（凝聚态物理专业论文）二维随机量子ising模型动力学性质的研究.pdf

t 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 ( 在口划“4 ”) 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士论文二维随机量子i s i n g 模型动力学性质的研究，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读博士 | 口硕士图学位期间独立进行研究工作所取得的成果。论文中除注明部分外 不包含他人已经发表或撰写的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中己明确的方式注明。本声明的法律结果将完全由本 人承担。 作者签名：甲尔淑霞 日期：2 0 舡0f 20 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“”) 二维随机量子i s i n g 模型动力学性质的研究系本人在曲阜师范大学 攻读博士口硕士日学位期间，在导师指导下完成的博士口硕士日学位论 文。本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他 单位的名义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被 查阅和借阅。本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论 文，可以公开发表论文的全部或部分内容。 e l 期：2 0 o 6 2 - 0 日期：吲o 、b 讼 摘要 摘要 自旋系统的动力学性质是相变与临界现象研究中非常重要的一个问题。近年来，随机 量子自旋系统的研究成为人们关注的热点问题之一。本文主要研究高温极限下随机分布对 二维量子i s i n g 系统动力学性质的影响，其主要内容如下： ， 对于各向同性的i s i n g 模型，在最近邻交换耦合参量( 或外加磁场) 满足双模分布的 情况下，利用递推关系式方法近似求解了系统的自关联函数及谱密度，研究了随机分布对 系统动力学性质的影响。结果表明，系统的动力学行为随着最近邻自旋耦合参量的均值，和 外加横场的均值b 的相对强度而变化，即当j b 时，强交换耦合参量使得自关联函数单 调递减，系统的动力学行为由中心峰值行为所支配；而当j b ，t h es p i nc o r r e l a t i o nf u n c t i o n ss h o w m o n o t o n i c a l l yd e c r e a s i n g ，a n dt h ed y n a m i c so fs y s t e mi sd o m i n a t e db yt h ec e n t r a lp e a kb e h a v i o r w h i l ef o rj 0 。由于谱密度( 谱函数) 可以通过中子散射等实验手段直接测量 得至t j 1 4 ，这样我们可以把理论和实验有效地结合起来。 2 第一章综述 1 3 动力学性质的研究历史 1 3 1 一维自旋系统的动力学 量子自旋系统的动力学性质是统计物理研究中非常重要的一个问题，然而由于系统的 动力学性质要比平衡态性质复杂的多，所以对研究动力学性质的研究是一项非常困难的工 作。对于纯自旋系统动力学性质的研究大致可分为三个区域：低温区域( t = 0 ) 、临界区域 ( r = 耳) 和高温区域( 丁= o o ) 。发现在不同的区域范围内，无限自旋系统( 如i s i n g 、x y 模 型) 的自关联函数有不同的表现形式：在t = 0 时表现为幂律行为 1 5 1 8 】，在0 t ，y - - - - x 或y 【1 7 】。随后， v a i d y a 等人在m c c o y 的基础上精确求解了任意月和，时的关联函数凡( r ，) ，讨论了两个 标度极限下的关联函数【1 5 】。1 9 8 3 年，m u l l e r 扩展了临界场中的一维横向i s i n g 模型和零 场中的各向同性x y 模型的自关联函数的长时渐近展开，给出了两种模型中的横向自关联 函数 五0 ) l 玎、【k ( f ) b 和 凰( f ) b 、【k ( ；) b 的表达式 1 6 。在f 比较大时，横向i s i n g 模 型的自关联函数【x o ( f ) 】刀具有如下形式： 【k ( f ) 】玎- a ( i t ) 一h ， ( 1 1 1 ) 第一章综述 其中j = 2 川2e x p 3 ( 一1 ) 】= 0 6 4 5 0 0 2 4 8 。