（运筹学与控制论专业论文）三元系的支撑集.pdf

a b s t r a c t p ，4 7 s g z 工 at r i p l es y s t e mo fo r d e rva n di n d e xa ，b r i e f l yt s ( v ，a ) ，i sa p a i r ( k 3 ) ，w h e r ev i sa 口一s e to fe l e m e n t sa n d 召i sac o l l e c t i o no f 3 - e l e m e n ts u b s e t so fvc a l l e dt r i p l e ss u c ht h a te a c h2 - s u b s e to fv a p p e a r si np r e c i s e l yao ft h et r i p l e si n8 l e t 入2a n d ( k 3 ) b ea t s ( v ，a ) i f 日c a nb ep a r t i t i o n e di n t ot ( 芝2 ) p a r t s 3 1 ，岛，b s u c ht h a te a c h ( x ，聩) i sat s ( v ，h i ) f o r1si 曼t ，t h e n ( k 侈) i sc a l l e d d e c o m p o s a b l e o t h e r w i s ei ti si n d e c o m p o s a b l e i ft = a ，九= 1f o r 1 i t ，t h et s ( v ，a ) ( k8 ) i sc a l l e dc o m p l e t e l yd e c o m p o s a b l e i ti sw e l lk n o w n 【9 】t h a tt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r t h ee x i s t e n c eo f at s ( v ，a ) a r ea ( v 一1 ) 兰0 ( m o d2 ) a n da v ( v 一1 ) 三 0 ( m o d6 ) s ot h e r ee x i s t sat s ( v ，1 ) i fa n di fo n l y 三1 ，3 ( m o d6 ) o b v i o u s s l y ，t h i si sa l s ot h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h e e x i s t e n c eo fac o m p l e t e l yd e c o m p o s a b l et s ( v ，a ) i ti sa p p a r e n tt a h tbm a yc o n t a i nr e p e a t e dt r i p l e s f o rc e r t a i ns t a t i s t i c a la p p l i c a t i o n s ，h o w e v e r ，o n ei sc o n c e r n e dw i t hh a v i n ga l l t r i p l e sd i s t i n c to rh a v i n gf e wt r i p l e sd i s t i n c t f o rt h i sr e a s o n ，f o o d y a n dh e d a y a t 【8 1 8i n i t i a t e das t u d yo ft h ep o s s i b l en u m b e r so fd i s t i n c t t r i p l e si nat r i p l es y s t e mk s ( u ，a ) w eu s et h e i rn o m e n c l a t u r eh e r e t h en u m b e rb + o fd i s t i n c tt r i p l e si n 日i sc a l l e dt h es u p p o r ts i z eo ft h e t r i p l es y s t e m l e t s s ( u a ) = b + ：t h e r ee x i s t sat s ( v ，a ) w i t hs u p p o r ts i z eb + ， i s s ( v ，a ) = 6 ：t h e r ee x i s t sa ni n d e c o m p o s a b l et s ( v ：a ) w i t h s u p p o r ts i z e 扩 ，a n d c d s s ( v ，a ) = 扩：t h e r ee x i s t sac o m p l e t e l yd e c o m p o s a b l et