（概率论与数理统计专业论文）几类离散风险模型的破产概率.pdf

摘要 对于经典离散型风险模型，讨论的最多的是完全离散的复合二项风险 模型，其假定个体索赔额的分布服从取值为正整数的离散型分布，对于一 般情形的复合二项风险模型讨论较少，且经典离散风险模型的险种单一不 能满足保险公司险种日益多元化的要求。 为此作者首先在一般情形复合二项风险模型的基础上建立保费收取 和索赔过程均为复合二项过程的双二项风险模型；接着建立一类双险种离 散风险模型。模型中，保单到达为p o i s s o n 序列，一种险种的索赔到达为 p o i s s o n 序列，另一种险种的索赔到达为二项序列；最后考虑保险公司利。 率、投资收益和随机风险的综合因素，建立带扰动的离散双险种风险模型。 对建立的模型，运用鞅方法给出了模型在初始资金为时的破产概率和 l u n d b e r g 不等式，得到了与经典风险模型极为相似的结论。 关键词破产概率，调节系数，鞅论，停时，复合二项风险模型，布朗序 歹1 l 中南大学硕士学位论文 a b s t r a c t r e g a r d i n gt h ed i s c r e t et i m er i s km o d e l t h ed i s c u s s i o nm o s ti s t h e c o m p l e t e l yd i s c r e t ec o m p o u n db i n o m i a lm o d e l i nt h i sm o d e l ，t h ed i s t r i b u t i o n o ft h ei n d i v i d u a lc l a i m si sa l s od i s c r e t e r e g a r d i n gt h eg e n e r a lc o m p o u n d b i n o m i a lm o d e l i t sd i s c u s s i o ni sv e r yl i t t l e a l s ot h ec l a s s i c ss e p a r a t er i s k m o d e las i n g l ei n s l l r e rc a n n o ts a t i s f yt h ei n s u r a n c ec o m p a n yr e q u i r e m e n t s t h e r e f o r e ，w ef i r s tc r e a t e dt h et w o b i n o m i a lr i s km o d e l i nt h i sm o d e l ，i t s p r e m i u m sc o l l e c t e dp r o c e s sa n dc l a i m sp r o c e s s a l s oc o m p o u n db i n o m i a l p r o c e s s ；f o l l o w e d w ec r e a t e dat w o - t y p ed i s c r e t et i m er i s km o d e l i nt h i s m o d e l ，i t sp r e m i u m sc o l l e c t e dp r o c e s si sp o i s s o ns e q u e n c e ，o n et y p eo f c l a i m sa sap o i s s o ns e q u e n c e a n dt h eo t h e rt y p e so fc l a i m sa st h eb i n o m i a l s e q u e n c e ；f i n a l l yi n s u r e r st oc o n s i d e ri n t e r e s tr a t e s i n v e s t m e n ti n c o m ea n d r i s kr a n d o m l yb yac o m b i n a t i o no ff a c t o r s ，w i t