（理论物理专业论文）qgp热力学势的计算及直接反映集体效应的有效微扰论方法.pdf

摘要 夸克胶子等离子体系统的热力学势是讨论系统热力学性质的基础。本文在有限温度场 论和其有效微扰方法的基础上，研究了夸克腔子等离子体的集体效应对系统热力学势的影 响及其相关的若干重要问题。 首先，研究了作为工作基础的有限温度场论中高圈图的重整化问题。在虚时温度场论 单圈水平这一级，不存在新的正规化与重整化问题。但在高圈计算中会出现对频率多次作 和而带来的交叉发散以及玻色统计因子引入的新的红外发散。通过计算虚时两圈q e d 热 力学势及其重整化，给出了普适的虚时高圈维数正规化计算的方法和步骤。在使用有效微 扰方法计算集体效应对物理量及物理过程的影响时，会出现朴素微扰论不曾有的包含集体 效应的新的发散。在采用实时温度场论计算热o c d 有效理论中含三胶子顶点的两圈真空 图时发展出一种使用热抵消项子图的重整化方法，有效地减除了与集体效应相关的紫外交 叉发散，从而懈决了有效微扰论的重整化问题。 其次，采用基于硬热圈重求和的有效微扰方法计算了纯规范场系统的两圈热力学势直 到9 3 阶。在计算了包含夸克质量参数的胶子的硬热圈自能后，将前述纯规范场系统的有效 微扰计算推广到j 】、0 味带质量夸克的q c p 系统，得到了包含集体效应和夸克质量的两圈热 力学势直到9 3 阶。经过仔细分析发现：q g p 的有效热力学势可以写作两部分之和。一部分 是9 2 项，正好就是朴素微扰论的结果；另一部分则是p 3 及9 3 以上阶的项，它是集体效应对 裸粒子热力学势的修正。 接着，从准粒子的谱表示出发，自洽地将d e b y e 屏蔽质量和粒子的有限宽度作为参量纳 入q g p 中玻色型和费米型准粒子的谱函数，得到夸克胶子等离子体中胶子和夸克的有效传 播予，进而建立了直接反映q c p 集体效应的有效微扰论，藉此一般性地分析了夸克胶子等 离子体中软粒子的有关热力学问题。这个有效理论的新意在于利用谱表示方法把反映集体 效应的屏蔽质量和粒子的有限宽度作为物理参量引入到q g p 中成分粒子的传播子中，较好 解决了原有理论的红外奇异性问题，使所得结果具有明确的物理意义。 最后，作为我们所建立的q g p 有效微扰论的具体应用，首次得到了在较简单情况下的 q g p 热力学与d e b y e 质量和粒子宽度的关系。我们先采用静极限下有效胶子的谱函数通 过计算含单个软交换胶子的q g p 系统的热力学势直到两圈，研究了横胶子的有限宽度对系 统热力学势的影响。然后，从有效胶子的一般谱函数出发，计算了同一系统的两圈热力学 势，研究了d e b y e 质量和胶子宽度对热力学势的影响，与朴素微扰论的相应结果对比，发现 q g p 热力学势在考虑集体效应影响后有大的下降。彳 关键词： 夸克子等离子体( q c p ) 热力学势集体效应有限温度场论 虚时形式实耐形式有限温度q 嘧硬热图重求和 有效微扰论维数正规化交叉发散d e b y e 屏蔽质量 衰减率有限宽度准粒子谱表示 c a l c u l a t i o no ft h e r m o d y n a m i cp o t e n t i a la n d a ne f f e c t i v ep e r t u r b a t i o nt h e o r y r e f l e c t i n gd i r e c t l yc o l l e c t i v ee f f e c t si nq g p a b s t r a c t 仉口0 d y m i i 】i cp o t e n t i a lo fq u a r k g l u o np l a s m ai st h eb a s eo nw h i c ht h e m d y n a m i cc h a r a c t e r i s f f c0 fq g ps y s t e mi sd t s e u s s e d m st h e s i s ，b a s i i 】go nt h ef i n i t et o m p e m t u r ef i e l dt h e o r ya n di t se f f e c t i v ep e m u b a t i v em e t h o d ，h a sd o n e r e s e a r c hi nt h ei n f l u e n c e sh o r nc o l l e c t i v ee f f e c to fq g p t oi t s t h e m 】0 d y n a m i cp o t e n t i a la n d c e t a i l li m p o r t a n tr e l a t e dp r o b l e m s ( 1 ) i th a sd e a l tw i t hr o n o m m l i z a t i o no f m u l t i l o o p si nf i n i t et e m p e m m r | ef i e l dt h e o