（应用数学专业论文）随机序下的最优再保险.pdf

a b s t r a c t c o m p a r i n gr i s ki sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h ei n s u r a n c ep r a c t i c ea n dt h e o r yo ft h e a c t u a r i a ls c i e n c e i nt h es t o c h a s t i co r d e r s e n s e ，w eh a v ec o n d u c t e dt h er e s e a r c hf 0 rt h e o p t i m a lr e i n s u r a n c e i ft a k i n ga l lt h er i s k sa sa s e t ，a n dg i v e ns o m e “r l d so fr e l a t i o n s mt h es e t ，w ed e r i v es o m ec o n c e p t i o no ft h eo r d e r s ，t h u sm a k eo p t i m a ld e c i s i o n s i n t h es t o c h a s t i co r d e rs e n s e ，w er e s e a r c ht h eo p t i m a l i t yo nr e i n s u r a n c ea n dg o ts o m e d e s i r e dr e s u l t s t h ec o n t e n to ft h ep a p e ri sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s t c h a p t e rw e d e s c r i b e dt h ec o n c e p to fr e i n s u r a n c ea n di t s f u n c t i o n ，a n ds o m et y p e so fr e i n s u r a n c e 锄dr c m s u m c e m a r k e t ，a n dt h ep o l i c yi nc h i n a ；i nt h es e c o n dc h a p t e r , b yi n t r o d u c i n g t h es t o c h a s t i co r d e r si np r o b a b i l i t yt h e o r y , w es t u d i e dt h eo p t i m a lr e i n s u m c ea 1 1 d d e r i v e dt h eo p t i m a ld e d u c t i b l ea l l o c a t i o n so ft h ee x c e s s o f - l o s sr e i n s u r a n c ei n t 1 1 e s t o c h a s t i co r d e r ；i nt h et h i r d c h a p t e r ,w es t u d i e dt h eo p t i m a lr e i n s u r a n c eo n m e a n - v a r i a n c ep r i n c i p l e f o rt h ei n s u r e r s b e n e f i t ，w ep r o v e dt h a tt h es t o p - i o s s r e i n s u r a l l c e1 st h eo p t i m a li n s u r a n c e ，s ow e9 0 tt h eo p t i m a lr e i n s u r a n c eo nv 撕a n c e p r e l m u mp r i n c i p l e i nt h ef o r t hc h a p t e rw es t a t e d t h e c o m p a r i s o no fs t o p 1 0 s s r e l i l s u i 孤1 c ep r e m m ma b o u td e p e n d e n tr i s k s w em