ht h ee s t a b l i s h m e mo f t w ot y p e s o fd i s t u r b a n c ed i s c r e t er i s km o d e l o nt h em o d e l ，u s e di na n a l y s i so ft h em a r t i n g a l e ，o b t a i n e dt h eu l t i m a t e r u i np r o b a b i l i t ya n dl u n d b e r gi n e q u a l i t y , w i t ht h ec l a s s i c a lr i s km o d e lv e r y s i m i l a rc o n c l u s i o n s ： k e y w o r d s r u i np r o b a b i l i t y , a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ，m a r t i n g a l e ，s t o p p i n gt i m e ， c o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l ，b r o w ns e q u e n c e 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本 研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明。 1l i 作者签名：f 挞日期：逊年j l 月- 兰兰日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根 据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 中南大学硕士学位论文第一章引言 第一章引言 风险理论m s k t h e o r y ) 是当前精算界和数学界研究的热门课题，在国外已有上百年 的研究历史。作为保险精算的一部分，最初主要借助随机过程理论来构造保险实务经 营中的余额过程，并研究其破产概率、调节系数等问题，许多学者运用概率方法与随 机过程取得了不少经典的结果。 破产论( r u i nt h e o r y ) 作为风险理论的核心内容，其研究溯源于瑞典精算师f i l i p l u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文 t l ，至今已有百余年的历史。不过l u n d b e r g 的工 作不符合现代数学的严格标准。而它的严格化是以h a r a l dc r a m 6 r 为首的瑞典学派完 成的，同时，c r a m 6 r 也发展了严格的随机过程理论。现已公认，l u n d b e r g 和c r a m 6 r 的工作为经典破产论的基本定理。 风险模型按照对保费的收取方式划分可以分为连续模型和离散模型两种。连续模 型采取连续收费的原则，即以时间为连续变化的量连续地收取保费。离散模型采取离 散收费原则，即以一定时间长度为收费的单位区间，在每个单位区间内只收取一次固 定的保费。到目前为止，对风险模型的研究中，讨论得最多的连续时间经典风险模型 是复合p o i s s o n 模型，讨论得最多的离散时间经典风险模型是复合二项模型。连续经 典风险模型作为现今研究得最早最为透彻的风险模型，它的通常表述为：给定保险公 司一定的初始资本，允许它承担具有某种统计分布的风险，并允许它根据风险的特点 连续或离散地收取相应的保费。我们可以建立保险公司的资本剩余量模型： u t = u o + 掌( r ) 一彳( r ) 其中，u ，：表示保险公司，时刻的资本剩余量； 砜；表示保险公司的初始资本； 善( f ) ：表示( o ，r 】时间段内保险公司收取的总保费； f ( ，) ：表示( o ，归时间段内保险公司支付的总索赔量； 如果收入与索赔的某些统计性质已知，那么就可以研究u ，的分布许多的情况下 【，。