（应用数学专业论文）拟线性双曲型方程组具小全变差初值的cauchy问题的整体经典解.pdf

摘要 本文工作分以下几个都分； ( 1 ) 考虑具紧支集、小全变差初值的拟线性严格双曲型方程组的c a u c h y 问题，在方程组为弱线性退化的假设下，得到其经典解的整体存在唯一 性，推广了a b r e s s a n 关于线性退化方程组整体经典解的结果，并给出其在 拟线性对角型方程组中的应用 ( 2 ) 将a b r e s s a n 的上述结果由具紧支集初值推广到具慢衰减性初值对 具慢衰减性、小全变差初值的拟线性严格双曲型方程组的c a u c h y 问题，在 方程组为线性退化的假设下，得到其经典解的整体存在唯一性，并给出了 在弹性弦平面运动方程组中的应用 ( 3 ) 考虑具紧支集、小全变差初值的拟线性非严格双曲型方程组的c a u c h y 问题，在方程组为弱线性退化的假设下，得到其经典解的整体存在唯一 性，并讨论其在弹性弦运动方程组中的应用 谊嘉蝴。嚣敝她方眵弱锣化整渺觚标渺蛳gli连续m m 泛函 v 。 a b s t r a c t t h i sw o r ki sc o m p o s e do ft h r e ep a r t s p a r t1c o n s i d e r st h ec a u c h yp r o b l e mf o rg e n e r a lq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m sw i t h s m a l li n i t i a lv a r i a t i o n s u p p o s et h a tt h es y s t e mi sw e a k l yl i n e a r l yd e g e n e r a t e ，t h eg l o b a l e x i s t e n c eo fc l a s s i c a ls o l u t i o n st ot h ec a u c h yp r o b l e mi so b t a i n e d t h i sr e s u l tg e n e r a l i z e s t h er e s u l to b t a i n e db ya b r e s s a ni n1 9 8 8t h a tt h eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o ne x i s t so nt 0 ， p r o v i d e dt h a tt h eh y p e r b o l i cs y s t e mi sl i n e a r l yd e g e n e r a t ei nt h es e n s eo f p d l a x a tt h e e n do ft h ep a r t ，w eg i v ea na p p l i c a t i o nt ot h eq u a s i l i n e a rs y s t e mo fd i a g o n a lf o r m p a r t2d e a l sw i t ht h ec a u c h yp r o b l e mf o rg e n e r mq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m sw i t h i n i t i a ld a t aw i t hs l o w l yd e c a y i n gp r o p e r t i e sa n ds m a l li n i t i a lv a r i a t i o n s u p p o s et h a tt h e s y s t e mi sl i n e a r l yd e g e n e r a t e ，w eg e tt h eg l o b a le x i s t e n c eo f c l a s s i c a ls o l u t i o n s t h i sr e s u l t g e n e r a l i z e st h ep r e v i o u sr e s u l t o fa b r e s s a nf r o mi n i t i a ld a t aw i t hc o m p a c ts u p p o r tt o s l o w l yd e c a y i n gi n i t i a ld a t a a na p p l i c a t i o nt ot h es y s t e mo ft h