而x y 模型的自关联函数【k ( f ) k 对应下列关 系： 【k ( f ) 】盯= ( 彳) 2 2 1 胆( 打) 一胆 ( 1 1 2 ) 随后他们又用一种新的展开计算法求解了临界场中的一维横向i s i n g 模型和零场中的各向 同性x y 模型的自关联函数的长时渐进展开，分析了它们的结构属性，并且和纵向自关联 函数z 0 ( f ) 进行了比较 1 8 。 3 指数行为 1 9 9 2 年，i t s 等人计算了一维横场中的各向同性x y 模型在有限温度0 t o o 下的关 联函数，发现关联函数的渐近行为在任意方向都以指数的形式衰减 2 1 】。1 9 9 5 年，s t o l z e 等人研究了一维x x 模型的自旋关联函数的动力学性质，分别计算了有限大小和半无限大 小的x x 自旋链的关联函数，并给出了具体的表达式【1 9 】。对于有限大小的x x 链，自关 联函数的长时渐近衰减具有如下形式 ( ( 孵) 一e x p 一等( 1 + l i l 争( 1 o ，可得 ( 0 ) = a 川+ i ( z ) + z 0 ) 一一i ( z ) ( 2 1 7 ) 考虑初始条件( 0 ) = l ，以( o ) = o 仞 0 ) 可以得到口o ( z ) 的连分式形式 a o ( z ) = 云一， ( 2 1 8 ) z 十o 一 z + 垒丝= ! z + a 。l ( z ) 其中z = 占+ 泐，r 。( z ) 为连分式口o ( z ) 的第力阶截断函数。由于计算的复杂性，因此只能求 出有限的连分式系数的个数，此时要对( 2 1 8 ) 式采取恰当的截断，从而求出口0 0 ) ，进而求 9 第二章二维随机横场l s i n g 模型的动力学 出自关联函数对应的谱密度 o ( c o ) = r ef c ( t ) e 一“d t = l 。i m ，。r ea o ( z ) l ：。+ ，。 ( 2 19 ) 2 3 2 近似方法 在具体求解自关联函数c ( f ) 及其谱密度o ( c o ) 时，由于计算非常复杂，只能求得有限 的连分式系数，因此要采用一定的近似方法来求解c ( t ) 和o ( c o ) 。 2 3 2 1p a d 6 逼近 p a d 6 逼近是由数学家p a d 6 提出的特殊的有理逼近方法，这里我们采用这种方法来求解 自关联函数的近似解 5 6 。 在求解自关联函数时，可以把自关联函数( 1 6 ) ) 畏成t a y l o r 级数形式 c ( f ) = 。柚( l - 二厅o j * ：m 2 。一 ( 2 2 。) 其中鸩。= 吉i i 而五万丽称为c 的第2 七阶矩，z 为系统的配分函数。 假设存在两个多项式 己( f ) = ，q ( f ) = q f 并且 丢i6 ， ( = o ，1 ，2 ，朋) ， k = o 雕舻臀( ：蒜z 所篙i ”、，一，1 ，。 ， - “， e a i g k n i l 寸c , = 0 。这样求得的己和q 虽然不唯一，但是有理数 。) = 器 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 却是唯一的，人们把如。( f ) 称为c ( f ) 的沏，胛 级p a d 6 逼近。如果c ( ，) 的前几个系数已知， 利用( 2 2 2 ) 式可z 。，1 0 m + n + 1 个方程，求解这些方程首先可以求得c 0 ，q ，q ，巳，然后可 得到6 0 ，6 i ，吮，6 肼，进而可得到c ( f ) 的咖，玎) 级p a d 6 逼近式。 2 3 2 2g a u s s i a n 截断 在求解( 2 1 8 ) 中的( z ) 时，由于只能求解出有限的连分式系数，因此需要先求解截断 函数r 。( z ) ，即采用一种合理的截断方式。常用的截断方式有s q u a r e r o o t 截断、g a p 截断、 r e c t a n g u l a r 截断、g a u s s i a n 截断等。在本文中，根据所求得的前j 个连分式系数l ，2 ，一，a ， i 0 第二章二维随机横场l s i n g 模型的动力学 可知它们满足线性关系。这符合g a u s s i a n 截断的特点，所以我们采用这种方法来求解截断 函数r 。( z ) 【5 7 ，5 8 。g a u s s i a n 截断方式对应的谱密度模型可表示成如下形式 碌砌：巫p 彳腿，( 2 2 4 ) 模型的驰豫函数可表示为 i ( z ) = 塑e x p ( z 2 2 k ) e r f c ( z c o o ) 连分式系数模型满足线性关系瓦= k n ，k 为l ，“，a 。的线性关系的斜率， k ：壹( 刀一柳( 色一五) 兰。一忉z ， 其中= 坛二。刀：五= 坛：。利用( 2 2 4 ) 、( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) 删f 。( z ) ， ( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 式可求出谱密度。 