r y t h et e n o r r e a l i z a t i o n i s l o o k e d t h eb a s e f o ro u r w o r k a to n e l o o p l e v e l ，n on e wp r o b l e mo fr e 弭d a i i z a h a n d r e n o r m a l i z a t i o ne x i s t h o w e v e r ，w h e nc a l c u l a t i n gt h ec o n t r i b u t i o n sf r o mh i 曲e r l o o p s ，o v e r l a p p i n gd i - v e r g e n c e sc a u s e db yn m l f i p l es u m m a t i o no ff r e q u e n c i e sa n dn e wi n f m r e dd i v e r g e n c e sr e c o m m e n d e db y q s ef a c t o r sw i l lo c c u r w ec a l lg e tt h eu n i v e r s a lm e t h o d sa n ds t e p so fr e g n l a r i z a t i o no fm u l t i l o o p si n i m 西佃叮t i m ef o r m a l i s m 5 m e v 时，它会过渡到稀薄的气相，最近在中能区的核碰撞实验中已经 发现了这种相变的证据随 。随着温度的进一步升高，我们也可以期望强子物质 或核物质体系在某个临界温度发生退禁闭相变和手征对称性恢复相变，生成 o c d 的新相一夸克胶子等离子体( q g p ) 。 q c d 的拉格朗日量是 1 一一 舅= 言墨墨一酊( i 矿啡哆) q j ( 1 4 ) 式中墨= o v a ；一a 4 ：十溏“a 。b 山c 是自旋为1 的规范场a ：的场强张量，钉表示 1t 自旋为寺具有左、右手征性分量的夸克场( q 叫= 寺( 1 - t - y ，) q ) ，a 和r 分别代 山 表色指标和味指标。这个拉氏量在夸克质量m 无穷大或是为零时具有准确的 对称性。前者给出纯规范理论具有z ( ) 对称性，后者则给出手征对称性。 当夸克质量趋于无穷，我们可以从纯规范场的整体z ( ) 对称性破缺出发 来研究退禁闭相变一1 。为了找到相变的序参量，定义p o l y a k o v 圈算符： m ) = r r r 尸唧( i 小洲训) ) ， ( 1 5 ) 求迹运算对时序指数函数进行。p o l y a k o v 圈算符的热力学平均值与在真空中放 人一个静态夸克q 的自由能相关： ( m ) ) 唧( - 与当) ， ( 1 6 ) 此处羁是真空的自由能。对于纯规范场理论，场在禁闭相没有被屏蔽，位势将 随静态夸克间距离的增加而线性增大，所以插入一个夸克会带来无穷大的自由 能，因而( l ( j ) ) = 0 。但是对于退禁闭相，场将受到d e b y e 屏蔽，这直接导致 ( l ( 上) ) 0 。可见( l ( 工) ) 是退禁闭相变的序参量。s v e t i t s k y 和y a f f e 指出，有 限温度下的四维s u ( n ) 纯规范系统和三维z ( n ) 自旋系统是同一个普适类，它 们的临界行为是对应的“。有效模型的数值研究有力地显示出s v ( 3 ) 纯规范 系统会经历一级退禁闭相变m 。“。加入动力学夸克后的情形则大有不同，此时 体系不再具有整体z ( n ) 对称性，色场能为面对产生所屏蔽，即使是在禁闭相， 色弦也能被打破。因此，一般来说动力学夸克的加入会使碍退禁闭相变减 弱。 另一方面，在夸克质量为零的手征极限情况下，q c d 的拉氏量在下列变换 之下保持不变： g ，一e ”盯，口，一e 吐叮， ( 1 7 ) 孝一酽谚，菇一扩古，扩。s v ( 肌) ， 它具有手征对称性巩( 1 ) 以( 1 ) s ( ，) xs 巩( ，) 。由于砜( 1 ) 对称性 在量子水平为轴矢流反常破坏，因此手征对称性表示为“： 易( 坼) s “( 肌) s 仉( 坼) ( 1 8 ) p i r , a m k y 和w i l c z “”1 研究了具有以上手征对称性的拉格朗日量： g 二= ；- t r ( 8 。西+ 扩西) 一百1 m 2 。n ( 垂+ 垂) + c ( d e t 西+ d e t d 5 + ) “2 2 ( 19 、 ， 一专g ，【t “垂+ 垂) 】2 一! g ：t r ( 币+ 垂： 】 式中场 。，* ( g 。( 1 + 7 5 ) 嘶) ， ( 1 1 0 ) u g e 图1 1 从有限温度格点q c d 得到的相图。 g 。，g z 与重整化群中的卢函数相关。结果发现，从以上一一般拉氏量得到的 手征相变的级次强烈地依赖于夸克的味数，。