（应用数学专业论文）旋转轴偏离重力方向的bénard问题中线性算子谱的研究.pdf

摘要 旋转轴偏离重力方向的b 6 n a r d 问题中线性算子谱的研究 摘要 考虑一个从底部持续加热的平行夹层，其中充满某种流体。由于热膨 胀，底部的液体会由于温度的升高有向上的趋势，当上下温差较小时，流 体自身的黏性阻止了热对流运动的产生，这时流体内部只有热传导。当温 差增大到某个临界值时，浮力会克服黏性力而打破静止状态，进而出现流 体的热对流运动。这种现象被称之为b 6 n a r d 对流，它常被用来作为热对 流研究的标准模型。 对于更广泛的情况，加入旋转的b 6 n a r d 对流在认识大气及海洋中对 流的产生方面具有非常重要的作用，因此很多学者对它从理论和实验方面 进行了广泛的研究。多年以来，很多对于该对流稳定性的研究都建立在旋 转轴平行于重力方向的情形，但是当旋转轴偏离重力方向时该问题没有得 到应有的关注。 本文应用数值方法分别讨论了边界条件为双固壁和双自由面时旋转 轴与重力方向不共向( 即垂与佥不共向) 的b 6 n a r d 问题的线性化谱问题。 记线性化谱问题中所有特征值仃的实部的最小值为彘( = m i n r e 仃) ) 。这里 矿是衰减率而不是物理学中的增长率，所以彘就标志着扰动衰减率的下确 界。 本文主要研究在取定一些参数后，彘与旋转偏向角的关系以及临界 瑞利数尺c 与的关系。计算结果表明：当取定其它参数后，彘和尺c 都是 的减函数，即随着旋转偏向角的逐渐增大，该对流变得越来越不稳定， 此外它们的变化还依赖于p r a n d t l 数厅。 关键词：贝纳得对流，旋转，瑞利数，普朗特数，双自由面边界，双固 壁边界 摘要 o nt h es p e c t r u mo fl i n e a r i z e do p e r a t o ro fr o t a t i n gb 6 n a r d p r o b l e mw h e n 季a n dqa c ti nd i f f e r e n td i r e c t i o n s a b s t r a c t c o n s i d e rah o r i z o n t a ll a y e ro ff l u i di nw h i c ha na d v e r s et e m p e r a t u r e g r a d i e n t i sm a i n t a i n e d b yh e a t i n g t h eu n d e r s i d e b e c a u s eo ft h e r m a l e x p a n s i o n ，t h ef l u i da tt h eb o t t o me x p a n d sa si tb e c o m e sh o t t e r , b u t ，f o rl o w t e m p e r a t u r eg r a d i e n t s ，v i s c o s i t yp r e v e n t st h eo n s e to fc o n v e c t i v em o t i o n s ， a n dh e a ti st r a n s p o r t e dt h r o u g ht h ef l u i do n l yb yc o n d u c t i o n w h e nt h e t e m p e r a t u r eg r a d i e n t r e a c h e sac r i t i c a l v a l u e ，t h eb u o y a n c yo v e r c o m e s v i s c o s i t y , a n dt h ef l u i dg i v e sr i s et oar e g u l a rp a t t e r no fc o n v e c t i v em o t i o n t h i sp h e n o m e n o ni sn o wc a l l e db d n a r dc o n v e c t i o nw h i c hi sas t a n d a r d m o d e lu s e dt os t u d yt h et h e r m a lc o n v e c t i o n f o rm o r eg e n e r a ls i t u a t i o n ，t h ei m p o r t a n c eo fb d n a r dc o n v e c t i o nw i t h r o t a t i o ni na t m o s p h e r i ca n do c e a n i cf l o wh a sl e dt oas i g n i f i c a n tt h e o r e t i c a l a n de x p e r i m e n t a li n t e r e s ti nt h i sp r o b l e m t h es t a b i l i