，也是整个现代金融理论的奠基 石。 马科维茨理论以一系列假设为前提，以数学为工具，形成比较完整的理 论体系。在m a r k o w i t z 的研究工作之后，另外蹲位经济学家、金融学家、诺 贝尔奖获得者威廉夏普和约翰林特纳分别在19 6 4 年的文章资本资产定价； 风险条件下的市场均衡理论 3 】和19 6 5 年的文章风险资产的价值股票资产 组合的风险投资选择资本预算【4 】中，在比较强的市场假设下给出m a r k o w i t z 的均值方差模型的均衡版本，即假设市场上无风险资产可以获得，当市场达 到均衡时，任意风险资产的超额收益率与风险资产的市场组合的超额收益率 成比例，即有关系式： e ( j ) 一r l = w ( e ( x 。) 一，) 其中：如= c o v ( x ，x m ) v a t ( x ，h ) 即资本资产定价模型。 若不存在无风险证券，b l a c k 也从均值一方差模型出发。推出0 一b 资本 资产定价模型。 1 2 、均值一方差模型 马科维茨( m a r k o w i t z ) 证券投资模型1 3 4 1 町以表述为： r a i n o 22 i 珂n ( 缈) 豇( o t u = ：l u 其中： m = ( q ，q ，峨) r ，e ：( 币) r ， “= ( 1 1 , 叱，心) 7 ，坼= e k 】，f = l ，2 ，月 2 ( h “。= e o v 妊，) ) ，。 其中，我们称。为投资组合，其中t 为第i 份证券在投资组合所占的比 重。u 为给定的组合期望收益，而o 。2 为组合的风险 该模型主要在以下假设条件下进行的： ( 1 ) 证券市场是完全有效的，所谓市场有效性问题是指市场价格是否充 分反映市场信息的问题。 ( 2 ) 投资者是价格承受者，即投资者的投资行为不会影响市场上资产价格 的运动。 ( 3 ) 投资者都认为市场上所有资产的收益服从均值为ef z j 。方差为的 多元正态分布。 ( 4 ) 资产数量是固定的，所有资产都可以市场化且可充分分割 ( 5 ) 资本市场上存在无风险资产，投资者可以以无风险利率无限借贷。 ( 6 ) 投资者是风险厌恶者，且其投资行为是使其终期财富的期望效应最 大。 ( 7 ) 资本市场没有任何缺陷，如税收、管理调节措施、或卖空限制等。 1 3 、m ar k o w i t z 模型的拓广 1 3 1 考虑交易费用的m a r k o w i t z 模型“” 在任何一个证券市场，尤其是中国证券市场，交易费用占投资金额比例 都比较高。中国证券市场的股票交易佣金为成交金额的0 3 5 ，印花税为o 2 ，来回手续费为1 1 ，将如此高的手续费忽略。显然是不合理的。 在考虑交易费用的情况下，预期收益。一定、风险晟小的数学模型为： r a i n 2 = m i n ( o , 7 国1 豇p ( “一c ) 2 l 国7 e = 1 其中： 吐，：( q ，0 2 2 ，q ) r ，e ：( 面j ) r ， “= ( “l ，u 2 ，) 7 ，q = 研 ，i = 1 ，2 ，l c = ( c l 州c 2 ) 7 ，= ( 吼j = 耻。= ( c 。v ( ，) ) 乒啦。 其中c ，为第i 种资产的成本占第i 种资产的百分比。 1 3 2m e r t o n 连续时间的随机模型 许多经验数据表明，证券收益率并不服从正态分布。m e r t o n 对此提出连 续的时间随机模型。m e r t o n 假定殷价变化符合b r o w n 运动 3 0 l ，证券市场是由 一种固定收益率的无风险资产和多种有风险的股票组成，投资者的目标是投 资总价值最大化，其他假设与m a r k o w i t z 模型的假设基本相同。 假设证券市场有k + 1 种证券，其中第0 种证券为无风险证券，这k + 1 种证券在t 时刻的价格为p = ( p o ( t ) ，p l ( t ) ，p 。