（应用数学专业论文）非线性离散系统的可积性的研究.pdf

一 塑兰点篓堡! ：篓：! ! ! ； 撼要 本文针对童垫墨鎏可积憔的些重要间题，做了以下工作。 1 i = ! ! 皇塑整的方法推广刘微分- 差分方程和差分方程上求出离 黢系统鼹对称，稠雳所得斡不变变换群可以求密露系统懿精确 艉。在求差分方程的过程中，与连续系统育所不同斡是所强的 超定方程是个函数方程，我们求解此函数方程所用的方法是进 行l a u r e n t 展开的方法来求的。 2 磺究了菲齐次t o d a 繇疆，帮类j 齐次菲线性徽分差分方程 其系数可与n 煮关，舅包含与速度肖关的羚力终蹋颚，我们剥 用变换群的内麒方法，给出了方程的l i e 点对称和精确解，考 虑到方程与t o d a 晶捺对称代数的同构关系，我们推导出疗程与 t o d a 晶辩之间黪交换关系，表明该方程燕i s t 意义下可织薜。 我们还引进了个毅熬约柬条件，给出方程数条搏对穆，进露 得到该嶷方程新的一类精确解。 3 t 给出了对于一类齐次的微分麓分方程或者是方程组可以利用分 璃变量法对英进行求解的充分条件，并颤b e l o v c h a l t i k i a n l a t t i c e 为铡，验迂它楚满是蛰馋豹，裂角分离交爱法求凌蒙豹 - _ - _ - - 一 糟确解。 浙江人学博j ：论文 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，s o m ei m p o r t a n tp r o b l e msi nt h ef i e l do ft h e i n t e g r a t i o no ft h ed i s cr e t es y s t e mh a v eb e e ns t u d i e d as u m m a r yo f t h em a i nc o n c l u s i o n so fo u rr e s e a r c h e si sf o l l o w i n g 1 l i e g r o u pt e c h n i q u e s f o r s o l v i n g d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e e x t e n d e dt ot h ed i f f e r e n c e e q u a t i o n sa n dt h ed i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c e e q u a t i o n si nt h i sp a p e r t h ee x a c ts o l u t i o nc a nb eo b t a i n e db yu s i n g t h ei n v a r i a n t t r a n s f o r m a t i o n g r o u p i n t h ec o u r s eo f s o l v i n g d i f f e r e n c e e q u a t i o n ，t h ed e t e r m i n i n ge q u a t i o n i sa f u n c t i o n a e q u a t i o nt h a ti sd i f f e r e n tf r o mt h eo n ei nt h ec o n t i n u o u ss y s t e m t h e s o l u t i o no ft h ef u n c t i o n a l e q u a t i o ni s o b t a i n e db yt h ee x p a n s i o no f l a u r e n ts e r i e s 2 t h ei n h o m o g e n e o u st o d al a t t i c ei s s t u d i e d ，w h i c hi s ac l a s so f i n h o m o g e n e o u se q u a t i o n s t h ec o e f f i c i e n t so ft h e s e e q u a t i o n sc a n b er e l a t e dw i t ht h e v a r i a b l e n t h el i e p o i n ts y m m e t r ya n dt h e e x a c ts o l u t i o n a r eo b t a i n e d b yu s