t yo fb r n a r dc o n v e c t i o n w i t hr o t a t i o na b o u tav e r t i c a la x i sh a sb e e ns t u d i e db ym a n ys p e c i a l i s t si n p a s ty e a r s b u ti t d o e s n tg e te n o u g ha t t e n t i o nw h e n1 2 a n d 季a c ti n d i f f e r e n td i r e c t i o n s i nt h i sp a p e rw ea p p l yn u m e r i c a lm e t h o dt ot h el i n e a r i z e ds p e c t r a l p r o b l e mo fr o t a t i n gb dn a r dp r o b l e mw h e nqa n d 季a c ti nd i f f e r e n t d i r e c t i o n sw i t hs t r e s s f r e ea n dr i g i db o u n d a r yc o n d i t i o n s l e t 磊b et h e m i n i m u mv a l u eo ft h er e a lp a r t so ft h ee i g e n v a l u e s 仃i nt h es p e c t r u m p r o b l e m ( 彘= m i n r e a ”i nt h i sp a p e r 仃i st h ed e c a yr a t er a t h e rt h a nt h e g r o w t hr a t ei np h y s i c s ，s o 磊i n d i c a t e st h es m a l l e s tl o w e rb o u n do ft h e d e c a y r a t eo ft h ep e r t u r b a t i o n s t h ed e p e n d e n c eo f 彘a n dt h ec r i t i c a l r a y l e i g hn u m b e rr co nt h e r o t a t i n ga n g l e b e t w e e nqa n d 季i sg i v e n i t s s h o w nt h a tb o t h 磊 a n dr cd e c r e a s ew i t ht h eg r o w t ho ft h ea n g l ef 1 t h a tm e a n st h ec o n v e c t i o n b e c o m e sm o r ea n dm o r eu n s t a b l ew i t ht h eg r o w t ho fp m o r e o v e r 专oi s d e p e n d e n to np r a n d t ln u m b e r k e yw o r d s ：b d n a r dc o n v e c t i o n ，r o t a t i o n ，r a y l e i g hn u m b e r , p r a n d t ln u m b e r , s t r e s s f r e eb o u n d a r y , r i g i db o u n d a r y 符号说明 符号说明 速度场对应的扰动 温度场对应的扰动 压力场对应的扰动 膨胀系数 平均密度 重力加速度 运动黏度 热扩散系数 瑞利( r a y l e i g h ) 数 线性稳定的临界瑞利( r a y l e i g h ) 数 非线性稳定的临界瑞利( r a y l e i g h ) 数 普朗特( p r a n d t l ) 数 三维的拉普拉斯( l a p l a c e ) 算子 二维的拉普拉斯( l a p l a c e ) 算子 梯度算子 转置 对x 求碍阶偏导数 万= c u r lc u r l k = ( a 。，a 。，一a z - ) t 占一c u r l k = ( a j ，- a j ，o ) t 矩阵彳的逆 0 ，l ，2 ，) x 方向上的波数 y 方向上的波数 ( 一三，苎) ( 一孚，罢) aad1 9 旋转矢量 v l i 秒 p 口 p g y 七 尺 r 墨 n 赴 v j 茁 凸 争 z 口 6 p 口 符号说明 q r ( 一 d ! i i l i e ( 力) 力的第三个分量 p 上的平方可积函数全体 d 2 d z 2 导数 口( 力) 中的范数 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声 明的法律结果由本人承担。 作者签名： f 丑立：矍： 日期：一羔! 丝! 