s ( v ， a ) w i t hs u p p o r ts i z e 扩 t h es p e c t r u mo fs s ( v ，a ) f o ra n yaw a sa l m o s td e t e r m i n e di n 【4 t h es p e c t r u mo fi s s ( v ，a ) f o ra = 2 ，3w a sd e t e r m i n e di n 【9 a n d 1 2 t h es p e c t r u mo fc d s s ( v ，a ) w a sc o m p l e t e l yd e t e r m i n e df o ra = 2 a n da=3 i n 【6 】i nt h i sa r t i c l ew ew i l lc o m p l e t e l yd e t e r m i n et h e s p e c t r u mo fc d s s ( v ，a ) f o ra l la d m i s s i b l e 口a n da = 4 ，5 k e yw o r d st r i p l es y s t e m c o m p l e t e l yd e c o m p o s a b l et s ( v ，a ) s u p p o r ts i z e s 摘要 个指标a 且阶为u 的三元系t s ( v ，a ) 是一个序偶( k 层) ，这里v l 是u 一元集合，舀是由v 7 中的若干3 一子集( 称为三元组或区组) 所构成的集 合，并使得v 中的每个2 一子集恰出现在召的a 个三元组中假定a 2 并 且( k 8 ) 是一个t s ( v ，a ) 如果屡能够划分为t ( 2 ) 部分居1 ，岛， 8 ，使得每个( x ，b i ) 是一个t s ( v ，九) 其中1 ist ，则( k 召) 称为可分 的番对称其为不可分的若t = ，凡= 1 其中1 曼i 曼t ，这时t s ( v ， ， ( kb ) 秽为完全可分的 f h 文献【9 】知个t s ( v ，a ) 存在的充分必要条件是a ( v - 1 ) 兰0 ( r o o d2 ) 且a f j 扣一1 ) 三0 ( m o d6 ) n 而- - 4 t s ( v ，1 ) 存在当且仅当v 三1 ，3 ( r o o d6 ) 显然个完全可分的t s ( v ，a ) 存在的充分必要条件也是v 兰1 ，3 ( r o o d6 ) 显然个8 可能包括重复的三元组然而由于一定的统计应用，人们可能 只关心三元组完全不同或者不同区组数满足一定要求的区组集正是南于这个 原因，f o o d y 和h e d a y a t 【8 】在1 9 7 7 年开始研究个三元组t s ( v ，a ) ( 或 者更一般的设计) 包括的可能的不同区组数如f o o d y 和h e d a y a t 的定义， 支撑召+ 是指t s ( v a ) ( k8 ) 中所有不同区组组成的集合；1 3 中的不同区组 的个数( 8 4 的元素个数) 称为三元系的支撑数b 对于任意a 的三无系t s ( v ，a ) 的支撑数集合由c j c o l b o u r n 和cc l i n d n e r 在文献 4 1 中已基本解决对于a = 2 3 的不可分三无系t s ( v ，a ) 的支撑数集合由a r o s a 已在文献【1 2 】和g l of a r o 、h s h e n 在文献【9 中完全解决x , t 3 a = 2 ，3 的完全可分丁s ( u ，a ) 的支撑数集合已由c h a n g 等在文献 6 中完全解决这篇论文主要解决了完全可分的t s ( 4 d ，a ) 的支撑 数集合，其中任意的整数v 三l ，3 ( r o o d6 ) 和a = 4 ，5 广厂 全文共分四章： 第一章，基本知识本章给出了一些基本的名词与基本事实 第二章，通过递归构造的方法完全解决了完全可分的三元系t s ( v ，4 ) 的支 撑数集合，其中正整数vi1 ，3 ( r o o d6 ) 第三章，主要解决了完全可分的三元系t s ( v ，5 ) 的袁攫邀璺给，其中正整 数 il ，3 ( m o d6 ) 第四章，结束语 关键词：三元系；完全可分三元系 ) 交楚磊支撑集 第一章基本知识 这一章里给出本文涉及到的一些基本名词与基本事实 定义1 1 设 ，k ，a 为给定的正整数，y 为一个u 一元集合，舀 为y 的一些子集合( 称为区组) 组成的集合，若序偶d = ( k b ) 满足 下列条件： ( 1 ) 对任意的b 召，都有l b l = k ( 2 ) 对任意p ，q v ，p q ，都有召中同时包含p ，q 的区组 个数a 伽) = a ； 则称d 是个平衡不完全区组设计，简称区组设计或b i b 设计，记 作b ( k ，a ；口) u 叫做d 的阶，k 称为区组长度，a 称为相遇数 定义1 2b i b 设计b ( 3 ，a ； ) 叫做u 