具有很强的实际背景，如 0 表示保险公司资本出现负剩余，t = i n f t ：u o ) 表 示保险公司资本首次出现负剩余的时刻，我们称之为破产时刻，当然这里说的保险公 司发生了破产不一定是保险公司无力偿还债务或者即将倒闭，只是保险公司遇到了暂 时的经营困难，事实上如果保险公司出现微小赤字，保险公司仍能继续运转，资本剩 余量u ，仍可能为正或逐渐回复为正。定义甲 ) = 户口 o ) 为参数的p o i s s o n 过程： 以：k l 与 ( f ) ：f o 相互独立。 盈余过 以下记 y ( f ) ：f 0 似 毪 瞳l 中南大学硕士学位论文 第二章经典风险模型 s ( f ) = 五，v x 0 ( 2 - 2 ) 表示至时刻t 为止的索赔总额( a g g r e g a t ec l a i m ) 。由模型独立性假定知 e s ( ，) 】= e o ) 】e 【j 。】= 五 保险公司为运作上的安全，要求 c t e 【s ( f ) 】= ( c 一五) ， o ，t 0 为此需要下述安全负载假定： 假定2 ( 相对安全负载假定) 设 c = ( 1 + 口) 五，( 2 - 3 ) 其中口 0 ，称为相对安全负载( r e l a t i v es e c u r i t yl o a d i n g ) 由于p o i s s o n 具有齐次独立增量和模型的独立性假定，知 c t s ( r ) ：f o ，为齐次 独立增量过程。这样，由强大数定律知 l i m u ( ，) = + 不过，这并不排除在某一瞬时，盈余过程有可能取负值，这时称保险公司“破产”。 定义2 1 1 称r = i n f t ：u ( t ) o ，i n t # = o o ，为破产时刻( r u i n t i m e ) ： 定义2 1 。2 称甲 ) = p ( t 0 为保险公司最终破产概率，以下 简称破产概率( r u i np r o b a b i l i t y ) ，记甲( 甜，) = p ( t ，i u ( o ) = u ) 为保险公司在时刻r 之前 破产的概率。 假定3 ( 调节系数存在唯一性假定) 首先，要求个体索赔额( i n d i v i d u a lc l a i m ) 的矩 母函数( r n o m e mg e n e r a t i n gf u n c t i o n ) ： m x ( r ) = q p “】- f p “d f ( x ) = l + ，r 扩 1 - f ( x ) d x ( 2 - 4 ) 至少在包含原点的某个领域内存在；其次，要求下述方程 m f ( ，) = 1 + ， ( 2 5 ) 具有正解。 。 基于m 。( r ) 在其收敛域内是严格意义下的递增凸函数，故方程( 2 - 5 ) 若有正根，必 是唯一的，以下恒记为r ( 见图2 ) ，并称其为调节系数( a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ) 。 f l a ( 2 4 ) ，( 2 - 5 ) 两式知，调节系数r 满足以下等式： 兰f e l l 一f ( x ) l d x = 1 ( 2 6 ) 注意到 詈r 【l - m ) v - v = 詈= 南 ， 4 中南大学硕士学位论文第二章经典风险模型 7 ： 圈z 即知非负函数勺l f ) 】，x 0 ，不是一个概率密度函数，但若令 c 厂( z ) = p 船生【l f ( x ) 】，v x 0 ， c 由( 2 - 6 ) 式即知f ( x ) 为一概率密度函数，这解释了调节系数r 命名的由来。 以下恒记y o ) = c t s ( r ) 由于 矿( ，) ：f o 为齐次独立增量过程，故有 坼( ，) ( r ) = e e 7 ”】- ( m r ( 1 ) ( r ) ) 7 ，v t 0 再因 m y ( 1 ，( r ) = e e 5 1 ”】- - - e “研f 一例】= p ”e x p 2 m x ( - r ) 一l 】 = e x p a m f ( - o - 一t + c r ,( 2 - 7 ) 由上式与调节系数r 的定义知， 膨哪l ( 一r ) = 1 ( 2 8 ) 从而也有 ，r m ( 一r ) = l ，v t 0 总之，若调节系数r 存在，则它是方程( 2 5 ) ，( 2 - 9 ) ，( 2 1 0 ) 的唯一正根： 要f p “f l 一，o ) l a x = l ， ( 2 9 ) m p ( 1 1 ( 一r ) = 1 ( 2 - l o ) 其中( 2 - 9 ) 式又称为经典风险模型的轻尾假定。 