（概率论与数理统计专业论文）序条件下正态总体期望和方差的改进估计量.pdf

中文摘要 摘要 对于正态总体的期望和方差的估计量的研究已经有很多结果出现，这对于 解决实际问题很有帮助，比如在线性回归系统中对于回归系数的估计就需要对 误差项的方差进行估计。对于多个正态总体，如果他们的期望和方差不等或者 满足某种序条件，如何得到他们的估计量，以及如何改进估计量成为近年来研 究的热点。 本文就是在多个正态总体期望或方差满足某种序条件时对其改进估计量进 行讨论，得到了一些较为满意的结果。 第一部分，阐述了正态总体期望和方差的估计量的研究背景及现状，讨论 了多个正态总体期望和方差满足某种序条件时关于其估计量的改进情况，并给 出了已经取得的部分成果同时介绍了本文将要做的内容。 第二部分，较为系统地讨论了两个正态总体期望满足序条件时，期望估计 量的改进。样本均值是期望的无约束极大似然估计量，在平方误差损失函数 下，构造了一类估计量一致改进了样本均值，并且详细讨论了一致改进的等价 条件。对于样本均值的线性函数我们也讨论了其改进估计量。进一步探讨了样 本均值与其改进估计量的风险差的相关性质。 第三部分，讨论了多个正态总体方差满足某种序条件时对于方差估计量的 改进。保序回归估计量是样本方差的一个估计量，借助样本均值构造了一类新 的估计量，这类估计量在平方损失函数和熵损失函数下一致改进了保序回归估 计量。最后给出了方差改进估计量的部分应用。 关键词：序条件；正态总体；期望；方差；一致改进 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e r ea r es om a n yr e s u l t sa b o u te s t i m a t o r so f n o r m a lm e a n sa n dv a r i a n c e s t h e s e r e s u l t sa r eu s e f u lo fs o l v i n gp r a c t i c a lp r o b l e m s f o re x a m p l e ，i nal i n e a rr e g r e s s i o n s y s t e m ，i no r d e rt oe s t i m a t er e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t ，w en e e dt oe s t i m a t ev a r i a n c eo f r a n d o me r r o rt e r m w h e nw ee s t i m a t en o r m a lm e a n sa n dv a r i a n c e s ，h o wt og e tt h e i re s t i m a t o r s ，a n d h o wt oi m p r o v et h ee s t i m a t o r si ft h ee x p e c t a t i o n sa n dv a r i a n c e sa r eu n e q u a lo rm e e t s o m ec o n d i t i o n sb e c o m eh o tp o t si nr e c e n ty e a r s ( 1 ) i n t r o d u c et h eh i s t o r ya n db a c k g r o u n do ft h ee s t i m a t i o no fn o r m a lm e a n s a n d v a r i a n c e s d i s c u s st h ee s t i m a t i o no f e a c ho fn o r m a lm e a n sa n dv a r i a n c e su n d e rs o m e o r d e rr e s t r i c t i o n g i v es o m ea c h i e v e m e n t sw h i c h h a v eb e e nm a d e ，a n ds o m er e s u l t sw e g e t ( 2 ) e s t i m a t i o no fe a c ho ft w oo r d e rr e s t r i c t e dn o r m a lm e a n si sc o n s i d e r e dw h e n v a r