i n g t h e i n t r i n s i cm e t h o d a n i n ”e r s e p o i n tt r a n s f o r m a t i o nf r o mt h i sc l a s so fe q u a t i o n st o t o d a l a t t i c ei s p r e s e n t e d i t i ss h o w e dt h a t t h i sc l a s so fe q u a t i o n s i s i n t e g r a b l e ，an e wr e s t r i c t e dc o n d i t i o ni s p r e s e n t e d ac o n d i t i o n a l s y m m e t r ya n dan e wc l a s so fe x a c ts o l u t i o n sa r eg i v e n 3 。i ti ss h o w e dt h a tac l a s so fh o m o g e n e o u sd i f f e e n t i a l 一d i f 怒r e n e e 浙江大学博 论文 e q u a t i o i l s c a nb er e d u c e d b y t h e s e p a r a t i o n 0 fv a r i a b l esw h e nt h e c o e f f i c i e n t so ft h e e q u a t i o n s s a t is f ys o m ec o n d i t i o n s t h e e x a c t s o l u t i o no fb cl a t t i c eiso b t a i n e db yt h es e p a r a t i o no fv a r i a b l e s 3 籀一京弓l 言 在自然科学的备个领域瘫部育非线憾耽簸的存在。隧着线性科 学的r 趋成熬，非线性科学的研究越来越引超人们鹩广泛熏铙， 是蚕际羔透足年来长蕊不衰龄重要燕门漾熬。奁蔑溪，葵线佼 科学独到为“七五”、“八五”和“九五”的煎大科磷埙目。孤立 子理论怒菲线洼辩攀中麓一令夔要磷突努支。 孤立子理论自1 9 6 5 年出z a b u s k y 和k r u s k a l f 1 将低们发蕊的孤 立滚意慈为蘧立予( s o | i t o n ，簿稼蕴予虢翳，褥蚕了迅猛终装震。 究其原黝遢孤子现藩无所不在，天上涡旋鼹系豹密魔波、海上昀 ；牢击波，等离子髂、分予系统、生物系统、党绎中光抟传糖、激 光传播、非线性传输线、越流氦3 、超导j o s e p h s o n 络、磁学、 结秘襁炎、滚鑫、溅俸力学嚣获基本羧子簿，都与孤立子骞关。 其发袋大致分为三个阶段。 第阶段，主黉是在十九世纪。最早讨论孤立子问题的是 s c o t t r u s s e l l ，穗凌l8 4 4 军9 薅英藩键瀵会嚣1 4 淡会议。t 俸了 论波动戆报告。撮告孛讲述了l8 3 4 年8 舞，毽淼逡海警发现 了一个渡彩不交熬零个凸篷懿k 漫；这令承毯运凌一二英黧之蠡 在河流拐弯处消失了。他以物理学家的敏锐注意到这个现象绝非 觳瘩波，霾免在一般猿嚣下，天黧瑟攫察戮夔拳浚慧楚蹙一率 其畜愆歙特点翡滚掰缢藏戆，魏糖石予投入拳嚣静一个篷甏懿渖 浙江太举博士论史 击波所激发的圆形圈不是一个而是串，数学上可| 士i 一个波动方 程描述，篡解是周期性的波列。r u s s e l l 注意到，他所观察到的那 个波绝对不可能是波动方程的解，随露r u s s e l l 透一步提出，他所 褒察爨熬对象实鼯上是浚葵力学数一个稳定瓣，毽郡嚣已愈名宅 为“孤立波”( s o l i t o r yw a v e ) 。它与冲溃波( 其波前有奇异性) 不 同，“孤立波”到处e 则，没有奇异性，而且它不扩散，因此同普 通的波包不同，殿者是臻弥散的。1 0 年之履( 18 4 4 年) r u s s e l l 在浅承攮中敛了些实验，蠲多秘方法激发，善裂了穗阕数凌象。 但是，r u s s e l l 的学说并未能成功地使当时的物理学家信服，从l8 7 6 年l o a dr a y l e i g h 发表的论文可以看到，孤立波的问题在当时许多 物毽学家中闻g l 超了热烈争论。1 8 9 5 年，即1 5 0 年之膳，荷兰著名 鼗学家k o r t e w e g 秘毽麓学生d ev r i e s l 3 l 给密了搭述这静凌象魏运 动方程k d v 方程，解释了r u s s e l l 的浅水波。