当n r 3 ，相变是一级的；当 肌= i ，相变不存在；当肌= 2 ，相变对参数c 的依赖很敏感，若c ：0 ，是一级 相变，并随着参数c 不断变大，相变逐渐减弱直至消失。这个相变准确的特征已 由平均场分析和格点蒙特卡罗摸拟方法研究得到，如图1 1 所示。 t e m p e r a t u r e t m e v 】 2 0 0 媳。： 1 0 0 a n t i o r l d i f ，五 图1 2 q c d 退禁闭相圈 理论分析表明：我们能利用相变( 临界温度估计为1 5 0 2 0 0 m e v ) 这个有效 途径使得夸克和胶子退禁闭。并使在物理真空中“逸失”了的手征埘称性得到 恢复，从而生成夸克物质，即夸克胶子等离子体，相图如图1 2 所示。由夸克物 质的生成条件，根据标准的宇宙模型“，在大爆炸后的l o v s 以内，宇宙背景辐射 的温度超过2 0 0 m e v 。人们认为在早期宇宙曾有过q c p 这种物质形态，然后经 字宙膨胀才降到今天普通核物质的能量密度。在密度极高的中子星内部也有 可能存在着冷的q g p 态u 8 ”1 。在我们居住的地球则没有以自然状态存在的夸 克物质。为了达到相变的条件，从原则上说只要物质的能量密度超过强子内部 的能量密度( 典型值e 一0 5 g e v f r f ) 即可。强相互作用物质体系要获得大的 能量密度可以采取二种方式：一是增加重子的化学势，把越来越多的粒子压缩 到同一空间体积内；二是增加粒子的动能，激发粒子到较高的内部能态或产生 越来越多的粒子，使得系统加热升温。这些都可以通过高能重离子碰撞来实 现。因此，人们希望在这种碰撞中的某个时空尺度内的能量密度超过生成夸克 胶子等离子体的临界值，创造出使强子物质退禁闭和真空性质发生改变的条 件，从而在实验室中产生并观察到夸克物质这种新的物质形态。 八十年代中期以来，在美国布鲁克海汶国家实验室( b n l ) 的a g s 和欧洲核 子中，d , ( c e r n ) 的s p s 上分别获得了每核子1 4 g e v 和2 0 0 g e v 的离子柬流，并进 行了一系列重离子碰撞实验，取得了丰富的结果，虽然已有实验证据表明在核 确l 撞中产生了高能和高重子数密度的物质，但是迄今为止人们还不能断言在这 些实验中找到了夸克物质2 懈1 。究其原因，主要是对q g p 的理论描述仍是非 常不完全的，且对已获实验数据尚需进一步的系统分析；根据大多数实验的分 析，需要超出自由气体近似来计算q g p 的特性，然而，即使是在平衡态，这也是 很困难的；再者，对q g p 的非平衡性质也知之甚少。所以提高实验的能量标度 和发展理论计算方法是当前q g p 物理面临的紧迫任务。随着b n l 的相对论性 重离子对撞机( r h i c ) 在今年投入运行，可在质心系实现每核子( 1 0 0 + 1 0 0 ) g e v 的重离子对撞，而在c e r n 筹建的将在下世纪初运行的大型强子对撞机( l h c ) ， 能标更是高达每核子5 t e v 。从目前的实验结果外推，与生成夸克物质相关的几 个主要参量，能量密度e ，系统的尺度和寿命都将得到足够的保证。现在，新的 能标下的q g p 物理正在兴起。 研究夸克胶子等离子体物理的理论工具是有限温度q c d ，它大致包括格点 o c d 和微扰q c d 两个方面。格点q c d 理论的基本思想是】：用离散的点阵代 替连续的时空，将规范场和费米场分别定义在点阵和连接相邻点的键上。在适 当的极限条件下，格点规范理论趋于连续时空的q c d 。格点q c d 的优点在于其 具有的非微扰特性，适用于全耦合，全温度区，它使得我们能从“第一原理”出发 分析退禁闭相变和手征对称性恢复相变m 出】，它是计算强相互作用物质体系状 态方程仅有的严格方法1 。近年来它在算法和计算能力方面取得了相当大的 进展“，人们已经可以在2 4 3x4 8 的点阵上实现有限温度下包括费米子的完整 q c d 的摸拟计算m 驯。但是，格点理论也存在着诸如不能描述与粒子产生相关 的q g p 信号等动力学过程，不能描述夸克的化学势以及q g p 的预平衡效应，而 且所得结果对点阵的太小、键长有很大依赖性等缺点。q c d 的微扰展开需要耦 合常数足够小，并且只能在临界点以上的区域里应用。当温度在2 。内变 化时，相应耦合常数口j ( r ) 在0 2 0 5 范围内取值汹】。随着温度升高，耦合常 数呈对数下降，微扰q c d 能够推广到有限温度和化学势情形，用来研究热化 q g p ，例如动力学信号等性质b “。对热平衡态小的偏离，象热化时间和输运系数 问题，也能在线性响应m 1 或k u b o 公式1 的理论框架下进行讨论。有限温度下 的微扰q c d 是对q g p 体系动力学性质进行解析，微扰计算的工具，也能用来研 究q g p 作为热力学平衡体系的静态性质，某种程度上它弥补了格点计算的不 足，但它得到的结果只适用于高温、弱耦合情形，而且作为理论本身还需解决计 算结果的规范相关性和高阶微扰中出现的红外发散等难题以及发展成熟的计 算技术。