i a n c e sa r eu n k n o w na n dp o s s i b l yu n e q u a l s a m p l em e a ni st h eu n r e s t r i c t e dm a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o ro ft h ee x p e c t a t i o n w ec o n s t r u c tac l a s so fe s t i m a t o r sw h i c h i m p r o v et h es a m p l em e a r l su n i f o r m l yu n d e r t h es q u a r ee r r o rl o s s ，a n dd i s c u s st h ee q u a l c o n d i t i o n s w ea l s od i s c u s st h ee s t i m a t i o no fl i n e a rf u n c t i o no ft w oo r d e rr e s t r i c t e d n o r m a lm e a n s ( 3 ) c o n s i d e rt h ee s t i m a t i o no fv a r i a n c eu n d e r o r d e rr e s t r i c t i o n i s o t o n i cr e g r e s s i o n e s t i m a t o ri st h ee s t i m a t o ro fv a r i a n c e ，a n dt h i se s t i m a t o rc a nb ef u r t h e ri m p r o v e du p o n u n i f o r m l yb yu s i n gs a m p l em e a n s c o n s t r u c ta c l a s so fe s t i m a t o r si m p r o v i n gu p o nt h e i s o t o n i cr e g r e s s i o ne s t i m a t o ru n i f o r m l yu n d e r t h es q u a r ee r r o rl o s sa n dt h ee n t r o p yl o s s f u n c t i o n w ea l s og i v ea ne x a m p l ea b o u ta p p l y i n g k e yw o r d s ： o r d e rr e s t r i c t i o n ；n o r m a lp o p u l a t i o n ；e x p e c t a t i o n ；v a r i a n c e ；u n i f o r m i m p r o v e m e n t u 湖北大学学位论文原创性声明f , n t 吏用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 论文作者签名：骂泊1 复 日期：l 户j 2 f 年月纱日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 作者签名：弓泊俊 指导导师签名：吻戍味 日期：脚q 月如日 e t 期：删年午月加日 l序言 1 序言 1 1 多个正态总体期望和方差估计量改进的背景 设某个回归系统有m 个线性回归方程 m = 磁屈+ 岛，i = 1 ，2 ，m ( 1 1 1 ) 其中是nxl 观察向量，k 是佗r i 满列矩阵，且r a n k x i l = r i ，展是 r i 1 回归系数向量邑是nxl 随机误差向量，进一步假定矗服从正态分布 n ( o ，盯；i n ) ，为了精确估计回归系数屈或得到危估计的精确度，需要对砰进行 估计故对毋的估计量的改进也就成了很多作者研究的对象 作为对此问题的推广，o o n on 【1 ，2 ，3 ，4 】等人讨论了期望或者方差不等时，即 满足某种序条件时多个正态分布的期望和方差的估计量的改进 1 1 1 正态总体的期望估计量的改进介绍 设是相互独立的第i 个正态总体n ( m ，砰) 的第j 个观察值，i = 1 ，2 ，k ，j = 1 ，2 ，其中地，吒2 未知，但已知地满足某种序条件： p 