（凝聚态物理专业论文）超冷费米原子气体bcsbec过渡区的强耦合理论.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 随着超冷费米原子气体中分子的b e c 以及原子的b c s 转变在实验上的实现，b c s b e c 过渡区的一些现象已经引起了人们极大的兴趣。人们对超冷费米原子气体在理论 和实验方面的研究，已经进入了一个新的阶段。对于超冷费米原子气体过渡区来说，很 容易利用磁场作为外部控制手段来实现磁场f e s h b a c h 共振以改变原子间的散射长度。对 过渡区的进一步理解，将有助于我们理解量子流体性质及玻色子与费米液体间的相互影 响，尤其是对高温超导现象微观机理的研究具有很大的价值。 以前对b c s - - b e c 过渡区的理论研究大多采用平均场方法。平均场在体现其优势 的同时也存在某些不足，例如在对涨落的描述和临界温度的计算等方面存在较大的不 足。本文将采用量子场论的方法来研究b c s b e c 过渡区超冷费米原子气体的性质。 本篇论文组织如下：第一章简要介绍原子b e c 的研究背景以及相关的实验技术。 第二章讨论b c s - b e c 过渡区超冷费米原子凝聚的性质。第三章采用量子场论格林函 数方法研究超冷费米原子气体在b c s b e c 过渡区的性质，这一章是本篇论文的重点。 通过引入费米子和玻色子的格林函数i 按照s 矩阵展开的方法得到了费米子和玻色子格 林函数的戴逊方程，然后进一步对自能函数化简得到了三种自能函数的自洽方程组，最 终建立了超冷费米原子气体b c s - - b e c 过渡区的强耦合理论，为以后该领域的进一步 研究建立了一个新的框架。 关键词：超冷费米原子气体；b c s - - b e c 过渡区；强耦合理论；格林函数；戴逊方程 超冷费米原子气体b c s - - - b e c 过渡区的强耦合理论 s t r o n gc o u p l i n gt h e o r yf o ru l t r a c o l df e r m ig a s e si nt h eb c s m b e c c r o s s o v e rr e g i m e a b s t r a c t t h ee x p e r i m e n t a lo b s e r v a t i o n so fb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o no fr e s o n a n c em o l e c u l e s a n do fb c st r a n s i t i o no fa t o m si na l lu l t r a c o l df e r m ig a so fa t o m sh a v es t i m u l a t e dag r e a t i n t e r e s ti nt h eb c s - - b e cc r o s s o v e rp h e n o m e n o n t h ec r o s s o v e rr e g i m ei na l lu l t r a c o l d f e r m ig a so fa t o m sc a l lb ee a s i l ya c c e s s e da n dc o n t r o l l e de x p e r i m e n t a l l yt h r o u g ht h e f e s h b a c hr e s o n a n c e t h ek n o w l e d g eg a i n e df r o mt h es t u d yo ft h ec r o s s o v e rr e g i m ew i l l c e r t a i n l ye n h a n c eo u ru n d e r s t a n d i n go ft h ep r o p e r t i e so fq u a n t u mf l u i d sa n do ft h ei n t e r a c t i o n b e t w e e nb o s ea n df e r m if l u i d s p a r t i c u l a r l y ，i tw i l lb eo fg r e a tv a l u ef o rt h ec o n s t r u c t i o no fa m i c r o s c o p i cm e c h a n i s mf o rh i i g hts u p e r c o n d u c t i v i t yi nm a n ya s p e c t s i nt h ep a s tf e wy e a r s ，t h ep r o p e r t i e so fb c s - - b e cc r o s s o v e rr e g i o nh a v eb e e ns t u d i e di n t h em e a nf i e l dt h