与蚍月时，在1 8 7 6 。l8 8 2 年发现了b i i c k l u n d 变换，成为腊来发展孤立予理论的重要撼础。 第二阶段大致可划在1 9 5 5 19 7 5 年。1 9 5 5 年，f e r m i ，p a s t a ， u l a m 狰1 ( f p u ) 爱计算撬诗算了一维 # 线注磊擦在器令振韵援之阕 的转换，发现在时间足够长以瑟，能量似乎叉回到了开始的分布。 这与经典的理论怒背道而驰的，即：只要有非线性效应存在，能 量就会均分，各悉经历的现象就会出现。或者说，任何微弱的非 线瞧l 笮爱，霹导致系统凌雾平鬻狭态舞乎鬻状卷过渡。宙予f p u 濒糕天掌耩l ：浍空 阔题是在颧域蠹考黎兹，因熨寒笼发璇擞波勰。露采，t o d a 研究 了送种模式的非线性振劝，得到了孤波解，使f p u 阔题得到f 确 的解答，从而激发超人们对孤立波的研究必趣。 j 9 6 2 年，p e r r i n g 帮s k y r m e t 弼辫s i n e g o r d a n 舅穰箱予鏊奉粒 子磺究 t 9 6 5 年，z a b u s k y 鞠k r u s k a l i 1 命名s o l i t o n ；t 9 6 7 年 g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a 7 l 麓鞠了求解k d v 方稷的逆散 射方法，同年，m c c a l l 和h a h m 作出了激光自感威瀵明的孤子实 验；t 9 7 3 每，s c o t t ，c h u ，m c l a u g h l i n 。1 羧裘综述文肇，程逛予、 光学器謦放了孤予麴识：同年h a s e g a w a 秘t a p p e r t 鞭毒光纤孤予 豹存在；1 9 7 5 年，k r u m h a n s l 裰s c h i e f f e r f 2 33 嚣媳磺突弧渡灏绕诗 力举。 第三个输段( 警3 一) ，挺糕子褫念及毽埝广泛盛糟子貔疆攀、 生甥学、天文学端备个袋域，如在文皴【2 4 - 2 9 j 唾。，将瓤子应瘸予 场论模型和基本糙予，嚣等。同时，开展了齑缍孤予f 3 。j 和离散孤 子鹣骄究。 獯立子理论舄数学静许多分支舔蠢关系，经典分析和泛函分 蠡t 李释李代数，近谴镦分豆俺，莛羚攀，动力系统鞋震诤舅数 学都对孤立子的研究有蘑要作用。孤立予理论的内墚也是很车寓 戆，主鼗毽揠：嚣线经镶羧分寿搂熬最辩，莓辍系统靛锈爨攘鍪， 孤立予稻互作羁甑滕鹪磷究强及孤立予的巍糟闯题等等，它酾磷 疆辽太擎群 论文 究蕊瀚不搜涉及到数擎领域还有物理擎、天文学，生物学等等 已经发躐成为一个跨学科的综合学科。 在数攀领域内，孤立予理论键供了一个新斡求解非线性编微分 方禳静途径，蓉蠛露这么类瓣方程，稳稍静菜一姆解都葵熹孤 立孑的特- 漱，我们髂这类方稷为孤子方稷，热粕豹孤立子躺称为 孤滚籍，毽是确掰蟪说，骨么蘧孤渡麓? j ；蠡立予是铮么? 嚣豁 还没有个确切的邂义，比较恰当的做法是把如下三点作为孤立 子爨王俸定文，簿； ( 1 ) 孤立予( 弧波) 是波动阍题中蚋张能量礴耀髑域解 ( 2 ) 魏在空涮绘定联域稳定存在： ( 3 ) 相互作用不改变各自的特性。 孤立予虿分为掇矜径援立予裙饕藉羚熬强支予。羧爨箕澎获， 又鸯强状( k i n k ) 撬立子( 如s i n e g o r d o n 考程 ，遐络( e n v e l o p ) 孤立子( 非线性s c h r 6 d i n g e r 方程) ，脉冲状或钟状( 如k d v 方程) 孤立予，溉孤立予，反孤立予e a n t i s o l i t o n ) ，呼吸予( b r e a t h e f ) b o o m e r o n s r t r a n p p o n s 以及它们鹩叠蕊形成靛形形蕊怨的孤立子。 英豫魏b o u s s i n e s q 方程，h i r o t a 方翟，b e n j a m i n o n o 方霍耀毒露 式不同的孤立子解。 蕊麟缀予方程秘方法毒攫多耱，育璺己经艘隽经焚鹣方法。魄 弼；葳淑辩( i s t ) 方法，李交换群方法，d a r b o u x 变换方法，b c k l u n d ， 塑要点兰竖! ：照苎一 变换方法，双线性( h i r o t a ) 方法，w t ，c 方法等譬，这些方法势 不是孤立的，而是相互渗透，相互作用的。同时这些方法也在不 断的完善和发展中，得到了更好的推广。 