1 p 2 p 七 当我们估计肌时，称胁的一个估计量成在平方误差损失函数下： ( 1 1 2 ) l ( 胁，豇t ) = ( 豇 一胁) 2 ， ( 1 i - 3 ) 一致改进了另外一个估计量应+ 当且仅当对所有的( p 1 ，p 2 ，p 七) 【p 1 ，p 2 ，纵：p 1 肛2 肌) 及所有的砰有 r ( m ，成) r ( m ，筒+ ) ( 1 1 4 ) 成立，且存在某些肛1 p 2 肌及某个砰，使得( 1 1 4 ) 式中严格不等号 湖北大学硕士学位论文 成立，其中r ( ，) 是风险函数，定义如下： 尺( p ，口) = el l ( # ，丘) 】 方差砰已知且胁满足序条件( 1 1 2 ) 时，关于胁的估计量已经在很多文 献【5 7 6 7 8 】中得到讨论设兄= 器1x i f f m ，则它是胁的无约束极大似然估计 量，且兄一( 胁，仃；m ) 在序条件( 1 1 2 ) 下，胁的约束极大似然估计量为 此估计量可由r o b e r t s o nt 【9 】的极大极小值公式得到也可以通过b a r l o wr e 【10 1 的研究结果获得l e ec i 在文【1 1 】中证明了估计量( 1 1 5 ) 一致改进了估计量 x i ，k e l l yr e 加强了文【1 l 】中的结果，在文【5 】中证明了( 1 1 5 ) 普遍控制了 x ( 关于普遍控制参阅文献【1 2 】) ，h w a n g 和p e d d a d as d 在文【1 3 】中证明了 地满足任意序时，如果胁是节点( 即对任意的j ，地肛，胁p ，二者必具其 一) ，则( 1 1 5 ) 普遍控制了五，并给出了非节点时均值的估计步骤 当方差未知时，对于序条件( 1 1 2 ) 下他的讨论就不是很方便，所以很多作 者就讨论了两个正态总体在下述序条件下地的改进估计量， 方差已知时由( 1 1 5 ) 知 p 1 p 2 ( 1 1 6 ) 驴邮h 等学) 心一( 兄，等学) m ， 是地的约束极大似然估计量 方差未知时，g a r r e ns t 在文 1 4 1 中用样本方差器1 ( 翰一蟊) 2h i 代替 ( 1 1 7 ) 式中吒2 ，得到了一类估计量改进了兄o o n oy 和s h i n o z a k i ，n 在文【l 】 中用无偏估计量凳。( 一兄) 2 f i n , 一1 ) 代替( 1 1 7 ) 式中砰得到了新的一类 兄的改进估计量 2 觜 学 1序言 1 1 2 正态总体的方差估计量的改进介绍 对于方差的估计量的研究要比期望估计量的研究成熟的多，研究的内容也 稍有区别最早对于方差估计量的研究源于对线性回归系统中随机误差项的方差 的估计量的改进 1 5 , 1 6 , 1 7 , 1 8 , 1 9 , 2 0 假设岛，& ，i = 1 ，2 ，七是相互独立的随机变量，分别服从) ( 纛分布和 x ：。( 九) 分布，i = 1 ，2 ，k ，其中x 磊表示自由度为如的x 2 分布，x ：。( 九) 表 示自由度为仇，非中心参数为入的x 2 分布当我们基于正态总体n ( u ，仃2 ) ( 假 设p 未知) 的一个随机样本x 1 ，k 对仃2 进行估计时，则s o = ：1 ( 五一 y c ) 2 ，v o = n 一1 ，s = n y ( 2 ，t ，1 = 1 ，入1 = 佗p 2 盯2 ，这就对应本段开始记号中 k = 1 的情形另外一个例子就是在使用二级正交阵列的试验中，若对随机误差 项的方差盯2 进行估计，则岛，最，i = 1 ，2 ，k 分别是各个影响因子的误差项 的平方和 当我们在平方误差损失函数 l ，( 盯2 ，庐) = ( 扣一仃2 ) 2 ( 1 1 8 ) 下估计盯2 时，s t e i nc 在文1 2 1 1 中证明了6 l = m i n s o ( v o + 2 ) ，( s o + s 1 ) ( v o + 口1 + 2 ) ) 一致改进了如= s o ( v o + 2 ) 从那时起很多作者开始研究盯2 的估计量 m a t t aj m 和c a s e l l ag 在文【2 2 】中回顾了方差估计量的改进历史g e l f a n da e 和d e y d k 在文【2 3 】中推广了s t e i nc 的结果，证明了 2 i 0 6 l 以， ( 1 1 9 ) 这里文= r a i n o 旬【( 名o & ) ( ：o 仇+ 2 ) 】，歹= 1 ，2 ，k 如 易+ 1 表示易+ 1 一致改进了易o o n oy 和s h i n o z