阶a 重三元系并记作 t s ( v ，a ) 三元系t s ( v ，a ) 中的区组也称为三元组a = 1 的三元系 也叫s t e i n e r 三元系，并记为s t s ( v ) 定义1 3 设a 2 ，似b ) 是一个t s ( v ，a ) 若8 能够划分为 t ( 2 ) 部分玩，岛，鼠，使得每个( x ，鼠) 是个t s ( v ，九) 其中 l i t ，则( k 召) 称为可分的否则称其为不可分的若t = a ， 九= 1 其中1 i t ，t s ( v ，a ) ( k 8 ) 称为完全可分的 6 引理1 1 1 3 】若b ( k ，a ：u ) 存在，则 a ( u 一1 ) 三0 ( r n o d ( k 一1 ) ) a u ( u 一1 ) i0 ( r o o dk ( k 一1 ) ) 由引理1 t 易知一个t s ( v ，1 ) 存在的必要条件是u - - 1 ，3 ( r o o d6 ) k i r k m a n 最早构造出了t s ( v ，1 ) ，对任意的 三1 ，3 ( r o o d6 ) m o o r e 在 1 8 9 3 年和h i l t o n 在1 9 7 2 年用不同的较简便的方法构造出了t s ( v ，1 ) ， 因此t s ( v ，1 ) 存在的必要条件也是充分的，显然这也是完全可分的 t s ( v ，a ) 存在的必要充分条件 定义1 4 一个t s ( v ，a ) ( kb ) 的侈中所有不同的区组组成的集 合称为支撑，记为1 3 + ；1 3 中的不同区组的个数( 召+ 的元素个数) 称为 三元系( k 嚣) 的支撑数，记为b + 令 s s ( v ，a ) = d + ：存在支撑数为b + 的三元系t s ( v ，a ) ，其中 表示集合 i s s ( v ，a ) = 扩：存在支撑数为b 的不可分三元系t s ( v ，a ) c d s s ( v ，a ) = 扩：存在支撑数为b + 的完全可分三元系t s ( v ，a ) 对于任意正整数a 的s s ( v ，a ) 由c j c o l b o u r n 和c c l i n d n e r 在文献【4 】中已基本解决对于a = 2 ，3 的i s s ( v ，a ) 由a r o s a 已在文 献【1 2 】和g l o f a r o 和h s h e n 在文献 9 】9 中完全解决对于a = 2 ，3 的c d s s ( v ，a ) 已由c h a n g 等在文献【6 】中完全解决 引理1 3 【6 】c d s s ( 3 ，a ) = 1 其中a = 2 ，3 ，c d s s ( 7 ，2 ) = p ( 7 ，2 ) ，c d s s ( 7 ，3 ) = p ( 7 ，3 ) 1 6 ，2 1 ，c d s s ( 9 ，a ) = p ( 9 ，a ) 7 1 6 1 9 和c d s s ( u ，a ) = p ( v ，a ) ，其中任意u 1 3 且u 三l ，3 ( r o o d 6 ) a = 2 3 接下来的两章将通过递归构造的方法完全解决完全可分的三元系 t s ( ”，a ) 的支撑数集合，其中正整数”i1 ，3 ( m o d6 ) ，a = 4 ，5 ，并且得 到本篇论文的主要结果： 主要结论c d s s ( 3 ，a ) = 1 ，a = 4 ，5 ；c d s s ( 7 ，4 ) = p ( 7 ，4 ) 1 6 ，2 4 ，2 7 ，2 8 ) ，c d s s ( 7 ，5 ) = p ( 7 ，5 ) 1 6 ，3 0 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ) ；c d s s ( 9 a ) = p ( 9 ，a ) 1 6 ，1 9 ，a = 4 ，5 ；c d s s ( v ，a ) = p ( v ，a ) 其中任意整数 v _ 1 3 且u 三1 ，3 ( m o d6 ) ，a = 4 ，5 8 第二章完全可分t s ( v ，4 ) 的支撑集 第一节递归构造 在这节里，对于给定的c d s s ( v ，4 ) ，将使用递归构造的方法得 到关于c d s s ( 2 v + 1 ，4 ) ，c d s s ( 2 v + 7 ，4 ) 和c d s s ( 2 v + 1 9 ，4 ) 的 一些信息在接下来的构造中，对于给定的z 和有边集e ( g ) 的图 g ，用。g 表示三元集合 扛，a ，6 ) ： o ，b e ( g ) 阶数为凡 的s k o l e m 一序列( 或h o o k e ds k o l e m 一序列) 是有序对集合 ( j ，b ) ： 幻一a j = j ，j = 1 ，2 ，n ，并使得u 饕1 ，b j = 1 ，2 ，2 礼 ( 或 l ， ，如) = 1 ，2 ，2 n + 1 ) 2 n ) 对于任意的正整数7 , ，在 1 1 和【2 中已经证明阶数为几的s k o l e m 一序列或h o o k e ds k o l e m 序 列一定存在 引理2 1 1 令8 c d s s ( v ，4 ) 和k 口，口+ 2 ，口+ 3 ，4 v 则j k 如+ 1 ) + s c d s s ( 2 v + 1 ，4 ) 证明假定v = 1 ，2 ， ) 和( v u 基。