定理2 1 ( l u n d b e r g - c r a m 6 r 1 1 2 a 1 ) 若假定1 3 成立，则有 ( 1 ) l f ( o ) 。南；( 2 - 1 1 ) ( 2 ) l u n d b e r g 不等式 甲 ) e 一船，v u 0 ( 2 - 1 2 ) ( 3 ) l u n d b e r g - c r a m 6 r 近似：存在正常数c ，使得 甲 ) c e 一“，砧寸 即 中南大学硕士学位论文 第二章经典风险模型 lim，w(一_u2：1(2-13)c 一- 一e 注意初始盈余为0 时，破产概率甲( o ) 的确切解仅依赖于相对安全负载口，而和 个体索赔额分布的具体形式无关。此外，定理2 1 解释了：若初始盈余很大，保险公 司在经营“小索赔”情形的业务时，破产是不易发生的。 2 2 经典离散风险模型 对离散风险模型讨论得最多的是完全离散复合二项风险模型，其假定个体索赔额 也服从离散型分布。 2 2 1 完全离散的复合二项风险模型 定义2 2 1 设n ； n ( n ) ：n 0 为定义在某完备概率空间( q ，f ，p ) 上的非负整值 随机变量序列，如果其满足下列条件： ( 1 ) 零初值：( o ) = 0 ； ( 2 ) 独立增量：对于0 惕 啦 仇，珂。z + ，随机变量 n ( n 1 ) ，n ( n 2 ) 一n ( n i ) ，n ( n i ) 一n ( n ) 相互独立； ( 3 ) 平稳增量：对聆o ，聊1 ，n ( n + 脚) 一( 栉) 的分布与n 无关； ( 4 ) 二项分布：对i , 1 o ，m 1 ，n ( n + m ) 一n ( n ) 有二项分布b ( m p ) ，0 p l 。 则称n = n ( n ) ：以0 是具有参数为p 的二项随机序列。 在完全离散的复合二项风险模型中，取定一个时间单位a 后( 不失一般性，不妨取 a = 1 ) ，可以假定在任意一时间区间( 疗一1 ，n 】中，仅可能出项两种情况：索赔或者不发 生，用六= 0 表示；索赔或者只发生一次，用六= 1 表示。假定点，岛，彘为独立同分 布的随机变量序列，且满足： 以磊= 1 ) = p ，只磊= o ) = q ；1 - b ( o p 1 ) 在上述假定下， ( n ) = 卣+ 磊+ + 磊，v n 0 ， ( o ) = 0 ( 2 1 4 ) 表示至时刻n 为止所发生的索赔次数，显然 n ( n ) ：胛0 是以p 为参数的二项序列。 进一步假定在时间区间一1 ，n 】内进行的一切工作，均视为在时刻r 进行，即认 为保险公司收取保费和进行赔付都是在离散时刻进行的，以x 。表示保险公司所支付 的第珂个索赔额，取定钱币单位后，可以假定x 。仅取正整数值，且置，x ：，也是独 立同分布的随机变量序列，则至时刻n 为止保险公司所支付的索赔总额s 。由下式给出 最= x l + x 2 + x f m ，v n o ，s o = 0 ( 2 1 5 ) 再假定 置，：i 1 1 ) 与 幺：刀2 1 ) 相互独立，则索赔总额序列也是复合二项序列。 6 中南大学硕士学位论文 第二章经典风险模型 为保持保险公司的正常运行，设保险公司在每单位时间区间的始端收取c 个钱币 单位的保费( 不失一般性，不妨取p = 1 ) ，并且假定石与以同分布，称之为个体索赔 额，记 p = p ( 六= 1 ) ，v n l p ( h ) = p ( x = 丹) ，v n l p ( ，1 ) = p ( 七) ，v 胛l t ；l p ( n ) = 1 - p ( n ) ，v n 0 a = e x 。】- 矽( ”) = ( 厅) * n = mn = o 假定e 【s 。】