a k in 【2 】推广了上述结果，并且证明了在熵损 失函数 l 2 ( 盯2 ，庐) = 盯2 一l o g ( 庐盯2 ) 一1 ( 1 1 1 0 ) 下盯z 的改进估计量具有类似结果并且将这些结果应用到多个正态总体方差满 足某种序条件时对方差估计量的改进 设砀是相互独立的第i 个正态总体( 胁，吒2 ) 的第j 个观察值，i = 3 一 湖北大学硕士学位论文 l ，2 ，七，歹= 1 ，2 ，啦其中胁，砰未知，但已知砰满足某种序条件： 盯；是砖中最小的，i = 1 ，2 七( a ) 令k = 翟，( 粕一宠) 2 ，则k 是相互独立的随机变量序列，且有k 一砰x ：。， 其中x 毳表示自由度为v i 的x 2 分布，1 1 i = n i 一1 当我们在序条件( a ) 下估计盯 时，不妨假设盯 以，则盯 的保序 回归估计量为 a ；- - 埘m i 冬n 七 喜m ( 喜研) ) ， ， h w a n gj t g 和p e d d a d as d 在文献【1 3 】中证明了保序回归估计量盯 普遍控 制了无偏估计量u 1 o o n oy 和s h i n o z a k in 在文献【2 】中利用自己提出的结 果对h w a n g j t g 和p e d d a d as d 1 3 1 的结果进行了推广，他们构造出了盯 的 新的一类估计量，并证明了这类估计量在平方误差损失和熵损失函数下一致改 进了无偏估计量知1 这类估计量与保序回归估计量的区别在于其权重不再是 自由度，而是满足某种条件的任意一组数值o o n oy 和s h i n o z a k in 2 1 构造的 估计量为 a ；s = 瑚m i 冬n 七 喜( 喜毗) ) ， 2 ， 这里w i ，i = 1 ，2 ，k 是满足o o n oy 和s h i n o z a k in 文【2 】中定理4 1 及定理 4 2 中条件的权重 在上述结果的基础上，o o n oy 和s h i n o z a k in 借助样本均值寇，给出了两 个正态总体方差在满足序条件( a ) 时对于估计量( 1 1 1 2 ) 的进一步改进 1 2 本文的研究内容 本文所作的工作有两方面，一方面就是对于两个正态总体当期望满足序条 件( 1 1 6 ) 时构造出新的估计量改进了无约束极大似然估计量即样本均值另一方 面就是推广o o n oy 和s h i n o z a k in 在文【2 】中的结果，讨论了样本容量七3 时对于方差盯 的保序回归估计量的改进情形 本文在第二章中用砰的极大极小估计量【2 4 】 4 喾 = 1序言 代替( 1 1 7 ) 式巾砰，得到了新的估计量 仆邮，等学) 心( 黾等芋) 2 m 在文中为方便计，称此估计量为插入估计量第二章重点讨论了插入估计量在 序条件( 1 1 6 ) 下一致改进兄的充要条件，证明了在序条件( 1 1 6 ) 下插入估计 量一致改进样本均值等价于在肛1 = p 2 时插入估计量的与样本均值的风险差非正 紧接着讨论了样本均值的线性函数的改进估计量，最后讨论了样本容量与一致 改进的关系 q 在第三章，我们讨论了多个正态总体方差在满足序条件( a ) 时盯 。的改进 估计量将样本容量推广到任意数k ( k 3 ) 时的情形 关于正态总体期望和方差在序条件下的改进估计量除去本文上述提到的文 献外还可以查阅文献( 【2 5 ，【2 6 】，【2 7 】，【2 8 】，【2 9 】，【3 0 】) 5 湖北大学硕士学位论文 2 序条件下两个正态总体期望估计量的改进 在这章主要讨论两个正态总体期望满足序条件时对其无约束极大似然估计 量即样本均值的改进 2 1 定义与引言 设是相互独立的第i 个正态总体n ( u i ，c r i 2 ) 的第j 个观察值，i = 1 ，2 ，k ，歹= 1 ，2 ，t t i ，其中地，q 2 未知，但已知胁满足序限制： p 1 砌p 七( 2 1 1 ) 定义1 1 1 】在序条件( 2 1 1 ) 下，当对胁进行估计时，在平方误差损失函数 下： l ( 地，口 ) = ( 口 一p t ) 2 ，( 2 1 2 ) 称胁的一个估计量心一致改进了另外一个估计量成+ ，当且仅当对所有的 ( p l ，p 2 ，p 七) 【p 1 ，p 2 ，肌：p 1 p 2 p 七) 及所有的砰有 r ( 胁，丘：) r ( 肛l ，豇；)( 2 1 3 ) 成立，且存在某些p l p 2 鲰及某个砰，使得( 2 1 3 ) 式中严格不等号 成立，其中r ( ，) 是风险函数，定义如下： r ( p ，口) = e 【l ( p ，应) 】 方差已知时，胁在序条件( 2 1 1 ) 下的估计量已经在文献1 1 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 中得到 讨论我们通过文献资料已经知道兄= 凳。