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华侨大学硕士研究生毕业论文 第 1 页 共 106 页 论文摘要论文摘要 激光的广泛应用使得光束的传输变换、光束质量的控制和对激 光束特性的研究在理论和实践方面都有着重要的意义。通常认为激 光的基本特性是方向性好、单色性好、相干性高和亮度高。以前人 们将激光光束良好的方向性归结于它的高空间相干性，因此，对完 全相干光进行了一系列的研究。近年来的研究表明，高相干性并不 是光束良好方向性的必要条件，部分相干光源也可以产生与激光一 样的远场光强分布。同时，部分相干光在某些实际应用中，比完全 相干光更具优越性，例如部分相干光束在大气中传输时所受大气骚 动的影响要比完全相干光小得多，另外又因具有光强比较均匀，对 散斑低灵敏等优点而被应用于激光核聚变等领域。因此对部分相干 光的研究也是非常有意义的。另一方面，随着激光技术的发展，光 束整形技术也成为人们研究的热门课题。 本论文对完全相干光以及部分相干光的聚焦特性进行了详细的 讨论，并对光束整形进行了实验研究，主要工作包括： 1. 从惠更斯-菲涅耳原理出发， 推导了球面波被轴棱锥聚焦的光 场表达式， 分析了菲涅耳数和球面波的曲率半径对聚焦光场的影响。 2. 基于等效菲涅耳数的概念，研究了平面波被柱面透镜聚焦的 光场分布情况，以及焦移随等效菲涅耳数的变化关系。同时，也从 传统的数值计算法出发进行了研究，并对两种方法进行了比较。 3. 从广义惠更斯-菲涅耳衍射积分方程（collins 公式）出发，推 光束的聚焦特性与光束整形的研究 第 2 页 共 106 页 导了谢尔模型光束经球差透镜聚焦后的传输公式，并研究了菲涅耳 数、空间相干度和透镜球差对聚焦光场及焦移的影响。 4. 基于等效菲涅耳数的概念，对部分相干光经透镜聚焦的光场 进行了研究。研究表明，聚焦光场的焦移可以用解析表达式简单的 表示为等效菲涅耳数的函数。 另外， 我们还将这种方法与基于 collins 公式的数值计算法进行了比较。 5. 研究了聚焦部分相干光被衍射屏衍射的普遍情况，得到了普 遍适用的等效菲涅耳数及焦移表达式，并对几种具体情况下的等效 菲涅耳数及衍射光场的焦移情况进行了研究。结果表明，对等效菲 涅耳数的定义以及由此确定的焦移简单而准确，可以作为一种新的 方法来获得衍射光场的焦移。 6. 从广义惠更斯-菲涅耳衍射积分方程（collins 公式）出发，推 导了一类具有特殊相干度形式的部分相干光经透镜聚焦后的光强分 布，在理论上获得了局域空心光束，并研究了空间相干度、拦截比 和菲涅耳数对部分相干局域空心光束的影响。 7. 利用环形光阑-透镜系统和轴棱锥-透镜系统两种方法来聚焦 部分相干光，在实验上实现了部分相干局域空心光束，用 ccd 记录 了部分相干局域空心光束演变的过程，并研究了两个系统中各参数 对部分相干局域空心光束的影响。此外，通过环形光阑-透镜系统， 在实验上实现了平顶光束，并找出了影响两处平顶光束之间距离和 两处平顶光束尺寸的因素。 8. 提出了一种结构简单且容易调节的贝塞耳光束实现方法，即 华侨大学硕士研究生毕业论文 第 3 页 共 106 页 利用毛细管对激光束进行选模，从而得到贝塞耳光束。我们还对影 响贝塞耳光束的系统参数进行了研究。 关键词： 聚焦 焦移 光束整形 光束的聚焦特性与光束整形的研究 第 4 页 共 106 页 abstract because of the lasers extensive applications, beam transmission, quality control of the beam and research on the properties of the beam become interesting and necessary in both theory and practice. it is generally believed that the basic properties of the laser are good direction, monochromaticity, high coherence and high brightness. at one time, people attributed the laser beams good direction to its high coherence, and therefore took series of research on the fully coherent beams. however, in recent years, it is shown that the high coherence is not