a i n l yd i s c u s s e dt h ep r e m i u m c o m p a r i s o no fs t o p 1 0 s sr e i n s u r a n c ei n c o n c l u s i o n sa r em a d ef o rt h e p a p e r t h ei n d i v i d u a lr i s k m o d e l s f i n a l l y , t h e k e yw o r d ss t o c h a s t i cc o n t r o l o r d e r ；s t o p - l o s so r d e r ；c o n v e xo r d e r ；s t 6 p 1 0 s s r e i n s u r a n c e ；c o r r e l a t i o no r d e r 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：馅请 签字日期：加r 年月厂日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：何稽 签字日期：沪莎年月j 7 日 导师签名： 签字日期：年月 e t 随机序下的最优再保险 己i吉 j - 日 迄今为止，在风险理论的研究中，最优再保险的研究还没有一个统一的标准， 对最优再保险的定义和采用的证明方法等都各有不同，但总的来说研究最多的大 致有以下几个方向： 1 ( 1 ) b o r c h ，b e r g e n f l 9 6 1 ) v 考虑再保险的特殊形式风险交换( r i s k 、 e x c h a n g e 或r e c i p r o c a lr e i n s u r a n c e ) ，即多家保险公司将其承担的风险集合起 来，并按一定比例进行重新分摊，保费也按照同样的比例进行分配，以各家保险公 司损失分摊后的期望效用达到p a r e t o 最优作为标准，求解最优再保险的形式 ( 2 )从效用理论的角度进行研究，如d e p e r e z 和 g e r b e r ( 1 9 8 5 ) j ，y o u n g ( 1 9 9 9 a ，6 1 1 1 4 1 的文章，不同的是y o u n g 以保险公司在分保后 期望效用达到最大作为最优标准，并在w a n g 保费计算原理下求得最优再保险的 形式 ( 3 ) p e s o n e n m f 1 9 8 4 ) p 叫提出的理论原理是使原保险人风险的波动( 即 方差) 达到最小为最优，之后的理论大多以此为定义，但由于对风险函数的选择 和证明方法的不同，对最优再保险的研究又有许多不同的结果如 w h u r li m a n n ( 1 9 9 9 ) 考虑原保险人和再保险人的风险波动之和达到最小为最优 而k a l u s z k a m ( 2 0 0 1 ) 以在各种形式的矩保费计算原理下，以原保险人方差最 小作为最优，在各种形式的矩保费计算原理下，通过c a u c h y s c h w a r t z 不等式的 应用，得到一个统一的最优再保险的形式华东师范大学硕士研究生苑茹和浙江 大学硕士研究生曹玉松在各自的硕士学位论文中应用了新型风险函数，从再保险 双方的利益出发研究了最优再保险，得出一些比较好的结果 本文从风险排序的角度研究最优再保险风险比较是精算最本质的工作，从 而也更加概括和抽象，也是精算师工作的精髓所在在某种序关系下，对某类风 险进行比较，作出的决策也是在这种关系下的最优决策，也更具全局性本文的 安排如下：第1 章，简要地阐述了再保险的概念及功能，我国的再保险政策和再 保险形式第2 章，研究了随机序意义下的最优再保险和超额损失再保险中免赔 额的最优分配第3 章，研究了均值一方差序意义下的最优再保险形式，从保险 人利益的角度，得出停止损失再保险的最优性和得出标准差保费原理下最优比例 再保险形式：第4 章，研究了风险相依下停止损失再保险保费的比较问题 随机序下的最优再保险 第1 章再保险概述 1 1 再保险的定义及功能 再保险( r e i n s u r a n c e ) 是指保险人为了分散风险，在原保险合同的基础上， 通过签订分保合同，将原承保责任的一部分或全部转移给另一个保险人的一种保 险方式 ， 原保险人的风险转移可以是一部分也可以是全部，前者称为部分再保险，后 者称为全部再保险现实中的再保险业务大多为部分再保险在再保险中，转移 