（应用数学专业论文）非线性项可变号的奇异微分方程的正解.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名； 狠黎黎 导师签字： 学位论文版权使用授权书 翻吁强 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权兰 蕉j 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 狠黎黎 签字日期：2 0 0 7 年4 月f 罗目 导师签字：l ，韧嚅孩 签字日期；2 0 0 7 年相j 晌 山东师范大学硕士学位论文 非线性项可变号的奇异微分方程的正解 张黎黎 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 奇异微分方程初，边值问题的研究近年来获得了很大程度的发展。奇异型微分 方程是近十年来十分活跃的微分方程理论的重要分支。目前已经得到了很多不同条 件下解的存在性结果，例如，国内的杨光崇f 1 9 。1 ，”，葛渭高f 1 3 t ，国外的d o n a l o r e g a nf ”q t 仁3 一矧，r a v ip a g a r w a l 【1 一q ，【1 5 1 1 和s t a n e k 舯8 】等都已经做了很多研 究工作，目前研究的大多是非线性项， o 时正解的存在性【0 9 l ，【2 2 t 船一删，歹可 变号时正解的存在性岫2 研究的还很少本论文研究的就是，可变号时正解的 存在性本论文共分三章，主要利用锥上的不动点指数理论来讨论奇异以及非线性 项可变号对微分方程所产生的影响，从而得出非线性项可变号的一阶奇异微分方程 和二盼奇异微分方程初边值问题的正解 在第一章中，我们研究二阶非线性奇异初值问题正解的存在性 f ”( f ) = 西0 ) ，( t ，p ，矿) ， z ( o ，硝， i 磐( o ) ；y 7 ( o ) = o ， 其中，( ，玑7 ) 可变号并且在= 0 和y = 0 处奇异 在第二章中，我们研究二阶非线性奇异边值问题正解的存在性 南 冶，( 站) ，蛔o v o 湾o k 烈i 砖) _ o o o 时，( 】) 和( 2 ) 正解的存 在性他们利用条件，( 口) ，( ，“，p ) s ( t ) b ( p ) + r p ) 】；( 6 ) ，( f ，t ，p ) 皿h l ( ) 7 ， ( ，“，p ) o ，1 】【o ，日】( o ，纠通过构造不带奇异的近似方程使问题得到解决本论 文的前两章将他们研究的问题改进，考虑，变号时正解的存在性解决的方法是：通 过构造特殊的算子序列并结合类似于( a ) 的条件以及，8 ，暂，船7 ) 声( t ) ，l 船，| 5 ， 使非线性项，( ，玑刀7 ) 克服，变号以及在口= o 和( 或) 硝= 0 处奇异带来的困 难。再用锥上的不动点指数定理得到算子序列的不动点，然后用a s c o l i 定理得出 山东师范大学硕士学位论文 所研究方程的近似解 在第三章中，我们研究一阶非线性奇异初值问题正解的存在性 2 q ( 蝴，f ) ，。( o ，卅， ( 3 ) 【掣( o ) = o ， 其中，( t ，) 可变号并且在= 0 处奇异 d o n a lo r e g a n 和勘mp a g a r w a 删曾经讨论过这个问题，他们用了两个比 较特别的条件来克服，变号和奇异带来的困难t( 1 ) 存在一个不增的常数列风 且h m = o 。