e o r yf r a m e w o r k a l t h o u g ht h i st h e o r ym a y s u c c e s s f u l l yd e s c r i b es o m eo ft h e p r o p e r t i e so fm a n ys y s t e m s ，s h o r t c o m i n g sd oe x i s ti nm a n ya s p e c t ss u c ha si nt h ed e s c r i p t i o n o ff l u c t u a t i o n si nt h ec r i t i c a lr e g i o na n di nt h ec a l c u l a t i o no fp h a s et r a n s i t i o nt e m p e r a t u r e s i n t h i sp a p e r , w e - m a k eu s eo f t h em e t h o do fq u a n t u mf i e l dt h e o r yt os t u d yp r o p e r t i e so fu l t r a c o l d f e r m ig a s e si nt h eb c s m b e cc r o s s o v e r r e g i m e t h i sd i s s e r t a t i o ni so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e ri ，w ed i s c u s st h eb a c k g r o u n da n d e x p e r i m e n t a lt e c h n o l o g i e so fb e c i nc h a p t e ri i ，w ed i s c u s st h ec o n d e n s a t i o np r o p e r t i e so f u l t r a c o l df e r m ig a s e si nt h eb c s - - b e cc r o s s o v e rr e g i m e c h a p t e ri i ii st h em o s ti m p o r t a n t p a r to f t h i sd i s s e r t a t i o n i nt h i sc h a p t e r , w es t u d yt h ep r o p e r t i e so fu l t r a c o l df e r m ig a s e si nt h e b c s n b e cc r o s s o v e rr e g i m eb yu s i n gt h eg r e e n sf u n c t i o nm e t h o di nt h eq u a n t u mf i e l d t h e o r y w ef i r s ti n t r o d u c et h eg r e e n sf u n c t i o n sf o rf e r m i o n sa n db o s o n s t h e n ，w ed e r i v et h e d y s o n se q u a t i o n sf o rf e r m i o n sa n db o s o n sb ye x p a n d i n gt h esm a t r i x a n dt h e n ，w e s i m p l i f yt h es e l f - e n e r g yf u n c t i o n sa n dd e r i v et h es e l f - c o n s i s t e n te q u a t i o n sf o rs e l f - e n e r g y f u n c t i o n s f i n a l l y ，w es e tu pas t r o n gc o u p l i n gt h e o r yf o ra nu l t r a c o i df e r m ig a so fa t o m si n t h eb c s - - b e cc r o s s o v e rr e g i m e t h i sw o r ke s t a b l i s h e san e wf r a m e w o r kf o rf u r t h e rs t u d i e s i nt h i sa r e a k e yw o r d s ：u i t r a c o l df e r m ig a so fa t o m s ； c o u p l i n gt h e o r y ；g r e e n sf u n c t i o n ；d y s o n s b c s - - b e cc r o s s o v e rr e g i m e ；s t r o n g e q u a t i o n i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定开，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：至垒玉丝兰查 导师签名：聋车互毕 大连理工大学硕士学位论文 引言 1 9 9 5 年，超冷气态碱金属原子的玻色一爱因斯坦凝聚( b e c ) 的实现1 1 3 】激发了人们 对超冷原子的研究热情。