( t ) ) ，假设无风险资产 的利率为常数，第0 种证券的定价满足 d po ( f ) = r ，po ( f ) d t po ( 0 ) 0 设第i 种证券的期望收益率为r l ，o i 是协方差矩阵的第i 行。b ( t ) = ( b j ( t ) ，b 2 ( t ) ，b n ( t ) ) 7 是k 维标准的b r o w n 运动，p i ( t ) 表示t 时刻第i 种风险证券的价格， 则第i 种风险证券的定价过程满足： d p j ( t ) = r 。p , ( t ) d t + p , ( t ) c r f l b ( t ) ，i = 1 ，2 t k ( a ( 0 ) 0 ) 设v ( t ) 为t 时刻的投资总价值，则连续的时间证券投资模型为 id p o ( t ) = r ，p o ( t ) d t s t 面，i ( f ) = r i p t ( t ) d t + p j ( t ) c r f l b ( t ) 1 只( o ) 0 ，p o ( o ) 0 1 3 3 均值一半方差证券的投资模型 在m a r k o w i t z 模型中，随机变量的风险是方差来描述的，但是有许多人 认为，方差不是一种很合适的方法。因为方差由两部分组成。一部分由高于 期望收益的部分所构成。另部分由低于期望收益的那部分组成。而在 m a r k o w i t z 模型中不加区分的统称为风险。而在实际投资中，投资者主要关注 的是低于期望收益的那部分。其次，对于一个厌恶风险的投资者来说，虽然 达到期望收益率会是一个很好的结果，但是，更具有保障的是至少达到基准 收益率。因此，投资者更关心的是低于基准收益率的亏损概率和亏损量。第 二篇关于组合理论的文章由r o y 发表”】，并提出一个新的变量一一下侧风 险。m a r k o w i t z 提议用半方差来度量下侧风险，q u i r k ，s a p o s n i k ( 1 9 6 2 ) 3 2 1 ，m a o ” 证明半方差比方差在组合理论研究中更有优越性。 b r o w n ( 19 9 5 ) 发表了关于下偏矩( l o wp a r t i a l m o m e n t ) 方面的文章， 给出l p m ( 16 与随机占优之间的关系。l p m 描述在考虑一定风险忍耐度时低于 目标值风险的大小。 r l p m ( k ， ) =m a x 0 ，( 一坩 其中t 是样本观察数，h 是目标回报值，k 为给定投资者的风险忍耐度 也可以是l p m 的阶数，r 。是第t 期资产的收益率。 当k = 0 时，l p m 被称为短缺概率( s h o r t f a l lp r o b a b i l i t y ) ，当k = 2 时， l p m 被称为低于目标值风险度量( b e l o w t a r g e t r i s k ，简记为b t r ) ，对应 的投资者是风险厌恶者。l p m ( 2 ，h ) 适合具有偏斜偏好的风险避免型投资 者，此时，效用函数u 0 ，u ” 0 。其相应的特征 篓委兰 则p h p 。p ，。互不相关，依次为第一、第二、第2 0 个主成分a 第二步，记舀= 五量一( ，= 1 ，2 ，2 0 ) 被称为第i 个主成分的贡献率，代表第i j = 1 个主成分反映市场换手率的信息的多少，被称为前个主成分的累计贡献率。我们选 k 1 择k ，使得o 9 ，那么这k 个主成分基本上反映了证券市场换手率的主要信息 i = 1 按照上述步骤对他们的日换手率做主成分分析，结果并不令人满意。见附 件3 ，第一主成分的贡献率仅为0 5 4 5 6 3 ，前1 1 个主成分的累计贡献率为 o 9 0 0 7 ，也就是说前1 1 个主成分才能反映股票市场换手率变化的主要信息。 对换手率v o l 取以1 0 0 为底的对数( 由于上述v o l 以o 0 l 为单位) ，我们 记为l g v ，用l g v 代替v o l ，按照上述步骤做主成分分析，结果十分令人满意， l g v 基本上满足单因子模型( 结果见附件1 和附件2 ) 对结果进行分析，发现第一主成分的贡献率为0 9 6 8 5 9 ，说明股票市场关 于交易量的统计量l g v 的变化主要反映在第一个主成分的变化上，l g v 的变化 可以近似为单因素线性模型。 