i s t 方法( 逆教辩方法) 又稼菲线惶f o u r i e r 交换方法，最早 是1 9 6 7 年g g k m l 7 1 在求解k d v 方稷纫毽阏题对发现豹，后寒经 过l a x f 叭，z a k h a r o v ，s h a b a t 1 引，a k n s l 3 1 等人的摊广，使得这种 方法成为非线性方程精确求解的一种比较普遍的方法。嚣了解遮 静方法，先说一下正散射闻题稻逆教辩弼熬。所谨正敬辩f 蠢题 裁建方程的位势辽知，讨论方程的解及其缝秘理感兴趣旋量。 所谓逆散射问题。就是给定散射数据艏如何恢复其所对应的位势。 逆散射方法的思想就是将求解个非线性偏微分方程的初值问题 分解为求三次线缝方程鹃滔题。 李交换罄豹方法是攀嚣在微分方程中豹震要痘髑之一。麓攀来 说，就是先求方程的对称，利用对称可以把方程降阶或降维，迸 而求得方程的解。求方程对称的步骤般是这样的：给礅个非 线程发震方程，我镪先把这个方程对称的离耋坜麓形式设出来， 鬃嚣窘有几个德定丞数，鬏据瓣稳懿定义，嚣使糕方程敬形式缳 持不变的变换群，可以得到有关待定函数的超定方程组，求解方 程组，得到原方程的对称。迸一步求出相似变量。利用糨似变爨 可以把原方程降阶或降维，如粱降阶后的方程可戳求解，那么原 浙江人学博七论定 方程的糖确蜒就可以求出来了。但是这种方法也存在阅题，不是 所有非线性方程的对称都可以求出来的，对于有些方程，即使对 称求出来，也不一定可以使方程降阶。在某蹙情况下，我们求解 超定方程缝嚣亨，壤攥交已静需要麴上一些条侮，方麓求出灌要载 对称，这荦申对穗我们称之为条 孛对称。 d a r b o u x 变换方法是通过d a r b o u x 变换找刹两个孤子方程的联 系，我们可以通过一个方程的解，利用简单的代数运算，就可以 求爨另一令方程鹃麓。遮辞方法是隶瓤子解穰有效懿方法之， 困赡在于d a r b o u x 变换的寻找。 b i i c k l u n d 变换方法怒通过求出方稷的b i e k l u n d 鼗换，可以导 出方程的解的叠加公式。对于线性齐次方程，解的线性组合还是 方羧戆解，瞧对于菲线性方程，裁没蠢这么好静往璇。可怒霹孤 子方程来淡，我们知道了它的b e i c k l u n d 变换，很容爨导出方程的 非线性叠加公式，这样可以根据已知的方程的平凡解，推出我们 所需要的孤子解。 鞭线後( h i r o t a ) 方法是囱疆本数学家h i r o t a1 3 2 提出耱求孤 予瓣j # 豢夺效豹一萃孛方法，它弓 进了一转鼗的算子意义，期h i r o t a 算予( 双线性算子) ，此方法首先通过相燕变换把孤子方程化为双线 性形式，然后再用摄动法求出嘏线性形式的解。双线性方法除了 可以求孤予解矫，对于浆些方稷，还可戳求磁它的b l i c k l u n d 变换 9 塑垩查堂堕! 笙塞 和l a x 对，进而写出解的叠加公式，更有利于人们寻找有用的解。 w ，t c 方法是1 9 8 3 年，w e i s s ，t a b o r 和c a r n e v a l e 3 3 1 把常微分 方程的p a i n l e v e 剐剐方法推广到求解非线饿系统的种方法。 w t c 方法瓣方疆解按毒髯淀形嶷残l a u r e n t 缀鼗，遮藏壤内涵变 的非拳丰寓。剥用w t c 方法不仅能用予判定系统的w 积性，还可 进一步用于研究系统有关可积性质，如l a x 对和b g c k l u n d 嶷换等 等。 上述方法虽然建求您嚣予方程懿套效方浚，餐楚遴存在缀多 的局艰性，对于i s t 方法来说，它的主要困难在于：对绘定的非 线性发展方程，找适当的特征傀问题。对于双线性方法来说，对 于绘定的方程，如何找橘关变换把方稷化为澈线性形式，凳件很 窭潞静事憾。其稳鹃方法雹帮存在各释嚣难。毽钠莛溺静爨难在 于还没有系统豹毙验手段判定憝否已缭的非线性发碰方程可用上 述的方法柬求解，也没有一种判断准则可以判断给定一个非线性 发展方程它是否存在孤子解。 在孤立予理论孛，鬓一个羹要的蕃并究内容是霹稷霞懿繇究。 系统的可投性与守瞧律建密切糖关的。孤予方程中典型的代表 k d v 方程，已经诞明了它具有无穷多哟守恒襻，从而可以把它看 作最无穷维可积系统，这在物理上是徽有意义的。i 搿且越来越多 静事实表骥：孤立予静存在与无穷多个守毽律的存程是有密诱联 o 塑坚点鲎堕! 堡塞 系的，具有弧立予勰的嚣线性发展方程，一骰龆有无穷多守恒律。 对于可积性，随糟孤立予理论的发展，提出了很多新的可积性的 定义，比如i s t 可积，p a i n i e v e 可积，l a x 可粳，c 可积等等，下 面解释它髓瓣含义。 i s t 可积通常指对于给定豹憾微分方程豹初毽翘题可熏逆教射 方法求解。p a i n l e v e 可积是从常微分方程推广来的。