使，( f ，p ) o ，吖礼s st ；( 2 ) 存在一个函数a c 【o ，引n g 1 ( o ，t 1 ，d ( o ) = o ，n ( t ) o ，t ( o ，卵，使g ( t ) ，( t ，掣) a ( t ) ，0 ，) ( o ，卅( ( o ，o o ) ：暑， 0 【2 2 ，2 8 一圳 b u tt h e c a s e ，c a nc h a n g es i g n f 6 9 2 订i ss t u d i e dv e r yl i t t l e n o wi nt h e t h e s i sw ew i l ld i s c u 鹃 t h ec a s el a t t e r t h et h e s i sc o n t a i l l st h r e ec h a p t e r s w ew i l ls t u d yt h ep o s i t i v es o l u t i o nf o rt h e i n i t i a la n db o u n d a r yv a h l ep r o b l e r 璐o ft h es e c o n do r d e ra n d6 r s to r d e rs i n g u l a r d i 圩毫r e n t i a 】e q u a t i o n su s i n gt h e 缸e dp o i n ti n d e xt h e o r yo nac o n c a tt h cs a m c t i m ew ec o n s i d e rt h ea f f 色c t so ft h es i n g u l a r i t ya n dt h ec h a n g i n gs i g no nd i 成r e n “a l e q u a t i o n i 王lt h e 丘r s tc l l a p t e r ，、ec o n s i d e rt h ei n i t i a ls i n g u l a rq u 髑t i o n ： - 圣o ) ，o 艚，) ，t ( o 巩 ( 1 ) l ( o ) = 暑，( o ) = o ， w h e r e | 厂( ，”，暑r ，) c a nc h a n g es i g na n db es i n g u l a ra tp = 0o r ( a n d ) 暑，= 0 i nt h es e c o n dc h 印汩，w ec o n s i d e rt h eb o u n d 哪7s i n g u l a rq u c s t i o n ： 南晒o h ，( d ) ，+ 口( t ) ，o 艚( t ) 烈”矿o ) ) = 0 0 引“， ( 2 ) 【。骧p ( 。) 巾) 2 可( 1 ) = o ， w h e r e ，( t ，暑，p 矿) c a nc h a n g es i g n 强db e8 i n g u l a ra t 掣= oo r ( a n d ) 鲫= o d o n a l0 r e g a na n d 勋“p a g a r l r a l l l t 刭d i s c u s s e dt h e 出t e n c eo fp o s i t i v e8 0 - l u t i o nf o r ( 1 ) a n d ( 2 ) t h e yl l s e dt h ec o n d i t i o m ：( a ) ，( t ，t ，p ) s ( u ) b ( p ) + r ( p ) 】； 3 山东师范大学硕士学位论文 ( 6 ) ，o ，p ) 雪片l ( t ) “，( t ，牡，p ) o ，1 】1 0 ，日】( o ，l 】a n dt h e nc o i l s t r u c tt h e a p p r 0 】c i m a t ee q u a t i o nw i t h o u ts i n g u l a r i t yi nt h 酷et w oc h 印t e r sw ei m p r a v et h e i r w o r ka n dc 0 i l s i d e rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sw h e n ，c a nc h a n g es 远n a 1 1 db es i n g u l a r w 毡c o n s t r u c ts p e c i a lo p e r a t o ra n dl l s et h ec o n d i t i o n ：，( t ，t 正，名) 卢( t ) ，1 名i 占t oo v e r c o m e 七h ed i m c u l t yf r o mt h es i n g u l a r i t ya n ds i g nc h a n g i n g i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h e 矗r 8 to r d e rs i n g u l a ri n i t i “q u e s t 幻n ： g ( 。) 