开题报告 有关零点问题的方法总结和应用.doc

本 科 生 毕 业 设 计（论文）开题报告（含文献综述）（ 2012 届）题 目：有关零点问题的方法总结和应用学生姓名： 金舒 学号： 201211010222 专业班级： 信息与计算科学122班 学院名称： 理学院 指导教师： 刘小林 年 月 日一、目的意义和国内外研究现状1、写作目的与意义：banach空间压缩映像原理是一种研究非线性方程最有用的工具，比如代数方程，积分或微分方程。与此相关的还有拉格朗日中值定理，积分中值定理与微分中值定理。本文的目的是向读者介绍一些关于已经的定理在不同区域关于零点问题的分析例如，隐函数定理。在以后的学习生活中，Banach空间压缩映像原理都是非常重要的基础和工具，具有一定的理论意义和现实意义。 2、国内外研究现状： 国外：在1895年至1900年，法国数学家首先使用不动点概念。1910年，波兰数学家Banach使用迭代方法证实了Banach压缩映射原理及其应用。同年，布劳威尔证明的了维数的拓扑不变性，印证了压缩映射原理是不动点理论中非常重要的一类定理。其后，从1961至1977年，多名数学家提出了共16个压缩映射原理。国内：在张庆恭和林渠源老师所编写的泛函分析上有对解的存在唯一性定理与隐函数存在定理分析及两个定理通过压缩映像原理证明后的共同点。3、发展趋势：传统的研究方向主要在代数方程，积分或微分方程上。虽然本文主要介绍的是banach空间压缩映像定理在零点问题上的应用。然而，压缩映射原理在概率方向也有着非常大的应用，例如利用概率的知识模仿度量空间定义概率度量空间，定义概率中的范数，由此得到概率空间上的不动点原理。另一个比较有用的应用是在随机泛函分析中，结合随机变量的相关性质给出随机不动点的定义，从而建立随机压缩映射原理。二、研究的基本内容和方法1、 研究内容： banach空间压缩映定理，拉格朗日中值定理，积分中值定理与微分中值定理在不同区域的分析如下：压缩映射原理的示例；解的存在唯一性定理；隐函数存在定理；判定级数的收敛性；函数在区间上的性质；估计定积分的值；达布定理的推论；利用微分中值定理求极限；函数的几何应用；讨论导函数零点的存在性及个数估计等等。2、 研究方法： 对数学分析泛函分析常微分方程等书的相关内容进行总结和笔记，参考外籍文献和国内学者的研究探索banach空间压缩映定理与拉格朗日中值定理，积分中值定理与微分中值定理的相通点。三、有关主题及创新点1、 有关主题：巴拿赫不动点定理，又称为压缩映射原理，是研究度量空间理论的一个重要工具；它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡巴拿赫(18921945)命名的，他在1922年提出了这个定理。拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值， 或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法， 是数学分析的基本定理和重要手段， 在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，应用十分广泛。2、 创新点：压缩映射原理另一个名称是banach不动点原理，压缩映射原理可视为不动点原理中一种，即压缩型不动点原理。对于不动点原理来说，形式由线性的可以推广到非线性的，再到抽象的。在保证以最初的压缩映像原理为基础下，我们可以将一些定义在新的形式下重新定义，同样的大思路进行新的压缩映射原理的证明，寻找压缩映射原理与拉格朗日中值定理，积分中值定理与微分中值定理的共同点。四、预期的结果1、 研究价值：Banach不动点理论是目前正在迅速发展的非线性泛函分析理论的重要组成部分，它与近代数学的许多分支有着紧密的联系。泛函分析以其高度的统一性和广泛的应用性在现代数学领域占有重要的地位。将Banach不动点定理推广到一类压缩型广义不动点定理，并介绍Banach不动点定理的变换形式在数学建模中的应用，来说明用不动点定理可以处理一些传统方法比较难解决的问题，进一步体现不动点理论应用的广泛性.2、指导意义：微积中的隐函数存在唯一性定理，代数方程、微分方程和积分方程的求解都可以归结为泛函分析中的Banach不动点定理来求某映射的不动点。Banach不动点定理实际上是算子方程的求解问题，它提供了解的逼近程序和近似解的构造。五、研究工作进度安排2015年11月2日至2015年11月25日，确定论文题目及研究目标； 2015年11月20日至2016年1月10日，文献查阅、实地调查、外文翻译、开题报告等；2015年1月10日至2016年3月15日，收集分析资料，探索可行性方案，撰写论文初稿；2016年3月15日至2016年5月3日，论文初定稿；2016年 6 月 5 日，论文答辩。六、主要参考文献1RogersComparative to Different Definition of contractive mappingTransAmerMzthSocV01226，No5012walter RudinFunctionELl AnalysisM北京：机械工业出版社，20043 Ruth F CFunctionm Analysis in Modem Applied mathematicsM . London:Academic Press20094 The contraction mapping principle and some application. Rorbet M. Brooks, KLAUS SCHMITT5 F. Bauer, An elementary proof of the Hopf inequality for positive operators, Num. Math., 7(1965).6 C. Corduneanu, Almost Periodic Functions, John Wiley and Sons, New York, 1968.7 H. O. Peitgen, H. Jurgens, and D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science,Springer, New York, 1992.8 T. Saaty, Modern Nonlinear Equations, Dover Publications, New York, 1981.9Guo DajunFixed points of mixed monotone operators with applicationsJAppl Anal，1998，31：21522110Guo Dajun，Lakshmitham V，Liu XinzhiNonlinear integral equations in abstract spacesMKluwerpublishers，199611韩超数学分析中的不动点问题J】哈尔滨师范大学自然科学学报，2006，03：41-4212姜秉利，张敏，董立华不动点原理及其应用【J】德州学院学报，2005，21：29-3213张奠宙，顾鹤菜不动点定理【M】沈阳：辽宁教育出版社，1989，116-11714张石生，不动点理论的新发展1 J，数学研究与评论1982，第2卷第3期，128。15郭大钧，孙经先，刘兆理非线性常微分方程泛函方法M济南：山东科学技术出版社，199516孙经先，非连续的增算子的不动点定理及其对含问断项的非线性方程的应用J，数学学报，1988，31：101-10717孙经先，增算子的不动点和广义不动点J数学学报，1989，32：45746318韦忠礼，Banach空间一阶非线性脉冲周期边值问题的解口系统科学与数学，1999，19(3)：37838419孙经先