鼻兰 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文的 规定，即：研究生在校攻读学位期问论文工作的知识产权单位属北京 化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件 和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部 或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学 位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在上一年解密后适用本授 权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名： 导师签名： 日期： 日期： zo o 、1 6 第一章概述 第一章概述 1 1 引言 稳定性理论一直以来作为“非线性科学”里非常重要的组成部分，被应用到了 各个复杂的领域及其现象当中。在稳定性理论中，流动稳定性长期以来都是流体 力学的核心问题之一，它在航空、航天、风工程、材料制备等工程领域以及大气、 海洋等自然界都是普遍存在的。对于流动稳定性的研究，不仅可以应用于解决工 程技术问题，而且对于了解自然现象都起到了极其重要的作用。因此它不仅仅是 一个具有理论价值的学术问题，还在解决实际问题中具有广泛的应用。 研究流动的稳定性，即研究流动对于扰动的响应特性，包括流动是否稳定、什 么条件下稳定、以及不稳定流动的演化等。该研究作为一个系统的理论，最初是 为了解释流动从层流转捩为湍流的机制而形成的，它的发展是一个漫长的过程， 至今也还不能完全解释从层流到湍流的转捩机理，但是在它的不断发展过程中， 许多新的研究方法和理论随之产生。 在流动稳定性的研究过程中提出了很多非常基础并且重要的问题。其中b 6 n a r d 对流、t a y l o r - c o u e t t e 流、平面平行剪切流等都是该过程中著名并且经典的例子。 其中对于b t n a r d 对流的流动稳定性研究是热对流问题中最著名也是最受关注的， 它是由热对流引起失稳并最终过渡到湍流的一个典型例子。这是因为一方面它在 自然科学和工程学中有着十分广泛的应用，另一方面是由于与其相关的实验较易 设计且它具有比较整齐的偏微分方程的模型，这样就可以从理论上对其模型加以 研究和预测，然后通过与实验结果对比就可以了解其中斑图所形成的机理。b 6 n a r d 对流最先由b 6 n a r d i u 在1 9 0 0 年通过实验证明流体的热不稳定性过程中提出，随后 r a y l e i g h l 2 第一个给出了对于温度梯度平行于重力方向时该问题中流体稳定性的 理论分析。c h a n d r a s e k h a r t 列也在他的书中给出了一套完整的关于该对流线性稳定 性分析的理论，其中得到的理论结果与s c h m i v h 和m i l v e r t o m1 4 1 等人在实验中所取 得的结果十分吻合。 在对古典的b 6 n a r d 对流进行研究的同时，人们还把很多其他的因素引入到了 其中，例如旋转的b 6 n a r d 系统、封闭区域内的b 6 n a r d 系统和带扩散的b 6 n a r d 系 统等。 北京化丁人学坝：卜学位论义 旋转的b 6 n a r d 系统是一个综合了浮力、地心引力以及由旋转引起的c o r i o l i s 力的动力系统，关于它的研究对于认识大气及海洋中对流的产生和对对流的控制 有着较大的理论指导意义。c o r i o l i s 力的产生也引出了一个十分重要的描述旋转速 率的参数r t a y l o r 数，c h a n d r a s e k h a r t 3 1 得到了该系统在不同边界下的临界瑞利数， 它正是一个关于t a y l o r 数的函数。近年来t a g a r e l 5 1 和f a l s a p e r l a 6 l 等人也对该系统 在特殊边界下同时进行了线性和非线性的稳定性研究。本文研究的就是旋转的 b 6 n a r d 系统中当旋转轴倾斜时的情形。 对古典的b 6 n a r d 对流的大部分研究都建立在该系统的上下夹层为无限长的前 提之下，但是为了让理论研究与实验结果更加一致，一些学者开始在理论上研究 左右两侧边界对该对流稳定性的影响。d a v i s t 7 1 第一个通过数值方法对封闭区域内 b 6 n a r d 系统的线性稳定性进行了研究。r e d d y 、v o y e 8 】和v o o r e n 、h a t 9 1 给出了用 于在有限区域内对该系统进行线性稳定性分析的有限元方法。a l l a n 和s y a m m 1 也 对该系统的稳定性进行了数值研究，并得出了该系统的稳定性与g r a s h o f 数g r 和 p r a n d t l 数p r 有关的结论。 带扩散的b 6 n a r d 系统中的流体是由两种不同的流体组成，这样系统中不仅有 热传导，而且还有浓度扩散。它在地理学、大气学、天体物理学以及工程学中都 有着十分广泛的应用。