2 0 0 1 年，c o m e l l 等人由于实现气态碱金属原子的b e c 以及对 其基本性质的研究工作荣获诺贝尔物理学奖。2 0 0 3 年底至2 0 0 4 年初，人们在超冷原子 方面的研究又取得了很大的进展，对于束缚在光阱中的超冷费米原子气体，结合改变原 子间散射长度的f e s h b a c h 共振【4 】技术，人们在远低于费米温度的情况下实现了分子的 b e c 5 司。随后，人们又很快从实验上实现了原子库柏对的凝聚体【7 11 l ，并对其性质展开 了大量的研究。 但是，冷却费米原子气体相对于冷却玻色气体而言，却是一项异常艰巨的工作。因 为在极低温下，费米统计对于散射的相空间做了一个很大的限制，这使得被捕获的稀薄 费米原子所构成的系统很难达到热平衡。另一方面，碱金属费米原子诸如、6 l i 等， 原子间的相互作用非常弱，这使得这些费米子不同自旋态间形成配对超流态的临界温度 r 远低于目前实验技术所能达到的温度。幸运的是实验学家通过f e s h b a c h 共振解决了 这一问题。f e s h b a c h 共振的巨大威力在于通过调节外部磁场强度这一参数，可以人为控 制原子间的散射长度和原子间相互作用强度。通过原子间相互作用的变化，人们可以研 究三个处于不同状态的区域：( 1 ) 1 k f 口 1 为弱相互作用的b e c 区域，在此区域费米原子构成紧束缚分子，当温度达到临界温度以下时，能实现分子的 玻色一爱因斯坦凝聚； ( 3 ) l 七fl 口i - o ( 2 7 ) 考虑到闭道后，在上面公式中引入了决定开道中态矢量定态解的有效势能 = u p p + 。下面主要就求解方程( 2 7 ) 以确定散射长度来展开讨论。 在知道有效势能后，求解散射长度的一个有用的方法是计算r 算符的 l i p p m a n n s c h w i n g e r 方程。其表达式为 t = + g o r ( 2 8 ) 这里g o = ( e 一凰+ i a ) - 1 为自由传播子。一旦r 算符得以求解，在低能极限下，散射长度 可由如下方程得到 4 n , h 2 a ：仕，一o 七一o ) ( 2 9 ) m 其中k 为粒子间的相对波矢。 通过算符分析，可以证明方程( 2 8 ) 可进一步写为 r = 互+ ( 1 一u o g o ) 。1h e e ( 1 - g o u , 哆- ) 川 ( 2 1 0 ) 这里五由下式给出 大连理工大学硕士学位论文 五= i - 1 ；, 4 - g o 互 ( 2 1 1 ) 对于方程( 2 1 1 ) ，一旦知道开道中的势能，人们已有非常标准的办法来求解互。 和相比是更高一阶的相互作用，故而忽略更高阶近似下，( 2 1 0 ) 中的近似 为，在这种近似下，丁矩阵为 ( k l t k ) - ( k l t , i 七) + ( 七；u 品，一l l | i ；u 0 ，+ ) ( 2 1 2 ) 上式中旧，+ = ( 1 一g o ) - 1i 七) ( 这里加号表示i 砖，+ 包含出射波) ， ( k ；u e p ，- l = k l ( 1 一g o ) 一。当k 专。和k 专。时，由公式( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 可以得到 _ 4 万= - h 2 a ：4 万h ：a p + ( 七，；，一i i 七；，+ ) ( 2 1 3 ) 聊m 。 上式中口p 元全由开道中的势能函数确定。上式中最后一项计算如下 ( k ；u e p ，- i l 七；，+ ) 2 善( 七专? ；，一i 愀圳i 丽i 万i 朋) ( 臃i 降_ o ；，+ ) ：v 幽塾堡= 竺! 坠：埴 e e n 由此可见，当e 接近e 时，散射长度a 将由于闭道的存在而强烈改变。 考虑到接近f e s h b a c h 共振处，其共振作用的束缚态能级通常只有一个。因此可以将 公式( 2 1 3 ) 进一步写为 竺塑：业+ k 垒l 塾堡= ! ! 坠：趟( 2 “) m m e 一 这里为和e 最接近的束缚态能级。非共振散射长度除了绵外，还包含了非共振 的束缚态对散射长度的贡献。 磁场f e s h b a c h 共振的关键在于通过改变磁场可以调节e k 的大小，从而人为地 改变原子间的散射长度。假定在共振磁场e 处，e = 。在这一临界磁场附近，通过 泰勒展开到一阶近似，可以得到 e k 【。一q t ) 一q i ) ) ( b 一岛) ( 2 1 5 ) 超冷费米原子气体b c s - - b e c 过渡区的强耦合理论 这里_ t ) 和咋) 分别为两个不同内部态的费米原子的磁矩。