= p l a 0 ，则在上述假定下保险公司在时刻一的盈余过程表示为 以= u + t t - s , , ，s 。= 置，n = o ，l ，2 ( 2 1 6 ) t = l 其中，“= u o 为保险公司初始盈余，在模型中假定“仅取非负整数值。为了讨论的需 要，引入k = 鼠一1 1 ，则乩= , 4 一圪。 沿用s h u i 对破产时刻的定义( 见文献【4 】) ，即t = i n f n l ，u 。 0 ，保险公司感兴 趣的是与破产时刻7 1 有关的下列风险量： x = u r i y = u r | - 一 、 z = x4 - r + l 其中，j 表示保险公司破产前一刻的盈余；矿表示破产时赤字；2 表示导致保险公司 破产发生的索赔量，与上述风险量有关的概率表达式主要有： 甲( “) = p t o o i u o = 甜) ( 2 一1 7 ) 厂( “；x ) = p t ；u r 1 = x i u o = 甜) ，x 0 ( 2 - 1 8 ) 妒( “；y ) = p r 0( 2 1 9 ) 上述表达式中，甲( “) 表示在初始盈余为的条件下，保险公司最终破产的概率；，( “；x ) 表示在初始盈余为“的条件下，保险公司在破产前一刻的盈余为工的概率；烈“；_ ) ，) 表 示在初始盈余为u 的条件下，保险公司的赤字大于等于y 的概率，记 ) = l 一甲( “) 为 保险公司初始盈余为甜条件下的生存概率。 7 中南大学硕士学位论文第二章经典风险模型 在研究保险公司各概率的时候，调节系数起到了关键的作用，下面给出其定义与相关 的等式，不难算出在第一个单位时间区间内保险公司所支付的索赔总额s 。的矩母函数 为； 矿( ，) = e r s , 】= p g z ( ，) + g 其中g x ( r ) 为个体索赔额x 的母函数，且有 g 。( r ) ；e r 。】= p ( n ) r “ 若记为矿( ，) 的收敛半径，则显然r o 1 ，同时容易看出妒( ，) 是( o ，r 0 ) 上递增凸函数， 故知方程 妒( ，) = ，( 2 2 0 ) 在( 0 ，o o ) 上至多两个解，而妒( 1 ) = 1 ，即r = 1 是其中一个解。且( r ) = p g x ( r ) ，故 妒，( o ) = p g x ( 0 ) = p e x 】= p k t l ，而当，寸0 0 时，显然有方程( 2 2 0 ) h ! 边的导数 痧( ，) 一。，而右边的导数恒为1 ，这样方程妒( r ) = ，若有两个解，另一个解必大于l 。 定义2 2 2 若方程( 2 2 0 ) 存在惟一大于l 的解r ，则称r 为调节系数。 引理2 2 1 方程( 2 - 2 0 ) 与下列各式等价 g r “】= l g i ( r ) 一1 = ( r 1 ) ( 14 - o ) a e r s , 】_ ， p ，。【l p ( x ) 】= l 完全离散的复合二项模型的主要结论： 设以r ) 为任一有界函数，令 甲( 掰；w ) = e w ( u r i ) ， r 。li u o = 】= e w ( u r 1 ) ；r 0 ，在某概率空间( q ，f ，p ) 上，给定： ( 1 ) 取值在( o ，o o ) 上的独立同分布的随机变量y ，f = o ，l ，2 ； 9 f 2 2 6 ) 佗2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) 中南大学硕士学位论文第二章经典风险模型 ( 2 ) 具有参数p 的二项随机序列n ； ( n ) 二，p 仨( o ，1 ) 假定n z ( 疗) 二与亿) ： 相互独立。令 ( h u ( 玎) = “+ c n s ( h ) ，s ( ) = 乏：r ，n = o ，l ，2 ( 2 3 0 ) j 。l 称 u 积) 纛为复合二项风险模型，简记为c b r m u ( 彩 乙，若“= 0 ，则简记为c b r m u “( ”) 二 模型的实际背景：在保险公司的事务中，u ( u o ) 是保险公司的初始资本，c 是单 位时间收取的保费，是公司的唯一收入。