第一主成分的系数都大于0 ，这说明第一主成分代表了各个股票l g v 变化 的共性。2 0 只股票的系数近似为o 2 。说明第一主成分基本上是这2 0 只股票 的l g v 的均值。 2 2 股票的成交量和收益率的线性回归分析 2 2 1 股票的收益率的计算 股票的收益率1 7 定义如下： ，：堡! 1 1 二旦! 堡 i = l ，2 ，n 1 ”p f ， ，表示第t 期第i 种股票的收益率，p i p + 1 分别表示第i 种股票在第t 、t + l 期的价格 d 表示第i 种股票在第t 期发放的现金股息。 如果第i 种股票在第t + 1 期发生送股、配股、送现金股息的情况，假设 配殷价格为p ，送股比例为t l ，配股比例为r l z ，股息为d ；，那么其在第t 期 的收益率为： 一鬻+ n ， _ r2 i 焉了广 1 + 也+ 2 2 2 成交量关于收益率的一元线性回归分析 经过对我国证券市场的实证分析，我们可以发现股票的交易量和收益率的绝对值成正 比，当我们对交易量v o l 的绝对值和收益率进行线性相关检验，尽管可以得出正相关的结论， 但是实际上是对真实情况的一种非正确拟合，股票的交易量与收益率的绝对值不存在一一对 应的关系。仿照k a r p o 仃假设口”，我们提出如下假设( 简称为不对称的交易量一收益率变动 假设) ：设交易量与非负的收益率之闻的关系为v o l + = f 翻r o ) ，与负的收益率之间的关系为 v o l - = g ( r 肛o ) ，假定f i 剐，其中f t 阿l g 分别代表函数f 和g 关于r 的一阶导数。根据不 对称的交易量一收益率变动假设，我们按下列方法来做一元线性回归。 首先，根据收益率是否大于0 将股票i 的样本【见数据1 ( 见2 1 2 节) 】 分成两类，一类的收益率大于等于0 ，这时对应的成交量仍旧记为v o l 。+ ，另一 类的收益率小于0 ，成交量记为v o l l 一，以v o l i 。、v o l i + 为因变量，收益率为自 变量，对下面两个方程分别进行一次线性回归。 v 0 1 + i = 风i + 屈。i r t + 毛( 1 ) v o l i 钢+ 反f + ( 2 ) 对于股票i 的成交量v o l i - 的t i 个独立的观察值和v o | i + 的t 。个独立的观 察值及其相应的卢值，其完全模型为 v o l + i ，。砥，+ 层 。+ t = l ，2 互 v o l i , ：铡，+ 爿，i 。+ ，t = l ，2 巧 其中岛和- 的数学期望为0 ，方差为o 。2 。用一次回归方程( 1 ) 、( 2 ) 分别对i = l 2 2 0 做一元线性回归。 以浦发银行为例，从浦发银行的回归结果我们得到，方程( 1 ) 斜率为 4 7 0 8 3 6 0 7 。斜率的标准差为4 1 1 1 0 2 2 6 3 。因此，斜率的9 s 置信区间大约 为4 0 到5 4 ，斜率显著地不为0 ；截距为0 3s 8 6 7 3 ，截距的标准差为 0 0 7 6 0 3 0 8 9 ，截距的9 5 置信区间大约为0 2 4 3 到0 4 7 3 ，截距显著地不为 0 。显著性概率p r o b f 的p 值为0 0 0 0 1 ，拟台的一元线性模型解释了这组数 据总变差的主要部分。 f p 方程( 2 ) 斜率为一2 6 57 7 0 4 2 ，斜率的标准差为4 7 6 5z5 8 6 3 ，因此，斜 率的95 置信区间大约为一1 8 7 1 4 75 到一3 4 4 3 7 ，斜率显著地不为0 ；截距 为0 3 8 2s2 2 ，截距的标准差为0 0 7 558 8 2 2 ，截距地9s 置信区间大约为 0 2 6 0 到0 5 0 7 ，截距显著地不为0 。显著性概率p r o b f 的p 值为0 0 0 0 1 ， 拟合的一元线性模型解释了这组数据总变差的主要部分。 