进入九十年代以来，由b m a t e n 和p i s a r s k i 提出并发展的基于硬热圈 5 - ( 腿) 重求和方法的有效微扰论使得热q c d 的微扰计算取得巨大的进展“1 。 利用这个方法他们首先得到了正定的、规范无关的胶子阻尼率脚】。随后，人们 利用这个理论对q i 四中许多感兴趣的物理问题进行了自洽的改进计算，例如快 速部分子的能量损失，硬光子的产生率和粘滞系数等惜1 。这个方法还被推广到 有限化学势情形。总之，h t l 重求和方法为讨论处于热密环境中的q g p 体系 的各种物理性质，特别是集体效应提供了一个自治的、有效的微扰计算框架。 本文主要研究了基于硬热匿重求和方法计算夸克胶子等离子体的热力学 势及相关的若干重要问题。大致涉及以下几个方面： 一、虚时和实时形式的有限温度场论的重整化。有限温度场论作为场论形 式的热力学理论是分析强予物质和夸克物质物理的有力工具，它有虚时和实时 的两种形式b 1 “孵。在利用温度场论的微扰方法计算系统的热力学势时，会 遇到由于对内线动量积分引起的发散。从理论结构上看，有限温度场论的微扰 展开中出现的发散比零温场论的要复杂得多，除了要遇到通常的零温场论中出 现的发散外，还要处理高圈图计算中由于零温部分与温度部分相乘带来的“交 叉”发散，以及由玻色统计因子带来的新的红外发散。如何正规化这些发散并 完成理论的重整化，一直是人们关心的重要问题。在k 印u s t a 的早期工作中虽已 给出了温度场论可重整性的证明，但却未具体把发散孤立出来d ”。对虚时温度 场论而言，由于存在对离散频率无穷作和带来的复杂性，如何对其进行维数正 规化计算，也需深入研究。我们一般性地讨论了在虚时温度场论的框架下进行 维数芷规化的步骤和方法，作为应用的例子，计算了q e d 的两圈热力学势及其 重整化。为了自洽地讨论在热密介质中粒子的集体运动所引起的物理效应，例 如q g p 体系的热力学势，应该采用硬热圈重求和方法。由于有关计算是按有效 传播子、有效顶点作微扰展开来实现，在考虑正规化和重整化问题的时候，较之 朴素微扰论将出现新的特点。我们应用实时形式的有限温度场论对比分析了 朴翥微扰论和有效微扰论中胶子传播子的一般形式，发现使用重求和有效传播 子的直接后果之一就是在所得的发散项中，较之朴素微扰论增加了与硬热圈和 磁质量的相关项。为了减除这些新的发散，必须考虑来自依赖于温度的抵消项 的贡献。作为例子我们具体计算了热q c d 理论中包含三胶子顶点的两圈真空 图，细致地分析了发散的来源并证明了所有发散在重整化后彼此相消。 二、基于硬热圈重求和方法的q g p 系统热力学势的理论计算。八十年代以 来，对夸克胶子等离子体的探索已逐渐成为粒子物理研究领域所关注的热点。 现已知道，经退禁闭相变形成的q g p 系统具有集体激发引起的薪物理现象，而 系统的热力学性质可以由它的热力学势来得到。因此，q g r 系统热力学势的理 论计算成为一个重要问题。迄今为止，已有人陆续发表了一系列研究工作成 6 果，其中具有代表性的是 4 1 ，4 2 。仔细考究一下发现他们所用的那些方法都难 以自洽地处理o g p 这个热密环境中的集体激发带来的物理效应。另一方面，有 限温度场论在近期最重要的发展是b r a a t e n 和p i s a r s k i 等人建立了在硬热圈重求 和基础上的有效微扰论。这个理论自然地将动量标度按软( g t ) 、硬( 一t ) 分开并指出：当内线动量是软的时候，高阶图的温度相关部分与低阶图有相同 量级的贡献，因而需要对所有这类高阶图求和；求和的方式可以归结为一种有 效微扰论，相应要用有效传播子和顶角。由于硬热圈从本质上较全面地反映了 热涨落。在其有效微扰的框架内能够自洽地研究q g p 体系的介质效应对热力学 势的影响。基于这个想法，我们计算了包含软交换胶子的纯规范场系统的有效 两圈热力学势直到矿阶，然后对含有坼味带质量夸克的q g p 系统作了进一步 推广，得到了包含集体效应和夸克质量的结果。 三、建立直接反映q c p 集体效应的有效微扰论。近年来，有限温度场论在 计算高温条件下体系的自由能方面取得了很大的进展，尤其是对热规范理论已 被计算到9 5 阶 圯川。但是已有的这些按弱耦合展开的结果呈现出很差的收敛 性。尽管有人用鞍点近似方法作了改进处理，但结果仍不尽如人意。这提示 我们需要建立一种自洽的改进方案来解决上述问题。在有关标量场理论的计 算中，如果引入d e b y e 质量作为参量，则结果的收敛性将有所改善 i “1 。另一 方面，在夸克胶子等离子体中屏蔽和阻尼作为鼹种重要的集体效应会削弱粒子 问的长程相互作用，并使粒子的传播特性发生改变。对于处在q g p 热密环境中 的夸克和胶子，由于介质效应它们显示出其准粒子的特征，例如具有屏蔽质量 和有限的寿命等。我们从准粒子的谱表示方法出发，岛洽地将d 出y e 屏蔽质引 和粒子的有限宽度引入到胶子和夸克的有效传播子内，建立了直接反映q g p 妻 体效应的有效微扰论，并藉此分析了夸克胶子等离子体中软粒子的有关热力学 问题。在这个有效理论中，不需要人为地加入磁质量作为红外截断，因而较吵j 自然。