鼠) 是一个有s 个不同 三元组的t s ( v ，4 ) 并且满足每个i k 鼠) 是一个t s ( v ，1 ) 其中i = 1 ，2 ，3 ，4 再令x 是个与y 不相交的( + 1 ) 一元集合既然f 是个 9 偶数，故能够在x 上构造1 一因子分解，= f l ，毋，r 现在在v 上定义置换盯丌，7 - 使得”个多无集合 亿a ( i ) ，7 r ( z ) ，r ( i ) ：1 冬i 冬 具有这样的条件：r 个多元集合的四个元素都相同，r z 个多元集合 的三个元素相同而第四元素不同于前三个元素或者一对相同元素不同 于另一对相同元素，r 。个多元集合的四个元素中有三个不同元素， r 4 个多元集合的四个元素都不同注意到l v i - 1 ，3 ( r o o d6 ) ，对任意 一个整数v 4 v ( 除去= ua - 1 的情形) ，容易选择一些置换使得 r 1 + 2 r , 2 3 r 3 + 4 = k 令一4 l = ( u ：1 i 只) u 8 1 ，a 2 = ( u 釜1 i e ( 。) ) u b 2 ， 凡= ( u 釜，i b ( 。) ) u b 3 ，a = ( u 釜l i 只( 。) ) u b 4 则每个( y u x ，a ) 是一个t s ( 2 v 4 - l ，1 ) 其中1si 4 并且( vux ，u ：1 a ) 是一个具 有七( + a ) 2 4 - 5 个不同三元组的完全可分的t s ( 2 v + 1 ，4 ) 口 g i 理2 1 2 若8 c d s s ( v ，4 ) ，自 口， + 2 ，。+ 3 ，一，4 v ，6 1 ，2 和8 0 c d s s ( 7 ，4 ) ，则s + + 7 ) 2 + 6 + s o c d s s ( 2 v + 7 ) 其中”7 证明将在x u y u z 上建立一个完全可分的t s ( 2 v + 7 ，4 ) ，其中 x = z l ，x 2 ，z 。 ，y = 可1 ，y 2 ，一，蜘 和z = z 1 ，z 2 ，z 7 令 ( x ，u 磐，魏) 是一个支撑数为s 的完全可分的t s ( v ，4 ) ，( z ，u l 。c 1 ) 是 一个支撑数为s o 的完全可分的t s ( 7 , 4 ) 令m = 0 一1 ) 2 并且建立一 个m 阶的s k o l e m 序列( 或者h o o k e ds k o l e m 序列) 慨，q ，) ：p ，一q ，= r ，r = 1 ，m ) 令a = 玑：i = p r 或者i = q r 并且r 4 令 t = y a ，注意到i t f = 7 ，因此能够把它记为t = ：1 i 7 当6 = 1 时，令功= “玑，玑+ 1 ，玑+ 3 ) ：0 i 口一1 ) ，其中 j = 1 ，2 ，3 ，4 ；当d = 2 时，令口1 = 口2 = d 3 = “玑，玑+ l ，y i + 3 ： 0 0 i 一1 和口4 = 玑，y t + 2 ，玑+ 3 ) ：0 isu 一1 ，则包含在 d ，d 。，玩或者d t 中的所有的对子是相同的并且记为口现在考虑 在y u z 上不属于口中三元组的对子，它们构成了一个有1 一因子分 解的”一正则图；例如，我们能够取1 一因子分解： r = “蚱，+ ，和+ c ) ：r = 4 ，一m ) u “磊，弘，+ ：j = 1 ，2 一，7 ) 其中t = 1 ，2 ，v 如引理2 1 1 定义置换盯，7 r 和r ，记占l = u 釜1 五e ， 岛= u 鳌i 蜀岛= u 釜l 盈异( 。) 和& = u 坠l 丑- e 令a = 聩u g u 口；u ，i = 1 ，2 ，3 ，4 则容易验证每个( x u y u z ，a ) 是一 个t s ( 2 v + 7 ，1 ) 其中i = 1 ，2 ，3 ，4 并且( x uy uz ，u 叁1 a ) 是一个支 撑数满足要求的完全可分的t s ( 2 v + 7 ，4 ) 口 引理2 1 3 若s c d s s ( v ，4 ) 和s o c d s s ( 7 ，4 ) ，d 3 ，4 则8 + 5 v ( v + 7 ) 2 + g v + 8 0 c d s s ( 2 v + 7 ，4 ) 其中v 7 证明令x = z l ，x 2 ，z 。) ，y = y 2 ，玑) ，z = 礼，z 7 ) 设，u 名。鼠) 是一个支撑数为s 的完全可分的t s ( v ，4 ) 并且( x ，召。) ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是一个t s ( v ，1 ) ，( z ，u 4 扛1 g ) 是一个具有s 0 个不同三元 组的完全可分的t s ( 7 ，4 ) 而且( z ，c i ) ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是一个t s ( z ，1 ) 现在记m = ! 字，能够构造一个m 阶的s k o l e m 序列( 或者h o o k e d s k o l e m 序列) ( p r ，q ，) ：p ，一g r = r ，r = 1 ，2 ，m ) 令a 1 = 玑： i = p ，或者i = q r 并且r 4 ) ，a 2 = 玑：i = p r 或者i = q ，并且 r 5 或者r = 2 j ，并且令b = y a 。其中i = 1 ，2 因此i b i i = 7 ( i = 1 ，2 ) ，并且记b = 协。：1 i 7 和b 2 = h ：1 i 7 ) 使 得y j 弧+ 。( 通过引理2 1 3 证明之后备注知道这种排列总是能够 做到的) 其中1 i 7 ，8 = 1 ，2 ，3 1 1 令d 1 = “9 ：玑+ i ，y i + 3 ：0 i u 一1 ，口2 = “玑，y i + 2 ，y i + 3 ： 0 i 口一l 口3 = 玑，y i + l ，y i + l ：0 i 口一1 并且当d = 3 时口4 = 口3 而当d = 4 时令矾= 玑，y i + 3 y l + 4 ) ：0si 冬u 一1 考虑l l ，z 上不包含在口：( i = 1 2 ，3 ：4 ) 的三元组中的对子，它们构 成了一个有1 因子分解的口一正则图；例如，对于t = 1 ，2 ，v ，能 够得到1 一因子分解： 砖1 = 蜘州，y q 州) ：r = 4 ，m u z ；，y 2 ) ：i = 1 ，7 ) ， 可2 = “绑r 扎y q + t + 1 ) ：r = 4 ，m ) u “五，+ 川) ：i = 1 ，7 ， 砖3 = 轨+ ，y q + t + 2 ：r = 5 ，m u 蜘。+ ，y q e + t + 2 u “五，y k t + t + 2 ) ：i = 1 ，7 ， 当6 = 3 时， 砖4 = 可3 而当6 = 4 时可4 = “+ 件3 ， y q ，+ + 3 ) ： r = 5 ，。，r n ) u 掣p 2 + + 3 ，y q 2 + + 3 ) u 五，可。+ + 3 ) ： i = i ，- 一，7 1 现在令& = 屿：1 巧巧( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 并且令a = b ：ugu 口tu 最( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 则很容易验证每个( xuy u 墨以) 是一个 t s ( 2 v + 7 ，1 ) 其中i = 1 ，2 ，3 ，4 并且( xuy u 互u ：1 a ) 是一个支撑 数为s + 5 v ( v 十7 ) - + 如+ 8 0 的完全可分的t s ( 2 v + 7 ，4 ) 口 备注；令d = b 1nb 2 = 羝：1sis5 ，则可设b l = d u 跏， y p + 2 ，b 2 = du ，玑+ 4 ) ，并令协i = y x 其中1si 5 ，y j 。= 蜘 和y j , = y p + z 令e = 扛1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，x 5 ) 将总能够安排岛中的元素 弧。( 1 i 7 ) 的顺序，使得不等式 成立。其中1si 7 ，s = 1 ，2 ，3 ，例如： 情形l ：p q 1 ，2 3 ，5 则( p + 2 ) 一( q + 4 ) 1 ，3 注意到 p q + 4 ，这能够得到( p + 2 ) 一( q + 4 ) 2 令玑。= 其中 1 i 5 ，k 。= 蜘和k ，= y q + 4 则容易验证不等式( + ) 成立 情形2 ：p q = 5 既然f e f = 5 ，一定存在一个正整数z e ，不 妨令z = z 5 ，使得z p + 2 ，p + 1 ，p ，p 一1 ，即满足z 一( q + 4 ) 1 ，2 ，3 和( p + 2 ) 一z 1 ，2 ，3 令弧= 弧。其中1 i 4 ，! ，k 。= + 4 ， k 。= 蜘，y k ，= y 。则容易验证不等式( + ) 成立 情形3 ：p 口= 1 则一定存在一个正整数z e ，不妨令z = z 5 ， 使得z p + 2 ，p + l ，p ，p - 1 ，即满足z - q 1 ，2 ，3 和( p + 2 ) 一z 1 ，2 ，3 令玑。= 啦；其中1 i 4 ，玑。= 蜘，可b = y q + 4 ，弧，= 。则容易验 证不等式( + ) 成立 情形4 ：p q = 2 则一定存在一个正整数z e ，不妨令z = z 5 ， 使得z p - 4 - 1 ，p ，p 一1 即满足z q 1 ，2 ，3 和( p + 2 ) 一z 1 ，2 ，3 令玑= 眠其中1 i 4 ，可b = 蜘，玑。