风险责任的一方或分出保险业务的公司叫原保险人或分出公司，承受风险责任的 一方或接受分保业务的公司叫再保险人或分入公司；分出公司自己负责的那部分 风险责任叫自留额，转移出去的那部分风险责任叫分出额分出入公司所接受的 风险责任还可以通过签订合同再分摊给其他保险人，称为转分保分出公司在分 出风险责任的同时，把保险费的一部分交给分入公司，称为分保费；分入公司根 ，据分保费付给分出公司一定费用用以支付分出公司为展业及管理等所产生的费 用开支，叫做分保佣金或再保险手续费当再保险合同有盈余时，分入公司根据 分保费付给分出公司的费用称为盈余佣金，也叫纯益手续费 ， 据瑞士再保险公司的初步估计，2 0 0 3 年全球有2 0 0 0 0 人因自然和人为巨灾 而丧身，因巨灾造成的经济损失预计为6 5 0 亿美元需要由世界各国的财产保险 公司支付的损失约为1 7 0 亿美元属于保险公司承保的并超过1 0 亿美元的损失 共有5 起s i g m a 的统计显示，灾害损失分布于全世界各地而2 0 0 3 年的自然 巨灾损失远远超过了人为原因的灾害 随着社会经济的发展和现代科学技术的广泛应用，一次事故可能造成的物资 损毁和人身丧亡程度不断扩大自八十年代后期以来，自然灾害每年都会造成上 百亿美元的损失( 除去通货膨胀因素，1 9 8 7 年以来的年平均损失为2 0 0 亿美 元) 2 0 0 3 年的数字进一步证实了损失走高的趋势，这个情况主要是由于部分地 区人口日益稠密，保险价值高度集中及面临危险的区域的发展 一 面对各种灾害造成的巨大损失，再保险对保险公司特别是财产保险公司的风 险分散起着十分重要的作用但随着知识水平和经济能力的提高，个人高额保险 单及团体保险的日渐增多，再保险在人寿保险公司中的重要性也相对提高因为 再保险的业务范围很广，它能把不规则的偶发性的巨大自然灾害和意外事故责 任，在同行业之间共同分担近年来，随着灾害事故频频发生以及损失的不断扩 3 硕士学位论文 大趋势，而再保险市场对风险的承担能力有限，出现了巨灾证券化等新方法，使 得风险的分散进一步扩大到证券市场，使得保险人承担的责任能取得更大范围的 平衡在本文中，我们探讨的主要对象还是传统意义上在原保险人和再保险人之 间进行的再保险活动 综上所述，再保险的基本功能在于分散风险或责任任何保险人的资金和承 受风险的能力都是有限的为了保持保险业务正常经营和保险人的财务稳定，避 免承保的风险过于集中，对于超过原保险人自身承受能力的危险，原保险人通 过再保险，在同行业之间相互分散风险这样可以把许多保险公司的承包力量集 合到一起，实际上起到了联合积聚资金，扩大承受能力的作用可以证明，通过 再保险不仅使原保险人减少了风险，而且原保险人和再保险人积聚的资金，能够 比原保险人单独承保时等额的资金发挥更大的作用这样从整体的角度来说再保 险使得资金应用得到了优化 再保险还在财务上起着以下的重要作用 ( 1 ) 增加了资金的使用量，优化了资源配置 原保险人分保后，不仅原保险人自己的资本金要求降低了，而且总体的资本金要 求也降低了：这样使得一部分社会资源可以用于更优的途径，优化了资源配置 ( 2 ) 再保险降低了保险人经营成本 - 保费一般由纯保费和附加保费构成，附加保费中包含了为抵消标的风险波动的安 全附加和保险人的经营管理的费用和正常经营利润原保险人投入再保险后一部 分收入和利润转移给再保险人然而，通过再保险，原保险人扩大了承保能力而 在比例再保险中通常还有回头业务再保险能增加业务量保险人业务量增加后， 在一定限度内他的管理费用和办公费用等固定费用并没有随之增加，这样就减少 了平均经营成本，抵消了部分利润减少的影响此外，原保险人投保比例再保险 后，再保险人要给付原保险人分保佣金，若分出的业务有盈余，再保险人还会给 盈余佣金因此，虽然原保险人分出业务减少了一部分利润，但如果经营得当， 原保险人还是有利可图的 ，( 3 ) 有利于原保险人维持财务稳定 保持财务稳定性是保险经营过程中一个重要的目标任何一位管理者都不希 望财务状况起伏不定，而是希望收入和利润能够保持平稳增长然而，保险企业 有它的特殊性，什么时候发生理赔，赔付额多少都是无法预料的保险人只能在 积聚大量风险单位的基础上，按照大数法则，将微观的随机性化成宏观的必然性， 准确地预测未来可能的事故频率和索赔额，提取准备金，实现保险企业的平稳经 营但是有两类风险标会对保险人的经营造成巨大的冲击 ， 一类风险是承保巨额风险标的引起的这类风险标的保险金额高，风险单位 少，由于风险单位少，作为解释保险经营机制的大数法则也无从说起实际损失 4 随机序下的最优再保险 与预期的差异将很大j 由于保险人的资金大多通过投资以资产形式增值，而资产 立即变现会损值所以一旦遇到巨额现金赔付，将对保险人的财务稳定造成冲击 ? 