2 口o ) ， ，) ， ( o ，卅， ( 3 ) 、o ， i 掣( o ) = o ， w h e r e ，( ，暑，) c a nc l l a n g e8 i 髓a i l db es i n g u l a ra t 掣= 0 d o n a l0 r e g a na n ( ir 吖ip a g a r w a l | 。】ha _ v ed i s c u s s e dt h i sq u e s t i o ni n1 9 9 8 t h e y u s e dt w os p e c i a lc o n d i t i o 璐t oo v e r c 伽et h ed i 盛c u l t yf r o mt h es i n g u l a r i t ya n ds i g n c h a n g i n g ：( a ) t h e r ei sau n i n c r e a s i n gc 0 i l s t a n ts e q u e i - c e 加a n di i m n 一m = 0 ， ，( f ，力芝o ，叫n tst ；( b ) t h e r ei saf u n c t i o n 口e 【o ，刀n e l ( o ，丁】，( o ) = o ，n o ) o ，f ( o ，刁，口( ，9 ，) ( t ) ，o ，! ，) ( o ，明x 0 时，奇异初边值问题正 解的存在性他们将，( t ，让，p ) 用几个单调非负函数来控制，并且当p 充分靠近o 时，( t ，u ，大于等于皿h ，l ( t ) u 7 ，然后通过构造不带奇异的近似方程使问题得到 解决本论文将他们讨论的问题改进，考虑，变号时正解的存在性，通过构造特殊 的算子序列并结合条件，( t ，“，p ) 口( t ) ( 当p 充分靠近0 时) ，使非线性项，( ，t ，p ) 克服，变号以及在u = 0 和( 或) p = o 处的奇异带来的困难，再用锥上的不动点指 数定理得到算子序列的不动点，然后用a s c 0 1 i 定理得出所研究方程的近似解 5 山东师范大学硕士学位论文 第一章非线性项可变号且依赖于矿的二阶奇异初值问题的 正解 1 1引言及预备知识 在核物理，气体动力学、流体力学及非线性光学等领域的研究中。往往会出现 奇异微分方程，由于能够刻画现实世界中的很多问题，近年来，奇异微分方程的初 值问题受到了越来越多的重视，”一”一当，( t ，f ，f 7 ) 0 在t = 0 ，可= 0 或 矿= o 处奇异且在暑，= + o o 超线性时，r p a g a 咖8 l 和d o r e g 蛐在文【l 】中讨 论了( 1 1 1 ) 正解的存在性另外，王宏州和葛渭高在文f 1 8 l 中改进了文【1 j 中的 工作，讨论了当，( t ，暑，y 7 ) 非负时( 1 1 1 ) 正解的存在性杨光崇在文【19 】 2 0 】中用 不同方法讨论了当，( t ，p ，f ) 0 在= 0 和矿= 0 处奇异但在= + o o ( 丁= 1 ) 处有界时，( 1 1 ，1 ) 正解的存在性他们研究的大多是， 0 的情形，目前对非线 性顼，可变号且奇异时正解的存在性的研究已经引起了国内外的有些专家学者的 浓厚兴趣m 9 一乱】。但是这方面的结果还很少 本章考虑二阶奇异初值问题( 1 1 1 ) 正解的存在性 ， j 掣”( ) = 垂( f ) 坤，玑n t ( o ，引， ，、 气 l l 1 j 【y ( o ) = 口，( 0 ) 2o ， 其中，( ，f ，) 可变号且在f = 0 和y = 0 处奇异。