r l 是公司的运作时刻，即公司收取保费和进 行赔付均在离散时刻打= 0 , 1 ，2 ，) 进行，在连续的时间段 一l ，川中进行的一切工作， 我们视为是在时刻n 进行；投保人发生事故后公司对其进行赔付是公司的唯一支出， 记第f 次赔付量为z ，则移 ：。为取正值的独立同分布随机变量序列。同时假定在时间 段0 1 ，川内仅可能有两种情况发生：或有一次索赔发生，或没有索赔发生。用靠= l 表示该时间区间内有一次索赔发生；用。= 0 表示该时间区间内无索赔发生，同样假 定茧，炙彘为独立同分布的随机变量序列，且满足 以六= 1 ) = p ，( 己= 0 ) = g = 1 - p ，( o p 刚。 这里，破产定义为3 n o ，使u ( n ) o ，u ( 胛) 0 ，设z ，i = 1 , 2 ，是独立同分布的取值于r + = 【o ，+ ) 的随机变量，公共分布为万，且p z 万采o ，+ m ) - e x ； 0 0 ，令 1 0 中南大学硕士学位论文 第二章经典风险模型 u ( 押) = “+ 删一x ，h = 0 , 1 2 ( 2 _ 3 2 ) j i i 称移( 一) 匕为u - 型离散风险模型。 引理2 2 1c b r m 妙( 功 与u - 型离散风险模型妙( 一) 品等价，即二者可相互 转化。 引理2 2 2c b r m 妙( ) 二具有增量可交换性，a p 对- j = 增量：以= u ( n ) u ( n - 1 ) ， 一 0 ，有：对任意，l 0 ，以及( 1 , 2 ，疗) 的任意全排列( ，如，) ，( 五，置，以) 和 ( 置，x h ，x 。) 的联合分布相同a 引理2 2 3 设v y o ，记，；( y , y + d y ) ，则对c b r u 移o ( ”) 已有 p f n , u o ( h ) e ， = p 扣u o ( 七) s u o ( ) ，k = 0 , 1 ，2 ，n - i ，u o ( h ) i j = 兰p 缸。( 一) ，) ， 记每次事故赔付量y 的矩母函数为m ，( r ) s 研p 7 。】，( - - o o ，+ ) 由于s ( ”) 服从参 数甩，p 的复合二项分布，故其矩母函数为 m s ( ，) z e e 8 】- ( p m r ( ，) + 目) “ ( 2 3 3 ) 引理2 2 4 方程p m r ( ，) + g = p r ，当l 0 ，当专0 时有： p o + ) 一( ，) = l ；届a + 。( ) 以及p ( ，+ ) 一 r ( r ) 2 = 。( ) ( 3 ) 具有独立增量。 2 3 。2 广义齐次p o ；s s o n 过程 定义2 3 2 有限计数过程 o l f o ) 称为广义齐次p o i s s o n 过程，若它满足以下 条件： ( 1 ) p ( o ) = 0 = 1 ； ( 2 ) 有平稳增量； ( 3 ) 具有独立增量。 广义齐次p o i s s o n 过程还有如下一个刻画： 定理2 ，3 ，2 若 o l r o 是广义齐次p o i s s o n 过程，则对任意s o ，( f ) 的概率 中南大学硕士学位论文第二章经典风险模型 母函数q g ) 必形如：g ，g ) = e 4 够( ，卜1 ) ；这里 - 0 是某一常数， g g ) = p ，s 7 是某一 ，；l 正数值随机变量z ：f 二1；“：1 的概率母函数其中多，给出过程在任意一个跳 l p lp 2p ， 。 发生时刻有个，点同时出现的概率 对于如上给定的参数为和多，的广义齐次p o i s s o n 过程 n ，0 ) 为一复合 p 。i s s 。n 过程且( ，) ：兰一设麟，；旯；其中1 ) 石，为整数上的离散随机变量，且 3 = 1 j p 忸，= 七) = 允；2 ) 坍( ，) 是强度为的齐次p o i s s o n 过程 性质2 3 2 在定理2 3 2 的条件下，若e 防，】= ，则有： e 【o ) 】= 肛 ( 2 3 7 ) 定义2 3 3 设讧( f l f o 是随机过程，t o ) 是盯一代数流，如果对任何f ， x ( ，) 是e 可测的，则称彳o ) 是只一适应的 记 v ：k ：厅是定义在 o ，r 扯的可测适应过程，满足f ：g 协 m ，口j 定义2 3 4 ( 二项随机序列) 