ep l a n a rm o t i o no fe l a s t i c s t r i n g si s a l s og i v e n p a r t3d e a l sw i t ht h ec a u c h yp r o b l e mf o rg e n e r a lq u a s i l i n e a rn o n s t r i c t l yh y p e r b o l i c s y s t e m s s u p p o s et h a tt h ei n i t i a ld a t ap o s s e s sac o m p a c ts u p p o r ta n ds m a l li n i t i a l v a r i a t i o n s u p p o s e f u r t h e r m o r et h a tt h es y s t e mi sw e a k l yl i n e a r l yd e g e n e r a t et h es a m er e s u l t o nt h eg l o b a le x i s t e n c eo fc l a s s i c a ls o l u t i o ni so b t a i n e da n da l l a p p l i c a t i o nt ot h eg e n e r a i s y s t e mo ft h em o t i o no f e l a s t i cs t r i n g si s g i v e n k e y w o r d sa n dp h r a s e s ：q u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s ，w e a kl i n e a rd e g e n e r a c y g l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n ，n o r m a l i z e dc o o r d i n a t e s c o n t i n u o u sg l i m mf u n c t i o n a l 第一章引言及主要结果 1 1 引言 1 1 1 物理背景及问题的提出 许多力学、物理学领域( 例如流体力学、非线性弹性力学等) 的基本方程 都是一阶拟线性双曲型方程组( 参见( c f ，s m ，l q l 及其中的文献) 一阶拟线性双曲型方程组的一般形式为 t “+ a ( u ) u 。= g ( u ) ，( 1 1 1 ) 其中“= ( ，u 。) r 是关于变量t 和。的未知向量函数，a ( u ) = ( a i j ( u ) ) n x 。 是关于变量t ，z 的n n 阶矩阵，其元素适当光滑，而9 ( u ) 是关于变量“的n 维列向量函数 对拟线性双曲型方程组( 1 1 1 ) ，其经典解的局部存在唯一性已经有成熟 的研究成果( 见【s c h “f r ，【c l ， d o ， h w l a l ， l y l ， l y 2 及其中的文献) 拟线性双曲型方程组( 1 1 1 ) 具有不同于线性方程组的本质特征：即使对 充分光滑且充分小的初始函数，拟线性双曲型方程组( 1 1 1 ) 的经典解也会 在有限时间内破裂( 见 l a 2 ，【l q ，【s m ) 由下面的例子可以知道，即使是人们 所熟悉的最简单的一阶拟线性双曲型方程一一b u r g e r 方程，对于给定的性 质很好的初始函数，其经典解的一阶偏导数通常也会在有限的时间内破裂 丽失去正则性这样，对拟线性双曲型方程组( 1 1 1 ) 整体经典解的存在性 和非存在性问题的研究就尤为人们所关注 例考虑如下b u r g e r 方程的c a u c h y 问题： ru t + u i $ x = 0 ， 1 t _ m ：m ) ， q l 2 其中妒( z ) c 1 ( r ) 且具有有界的c 1 模 由特征线法可知。沿特征线 z = 卢+ 庐( 卢) t c u u c h y 问题( 1 1 2 ) 的解为常值t u ( x ，t ) = 咖( 卢) ( 1 1 4 ) 由此易知当经典解“= u ( t ，z ) 存在时，成立 象= 篇1 ， a 口 + ( 卢) 、。 如果妒( 卢) 不为单调增加函数，由( 1 1 5 ) 可知：其解“= u ( ，z ) 的一阶偏导 数磊o u 将在时刻t = 一南发生破裂。即 s u p i 丽o u | ) _ + ，当t - + t 时 同时。