在g = + o o 超线性 本章主要有五部分，在第二部分中，我们用锥上的不动点指数理论f 1 2 】讨论当 ，( t ，7 ) 可变号且在= 0 处奇异在”= o 处不奇异时，( 1 1 1 ) 正解的存在性 在第三部分中，我们讨论当厂( t ，可7 ) 可变号且在= o 处奇异在矿= 0 处不奇异 时，( 1 1 1 ) 正解的存在性在第四部分中，我们讨论当，( t ，) 可变号且在= 0 和掣7 = 0 处奇异时( 1 1 1 ) 正解的存在性第五部分针对前面的三个存在性定理分 别给出一个例子本文构造了一个含有最大值的特殊算子，并利用条件，( 1 ) i ，i 由 几个非负单调函数的乘积控制；( 2 ) 当矿充分靠近0 时，( t ，y 7 ) 2 卢( t ) o ， 来克服，可变号以及奇异带来的困难， 令 c l f 0 ，刁= ：【o ，卅一刷( ) 在【o ，卅连续可微， 定义范数； 0 口0 = m “ m a 【o ，明l ( t ) i ，m a x 蚝【0 御( ) m 6 山东师范大学硕士学位论文 令p = b c l f o ，卅：暑，( t ) o ，且矿( t ) 2o ，【o ，卅) ， 显然，g 1 【o ，t 】是一个b 彻n c 空间，且p 是g 1 【o ，卸中的一个锥 引理1 1 1 【1 q 设q 为b 帆口c 空间e 中的一个有界开集，p 是e 中的一个 锥，口n ，且q n p 是p 中的相对开集，算子a ：q n p p 是个连续的紧 算子如果 a 。z ，矗1 9 0 np ，a ( o ，1 】 ( 1 1 2 ) 则 i ，q np p ) = 1 假设下列条件成立， 垂c 嘲n m 卅，喇 o ，( 0 t 】， 眦3 ) ，e ( 【o ，t 1 【0 ，o o ) 【0 ，o o ) ，r ) 对p ，定义算子如下。 ，j ( 却) ( t ) ；m a x o ，西( r ) ，( r ，( f ) ，f ( r ) ) 打) d 5 ，饥【o ，卅 ( 1 1 4 ) j 0j o 由f 1 ，1 5 ，1 8 】可得 引理1 1 2 若条件( 1 1 3 ) 成立则j 4 ：p p 是一个连续且全连续算子 证明：由于( 匈) ( t ) ；露m a x o ，后面( 7 r ) ，( l ( r ) ，p ( 7 ) ) 打) d s ，v 【o ，刀， 则( a ) 船) = m a ) c o ，j ：垂( s ) ，( s ，( s ) ，! ，( s ) ) 如) ，v t 【o ，t 】从而( a p ) 邻) 在 o ，t 】连续又( 却) ( t ) 2o ，( a ) ，( 亡) o ，v t 【o ，引所以a 9 p ，从而a ：p p 为一个自映射 下面先证a 为p 上的连续算子对l ，抛p 有 i ( a i ) ( t ) 一( a 轨) ( ) f # i 麒m a ) c o ，片垂( r ) ，( r ，g - ( r ) ，矾( f ) ) 打) f 1 1 5 ) 一m a x o ，石圣( r ) ，( 一妇( r ) ，必( r ) ) d r d s i 露詹西( r ) l ，( r y l ( r ) ，鲥( 1 ) 一，( l 轨( r ) ，必( r ) ) i 打幽 由于，在t 【0 ，卅时一致连续所以对垤 o ，j 6 o ，使当m a xj f r j 正m 缸i l 一) 一耽( f ) i 6 ，m a ) cj l ( r ) 一珈( r ) l 6 时，有 i 西( r ) ，( r ，l ( r ) ，玩( r ) ) 一圣( r ) ，( r ，珈( 7 - ) ，以( r ) ) i o ，f ( a ) ( t ) is 矗 又i ( a ) 似) i = m “ o ，西( s ) ，( s ，( s ) ，暑，( $ ) ) d s ) 也有界则p 【o ，卅，| 如 o ，i ( 由) 似) i 尬令m = m a x m ， 如) ，则f m 从而a 口 为有界集 下证a 