a n d e r e c k 等”q 对这种含有两种不同流体的b 6 n a r d 系统的不 稳定性进行了全面介绍。 由于描述b 6 n a r d 系统的模型是非线性的，所以直接对它的稳定性研究会比较 困难。对于这种复杂的非线性问题的处理一般都是以线性稳定性研究为开端，首 先将该问题线性化，目的是研究线性算子的谱，但是这种线性分析的结果是否与 非线性分析的结果相一致，还有待于研究。对线性算子谱的研究十分重要，它不 仅直接来自物理学与工程学的需要，而且通过本征值或更般的谱的研究可以来 了解算子本身的结构，从而用以刻画相应方程的解的构造。 本文第一章简要介绍了古典的b 6 n a r d 系统、旋转的b 6 n a r d 系统以及稳定性和 谱的相关知识。第二章通过化简得到了旋转轴偏离重力方向的b 6 n a r d 系统的数学 模型。第三章讨论了当边界条件为双固壁时旋转轴偏离重力方向的b 6 n a r d 系统的 线性算子的谱。第四章讨论了当边界条件为双自由面时旋转轴偏离重力方向的 b o a a r d 系统的线性算子的谱。第五章将第三章和第四章得到的一些结论进行了总 结。 2 第一章概述 1 2 文献综述 1 2 1 流动的稳定性 所谓稳定性，是指一个系统在运动的过程中，或在干扰力的作用下，是否保 持原来的状态。稳定性的数学理论，为设计稳定的动力系统，避免不稳定的事故 发生提供了一整套的数学理论和方法，因而它在国民经济中发挥了巨大的作用， 其现实意义也是不言而喻的。 流动稳定性理论作为一个系统的理论，最初是为了解释流动从层流转捩为湍 流的机理而形成的。研究流动稳定性的传统出发点是本征值分析，它是基于研究 扰动方程线性化后线性算子的谱。这种分析方法主要分为两步：首先把层流的扰 动方程线性化，然后寻找线性化问题的不稳定本征值。所谓不稳定本征值，是指 将它们所对应的本征函数作为初始条件后，解将随时间的增长指数增长，此时自 然认为流动是不稳定的。 对于一些流动，如t a y l o r - c o u e t t e 流和b 6 n a r d 对流，本征值分析结果与实验结 果符合的很好【3 1 ，但对于一些由剪切引起的流动，本征值分析结果与实验结果差 异很大，平面平行剪切流就是这方面的一个例子2 1 。在双固壁边界条件下，线性 稳定性分析给出平面p o i s e u i l l e 流稳定的临界r e y n o l d s 数r e , = 5 7 7 2 ，但是当 r e 1 0 0 0 时，实验中就已经观察到湍流的存在。同样在双固壁边界条件下，线性 稳定性分析表明，平面c o u e a e 流对于任何r e y n o l d s 数都是稳定的，即此时平面 c o u e t t e 流线性稳定的临界r e y n o l d s 数为r e c = - i - o o ，但是当r e 3 6 0 时，在实验中 就已经观察到其不稳定性，多年前人们就已经注意到这种亚临界失稳现象。在双 自由面边界条件下，人们普遍认为这种情形比前者稳定。在该边界条件下，r i o n e r o 和m u l o n e l l 2 1 通过非线性方法证明得出了以下结论：对于在一定吸引域内的扰动， 平面平行剪切流稳定的临界r e y n o l d s 数均为r 巳= - t - o o 。x u t n l 也得到了相似的结 论：如果扰动是二维的，平面平行剪切流是无条件稳定的。虽然存在这样的本征 值分析结果与实验结果相差很大的例子，但是线性稳定性分析的重要性主要在于 它给出了不稳定的充分条件1 1 4 , 1 5 1 。 在b 6 n a r d 系统的线性化谱问题中，特征值盯形成了一个可数集，且盯的实部 r e c r 在这个集合内可取到最小值，记作彘。r e o 在物理上称为衰减率，则磊就称 北京化工大学硕：i ：学位论文 为衰减率的下确界，用来估计扰动衰减快慢。当彘 0 时 基态稳定。磊= 0 为临界情形，此时基态的稳定性不确定f i 6 1 。 由于线性稳定性分析只能给出稳定的必要条件，因此用线性稳定性理论分析 得到的稳定的系统实际上很可能是不稳定的，这是因为只有非线性稳定性分析才 能给出稳定的充分条件，而这两种分析的结果很可能不一致。因此，对方程的非 线性稳定性分析也具有非常重要的作用。非线性分析中主要的方法之一是通过构 造一个合适的能量泛函来给出非线性稳定的充分条件。但是由于线性稳定性分析 会比非线性稳定性分析更为简单，所以对于一个系统的稳定性分析通常是从线性 稳定性分析开始的。 1 2 2 古典的b 6 n a r d 系统及其稳定性分析 图1 1 考虑一个中间充满了流体的平行夹层( 如图1 - 1 ) ，两夹层间的距离是d ，从 底部对其加热，使得底部保持温度为瓦，顶部的温度为石( r o 互) 。这样靠近底 部的流体温度高，从而密度小于上面的流体，由于浮力( = a p g a t ，口是膨胀系 数，p 为平均密度，g 为重力加速度) 的作用，底部的流体有向上流动的趋势，但 是流体自身的黏性和热散发能力可以阻止这种上升的运动( 即s t a b i l i z i n g f o r e e 号笋，其中l ，为运动黏度；k 为热扩散系数) 。