（理论物理专业论文）关于n4sym真空中重夸克势强耦合展开的次领头阶项的数值研究.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 中文摘要 重夸克势是一个重要的物理量，它可以探测强子相的禁闭机制和等离子体相的 介子熔解，计算其次领头阶项可以估计领头阶项的可靠性，本文的目的即求取零温时 n = 4 s y m 重夸克势强耦合展开的次领头阶项。 根据a d s c f t 对应，n = 4 s y m 的强耦合展开对应了, 4 d s , x 上弦s i g m a 模型 的半经典展开，n = 4 s y m 中很多重要的物理量可以从w i l s o n 圈的期望值中读取出 来，重夸克势即可以从s t r a i g h tl i n ew i l s o n 圈和p a r a l l e ll i n e sw i l s o n 圈中读取。w i l s o n 圈期望值可以对应到弦s i g m a 模型中世界面的作用量的路径积分，弦s i g m a 作用量 的经典极限即经典作用量对应到w i l s o n 圈期望值的领头阶项。通过将弦s i g m a 作用 量在经典极限附近展开到涨落坐标的二次项并作路径积分，可以得到单圈配分函 数，继而得到单圈有效作用量，获得w i l s o n 圈期望值的单圈修正即次领头阶项。 s t r a i g h tl i n e 和p a r a l l e ll i n e s 的单圈有效作用量已在一些文献中得到，其可以表 达为作用在涨落坐标上的泛函算符行列式的形式。本文以该单圈有效作用量为基 础，将求取泛函算符行列式的问题转化为求取一系列二阶齐次常微分方程的问题， 并对部分无法解析求解的方程的奇点问题进行了处理，最终得到了有意义的数值结 果。 关键词：重夸克势；a d s c f t 对应；n = 4 s y m ； 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t h e a v y - q u a r kp o t e n t i a li saq u a n t i t yo fi m p o r t a n c e ，w h i c hp r o b e st h ec o n f i n e m e n t m e c h a n i s mi nt h eh a d r o n i cp h a s ea n dm e s o nm e l t i n gi nt h ep l a s m ap h a s e o n ec o u l d a s s e s st h er o b u s t n e s so ft h el e a d i n go r d e rp r e d i c t i o nb ye x p l o r i n gt h es u b l e a d m go r d e r c o r r e c t i o n t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oe v a l u a t et h es u b - l e a d i n gt e r mo fs t r o n g c o u p l i n ge x p a n s i o no fh e a v y - q u a r kp o t e n t i a li nn = 4s y m v a c u u m a c c o r d i n g t oa d s c f t c o r r e s p o n d e n c e ，t h es t r o n gc o u p l i n ge x p a n s i o no f n = 4s y m c o r r e s p o n d st ot h es e m i c l a s s i c a le x p a n s i o no fs t r i n g s i g m am o d e li na d s s s m a n y i m p o r t a n tq u a n t i t i e si nn = 4s y m c o u l db er e a do u tf r o mt h ew i l s o nl o o pe x p e c t a t i o n v a l u e ，w h i l eo r eo ft h e s eq u a n t i t i e si st h eh e a v y - q u a r kp o t e n t i a lw h i c hc a nb ee x t r a c t e d f r o mt h es t r a i g h tl i n ew i l s o nl o o pa n dp a r a l l e ll i n e sw i l s o nl o o p t h ee x p e c t a t i o nv a l u e o fw i l s o nl o o pc o r r e s p o n d st ot h ep a t hi n t e g r a lo fw o r l ds h e e ta c t i o ni ns t r i n g s i g m a m o d e l t h es t r i n g s i g m aa c t i o ni nc l a s s i c a ll i m i tn a m e l yt h ec l a s s i c a la c t i o nc o r r e s p o n d s t ot h el e a d i n gt e r mo fw i l s o nl o o pe x p e c