在p 中等度连续 p v t l ，t 2 ：0s t l t 2st ， ，f l， i ( a v ) ( t ) 一( 幻) ( 如) l = ；m a x o ，西( f ) ，盯，v ( r ) ，v 7 ( r ) ) d r ) d s i ， j t 2j o 显然上式有界，即对垤 0 ，j d l 0 ，使当i t l t 2 i o ，使当i l 一幻i 如时，i ( a ) 他1 ) 一( a ) ( 如) l 取南= m i n 而，如 ，则当l l t 2 l 0 ，在( 0 ，+ o o ) 连续不增，r ( 矿) 20 在( 0 ，+ o o ) 连续不减； ( 玛) 。器，蔬藕面呵而而丽面“， 其中，( z ) = z 。鼎，z ( 0 ，o o ) 且l 圣l 。= m a x 炬【o 列i 垂。地 ( z ) 存在函数e ( f 0 ，卅，( o ，+ ) ) 和常数j o 使，( ，互，鲈) 2 ( f ) ，( f ，暑，们 ( o ，t ) x 【0 ，o o 】( o ，司 对任意的g p 和n 1 ，2 ， 定义算子列如下； ，t， 一 1 ( a n y ) ( ) _ j ( m 缸f 0 j 正西( r ) 竹，f ( r ) + i ，帅) + i ) 打) d s ，v 【o ，卅( 1 叫nj 0j 0 l - 定理1 2 1 若( 凰) 一( 矾) 都成立，则方程( 1 1 1 ) 至少有一个非负解珈 g 1 【o ，川n c 2 ( o ，t ) ，且如( t ) o ，t ( o ，卅 证明：由( b ) 知，可选取r l o 使 r 1 忑石币可酝乒丽面 1 由，- 1 和石h ( “) 咖的连续性，可取：r 1 o 足够小使得 蕊面矿丽崇吒丽( 1 删m a x f l ，丁 一1 ( m 铲1 “ ( z ) 妇+ 唯) ) 7 取n 。 1 ，2 ，) 使赤 6 2 ，令o = n 。，伽+ l ，) 由( 日1 ) ，( 凰) 和引 理1 1 2 知，对任意n o 有。a 。：p 一尸是连续且全连续的令n 1 = c 1 i o ，卅：i r l 下证t 掣p a 。玑 p n 6 眈l ，p ( o ，1 】，礼 r o ，( 1 2 3 ) 若存在一个珈p n a n l 和一个加( 0 ，1 】使得珈= 脚a 。珈，即 珈( t ) = 伽z m a x 0 ，z 。西( r ) ，( - 珈( r ) + ；，站( r ) + ：) 打) d s ，f o 卅， 则 磊( ) = 伽m 一 0 i f 垂( s ) ，( s ，拍。) + ；，茹( ，) + 三) 如) ，f 0 ，研 磊( ) = 伽m “ o ，垂( 5 ) ，( 5 ，拍0 ) + 三，茹( 5 ) + 妄) 如) ，f 0 ，研 j o 9 山东师范大学硕士学位论文 显然，( 。) o ，( o ，引，且t 姆编( t ) = o 则由i o ，t ( o ，t o 】 从而 蝣( t ) = 砌m a x o ，名垂( s ) ，( 岛珈( 。) + ：，( 5 ) + ：) 如， m m 8 x o ，j ：圣( s ) p ( 8 ) d s = 脚西( s ) p ( s ) d s o ，t ( o ，t 0 1 令r = s u p ( o ，列i ( s ) o ，v s ( 0 ，】) 下证扩= t 若扩= t 成立，则有 蝣( ) 0 ，( o ， ，且 砺( t ) = 脚m a x 吼石。垂( s ) ，( s ，珈( s ) + ：，碥( s ) + ：) 如) o ，饥( o ，丁) 砺( t ) = 脚m a x o ，垂( s ) ，( s ，珈( s ) + 三，碥( s ) + 圭) 如) o ，饥( o ，丁) 一o ，“ 即 ( t ) ；弘。z 圣( s ) ，( s ，珈( s ) + ；，碥( s ) + ：) d s ，t ( 。，t ) ( 1 2 4 ) 否则，若扩 o ，f ( o ，) ，从而 o 州2p 。