另一类风险即所谓的风险积累例如，我国的企业财产保险把地震，洪水作 为可保险或作为附加险，这样做对社会是有利的然而，保险人却要承担很大的 风险，这类巨灾一旦发生，对保险人来说是一个沉重的负担 对于这两类风险，再保险也是一种分散风险的有效途径一方面，原保险人 把大量的风险分出去，自己只承担自留额内的风险，从而把风险控制在确定的范 围内，减少了巨额索赔对财务的冲击和影响，为原保险人解除了“后顾之忧 ， 有利于原保险人制定科学的管理方案和发展计划，实现业务的平稳增长另一方 面，对于这两类风险，大数法则存在的前提已经丧失，但是，由于再保险的赔偿 责任并不只是由于一个再保险人承担，往往是再保之后还要再保由此可见，大 数法则并不仅仅局限于风险单位的数量，再保险人的数量也能实现大数法则因 此，再保险从实务角度推广了大数法则的含义 。 ( 4 ) 有利于原保险人经营核算，如实反映经营业绩 前面两类风险一旦发生：保险人的收益曲线上就产生了_ 个很大的缺口，而 再保后”一方面减少了巨灾对财务稳定性的影响，另一方面缩小了收益曲线上的 缺口，避免了保险人利润的大起大落有利于保险人经营核算，也能在报表中如 实反映经营状况 1 2 再保险的分保方式 1 2 1 比例再保险 比例再保险是指分出人与分入人相互订立合同，按照保险金额比例分担原保 险责任的一种分保方法在比例再保险中，可以分为成数再保险、溢额再保险和 混合再保险 成数再保险( q u o t as h a r er e i n s u r a n c e ) ：，( y ) = a y ， 其中0 a l 称为成数。 “成数再保险是最简单的一种再保险方式原保险人将每一风险单位的保险金 额，按双方商定的固定比例即成数确定原保险人的自留额和再保险人的分保额， 再保险费、赔款的分摊均按同一比例计算 ：溢额再保险：，( 】，) = io 】，, 一y d 6 其中b 称为原保险人的自留额 超额赔款再保险中的风险y 是指某次事故的风险随机变量超额再保险也 可以是非比例再保险的通称，但这里指的是以赔款额度作为自留和分保界限的一 种分保方式，在运用中也分为险位超赔分保和事故超赔分保 险位超赔分保是指以每一风险单位一次事故中有限风险单位所发生的赔款 金额来计算自留额和分保额 。 事故超赔分保是以一次事故所发生的赔款总和计算自留额和分保额，即一次 事故中许多风险单位同时发生损失，责任累积额超过自留额，由接受公司负责 损失中止超赔再保险或赔付率超赔再保险( 也叫停止损失再保险( s t o p l o s s r e i n s u r a n c e ) ) ：，( 】，) = ( 】，一6 ) + = 多二麦多 6 其中b 称为原保险人的自留额 停止损失再保险是按年度赔款累计总额或按年度赔款与保费的比率来计算 自留额和分保额这是在一定期间内控制风险的一种方式 1 3 我国再保险市场与政策 1 3 1 再保险市场 相对于国外成熟的再保险市场，我国再保险起步较晚从1 9 7 9 年国内恢复 保险业务至1 9 8 8 年，国内的保险业主体只有中国人民保险公司一家，再保险业 务亦由其专营此后建立的平安保险和太平洋保险相继开始经营商业分保业务， 国内的在保险业务实际上大多由商业保险公司兼营1 9 9 6 年成立中保再保险有 限公司，这才出现了我国第一家经营再保险业务的专业公司1 9 9 9 年3 月，中 国再保险公司( 下称“中国再 ) 组成建立在2 0 0 3 年底，中国再重组，成立了 中国再保险( 集团) 公司，并设立三家股份子公司，其中包括中国财产再保险股 份有限公司，中国人寿再保险股份有限公司 6 随机序下的最优再保险 除了本土的中国再外，越来越多的著名再保险集团也随着中国保险市场的开 放逐步进驻慕尼黑再在0 3 年1 0 月成立了北京分公司；瑞士再在0 3 年1 2 月成 立北京分公司；通用科隆再于0 4 年6 月成立了上海分公司此外还有安裕再， 汉诺威再，法国再，大韩再等再保险公司，都在北京或上海等地设有代表处这 些知名再保险公司的进入推动着我国再保险市场甚至直接推动保险市场的发展 与完善 成熟的再保险人除了作为高风险的承担者，即承担高额风险，次标准体风险 和特殊风险外，还开始与保险人进行更多方面的合作，、诸如产品开发、营销、核 保、风险评估、理赔、风险管理、资产管理等以人身险为例，平安与瑞士再保 险合作引入了后者的全球核保手册( g