t a t i o nv a l u e b ye x p a n d i n gt h es t r i n g s i g m a a c t i o nt ot h eq u a d r a t i co r d e ro ft h ef l u c t u a t i n gc o o r d i n a t e sa r o u n dt h ec l a s s i c a ll i m i ta n d c a r r y i n go u tt h ep a t hi n t e g r a l ，o n ec a ng e to n el o o pp a r t i t i o nf u n c t i o n ，a n dt h e nt h eo n e l o o pe f f e c t i v ea c t i o n ，f i n a l l yg e tt h eo n el o o pc o r r e c t i o nn a m e l yt h es u b l e a d i n gt e r mo f t h ew i l s o nl o o pe x p e c t a t i o nv a l u e t h eo n el o o pe f f e c t i v ea c t i o n sh a v ea l r e a d yb e e no b t a i n e df o rt h es t r a i g h tl i n ea n d p a r a l l e ll i n e s ，t h e ya r ee x p r e s s e di nt e r m so ff u n c t i o n a ld e t e r m i n a n t sa c t i n go nf l u c t u a t i n g c o o r d i n a t e s t h i sp a p e rb a s e do nt h e s eo n e l o o pe f f e c t i v ea c t i o n so b t a i n e d ，r e d u c e d e v a l u a t i n gf u n c t i o n a ld e t e r m i n a n t st oa s e to f s e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， t h e nc o n s i d e r e dt h es i n g u l a r i t i e so ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hc o u l dn o tr e s o l v e d a n a l y t i c a l l y f i n a l l y , w eg o ts i g n i f i c a n tn u m e r i c a lr e s u l t s k e yw o r d s ：h e a v y - q u a r kp o t e n t i a l ；a d s c f tc o r r e s p o n d e n c e ；n = 4s y m ； 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的 成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作 品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律结果由本人承担。 论文作者签名：名 0 ，哆霞 日期：z 口矿9 年5bz 胡 学位论文版权使用授权说明 本人完全了解华中师范大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中师 范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密论文在解密后遵守此规定。 论文作者签名：初- j y 钍 日期：2 0 卵年s 月船日 本人已经认真阅读“c a l l s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的学位论文 提交“c a l l s 高校学位论文全文数据库”中全文发稚，并可按“章程”中j | ! i ! 定享受相关权益。 囤童途塞毽盆唇泣蜃：旦堂生i 旦= 生；旦三生蕴垒。 论文作者签名：初i 哆良 日期：z 口d 年多月2 炉 导师签名： 日期：冲卵 易妒厶，泣 侄娴缓 年 7 ：r 名沙鹕桫师簸 导日 第一章引言 粒子物理的标准模型认为所有物质是由只占零维空间的“点”状粒子所组成， 是目前广为接受的物理模型，也很成功地解释和预测了相当多的物理现象和问题， 但是此理论所依据的粒子模型却遇到一些无法解释的问题。在超弦理论中粒子不再 被看成一个点，而提出轻子、夸克、规范粒子等微观粒子都是延伸在空间中的一个 区域中的弦的激发模式，弦是一维的广延性物质，类似于弦状，其特征长度为p l a n k 长度。弦的不同振动模式代表不同的粒子，而各种粒子彼此之间的差异只是这根弦 抖动的方式和形状不同。正如相对论粒子在引力场中的运动轨迹是世界线，弦的运 动轨迹是一个世界面。超弦m 理论后来更是推广了弦的概念，引入了多维的膜 ( b r a n e ) ，其特征长度为p l a n k 长度。 广义相对论是经典的相对论性引力场理论，量子力学是量子物理学的核心。探 讨量子引力的理论，主要有两种形式。第一，把广义相对论进行量子化，正则量子 引力属于此种。