由( 1 1 5 ) 亦知：c a u c h y 问题( 1 1 2 ) 在t 0 上存在整体经典解的充 要条件是( 见【l i ) ( z ) 0 ， v z r ( 1 1 6 ) 上面的例子告诉我们，对于拟线性双曲型方程组( 1 1 1 ) 的c a u c h y 问题， 一方面，其经典解通常会在有限时间内破裂而失去正则性另一方面，如 果对初始条件作一些适当的假设，其经典解将会在t 0 或t r 上整体存 在唯一因此，对拟线性双曲型方程组( 1 1 1 ) ，通常可研究如下的两个基本 问题： ( 1 ) 在什么条件下，拟线性双曲型方程组( 1 1 1 ) 的c a u c h y 问题在t 芝0 或 t r 上存在整体经典解? ( 2 ) 在什么条件下，拟线性双曲型方程组( 1 1 1 ) 的c a u c h y 问题的经典解 会在有限时间内破裂而失去正则性? 对于上述问题的研究，一方面是数学理论本身的需要，另一方面是由于 对拟线性双曲型方程组( 1 1 1 ) 经典解的整体性态( 渐近性态，稳定性) 的研 究以及相关的数值计算或数值模拟，都是以其经典解的整体存在性为前提 的而且，如果其经典解在有限时间内破裂，在解决实际问题的过程中， 就需要在更广一类函数空间中求解；或者，当这种破裂与实际的物理现象 不相符时，就说明我们提炼出的数学模型不能准确地描述实际现象，而需 要对此数学模型加以改进 综上所述，可知对拟线性双曲型方程组( 1 1 1 ) 的c a u c h y 问题经典解的整 体存在唯一性以及破裂现象的研究具有重要的理论意义和实际意义，而研 2 究一阶齐次拟线性双曲型方程组的c a u c h y 问题 0 口u ia ( ) 瓦0 u = o ， t = 0 ：u = 妒( z ) ( 1 1 7 ) ( 1 i 8 ) 又是研究非齐次拟线性双曲型方程组( 1 1 1 ) 的c a u c h y 问题的前提和基础 本文的工作主要是对一类具小全变差初值的一阶齐次拟线性双曲型方程组 的c a u c h y 问题( 1 i 7 ) 【1 1 8 ) 的整体经典解的存在性进行进一步的研究 1 1 2 拟线性双曲型方程组经典解的研究历史及现状 1 1 2 1 研究历史 拟线性双曲型方程组c a u c h y 问题经典解的局部存在唯一性是该领域研 究工作的基础 对于拟线性双曲型方程组c a u c h y 问题经典解的局部存在唯一性的研 究，最早始于j s c h a u d e r ，他给出了利用不动点定理证明局部解的存在唯一 性的思想( 见 s c h ) 其后在1 9 4 8 年，k o f r i e d r i c h s 证明了当拟线性双曲型方程组的系数及 初始函数妒( 。) 均属于c 2 时。拟线性双曲型方程组的c a u c h y 问题在局部区 域上存在唯一的c 2 解( 见【n 】) r c o u r a n t 和p d l a x 于1 9 4 9 年用更直接的方法对此c a u c h 3 ，问题进行研 究，证明了在c ：审- 情形下经典解的局部存在唯一性( 见 cl ) a d o u g l i s 在1 9 5 2 年证明了当方程组系数及初始函数9 ( z ) 均属于c 1 时， 拟线性双曲型方程组的c a u c h y 问题存在唯一的局部c 1 解( 见 d o ) ，同年， p h a r t m a n 及a w i n t n e r 以较简单的方法得到相同的结果( 见【h w 】) 以上关于局部解的研究都是通过沿特征线积分把c a u c h y 问题化为与之 等价的积分方程组，并利用线性情况下的解来迫近拟线性情况下的解与 上述证明方法不同，p d l a x 在1 9 5 3 年对解析情况用迫近的方法，给出了 c a u c h y 问题经典解局部存在唯一性的一个新的证明( 见 l a l 】) 1 9 6 2 年，l it a - t s i e n 和y uw e n 。c i 在对线性双曲型方程组的c a u c h y 问题的 解建立精细估计的基础上，利用迭代法简便地证明了拟线性双曲型方程 组的c a u c h y 问题局部c 1 解的存在唯一性。