同时，d e b y e 质量和粒子的宽度作为参量被写入物理结果，有利于分析结 果对其的依赖性以及改进结果的收敛性。 四、反映集体效应的q g p 有效热力学势的理论计算。作为我们所建立孵 q g p 有效微扰论的具体应用，对q g p 中含有单个软交换胶子的系统，我们先采 用静极限下胶子的谱函数，通过计算直到两圈的有效热力学势研究了横胶子“j 内线宽度对系统热力学势的影响，然后从q g p 有效微扰论的一般谱函数出发。 研究t q g p 热力学势对d e b y e 质量和粒子宽度的依赖关系，并与朴素微扰论的 相应结果进行了对比，发现q g p 热力学势在考虑集体效应影响后有大的下降 本文以后各章的安排如下： 第二章回顾了有限温度场论的基础和方法，综述了该领域在近年来的重芟 进展以及计算q g p 热力学性质的若干方法及存在的问题。从第三章开始主要 阐明我们的工作。第三章对在虚时温度场论高圈计算中如何应用维数正规化 方法处理紫外发散的问题作了一般性地研究，并由此计算了两圈q e d 热力学势 交叉发散的正规化和重整化。研究了b r a a t e n 和p i s a r s k i 有效微扰论在实时形式 f 的重整化，对在朴素微扰论不曾出现的与硬热圈相关的紫外发散作了合理的 减除，并发展出一种行之有效的重整化程式。第四章基于硬热圈重求和理论， 详细计算了q g p 中纯规范场的两圈热力学势直至9 3 阶。还计算了在硬热圈近 似下带质量夸克的单圈自能，由此得到加入带质量夸克后规范场的唧。自能和 有效传播子，进一步计算了含有非零质量夸克场的q g p 两圈热力学势至9 3 阶。 第五章从准粒子的谱表示出发建立了直接反映q g p 集体效应的有效微扰论。 据此分析了q g p 中软粒子系统热力学势的结构，研究了粒子的有限宽度和d e b y e 质量对于热力学势的影响。最后给出总结和展望。 第二章有限温度场论基础 量子场论是关于粒子及其相互作用的物理理论，它的基本出发点在于假定 各种粒子是相应量子场的真空激发，其物理观察量用相应算符的真空期待值表 示。当我们把一个由全同粒子构成的多粒子系统看成一个相应的量子场，来讨 论它的热力学问题时就归结为讨论相应的量子场的热力学问题，此时的物理观 察量都是热力学平均值。有限温度场论就是关于场的统计热力学理论。非相 对论性的有限温度多体理论创始于五十年代中、后期mj 。当时主要用于研究在 凝聚态物质和核物质中出现的多体问题，经f m d l d n “ 首先推广到相对论量子场 情形后，在七十年代中期被广泛应用于量子场论中的相变问题m 船瑚】。进入八 十年代以来，由于格点规范理论预言存在q c d 相变，相继有a g s 、s p s 和r h i c 等重离子碰撞实验投入运行。人们热切希望在这类实验中产生并观察到夸克 物质。作为研究夸克胶子等离子体的理论工具，有限温度场论特别是有限温度 规范场论的微扰方法在近年来取得重大突破，这就是b r a a t e n 和p i s a r s k i 等人提 出的硬热圈重求和理论( b p r ) m 铘l 。 在这一章将综述有限温度场论的基本方法和近期重要进展以及在q g p 物 理中的若干应用。 2 1 热平衡态下的量子场论的一般描述 统计力学的根本任务在于从物质的微观结构出发，应用统计的方法推求体 系的宏观物理性质。平衡态系综理论指出，只要根据体系的哈密顿，即可给出 体系的配分函数，利用配分函数可以得到体系在平衡态下的各种热力学量。在 巨正则系综对一个哈密顿量为日，守恒荷为q 的物理系统，其热力学平衡态由 密度算符 1 0 = 壶e x p 一p ( n 户q ) ) = i 以) 既( 以i ( 2 1 ) 描述，这里 i 以) 是日和q 的本征态，卢和卢分别是化学势和温度的倒数。配 分函数z 定义为： z = t r e x p 一p ( h 2 q ) = e x p 一卢( 最一产q 。) ) ( 2 2 ) 所有热力学函数都可以从配分函数z 导出。例如系统的特性函数一热力学势： n = 一k t l n z = e t s 一产，( 2 3 ) 0 式中系统的爝s ，内髂e 和粒于致是 s = 一k t r p l n p = 一 几l n p 。， e ：m = 印。= 一筹， = 喇= 酾0 1 r i g 2 1 1 配分函数的微扰计算 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 直接利用( 2 2 ) 式计算配分函数需要知道系统哈密顿完整的谱，这在一般情 形几乎是不可能实现的，因而发展出了一些近似计算方法。这里给出其中的一 种，即微扰展开法。 假定系统的哈密顿日可按下式分解为 h = 0 + 日i ( 2 7 ) 且风的谱已经求出。为方便起见，进一步假定风的本征态 i 艘) 也是荷q 的本征态，这样在后面的计算中就可以将一户q 项纳人风来考虑。定义演化算 符 u ( r ) = e x p ( 一r h ) = e x p ( 一r 凰) e x p ( r 凰) e x p ( 一r h ) = u o ( r ) 奶( r ) ( 2 8 ) 式中u o ( r ) ：e x p ( 一n o r ) 。