a requirement for the good direction，the source with partially coherence can also produce the same far-field intensity distribution as a laser. what is more, in practical applications, the partially coherent beams are demonstrated to have advantages over the spatial completely coherent beams for their low sensitivity to speckle and their potential applications in laser fusion etc. it has been demonstrated that partially coherent beams are less affected by the atmospheric turbulence than fully coherent ones. for these reasons, more and more attention has been focused on the focusing properties of the partially coherent beam. besides, with the developing of the laser technology, beam shaping becomes a hot topic in which people are interested. in this dissertation, the focusing properties of the fully coherent beam and the partially coherent beam are discussed in detail, and beam 华侨大学硕士研究生毕业论文 第 5 页 共 106 页 shaping is also investigated. the research is mainly: 1. based on the huygens-fresnel principle, the on-axis irradiance distribution of the axicon illuminated by the spherical wave is derived. the influence of the fresnel number and the radii of the beam on the focused intensity distribution is analyzed. 2. the effective fresnel number is defined, and the filed behind the cylindrical lens illuminated by plane wave and the focal shifts of the field are studied in a new way. meanwhile, the conventional numerical calculation is employed to deal with the same problem, and the comparision between these two methods is made. 3. according to the generalized huygens-fresnel diffraction integral (collins formula), we derive the propagation expressions of schell model beams passing through a cylindrical lens with spherical aberration. the influencing factors of the focal shift in the focusing field, such as fresnel number of the system, the spatial coherent degree of the beam and the spherical aberration of the lens, are also investigated. 