啦是胁的无约束极大似然估 计量，且兄一( 胁，o - ；n , ) 在限制条件( 2 1 1 ) 下，肌的约束极大似然估计量 为 m 铆i nm a x 甓揣 亿， 铆差墨茄矿 ( 2 4 在这章主要讨论两个正态总体期望满足序条件 肛1 p 2 6 ( 2 1 5 ) 2序条件下两个正态总体期望估计量的改进 时地的估计量，i = 1 ，2 ，此时方差未知或者不等 方差吒2 已知时由( 2 1 4 ) 可得地的约束极大似然估计量 驴畸，等芋) 心( 黾等学) 亿， 然而，本文讨论的是方差未知的情况，故用西的极大极小估计量 代替( 2 1 6 ) 式中西，得到了新的估计量 口- = m i n ( 叉- ，兰筹) ，忍= m a x ( 兄，兰筹) c 2 7 ， 在本文中为方便计，称此估计量为插入估计量 方差未知时，g a r r e ns t 在文献【1 4 】中用样本方差, j n ：i1 ( 一x ) 2 啦代 替( 2 1 6 ) 式中砰，得到了一类估计量改进了兄o o n oy 和s h i n o z a k in 在文献 【l 】中用无偏估计量警1 ( 妫一寇) 2 w , 一1 ) 代替( 2 1 6 ) 式中吒2 得到了新的一 类兄的改进估计量受上述作者启发，在这部分将讨论( 2 1 7 ) 式所定义的插入 估计量在序条件( 2 1 5 ) 下是否一致改进了无约束及大似然估计量五 在本章第二节，将证明在序条件( 2 1 5 ) 下，插入估计量觑一致改进五当 且仅当p 1 = 舰时对所有的砰，风险差冗( 肌，兄) 一r ( m ，皿) 非负由此该问题 就转化为具有相同期望的两个正态总体其期望估计量的改进此外，本节还将讨 论r ( u i ，兄) 一r ( u t ，皿) 作为p = l a 2 一p 1 的函数具有哪些性质，并据此得到一 些结论 在本章第三节，讨论了线性函数c 1 # 1 + c 2 # 2 的估计量，其中c 1 ，c 2 是 任意常数证明了在序条件( 2 1 5 ) 下插入估计量c l 豇1 + c 2 忍一致改进无约 束极大似然估计量e l 贾l + c 2 x 2 当且仅当p 1 = p 2 时对所有的砰，风险差 r ( c 1 肛1 + c 2 # 2 ，c l x l + c 2 x 2 ) 一r ( c l m + c 2 # 2 ，c a 2 1 + c 2 # 2 ) 非负 2 2 序条件下正态总体期望估计量的一致改进 本节主要讨论插入估计量是否一致改进样本均值，并对其风险差进行分 析，得到一些相关性质 7 辛l雩 牡 湖北大学硕士学位论文 2 2 1 插入估计量一致改进样本均值的等价条件 本小节首先给出了p 1 p 2 时口1 一致改进贾1 的等价情形 为了简化证明，先给出一个引理： 引理2 1 【1 4 l随机变量眦一n ( 0 ，砰) ，i = 1 ，2 ，假设 ：r 2 _ 冗1 为 非负实值函数，使得对所有的实数w l ，w 2 有( ( 伽1 ，叫2 ) = ( ( 一w 1 ，一w 2 ) ，则 e k ( ，) 】_ 2 e 【( ( m ，) 砒】 定理2 1 在平方误差损失函数下，两个独立的正态总体期望满足序限制 ( 2 1 5 ) 时，插入估计量口l 一致改进无约束极大似然估计量文l 当且仅当p 1 = p 2 时，对所有的吒2 ，丘1 的风险不大于贾1 的风险 证明必要性显然，下面只需证明充分性令 7 = ( 等) ( 詈+ 鼍) ， 则0 7 ，o 首一( 砰e h 2 j + 首e 【( 1 7 ) 2 】) ) ( 2 2 8 ) 当弘= 0 时上式取等号，当p 0 时上式取严格不等号 故有 又因为在p l = p 2 时，历一n ( o ，开) ，易一n ( o ，砖) ，k n ( 0 ，砰+ 卺) ， 日。：p ：【坪k o 】= 1 0 砰+ 砖 2 ( 2 2 9 ) 2 序条件下两个正态总体期望估计量的改进 其中既。：p 。表示肛l = 肛2 时的期望若用吼。；表示肛1 = p 2 时的风险，则由 ( 2 2 4 ) 式知 吼。：p ：( p 1 ，贾1 ) 一r p ，：p ：( p 1 ，口1 ) = e 【研一 ，y z l + ( 1 一，y ) 磊) 2 】易。