m 孤 o ij ：喇，( s ，珈( s ) + ：，州+ 渺) 5 ) = mj ； 垂( s ) ，( s ，蜘( s ) + ：，( 5 ) + ：) 幽，t ( o ，t ) 、 。 由于珈( t ) 在f 连续，且： 6 2 ，则存在一个o ； o 1 0 山东师范大学硬士学位论文 矛盾所以r = 丁，从而( 1 2 4 ) 成立由珈( o ) = 0 得，珈( ) o ，t ( 0 ，卅，从而 由( 1 2 4 ) 直接求导得 站( t ) 2 脚引”，( 屯珈p ) + ，o ) + ) 2 ( 0 ，t ) ( 1 2 6 ) l 加( o ) = o ，( o ) = o 所以 蜡( t ) = 伽垂( t ) ，( t ，珈( t ) + ，( t ) + ；) 西( ) f ， ，o ( ) + 砉，( t ) + j ) i sm ( t ) ( 珈0 ) + ：) 0 ( ( t ) + ；) + r ( 妊0 ) + ；) ) ，( o ，t ) ， 从而 五五i 考弩鼍s 圣( 幻 ( 珈( t ) + ；) ( 砺( ”+ ：) ，v t ( o ，r ) 从0 到t 积分得 ，( 砺( t ) + i ) s ，( ) + 片面( s ) ( 珈( s ) + 言) d ( 珈( s ) + 量) i 壬i oj 矽h ； ( ) d z + j 忙) 这样 蝣( t ) s ，- 1 ( i 垂i o 扛) d z + ，( ) ) ，t ( o ，丁) 从o 到t 积分得 珈( t ) 一珈( o ) = 珈( r ) 丁r 1 ( 1 由i o ( z ) d z + j ( e ) ) 则有 r 1 = j l 掣d 9 m a x 1 ，t r 1 “圣l o ( z ) 如+ j ( ) ) ， 从而 忑瓦面可菇拳巧厕g m a x 1 ，t ) ，一z ( or m ( 础b + 堆) ) 2 “ 与( 1 ，2 2 ) 矛盾从而( 1 2 3 ) 成立由引理1 1 1 得，对任意n o 有 ( a 。，p n n l ，p ) = 1 ( 1 2 7 ) 所以对任意的n o ，存在一个p n n l 使得= 以。，即 ( ) = z m a x 。，z 垂( 7 ) ，( 蜘( r ) + 三，珐( r ) + ；) d r ) d s ，t 【0 ，邪 山东师范大学硕士学位论文 类似于( 1 2 4 ) 我们有簖( t ) o ，且 以( t ) = z 。圣( s ) ，( s ，骱( s ) + ：，“( s ) + ：) 幽，t ( 。，t ) ，竹0 下面考虑 。，。e o 由于i l l i sr l ，显然有 函数列 ( t ) 在【0 ，列一致有界 ( 1 2 8 ) 函数列 以( t ) 在【o ，邪也一致有界 ( 1 2 9 ) 由( 1 2 9 ) 进一步可得 函数列 蜘( t ) ) 在【o 卅等度连续 ( 1 2 1 0 ) 类似于( 1 2 6 ) 的证明有 i 鲥( t ) = 圣( t ) ，( t ，0 ) + ，以( t ) + ；) ， t ( o ，t ) ， i ( o ) = o ，珐( o ) = o 则 醚( ) = 垂 ) ，( t ，鼽。( t ) + ，破( t ) + ：) 圣0 ) i ，( t ，( ) + i ，城( t ) + ：) i ( 1 2 1 1 ) 西( t ) ( 骱( t ) + ) ( 9 ( 珐( t ) + ；) + r ( 以( t ) + ；) ) ，( o ，丁) 从而 ；若轰苦专专专端垂。)(蜘(t)+；)(，：o)+：)，vt(0，t)(：z) 对任意的f l ，如 o ，卅，t l o 使得 i 厂1 ( s i ) 一，1 ( s 2 ) l 0 使得 i ，( 以( t 1 ) + i ) 一，( 必( t 2 ) + i ) i ，v i t l t 2 l ，t l ，屯【o ，刁 ( 1 2 1 8 ) 由( l 2 1 7 ) 和( 1 2 1 8 ) 得 l 必( t - ) 一昵( t ：) i = i 以0 - ) + i 一( 蝣( t ：) + ：) i = l r l ( j ( 碥0 - ) + j ) ) 一，一1 ( j ( 妊( t 。) + ：) ) i 0 ，t ( o ，丁) ，j 1 ，2 ，我们 有 珈( o ) = o ，( o ) = o ，珈( t ) 2o ，( t ) o ，t ( o ，t ) ( 1 2 2 0 ) 下证( ) o ，f ( o ，丁) 由( f ) 在f = o 处连续知。