4. the lens illuminated by partially coherent beams is studied based on the concept of the effective fresnel number. it is shown that the focal shift in the focused field can be easily expressed as the analytical formulation of the effective fresnel number. and, we make the comparison between this new method and the conventional numerical calculation derived from collins formula. 光束的聚焦特性与光束整形的研究 第 6 页 共 106 页 5. we investigate the diffraction field of the focused partially coherent beams diffracted by diffracting screen, and the generalized expression of the effective fresnel number and the focal shift are achieved. further more, specified cases are investigated. it is shown that the definition of the effective fresnel number and the expression of the focal shift are simple and accurate, we can easily get the focal shift of the diffracted field by this new method. 6. based on the generalized huygens-fresnel principle (collins formula), the lens illuminated by a class of partially coherent beams, with special coherent degree, is studied. the bottle beam is achieved in theory, and the influence of the spatial coherent degree, the obstruction ratio and the fresnel number on the bottle beam is investigated. 7. the partially coherent bottle beam is obtained experimentally with two systems respectively: annular diaphragm-lens system and axicon-lens system. a ccd device is employed to record the evolution of the partially coherent bottle beam. and we investigate the size of the patially coherent bottle beams influenced by the parameters of the two systems. besides, in annular diaphragm-lens system, the partially flat-top beam is achieved, and influence of the systems parameters on the size of the partially flat-top beam is also investigated. 8. we present a new approach to the bessel beam and the system is simple and adjustable, i.e., focusing the laser beam by the lens into the 华侨大学硕士研究生毕业论文 第 7 页 共 106 页 capillary. moreover, we study on the factors of the system which can affect the bessel beam. key words: focusing focal shift beam shaping 华侨大学硕士研究生毕业论文 第 11 页 共 106 页 第一章第一章 引言引言 1.1 研究工作的背景 研究工作的背景 自 1960 年第一台红宝石激光器问世以来， 激光技术及其应用取得了长足的 进展，强激光的研究与应用是激光技术领域的一个重要发展方向。