z 2 ， 令 夕( 乙，z 2 ) = z ；一【 z 1 + ( 1 7 ) 易】2 ， 则对任意的z l ，勿，有g ( z 1 ，z 2 ) = 9 ( 一z 1 ，一z 2 ) ，所以由引理2 1 ，同时注意到 五，磊，7 的独立性及其分布，可得 2 【吼1 = d 2 ( p 1 ，贾1 ) 一r p 。：p 。( p 1 ，口1 ) 】 = 2 e z 一【7 历+ ( 1 7 ) 邑) 2 】七，z 2 = e z 2 1 一 7 历+ ( 1 1 ) 历) 2 】 = 砰一 e ，y 2 e 研+ 2 e 7 ( 1 7 ) e z l e z 2 + e ( 1 7 ) 2 e ( 霹) ) = 首一( 砰e ( 7 2 ) + 孝e ( 1 7 ) 2 】) ( 2 2 1 0 ) 故由( 2 2 9 ) ，( 2 2 1 0 ) 式知，( 2 2 8 ) 式即为 r ( p 1 ，x 1 ) 一r ( p 1 ，豇1 ) 互主黼 吼。：( p ，文- ) 一吼。：舰( p - ，应- ) ) ( 2 2 1 1 ) 当p = 0 时上式取等号，当p 0 时上式取严格不等号在肛1 = p c 时，若对所有 的西，有豇l 的风险不大于贾1 的风险，即吼。：p ：( 肛1 ，贾1 ) 一吼。：p 。( p 1 ，豇1 ) 0 ， 则由( 2 2 1 1 ) 式知，当p 1 p 2 时，对于所有的p 1 p 2 ，及所有的 砰，r ( m ，x i ) 一r ( p 1 ，应1 ) 0 ，这就证明了充分性 对于弘2 的估计量的改进，可以得到类似的结论 定理2 2 在平方误差损失函数下，两个独立的正态总体期望满足序限 制( 2 1 5 ) 时，插入估计量西2 一致改进了无约束极大似然估计量兄当且仅当 p l = p c 时，对所有的砰，丘2 的风险不大于显的风险 证明因为p 1 p 2 等价于一p 2 一p 1 ，且一兄一( 一胁，吒2 啦) ，i = 1 ，2 湖北大学硕士学位论文 若令 一2 2 = m i n ( 撬型掣) ， 则一豇2 = 一豇2 在序条件( 2 1 5 ) 也即- # 2 一p 1 下对一p 2 进行估计时，由定理 2 1 知一豇2 一致改进一显的充要条件就是p 1 = p 2 时一卢2 的风险不大于一兄的 风险又由风险函数的定义可知 e l ( 一豇2 ) 一( 一弘2 ) 】2 = e 陋2 一p 2 】2e 【一兄+ p 2 1 2 = e 【兄一p 2 】2 定理2 2 得证 定理2 1 和定理2 2 讨论了两个正态总体期望满足序条件( 2 1 5 ) 时样本 均值的改进估计量，证明了在序条件( 2 1 5 ) 下反是否一致改进了兄取决于 p = p 2 一p 1 = 0 时，对所有的吒2 ，i = 1 ，2 ，皿与寇的风险差是否非负 由定理2 1 和定理2 2 的证明过程可以得到下面推论： 推论2 1 在平方误差损失函数下，两个正态总体期望满足序限制( 2 1 5 ) 时，插入估计量口1 一致改进了无约束极大似然估计量贾1 当且仅当p 1 = p 2 时， ，y 兄+ ( 1 7 ) r 2 的风险不大于x i 的风险，其中，y = ( n 1 s ；) ( n l s + n 2 s ；) 证明p 1 = p 2 时， 吼。：p ：( p 1 ，贾1 ) 一吼。钠( p 1 ，- y k , + ( 1 一，y ) 兄) = 耳。：p ：【( 贾1 一p 1 ) 2 j 一4 i = 。2 h ( 贾1 一p ) + ( 1 一，y ) ( & 一p 1 ) 】2 ， ( 2 2 1 2 ) 由( 2 2 3 ) 式，同时注意到肛l = p 2 时，五 一g ( o ，砰) ，z 2 一n ( 0 ，砖) ，及 历，易，7 的独立性，由( 2 2 1 2 ) 式得 吼。：p 。( p 1 ，贾1 ) 一吼。：p 。( p l ，y 贾1 + ( i 一- y ) 兄) = 已i - ：j 2 【z ；l 一4 。：p ：【7 乙+ ( 1 一，y ) 邑】2 = 砰一( 砰e 【7 2 】+ 孝e 【( 1 一，y ) 2 】) ( 2 2 1 3 ) 最后由定理2 1 ，及( 2 2 1 0 ) ，( 2 2 1 3 ) 两式知结论成立 推论2 2 在平方损失函数下，两个正态总体期望满足序限制( 2 1 5 ) 时， 插入估计量豇2 一致改进了无约束极大似然估计量兄当且仅当p 1 = p 2 时， 1 2 2 序条件下两个正态总体期望估计量的改进 ，y 贾l + ( 1 一，y ) 兄的风险1 i 大于。