= 一警i 舡戽则为在共振 磁场乓处，能量本征值为的束缚态的磁矩。由于原子间的相互作用，通常 如i t + 佩) 将( 2 1 5 ) 代入到( 2 1 4 ) 中，可以得到 归( 盖) 眨 其中共振磁场宽度为 衄：i 选垒! 塾坚= 竺坠：型( 2 1 7 ) 4 x h 2 一脚) 一一” 在实际计算中，确定只和衄涉及大量的计算。尤其是人们还不能完全从第一原理 出发得到e 和曲的准确值。通常，人们需要理论和实验的密切结合，和j 用实验上测得 的一些重要参数来从理论上预测矽和曲的大小。 在原子的散射过程中，j 一波散射长度或碰撞截面在f c s h b a e h 共振附近会产生相当 剧烈的变化。三体碰撞过程在f c s h b a c h 共振附近也会显著的增强。其中，j 一波散射长 度是描述超冷碰撞过程中的重要参数。当分子束缚能在能量上略微低于散射态时，j 一 波的散射长度为正值，见图2 1 。图2 1 中表示在低能量两个原子的散射态和分子束缚态 之间的相互作用。当原子和分子具有不同的自旋结构及磁矩时，他们的能量差异可以由 外加磁场来调整。 a t o m i cs e p a r a t i o nr 图2 1在低能下两个原子的散射态和分子束缚态之间的相互作用。引自文献 1 8 。 f i g 2 1 i n t e r a c t i o n sb e t w e e nt w oa t o m si nm o l e c u l a rb i n d i n ga n da t o m i cs c a t t e r i n gs t a t e sa tl o we n e r g y a f t e rr e f e r e n c e 【l8 】 毒i一稻茹co一)a colnv霆彤一c一 大连理工大学硕士学位论文 随着分子b e c 的成功实现，很多关于超冷费米原子气体的实验也随之出现了，我 们可以通过任意改变费米子间的相互作用强度来研究强关联费米原子系统。例如，当散 射长度为负值时，会有原子库柏对出现，如图2 2 所示。图2 2 给出了锂原子的f c s h b a c h 共振原理图。从图中可以看出，在共振左边，散射长度为正值。费米原子对配对成玻色 分子，在低温下发生分子b e c 。在共振右边，散射长度为负值，原子之间存在吸引力并 在低温下发生库柏对的凝聚。在共振附近，系统处于b c s - - b e c 过渡区，随着外加磁 场强度的逐步减弱，分子b e c 在此很平稳的转变为原子的b c s 凝聚。 7 ： 。 。 i i i 1 _： i ：。 厂 o8 0 0 1 0 0 0 磁均桃钕黼g ) 图2 2 锂原子的f e s h b a c h 共振。引自文献 1 8 f i g 2 2 f e s h b a c hr e s o n a n c eo fl i a f t e rr e f e r e n c eits 2 2分子的b e c 2 0 0 3 年底，人们利用磁场f c s h b a c h 共振机制成功地在光势阱中的两组费米气体中观 察到了分子玻色一爱因斯坦凝聚的明确证据【4 5 1 。在排斥相互作用这一边，原子可以配对 形成分子，分子束缚态的能级为邑= 一h 2 m a 2 ，分子的大小约为口。当分子的大小比粒子 间的平均距离小得多时，可以将分子看作是一个整体。这时整个分子是一个玻色子，应当 满足玻色统计。因此，在低于临界温度并达到热平衡后，会自然地出现分子b e c 的现象。 人们分别就6 l i 和4 0 i ( 观察到了分子玻色一爱因斯坦凝聚【3 9 4 1 1 。现将皿l a 的j i n t j , 组的实验 过程简单介绍如下。 j i n 小组在光势阱中等比例地束缚4 0 l ( 的两种内部态f f = 9 2 ，m f = 一7 2 ) 和 i f = 9 2 ，册f = 一9 2 ) 。对于这两种内部态的原子，散射长度和外加均匀磁场之间的关系为 a ( b ) = 1 7 4 a o i + a b ( b , - b ) 这里口。为玻尔半径，a b = 7 8 0 6 g ，e = 2 0 2 1 + 0 1 g 。 s o 碴 伯 盛蓐。喾盏巷霪惑国 超冷费米原子气体b c s - - b e c 过渡区的强耦合理论 显然，当磁场强度接近且小于e 时，散射长度为正值，从而对应于分子b e c 的情形。在 b = 2 0 1 5 4g 处，通过对分子b e c 的密度分布的测量，j i n 小组给出了分子b e c 存在的强有 力证据。图1 4 j ；f i 示的是j i n d x 组在实验上观测到的分子的密度分布。设分子b e c 的凝聚 温度为z 。左图中系统的温度为t = 2 5 0 n k = 0 9 t 。这时，分子 占的比例较小，分子c b e c 气体的密度分布基本满足高斯分布。右图中系统的温度为t = 7 9 n k = 0 4 9 t c 。此时，分子 b e c 占有显著的比例。分子气体的密度分布不再满足高斯分布。总的分子密度分布由分 子b e c 满足的t h o m a s f e r m i 分布和热激发分子满足的高斯分布之和构成。