2 4 结果分析 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 将其代入 选择零阶基矢兀= ，由递推关系式( 2 1 4 ) 精确计算了前七个基矢及相应的连分式系 数l ，。下面我们给出了前两个基矢： 石瑙吒， ( 2 2 7 ) f 2 = ( a i - 忍，) 吒+ 尽，j 正砒矿吲吒+ 骂，以。一- + j 吐， ( 2 2 8 ) + b t 。j j i 。j a ：h j a ；。jj 卜b | j j 。j a ；帆f c f ：。j ： 其相应的内积可由( 2 1 0 ) 式求得 瓴，f o ) = 1 ， ( 2 2 9 ) 何，f o = b u 2 ， ( 2 3 0 ) ( 五，石) = ；一2 石譬，+ 吃+ 碗z ，+ 既丘m + 2 吃吒 ( 2 3 1 ) 由。= ( 正，z ) ( 厶。，六一。) 可以精确求出a l ，。从求得的结果可以看出这些连分式系数 近似呈线性关系，因此利用已得到的前七个连分式系数，再根据 a 。= ( ) 以，力 n ， ( 2 3 2 ) 可以近似求得8 ，。 我们可以利用已求得的前九个连分式系数，采用g a u s s i a n 截断的方式，求得谱密度。 另外，根据连分式系数和矩的关系，可得到横向自关联函数的前2 0 阶矩，利用己求得的 第二章二维随机横场l s i n g 模型的动力学 矩构造自关联函数的p a d 6 逼近，进而求得c ( t ) 的近似解。 本节将给出当随机变量分别服从三种随机分布时，二维随机横向i s i n g 模型的横向自 关联函数c ( f ) 及其谱密度( 国) 在高温极限下是如何随时间演化的。 2 4 1 双模分布 2 4 1 1 随机外场的情况 假设外加横场j b i 满足双模分布( 2 2 ) 式，交换耦合参量厶为常数( 厶口= ，= 1 ) 。假 设马= 0 6 ，岛= 1 6 ，在这种情况下，随着p 值的增加，外加横场从骂， j ( p - - 0 ) 的状态 变化到e ， j ) ，系统的行 为表现为独立自旋在磁场中的旋进，这个振荡的内场导致旋进自旋以阻尼振荡的形式衰 第二章二维随机横场l s i n g 模型的动力学 减，并且谱密度的曲线展宽。当b 值小于，时，振荡行为( 即集体模行为) 消失，系统的 行为由自旋间相互作用所支配，表现为中心峰值行为。因此，当随机横场或交换耦合参量 分别满足双模分布时，随着j b 值的增大，系统的动力学行为存在一个从集体模行为到中 心峰值行为的交跨效应。 ， 2 4 2 高斯分布 2 4 2 1 随机键的情况 考虑交换耦合参量以，满足高斯分布( 2 3 ) 式，随机外场e ，保持不变。不失一般性，令 忍，= b = 1 ，取z ，的均值为0 ，0 5 ，1 0 ，1 5 ，2 ，令其标准偏差q 在0 和3 之间取几个值。 图2 3 和2 4 分别给出了不同q 下的自关联函数及其谱函数。图2 4 中的插图给出了对应 的前9 个递推因子。 图2 3 交换耦合参量服从高斯分布时的自关联函数。当q 比较小时，自关联函数曲线由阻尼振 荡衰减逐渐变为单调递减，系统的动力学性质存在一个从集体模行为到中心峰值行为的交跨效 应。当q 比较大时，c ( t ) 曲线单调递减，系统表现为中心峰值行为。 从图2 3 和2 4 可以看出，当o j 比较小时( 如o j = 0 3 ) ，系统表现出两种不同的动力 学行为：集体模行为和中心峰值行为。图2 3 ( a ) 中的曲线( = 0 ，b = 1 ) 是一条轻微的阻 尼振荡函数曲线，图2 4 ( a ) 中的曲线( j = 0 ，b = 1 ) 表明谱函数的最大值对应的频率在 缈= l 附近。图2 3 ( a ) 中的曲线( - ，= 0 5 ，b = 1 ) 也以阻尼振荡的形式衰减。由此可以看出 第二章二维随机横场l s i n g 模型的动力学 当j b 时，系统的动力学特性表现为集体模行为。随着j 值的进一步增大，系统的中心 峰值行为逐渐增强，集体模行为逐渐衰减，当，= 2 时，系统的动力学行为仅表现为中心峰 值行为。因此，系统经历从集体模行为到中心峰值行为的交跨。 由图2 3 和2 4 还可以发现：随着标准偏差矿，的逐渐增大，自关联函数阻尼振荡的振 幅变小，而其驰豫时间变长；谱密度的最大值对应的频率逐渐向零移动，而原来就在零频 的其强度也逐渐增强。当盯，= 2 时，自关联函数曲线都呈单调递减的形式，其谱密度的最 大值也都处在彩= 0 处，此时系统只表现为一种动力学行为一中心峰值行为。这是由于强 耦合在系统中占主导地位。自旋间相互作用在与外场作用的竞争中占优势，因此交跨效应 随着标准偏差的增大而消失，系统的动力学行为仅表现出中心峰值行为。这与- 二维情况下 横场i s i n g 模型的动力学性质相似。 爸 菩 ( a ) 运 一0 如骞蓊 虹、巍 o ( c ) 抛 ：恐。 