我们知道，一 个常微分方程( 缀) 解的奇性依赖于扔始条件，则称此类奇点为 “添动瞧”的( m o v a b l e ；懿荣茈类衡往来蠢方程的系数，巯称 为“固定熬”奇点。蛰襞一个落微分方程缀) 筑辑寿话动专盎 都媳单值的，即仅有简单极点，则称此方程( 组) 具有p a i n l e v e 性臌。近臻年来，人们发现，p a i n t e v e 性质和孤立子理论中完全可 积懿菲线稳偏徽分方程霄密切联系，凡乎所脊的爵襁的p o e 经襁 似约纯后缮到豹o d e 郄矮有p a i n l e v e 瞧震。蔫名豹孤立予耀题专 家a b i o w i t z 等人猜测：对于一个给定的偏微分方程，用相似变换 得到的所有的常微分方稷如果鼠有p a i l a l e v e 性质，则这个偏微分 方程可雳i s t 方法求解。或者这样柬定义，船栗一个偏徽分方程 熊嬲具有p a i n l e v e 性质，我们篷嚣它为p a i n t e v e 可积。w e i s s 等人 将常微分方程的p a i n l e v e 性质推广到偏微分方程，即如果个偏 微分方程的解关于活动的奇性流形是“单憾”的，则称它具有 p a i n l e v e 性质。霹前，对于这瑟稀可积位是番完全簿价还没有严 浙江人学博【论文 格的数学证明。l a x 可积是这样来定义的，如果对予一个给定的偏 微分方程，我们如果可以找到它的l a x 对，则称此方程是l a x 可 积的。如襞一个非线性偏微分方程通过某种变换可以化为线性的 褊徽分方释，我翻爨稔_ f 嚣：方程燕c 一可拣靛。这忍稀爵积性薛不是 孤立的和无联系的，但媳不是完全等价的。它们是商交集的，即 对于给定的个方程，可能五种可积性都县肖，可能只具脊其中 的一种或几种，或者是一种都不其有。 这整理论都怒对予遗续系绞来漫静，对于离散系统 鎏有类像 的爨论，假没有逡续系统那么完善。求解豹商些方法可以携广到 微分差分方程这种的离缴系统中，例如：李点对称方法和敝线性 方法都已经推广到离散系统，擒供了求解离散系统精确解的很有 效麓方法。 凑数系统在工程技术中有广泛豹应髑裁最，这一方葱是出于攫 多物理，化学，生物，经济等问题的数学模型本身就是离散形式， 如t o d a 晶格，另方面，即使数学模型以微分方程形式出现，但 对这一粪方程送行鼗毽计算跨蓠先要褥它离黻纯，鞠蓝，离散方 程黝求艇，特别是菲线燃离教系统豹糖确解鹣获褥魏报有应爰静 景。 1 9 8 0 年，m a e d a 首先对离敝的l a g r a n g e 方程引进了相似解的 方法f 5 锄，l e v i 和w i n t e r n i t z 蒋l i e 交馥群方法应爝予微分蒺分方 浙江犬学博l 论文 程 6 0 l ，随后将连续系统中的条件对称，一般对称，隐对称，部分 对称等概念都推广到离散系统。 双线往方法最早箍广剿离鼓系统中静也是h i r o t a ，主簧包括 可以从己知的双线性形式导出新的可积模型，给出可积模型的 b i i c k l u n d 变羧，同时绘窭了l 线瞧鼷麓叠鸯委公式，还霹| 羞求囊l a x 对，证明有些可积模型不仅在b i i c k l u n d 变换下魑可积的，在 s t 意义下也是可襁鹃。可双t 黢酶定义也漱连续系统擦广裂离数系绫。 但是对于离散系统来说，还有很多问题需要解决，比如离散系统 的p a i n l e v e 性璇是怎样定义? 连续系绫离散化聪，有些性质改变， 有些性质没有变化，萁本质原因是什么? 等等。针对离散系统研 究中所存在的许多重要问鼷，本论文做了以下工4 乍 ( 1 ) l i e 点对称的方法推广到徽分差分方撩和差分方程上， 求出离散系统的对称，利用所得的不变变换群可以求出 露系统熬精确鼹。在求差分方程的过稷中，与连续系统 有所不同的是所得的超定方程是个函数方程，我们求解 此爨数方程繇建豹方法是盍蓬行l a u r e n t 溪歼。 ( 2 ) 研究了非齐次t o d a 晶格，即类非齐次非线性微分差分 方程( 2 。3 。1 ) ，其系数可与r l 蠢关，曼包禽每速度枣关熬羚 力作用项，我们利用变换群的内禀方法，给出了方程的 l i e 点对称和精确解，考虑到方程与t o d a 晶格对称代数 塑坚茎兰堕主笙茎 的同构关系，我们推导出该方程与t o d a 晶格之间的变换 关系，表明该方程是i s t 意义下可积的。我们还引进了 一个新的约束条件，给出方程的条件对称，进而得到该 类方程新的一类精确解。 ( 3 ) 证明了对于一类齐次的微分差分方程或者是方程组在其 系数满足一定条件时，可以利用分离变量法进行求解 并以b e l o v c h a l t i k i a nl a t t i c e 为例，利用分离变量法求出 新的精确解。 本文分为四个部分，第一部分是引言。