并给出拟线性双曲型方程组经 典解的一些相关性质，为进一步讨论经典解的整体存在唯一性奠定了基础 ( 见f l y 2 ) 3 1 1 2 2 研究现状 在解决了拟线性双曲型方程组的c a u c h y 问题( 1 1 1 ) 和( 1 1 8 ) 局部c 1 解 的存在唯一性问题的基础上，人们对于拟线性双曲型方程组的c a u c h y 问 题( 1 1 1 ) 和( 1 1 8 ) 的经典解的研究转为对其大时间范围的存在唯一性的研 究已知( 见【l i 】) 经典解局部存在唯一+ 经典解的g 模的一致先验估计辛经典解的整 体存在唯一 这给出了证明c - 解整体存在唯一性的一个基本的途径在此基础上容 易得到单个方程以及2 x2 可化约拟线性双曲型方程组c a u c h y 问题的整体 c 解的存在唯一性以及关于解的生命跨度的结果( 见 l a 2 ， l i n 】及 l i ) ；而对 于较一般的拟线性双曲型方程组的c a u c h y 问题( 1 1 7 ) 一( 1 1 8 ) ，主要研究成果 有： f j o h n 在1 9 7 4 年证明了当a ( u ) ，妒( 。) c 2 ，拟线性双曲型方程组( 1 1 7 ) 在 “= 0 的某一邻域内为严格双曲型且真正非线性时，对于具紧支集的小初 值，经典解的一阶偏导数一定会在有限时间内破裂( 见 】o 】) l i uw a i p i n g 在1 9 7 9 年推广了f j o h n 的结果，证明了当特征在= 0 的某 一邻域内一部分是线性退化。其余部分是真正非线性时，在“线性波不产 生非线性波”的附加假设下，对一大类初值得到其经典解的一阶偏导数也 会在有限时间内破裂的结果，并将这一结果运用到一维气体动力学方程组 ( 见 l i u ) l h s r m a n d e r 于1 9 蹲年以较简单的方法重新证明了f j o h n 的结果，并给 出了关于解的生命跨度的精确估计( 见 h 司) 1 9 8 8 年，a b r e s s a n 给出了l a x 意义下线性退化方程组具紧支集、小全变 差初值的c a u c h y 问题( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 的经典解的整体存在唯一性( 见 b r ) 李大潜，周忆和孔德兴( 见【l z k l 】，【l z k 2 ) 通过引入弱线性退化的概 念，对具某种衰减性的小初值的拟线性双曲型方程组的c a u c h y 问题，给出 关于经典解整体存在唯一性和生命跨度估计的完整结果；并在 l k 】中，利 用连续g l i m , n 泛函将【l z k l 】中关于整体经典解的证明进一步简化最近， 孔德兴还指出了初始条件必要的衰减阶数对于弱线性退化方程组c a u c h y 问 题( 1 17 ) ( 1 1 _ 8 ) 的经典解整体存在性是必要的( 见 k o 】) 4 主要结果 为了便于更好地了解本文的结果，先在此简要回顾一些相关概念及引 理 拟线性方程组( 1 1 7 ) 为双曲型，即对所考察区域上任意给定的u 值，使 a ( u ) 有”个实特征值a t ( u ) ，：a 。( u ) 和一个完全的左( 相应地，右) 特征向量 系 对i = l ，n ，记l i ( n ) = ( 1 i t ( “) ，l i n ( u ) ) ( 相应地，r i ( u ) = ( r i l ( “) ，r i 。( “) ) 丁) 为对应于特征值( “) ( i = 1 ，n ) 的左( 相应地，右) 特征向量： l i ( u ) a ( u ) = k ( u ) k ( u ) ( 相应地，a ( u ) r i ( u ) = a i ( u ) r i ( u ) ) ， 恒有 d e t l t i j ( u ) i 0 ( 相应地，d e t l r i j ( u ) j o ) 如果a ( “) 在所考察的区域上有n 个互异的实特征值： a l ( ) a 2 ( ) a 。( u ) ， 则称方程组( 1 1 7 ) 为严格双曲型方程组 在严格双曲型的情况下，所有的a ；( u ) ，l i j ( u ) 和r 。( u ) ( j ，j = 1 ，”) 有与 n ，( u ) ( i ，j = l ，n ) 相同的正则性在本文中，对于非严格双曲型的情形， 仍假设所有的a i ( ) ，姒“) 和“，( “) ( i ，j = 1 ，n ) 有与a i j ( u ) ( 。，j = 1 ，q 相同 的正则性 不失一般性，可以假设 f i ( u ) 0 ( u ) 三如( ，j = 1 ，7 1 ) 及 r ? ( ) 一( u ) 兰1 ( ，j 1 ， ) ， 其中文，表示k r o n e c k e r 符号 由方程组( 1 1 7 ) 为双曲型的，不失一般性，可以假定 a o 垒a 1 ( o ) 一= p ( o ) a p + l ( o ) l 时，方程组( 1 1 7 ) 是非严格双曲的 5 下面给出严格双曲情形下弱线性退化的定义( 见 l z k 2 ) 定义1 称第i 族特征九( u ) 是弱线性退化的，如果沿过“= o 的第i 族特 征轨线“= “( ) ( s ) f 塞= r f ( 咄 1s = o ：u = o 成立 v 九( u ) r i ( “) 三0 ，v 小， 即 丸( u ( i ) ( s ) ) 三九( o ) ，v h 小 如果所有的特征都是弱线性退化的，称方程组( 1 1 7 ) 是弱线性退化的 在严格双曲的情形下，方程组( 1 1 7 ) 一定存在标准化坐标( 见【l z k 2 ) ，见 引理1 在方程组( 1 1 7 ) 为严格双曲型的假设下，假定a ( u ) c ，其中自 为1 的整数，则必存在一个c + 1 的局部微分同胚u = u ( o ) ( u ( o ) = o ) ，使得 在n 空间，对每一个i = l ，n ，过n = 0 的第i 特征轨线至少在小时与n 轴重合，即 f i ( a i e i ) 8 i ，v i d i l ，j 、( i = 1 ，- ，n ) ， 其中 e 产( o ，0 ，甲，0 ，o ) 7 称此局部微分同胚为标准化变换，称相应的未知变量n = ( 0 1 ，- ，a 。) 为标准 化变量或标准化坐标 下面给出非严格双曲型情形下标准化坐标和弱线性退化的概念f 见l k z ) 定义2 如果存在一个局部微分同胚u = “( a ) ( u ( o ) = o ) ，使得在n 空间中 成立 ( d h e h ) 1e 。v l d h l 4 、( = l ，p ) ，( 江l ，p ) h = l 及 ( 奶q ) 辨e j ，v h l ，j 、u = p4 - 1 ， ) ， 其中 b = ( o ，0 ，l ：f ) o ，o ) 7 称此局部微分同胚为标准化变换，称相应的未知变量d = ( d ”，a 。) 为标准 化变量或标准化坐标 6 定义3 称非严格双曲型方程组( 1 1 7 ) 为弱线性退化的，如果存在标准 化交换，且在标准化坐标下，成立t 当i = l ，p 时。 p 儿( t t h e h ) 三a o ，v l u h l d 、( = 1 ，p ) ， 其中a o 垒a 1 ( o ) 一= a ，( o ) 而当i = p + 1 ，n 时， a i ( u i e i ) 兰沁( o ) ，v k j j 、 下面给出本文的主要结果 本文由三部分组成t 第一部分考虑具紧支集、小全变差初值的拟线性 弱线性退化的严格双曲型方程组的c a u c h y 问题( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 经典解的整体 存在唯一性及其应用；第二部分考虑具慢衰减、小金变差初值的拟线性线 性退化的严格双曲型方程级的c a u c h y 问题( 1 1 7 ) ( 1 _ 1 8 ) 经典解的整体存在 唯一性及其应用；第三部分则考虑具紧支集、小全变差初值的拟线性弱线 性退化的非严格双曲型方程组的c a u c h y 问题( 1 1 7 ) 一( 1 1 8 ) 经典解的整体存 在唯一性及其应用 1 2 1 弱线性退化的严格双曲组具紧支集及小全变差初值的c a u c h y 问 题的经典解的整体存在唯一性 考虑一阶拟线性双曲型方程组的c a u c h y 问题( 1 1 7 ) 。( 1 1 8 ) ，在方程组( 1 1 7 ) 为严格双曲和线性退化时，a b r e s s a n 于1 9 8 8 年在初值妒( z ) 具紧支集和小全 变差的假设下，证明了c a u c h y 问题( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 经典解的整体存在唯一性 本文在第二章中，对方程组( 1 1 7 ) 为严格双曲和弱线性退化的情形，仍在 初值p ( $ ) 具紧支集和小全变差的假设下，证明了c a u c l t y 问题( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 经 典解的整体存在难一性( 定理2 1 ) 这一结果推广了a b r e s s a n 关于线性退化 方程组整体经典解的结果 定理2 1 假定在u = 0 的某个邻域内，a ( n ) c 2 ，拟线性双曲型方程组 ( 1 1 7 ) 是严格双曲且弱线性退化的初值函数妒( z ) 具有如下性质 ( i ) | p ( 口) c 1 ； ( i i ) l p ( z ) 具紧支集ts u p p p ( z ) ，z o j ，其中伽 o ( o o 依赖于初值p ( 。) 