如果r ( = 矗一五) 较小，则黏 性力占主导，因而流体处于静止状态( 通常称为基态) ，这时流体内部只有热传 导。因此只有当丁增大到某个临界值时，浮力就会大于黏性力从而打破静止状态， 进而出现流体的热对流运动。 如果假设在外力项中密度是温度的线性函数，在其它项中为常数，同时其它 流体参数不随温度变化( b o u s s i n e s q 近似) ，且流体是不可压缩的，则可以得到 4 第一章概述 关于基态( 即无对流时的定常解“= o ，丁= 一z + 毛，= 墨手) 的无量纲化后的 扰动方程组1 1 6 ， o l u a u x - r o k + u v u + v p = o v u = 0 ( 1 1 ) p r o f 0 一a o 一瓶“k + p r u v o = o 其中，后：( o ，0 ，1 ) t ，r ( ：g a f fd 4 ) 为瑞利( r a y l e i 曲) 数，p r ( ：兰) 是普朗特( p r a n d t l ) 数。 = ( “，v ，w ) t 、0 和p 分别表示速度场、温度场和压力场对应的扰动，表示 三维的l a p l a c e 算子，t 表示转置。 边界条件：流体夹层点( o ，d ) 通过无量纲化后变为点( 一j 1 ，尹1 。通常的边界条件 有以下三种【1 7 1 ： ( 1 ) 双固壁，也称为无滑边界条件，此时两介质中有一个是固体，另一个是气 体或液体。由于固体壁面不可渗透，因此粘性流体的质点将粘附于固体壁 面上，这时在固体壁面处流体的运动速度与固体壁面的运动速度相等，即 粘性条件或无滑移条件： “i z ：生= v i z ：生= w l 弘止= 0 ( 2 ) 双自由面，此时剪应力为零，这是正常条件下气液界面处的边界条件。此 时的气相不一定处于静止状态，但由于气体的密度和粘性远远小于液体的 值，只要它的运动不强于液体的运动，其中由惯性力和粘性力引起的压力 和应力变化就可忽略不计。这种边界条件在实验中较难设计，但是由于在 此边界条件下方程的解析解相对来说比较容易计算，所以很多学者还是会 选择此种边界条件进行分析： ：连= o z v i ：连= w i ：呜= o ( 3 ) 对于上下边界：一个自由面；一个固壁。 对这三种边界条件口均满足：o 1 1 = 0 ，另外由连续方程v 埘= 0 易得对双固 一上乏 壁的情形还有a z w i z = 士 = o ：对双自由面的情形有a z w l ：圭2 o 。本文主要讨论前 两种边界条件。 北京化工大学顾二i ：学位论文 1 2 2 1 线性稳定性分析协】 线性稳定性分析首先要舍去扰动方程中的非线性项，为此略去方程( 1 - 1 ) 的 非线性项u v u 和u v o 。线性稳定性分析又称为微扰分析，因为这种线性近似只 有在扰动很小时才有意义，而系统的稳定性也是对所有可能的扰动而言的。首先 假定扰动玎，护和p 在x 方向和j ，方向以p ：( 一三，三) ( 一孕，孕) 为周期，其中口，b 口口d d 分别称为x ，y 方向的波数。由于1 杀e h 却似2 ，k = ( 墨，七2 ) t z 2 ( z 为整数集) ，在 l 尸l r ( 尸) 构成完备的标准正交系。因此“，1 ，w 和0 均可展成如下形式的f o u r i e r 级数： f ( x , y ，z ，f ) = l ( z ，t ) e 却+ ”。任何一个扰动都可表示为某些模态的叠加。这些 k e z o 模态都有形式：缈( z ，f ) e f f 明。+ 川。 由于系统的稳定性是对任何扰动，所以我们取a 和b 为任何实数。为了消去方 程( 1 1 ) 中的压力项跏，应用算子“c u r l ”作用方程组( 卜1 ) 中关于阳的方程， 若令缈= k c u r l u ，则在不考虑非线性项的情况下有 塑：a 国( 1 - 2 ) 2= 国( 俄 即表示涡度的第三个分量。 同理，再用算子“c u r lc u r l ”作用方程组( 1 - 1 ) 中关于的方程，则得第三个 分量应满足的方程为 昙w ：2 w + 尻：0 ( 1 - 3 ) 西 由前面的讨论，可假设功、w 和0 有下列形式 国= 历( z ) e x p i ( a k l x + b k 2 y ) 一a t w - - - g , ( z ) e x p i ( a k , x + 坎y ) 一a t 0 = o ( z ) e x p i ( a k , x + b k 2 y ) 一a t 其中盯为常数( 可以为复数) 。把这些表达式分别代入方程( 1 一1 ) ，( 舍去1 4 v 0 ) 、 ( 1 - 2 ) 和( i - 3 ) 后可得 6 第章概述 其中r 2 = a 2 k ? + 6 2 碍，谚= 参。 方程组( 卜4 ) 对应的边界条件为 ( 1 - 4 ) 历( z ) = 以z ) = 诃t ( z ) = 歹( z ) = 。