注意到这个演化算符可以通过熟知的量子力学中 的时间演化算符e x p ( 一i h t ) 经代换t 一一抒来得到，实变量r 也被称为“虚时 闯”。但这并不意味r 具有直接的物理解释。它的作用只是标记微扰展开中算 符的排序情况。珥( r ) 是相互作用绘景中的演化算符。利用相互作用绘景中的 微扰啥密顿 l ( r ) = e h le 一吼，( 2 9 ) 可以得到砺( r ) 满足的微分方程 兰珥( r ) + h t ( r ) 珥( r ) = 0 ， 以( o ) = 1 ( 2 1 0 ) 求解方程( 2 1 0 ) 得到 e - j = e - 4 j o 于e x p 一j ：d r t l - ( r ) j ， ( 2 1 1 ) 于是时序算符。对上式求迹得封体系的配分函数： z = 磊付e x p 一i 。d r h l ( r ) ， ( 2 1 2 ) - 0t 此处已使用定义 ( d ) 。；t r ( 字o l ， ( 2 1 3 ) 、刖o 0 为任意算符。 由于m 通常可以用产生算符。+ 和湮灭算符。来表示，配分函数z 的计算 就归结为这些算符时序乘积的期待值。又因为风总是这些算符的二次函数， 应用w i c k 定理后，所有这些期待值都能按单粒子格林函数 ( t a ( r 。) a + ( r 2 ) ) ，( t a ( r 。) a ( r 2 ) ，( t a + ( r ，) a + ( r ：) ) ，( 2 1 4 ) 来表示。按照标准的方法b “圳可以得到配分函数z 的图形展开，而且 z = z o e x p ( c ) ， ( 2 1 5 ) 这里r 代表所有连通图的和。 2 1 2 温度格林函数和生成泛函 从上一节可以看到在有限温度场论的微扰方法中起基本作用的是场的温 度格林函数。为了简明起见，下面以实标量场( 肛= 0 ) 为例建立温度格林函数。 在海森伯绘景，场算符 ( z ) = e ”( o ，工) e 一”，( 21 6 ) 这里时间z 。= t 已被解析延拓到复平面上。n 点温度格林函数定义为，z 个场算 符时序乘积的巨正则系综平均值： g 。( * ，* 。) a ( 咒( x ，) ( 。) )( 2 1 7 ) 时序算符瓦的作用是把场算符沿复t 平面上的路径c 排序。例如，两个场的乘 积定义为 r ( z ) ( y ) = 0 c ( x o y o ) ( z ) ( y ) + 日。( y o z o ) ( y ) ( z ) ，( 2 。1 8 ) 如果将c 用t = z ( r ) 来参数化，其中r 为实参数，则r 就是标准的r 时序算符， 所以e a t ) = 日( r ) ，( ) = ( 筹 8 ( r ) 。 若定义温度格林函数的生成泛函 矽 力= 者l ，d 4 ”d 4 z ( x ) 小。) c 。( 扎 ) = 州o ( r e x p i f d 4 巧( * ) ( z ) ) ( 21 9 ) 则温度格林函数可由矽 ， 的变分导数给出。与此类似，还可以定义连通格林 函数和单粒子不可约( 1 p d 格林函数的生成泛函酽 和， 扩 j = e x p i 酽 j ) ，( 2 2 0 ) 1 1 p ：酽 j 一1 矿弗( x ) ，( x ) ( 2 2 1 ) 其中( 。) ：( ( 。) ) 是场( x ) 的统计平均值。矛 j ，酽 j 和r 构成了 有限温度场论的基础。 为了使温度格林函数对z 解析，积分路径c 必须满足一些条件。考虑两点 格林函数 g ( c ( x y ) ；( ( ) ( y ) ) = 口c ( x o y o ) g ( x y ) + 0 c ( ，一x o ) g ( x y ) ， ( 2 2 2 ) 式中 g ，( x y ) = ( ( ) ( y ) ) ，g ( * 一y ) = g ( y z ) ( 2 2 3 ) 在工= y = 0 的点，有 g ，( 。一广) ：与l ( ml ( o ) ln ) l 2 e 一峨( oy o ) e - q l ，。+ 叫，( 2 2 4 ) 要保证和式收敛则要求一j 1 9 i m ( x o y o ) 0 ，与此相应需要当i m ( x o y o ) 0 ，口。( z o y o ) = 0 。类似地c ( * o 一广) 的收敛条件是0 i m ( z o y o ) p ，这需要当i m ( z o y o ) 0 ( 2 2 6 ) 这意味着积分路径c 只能是具有单调下降或是常数虚部的参数曲线。 利用( 2 2 3 ) 式和算符求迹的循环特性，容易推得 g ( t 一啦，工) = g ( 1 ，) ，( 2 2 ) 这就是著名的k m _ s 条件。 对于自由标量场，其两点格林函数满足 ( a a 。+ m 2 ) g 。( # 一y ) = 一蛾( * 一y ) s 一沾c ( * o y o ) 8 。 j y 位2 8 ) 考虑到系统的哈密顿算符和场的对易关系，可以求出 g ( “一y ) = 器i d ( p ) e - 9 ( x - r ) 吼( x 0 。