u m ) 此外，科隆再保险公司也参与了多家 保险公司关于新型医保产品的开发事实上，每家再保险公司都各具特色，这无 疑会极大的繁荣我国再保险市场，改变我国再保险市场略显单一的现状 ， ， ： 1 1 3 2 我国再保险政策 ： 从整个中国再保险市场分保的发展过程来看，9 5 年颁布的中华人民共和 国保险法第9 9 条规定：“保险公司对每一危险单位，即对一次保险事故可能造 成的最大损失范围所承担的责任，不得超过其实有资本金加公积金和的百分之 十，超过的部分，应当办理再保险第1 0 0 条规定：“保险公司对危险单位的计 算办法和巨灾风险安排计划，应当报经金融监督管理部门核准第1 0 1 条规定： “除人寿保险业务外，保险公司应当将其承保的每笔保险业务的百分之二十按照 国家有关规定办理再保险，这第1 0 1 条规定一直延续到我国加入w t o ，我国按 照承诺，入世后每年将按5 的比例逐年降低法定分保，直至2 0 0 6 年完全取消这 项承诺从一定意义上给予保险公司对再保险安排的自主性与灵活性但这种灵活 性也给保险公司带来不小的挑战，由于长期强制的法定分保，保险公司的分保意 识和分保技术还比较薄弱，再保险的精算理论研究很少即使近几年对再保险的 研究越来越得到关注，但精算上较多的理论成果，由于过程冗长，结果复杂，应 用背景的缺乏，导致其在实际中的应用仍然相对落后，并没有起到其应有的指导 和参考作用 7 硕士学位论文 第2 章随机序意义下的最优再保险 在风险领域的决策中，常常需要比较两个随机变量的大小例如在金融和保 险精算领域，风险以及风险的比较是一个重要内容在以前，人们在研究风险问 题时，都是给出风险的量化指标，但是，这种量化指标只是风险的某种特征，不- 能代表整个风险，并且没有一种共识的度量方法1 9 6 2 年，金融领域出现了第 一篇关于随机序的文章，开始从建立偏序的角度来比较风险特别是在证券组合 领域，随机序的引进对一直沿用的m a r k w i t z 方法提出了挑战因为随机序方法 缩小了可供选择的组合的有效集，从而提高了证券组合优化划分的精度在保险 精算领域，1 9 6 1 年b o r c h 将效用函数引进保险精算领域，从经济学的角度来解 释保险理论和实务随后，随机序在风险理论中运用越来越广泛，成为在信度理 论、破产理论、生存分析、再保险等问题中研究的重要工具 随机序实际上是随机变量之间的一种序关系依据集合论的观点，在集合中 给出某种关系就可以建立某种序的概念，这种序往往是偏序风险即非负随机变 量，所有风险构成一个集合一般情况下，我们不能直接说出两个随机变量那个， 更大，因为他们的取值是随机的但是，我们可以比较随机变量的某些特征量， 例如均值、方差、分布函数、矩母函数等，从而定义随机变量之间的大小关系， 这种关系即为随机变量之间的“随机序” 2 1 随机序 在定义随机序之前，首先，我们给出概率论中几个引理 引理2 1 1 ( j e n s e n 不等式) 【2 8 】如果“( x ) 是一个凹函数，y 是一个随机变 量，则e “( 】，) “( e 【】，】) ；如果“( x ) 是一个凸函数，则e 甜( 】，) 甜( e 【】，】) 定义2 1 1 ( 风险厌恶型决策者) 假设某人在多个风险中作出决策，使用 的是单调增凹效用函数材( ) ，则称这个决策者为风险厌恶型的 根据j e n s e n 不等式，假设某人初始财富为w ，若他面临的一个不确定性损 失工，则有e l ( w z ) 甜( e 【w x 】) = 甜( w e 【x 】) ，因此他宁愿支付固定数 额的e 【x 】，而不愿意面对随机损失x 因此称此人为风险厌恶型的 随机序下的最优再保险 两个随机变量之间若要比较大小，则这种大小关系是一种偏序因此我们首 先定义“偏序 的概念 定义2 1 2 ( 偏序) 设s 是任一个集合，在s 上给出某一个二元关系“ ， 对任意x ，y ，z s ，如果关系“ 满足 ( 1 ) 自反性x x ； ( 2 ) 传递性若x y ，】，z ，贝0x z ； ( 3 ) 反对称性x y ，y x ，则x = y 则称二元关系“ 为s 上的一个偏序，给出偏序”的集s 称为偏序集 在概率论中，对随机变量之间的比较，有多种定义方法，在本章，我们将定 义需要的随机序 定义2 1 3 ( 较大风险) 2 8 1 对于两个随机风险x 和】，若存在一对( x 。