的c 1 模i 1 1 以及其紧支集的 宽度阮一口o ) ，对任意给定的0 o ，o o ，拟线性双曲型方程组的c a u c h y 问题 ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 对一切t r 存在唯一的整体c 1 解 i = t ( t ，z ) 定理2 1 可被用于拟线性对角型方程组( 定理2 2 ) 考虑下面的拟线性对角型方程组的c a u c h y 同题 l z k 2 】 窑+ a ( u ) 赛= o ( 1 1 9 ) t = 0 ： = 垆( 。) ( 1 1 1 0 ) 其中u = ( u 一，t 。) r 为关豫的c 1 未知向量函数，a ( u ) = 4 i a g a , ( u ) ， 。( u ) ) ， 而l i d ( z ) = ( 妒l ( 。) ，妒。( 。) ) 7 为关于。的c 1 向量函数， 由定理2 1 可得到 定理2 2 假设在“= 0 的某个邻域内，a i ( u ) ( i = t ，n ) 为的c 1 函数， 方程组( 1 1 9 ) 为严格双曲型，且设为弱线性退化方程组，即成立 a i ( o ，0 ，u i ，0 ，0 ) 三a d o ) ，v l u i l d , ( i = 1 ，n ) 只要初值妒( 。) 满足定理2 i 中的假设，则c a u c h y 问题( 1 1 9 ) ( 1 i 1 0 ) 对一切 t r 存在唯一的整体c 1 解u = u ( t ，z ) 1 2 2 线性退化的严格双曲组具衰减及小全变差初值的c a u c h y 问题的 经典解的整体存在唯一性 对于具某种衰减性初值的c a u c h y 问题( 1 1 7 ) 一( 1 1 8 ) ，李大潜，周忆和孔德 兴通过引入弱线性退化的概念，给出了c a u c h y 问题( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 经典解的整 体存在唯一性以及其破裂等完整结果( 见 l z k l ， l z k 2 ， l i ( 】) 最近，孔德兴对 于弱线性退化方程组( 1 1 7 ) 给出反例，说明初值的必要的衰减阶数对于弱 线性退化方程组的c a u c h y 问题( 1 1 7 ) 一( 1 1 8 ) 经典解的整体存在唯一性的必要 性在严格双曲型方程组( 1 1 7 ) 为l a x 意义下线性退亿的假设下，a b r e s s a n 对具紧支集且小全变差的初始条件，证明了c a u c h y 问题( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 的经典 解的整体存在唯一性；本文在第三章中，对具慢衰减且小全变差的初始条 8 件，证明了c a u c h y 问题( 1 1 7 ) 一( 1 1 8 ) 的经典解的整体存在唯一性( 定理3 1 ) ， 这一结果将a b r e s 8 a n 的上述结果由紧支集初值的情况推广到具慢衰减初值 的情况 定理8 1 假定在“= 0 的某个邻域内，a ( u ) c 2 ，拟线性双曲型方程组 ( 1 1 7 ) 是严格双曲且为l a x 意义下线性退化的，即对一切i 1 ，n ) ，成立 v a i ( ) n ( u ) 兰0 假设初值妒【z ) 满足 ( i ) 妒( z ) c 1 ； ( i i ) i p ( $ ) 具下述衰减性。 百垒8 u p ( 1 + i z l ) ( i 妒( ) i + i ( ) 1 ) ) + o o r ( i i i ) 妒( z ) 的全变差充分小，即 口垒，佃坝。) l 如 圭的适当光滑的 函数且满足 、 t ， 墨掣 0 r 0 其中= l a o i = 、同f 干耳矛 l ，砺= ( d 6 ，a 3 ) 丁为给定的常向量( “o ( z ) ，( z ) ) 为c 1 向量函数 定理3 2如果( 乜0 ( z ) ，”o ( z ) ) 满足定理3 1 中关于初值的假设，而且假设 t “( ，) 兰0 ，v r 1 则当岛 0 充分小时，对任意给定的0 ( 0 ，e o ，c a u c h y 问题 ( 1 1 1 1 ) 一( 1 1 1 2 ) 对一切r 存在唯一的整体c 1 解u = u ( ，。) 9 u 抡 l 1 l l 1 2 3 弱线性退化非严格双曲组具紧支集及小全变差初值的c a u c h y 问 题的经典解的鼙体存在唯一性 对于在弱线性退化假设下的非严格双曲方程组的c a u c h y 问题( 1 1 7 ) 一 ( 1 1 8 ) ，李大潜，周忆和孔德兴对具某种衰减性初值的情况，证明了c a u c h y 问题( 1 1 7 ) 一( 1 1 8 ) 经典解的整体存在唯一性( 见 l k z ) 本文在第四章中，对 具紧支集和小全变差初值的情况，证明了c a u c h y 问题( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 经典解的 整体存在唯一性( 定理4 1 和定理4 2 ) 定理4 1 假定在“= 0 的某个邻域内，a ( u ) g 2 ，拟线性双曲型方程组 ( 1 1 7 ) 为弱线性退化，假设满足 a o 垒 i ( o ) 一= k ( o ) a p + i ( o ) a 。