= y q + 4 ，玑，= 。则容易验 证不等式( + ) 成立 情形5 ：p q = 3 则一定存在一个正整数z e ，不妨令z = 如， 使得z p + l ，p ，p 一1 ，p - 2 即满足z q 1 ，2 ，3 和( p + 2 ) 一z 1 ，2 ，3 令眠= 可其中1 i 4 ，掣b = 蜘，y k 。= 蜘十4 ，g k ，= 蜘。则容易验 证不等式( + ) 成立口 引理2 1 4 若s c d s s ( v ，4 ) 和s o c d s s ( 1 9 ，4 ) ，则s 十 4 v ( v4 - 1 9 ) 2 + 1 2 v + s o c d s s ( 2 v4 - 1 9 ，4 ) 其中u21 9 证明 方法与引理2 1 3 的证明类似令x = z 。，z 一， ， v = 们，2 ，玑 和z = z l ，z 2 ，。 令( y ，u 墨，鼠) 是一个具 有s 个不同三元组的完全可分的t s ( v ，4 ) ，其中( x ，鼠) ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是一个t s ( v ，1 ) ：令( z ，u 竺。g ) 是一个具有s o 个不同三元组的完全可 分的t s ( 1 9 ，4 ) ，其中( z ，q ) ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是一个t s ( 1 9 ，1 ) 现在记 m = 0 1 ) 2 ，能够建立一个m 的s k o l e m 序列( h o o k e ds k o l e m 序 列) 慨，q r ) ：p ，一竹= r ，r = l ，2 ，- 4 令a = 玑：i = p ，或者 i = g r 并且r 1 1 或r = 9 ) ，并且令b = y 4 既然i b i = 1 9 ，我们 可以令b = 弧：1 i t 9 令 d l = 弘，y i + l ，y i + 6 ， 玑，舶+ 2 ，玑+ l o ， 弘，y i + 3 ，玑+ 7 ：0 i v 一1 ， d 2 = 玑，y i + 5 ，y i + 6 ， y i ，y i 十8 ，y i + 1 0 ) ， y i ，y i 十4 ，y i 十7 ) ：0 i 曼 秽一1 ， d 3 = “玑，y i + 4 ，玑十1 0 ， 封 ，玑+ l ，y i + 8 ) ， y i ，y i 十2 ，y i 十5 ：0 i 钉一1 ) ， 玩= 玑，y i + 6 ，玑+ 1 0 ， 玑，玑+ 7 ，y i + 8 ， 玑，玑+ 3 ，y i + 5 ：0 i 口一1 ) 考虑y uz 上不包含在口( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 的三元组中的对子，它 们构成了个有1 一因子分解的口一正则图，例如，对于任意个正整 数t = 1 ，2 ，口，可以取1 因子分解如下： 碍1 = “+ c ) y a f + i ：r = 1 1 ，m u u p o + l , y q o + t ) u 如，欺+ 。) ： i = 1 ，1 9 ， 4 碰”= 蜘州+ 1 ，+ 川 “磊，弱洲+ 1 ：i = 1 ，1 9 ， 砖3 = “+ ，y q , + + 2 “磊，协州十2 ：i = 1 ，1 9 ， 可”= 鼽+ 啪，y 。+ ) 盏，聊，+ 十3 ： = 1 ，1 9 r = 1 1 ，m u 蜘。十冲1 ，y q o + + 1 ) u r = 1 1 ，m u + + 2 ，+ 蚪2 u r = 1 1 ，一，m ) u + + 3 ，y q 9 + h 3 ) u 令= q 巧4 ：j = 1 ，u ) ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 并且令a = 鼠u 色u d i u 矗( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 则容易验证每个( x u y u z ，a ) 是一 个t s ( 2 v + 1 9 ，1 ) 其中i = 1 ，2 ，3 ，4 并且( xuy uz ，u 。41 a ) 是一个 支撑数为s + 4 v ( v + 1 9 ) 2 + 1 2 v + s o 的完全可分的t s ( 2 v + 1 9 ，4 ) 口 引理2 1 5 对于口9 和 三1 ，3 ( m o d6 ) ，则有4 m 。 c d s s ( v ，4 ) 证耳耳由文献 1 0 】知一定存在四个两两不相交的t s ( v ，1 ) ，这蕴 涵着4 m 。c d s s ( v ，4 ) 口 引理2 1 6 若4 m v + l 一1 c d s s ( v + 1 ，4 ) ，则4 m 3 。