，l ，) ， 使得x x 且p r x y 】= 1 ，则称y “大于 z 这里对这个定义举例简要说明以石记5 次投掷一枚均匀硬币出现正面的 次数，以】，记6 次投掷另一枚非均匀硬币的出现正面的次数，这里非均匀硬币每 次投掷出现正面的概率p 1 2 如果x 和y 相互独立，则事件x y 的概率非零 现在构造x 一x 使得p r x 】，】= 1 ，其中x x 表示x 与x 同分布，下 同我们按如下方式进行投掷以概率p 出现正面的非均匀硬币6 次，出现正面的 次数记为】，在前5 次的投掷中，每当出现正面，我们立即投掷另一枚以概率 z p 出现正面的硬币以x 记第二枚非均匀出现正面的次数，则x b ( 5 ，l 2 ) ，与x 同分布，因为第二枚硬币在前5 次可能的投掷中每次中能够成功( 出现正面) 的 概率为p 石1 显然，x 与y 不独立，且p r i x 】，】= 1 定理2 1 2 ( 较大的随机变量有较小的分布函数) 【2 8 】存在一对随机变量 ( x ，】，) 使得x x 且p r 【x 】，】= 1 当且仅当最( x ) e ( x ) 或f x ( z ) 万r ( x ) 对 任意的x 0 成立，其中f x ( x ) = 1 一最( z ) 为生存函数， 定义2 1 4 ( 随机控制序) 若风险y “大于 风险x ，则称x 在随机控制序 意义下小于y ，记作x 吖y 9 硕士学位论文 定理2 1 3 ( 随机控制序和单调增效用函数) x 毛y 当且仅当 e 甜( 一x ) - - e l - “( 一】，) 对每个单调增效用函数“( ) 成立 证明j 如果e “( 一x ) e “( 一y ) 对每个单调增函数“( ) 成立，那么 该不等式对特殊函数h d ( y ) = l 一。，一d ) ( y ) 也成立而e 卜x 】 即为 p r ( x d ) ”乍” 如果x 盯y ，则对某个x 一x ，有p r x l ，】= 1 ，所以 e ”( 一x ) e “( 一】，) ，证毕 所以，x 吖y 完全等同于使用单调增效用函数的所有决策者对损失风险x 和y 的偏好排序 定义2 1 5 ( 较重的尾) 对于两个风险x 和】，如果e 【x 】- 叫，】，且存在 某个实数而使得当x x o 时v r x x 】p r y x o 时， p r x x 】p r y _ x 】，则称】，的尾重于x 的尾 如果】，的尾重于x ，则可以证明停止损失变换；t x ( d ) = e e ( x - d ) + 与 7 r ( d ) 不相交因为，当d = 0 时，研( d ) 一九( d ) = 0 ( 因为x 和y 的均值相等) ； 当j _ 时趋于研( d ) 一巩( d ) = o ，并且当研( d ) - z r x ( d ) = e ( d ) 一目( d ) 为正 时单调增，否则单调减因此，y 的尾重于x 的尾蕴涵了l ，具有较大的停i 卜榀安 保费( 这里称纯保费死( d ) 为停止损失保费) 对于停止损失保费可排序的两个随机变量，我们有如下的定义 定义2 1 6 ( 停止损失序) 设x 与】，为随机变量，若对任意d r ，有 e ( x - d ) + e ( r - d ) + ，则称x 在停止损失序意义下小于y ，记为x 毛y 随机控制序与停止损失序具有下列性质 ( 以) 若e g ( x ) ，e g ( 】，) 存在，则x 盯y 对任意非减函数g ，有 e g ( x ) e g ( r ) ： ( 6 ) 若e g ( x ) ，e g ( r ) 存在，则x 矧 ( x , m ) ) 】：e 【云( 善( 置m ) ) 】若甜= ( d z + 盼一，们a 一 贝。有j ( 二) ，( d ) 下面用反证法，假设d t d ： 考虑函数g ( 五，而) = x l a d + x 2 a d 2 ，则g ( 五，而) 是五的增函数，由于4 - d 2 ， 则g ( 恐，五) 一g ( ，乇) = - x l a d i - x 2 a d 2 + + x l a d 2 + x 2 a d l 当五恐也是 的增函 数由引理2 2 1 ，则有 g ( 置，五) ，g ( 五，五) ，即 i _ 。 五人畋+ x 2 a d l ，x , a d 2 + + x ：a d , ， 因此有x i a d 2 + 置人4 + x , a 4 j ，x i a d ：+ 置人4 + x i a d i ， 所以 j ( d 、) = e 瞄( 五人破+ 五人4 + 五人z ) 】 e 【磊( 五a 吐+ 置人4 + xx , a d , 。