( o ) 及在“= 0 的一个邻域中成立 a l ( u ) a 2 ( u ) s a 。( u ) 此外，初值妒( 。) 具有如下性质 ( i ) 妒( 。) e 1 ； ( i i ) 妒( 。) 具紧支集：s u p p 妒( z ) 【a o ，剐，其中a o 芦o ； ( i i i ) 妒( 。) 的全变差充分小，即成立 口垒，+ 。l 妒，( 。) l d 。 0 ，对任意给定的0 【o ，e o ( e o 依赖于初值妒( z ) 的c 1 模i i 以及其紧支集的宽度风一咖) ，拟线性双曲型方程组的c a u c h y 问题 ( 1 1 7 ) 一( 1 1 8 ) 对一切t r 存在唯一的整体c 1 解“= u ( t ，z ) 注4 1 对于守恒律双曲组 一泰征，磊o “二o f ( u ) 扎 a ( “) 垒a l ( “) 兰f a p ( u ) a p + i ( “) 0 ，对任意给定的0 【0 ，e o ，拟线性双曲型方程组的 c a u c h y 问题( 1 1 7 ) 一( 1 1 8 ) 对一切t r 存在唯一的整体e 1 解u = u ( t ，。) 定理4 1 可被用于弹性弦一般运动方程组( 定理4 3 ) 考虑下面的弹性弦一般运动方程组的c a u c h y 问题 旷i t t - 。u 掣x 2 - 0 。1 ，：。 t = 0 ：“= f i 0 + u o ( x ) u = v o ( x ) 其中“= ( “- ，扎。) ? ，u = ( ，”。) t ，r = = 碍干_ 疆川2 、而丁( 7 1 ) 为 r l 的适当光滑的函数，且满足 r ) 掣 0 r o 其中= l a o i = 、l a 5 1 2 + + l 蜡1 2 l ，如= ( n 6 ，诣) t 为给定的常向量 ( “o ( z ) ，( z ) ) 为g 1 向量函数 由定理4 1 可知 定理4 3 如果( 幻( 。) ，啦( 。) ) 满足定理4 1 中关于初值的假设，而且假设 t ”( r ) 兰0 ，v r 1 则当0 0 0 充分小时，对任意给定的0 【0 ，0 0 ，c a u c h y 问题 ( 1 1 1 3 ) 一( l 1 1 4 ) 对一切t 足存在唯一的整体c 1 解u = u ( t ，z 1 ” m 1 l 1 l 第二章弱线性退化的严格双曲组具紧支集及小全变差 初值的c a u c h y 问题的经典解的整体存在唯一性 预备事项 2 1 1 引言 考虑下面的一阶拟线性方程组 警圳”) = o ， ( 2 t ) 其中u = ( u 一，。) t 是( t ，。) 的未知向量函数，a ( u ) = ( o o ( “) ) 是n n 阵，其 元素n 玎( ) ( f ，j = l ，n ) 适当光滑 假设在“= o 的某一个邻域内，方程组( 2 1 1 ) 是严格双曲的，即对该邻 域内任意给定的u 值，a ( u ) 有n 个互异的实特征值 a l ( u ) a 2 ( u ) a 。( u ) ( 2 i 2 ) 对i = 1 ，n ，l i ( u ) = ( f l ( “) ，l i n ( “) ) ( 相应地，i ( u ) = ( r n i ( u ) ，一，1 i n ( u ) ) 7 ) 为相应于特征值, x i b d ( i = 1 ，n ) 的一个左( 相应地，右) 特征向量： l i ( u ) a ( u ) = a i ( u ) l i ( u ) ( 相应地，a ( u ) n ( ) = a 。( u ) r 。( n ) ) ，( 2 1 3 ) 恒有 d e t l l # ( u ) 1 0 ( 相应地，d e t r i j ( u ) l o ) ( 2 14 ) 在严格双曲型的情况下，所有的a i ( “) ，f u ( “) 和 ，( “) ( i ，j = 1 ，n ) 有与 a i j ( u ) ( i ，j = l ，”) 相同的正则性 不失一般性，可以假定 k ( ) 0 ( u ) 三6 u ( i ，j = l ，7 1 )( 2 1 5 ) 及 r t ( u ) r i ( u ) 兰1 ( 屯l = 1 ，n ) ，( 2 1 6 ) 其中如表示k r o n e c k e r 符号 1 2 给定下面的初始条件 t = 0 ：= 妒( 。) ，( 2 1 7 ) 其中p ( z ) 是一个。