+ t 一1 c d s s ( 3 v + 1 ，4 ) 其中口8 证明令x = 磊u o c ) 和y = ( 磊x 历) u o c 由已知设 ( x ，u 冬t 鼠) 是个具有4 m 蚪一1 个不同三元组的完全可分的t s ( v + 1 ，4 ) 并且由引理2 1 5 可设伍，u 名lc i ) 是一个具有4 m 。+ ，个不同三 元组的完全可分的t s ( v + 1 ，4 ) 现用以来表示( z ，) 五毛， 。c t = o c ，i z 3 令 a = z 1 ，y 2 ，z 3 ) ：。，y z 。，z 三z + y + i 一1( m o d 口) ， 5 i = 1 2 3 4 召= q ，刁 ： z 目，z ) 聩 ，其中i = l ，2 ，3 ，4 和 1 ，2 ，3 c p = z ，珊，勺 ： z ，。 c ： ，其中i ：1 ，2 ，3 ，4 和j 1 ，2 ，3 ； d 。= au 威1 u 4 2 ) u 4 引，i = 1 ，2 ，3 ，4 则容易验证每个( y 口。) 是一个t s ( 3 v4 - 1 ，1 ) 其中i = 1 ，2 ，3 ，4 并且( y u 竺。口。) 是一个具有4 m 。，一1 个不同三元组的完全可分的 t s ( 3 v4 - 1 ，4 ) 口 第二节小阶数的支撑集 在这节里，对于小阶数即”1 3 ，先决定集合c d s s ( v ，4 ) 显 然c d s s ( 3 ，4 ) = 1 ) 下面引理2 2 1 是显然的但非常有用 引理2 2 1 若1 a 1 a 2 和”三1 ，3 ( m o d6 ) ，则c d s s ( v ，a i ) c _ c d s s ( v ，a 2 ) 引理2 2 2 c d s s ( 7 ，4 ) = p ( 7 ，4 ) 1 6 ，2 4 ，2 7 ，2 8 ) 证明由引理1 3 知c d s s ( 7 ，3 ) = p ( 7 ，3 ) 1 6 ，2 1 ，由引理2 2 1 知 7 ，1 1 ，1 3 1 5 ，1 7 2 0 ) c d s s ( 7 ，4 ) 由2 1 掣c d s s ( 7 ，3 ) ，因 而可以推得2 8 掣c d s s ( 7 ，4 ) 由文献( 8 知1 6 ，2 4 ，2 7gs s ( 7 ，4 ) ， 这蕴涵着1 6 ，2 4 ，2 7gc d s s ( 7 ，4 ) 令x = 1 ，2 ，7 ) 并且令反， 1 i 曼8 是x 上的如下的t s ( 7 ，1 ) ： 6 b 、8 28 38 48 58 68 t8 8 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 41 3 71 2 41 2 31 2 6 1 4 5 1 3 51 3 6 1 3 71 2 41 3 51 4 7 1 3 4 1 6 71 6 71 4 71 5 61 5 6 1 6 7 1 5 6 1 5 7 2 4 6 2 3 7 2 3 4 2 3 6 2 6 7 2 3 6 2 6 72 3 5 2 5 7 2 5 6 2 6 7 2 5 7 4 5 7 2 5 7 2 4 5 2 4 7 3 4 7 3 4 6 3 5 7 3 4 5 2 3 5 3 4 7 3 5 7 3 6 7 3 5 64 5 74 5 64 6 7 3 4 6 4 5 6 3 4 6 4 5 6 令4 l = ( u 3 ；1 鼠) u 魄，a 2 = ( u 3 。：1 鼠) u 聊，a 3 = ( u 警l 鼠) u 召5 ，a 5 = u ；41 鼠，a = ( u 圣l 玩) u 玩容易验证每个( x ，以) ，i = 1 ，2 ，3 ，5 ，6 ，是 一个支撑数为s = 2 0 + i 的完全可分的t s ( 7 ，4 ) 口 引理2 2 3c d s s ( 9 ，4 ) = p ( 9 ，4 ) 1 6 ，1 9 证明由文献【8 】知道1 6 ，1 9 叠s s ( 9 ，4 ) ，因此1 6 ，1 9 叠c d s s ( 9 ，4 ) 并且由引理2 2 1 知p o ，4 ) 1 6 ，1 9 ，3 m 9 + 1 ，4 m 9 c d s s ( 9 ，4 ) 令x = 1 ，2 ，9 ) ，a 0 = 1 ，2 ，3 ) 和岛o = 1 ，2 ，1 2 ) 是x 上如 下的t s ( 9 ，1 ) ： 4 1 4 24 38 lb 2b 38 4魄 1 2 3 1 6 41 2 41 3 91 2 4 1 2 41 2 4 1 2 4 4 5 6 3 9 7 3 5 8 2 6 83 5 9 3 5 9 3 7 9 3 5 7 7 7 8 9 2 5 8 6 7 9 4 5 7 6 7 8 6 7 8 5 6 8 6 8 9 1 4 71 3 8 1 3 91 2 71 3 8 1 3 7 1 3 8 1 3 8 2 5 92 6 9 2 5 64 8 9 2 5 6 2 5 6 2 5 92 5 6 3 6 8 4 5 7 4 7 8 3 5 6 4 7 9 4 8 9 4 6 7 4 7 9 1 5 8 1 5 91 5 71 5 8 1 5 7 1 5 8 1 6 9 1 