方程( 2 ) 的斜率的绝对值小于方程( 1 ) 的绝对值，符合k a r p o f f 假设。 在实践中也可以得到合理的解释。股票在上涨的过程中，引起很多投资者的 关注，进而引起一部分投资者对此公司的前景看好，他们愿意投资该种股票， 这和另一部分对该公司并不看好的投资者产生分歧，分歧越大，对该公司看 好的投资者认为该公司的股票价值被低估，上涨空间就越大，从而引起股票 的交易活跃，股票的交易量放大。股票在下跌的过程中，由于股票持有者的 卖出成本高于买入成本，故而股票持有者惜售，成交缩量。因此，方程( 2 ) 的斜率的绝对值小于方程( 1 ) 的绝对值。 对其他1 9 种股票，用方程( 1 ) 和( 2 ) 作一元线性回归，也同样有上述 结论。( 当然，回归的斜率、截距不一样) 2 2 3 收益率关于成交量的一元线性模型 上面从我国证券市场实践中，对交易量v o l 的绝对值和收益率进行线性相 关检验并得出交易量和股票的收益率的绝对值成正比，而且股票的交易量与 收益率的绝对值不存在一一对应的关系。现在反过来，从成交量出发，来考 虑以成交量为自变量，收益率为因变量的一元线性模型。 同上一样，首先，根据收益率是否大于0 将每只股票( 见2 1 2 节数据1 ) 的样本分成两类，一类的收益率大于0 ，仍旧记为v o l + ，另一类的收益率小于 0 ，对应成交量记为v o l 一，以v o l 、v o l + 为因变量，收益率为自变量，用下面 两个方程分别对股票i 进行一次线性回归。 i 砥i + a ，l v o l i + + t ( 3 ) i 砥，i + 层，i 。v o l 一+ q 其中- 和e ；的数学期望为0 ，方差为o1 20 运用一次回归方程( 3 ) 、e4 ) 分别对股票i ( 滓1 ，2 ，2 0 ) 做一元线性回归。 以浦发银行为例，从浦发银行的回归结果我们可得到，方程( 3 ) 斜率为 0 0 0 5 6 0 4 ，斜率的标准差为0 0 0 0 4 8 9 2 6 ，因此，斜率的9 s 置信区间大约 为0 0 0 4 8 到0 0 0 6 4 ，斜率显著地不为0 ；截距为o 0 0 6 5 5 ，截艇地标准差 为0 0 0 0 7 8 2 6 9 ，截距的9 s 置信区间大约为0 0 05 2 到0 0 0 7 8 7 ，截距 显著地不为0 。显著性概率p r o b f 的p 值为0 0 0 0 1 ，拟合的一元线性模型 解释了这组数据总变差的主要部分。 方程( 4 ) 斜率为一0 0 0 2 6 9 ，斜率的标准差为0 0 0 0 4 8 23 ，因此，斜率的 95 置信区间大约为一0 0 0 1 8 9 到一0 0 0 3 4 9 ，斜率显著地不为0 ；截距为 o 0 0 9 5 0 4 ，截距的标准差为0 0 0 0 6 255 9 ，截距的9 s 置信区闾大约为 一0 0 0 85 0 4 到o 0 1 0 5 0 4 ，截距显著地不为0 。显著性概率p r o b f 的p 值 为0 0 0 0 1 ，拟合的一元线性模型解释了这组数据总变差的主要部分。 有意思的是方程( 4 ) 的斜率的绝对值小于方程( 3 ) 的斜率，从实践中也 可以得到合理的解释。股票在上涨的过程中，引起很多投资者的关注，进而 引起一部分投资者对此公司的前景看好，他们对卖出成本的预期小于买入成 本，从而愿意投资该种股票，而持有该公司股票的投资者由于持有成本低于 卖出成本而愿意持有该股票，不愿出售，因此，较小的成交量变化对收益率 产生较大的影响。而股票在下跌过程中，由于股票持有者的卖出成本高于买 入成本，故而股票持有者惜售，从而导致收益率拒绝下调，收益率下降，成 交量萎缩，因此相对上涨过程来说，要想使收益率有较大得变动，需要增加 更大成交量。这在我国证券市场的实践中也可得到证明。因此，方程( 4 ) 的 斜率的绝对值小于方程( 3 ) 的绝对值。其他1 9 种股票同样有以上结论。 但是，在证券市场上，为什么股票的上涨过程往往伴随大的换手率。