设z = o 1 2 是非负整数的集合，z + = l ，2 ，) 是 正整数的集合；n = g ) 雅= o ，1 ，2 , - - ) 为定义在某概率空间q ，f ，p ) 上的非负整数值 随机序列称为具有参数p 的二项随机序列，如果满足以下条件： ( 1 ) p ( o ) = o = 1 ； ( 2 ) 独立增量；任意0 n ： 0 记： = i n f p ：1 w ( t = a x - a ，口】 嗽班阱善h 一百1 勋) 2 一e x t l ( x - 2 a + 4 施) 2 砌力= 去讲嘭薹 ( 4 七枷e d 一丢m + d 2 + 陬叫e x 一鲁叫2 一2 ( 4 k - 1 ) e x 帕2 则有： ( 1 ) p 帆如l j ) = 日0 ，s ，x ： ( 2 ) p b 出1 ：矗b j 、矗： ( 3 ) p 畈= 口，l 出) = p 哌= 吲，l 田) = 丢 o ，r ) a t 定义2 3 6 ( 随机和) 设置，彳：，j 0 是独立同分布的随机变量，并且有相同的 函数f 和相同的矩母函数m ，( ，) = e l p “j ；它们和的分布函数是f + ”( ) ，其中f ”表 示，的n 重卷积阻p 冲则是它们和的矩母函数 1 4 中南大学硕士学位论文第二章经典风险模型 若求和次数是一随机变量则也有类似的结果： 设是一个仅取非负整数的随机变量，记 研( r ) = e ”办 其中成= p n = 一 ，珂= 0 , 1 ，2 ，又设置，x ：，以是独立同分布的随机变量序列，并 以，与膨( ，) 分别表示它们的公共分布函数与矩母函数再假定诸z 和n 也是相互独 立的，并记 s = x i + x 2 + + x 当n = 0 时，约定s = 0 以下称s 为随机和，并称为求和次数，而诸x ，为s 的加项 那么有： ( 1 ) e 吲= e 【k 瞳】； ( 2 ) v a r s = l i a r i n n 防矿+ e n l v d 4 x 】 特别，当求和次数服从参数为五的p o i s s o n 分布时有： ( 1 ) e 盥】= 舾网。附陋】_ 肛k 2 j ( 2 ) 尽o ) = 薹f ”g ) 爷 ( 2 ) 式便是著名的复合p o i s s o n 分布 2 3 3 鞅论基础知识及有关结果 定义2 3 7 称随机过程m = 肘( f x f o 称为一鞅( m a r t i n g a l e ) ，如果满足： ( 1 ) 对于任意的，0 ，e 0 肘( ，刈 ； ( 2 ) 对于任意的0 j 0 ，恒有 e l m ( t ) 】= 目e 【时( f ) i 膨( o ) 】= 占【m ( 0 ) 】 ( 2 3 8 ) 下面给出一个构造鞅的重要途径。 例1 设 y ( ，) ，t o 是零初值，切具有齐次独立增量的随机过程。记 x ( o = x ( o ) e 7 ( “，x ( o ) 为常数 若e e ”】= l ，则( x ( f ) ，0 为一鞅。事实上， 耳i x ( t ) 日刊x ( o ) l e er ( f 】： x ( o ) l e e r o ) 】) 爿x ( o ) i o o 再对0 8 t ，恒有 中南大学硕士学位论文第二章经典风险模型 e x ( t ) l x ( r ) ：r s 】= e x ( s ) e 7 0 卜。5 l x ( r ) ：，ss 1 = x ( s ) e e 7 一。】= x ( 砖e e 7 。1 = x ( s ) e i e 7 1 】 “= x ( s ) 定义2 3 8 称非负随机变量f 是关于随机过程 x ( ，) ) 的随机时间，若对于一切 f 0 ， p f 盯 r ( s ) ：s ， 其中盯 ( s ) ：s s t ) 表示包含一切形如 x ( s ) 工 0 s ，x e r ) 的事件的最小f 代数。 特别地，称随机时间r 是关于随机过程 x ( ，) 的停时，若 e ( r 、= 1 容易验证，若f 是随机过程 x ( f ) ，f o 一个随机时间，则对任意固定的时刻f ， f t = m i n r ，f 是关于这个随机过程的有界停时。 