鑫v 篓j 辜兰； 1 篓0 隧 |膨 1 车 v b 嚣1 ：q 暑2 ：器5 一- 扛1 o - j = 1 s 饷- j ：2 o ， 考 e j 尊 e x | | 隧 。v 堇 ；盏；d 缪 ： 老蠡 二 o 算f b i r 一 - 墨二期 一1 穗- - j = o 量 4 r 却| | | 陲 b = i ；a r j = 3 _ - _ - 一j = o 一一扣0 5 一r - - j = 1 0 - j = 1 5 - - j = 2 0 图2 4 交换耦合参量服从高斯分布时的谱密度。当乃较小时：谱密度最大值所对应的频率从l 处移至0 处，系统存在交跨效应，当q 较大时，系统的动力学只表现为中心峰值行为。随着标 准偏差的增大，系统的动力学性质逐渐趋于一致。 。 2 4 2 2 随机外场的情况 考虑随机外场忍。满足高斯分布，而交换耦合参量山痧r 为常数，令以，= l ? 取e 的 均值召为0 ，0 5 ，1 0 ，1 5 ，2 ，标准偏差取两种典型的值：较小值0 3 和较大值3 。图2 5 给出了相应的c ( ，) 和o ( c o ) 的数值结果。 从图2 5 ( a 1 ) 和0 2 ) 可以看出，当较小时，随着随机外场的均值增加，系统的动 力学行为经历一个从中心峰值行为到集体模行为的交跨。而在图2 5 ( b 1 ) 和( b 2 ) 中，我们 o 5 o 5 o 5 o 5 o的：；抽舶如侣仙 柏箱驰筋加协盼们 o 5 o 5 o 6 0 5 o 5 a三；鸲们拍=；惦拍：2埔 铂躺柏黔拍孙如协仙瞄 第二章二维随机横场l s i n g 模型的动力学 发现系统的动力学行为仅表现出一种非常无序的行为，这是一种介于中心峰值和集体模之 间的混乱无序的行为，与一维随机横场i s i n g 模型满足双模分布时的最无序行为类似。出 现这种行为的原因是随着随机横场标准偏差的增加，随机横场使得系统自旋的取向变的 无序，从而导致系统出现无序行为。 图2 5 随机外场满足不同高斯分布时的自关联函数及其谱密度。当= 0 3 时，系统的动力学 存在交跨效应。当= 3 时，系统的动力学只表现为无序行为 2 4 3 双高斯分布 本小节考虑随机变量服从双高斯分布( 2 4 ) 式的情况，在此我们也考虑两种无序类型： 随机键模型和随机外场模型。在随机键模型中假设交换耦合参量的标准偏差不变，均值取 以= 1 0 ，以= 0 4 。在随机外场模型中假设横场的标准偏差不变，均值取届= 1 8 ，马= 0 2 。 图2 6 和2 7 分别给出了不同参数下的自关联函数c ( ，) 及谱密度( 国) 。图中的插图是相应 的前九个递推因子。 结果表明，当随机变量的标准偏差( 盯，或) 较小时，系统的动力学特性和双模分 布时的结果类似，而当标准偏差( 盯，或) 较大时，系统的动力学特性和高斯分布时的 结果相类似。 通过比较上面三种随机分布对系统动力学的影响，发现对动力学性质的影响主要取决 于自旋间的相互作用与外场作用之间的竞争，与随机变量满足的不同分布关系不大。当自 旋问相互作用处于主导地位时，系统的动力学行为表现为中心峰值行为，而当外场处于主 1 6 一 笙三童三丝堕垫垡堑! ! 虫墨堡型塑垫垄兰 一 _ - _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ 。_ _ - - - _ - _ _ - _ _ i _ - _ _ _ i - _ _ - _ _ _ i _ - 。_ _ 。_ - _ - _ - - - _ _ 。_ _ _ _ - 。- - 。- _ _ _ - _ - _ _ - i - i _ 。- - _ _ _ _ - _ _ _ 。_ _ _ 。一一 - i 。= 0 , 5 2 0 = j m 7 5气譬飞沁 o oo 2o 4 t o en 81 o 2 o 1 8 1 6 1 4 1 0 91 0 e o 8 o 8 o 4 o 2 o - o 图2 6 交换耦合参量满足双高斯分布时的自关联函数及谱密度。当乃= 0 3 1 付，随着p 值 的增大，系统的动力学行为存在交跨效应，当乃= 2 0 时，动力学行为仅表现为中心峰值 行为。 图2 7 随机横场满足双高斯分布时的自关联函数及谱密度。当= 0 3 时，存在交跨效应， 当= 3 时，系统只变现为无序行为。 1 7 第二章二维随机横场l s i n g 模型的动力学 导地位时，系统的动力学表现为集体模行为。 2 5 小结 本章利用递推关系式方法研究了二维随机横场i s i n g 模型在高温极限下的动力学性质。 在假设交换耦合参量或随机横场满足三种不同的随机分布的情况下，分别求解了不同参数 下的自关联函数及其相应的谱密度。结果表明，系统的动力学性质主要取决于自旋间的相 互作用与外场作用之间的竞争。具体地说，当随机变量服从双模分布时，系统的动力学行 为经历了从集体模行为到中心峰值行为的交跨。对于高斯分布时的情况，当标准偏差( o j 或仃。) 较小时，系统的动力学行为随着j b 的增大经历了从集体模行为到中心峰值行为 的交跨；而当仃，或盯。