，( 西) = ，( d ) 上式中不等号是因为停止损失序保持增凸数的期望这与 ( d ) = m d 叭i n 研磊( 丢( 五心) ) 】= 研品( 善 1 ( 置m ) ) 】的导小化矛盾，因此西畋 上面的结论说明，在失效率序意义下，对风险大的保单分配较多的免赔额， 对风险较小的保单分配较少的免赔额 硕士学位论文 第3 章均值一方差序意义下的最优再保险 在经济学中，当人们要在两个潜在的损失中作出选择时，人们通常偏好具有 较小的均值的损失风险如果两个风险有相同的均值，那么一些决策者往往选择 具有较小方差的那个风险 ， 下面要在均值一方差序意义下给出最优停止损失再保险和最优比例再保险 3 1 停止损失再保险的最优性 定义3 1 1 对于两个随机风险x ，y ，若科x 】e r 】，则称j ，优于x ；或 者当e 一】= e r 】时，有哳【】v a r y 】，则也称】，优于x ，这种随机序称为均 值一方差序，即】，在均值一方差序意义下优于z 原保险公司( 这里称为保险人) 通常只承担风险的一部分，而将更多的风险 转嫁给再保险公司( 称为再保险人) 相对于再保险人，我们假定保险人是厌恶 风险的，并且在再保险费( 这里考虑纯保费，即为分出风险的期望值) 相等的情 况下，从保险人的角度，利用均值一方差序得出停止损失再保险的最优性 定义3 1 2 设在某个保单组合中保险人承保的总风险为x ( x 可能为某些 随机变量的总和，假设x 0 ，即风险总是非负的) ，则停止损失再保险定义为 ( x 卅+ = m a x x 以o ) - 毒卅堂鎏 即保险人将超过自留额超过d 的风险转嫁出去，将d 称为保险人的自留额， 称这种风险为停止损失再保险 引理3 1 1 对于停止损失再保险合同，其纯保费研( x d ) + 】称为停止损失 保费，记为研( d ) 则有 fyf x - d ) f x ( 工) ( 离散情形) 1 巩( d ) = 札( x - d ) + 2 ix 纾； d 一 - - d ) 厶( z ) ( 连续情形) = 口【1 _ - ( x ) 】? ( 3 1 ) 证明只证明连续情形，对于离散时的情形类似可证由分部积分得 ( x - d ) + = f ( x d ) f x ( x 皿= 一( x d ) 【1 ( x ) 卜f 1 - f x ( x ) k ， 因为e 【x 】 ，积分f 坑( x 沙收敛，所以“尾”趋于o ，因此有 1 6 随机序下的最优再保险 虹1 一最( x ) = xr ( ，砂j c o 吮( f p 山o ( 当x 一时) ， 黼- - ( x d ) 【1 一b ) 虻哼o ，即有( 3 1 ) 式成立 下面在均值一方差序意义下给出了停止损失再保险的最优性，叙述如下 j 定理3 1 2 ( 停止损失再保险的最优性)用i ( x ) 记当损失为x ( x 0 ) 时，某再保险合同约定的理赔支付，o i ( x ) v a r x 一( x d ) + 。证明 由( 3 1 ) 可知，以( d ) = 疋( d ) - i ，又因为兄( x ) = p r x x 】，所以 每个分布函数都是右连续的，因此，它具有右导数从而鲰( d ) 是一个连续函数， 而旦只要b ( d ) 1 则它于d 就是严格递减，并且有x x ( o ) = e x 】， ，f 7 x ( o o ) = 0 所以对于每一，( ) ，我们总能够找到一个自留额d 使得等式两边的 期望相等将自留额风险写成如下的形式 y ( x ) = x 一，( x ) 和 矿( ) = x 一( 一d ) + 因为有 y ( j ) = e ( x ) ，所以只需证明 一 e ( y ( x ) 一d ) 2 e ( ( x ) 一d ) 2 即可 上式成立的充要条件是i y ( x ) 一d l i 形( x ) 一d i 以概率1 成立当x d 时这 是显然的，因为此时w ( x ) - d ；当x d 时，我们有形( x ) 暑x ，于是 v ( x ) - d = x 一( x ) 一d x d = w ( x ) - d 0 因此有e ( y ( x ) 一d ) 2 e ( 形( x ) 一d ) 2 ，即砌r y ( x ) v a r e g ( x ) ，证毕 上面的定理说明，在再保险的纯保费相同的情况下，停止损失再保险将使 保险人方差达到最小，即风险最小 这个定理可以推广：在均值一方差序意义下，可以证明，停止损失再保险不 仅使自留的方差达到最小，同时还使原保险人的期望利润达到最大下面证明这 个结论 1 7 硕士学位论文 停止损失再保险的期望利润最大：假设保险人收取保险费( 