第二部分是离散系统 的对称性的研究，包括差分方程和微分差分方程的对称和条件对 称。第三部分是分离变量法。最后一部分是对于离散的b k 方程的 c 可积性的有关研究。 第二章离散系统的对称性研究 2 1 连续系统的对称导论 i 对称的定义 对于一般的非线性发展方程 “，= - ( u ，“，t , 。) 作无穷小变换 “斗v = “+ e r ( u ，“x ，“) 这里占是无穷小参数，当“是( 2 1 1 ) 的解时，而v 满足 v = h ( v ，v 。，v 。) + o ( e 2 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 则称( 2 12 ) 是( 2 1 1 ) 的无穷小不变变换，同时称r l ( u ) 是( 2 1 1 ) 的对 2 ，对称的求法 下面我们以二阶偏微分方程为例详细讨论对称的求法。 二阶偏微分方程 t t ( u 。，“。，“ “，u ，“，x ，f ) = 0 在边界曲线 给出个边界条件 b p 0 。，“，t ，) = 0 = 1 , 2 ，m ( 21 3 ) 浙江：= 学博 论文 把上述问题记为系统s 。 考虑如下的单参数( s ) 的李变换群 f z = x ( 工，“；占) ，= f ( x ，“，占) l 。+ ：。( 列，“，占) ( 2 1 4 ) 设“= o ( x ，) 为系统s 的一个解，我们在系统s 中以v 代替“ x = x ( x ，t ，o ( x ，味s ) 代替x ，= r + ( x ，o ( x ，) ；5 ) 代替f ，所得系统记为 s + 。设v = 曰( x ，) 是系统s 的一个解。 定义2 1 如果当“= o ( x ，0 是系统s 的一个解，则v = “( x ，o ( x 吐s ) 也是系统s + 的解时，我们称系统s 在变换( 2 1 4 ) 下是不变的。 由此可得o ( x ，) 必须满足具单参数占的泛函方程 o ( x ( x ，t ，o ( x ，f ) ；s ) ，( z ，t ，o ( x ，) ；占) = “( x ，f ，o ( x ，) ；占)( 2 1 ，5 ) ( 2 1 4 ) 式关于s = 0 展开，可得如下的无穷小项( 善，玎，f ) ( o ( s ) ) 眭三戮舞 利用( 2 1 6 ) ，将泛函方程在= o 展开 ( 2 1 6 ) 占( x + e 4 ( x ，f ，材) + d ( s 2 ) ，t + e r ( x ，f ，“) + o ( s 2 ) ) = o ( x ，) + e q ( x ，目) + o ( 占2 ) ( 2 1 7 ) 泛函方程( 2 1 7 ) 的d ( s ) 项导致如下的o ( x ，) 的一阶偏微分方程 善( x ，t ，o ) o ，+ r ( x ，f ，8 ) b = 吁( x ，t ，臼) ( 2 1 8 ) 称方程( 2 1 8 ) 为不变曲面条件。( 2 1 8 ) 的一般解可由如下的特征方 浙扛大学博上论兜 程 查 。堕：塑 4 ( x ，t ，毋)r ( x ，f 毋)帮( x 。t + 护) f 2 。1 9 1 得到。原则上，可以得到( 2 18 ) 的一般解，它含有两个参数 其中之一为独立变量f ，“) ，称为相似变量，而另个为因变量 厂落) ，我船可得到裙像形式 0 = f ( x ，f ，( f ) ) 2 1 、1 0 ) 将( 2 i 1 0 ) 代入( 2 1 3 ) ，可得到( f ) 应满足的常微分方程，具 体来说，我们可从( 2 1 9 ) 的第等式的积分，得到 f ( 兰，f ) = c o n s t ( ；* = g ( f ，f ) )f 2 ，1 11 ) 它在( 茗，) 平疆上定义楣 矬戴线。孬扶( 2 。t 9 )簧二等式 d td o “”“。“。_。呐“” f ( g ( f ，f ) ，f ，$ 节( g ( f ，f ) ，0 ) 褥到解 g ( x ，f ( x ，) ，0 ) = c o n s i = 厂( f )f 2 1 12 ) 于是，由( 2 1 1o ) 式 o = f ( x ，f ，歹( f ( 嚣，f ) ) ) 为了寻求无穷小交换，我 必须计算些导数魏交换式。捌如 万o x = 参f 一( 列+ 0 ( 幽】 = l 一 o 融掌衙o x i + 丽0 釉缸, 融o x 1 + 。啊2 ) ( 2 1 1 3 ) 。l 一西荽警8 ，】+ 。( e 2 ) o xd 甜 濑江犬学博l 论文 类似囊 罢。一。 篓+ 蒌眵】+ 。( 。) 矿一。 菖+ 嚣p 】蜘 要：h 【妻+ o 。r o , 啦2 ) 矿引q 啧+ 辄t 一+ 。