较大时，这种交跨效应消失，此时系统只表现为一种动力学行为一 中心峰值行为或无序行为。当随机变量满足双高斯分布时，在标准偏差较小时，系统的动 力学特性与双模分布时的结果类似；而在标准偏差较大时，系统的动力学特性与高斯分布 时的结果相类似。 1 8 第三章二维各向异性l s i n g 模型的动力学性质 第三章二维各向异。i e l ：i s i n g ：模型的动力学性质 3 1 模型 i s i n g 模型是_ 种简单且重要的自旋模型，已经被人们广泛地应用。前面一章我们研究 了二维各向同性i s i n g 模型，本章讨论各向异性i s i n g 模型在不同随机条件下的动力学性质。 该模型的哈密顿量可表示为 日= 一寺( 以，吒畈u + k ，吒吒+ 。) 一i l 厶一厶一b “， ( 3 1 ) | jt j 其中吒 = z ，z ) 为p a u l i 算符，和k ，分别为f 和方向的最近邻间的耦合参量，忍，为 格点( f ，j ) 处的外加横场。本章重点讨论当交换耦合参量和外场分别满足双模分布与高斯分 布时无序对该系统动力学性质的影响。由于所用的方法与前一章相同，因此直接对所得的 结果进行讨论。 3 2 结果与讨论 ， 3 2 1 双模分布 首先讨论交换耦合参量满足双模分布时的情况。假设外场保持不变尽，= b = l ，横向 最近邻间的耦合参量z ，满足双模分布 p ( 4 ，) = p 万( 以。一以) + ( 1 一p ) 万( 以，一以) ， ( 3 2 ) 其中以= 1 0 ，以= 0 4 。纵向最近邻间的交换耦合参量k ，满足双模分布 户( k ，) = p 8 ( k ，一k ) + ( 1 一p ) 万( 墨，一k 2 ) ， ( 3 3 ) 其中k = 0 5 ，= 0 2 ，p = 0 2 5 x f = 0 ，l ，4 。根据上述条件我们可以求得不同参数下 的前九个连分式系数( 图3 1 ) 。图3 2 给出了相应的自关联函数及谱密度的数值结果。从 图中可以看出，随着p 值的增大，系统的动力学特性经历了从集体模行为到中心峰值行为 的交跨。 观察图3 2 ( a ) ，当p = 0 时，由于外场大于耦合参量，自关联函数c ( t ) 以阻尼振荡形式 衰减，系统表现为集体模行为。随着p 的增大，c ( f ) 的阻尼振荡的振幅逐渐减弱，进而变 为单调递减的曲线( p = 1 ) ，图3 2 ( b ) 中相应的谱函数的最大值所对应的频率逐渐从国= l 1 9 第三章二维各向异性l s i n g 模型的动力学性质 v 图3 1 耦合参量满足双模分布时不同参数下的连分式系数。 处移至国= 0 处。以上现象表明集体模行为逐渐消失，自旋最近邻间的交换相互作用在与 外场的竞争中占据主导地位，系统表现为中心峰值行为。 图3 2 耦合参量满足双模分布时的自关联函数及谱密度。当p 较小时，系统的动力学行为表 现为集体模行为，当p 较大时，动力学行为表现为中心峰值行为。随着p 值的增大，系统经 历了从集体模行为到中心峰值行为的交跨。 下面讨论随机外场满足双模分布时的情况。假设交换耦合参量 以，= j = 1 0 ，k ，= k = 0 8 。随机外场满足 p ( 尽，) = q 6 ( b , 。一旦) + ( 1 一g ) 万( 忍，一岛) ， ( 3 ：4 ) 其中尽= 0 6 ，岛= 1 6 。 图3 3 给出了此种情况下系统的自关联函数及谱密度的数值解。可以看出，随着q 的 增大，随机外场的取值从大于耦合参量变化到小于耦合参量，自关联函数曲线从阻尼振荡 的曲线逐渐变为单调递减曲线，相应的谱密度最大值对应的频率也从c o = l 附近移至零处， 系统的动力学特性经历了从集体模行为到中心峰值行为的交跨。 第三章二维各向异性l s i n g 模型的动力学性质 将上述结果与第二章中双模分布时的结果进行比较，发现这两种情况下系统的动力学 性质都表现为随着b j 比值的增大经历了一个交跨。 t 霉 图3 3 随机外场满足双模分布时的自关联函数及谱密度。随着g 值的增大，系统经历了从 中心峰值行为到集体模行为的交跨。 3 2 2 高斯分布 本小节考虑随机外场和交换耦合参量满足高斯分布的情况，讨论高斯无序对系统动力 学的影响。 首先考虑耦合参量满足高斯分布，而外场为常数( b = 1 ) 的情况。假设横向和纵向交 换耦合参量满足如下分布 砜，= 去e x p f 一掣l ，。 5 ， 矾) = 志e x p l 一譬i ， 6 ， 其中盯为随机交换耦合参量的标准偏差，并且假设仃为定值，t ，、k 分别为横向和纵向耦 合参量的均值，在此假设其取值满足j = 0 2 5 x i ，k = 0 i x ，i = o ，1 ，4 。图3 4 和3 5 分 别给出了不同参数( 仃= 0 3 ，0 7 ，1 0 ，2 0 ) 下的自关联函数及其谱密度的数值结果。 由图3 4 ( a ) 可以看出，当标准偏差较小时( 盯= o 3 ) ，随着耦合参量均值的增加，自 关联函数曲线由阻尼振荡函数逐渐衰减为单调递减函数，系统的动力学行为也相应地由集 体模行为变化为中心峰值行为。