y o ) + 五( 一 ，( 2 2 9 ) 式中 p ( p ) ：2 ，r 口( p o ) 一一( 一p o ) 艿( p 2 一m 2 ) ， ( 2 3 0 ) 厶( ，) 是玻色分布函数。 费米场的两点格林函数定义为： ( g y ) s ( 死虹( ，) 珏( ) ，) ) - 2 ：目。( * o y o ) s ；( * 一，) 一0 c ( y o 一0 ) s ；( z 一，t ) ， ( 2 3 1 ) 式中。，口是旋量指标， s 二( z y ) ：( 儿( z ) 瓦( y ) ) ，s ；( z y ) = 一( 讳( y ) 以( * ) ) ( 2 3 7 ) 与标量场类似可以得到它的k m s 条件 s ；( 一驴，善) = 一s ；( ，算) ( 2 3 3 ) 对自由费米场而言，格林函数满足方程 ( i 7 a 一，n ) 。s 箸( 一y ) = 3 c ( x y ) 6 知 ( 2 3 4 ) 若定义格林函数 s 誊( x y ) ；( i 7 a + m ) ( z y ) ( 2 3 5 ) 则s ( 。( x y ) 满足方程( 2 2 8 ) ，并且能够表示为 5 ( z y ) = j 啬| 0 ( p ) e - p ( x - y ) 口c ( z 。一) ，。) 一f p 。) ，( 2 - 3 6 ) 式中厅( p o ) 是费米分布函数。 从( 2 2 9 ) 式和( 2 3 6 ) 式可以明显看出温度格林函数的形式依赖于路径c 的 选择，这将导致有限温度场论的不同表述形式。 2 1 3 虚时形式的有限温度场论 上一节指出两点温度格林函数( 即传播子) 的计算取决于复t 平面上从任意 起始时间t 一时间t 一调的路径c 。一种简明的选择是取t = 一i r ，这称为松原 路径或虚时路径 ，此时& ( t ) = 访( r ) 。 标量场和费米场的传播子( 2 2 9 ) 和( 2 3 6 ) 式可以统一写作 g ( r , x ) = f 高p ( p ) 扩矿r ) + 彬p o ) ， ( 2 3 7 ) 其中“p o ) = i l ，且7 = 1 对应玻色场， = 一1 对应费米场。应用k m s 一 一叩 条件后，得到 浆艇裂：苫芝芦 。3 s ) 0 g ( f p ) = 棒( r ) ，r 卢 ” 这说明传播子g ( r ) 可展开为付里叶级数，其变换为 o ( 。，) = id r 一黜叶r - 。，c ( r ，j ) ，0 口卢 ( 2 3 9 ) 它不依赖于a 且分立的频率满足警：1 ，即对玻色场m 。= 2 硼p ，对费 米场c a r l 。：( 2 n + 1 ) 雄。由此得副动量空问中的传播子 否( p ) 2 万丢i j 幢。柏) 如果定义欧氏空间的传播子( 一i r ，工) 为 g ( r ，z ) = 越( 一i v ，工) ， ( 2 4 1 ) 则有 比) = 击量f 岛e 一一呻一万丽- i ( 2 4 2 ) 从上式出发可以导出虚时温度场论中不同场的费曼规则，现总结归纳如下： 玻色场传播子面! 1p = ( i ，p ) = ( 2 ，哪，p ) 费米场传播子 内线动量积分 7 p m 上f 卫 卢幺j ( 2 ，r ) 3 p = ( k ，p ) = ( ( 2 n + 1 ) 邵，p ) ( 2 4 3 ) 顶点函数 一班( 2 ”) 3 8 h 8 。( 巩) 若要考虑费米场的化学势效应，只需作代换洒。一曲。+ 卢即可。 为了计算( 2 ，4 2 ) 式中出现的对分立频率的无穷作和，通常是借助复变函数 论中的回路积分技术来进行。在乒= 0 时，对费米场和玻色场的频率求和可用 一个公式表达为： 吾皇脚。= = e 啬舢肛圳 + q j f 龆z ) f ( ；) 十f ( 一g ) ，( 2 4 4 ) 其中复z 平面上的积分路径f 是右半平面上包含f ( z ) 和f ( 一z ) 所有极点的顺 时针闭合回路。利用回路积分技术后，来自于零温和有限温度部分的贡献自然 地被分开，这会给某些计算( 例如讨论重整化问题) 带来方便。 在含有两个或多个传播子的情况下对圈动量p o 求和时，采用s a c h y 方法最 为方便旧 ，此时玻色场传播子表示为： ( p ) = 一id r d 0 7 a ( r ，弓) ， ( 24 5 ) 式中 ( r ，e ) = 一，e - 吖a ( p ) ， = 嘉 1 + n 。( b ) 弦+ n e ( 睇) e 争) ( 2 4 6 ) 由于p o 只在指数函数中出现，这使得对p o 的求和易于完成。 对于费米场情形，传播子的s a c l a y 表示为 s ( p ) ；( 尸l + m ) 五( p ) ( 2 4 7 ) 式中 五( p ) ；一 d r 出噬( r ，e ，) ， ( 2 - 4 8 ) j0 五( r ，e ，) ：专 1 一脚( b ) 】e v n ，( 名) e 6 r ) ( 2 4 9 ) s a c l a y 方法也可以直接推广到有限化学势的场合印1 。 