在广泛的民 用（激光工业材料加工、激光医学等）和军用（高功率激光远程能量输运、惯 性约束聚变等）方面，要求功率密度更高、光斑更小的光束，并且能准确确定 光束焦点的位置以及焦点随光学系统和光束参数的变化规律。因此，对激光光 束通过光学系统的传输变换和聚焦特性的研究具有十分重要的实际意义。 在惠更斯-菲涅耳（衍射积分）原理1或德拜积分表达式2基础上，早期 lommel 用 lommel 函数计算衍射积分， 研究了会聚球面波焦点附近的三维光强 分布情况1，并得出结论：强度分布关于焦平面是对称的，光束的光强主极大 处于几何焦点位置。lommel 的研究方法和研究结果在研究光束通过圆形光阑 的衍射现象中是重要的，在随后研究衍射问题的论文中经常被引用。在后来的 研究中，bachynski3研究球面波通过圆形光阑的衍射时，发现轴上光强极大值 点的位置一般与几何光学预示的焦点位置不一致。不久，goubau4,van nie5和 kogelnik6分析发现在某些情况下高斯光束的实际焦面比传统几何光学给出的 焦面更靠近透镜。后来，holmes7, stamnes8,stamnes 和 spjelkavik9研究发现 如果会聚光束是受光阑限制的高斯光束或通过圆形光阑的单色光时也存在类似 的现象。 wolf 和 li10认为这一现象是更普遍的会聚相干光束光场的现象并称之 为焦移， 他们的研究也表明光束通过光学系统后的实际焦点并不在几何焦点处， 实际焦面常常朝向光阑移动。 在对高阶高斯光束的研究中， carter 和 aburdene11 发现光束的模式同样对焦移产生影响，相同条件下，模式越高，焦移（绝对值） 越大。borghi, santarsiero 和 vicalvi12则得出平顶高斯光束的阶数的增加会使平 顶高斯光束的焦移（绝对值）增大。在近来 greene 和 hall 对矢量贝塞耳-高斯 光束的研究中，得出光束的菲涅耳数、与贝塞耳部分有关的菲涅耳数的减小和 角向模式指数的增加使光束焦移（绝对值）增大。而对于部分相干光，空间相 干度也成为影响焦移的参数， l 和 zhang13以及 friberg 等人14发现空间相干度 光束的聚焦特性与光束整形的研究 第 12 页 共 106 页 减小使部分相干光的焦移（绝对值）增大。 通常认为激光的基本特性是方向性好、单色性好、相干性高和亮度高。的 确，激光束具有良好的方向性，发散角可小到 10-4rad 以下，以前人们把这一特 性归结于它的高空间相干性。然而 1978 年以后，美国著名光学专家 wolf 得到 了不同结论15：相干性不同的光源可产生相同的远场光强分布；要光束产生像 激光一样的方向性，完全空间相干并不是必要条件。大量的研究也证明了某些 部分空间相干的光源可以产生像激光一样方向性极好的光束15-21。而实际的激 光，特别是高功率激光常是部分相干并有像散特性的，比较合乎实际情况的是 采用部分相干光束模型22-25来进行研究，此外，在某些实际应用中，部分相干 光比完全相干光更具优越性。例如，部分相干光在大气中传输时所受大气骚动 的影响要比完全相干光小得多26,27；并且部分相干光束具有光强比较均匀，对 散斑低灵敏等优点而被应用于激光核聚变等领域28,29。因此，对部分相干光束 的聚焦特性的研究也是非常有实际意义的。 随着激光技术的发展和激光研究的深入，激光的应用领域也随之扩展。近 年来发展起来的光束整形的研究正是把光强分布为高斯分布的激光光束变成局 域空心光束或平顶光束等。 局域空心光束是一种在聚焦区域出现的中心光强较小,四周被光强较高的 区域所包围一种特殊光束，这种光束在原子引导、原子囚禁，以及光学镊子等 方面都有广泛的应用。例如，一束蓝失谐的单束局域空心光束可用于冷原子的 光学囚禁及其操控。有关局域空心光束原子囚禁方面的理论计算和实验测量国 内外已经做了不少研究30-32，有些研究者还采用空心光束来构成光镊33-36。目 前为止， 实验上已经获得多种产生局域空心光束的方法。 ozeri 等37采用两个环 的圆形相位片产生了一束局域空心光束，并实现了冷原子的单束光学偶极子 囚禁。 稍后， ozeri 等38采用二元相位全息片产生了一束暗区体积较大的局域空 心光束，并实现了冷原子的大体积光学囚禁，cacciapuoti 等39采用几何光束方 法产生了一束纵横比为 14 的局域空心光束，herman 等40采用一球差透镜和投 影透镜构成的成像系统产生了一束纵横比较小的局域空心光束。 