这可 从两方面来解释。一方面，股票的上涨过程需要大的换手率来保证。没有大 的换手率，不能使投资者对该公司的前景的看法发生改变。从信息假说的角 度来看，成交量是有关该公司状况的信息载体，大的成交量的发生从某种程 度上来说是公司状况发生变化的体现。另一方面，从心理的角度来说，成交 量代表人气走向，当一只股票处于上涨过程中，大的成交量说明这只股票人 气旺盛，进而引导更多的资金流向该股票。当然，物极必反，当换手率太大 时，只可能有两种情况，一种情况是该公司有重大事件发生，另一种情况是 有人操纵这只股票( 比如，庄家拉高出货、震仓洗盘) ，而在中国市场，后一 种情况发生的概率要大一些。 第三章m ar k o w i t z 模型的两种改进方法 以及实证分析 假定证券市场有n 种证券，其未来价格为x i , x ：，x n ，我们假定无套利假设1 成立， 即存在某个线性定价函数p ，使得这n 种证券的当前价格为p ( x 1 ) ，p ( x 2 ) ，p ( x 1 1 ) ，那么，对 任何组合o = ( 0 。，o2 , o o o 。) ，p ( 日。x i + oz x 2 + o 。x 。) = o l p ( x 1 ) + 02 p ( x 2 ) + 十0 。p ( x 。) 。 在介绍m a r k o w i t z 模型的两种改进之前，简单介绍一下几个常用的指标。 3 1 收益率的度量 收益率的度量很简单，也比较完善。资产的收益率是指一定时期内资产赠值的程度。设 资产第t 期的价值为p 。，第t + 1 的价值为p ，l ，定义 ，；：l 二墨 c 称h 为资产在第t 期的收益率。 假定投资发生的时刻为0 时刻，此项投资的时间长度为t 期，记第t 期的收益率为r t ( t = 1 ，2 ，t ) ，那么此项t 期投资的总收益率( t o t a lr e t u r n ) 为： 兀( 1 + ) 一1 ：e i i j e 2 为t r 。设投资的的收益率有分布函数f ( r ) ，f q r ，如果l , i r i d f ( n o o ， n z e ( ，、=r d f c r ) 存，则称e ( r ) 为投资的期望收益率。 我们知道，收益率的平均值是投资的期望收益率的无偏估计，因此，我们往往用收益率 的算数平均值来作为e 的估计。 3 2 风险的度量 风险是资产来来收益的不确定性，即未来收益偏离期望收益的程度。偏离程度越大，风 险越大，偏离程度越小，风险越小。在金融市场中，存在一些证券，如银行存款，政府债券， 他们的收益率是确定的，投资者在事先就已经知道这些证券的收益率，而且这些证券的收益 率的波动几乎为0 ，因此我们称这些证券为无风险证券。在实际情况中，我们一般选择银行 定期存款利率或国债的收益率为无风险收益率。 而证券市场中的大部分证券的收益率是不确定的，例如，证券市场中的股票，在过去的 经典理论中都采用收益率的方差来作为证券收益的风险度璧。 风险的定义：设投资的的收益率有分布函数f ( f ) ，r eqr ，且 l d f ( r ) c * 则称 a 2 = l ( r - 研r ) ) 2 d e ( r ) 为收益率的方差，同时称o 为标准差，即风险。 现在，让我们来对m r 下个定义。 3 3m r 的定义 考虑资产i 在第t 期的情况，设资产在t 1 时刻( t t l i + 1 ) 的成交金额为v i ， ，收益率i ， ， 第t 期资产总值v i 一对于股票来说，第t 期资产总值v 被定义股票i 在第t 期末的收盘价 乘以他的流通总股本。 慨，= 吆) + 3 2 f l 爿，r 州) 即单位资产的资金增量。 如果将资产i 在第t 期整个地看作一个时刻，那么( 3 2 ) 式简化为 蛉警 。2 a 如果资产i 为股票，那么( 3 2 a ) 司化为 肘7 i r = v0 ，i 。i 7 i ， 其中，v o l i ，t 为股票i 在第t 期地换手率。那么m r l 。可以理解为每股股票i 在第t 期的资 金增量。