采用虚时形式的温度场论，人们可以方便地计算体系的各种静态观察量， 例如压强，状态方程等m 1 。但涉及与真实时间相关的动力学过程，例如体系对 外场的响应以及偏离平衡的输运性质等，理论就必须通过复杂的解析延拓处理 之后才能用于计算w 。 2 1 4 实时形式的有限温度场论 为了方便地处理与时间相关的动力学问题，需要直接计算包含真实时间的 温度格林函数，因此选择复t 平面上的积分路径c = c tuc ：uc 3uc ，如图 2 。l 所示。其中c t ：“一，；c ，：0 一f ，一i n ，0 口卢；c 2 ：0 一打4 t i 一打；c 4 ： t i 一打一t 。一橱。t i 和0 分别是入态和出态对应的时间。对d 的不同选择会给 出一族等价的实时温度场论。例如口= 0 给出闭路格林函数( c 1 p ) 微扰论惭3 口：口，2 则给出热场动力学( r f d ) 微扰论瞪“。 m t t i 1 t f c ， 。 一 c c ；i f 。i a 一i 6 图2 1 实时温度场论的积分路径 沿图21 所示的路径c ，利用( 2 ，2 9 ) 和( 2 ，3 6 ) 式可以计算自由标量场和自 由费米场的传播子。对于大多数应用，来自路径c ，和c 。的贡献能够忽略不 1 5 计删。所以按照传播子中的时闫变量z 。，帅在c 。和c ：上的取值情况，实时 温度传播子将有四个分量。当z 。，y 。c - c 。分量用“1 1 ”来标记，当w 。，y 。c 。分 量用“2 2 ”来标记。非对角分量“1 2 ”和“2 1 ”相应于o c i ，y o c ：和x 。c ：， y o c l 。 取一：0 ，动量空问中标量场的传播子表示为下列矩阵形式： 嘶，g ( 1 l 吣) ( p p 撼，。， = m b ( p o ) 0 ( p ) 螈( ，) 式中 蝴= 一瞄剖 8 ( p ，= ( j ? 。( ：，) ，c p ，= ；丧 因此，自由标量场的实时温度传播子的四个分量依次写作 c “”( p ) = ( p ) + 2 r r n 口( e ) 艿( p 2 一m 2 ) g 2 ( p ) = g 1 ( 口) g “2 ( p ) = 目( p o ) + n 。( e ) 2 种( p 2 一m 2 ) c ( p ) ：扩”g ( ( p ) 与此类似，自由费米场的温度传播子是： 5 啦鲻f t 2 ) l 1 = m p ( p o ) s d ：p ) m f ( p o ) 式中 = 痢瞄斟 亏中c p ，= ( y 。p + ：。妒p 。y p + 三，乖。p ， 其分量表示为： s o d ( p ) = ( y p + m ) ( p ) 一2 ，埽( b ) d ( j d 2 一m 2 ) s 脚( p ) = s 1 1 。( p ) s “2 ( p ) = 2 ( 日( 一p 0 ) 一竹( b ) ) 占( p 2 一m 2 ) ( y p + 。) ( 2 5 1 ) ( 25 2 ) ( 2 ，5 3 ) ( 25 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) _ s ( 2 1 ( 口) ：一扩。s ( ”( p ) ( 2 5 7 ) 从( 2 5 3 ) 式和( 2 5 7 ) 式可以看到，实时形式的温度场论主要特点在于其传播子 明显地分为两个部分，其中一部分就是零温时场的传播子，另一部分则是热运 动给出的贡献。由于传播子的( 2 2 ) 分量以及非对角元中时间变量具有虚分量， 因而它们是非物理的，但它们又为保证理论的自洽性所必需。只有( 1 1 ) 分量才 是唯一的物理传播子。 在实时温度场论中，其费曼规则与零温场论非常相似，费曼图的拓扑结构 和对称因子也与零温场论完全一样。但是与每个场相联系的却有两种可能的 顶点类型( 1 型和2 型) 和四种可能的传播子。在费曼规则中，2 型顶点是1 型顶 点的厄米共轭。应用中要牢记的是：粒子外线( 即物理腿) 必须而且只能和l 型 顶点相联。另外，在作图形展开的时候，应该先考虑两类顶点所有的位形配置， 然后联接上相应的传播子才能进行完全的计算。 现在已有计算温度格林函数虚部的切割规则旧j 。它在计算相互作用率或 截面时非常有用。虽然人们已达成某种共识，即实时形式和虚时形式的温度场 论应给出相同的物理结果“6 2 。斟 ，但二者之间的关系是既不平庸也不简 单怕1 “硎，有待进一步研究。 2 2 有限温度场论的近期发展和在q g p 物理中的若干应用 随着高能重离子碰撞物理的兴起，有限温度、有限密度的q c d 理论已被广 泛地应用于夸克胶子等离子体平衡性质的研究。除了仅能在零密条件下埘体 系静态性质进行描述的格点计算方法外，微扰q c d 的方法也广为人们所采用。 然而，p q c d 在有限温度条件下会出现高阶微扰的红外发散汩1 以及物理结果的 规范相关旧。驯等令人困惑的难题。一个著名的例子就是利用传统的q c d 微 扰论计算长波极限下胶子的衰减率会导致规范相关的非物理结果m 川。p i 。