平顶光束由于具有光强空间分布均匀的特性，可以广泛应用到激光材料加 工、惯性约束聚变、激光核聚变、激光热处理、光的数字化处理等实际应用中。 华侨大学硕士研究生毕业论文 第 13 页 共 106 页 在理论上，parent 等人较早用超高斯光束41、gorie 利用平顶高斯光束模型42 来模拟平顶光束的特征，近年来，研究者的兴趣集中在用光束合成的方法来产 生和模拟平顶光束。吕百达等人提出了用偏心高斯光束叠加43 和厄米-高斯光 束合成44来模拟平顶光束，tova 采用多束高斯光束叠加45 来得到平顶光束， borghi 提出利用复宗量拉盖尔-高斯光束叠加46等模拟平顶光束。而在实验上， ih 和 klingsporn 等人提出用吸收滤光片得到平顶光束47-49，之后，人们还采 用微透镜列阵和衍射光学等方法得到平顶光束50-55。 1987 年 durnin 提出无衍射光束（贝塞耳光束）的概念，当光束的横向振幅 分布满足零阶贝塞耳函数时，这种光束的横向振幅分布将不随传播距离改变， 即无衍射。贝塞耳光束在理论和实际应用上的重要意义，促使人们对其进行大 量的研究，并提出了贝塞耳光束的各种实现方法：durnin 提出的利用微小缝隙 的环缝和透镜产生贝塞耳光束的环缝法56，vasara 等用计算机产生的全息图来 实现贝塞耳光束的全息法57，cox 和 dibble 用 fabry-perot 腔、透镜和针孔组成 的空间滤波器等来实现贝塞耳光束的谐振腔法58，graeme scott 等用锥形透镜 实现贝塞耳光束的锥形透镜法59， herman.等人利用球面像差透镜实现贝塞耳光 束的球面像差透镜法60 。 1.2 本论文主要内容及各章节安排 本论文主要内容及各章节安排 第一章：引言 简要介绍了光束聚焦特性及光束整形的研究目的、意义和研究进展。回顾 了国内外在光束传输聚焦及整形方面的研究。 第二章：基础理论 介绍了光传输的研究方法以及部分相干光的基本理论和数学物理模型。 第三章：完全相干光经光学系统的传输变换 利用等效菲涅耳数法和传统的数值计算法，分别研究了完全相干光被轴棱 锥和透镜聚焦后的传输特性。 第四章：部分相干光经光学系统的传输变换 利用等效菲涅耳数法和传统的数值计算法研究了部分相干光经透镜及衍射 屏衍射后的光场分布，以及一种具有特殊形式相干度的部分相干光的聚焦。 光束的聚焦特性与光束整形的研究 第 14 页 共 106 页 第五章：光束整形 从实验上采用两种系统实现了部分相干局域空心光束，并研究系统参数对 部分相干局域空心光束的影响；在实验上获得了部分相干平顶光束及贝塞耳光 束，同时对影响这两种光束的因素进行了分析。 第六章：总结 简要归纳了本论文的主要结论和创新点。 华侨大学硕士研究生毕业论文 第 15 页 共 106 页 第二章第二章 光束传输的基础理论光束传输的基础理论 本章主要阐述光束传输变换的理论方法以及部分相干光的基本理论和数学 模型。基于麦克斯韦（maxwell）方程组的经典电磁场理论是激光传输变换研究 的主要理论基础，在数学上归结为如何求解波动方程或衍射积分方程。 2.1 光传输的主要研究方法 光传输的主要研究方法 针对不同的实际情况，可采用不同的方法进行光束传输的研究。常用的有 以下几种方法。 2.1.1 几何光学方法几何光学方法 在研究光束传输的多种方法中，以几何光学方法最为直观。当波长0 时，几何光学近似成立，光的波动性居次要地位，可以用几何光学方法把光看 成光线来处理。用几何光学方法来研究光线的运动轨迹，以光线的直线传播定 律、反射和折射定律为基础。几何光学方法主要用来研究几何成像、光线传输 及像差分析等方面的问题。 2.1.2 矩阵光学方法矩阵光学方法 矩阵光学，即用矩阵代数运算方法来研究光学问题，最初本质上并未超出 几何光学的范畴，随着激光器的问世和激光科学技术的发展，矩阵光学方法大 大扩展了它的研究范围，并显示出处理问题简明、规范化和便于计算机求解的 优点。使用矩阵表述，可以把激光束通过光学系统的行为用一个变换矩阵（即 abcd 矩阵，亦称传输矩阵）来描述，激光束通过光学系统的变换则服从著名 的 abcd 定律。 dcq baq q + + = 1 1 2 ， （2.1.1） 式中 a、b、c、d 为变换矩阵的矩阵元， 1 q和 2 q分别为入射和出射高斯光束的 复参数。矩阵光学方法还可用来处理光学谐振腔的基本问题，例如模参数公式 光束的聚焦特性与光束整形的研究 第 16 页 共 106 页 以及光学谐振腔稳定性等。 2.1.3 傅立叶光学方法傅立叶光学方法 傅立叶光学的基本思想是用空间频谱的概念来研究光传输和成像上的信 息提取和信息分析等问题。