存在o o ，t l o ，t 0 1 令t = 8 u p t ( o ，t 】1 ( s ) o ， s ( o ，t 】) 下证r = t 若r o t ( o ，t ) 由蜘( t ) 在r 处连续知存在o 锚 o ，矛盾从而r = r ， 即( t ) o ，t ( 0 ，又由于珈( o ) = o ，我们有舶( 幻 o ，t ( o ，纠所以 。臻l o ，巩( o ，争毫删 o ，【寺，卅 由于 以，( t ) 一娩( 吾) = 二由( 町( s ，札( s ) + 考，吮( s ) + 老) d s t t ( 。，丁) ， 令j 一+ 。o ，由l e b e s g u e 控制收敛定理得 缩( t ) 一晶( 鲁) = 厶圣( s ) ，( s 蜘( s ) ，( s ) ) 如，( o ，丁) 直接求导有 站( ) = 圣( ) ，( ，珈( t ) ，( ) ) ，t ( o ，? ) 结合( 1 2 2 0 ) 得珈e 1 【o ，刁ne 2 ( o ，d 是( 1 ，1 1 ) 的一个非负解， 蜘8 ) o ， t ( 0 ，丁1 1 3，在f = o 奇异但在矿= o 不奇异时正解的存在性 本节我们的非线性项，可变号且在，= o 处奇异，但在暑，；o 处不奇异本 部分假设以下条件总成立， ( & ) 西e 【o ，卵，且垂( ) o ，t ( o ，? ) ； ( 岛) ，：【o ，刁( o ，+ o 。) 【o ，+ o 。) 一冗连续，且l ，( t ，玑) i 陋( ) + ( ) 】g ( 矿) ，( t ，们【o ，司( o ，+ o o ) 【o ，+ o o ) ，其中幻( ) o ，在( o ，+ ) 连 1 4 山东师范大学硕士学位论文 续不增，叫三1 f 0 ，刀， ( 计o ，在( o ，o o ) 连续不减，夕( 卯 o ，在【o ，+ o o ) 连续 不增； ( 岛) 存在函数p e ( ( 0 ，t ) ，( 0 ，+ o o ) ) 和一个常数6 0 使，( t ，y ，矿) 2 p ( ) ，v 0 ，! ，7 ) ( o ，? ) x ( o ，+ o o ) 【o ，田； ( 岛) 。溉) 蕊瓦可鬲硪赤丽可碾獗蕊“， ( 1 鼍1 ) 其中 ，( ：) = z 。志6 h l ，z ( o ，+ ) ，。= 聋为l 圣( 圳 定理1 3 1 若( & ) 一( s 4 ) 都成立，则方程( 1 1 1 ) 至少有一个非负解珈 c 1 o ，卅n g 2 ( o ，t ) ，即舶( t ) o ，t ( o ，卵 证明对! ，p 和n 1 ，2 ， 定义算子列 ( 向m ) 一。m a x m 石5 吣) m ，咖) + ：r + 丢训，) + ：) m 峨v 蚓o ，卅j 0j 0 ， ( 1 3 2 ) n 由( & ) 知，可取兄l o 使得 ! j 二；? 一 】 m a x 1 ，r ) ，一1 ( r l ( r 1 ) l 垂 0 + l 圣i of 1 枷( s ) d s ) 再由，和 的连续性，可取粤 e o 足够小使得 忑瓦瓦再两五丽再靠再雨刁吒丽两丽“( 1 。3 3 ) 取n 0 1 ，2 ，) 满足去 6 2 和与罟 s 令o = n 。，珊+ 1 ，) 由 慨) ，( 岛) 和引理1 1 2 知，对任意n 0 ，a 。：p j p 是连续且全连续的令 n i = 妇g 1 f o ，t 】：i l i i o ，( o ，如】 1 5 山东师范大学硬士学位论文 令r = s u p t ( o ，卅i 砺( s ) o ，v 5 ( o ，小- f 证r = 2 着r o ，( o ，r ) 从而 。 