图3 5 ( a ) 中谱密度的最大值所对应的频率由国= l 附近移 至缈= 0 处，由此也可看出系统存在交跨效应。随着盯值的增大，系统的集体模行为逐渐 减弱，相应的中心峰值行为越来越强。当矿= 2 0 时( 图3 4 ( d ) ) ，自关联函数曲线没有出 现阻尼振荡的形式，所有的曲线都单调地减d , n 零，此时系统的动力学行为被最近邻间的 2 l 第三章二维各向异性i s i n g 模型的动力学性质 1 2 1 0 0 8 o 6 ，、o 4 苦爱； - 0 2 - 0 4 - 0 6 n 8 c o 1 。2 1 0 n 8 d 6 之：，0 4 o 0 2 o o - - 0 2 - 0 4 图3 4 耦合参量满足高斯分布时不同参数下的自关联函数。随着标准偏差的增大，系统的动力 学性质由存在交跨效应变为只表现为一种f p 心峰值行为。 ，- 、 9 百 图3 5 耦合参量满足高斯分布时不同参数下的谱密度。随着标准偏差仃的增大，谱密度曲 线逐渐展宽，集体模行为逐渐减弱，当盯较大时，系统仅表现为中心峰值行为。 2 ，1 1 1 o o 0 0 o 第三章二维各向异性i s i n g 模型的动力学性质 耦合相互作用所主导，交跨效应消失，仅表现为中心峰值行为。图3 5 ( d ) 中的谱密度曲线 在国= 0 处的强度随着耦合参量均值的增大而增大。 其次考虑随机外场满足高斯分布而交换耦合参量保持不变( ，= 1 0 ，k = 0 8 ) 的情况。 此时假设外场满足如下高斯分布 肥。= 南e x p _ 警 ， 其中为随机外场的标准偏差，b 为随机外场的均值：在此种情况下标准偏差在0 到3 之 间取值，均值的取值满足b = 0 5 x i ，( f = 0 ，l ，4 ) 。图3 6 和3 7 分别给出了标准偏差取四 个特殊值0 3 ，0 7 ，2 0 ，3 0 时系统的自关联函数及谱密度的数值解。 图3 6 随机外场满足高斯分布时不同参数下的自关联函数。 由图3 6 ( a ) 和( b ) 可以发现，随着外场均值的增大，系统存在一个交跨。具体地说， 当均值较小时，由于外场的作用与近邻自旋间的相互作用相比要弱的多，此时近邻自旋间 的相互作用起决定作用，系统的动力学行为表现为中心峰值行为。而当外场均值较大时， 外场与自旋之间的相互作用逐渐占据主导地位，系统的动力学行为也相应地发生变化，表 现为集体模行为。从图3 7 ( a ) 和( b ) 中可以发现谱密度最大值所对应的频率从彩= 1 5 处 移至国= 0 处，因此也说明系统的动力学特性经历了从中心峰值行为到集体模行为的交跨。 而从图3 6 ( c ) 和( d ) 中可以看出，自关联函数曲线并没有呈现阻尼振荡的形式，而 且也不是单调递减曲线，相应的谱密度的曲线在缈= 0 处的强度逐渐减小，谱线宽度也逐 渐变宽，此时系统的动力学行为既不是集体模行为也不是中心峰值行为，而是处于一种介 第三章二维各向异性i s i n g 模型的动力学性质 于它俩之间的混乱无序的状态。这种现象可以解释为随着随机外场标准偏差的增大，强外 场使得系统中的自旋的取向趋于无序，从而表现出无序行为。 o 2 o o 3 3 小结 o _ 1 o o o ， 图3 7 随机外场满足高斯分布时不同参数下的谱密度。 本章利用递推关系式方法研究了随机对二维各向异性i s i n g 系统动力学性质的影响。 考虑了随机外场和交换耦合参量分别独立满足两种典型的无序分布一双模分布和高斯分 布的情况。结果表明z 系统的动力学特性主要是由最近邻自旋间的相互作用和外场之间的 竞争决定的，而与其满足的随机分布无关。 2 4 参考文献 参考文献 【l 】1 k b i n d e r ，a n dw k o b g l a s s ym a t e r i a l sa n dd i s o r d e r e ds o l i d s ：s ni n t r o d u c t i o nt ot h e i r s t a t i s t i c a lm e c h a n i c s 【m 】s i n g a p o r e ：w o r l ds c i e n t i f i c ，2 0 0 5 【1 3 】 1 4 1 【1 5 】 【1 6 】 【1 7 】 【18 】 1 9 】 e i s i n g t h et h e o r yo ff e r r o m a g n e t i s m 唧z p h y s ，19 2 5 ，3 1 ：2 5 3 - 2 5 8 杨展如量子统计物理学【m 】北京：高等教育出版社，2 0 0 7 量子统计物理学编写组量子统计物理学【m 】北京：北京大学出版社，1 9 8 7 pqd g e n n e s c o l l e c t i v em o t i o n so f h y d r o g e nb