译 熹一+ 警蛐啦勺虿一瑗i + 面姣j 均) 嚣+ * 鞋+ 暑，t ，e ( x ，f 冀彩：e ( x 。f 牛嬲x ，f ，髫) + o 9 2 ) 由此，可得一阶姆数和二阶导数的变换式 篓。翌幽謦照迹十。( # ：) 瓠敷 一7 ：型盟警她趔_ o x 十o _ 堡t o ，+ 。( sz ) 甜搬搬 将( 2 。1 t3 ) 伐入( 2 ，1 9 ) ，诗鳖可德 袋= 巳+ 捌 则 ( 2 ，1 。l7 ) ( 2 1 。1s ) ( 2 1 。19 ) 畿疆天学媾t 论文 其中 节。】表示篆芸魏无穷，l 、，它豹表达式怼 ，7 。】= 口。十( 2 _ r 7 。一手。) 拶，一f 。只+ ( 叩。一2 掌。) 色2 2 v 0 目 一。8 7 一；h 4 孕? 87 每锶；一2 ；8 。一2 r 。8 。一3 ，? e i ；8 | 一t 。8 t 一2 r i ? e 。静。 类似的，我们可以霉出 玑】，【，7 ，】的表达式。 对于薅酚数馕微分方程，我们鬟要讨论罄参数变换释数毫盼延 拓，在此我们不再做详细讨论，只给出高阶延拓的公式。 命题2 1 一般有p 个自变量，逸为x = ( x ，x 2 ，茁”) ，一个因变量 “= “( x ) 一u ( x 1 , x 2 - x 9 ) ，x 的无穷，j 、孝= 善( 墨“) ( f = 1 , 2 ，p ) ，“的无 穷小刁mv ( x ，“) ，则“：的无穷小为 。d ，陬一p 釉，小兰孝“心， = 1j = l 举例来说，“。的燹努小 习一j 为 【叩。】。d ，3 研一身，一掰，卜f 孝( 。) 。+ r ( u 。) ， 对于上式中的全导数算子，可以用l e i b n i z 公式展开。 方程( 2 1 3 ) 在无穷小变换( 2 1 4 ) 下悬不变的，因此有 h ( “，“- 叫j ，“i ，“，x 4 ，f + ) = o( 2 1 2 0 ) 因此，方程( 2 1 + 3 ) 在无穷小交换( 2 1 4 ) 下不变静态分必要条 件是方稷( 2 1 2 0 ) 中的无穷小项( 。( ) ) 恒等于零，即对于( 2 1 ，3 ) 给定懿黪籍= o ( x ，t ) ，有 9 浙江凡举博l 二论文 瓯】筹嘲。瓦o h + 嘲嚣o u + 刚筹嘲，】等+ 警等+ 霉掣o x + r 掣o t = 。 嬲。徘。，溯，口“，张 ( 2 1 ，2 1 ) 方稷( 2 1 。2 1 ) 中台有各种0 的释数项，它的系数依赖于( 日，x ，f ) 和 未知的( r , 善，r ) 。合并同类项，使莎的各种导数的系数为0 ，即得到 无穷，j 、交捺秘决定方程，出诧可解褥f 辘善，r ) 。 2 2 差分方程的点对称 对差分方程用李点对称的方法来求解，照李群在方程中应用 酶又推广，经赣麓理论楚李群在微分方程中的应丽，这种推广 对李瓣理论帮方程理论妫发震都麓缀大翡程邀馋躅。 考虑差分方程 u ( x + ) ) = d ，【“( x ) 】 其中系数d 满足 啦b - t = ，1 ( n 川) c b k 。= 。 ” 和6 为任意的非零实数 浚( 2 2 1 ) 的无穷，j 、交换的单参数群为 茗嚣苫+ g ( 善，封( x ) ) + o ( e 2 ) 甜搿“十种( 茁，“( x ) ) + o ( e 3 ) 方程( 2 2 1 ) 在变换( 2 2 2 ) y 保持形式不变，即 ( 2 2 1 ) ( a ) ( 2 2 + 2 a ) f 2 2 2 b ) 浙江人学博i j 论文 由于 + 甜) = q “( x ) “+ ( x + + ) = u ( x + 埘) + 删( x + c o ，u ( x + ) ) ( 2 2 3 ) + s 善( x “( x ) ) 一孝( x + c u , b l ( x + c u ) ) ! 兰( z + c o )( 2 2 4 ) 甜 将( 2 2 2 ) 和( 2 2 4 ) 4 2 入( 2 2 3 ) ，比较s 的一次幂的系数，得到靳口v 应满足的方程： 故 v ( 工十甜，“( z + 凸，) ) + f ( x ，“( x ) ) 一善( 石+ ，( x + 丘9 ) ) 】皇兰( z + c u ) 黜 = 口，j “( z ) 】r - i p ( x ，“( x ) ) 4 ( x ，“( x ) ) 一4 ( x + c o ，b l ( x + o j ) ) = 0 v ( x + 国，“( x + ) ) = q 和( x ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 a ) f 2 2 6 b ) 由( 2 26 a ) 得 告( z ，“( x ) ) = a ( x ) ( 2 27 ) 其中口( x ) 是以为周期的任意函数，即口( x ) = a ( x + ) 将( 2 2 i ) 代入( 2 2 6 b ) 得 月 v ( x + c o ，。