鞅论的一个重要结果是停时定理，即给出适当的条件，使得将( 2 3 8 ) 式中的t 置换 成随机时间时，仍然成立。 定理2 3 3 假设r 是关于鞅 x o ) ，f 0 ) 的一个有界停时，则有 e 【x ( f ) 】= e 【。r ( 0 ) 】 鞅论的另一个重要结果是鞅的收敛定理。 定理2 3 4 设 ( ，) ，t 0 是一个非负鞅，则存在几乎处处收敛的有限极限，即 有 l i m x ( f ) = x ( o o ) 0 ，在某概率空间( q ，f ，p ) 上，给定： ( 1 ) 取值在( o ，+ ) 上的独立同分布的随机变量x 。，i 1 , 2 ，记se 【置】 ； ( 2 ) 具有参数p 1 的二项序列n s ( 玎) ：。，p ，( o ，1 ) 假定n ； ( 刀) ) ：。与 置) 二 相互独立； ( 3 ) 具有参数p ：的二项序列m ； m ( ，) ) ，p 2 ( o ，1 ) 假定 m ( 玎) ) n ”= o 与 ( 以) 乙 相互独立。令 f 小 u ( 甩) = u + c m ( n ) - s ( n ) ，s ( ，1 ) = 置，珂= o ，1 ，2 ( 3 i ) 称 u ( 聆) ) 知为保费速率为常数的双二项风险模型。 模型的实际背景：在保险公司的事务中，u ( u o ) 是保险公司的初始资本( 或称为 初始盈余) ，c 是每张保单的保费，保费收入是公司的唯一收入，胛是保险公司的运作 时刻，即保险公司收取保费和进行赔付均在离散时刻n ( n = 0 , 1 ，2 ，) 进行，在连续的时 间段0 一l ，挖】中进行的一切工作，我们均视为在时刻行进行。假定在时问段一1 ，栉】内 仅可能有两种情况发生：或收到一次保费，或没有收到保费。用善。= 1 表示该时问区 间内收到一次保费；用六= o 表示该时间区间内没有收到保费，假定鼻，彘，磊为独 1 7 中南大学硕士学位论文第三章双二项风险模型 立同分布的随机变量序列，且满足 p ( = 1 ) = p 2 ，p ( 六= 0 ) = q 2 = l p 2 ，( 0 p 2 1 ) 用m ( 竹) 表示至时刻n 为止保险公司收到的总保单数，则 m 、；。是参数为p ：的 二项序列， ，( 甩) = 磊+ 磊+ + 彘，v n o ， f ( 0 ) = 0( 3 2 ) 投保人发生事故后公司对其进行赔付是公司的唯一支出，记第i 次赔付量为x ， 则 置乜为取正值的独立同分布随机变量序列，同时假定在时间段伽- 1 ，疗】内仅可能 有两种情况发生：或有一次索赔发生，或没有索赔发生。用r 。= l 表示该时间区间内 有一次索赔发生；用r 。= o 表示该时间区间内无索赔发生，同样假定r 1 ，叩：，r l n 为独 立同分布的随机变量序列，且满足 p ( r 1 = 1 ) = p l ，p ( 7 。= o ) = q 1 = 1 一p l ，( 0 p l 0 ，则l i m 【，( 功= 佃 ( 5 ) 若0 0 的情况，即c p 2 z p l 。 这里，破产定义为3 n l ，使u ( n ) 0 定义破产时刻t = i i l f 协l , u ( n ) 0 ，最终 破产概率和生存到时刻”的概率分别定义为： 甲( “) = p ( t 月l u ( o ) = “) 1 8 中南大学硕士学位论文第三章双二项风险模型 3 1 2 模型的破产概率 i 已( - o o ，u ) 为矩母函数存在的最大区间，假定，是正数，且r 呻p 时，也( ，) 一。 定理3 1 关于未知量，的方程 ( p 2 p 一”+ q 2 ) ( f x ( r ) p 1 + q 1 ) = 1 ( 3 - 4 ) 至少有一个正根r ，称之为调节系数。 证明：令g ( ，) = ( p 2 e “+ 9 2 ) ( 肘f ( r ) p l + 鼋1 ) ，显然g ( o ) = 1 ，9 7 ( o ) = 印2 + p l o ，和 是鞅，且当t o o 时有乙 瑚，则 “ 、岬) = 矿蒜丽 证明：利用选择停时t a 玎，其中，l 是一有限时间，有 l = e e 盯。】= e p 硒m 】= e e 昭r ；r n l + e e 船一；r 甩】( 3 5 ) 当疗斗o o 时，由已知