5 9 1 6 91 2 7 1 6 81 4 61 6 91 6 91 5 7 1 6 7 2 4 8 3 5 6 2 3 7 2 5 9 2 3 72 3 8 2 3 62 3 9 2 6 7 6 7 8 2 8 9 6 7 9 2 8 9 2 7 9 3 4 52 7 8 3 4 9 2 3 4 3 4 6 2 3 4 3 4 6 3 4 6 2 7 8 3 4 6 3 5 7 4 8 9 4 5 9 3 7 8 4 5 8 4 5 7 4 8 9 4 5 8 魄日7廖8岛b l ob l lb 1 2 1 2 41 2 31 3 9 1 3 9 1 3 8 1 2 3 1 2 3 3 5 74 7 92 4 8 2 4 7 2 4 9 4 5 8 6 8 9 6 8 9 5 6 8 5 6 7 5 6 8 5 6 7 6 7 9 4 5 7 1 3 8 1 8 92 7 9 2 8 9 2 7 81 4 9 1 7 9 4 6 7 3 6 73 6 83 6 7 3 6 9 3 7 8 3 5 6 1 5 61 4 64 6 9 4 6 9 4 6 8 1 5 71 5 8 1 7 91 5 7 5 8 9 5 7 9 5 8 91 6 81 4 6 2 3 6 2 6 91 2 6 1 2 6 1 2 62 4 7 2 5 9 8 2 7 82 7 81 7 8 1 7 81 7 92 8 9 2 6 7 3 4 9 3 5 9 2 3 5 2 3 5 2 3 53 4 6 3 4 9 4 5 8 3 4 8 3 4 7 3 4 83 4 7 3 5 9 3 7 8 2 5 9 2 4 51 4 5 1 4 51 4 52 5 6 2 4 8 则( y ，( u 薹1 a 。) u 魏) ( i = 1 ，1 0 ) 是个支撑数为s = 3 7 + i 的 完全可分的t s ( 9 ，4 ) 和瞵，( u 銎。a ) u b l 。u 8 。2 ) 是个支撑数为s = 3 7 的完全可分的t s ( 9 ，4 ) ，最后由引理2 1 5 知4 m 9 c d s s ( 9 ，4 ) 口 引理2 2 4 c d s s ( 1 3 ，4 ) = p ( 1 3 ，4 ) 证明由引理2 2 1 和引理1 3 知p ( 1 3 ，4 ) 3 m 1 3 + 1 ，3 m 1 3 + 2 ， ，4 m , 3 c _ c d s s ( 1 3 ，4 ) 现在令x = 1 ，2 ，9 ) u ，b ，c ，d ，并且 令a ，i = 1 ，2 ，3 和殇，j = 1 ，2 ，3 是一个x 上的如下的t s ( 1 3 ，1 ) ： 4 l ：l b d2 3 d 4 5 d6 8 d7 c d9 a d1 2 c 1 3 81 4 9 2 7 b2 8 9 3 4 73 5 b3 6 a 3 9 c4 6 c4 8 b5 7 9 1 5 a 1 6 7 2 4 a 2 5 6 5 8 c6 9 b7 8 aa b c a ：l a d2 6 d 3 5 d4 7 d 8 9 db c d1 2 b 1 3 4 1 5 6 2 5 a2 7 83 6 73 8 b3 9 a4 5 8 4 6 b 4 a c 5 7 c 1 7 9 1 8 c2 3 c 2 4 95 9 b6 8 a 6 9 ct a b a ：1 2 d3 6 d 4 8 d5 b d7 9 d a c d 1 3 71 4 b1 5 8 2 6 7 2 8 a2 9 b3 5 a 3 8 93 b c4 5 7 4 6 a4 9 c 9 1 6 c 1 9 a2 3 42 5 c5 6 96 8 b 7 8 c t a b 8 ，：1 2 d3 a d 4 6 d 5 b d 7 9 d 8 c d 1 3 71 4 a 1 5 8 2 6 8 2 9 b2 7 a3 4 b3 5 63 8 94 7 84 9 c5 _ c 1 6 9l b c2 3 c 2 4 5 5 9 a6 7 b6 a c8 a b 1 3 2 ：1 2 b3 8 b 4 6 b 5 9 b7 b ca b d 1 3 71 4 81 5 d 2 6 d 2 9 c 2 7 8 3 4 9 3 5 6 3 c d 4 7 d 4 a c5 弛 1 6 c 1 9 a2 3 a 2 4 55 8 c6 7 9 6 8 a 8 9 d 魄：1 2 c3 9 c 4 6 c 5 a c 7 8 cb c d1 3 71 4 91 5 d 2 6 d 2 8 a 2 7 9 3 4 a 3 5 6 3 8 d 4 7 d4 8 b 5 7 b 1 6 8l a b 2 3 b2 4 5 5 8 9 6 7 a 6 9 b9 a d 现在在x 上定义置换( 1 j 2 4 ) 如下 o i = ( 1 ，a ，7 ，9 ，6 ，3 ，d ，5 ，2 ) ( 8 ) ( 4 ，b ，a ) 叻= ( 1 ) ( 2 ，d ，a ，5 ，4 ，3 ) ( 6 ，9 ，7 ，b ，c ) o 3 = ( 1 ，9 ，