，z = 圭 ( 边界为双固壁) ( 1 5 ) 历t ( z ) = 茹( z ) = 谤”( z ) = 万( z ) = o ，z = 圭 ( 边界为双自由面) 由于方程组( 卜4 ) 中的第二个方程独立于其它两个方程，所以第二个方程对 所讨论的问题没有任何影响，只需讨论由另外两个方程和边界条件( 1 - 5 ) 组成的 定解问题，即 ( 谚_ ，2 + n 盯) p ( z ) = _ r 以2 ( 1 6 ) 【( 谚一，2 ) ( 谚一，2 + 仃) 以z ) = r 厂2 歹( z ) 和边值条件( 卜5 ) 构成的本征值问题。 在本问题中，彘是控制参数r a y l e i g h 数r ，p r a n d t l 数p r 和波速r 构成的函数。 可能有许多r 的值对应于磊= 0 ，其中对应于彘= 0 的最小的r 的值就是线性稳定 的临界值咒。 实际上对于给定的p r ，彘= 0 确定了月关于，2 的函数关系，2 可取任何实数 ( 代表不同的模态) ，r 是尺的对于，2 的最小值。容易证明，仃没有纯虚根n 8 l ， 这表明当r 越过咫时，失稳后的对流运动是定常流。通过求解方程组( 1 - 6 ) 对应 与不同边值条件的定解问题得到：当边界条件为双自由面时，足= 6 5 7 5 ；当边界 条件为双固壁时，足= 1 7 0 7 7 6 ；当边界条件为一个自由面，一个固壁时， 也= 1 1 0 0 6 5 。1 3 1 s c h m i c h 和m i l v e r t o n l 4 1 最先以找出该系统线性稳定的临界r a y l e i g h 数为目的 对双固壁的情形作了实验并得出足= 1 7 7 0 + 1 4 0 ，显然这与理论结果基本相同。 1 2 2 2 非线性稳定性分析、能量方法【1 6 1 0 心 力 压 谢 撕 而 卜 0一归 弘历 口 归川蛳 p r 0 妒叶户 盯 ：一： 一 r )2： n p 谚 + = x 一一 一 双 一 班佩咖 ，k k 、 北京化t 人学硕：l ：学位论文 前面对基态的线性稳定性分析方法进行了介绍。然而线性稳定性分析只能给 出稳定的必要条件，因此用线性稳定性理论判别是稳定的系统很可能实际上是不 稳定的。为了给出稳定的充分条件，前人采用了能量方法，即l y a p u n o v 直接方法： 考虑动能： e ( f ) = i 1 ( 嵫伪+ p r 归l 巳( 仞) ， 其中q = p ( 一圭，争，p = ( 一詈，詈) ( 一詈，- 万g ) ，口，6 o f l9 2 0 2 1 1 ，对e ( r ) 求导，并结 合使用基态下加微扰的方程及边界条件。为使系统能稳定，要求e ( f ) 0 ，这样得 到的e ( f ) 要求当t 专佃时，e ( f ) 专0 ，由此得到系统控制参数r a y l e i g h 数应满足 的条件，实际上是得到并求解一个变分问题后，便可得到临界的r a y l e i g h 数r ， 称为非线性稳定的临界值，显然它与所考虑的能量泛函有关。r i o n e r o 2 2 1 和 l o m b a r d o t 2 习等人在推广了该方法后将其应用到了许多实际问题当中。 前人利用该方法对方程组( 1 - 1 ) 进行非线性分析的过程如下： 考虑动能： e ( f ) = ( 1 1 口嵫埘+ p r l l 0 1 1 埘) 其中，口呐( 一丢，争 对其求导并利用方程( 1 - 1 ) 和边界条件可得 圳妊，+ p r c o e ( t ) ，c o 为常数。从而若r ，则有 第一章概述 趴惦础一辱 即 即脚唧h ”国 于是当r 心，且t 增大时，e ( f ) 趋于0 。 这表明，当r p r 时，失稳后的对 流运动开始表现为定常流，但是对p r p r ，流动失稳后可能会出现振荡，此时是 9 北京化工大学硕j ：学位论文 否会出现振荡就完全依赖于理的大小。 n a k a g a w a 和f r e n z e n 等人针对汞( p r = 0 0 2 5 ) 和水( p r = 7 5 ) 两种液体分别对该 系统做了实验，得出的实验结果与线性分析的结果符合的较好【3 1 。 很多学者也对该问题进行了非线性分析，目的是寻找该系统稳定的充分条件。 g a l d i 等1 2 4 1 首先对该系统进行了非线性分析并给出了稳定的充分条件，随后， m u l o n eg 等1 2 5 1 在原来的基础上采用了l y a p u n o v 直接方法对该问题进行了进一步 的研究，得到了该系统稳定更好的充分条件。由于前两个充分条件都是建立在 p r l 的前提条件下的，所以k a i s e r 等 2 6 】针对该系统在特殊条件p r = 1 下进行了 非线性稳定性分析并得到了稳定的充分条件，且当，在一定范围时r = r ，。 杨姝娟等 2 7 , 2 8 1 通过数值方法针对此系统进行研究后也得到了相似的结论： ( 1 ) 当边界条件为双固壁时：当取定p r 后，不论月取何值，彘始终是q 的增函 数。但是当锭达到某个定值( 记作g ) 时，彘就几乎不变( 即微小的变化 可以忽略不计) 。取定p r 和q 后，当尺较小时，彘几乎不变( 记这个不变 的值为彘。) ，但是当r 继续增大时，彘开始递减，说明彘是尺的减函数。 ( 2 ) 当边界条件为双自由面时：当取定其它参数后，彘随着砬的增大而增大， 且当q 斗佃时，彘存在极限，且该极限依赖于普朗特( p r a n d t l ) 数p r 。同 样当取定其他参数后，彘随着r 的增大而减小，此外彘的变化还依赖于p r 。 1 2 3 2 旋转轴偏离重力方向的b 6 n a r d 系统3 l 在古典的b 6 n a r d 系统加入旋转妇= ( q ，0 ，钽) t 后，即假设旋转轴在工d z 平面 上与z 轴的夹角为p ，即旋转具有形式臼= ( 2 ( s i n ，0 ，c o s ) 7 ，就得到了旋转 轴偏离重力方向的b 6 n a r d 系统，如图( 1 - 3 ) ： l o 第一章概述 1 3 研究方法及结论 图l 一3 z 在旋转轴偏离重力方向的b 6 n a r d 系统中，对彘的研究至今还没有人涉足过， 因此本文采用了改进的c h e b y s h e v t a u 方法对加入旋转口= ( q ，0 ，皿) t 的 b 6 n a r d 系统进行了数值计算。与一般的t a u 方法相比，c h e b y s h e v t a u 方法具有更 快的收敛速度，并且它消去了伪特征值，因而显得更加优越。 将此方法运用到该问题，给定初始条件后，就可以从中解出特征值仃，从而 得到其实部的最小值彘。这样就可以得到该系统在边界条件分别为双自由面和双 固壁情形下，扰动衰减率的下确界彘与旋转偏向角之间的关系，以及该下确界 与旋转速率臼和r a y l e i g h 数之间的关系。另外还可以算出在本方法中被作为收敛 指数的t a u 系数，由于该问题中计算出来的t a u 系数很小，所以可以看出该算法的 收敛性和稳定性都非常良好。 为确保计算的精确性，将c h e b y s h e v 多项式展开至第1 5 项。应用m a t l a b 7 0 对计算结果不断的观察后选择厂的循环为0 到1 5 ，步长为0 0 5 ，由于 ，= a 2 砰+ 6 2 2 ，c = a k , ，所以c 的循环为0 到，步长亦为o 0 5 。此外，为了与 c h a n d r a s e k h a r 所得到的线性结果进行对照，本文在计算过程中采用t a y l o r 数丁 ( 弘4 q 2 ) 来描述旋转速率的大小。 在双固壁和双自由面条件下，彘都是的减函数，即随着旋转偏向角的逐渐 增大，流动越来越容易失稳，另外还可看出，当取定其他参数后，厅值越大，所求 得的磊越小，丁值越大，所求得的彘越大；当取定尸，和丁后，r c 是的减函数， 从中亦可以看出随着旋转偏向角的逐渐增大，流动越来越容易失稳。此外彘的变 化还依赖于尸，o 第二章旋转轴偏离重力方向的b o n a r d 系统的数学模型 第二章旋转轴偏离重力方向的b 6 n a r d 系统的数学模型 2 1 旋转的b 6 n a r d 系统的数学模型 在古典的b 6 n a r d 系统中引入旋转刃= ( q ，q ，蝗) t 后，该旋转必然对对流产生 一定的影响，以此出发，c h a n d r a s e k h a r 给出了对基态( 即无对流时的定常解 = 。，丁= 一肚+ t o ，= 墨产) 的扰动方程组。对其进行无量纲化：x = x * d ： y = y * d 一+ 扣u = u * d ；u = 詈：儿( 詈) ；u ；脚伊： p = 丁u p o v ：r = 百a p g d ：p r = 詈：f 牟= 爰后，就可得到直角坐标系下关于基态di c vkd 的无量纲的扰动方程组( 为表达方便统一去掉掌) 【1 6 ： o , u a u 4 r - r o k + 2 o x u + u v u + v p = ：0 v “= 0 p r o 【0 一a 0 一瓜泓k + p r u v o = o ( 2 一1 ) 其中z ( 一言，圭) ，= ，鸭w ) t ，露= ( o ，o ，1 ) t ，风是流体密度，p r 为p r a n d t l 数，r 为系统控制参数r a y l e i g h 数。 ，9 和p 分别代表速度场、温度场和压力场 所对应的扰动，g ，口，k 和y 分别为重力加速度，热膨胀系数热传导系数和黏性系 数。假定“，0 ，p 在工方向和y 方向以p ：( 一! ，墨) ( 一孚，孚) 为周期，其中口，6 分别 口nd 0 称为x ，y 方向的波数，可取任何正实数。 与其对应的边界条件为： 双固壁：h = 秒= o ，z = j 1 双自由面：a ：“：，= w = 口= 。，z = j 1 ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) 北京化工大学硕士学位论文 为消去方程( 2 - 1 ) 中的压力项跏，应用螺旋分解m 1 ： h = c u r l c u r l ( p k + c u r l 妙k + f = 却+ 占l f ，+ f 其中 万= c u r l c u r l k = ( a 犯，a y z , - , 5 2 ) t ，f ，= c u r l k = ( c 9 y , - 0 j ，o ) 1 ，= ( ：，正，六) t 。 