1 + 臼) e 【x 】，正 寻求最有利的再保险，( z ) 满足o j ( x ) x ，使得在自留风险的方差为给定的 值盯2 ，即玩， x j ( x ) = 仃2 为确定的时，保险人的期望利润最大 假设再保险人的再保费也是利用期望值原理定价的即再保费为 ( i + 2 ) e e i ( x ) ，其中五为再保险公司的安全负荷系数因此，保险人的利润等 于所收取保费减去自留风险的期望以及再保费，保险人的期望利润为 ( 1 + 秒) e 【x 卜e x 一，( x ) 一( 1 + 五) e ，( x ) = 秒e 【x 卜力e ，( x ) 显然，对保险人而言，我们必须使得再保险公司的期望利润达到最小因此， 产生了下面的最小化问题 m i n e ，( x ) 且使得哳 x 一，( x ) = 仃2 ( 3 2 ) 由前面的以( d ) = b ( d ) 一l 和f x ( d ) 的右连续性可知，( d ) = e x 一( x d ) + 以及盯2 ( d ) = 陆 x 一( x d ) + 是d 的连续函数，而且注意到( o ) = 盯2 ( o ) = o ， t ( o o ) = 引x 】和盯2 ( ) = v a t x 对损失随机变量x ， 画出点集 ( ( d ) ，仃2 ( d ) ) f d 【o ，) ) 的大致示意图 图3 1 由定理3 1 2 知：其它再保险合同，( ) 的均值和方差所对应的点只能在点 1 8 随机序下的最优再保险 ( ( d ) ，仃2 ( d ) ) 所构成的曲线的上方( 图中阴影部分) ，因为在均值相同时，其它 再保险类型的方差至少不小于停止损失再保险的方差由此我们可以推断，非比 例停止损失再保险是( 3 2 ) 的最优解其它任何的再保险的解决方案都不可能同 时使得保险公司的方差更小，而且期望利润更高 3 2 比例再保险的最优性 假设保险人收取保费( 1 + 口) 叫x 】，而再保险公司根据方差原则收取保费， 即 万 ，( x ) = e ，( x ) + 口砌， ，( x ) 下面寻求最优的再保险，( x ) 满足o i ( x ) x ，且自留风险的方差给定如 下 一 。 v a r x - i ( x ) = o 2 保险人的利润等于所收取的保费减去自留风险期望值以及再保费，具体形式 如下 ， ( 1 + 口) e 【x 】一 x 一，【x 】 一( e ，( x ) + 口砌，- 【x 】) = p e 【x 卜口哳 ，( x ) 对保险人而言，我们必须使得再保险公司的期望利润达到最小因此，产生 了下面的最小化问题 ， ，一 一 i i l i n 玩， j ( x ) 且使得v a r x i ( x ) = 盯2 ( 3 3 ) 首先， 、 v a r i ( x ) = v a r x i + v a r i ( x ) - x - 2 c o v x ，x - i ( x ) 因为，跏【x 】是确定的，而v a r i ( x ) - x = c r 2 ，从而右边的前两项是固定的， 所以左边的最小化等价于协方差的最大化而因为x 和x - i ( x ) 的方差是给定 j 的，所以协方差的最大化就要取，( 石) = 7 + x 使得x 和x 一，( x ) 完全线性相 - ， 关由o ，( 工) 新寻尸。和o 1 再由( 3 3 ) 得( 1 一) 2 = 盯2 v a r x 因此， 如果给定自留风险的方差，且再保险公司采用方差原则，则比例再保险 ，( x ) = x 是最优的，其中= l 一仃2 砌，【x 】 1 9 硕士学位论文 第4 章风险相依下停止损失再保险保费的比较 本章主要考虑在个体风险模型中若存在变量之间相依时的再保险保费的比 较 设刀为保单数，置为第i 张保单的索赔，则该保单组合中总索赔量为 s = 五+ 五+ + ，若将该保单参加停止损失再保险，则停止损失再保险的再 保费为p = e ( s d ) ，其中d 为停止损失再保险的免赔额 一般地，当我们计算上面的再保费时，我们总假设x i o = 1 ，2 ，玎) 为独立同 分布随机变量此时，若知道五的分布，则可用随机变量卷积法或矩母函数法 求s 的分布，因而保费p 容易求得 然而，在保险实务中，置( 汪l ，2 ，甩) 为相互独立的假设未必成立例如， 研究表明，夫妻之间的寿命存在一定的相关性，当夫妻一方死亡时，将对另一方 的寿命产生影响：同一架飞机或车上的乘客面临的风险也是有相关性；同一地区 的车辆可能同时发生交通事故等等 若考虑置( f _ l ，2 ，力