o n d s j 】s o l i ds t a t ec o m m u n ，1 9 6 3 ，1 ( 1 - 3 ) ：1 3 2 1 3 7 w w u ，b e l l m a n ，t f r o s e n b a u m , e ta 1 f r o mc l a s s i c a lt oq u a n t u mg l a s s 【j 】p h y s r e v l e t t ，19 91 ，6 7 ：2 0 7 6 2 0 7 9 ： s w a t a r a i ，a n dt m a t s u b a r a a p p l i c a t i o no ft h et r a n s v e r s ei s i n gm o d e lt oc s h 2 p 0 4a n d c s d 2 p 0 4 【j 】j p h y s s o c j p n ，19 8 4 ，5 3 ：3 6 4 8 - 3 6 5 6 j a p l a s c a k ，a s t p i r e s ，a n df c s 矗b a r e t t o ad y n a m i cs t u d yo ft h eq u a s i o n e d i m e n s i o n a lh y d r o g e n 二b o n d e df e r r o e l e c t d cc r y s t a lc s h 2 p 0 4 【j 】s o l i ds t a t ec o m m u n ， 19 8 2 ，4 4 ：7 8 7 7 8 9 j a p l a s c a k ，f c s 矗b a r r e t o ，a n da s t p i r e s ac o n t i n u e d f r a c t i o nr e p r e s e n t a t i o nf o r t h eo n e - d i m e n s i o n a li s i n gm o d e l 【j 】j p h y s c ，19 8 3 ，1 6 ：4 9 - 5 7 冯端，金国钧凝聚态物理学【m 】北京：高等教育出版社，2 0 0 3 w h e i s e n b e r g t h e o r yo f f e r r o m a g n e t i s m 叨z p h y s ，1 9 2 8 ，4 9 ：6 1 9 - 6 3 6 vs v i s w a n a t h ，a n dgm t i l l e r t h er e c u r s i o nm e t h o d - a p p l i c a t i o nt om a n y b o d y d y n a m i c s 【m 】b e r l i n ：s p r i n g e r - v e r l a g ，19 9 4 于渌，郝柏林，陈晓松相变和临界现象【m 】北京：科学出版社，1 9 8 4 f m e z e i ，a n da p m u r a n i c o m b i n e dt h r e e d i m e n s i o n a lp o l a r i z a t i o na n a l y s i sa n ds p i n e c h os t u d yo f s p i ng l a s sd y n a m i c s 【j 】j m a g n m a g n m a t e r ，1 9 7 9 ，1 4 ( 2 ) ：2 1l - 2 1 3 h gv a i d y a ，a n dc a t r a c y t r a n s v e r s et i m e d e p e n d e n ts p i nc o r r e l a t i o nf u n c t i o n sf o r t h eo n e d i m e n s i o n a lx ym o d e la tz e r ot e m p e r a t u r e 【j 】p h y s i c aa ，19 7 8 ，9 2 ：l 41 g m i i l l e r , a n dr e s h r o c k d y n a m i cc o r r e l a t i o nf u n c t i o n sf o rq u a n t u ms p i nc h a i n s 【j 】 p h y s r e v l e t t ，1 9 8 3 ，5 1 ：2 1 9 - 2 2 2 b m m c c o y , e b a r o u c h ，a n dd b a b r a h a m s t a t i s t i c a lm e c h a n i c so ft h ex y m o d e l i v t i m e d e p e n d e n ts p i n - c o r r e l a t i o nf u n c t i o n s 册p h y s r e v a ，19 71 ，4 ：2 3 31 - 2 3 4 1 gm n l l e r , a n dr e s h r o c k d y n a m i cc o r r e l a t i o nf u n c t i o n sf o ro n e - d i m e n s i o n a l q u a n t u m - s p i ns y s t e m s ：n e wr e s u l t sb a s e do nar i g o r o u sa p p r o a c h 【j 】p h y s r e v b ，19 8 4 ， 2 9 ：2 8 8 3 0 1 j s t o l z e ，a n o p p e r t ，a n dgm u l l e r g a u s s i a n ，e x p o n e n t i a l ，a n dp o w e r - l a wd e c a yo f t i m e - d e p e n d e n tc o r r e l a t i o nf u n c t i o n si nq u a n t u ms p i nc h a i n s 【j 】p h y s r e v b ，19 9 5 ，5 2 ： 4 3 1 9 4 3 2 6 2 5 刁如钾习 印 刀 川 m n 挖 r i l r i l r l r l r l r - l r l r l r i l r i l r l 参考文献 【2 0 】 【2 l 】 【2 2 】 【2 3 】 【2 4 】 【2 5 】 【2 6 】 【2 7 】 2 8 】 2 9 】 【3 0 】 3 1 】 【3 2 】 【3 3 】 【3 4 】 【3 5 【3 6 】 m h l e e c a nt h ev e l o c i t ya u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o nd e c a ye x p o n e n t i a l l y ? 【j 】p h y s r e v l e t t ，1 9 8 3 ，5 1 ：1 2 2 7 1 2 3 0 a r i t s ，a qi z e r g i n ，v e k o r e p i n ，e ta 1 t e m p e r a t u r ec o r r e l a t i o n so fq u a n t u ms p i n s 【j 】p h y s r e v l e t t ，19 9 3 ，7 0 ：17 0 4 - 17 0 6 a s u r , d j a s n o w , a n di j l o w e s p i nd y n a m i c sf o rt h eo n e - d i m e n s i o n a lx y m o d e la t i n f i n i t et e m p e r a t u r e 【j 】p h y s r e v b ，19 7 5 ，1 2 ：3 8 4 5 - 3 8 4 8 j f l o r e n c i o ，a n dm h l e e r e l a x a t i o nf u n c t i o n s ，m e m o r yf u n c t i o n s ，a n dr a n d o mf o r c e s i nt h eo n e d i m e n s i o n a ls p i n - 1 2x ya n dt r a n s v e r s ei s i n gm o d e l s 【j p h y s r e v b ，1 9 8 7 ， 3 5 ：1 8 3 5 一1 8 4 0 t n i e m e i j e r s o m ee x a c tc a l c u l a t i o n so nac h a i no fs p i n s1 2 【j 】p h y s i c a ( a m s t e r d a m ) ， 1 9 6 7 ，3 6 ：3 7 7 - 4 1 9 s k a t s u r a ，t h o r i g u c h i ，a n dm s u z u k i d y n a m i c a lp r o p e r t i e so f t h ei s o t r o p i cx y m o d e l 阴p h y s i c a ( u t r e c h t ) ，19 7 0 ，4 6 ：6 7 8 6 i r p i m e n t e l ，a n dr b s t i n c h c o m b e d y n a m i cc r i t i c a lb e h a v i o r