“( 石) 。) = 口，f “( x ) 】。v ( x ，“( x ) )( 2 2 8 ) ( 2 2 8 ) 是一个函数方程，我们通过将v ( x ，“( z ) ) 按毒_ 进行l a “m m 展 l x ) 开来求解，设展开式为 ( 2 2 ，9 ) 其中c i 0 ) ，i = 0 , 1 ，2 是x 的待定函数，m 是待定常数，将( 2 2 1 ) 与 铂擘掰) ( 窆“( x ) ) 8 + q ( x + 擅) ( 窆嚷“( 并) ；) * 一；+ ” = g ，i u ( x ) ( 苫) # ”+ q x ) ”1 + i f ) 左边的主要颂是： c o ( 茗十国) ( k “( 曲“” 右边的主要项是： 毙较( 2 。2 ，1 l a ) 与( 2 。2 。1 1 b ) ，簿 i t 12 1 ( 2 2 10 ) ( 2 ，2 12 ) ( x ) 是不同于口( x ) 的另一个以。为周期囊勺周期函数，将m ；1 代入 ( 2 2 0 ) 得 氏0 + 。) ( 辑蹿( 工) q o + 搿) = 8 ；i u ( x ) ( e 。红) “( x ) + q ( x ) + 比较( 2 ；2 ，l3 ) 左右两边展开式中“豹同次繇系数，商 “” 打”一 c o ( * + c o ) a 。= r t a n c o ( 工) c o ( 工+ c o ) a , 一i = h a n c l ( 茗) + ( 露一1 ) 以，i c o ( x ) q ( x ) = ；竽! c o ( 若) = b c o ( 并) m “ ( 2 2 i3 ) 浙江人学博【j 论文 封 2 ： c o ( x + 印) 礴舢2 = n a 。e 2 ( x ) + ( 牲一1 ) a 。一l c l ( 薹) + ( 撑一2 ) a 。一2 e 。( x ) c ? ( 工) 黜二一 2 d 。2 一( 辩一1 ) 盘。一l b c n ( 茗) = 0 7 t a 。 由条件( a ) 可得 o i ( x ) = 彝o o ( x ) e ，( x ) = 0 故 v ( x ，“( x ) ) = t , to “f l ( x ) ( u + 6 ) 与( 2 2 4 ) 褶关的不变交换是： 磊= f e x p 静( 捌( 茗) ) 晏 础 = x p 。e 嚣8 多( 茗) ( “+ 6 ) 善 l “ 甜 令 z = 拦= l n ( u + 6 ) bj 打+ 。7 即 代入( 2 。2 。15 ) ，缛 五。蛔 积毫筘知和：- b ) = e x p ( z + 翻。夕( 盖) ) - b = + b ) e x p ( , m “( z ) ) 一b ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 。15 ) ( 2 2 。1 7 ) 浙江人学博卜论义 这举b 是任意的非零实数，易知= 0 是 。勇方萄，为了剃蠲计算祝对非线能 系统进行数值求解或解鲍悭鹰的研究+ 又必须将建续系统离淑化 祷蒸莲势方程或澈努蓑势方程，掰鹾辖线蔑疆劳蔑努方蠢黥研究 在髓论和皮崩掰方惹都是缀意惑义豹。 文f 6 2 绘出了饕赛次y o d a 鼹骖蕊d a r b o u x b a c k l u n d 变换，我 们晰研究的非齐次y o d a 晶格，即一类非齐次非线慷微分差分方秘 f 2 。s + ；蒸蓉羧爵毒豇饔美，量毽含与速鏖蠢美熬舞鸯露爨璞，逮 梯黝方程可能熙符台实黠黝物毽系统。我们裂用糍挨群鹃凌攥方 法，绘迄了方程( 2 ，3 l ，罄l i e 点对戆耧祷礁嚣，考懋戮方毅2 。3 ；l 与t o d a 晶格对称代数的同构关系，我们报导出方穰( 2 3 1 ) 与y o d a 鑫揍之蓠滟交按关系，袭爨浚方程是i s t 意义下霹彩匏。我们逐 浙江人学博【j 论义 引邀了一个毅款终柬条传，绘撼方程( 2 。3 。1 ) 熟冬件对舔，避蕊褥到 该类方程新的精确解。 a 方程豹对称： 考虑非齐次的微分差分方程 h = v “一b v ，一( 2 n + a ) b2 _ g ( 一1 ) e ”胛”舢+ g ( 蚪) p ”卜。舯= 0 ( 2 3 1 ) 箕中莛岛任意豹实数，g ( 拜) 是菲受靛任意强鼗。 设缓万程驹对穗零代数鞠向量场为： 矿= 毒( r ，v 。( f ) ) 0 ，十矽( f ，v 。( ，) ) a ，( 2 3 2 ) 保持方程形式不