出于傅立叶级数、傅立叶积分和傅立叶变换这套数 学方法使用的方便性，以及傅立叶光学上对空间频谱和光学滤波等问题的详尽 分析，使之在光束传输变换研究中仍具有吸引力。在数学上，衍射积分可表述 为傅立叶变换形式，二者在处理衍射和空间滤波器等问题上是完全一致的，再 加之发展了用计算机实现傅立叶变换的快速算法，因此，在对某些大型激光系 统的光束传输变换进行模拟时通常用傅立叶光学方法代替衍射积分方法来处理 问题。 2.1.4 算子光学法算子光学法 这一方法的要点是使用平方相位算子、标度算子、傅立叶变换算子和自由 空间传输算子等基本正则算子及其有序乘积来表示光学系统。使用算子表示的 优点是可将激光光束通过光学系统的变换和衍射积分等有关的积分运算用简单 的矩阵和算子对运算代替，并使公式表示形式和运算过程得以简化，具有较为 普遍的意义，但它只能处理无穷大孔径情况。 2.1.5 波动方程波动方程 光频电磁场的普遍运动规律由麦克斯韦方程组 t = b e =d t =+ d hj 0=b （2.1.2） 和物质方程 0 =+dep 华侨大学硕士研究生毕业论文 第 17 页 共 106 页 ()=+ 0 bhm =je （2.1.3） 描述，在线性极化条件下 0 =pe （2.1.4） 在非磁、各向同性均匀无损耗介质中，由麦克斯韦方程组和物质方程可推 出电场满足的波动方程为： 22 2 2222 0 11 0 ctct = pe e （2.1.5） 在标量场假设下，可以由式（2.1.5）推出真空中标量亥姆霍兹方程： 22 0ek e+= （2.1.6） 设 exp()eaikz= （2.1.7） 在缓变振幅近似下，即 a ka z ?, 2 2 aa k zz ? (2.1.8) 得到 22 22 20 aaa ik xyz += (2.1.9) 波动方程是研究光波传输的基本微分方程。波动方程的求解必须与初始和 边界条件相联系，较为复杂。波动方程可用于研究高功率激光在大气中的传输、 高功率激光在脉冲放大器中的传输、高功率激光在等离子体中的传输以及激光 在波导和光纤中的传输等问题。 2.1.6 广义衍射理论广义衍射理论61 在数学上，求解波动方程与求解衍射积分相比较，前者相当于建立空间某 一点的场与其附近场之间的联系，后者相当于已知空间某一曲面上的场分布， 求距该曲面一定距离的某一点或者定曲面上的场分布。广义衍射积分法实质上 是衍射积分方法和矩阵光学方法结合的产物，此方法除使用了标量近似外，是 光束的聚焦特性与光束整形的研究 第 18 页 共 106 页 比较普遍和严格的理论，它可用于处理光传输中的大部分问题。 衍射积分方程理论实际上是采用一定的边界条件，如基尔霍夫边界条件， 从波动方程得到标量衍射理论的基本公式，其中包括菲涅耳-基尔霍夫衍射公 式、菲涅耳衍射积分、夫琅和费衍射积分和collins公式。 经典标量衍射理论中的基本公式是菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式： 22211111 1 exp()(1 cos ) (, )()( ,0) 2 s iik exyze x ydx dy + = （2.1.10） 式中， 111 ( ,)e x y、 222 (,)exy分别为源点和场点处场的复振幅；为源点与场点 间的距离；(1 cos )/2+为倾斜因子；是s面上源点处 11 ( ,0)x y的法线与的 夹角。 当满足菲涅耳近似条件：衍射面与观察面的距离远大于衍射孔径和观察区 的线度时，在近轴近似条件下有惠更斯-菲涅耳衍射积分公式： 22 222111212111 1 (, )()exp()( ,0)exp()() 2 s iik exyzikze x yxxyydx dy zz = + (2.1.11) 若进一步增大衍射屏与观察屏之间的距离，则满足夫琅和费衍射条件，则 得到夫琅和费衍射积分公式： 22 22 222111212111 1 (, )()exp()( ,)exp() 2 s xyiik exyzik ze x yx xy ydx dy zzz + = + (2.1.12) 当衍射面和观察面之间是复杂光学系统时，菲涅耳衍射积分公式不再适用。 collins对经典衍射理论进行了有意义的推广，他证明，当衍射面与观察面之间 不是自由空间，而是用传输矩阵描述的复杂光学系统时，惠更斯-菲涅耳衍射积 分公式可推广为： 112121 2 2 2 2 1 2 1 2 1111222 )(2)( )( 2 exp)0 ,()exp(),( dydxyyxxyxd yxa b ik yxeikz b i zyxe s + + = (2.1.13) 在柱坐标下可改写为： 华侨大学硕士研究生毕业论文 第 19 页 共 106 页 1112121 1 2 2 2 1111222 )cos(2 2 exp)0 ,()exp(),( ddrrrr drar b ik reikz b i zre s + = (2.1.14) 式（2.1.13）和（2.1.14）就是著名的柯林斯(collins)公式。