小”的c - 向量函数当i p ( 。) 具有一定衰减性。方程组 ( 2 1 1 ) 为弱线性退化时，李大潜等人在 l z k l 一 l z k 2 】中证明了c a u c h y 问题 ( 2 1 1 ) 和( 2 1 7 ) 的e - 解的整体存在唯一性，并在【l k 】中利用连续g l i m m 泛 函给出了【l z k l 】中关于c t 解整体存在唯一性的一个简化证明孔德兴在 【k o 中举出反例说明了初值足够的衰减阶数对保证经典解的整体存在唯一 性是必要的此外，a b r e s s a a 在【b r 】中对l a x 意义下线性退化的严格双曲 型方程组具紧支集、小全变差初值妒( 。) 的c a u c h y 问题( 2 1 1 ) 和( 2 1 7 ) 给出 了经典解的整体存在唯一性 本章的主要目的是将a b r e s s a n 的上述结果推广到方程组( 2 1 1 ) 为弱线 性退化的情形 首先固顾弱线性退化的概念( 见 l z k i 一 l z k 2 ) 定义2 1 称第i 族特征九( u ) 是弱线性退化的，如果沿过“= 0 的第i 族 特征轨线“= u ( ) ( s ) 成立 即 净d u 邓( “) ( 21 8 ) 【8 = 0 ：u = 0 ， v x i ( u ) r i ( u ) 兰0 ，v 小， a i ( u ( i ) ( s ) ) 兰a i ( o ) ，v h 小 如果所有的特征都是弱线性退化的，称方程组( 2 1 1 1 是弱线性退化的 下面给出本章的主要定理 定理2 1 假定在u = 0 的某个邻域内，a ( u ) c 2 ，拟线性双曲型方程组 ( 2 1 1 ) 是严格双曲且弱线性退化的初值l p ( $ ) 具有如下性质 ( i ) 妒( 。) c 1 ； ( i i ) 妒( 。) 具紧支集：s u p p p ( x ) o t 0 ，列，其中口o 风； ( i i i ) p ( z ) 的全变差充分小，即 ，+ o o 0 竺7i ( 。) l 如 o ( 口。依赖于初值妒( z ) 的c 1 模i | 妒1 1 1 以及其紧支集的宽 度卢0 一a 。) ，对任意给定的0 【0 ，o o ，拟线性双曲型方程组的c a u c h y 问题( 2 1 1 ) 和( 2 1 7 1 对一切t r 存在唯一的整体c 1 解u = u ( t ，$ ) 为了完整性先简要回顾由f j o h n 给出的波的分解公式( 见 j 0 1 ， l z k 2 ) ， 它将在后面的证明中起到重要的作用而后分另在第二、三节中，给出 c a u c h y 问题( 2 1 i ) 和( 2 1 7 ) 的e 1 解“= “( t ，z ) 的c o 模和其一阶偏导数p ，。) 的c o 模的一致先验估计，从而完成定理2 1 的证明最后在第四节中给出 定理的一个应用 2 1 2 波的分解公式 假定a ( t ) c 。，其中为1 的整数。根据f l z k 2 中的引理2 5 ，必存在一个 c + 1 的局部微分同胚“= “( t ) ( “( o ) = o ) ，使得在a 空间，对每一个i = 1 ，n ， 过n = 0 的第i 族特征轨线至少在 矗l 小时与a 轴重合，即 f i ( u i e i ) e i ，v 陬l 小( i = 1 ，n ) ，( 2 1 1 2 ) 其中 e i ：( o ，o ， 州0 ，o ) 7 称此局部微分同胚为标准化变换，称相应的未知变量d = ( d 。 化变量或标准化坐标 令 v i = “( u ) “( i = l ，n ) 及 w i = f i ( “) ( i = 1 ，n ) ， 其中l i ( u ) 表示与第l 族特征值九( u ) 对应的左特征向量 由( 2 1 5j ，容易得到 u = m r b ( u ) 及 u 。= w t ( u ) k = l 记 旦d , t d t = 旦o t “未 。1 r 7 8 0 1 4 ，a 。) 为标准 ( 2 1 1 5 ) ( 2 1 1 6 ) ( 2 1 1 7 ) 坞 h 1 1 偿 为沿第i 族特征对t 的方向导数 我们有( 见 j o ， l z k 2 ) 等= 磬州u 脚t 其中 女( “) = ( a k ( u ) 一九( u ) ) “( ”) v 0 ( u ) “( u ) 因此，成立 且在标准化坐标下，成立 由( 2 1 1 8 ) 可得 其中 反”( u ) 三0 ，v i ，j ( 2 1 1 9 ) ( 2 1 2 0 ) 卢；打( “j 勺) 三0 ，v h 。卟，v i ，j ( 2 1 2 1 ) ovi