对于投资组合 国= ( q ，( - 0 2 c o ) 7 其对应地m r 为： 蛾，= q 慨， 设统计量m r i 有分布函数f ( m r i ) ，m r i eq _ r j ，如果l i 肋；f d f ( 堆) 而v o ，( 34 b ) 曹 卿n ( 吒2 ) ：哑n 沏7 e c o ) i 7 “= - ( i ) j t 0 , 1 = m r v o l ( ) 【0 7 e = 1 ( i ) 丰口l i i ) 千日矛庙，模型【3 4 a ) 尢群。 ( 毕) 给定收益率r p ，满足模型( 3 3 ) 的投资组合为ur p ，令 e ( ) = c o r , 7 e ( m r ) 定理4 ：对模型( 3 3 ) 和模型( 3 4 ) ，给定同一收益率为r p ，使模型( 3 3 ) 的风险达到最 小的投资组合为o r p ，那么。脚是满足模型( 3 4 ) 的投资组合的充要条件为： e ( ) 菥 证明：( i ) 如果u r p 是满足模型( 3 4 ) 的投资组合，那么c or p 必须满足条件( 3 4 a ) ，因此有 7 e ( 胁) 蔓磊 即： e ( m r o v ) 聊r 由于模型( 3 4 ) 的第二风险最大为m r ，所以定理5 成立。 ( 证毕) “天下没有免费的午餐”，模型( 3 | 4 ) 的改进以增加一部分第一风险为代价，改进的结 果是更加符合实际情况。而模型( 3 3 ) 尽管十分完美，但与实际存在一段距离。 改进方法二：第二种方法的思想是对任何一个资产或投资组合，先以收益率、第一风 险、第二风险为元素定义一个三元组，然后按照某种标准，在此三元组上定义一个偏序关系， 根据这个偏序关系，筛选资产以形成有效子集，然后在有效子集中用m a r k o w i t z 模型( 3 3 ) 选择投资组合。 给定一个投资组合置其三元组为( o ，m r x ，d - ) 7 ，记这个三元组为0 ，即： 以= ( o ，m r x ，) 7 在筛选资产之前，我们先定义偏序关系： 任取工，y ，“，定义在p 空间上的一个偏序关系，如果x “优于”y ，则记 x - y 偏序关系满足如下性质：( 1 ) 自反性v x e f n , 膏卜x 2y ( 2 ) 传递性 v x ，y ，z p ，若：x y 。y 卜z ，则有： x - z 定义：对于两个投资组合x , y ，他们所对应的三元组为 臼，= ( 0 ，m o ，) 7 ，吼= ( _ ，肌，听) 7 ，如果满足 那么称投资组合x 优于n 记 囊 肼o m o - xs c r v z - y 标准：给定一4 - - 元组岛= ( ，o ，m r o ，c r o ) 7 ，令 如= 一一受 则称岛为一个标准，氏是一个以岛为标准的有效子集 给定有效子集p g 如，m a t k o w i t z 模型便可在有效子集上求解a 实证分析( 结果见附件6 ) ： 本人在沪市1 8 0 指数中随意选择1 9 只股票，股票名称、收益率和标准差见附件6 ( 除去 双鹤药业) 。从附件6 中，我们可得出如下结果： 1 、给定m p 为0 0 0 0 6 0 4 时，当收益率从0 0 0 0 2 6 4 增加到0 0 0 0 5 4 6 时，由于e ( m o ：j 于 o ，0 0 0 6 0 4 ，改进模型( 3 4 ) 和原模型( 3 3 ) 的结果相同，东风汽车所占的比例从0 1 5 0 8 1 增加到0 2 1 9 。当收益率从o 0 0 0 5 4 6 增加到o 0 0 0 6 4 6 时，模型( 3 4 ) 所得出的投资组合的 第一风险大于模型( 3 3 ) 的风险，第二风险小于模型( 3 3 ) 的第二风险。东风汽车的比例 有所下降。当收益率大于o 0 0 0 7 0 4 时，模型( 3 4 ) 无解。 2 、当给定m ，为o 0 0 0 7 0 4 时，收益率从0 0 0 0 5 4 6 增加到o 0 0 0 7 8 6 时，同样可得出上述 结论，但是，改进模型( 3 4 ) 发挥的作用更大。例如，当收益率为o 0 0