公式中出现的a、b、 c、d即为变换矩阵 dc ba 诸元素，理论分析中常使用的一些基本变换矩阵参 见附录a。 2.2 部分相干光的基本理论部分相干光的基本理论61 2.2.1 空间空间-时间域时间域 部分相干光的经典理论是以光场的统计特性为基础的。 在空间-时间域中用 互相干函数(), 21 来描述光场的相干性，其定义为： ()()()+= tti (2.2.2) 归一化的互相干函数称为复相干度(), 21 ，即 () () () () () ()() 21 21 21 21 21 ii , 0 ,0 , , , 21 = = (2.2.3) 光场的相干性可以用复相干度来量度，它的模(), 21 确定了干涉条纹的可 见度()1,0 21 ，当()1,= 21 时为完全相干，()0,= 21 时为 完全非相干，()1,0 21 时为部分相干。复相干度描述了光场在空间-时 光束的聚焦特性与光束整形的研究 第 20 页 共 106 页 间域中的相干性。空间相干性用(),0 12 来描述，时间相干性用(), , 来 描述。后者又称自相干函数 ()( ), ,( ,)( , )vtvt = = (2.2.4) 平均光强( )i可用自相干函数表示为 ( )( , ,0)(0)i= = (2.2.5) 在准单色近似下，即谱宽远小于平均频率时，可用互强度(,)j 12 代替互 相干函数() 1 ,0 1 描述光场空间相干性。互强度的传输公式为： 222 11221122111 111 ( , )()(,0)exp ()2() 22 kik j x y xyzj xyxya xyx xy y bb =+ 222222 11222222221122 ()( ()2()()d xya xyx xy yd xydx dy dx dy + (2.2.6) 2.2.2 空间空间-频率域频率域 部分相干光的空间-时间域理论已经被推广到空间-频率域。 在空间-频率域 中，描述光场相干性的基本物理量是交叉谱密度函数(), 21 w为： ()()(),v ,v , 2121 =w (2.2.7) 式中(),v j 为场函数()t j, v 的傅里叶变换，即 ()()()dttit jj exp,v,v = (2.2.8) 2, 1=j；为圆频率。 空间点处,频率为的平均光强： ()(),wi= (2.2.9) 归一化的交叉谱密度函数称为复空间相干长度： () () ()() () ()() , , , , , 1212 21 21 21 21 ii w ww w = (2.2.10) 与空间-时间域中情况类似，有()1,0 21 。 华侨大学硕士研究生毕业论文 第 21 页 共 106 页 交叉谱密度函数通过近轴 abcd 光学系统的传输公式为： 222 11221122111 111 ( , )()(,0)exp ()2() 22 kik w x y xyzw xyxya xyx xy y bb =+ 222222 11222222221122 ()( ()2()()d xya xyx xy yd xydx dy dx dy + (2.2.11) 2.2.3 部分相干光的数学模型部分相干光的数学模型 关于部分相干光的数学模型，较早启用的是高斯-谢尔模型光束。近年来还 出现了多种数学模型，其中比较有代表性的是扭曲高斯-谢尔模型（tgsm）光束 62、各向异性扭曲高斯-谢尔模型（agsm）光束63、部分相干修正贝塞耳高斯 光束（mbgb）64等。 高斯-谢尔模型光束作为较早启用的描述部分相干光束的物理模型， 在现代 光学中扮演着重要的角色。 它的性质和传输变换特性受到了广泛的重视和关注。 这里只对各向同性高斯-谢尔模型光束进行描述。 假设部分相干光在源0=z处的交叉谱密度函数可表示为 ()()() ()0 ,0 ,0 ,0 , 212121 rrrrrr=iiw (2.2.12) 式中复空间相干度()0 , 21 rr 是 21 rr 的函数。若光强i和复空间相干度 都由高斯函数表征： () = 2 0 2 0 2 exp0 , w ii r r (2.2.13) () () = 2 0 2 21 21 2 exp0 , rr rr (2.2.14) 则称为各向同性高斯-谢尔模型光束。式中 0 i为一常数， 0 w、 0 分别为源处高 斯-谢尔模型光束的束腰宽度和相关长度。高斯-谢尔模型光束是描述部分相干 光的一个常用物理模型。 