如( t ) = 娜z 垂( s ) ，( 岛珈( s ) + ：+ ：，( s ) + 三) 如，t ( o ，) ( 1 3 5 ) 由： 6 2 得，存在o o ，( o ，霸从而 碥( ) = 坳z 垂( s ) ，( s ，珈( s ) + ：+ ；，( s ) + ；) 幽，t ( o ，r ) ( 1 3 6 ) 对( 1 3 6 ) 直接求导得 鲻o ) 2 p 。西o ) ，( ，珈( 。) + + ：，( ) + ；) ， 。( o ，t ) ， ( 1 3 7 ) 【珈( o ) = o ，( o ) = o 则 ；( ) 垂( t ) ( 珈( t ) + ；+ ：) + 甜( 如( ) + ；+ ；) 】g ( “( ) + ；) ，( o 丁) ， 从而 殳i ：i 毒芋；产圣o ，陋c 珈( ”+ ：+ ：，+ ”c 珈c ”+ ；+ 三，】c c ”+ ：，v t c o ，t ， 从0 到t 积分得 “+ ：) _ ，( ；) s 讹- + ) ( 附卅z 1 岫0 ( s ) + ；+ ；) ( 卅i + 扭 从而有 碥0 ) 厂1 ( j ( ) + i 西i o m ( r l + e ) ( 兄l + ) + 叫( 茹) d 叫) ，【o ，卅( 1 3 8 ) 从o 到t 积分得 珈( t ) 2 如( t ) 一拍( 0 ) ( 1 3 9 ) ，一1 ( ，( ) + i 垂i o f ( r 1 + e ) ( 冗l 十e ) ) + 盛1 + 埘( z ) d 圳) 丁 、 1 6 山东师范大学硕士学位论文 由( 1 3 8 ) 和( 1 3 9 ) 得 ，r 1 + c 月l = 0 如0s m a x l ，丁 r 1 ( ，( ) + i 西o 洚( 嘞+ ) ( r l + ) + 埘 ) d 司) ， 从而 忑石面可西再瓣磊丽了再骨骊 o ，必( ”= z 圣( s ) ，( 蜘( s ) + ；+ ：，破( s ) 十：) 如，f ( o ，丁) ，n ，0 由于l i 。0 r l ，我们有 ( t ) ) 和 必( t ) ) 都在【o ，t 】一致有界，等 度连续由a r z e l a a s c o l i 定理得存在珈c 【o ，卅和 鲰) 中的子序列 ， 使得 j 里黼i ( ) 一珈( 2 ) l = o ，j 里端i 吒( 。) 踮( 。) l = o 由于口n j ( o ) = o ，筑( o ) = o ，p 叶0 ) o ，y 乞( t ) o ，t ( o ，? ) ，所以 珈( o ) ：o ，妃( o ) = o ，蜘( t ) 2o ，碥( t ) o ，t ( o ，丁) ( 1 | 3 ，1 0 ) 类似前面可证砺( t ) o ，t ( o ，t ) 又由于珈( o ) = 0 ，我们有珈( ) o ，t ( o ，列 所以 个，r ，磐l 如( 5 ) o ，耽f 考，列，。豪萼】铀( s ) o ，珑( o ，争 5 皓，l z j 【c t 寺】 由于 “小) 一叱( ；) = z 西( s ) ，( s ，札( s ) + 老+ 老，如( s ) + 老) d s ，t ( 。，t ) ， 由l e b e s g u e 控制收敛定理得 妊( t ) 一碥( i ) 2 上圣( s ) ，( s ，珈( s ) ，碥( s ) ) d s ，。( o ，t ) 直接微分有 结( f ) = 雪( f ) ，( f ，珈( ) ，0 ) ) ，f ( o ，刁 结合( 1 3 1 0 ) 得舶g 1 【o ，明n 伊( o ，r ) 是( 1 1 1 ) 的一个正解 1 7 山东师范大学硬士学位论文 1 4，在= o 和矿= o 处都奇异时的存在性定理 本部分我们的非线性项，可变号且在= o 和! ，= o 处都奇异本部分假设 以下条件总成立， ( b ) 圣c 【o ，t l ，圣( t ) o ，c ( o ，列； ( b ) ，g ( o ，卅( 0 ，+ o o ) ( o ，+ o o ) ，r ) 连续，且l ，( t ，玑y 7 ) l 【 ( ) + 叫( )