右图的密度 分布给出了分子b e c 存在的有力证据。 为了探测分子b e c 的密度分布，j i n 小组首先关闭光阱，让原子分子混合气体自由膨 胀1 0 - 2 0 m s 。然后，加上持续时间为1 4 0 9 s 的射频脉冲场，将分子分解为 l f = 9 2 ，m f = 一9 2 ) 和i f = 9 2 ，m f = 一5 2 ) 这两种原子态。射频脉冲与分子分解的闽能 相比失诣量为5 0 k h z ，这时该射频脉冲不会影响未配对的处于态 f = 9 2 ，m f = 一7 2 ) 上 的原子。因此，i f = 9 2 ，m f = 一5 2 这个新的原子态的密度分布就直接给出了分子b e c。 。 的密度分布信息。 与人们通常所指的稳定分子不一样，这里费米原子配对形成的分子是一种弱束缚的 准分子。几年前，有些人曾怀疑这样的准分子能否有足够长的寿命来建立热平衡，从而形 成稳定的分子b e c 。其怀疑的理由主要为：弱束缚的分子在其它分子或原子的碰撞下很 容易分解从而无法稳定存在。但是整个系统其实是分子和费米原子的混合气体。在热平 衡下，分子和费米原子的比例可由各自的化学势相等来确定。对于费米原子而言，由于泡 利不相容原理，在温度远低于费米温度时，费米原子将紧密地在低于费米能量的能级上 一个个地排列。在这种情况下，由于泡利不相容原理以及费米原子的紧密分布，处于基态 中的弱束缚分子的分解受到了极大的抑制。分子b e c 的实验证据彻底消除了这一怀疑。 当然，粒子间的非弹性碰撞会影响分子b e c 的稳定性，从而导致分子b e c 的寿命有限。目 前的实验中分子b e c 可以达到几十秒的寿命。 2 0 0 3 年底，g r i m m d x 组【4 5 1 和k e t t e r l c d x 组利用6 “的两种内部态f f = 1 2 ，所f = 一l 2 ) 和 i f = 1 2 ，m f = 1 2 ) 的混合费米气体也形成了分子b e c 。分子b e c 的形成机制和j i n d x 组采 用的4 0 i 类似。对于6 l i 的这两个内部态，在8 2 2 g 附近散射长度和磁场的关系为 口( 占) = 一l o l 8 口0 1 一酬( 皿一b ) l ，这里a b = 3 2 5 g 。可以看出，6 l i 和的显著区别在于 6 l i 的f e s h b a c h 共振磁场宽度要大得多。大体上来讲，f e s h b a c h 共振磁场宽度越窄，涨落 大连理工大学硕士学位论文 效应越明显，从而使得分子b e c 越不稳定。从目前6 l i 和飞的实验结果来看，6 l i 所形成的 分子b e c 的确稳定一些。 2 3 费米超流体 随着超冷原子气体冷却技术的发展，冷却玻色气体的实验技术现在已成功用于冷却 费米气体。因此研究各种各样的费米气体性质也是目前玻色一爱因斯坦凝聚领域中的一 个热点，其中最令人关注的是实现费米气体的超流态。在3 h e 系统中存在着非常奇特的 超流态，人们普遍期待在费米气体的超流态会有新颖的实验现象出现。 当系统加上改变散射长度的磁场后，考虑到原子间散射长度的改变机制中分子束缚 态起到了重要的作用，h o l l a n d t 5 3 1 等人在( 2 1 8 ) 的哈密顿量中还直接加上了反映原子分子 间的耦合项 日= 2 y q + 毛( 咯q t + t ，j ，) + t 吒。i ，上气t t k + 屯。k 3 + k 4 + g ( 训+ 比) ( 2 1 8 k , q 这里是表示分子的产生算符，表示背景原子间的相互作用势，而g 则代表了 原子分子间耦合强度。通常人们将基于上面哈密顿量建立的理论称为“共振超流理论。 h o l l a n d t 5 3 1 等人将“共振超流理论”应用到了磁场中均匀分布在两种超精细态上的 舳k 原子。通过理论计算得到了化学式，分子场振幅2 l 九| 2 以及能隙与温度t 的关系， 如图2 3 和2 4 所示。从图上可以很直接的得出超流相变的临界温度乃大约为0 5 耳左右。 h o l l a n d 等人的工作为接下来实验上研究从弱耦合费米原子的超流相变到紧束缚玻色分 子的b e c 的过渡过程提供了很好的契机。 超冷费米原子气体b c s - - - b e c 过渡区的强耦合理论 m 2 3 化学势对温度丁的依赖关系示意图。从实线的尖角可以得出二级相变大约发生在 t = 0 5 耳处。虚线表示的是无相互作用的费米气体的化学势。引自文献 5 3 。 f i g 2 3 c h e m i c a lp o t e n t i a la saf u n c t i o no ft e m p e r a t u r ef o rt h es y s t e mo fr e s o n a n c ep a i r i n g ( s o l i dl i n e ) , t h es e c o n d - o r d e rp h a s et r a n s i t i o no c c u r sa t 乏0 5 耳w h e r eac l e a rc u s pi sv i s i b l e 。