高斯-谢尔模型光束在自由空间传输距离z的公式为： () ( )( ) () ( ) () ( ) + = zr ik zzwzw w iw 2 exp 2 expexp0 , 2 2 2 1 2 2 21 2 2 2 2 1 2 2 0 021 rrrrrr rr 光束的聚焦特性与光束整形的研究 第 22 页 共 106 页 (2.2.15) 式中 ( ) 2 1 2 0 2 0 2 0 0 11 1 + += ww z wzw (2.2.16) ( ) + += 1 2 0 2 0 2 0 11 1 wz w zzr (2.2.17) ( ) 2 1 2 0 2 0 2 0 0 11 1 + += ww z z (2.2.18) ( )zw、( )zr、( )z分别为高斯-谢尔模型光束在z处的束宽，等相位曲率半径和 相关长度。 定义空间相关度和空间相关参数， ( ) ( )zw z w = 0 0 (2.2.19) ( ) ( ) () 2 1 2 2 1 2 2 1 2 0 0 111 += += += z zww (2.2.20) 、都是与传输距离z无关的量，且+和0r 0和r0， 会聚球面波入射时r0，对于会聚球面波r0，对于会聚球面波入射r0，对于平面波， r无穷大。 从上式可以看出，a和r都对菲涅耳数产生影响。下一部分，我们通过数 值计算来阐明菲涅耳数对光场中焦移的影响。 3.1.2 菲涅耳数对焦移的影响菲涅耳数对焦移的影响 基于上节的理论推导，我们可以对轴上点光强分布进行数值模拟。图3-1-2 所示为菲涅耳数100n =时，平面波、发散球面波和会聚球面波入射轴棱锥的轴 上点光强分布。图中，我们将z轴用 max z来进行归一化。 图 3-1-2 归一化的轴上点光强分布，对应着不同入射光。其中，100n =。直线、虚线和 点线分别代表平面波，曲率半径为 0.14m 的发散球面波和曲率半径为-0.45m 的会聚球面波 入射轴棱锥的情况。 我们可以看到，当球面波入射轴棱锥时，也会产生焦移现象。对于发散球 面波来说，当曲率半径取适当值时，轴上点光强将变的很平滑。对应于不同菲 涅耳数的这种轴上点平滑现象如图3-1-3所示。 光束的聚焦特性与光束整形的研究 第 28 页 共 106 页 (a) (b) (c) 华侨大学硕士研究生毕业论文 第 29 页 共 106 页 图 3-1-3 归一化的轴上点光强分布， 对应着三个不同菲涅耳数。 直线和点线分别代表平面 波 和 发 散 球 面 波 入 射 。 其 中 (a) 100n =,r=0.14m (b) 200n =,r=0.28m (c)300n =,r=0.42m 我们可以看到，菲涅耳数越大，轴上点光强平滑所需要的曲率半径就越大。 图3-1-4所示为对应不同菲涅耳数时，轴上点光强平滑所对应的曲率半径。 图 3-1-4 对应不同菲涅耳数时，轴上点光强平滑所对应的曲率半径 此外，从图3-1-3中，我们可以看出，与平面波入射类似，当菲涅耳数变 小时，轴上点光强最大点将向轴棱锥靠近。我们定义，轴上点光强下降到一半 时，相对应点的横坐标 d z与几何交点 max z的差值 maxd zzz =为焦移值，那么 归一化后： maxmax 1 d zz zz =， max z z 为相对焦移。图3-1-5所示为曲率半径一定的 发散球面波入射轴棱锥时，对应不同的菲涅耳数，相对焦压缩值的大小。可以 看出，随着菲涅耳数的减小，焦压缩现象变的明显。 光束的聚焦特性与光束整形的研究 第 30 页 共 106 页 图 3-1-5 对应不同菲涅耳数时，相对焦移值，其中 r=1m。 3.2 完全相干光被透镜聚焦所产生的焦移 完全相干光被透镜聚焦所产生的焦移 菲涅耳数是描述光学系统衍射特性的重要参量。如前文所述，在菲涅耳数 比较小的情况下，轴上点最大光强不再位于几何焦点处，而是朝透镜方向移动， 而且焦移量的大小由聚焦系统的菲涅耳数所决定，这就是所谓的焦移现象。近 几年来，由于焦移现象的产生，光束在低菲涅耳数的情况下的聚焦特性成为一 个研究的热点76,83-92。但在传统的方法中，我们利用数值计算来获得相对焦移 随菲涅耳数的变化。最近，manuel martnez-corral等人基于等效菲涅耳数93的 概念，利用一个简单的解析表达式来计算相对焦移。 本节中，我们定义了平面波入射柱面透镜的等效菲涅耳数，并基于等效菲 涅耳数的含义， 利用一种新的简单的方法研究了平面波经柱面透镜的聚焦光场。 为了说明等效菲涅耳数的定义，我们还将由这种简单的新方法得到的结果与基 于衍射积分的数值计算得到的结果进行了比较。 3.2.1 聚焦平面波的等效菲涅耳数聚焦平面波的等效菲涅耳数 我们考虑平面波入射柱面透镜时，聚焦光场中轴上点光强分布。假设透镜 位于平面zf= 处，透镜后光强分布可以写成 2 (