如的风险，其中，y = ( n 1 s ；) ( n l s ；+ n 2 s ；) 证明类似推论2 1 ，直接由定理2 2 结论成立 2 2 2 插入估计量与样本均值风险差的性质讨论 方差砰已知时，o o n oy 和s h i n o z a k in 得到了如下结果：在序条件( 2 1 5 ) 下，o r 和酲已知，则在平方误差损失函数下，当t l = p 2 时约束极大似然估计 量忍与无约束极大似然估计量兄的风险差最大，这里i = 1 ，2 但是方差未知时，本文构造的插入估计量却无此性质下面将兄和觑的风 险差看做是关于p = p 2 一p 1 的函数，此时哦2 ，i = 1 ，2 固定通过分析函数我们 可验证上述结论下面的引理将会用到 引理2 2 【1 4 1 随机变量w 服从( 一，盯2 ) 则对于竹1 ，有 吴e 吵 咖 】- 咄e w ”1 厶咖) 】 和 委引“蚴 1 - 刊a 这里妒( ) 是正态分布n ( 0 ，盯2 ) 的密度函数 由( 2 2 4 ) 式及( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) 式的第一部分可知 其中 r ( j i l l , 又- ) 一兄( p ，口1 ) = ( p ) q 生+ q ， 胁) = 引们_ 7 ) 】俐砰0 ) 】+ 阍m 圳) + 盟笋 ( 1 一篝) 骈o ) 】忡蹦o ) 】) ，( 2 2 1 4 ) m 服从正态分布n ( - 卫，首+ 卺) 由引理2 2 则有 蠢1 ( p ) = e b ( 1 7 ) 】 一2 e y 1 i ( y l o 】+ e y d h o ) 1 一p e 【j y 1 o ) 】) + 掣 一2 ( 一篝) e 【m 丘n 。，】 + 2 e f m 厶m 。，】- 2 乒, e i , r h 。，】 1 3 湖北大学硕士学位论文 = 一e 7 ( 1 7 ) 】 e 【m ，t h o ) 】+ p e 【 m o 1 ) + e ( 1 - - 3 1 ) 2 】 篝e m 厶h 。) 】一p e 厶h 。 】) ，( 2 2 1 5 ) 再对l ( u ) 求二阶导得 一2 ( p ) = 一e 7 ( 1 一一y ) 】 一e 【j ( y l o ) 】+ e 【， m o ，】一p 矽( 肛) 】) + e 【( 1 一，y ) 2 】 一季e 【丘m 。) 】一e 【厶h 。，】+ p 妒( 肛) ) = e h ( 1 7 ) 】p 砂( p ) 一e 【( 1 一，y ) 2 】 ( 1 + 篝) e 【厶m 。) 】) + e 【( 1 7 ) 2 】p 妒( p ) = e 1 - - y p 妒( p ) 一( 1 + 荐) e 【( 1 7 ) 2 】e 【i m 。) 1 ，( 2 2 1 6 ) 继续求三阶导数得 矗3 ( p ) 印刊灿) + 耶刊( 肛) + ( 1 + 篝) 球1 刊2 m p ) 印刊灿) + 卫q + q 驯1 刊灿) + ( 1 + 蓦) 引( 1 - 7 ) 2 灿) 伽刊+ ( 1 + 弄) 引( 1 刊2 【1 刊燕) ，( 2 2 1 7 ) 其中斧( p ) = o ( u ) o u ，妒( ) 是正态分布n ( o ，开+ 霄) 的概率密度函数设 ( 1 是一3 ( 肛) = 0 的正根因为当0 p a 时 爿3 ( 肛) 0 ， 一3 ( p ) 0 ， 所以当0 p a 时矗2 ( 肛) 关于肛单调 递减又因为 一2 ( o ) 0 ，l i m ，f 2 ( p ) = 0 ， p 1 4 2序条件下两个正态总体期望估计量的改进 所以一2 ( p ) = 0 有唯一正根弘= ( 2 当0 p 0 ， 故当0 p 已时一1 ( p ) 关于p 单调递 增又因为 l i m 矗1 ( p ) = 0 ， p 一 所以考虑两种情形一1 ( o ) 0 ，矗1 ( o ) 0 这也分别等价于 e 【7 ( 1 7 ) 】( 豸砰) e 【( 1 7 ) 2 】， e h ( 1 一，y ) 】 0 时取得，所以 札) 在p 0 时关于p 单调递减，故 ( p ) 在p = 0 时取得最大，即冗( p 1 ，又1 ) 一r ( p l ，丘1 ) 在p 1 = 舰时最大且因为 l i m ( p ) = 0 ， p + 故对所有的肛0 有 ( p ) 0 情形2 ：矗1 ( o ) 0 时因为一1 ( p ) = 0 有唯一正根p = 白，当0 p 岛时 ，f 1 ( p ) 0 ， ，f 1 ( p ) = 虿a 2 t 石1 一e 舞描篙端筹瓣 ) = 譬 e 舞措篙篙筹箨 ) 1 6 令 h ( 0 2 ) = 2 序条件下两个正态总体期望估计量的改进 = 譬叫( 2 哪。