t h ed a s h e dl i n e s h o w st h ec h e m i c a lp o t e n t i a lo fan o n i n t e r a c t i n gf e r m ig a s a f t e rr e f e r e n c e 【5 3 随后，人们在超冷费米气体的实验研究方面又取得了惊人的突破。下面主要介绍一 下j i n j x 组在b c s b e c 过渡区的突破性实验工作。2 0 0 4 年初，j i n d x 组创造了一种“对 投影技术”，将费米原子对转变为分子，通过测量分子的动量分布推断原子对的动量分 布【l2 1 。现将他们的结果简述如下：4 0 l ( 气体的两个最低超精细结构态l f = 9 2 ，m f = 一7 2 ) 和l f = 9 2 ，m f = 一9 2 ) 在2 0 2 1 g 发生f e s h b a c h 共振，共振宽度为7 8 g 。先将磁场固定在 口 0 ，这个“投影磁场”扫掠的速度必须快慢得当： 要慢得使分子可以形成，又要快的不致使粒子在阱中碰撞并跑的太远，投影可以使6 0 到8 0 的原子组成分子。 大连理工大学硕士学位论文 图2 4 超流相交的温度还可以从分子场的振幅得出。分子场的振幅只有在t z ，对称破缺存在的 情况下才不为零。插图代表的是能隙对温度的依赖关系图。与超导体相比较，这里的能隙可以简 单的认为是费米原子对的结合能。引自文献 5 3 。 f i g 2 4 t h et e m p e r a t u r ea tt h ep h a s et r a n s i t i o ni sa l s ov i s m l ef r o mt h ea m p l i t u d eo ft h em o l e c u l a rf i e l d t h i sa m p l i t u d ei sn o n z e r oo n l yw h e nt h eb r o k e ns y m m e t r ye x i s t si nt 1 1 er e g i o nt z t h ei n s e ts h o w s t h eb e h a v i o ro ft h eg a pa f o rc o m p a r i s o n , i ns u p e r c o n d u c t o r st h ea n a l o g o u sg a pi ss i m p l yt h eb i n d i n g e n e r g yo faf e r m i o np a i r a f t e rr e f e r e n c e 【5 3 】 变更初始温度，发现存在一个州砟与磁场失谐( b 一玩) 值关系的阈值曲线。在曲线 之下能观察到动量在0 附近的分子，人们将此解释为反映费米原子对凝聚体的存在。在 口 m t e 删u + p 枷i 力) 月脚 + i 8 ( t - t7 ) p 厨p 一腿( 刀i p 倒u + p 础i 肌( 所l 矿沈嘲l 以) 月朋 = - i s ( t ：t7 ) p 舯e - b e e , ( , - , x e - s ) i ( 刀f u i 所) + i 8 ( t - t ) p 用e - 一e e - i ( , - , x e - e ) l , i u l ii 疗) 1 2，1 月j w = - i o ( t - t ) 严p “h 毛| ( 玎i u i 渐) | 2 ( p 纭一p 一蹋) ，jl 、l，i 、， ( 3 7 ) 式中利用了k 卜y = e i ”) 。 做傅立叶变换到频率空间 死( 缈) = 一f r 如h 枷弘p 田p “卜r 肫吨俐u i 所) f 2 ( p 哦一p 帆) = z 。l 0 甜( f ) = 叫一廊( n e 一肚u ( o l m ) ( m l u + ( o ) i 刀) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) - - e 一肿z i 聆m 聊) p 飓p 一毛一晶 ( 3 11 ) 做傅立叶变换到虚频率空间得到 甜( 蛾) = 呻一舯k 玎l 【，i m ) 1 2p 。瞩r d 卯峨f p 帆吨 一田y 唑噬竖二! ：型 ( 3 1 2 ) 篇蛾+ e 一已 、 比较死( 国) 和l ( i o ) ) 我们发现两者的不同在其分母上，松原格林函数是帆，推迟 格林函数是缈+ 万。这样我们就可以通过如下变换将松原格林函数“( 蛾) 变换到推迟格 林函数瓦( 缈) “( 蛾) 业竺与玩，( 缈) ( 3 1 3 ) ( 3 1 3 ) 式这个步骤叫做解析延拓，我们可以用同样的方法将费米子和玻色子的松原 格林函数转变为其相应的推迟格林函数 乡( p ，记k ) j = 型：三一g 二( p ，缈) ( 3 1 4 ) d ( g ，蛾) 纪：竺乌( g ，缈) ( 3 1 5 ) 定义谱函数r ( 缈) = _ 2 i i i l 矾，( 缈) 从瓦( 缈) 的表达式中我们知道