将其代入到方程( 2 一i ) 中就得到： ( 2 - 4 ) f 色( 一) ( - 2 ) 伊= _ ) 2 ( 1 2 ) 缈+ , x ( - a 2 ) o + ( 2 q o x + 2 j 4 0 y i + 2 碹或) ( _ 2 ) 缈一西( 渺v u ) l b ( _ 2 渺= 弋叫顶呜) 沙十( 2 q 或+ 2 ( 4 a y l + 2 q 盈) ( 2 ) 妒+ 占( “v u ) ( 2 - 5 ) 1 p r a t e = - - ( - a ) o + q x ( - a 2 ) 矽一p r u v 秒 lm = 弋m + 2 以一高工历蛐 l口五= ) 五一2 鳓一高工函蚴 其中厅= 却+ 掣，面l ，1 1 2 分别表示西的第一和第二分量。如果要求驴，在x ，y 方 向以p 为周期，且在p 上的中值为0 ，则伊，y 可被唯一确定，s 只与z 有关，且 其第三个分量以是常数。如果h 还满足边界条件( 2 - 2 ) 或( 2 - 3 ) ，则有 w ( x , y ，去) = 0 ，即- a 2 妒+ 石= o ，又由于一：妒在p 上的中值为0 ，故可得到五誊0 。 与方程( 2 - 5 ) 对应的新的边界条件为： 双固壁： 缈= a ：妒= 沙= z = 厶= 秒= 0 ，z = 去 ( 2 6 ) 双自由面： e p = c 3 ：( p = c 3 ：缈= a ：z = a ： = t 9 = 0 ，z = 去 ( 2 7 ) 略去方程组( 2 5 ) 中的高阶项后，就可以得到它的线性化方程组： 1 4 第二章旋转轴偏离重力方向的b 4 n a r d 系统的数学模型 a ，( 一) ( 一：) 伊= - ( - a ) 2 ( - a 2 ) 缈+ 4 r ( = a 2 ) 秒 + ( 2 q a ，十2 q a j ，+ 2 乌a z ) ( 一2 ) ( 2 8 ) a ，( 一a 2 ) 少= 一( 一) ( 一a 2 ) y + ( 2 q a ，+ 2 q a ， + 2 q a ：) ( 一2 ) 缈 p r o ，0 = 一( 一) 秒+ d r ( 一a 2 ) 妒 a ，z = 一( 一a ：) 彳+ 2 q f a , l = ( - a 2 , ) l 2 k 2 ：f 其边界条件亦为( 2 - 6 ) 和( 2 7 ) 。 线性化问题中任何一个扰动均可以表示为某些模态的叠加，而这些模态都具 有9 ( z ，t ) e x p i ( a k 。x + b k ：y ) ) 的形式，其中仁l ，k 2 ) r z 2 。假设扰动p ，少，0 具有以下 形式： 缈= 万p ( z ) e x p i ( k i 驰+ k 2 b y ) 一仃f 】， y = 歹( z ) e x p i ( k , a x + k 2 b y ) 一a t ，( 2 9 ) 0 = o ( z ) e x p i ( k l a x + k 2 b y ) 一o - t 2 2 旋转轴偏离重力方向的b 6 n a r d 系统的数学模型 本文考虑q = ( q ，0 ，疆) t 的情形，即假设旋转轴在工d z 平面上与g 轴的夹角为 ，则旋转具有形式口= 力( s i n ，o ，c o s ) 丁( 如图卜1 ) ，将其与( 2 - 9 ) 一起 代入到( 2 - 8 ) 中后可得到： ( 一) ( 一一o - ) 哆。一厕一2 q ( s i n f l o ，+ c o s f l o ：) v = 0 ( 一a - a ) l i u 一2 s 2 ( s i n 矽工+ c o s 届a ：) 缈= 0 ( 一a a p r ) o 一瓶( 一a 2 ) 缈= 0 ( 2 1 0 ) 仃石= ( 一a ：) 石- 2 q c o s f l f 2 仃厶= ( 一a ：) 厶+ 2 9 2 c o s p f , 边界条件为( 2 6 ) 和( 2 - 7 ) 。 因为变量( 彳，五) 和变量( 伊，秒) 在方程( 2 1 0 ) 中相互独立，前三个方程没有 变量( 石，五) 出现，所以只考虑由其前三个方程组成的方程组： 北京化t 人学硕士学位论文 一) ( 一a 一仃) 缈一厕一2 0 ( s i n f l a j + c o s 仞：) 沙= 0 一a 一盯) 妙一2 q ( s i np a j + c o s 夕a ：) 缈= 0 一一c r p r ) 8 一瓶( 一a 2 ) 缈= o 边界条件变为： 双固壁： 妒= a ：妒= = p = o ，z = 三1 双自由面： 矽= a ；妒= a ：= p = o ， z = 三 1 6 ( 2 “) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 第三章双固壁边界条件下b 6 n a r d 系统中扰动衰减率的估计 第三章双固壁边界条件下b 6 n a r d 系统中 扰动衰减率的估计 3 1c h e b y s h e v t a u 方法 t