( n l + 1 ) ( 礼：+ 1 ) 盯2 ) ( 粥+ 礼她+ 1 ) 2 x ； 一n l 竹2 ( 佗2 + 1 ) 2 伊2 ) ( ；) 礼1 【礼17 1 , 1 + 1 ) 盯2 ) ( ；+ n 2 ( n 2 + 1 ) ) ( ；】2 ) 】， ( 2 2 1 9 ) 2 礼1 n 2 ( n 1 + 1 ) ( 佗2 + 1 ) 0 2 ) ( ；x ；+ n ；( 佗2 + 1 ) 2 x 一n l n 2 ( n 2 + 1 ) 2 仃2 x n 1 i n l ( 扎1 + 1 ) c r 2 x ；+ n 2 ( 几2 + 1 ) ) ( 1 2 则a r u 。：p ：= 譬e 【危( 盯2 ) 】要使 ( 盯2 ) 0 ，则只需 2 n l n 2n 1 + 1 ) ( n 2 + 1 ) 盯2 x 2 1 x ；+ 佗；( 礼2 + 1 ) 2 x ：一几l n 2 ( n 2 + 1 ) 2 盯2 ) ( ：0 当几；( n 2 + 1 ) 2 x n l n 2 ( n 2 + 1 ) 2 盯2 x ，即仃2 n 2 n l 时上式成立由 ( 2 2 1 8 ) ，( 2 2 1 9 ) 式可得a r 0 这就证明- r ( i ) 又 n l o 2 i 九( 盯2 ) 仃22 n l 扎2 ( 佗1 + 1 ) ( n 2 + 1 ) 0 2 x x ；+ n ；( 佗2 + 1 ) 2 x + n l n 2 ( n 2 + 1 ) 2 盯2 ) ( k 1 ( n 1 + 1 ) 0 2 x ；+ n 2 ( n 2 + 2 n l n 2 ( n l + 1 ) ( 几2 + 1 ) 0 4 ) ( ；) ( ；+ n ；( n 2 + 1 ) 2 盯2 ) ( ；】2 + n 1 几2 ( n 2 + 1 ) 2 盯4 x 一 n j ( 礼l + 1 ) 2 a 4 x ! + n ；( 礼2 + 1 ) 2 x + 2 n l n 2 ( n l + 1 ) ( n 2 + 1 ) 0 2 ) ( i ) ( 1 一，2 n 1 几2 ( n 1 + 1 ) ( n 2 + 1 ) 盯4 ) ( 2 1 ) ( ；+ n ；( n 2 + 1 ) 2 盯2 ) ( + n l n 2 ( 佗2 + 1 ) 2 0 r 4 ) ( 弋 n ；( n l + 1 ) 2 0 r 4 x ；+ 2 n l n 2 ( n l + t ) ( n 2 + 1 ) 0 2 x 2 1 ) ( ； n 2 ( n 2 + 1 ) 2 x 2 n 2 ( r l 2 + 1 ) x ；。 n ln l + 1 ) 2 x 2 7 1 1 ( n 1 + 1 ) x ；。 n 2 ( 礼2 + 1 ) 2 ，x 扒2 5n 2 ( n 2 + 1 ) n 1 ( n l + 1 ) 2 x ； 。27 , 1 ( 7 , 1 + 1 ) n 2 ( n 2 + 1 ) ) ( ； + 1 ) ) ( ； + 佗2 ( n 2 + 1 )x ； ) x ；2 n l ( n 1 + 1 ( 2 2 2 0 ) 上式右端是一个关于f 分布的二次多项式，是可积的所以，固定盯 ，当 盯2 一时，由控制收敛定理可得 l i m 盯2 吼，：肛2 盯+ = ( 盯e 【扎l i r a 。口2 ( 盯2 ) jl 口。+ 。 j 1 7 1 幽 、二、 轨馐 湖北大学硕士学位论文 又 所以 = ( a ；2 ) e 【! i m 2 n l n 2 ( n 1 + 1 ) ( n 2 + 1 ) 盯4 ) ( 2 1 ) ( ；+ n ；( n 2 + 1 ) 2 盯2 ) ( ； 一n l n 2 ( n 2 + 1 ) 2 0 r 4 x ：) 礼1 【n ；( 佗l + 1 ) 2 0 r 4 x ! + n ；( n 2 + 1 ) 2 x ； + 2 n l n 2 ( n 1 + 1 ) ( 礼2 + 1 ) 盯2 x 2 一x 2 1 1 】 = ( a 2 2 ) e 2 n l n 2 ( n l + 1 ) ( n 2 + 1 ) x 2 1 x ；一n l 礼2 ( n 2 + 1 ) 2 x ；) i n ? ( n 1 + 1 ) 2 x 2 4 】 = ( a ；2 ) e 2 n 2 ( n