第二，是对一个不同于广义相对论的经典理论进行量子化，而广义 相对论作为它的低能极限，超弦m 理论则属于此种。s h w a r z 和s c h e r k 将弦论中一 种无质量，自旋为2 的弦解释为引力子，从而其中自动包含了引力现象，使弦论变 为了量子引力理论，至少是在微扰论层次上。弦论也含有自旋为l 的粒子，弦的相 互作用包括现在成为经典的规范相互作用，从而弦论可能是统一所有相互作用的理 论。 “弦论”这一用词所指的原本包含了2 6 维空间的玻色弦理论和加入了超对称 的超弦理论。在现在的物理界，“弦论”一般专指“超弦理论”，而较早的“玻色弦 理论”则以全名称呼。为了将玻色子和费米子统一，科学家预言了超弦粒子，l o r e n t z 不变性要求超弦所在的时空必须是十维的，在十维中，包含有五种超对称弦论：t y p e i ( 有n = i 超对称性和规范群o ( 3 2 ) ) ，t y p e l l a ( n - 2 超对称性，无手征性) ，t y p e l l b ( n = 2 超对称性，手征性) ，s o ( 3 2 ) 杂化弦和e 8 e 8 杂化弦( 都有n = i 超对称 性) 。1 9 9 0 年w i t t e n 提出了一个具有1 1 维空间的m 理论，他和其他学者找到了强 有力的证据，证明了当时许多不同版本的超弦理论其实是m 理论的不同极限条件下 的结果。 全息原理认为，任何一个含有引力的量子系统都可以由其边界上的理论完全描 述，即一个d + l 维的引力理论可以完全等价于一个d 维的非引力理论。换言之， 个d + i 维时空带引力物体的自由度可以用这个物体表面上的一个d 维非引力理 论的自由度描写。a d s c f t 对偶性【1 5 】是全息原理的实现，是目前研究强耦合规范 理论的重要方法。 鉴于全息原理和a d s , 等容群与四维共形群的同构性，m a l d a c e n a 猜想到彳戤中 的弦论对应到其边界上的四维共形场论。作为这种对应的一个具体例子，彳掇x s 5 上的等容群o ( 6 ) 对应到s y m ( 超对称y a n g - m i l l s ) 的r - 对称群s u ( 4 ) ，从而在 彳极上的i i b 型弦论对应到n = 4s y m 理论，在l i b 型弦论和n = 4s y m 的对应 中，存在两个重要的对应 4 = g ： ( 1 1 ) r 4 2 = n c g r u 2 = 舌 ( 1 2 ) 其中g l 为弦耦合，l 为彳姆和s 5 的曲率半径，l 2 n r z 为弦的张力，c 为色数，元为t h o o t t 耦合，g 蹦为y a n g m i l l s 耦合。 t h o o i t 为了研究场论的非微扰行为，引进了所谓的大n r 展开。这种展开只有 在非阿贝尔规范理论一类的矩阵理论中才能做，原因是这里展开的参数不再是通常 的耦合常数，而是矩阵阶数n c ( 色量子数) 的倒数，所以这个展开称为大n c 展开， 实际上是1 n r 展开。 由于大n ，( 色数) 规范理论有意义的耦合常数为th o o r 耦合常数a ，a d s c f t 对应将这个耦合常数关联到弦张力，当th o o r 耦合取值大的时候，n = 4s y m 对 应到了i i b 型的超引力理论，n = 4s y m 的强耦合展开对应到彳搬x s 5 弦s i g m a 模型 【6 】的半经典展开。这种a d s c f t 对应机制是目前探索n = 4s y m 理论强耦合性质的 重要方法。另外，尽管n = 4s y m 与q c d 存在着差异，但其在q c d 的等离子体相 有着相似性，在此方面已经有了非常符合的研究，如态方程( t h ee q u a t i o no f s m t e ) 【7 】，粘度比( t h ev i s c o s i t yr a t i o ) 【8 】和喷注淬火参数( j o tq u e n c h i n gp a r a m e t e r s ) 【9 】。 q c d 中的重夸克势是一个重要的物理量，它可以探测重夸克偶素的熔解 【1 0 1l 】，强子相的禁闭机制和等离子体相的介子熔解。n = 4s y m 中很多重要的物 理量可以从w i l s o n 圈的期望值中读取出来，重夸克势即可以从s t r a i g h tl i n e w i i s o n 圈和p a r a l l e ll i n e s w i l s o n 圈的期望值中读取。w i l s o n 圈期望值可以对应到弦s i g m a 模型中世界面的作用量的路径积分 【c 】兰k 一蛇掣 1 ) ：c d 删f 【扔】【相】扣1 跗棚 ( 1 3 ) 、， 。 其中彳。，为规范势，研x ，刎为弦s i g m a 作用量，x 为玻色子坐标，秒为费米子坐标， 世界面的边界须位于a a s , 时空边界上的w i l s o n 圈上 1 2 1 。而由于w i l s o n 圈期望值 的强耦合展开对应了弦s i g m a 作用量的半经典展开，即 l ar v c ：圻( s 【j ，o 】+ 辈( 1 4 ) 其中s 【牙，0 1 表示弦的经典作用量，j 为弦的经典运动坐标，s 【c 】为单圈有效作用 量。弦s i g m a 作用量的经典极限即经典作用量对应到w i l s o n 圈期望值的领头阶项， 通过将弦s i g m a 作用量在经典极限附近展开到涨落坐标的二次项并作路径积分，可 以得到单圈配分函数，继而得到单圈有效作用量，获得w i l s o n 圈期望值的单圈修正 即次领头阶项。 w i l s o n 圈算符期望值和重夸克势的关系为 矽k 1 p r v ( ) ( 1 5 ) 其中r 表示重夸克对之间的距离。重夸克势的强耦合展开为 y ( ，) ：- - 孕( s 2 , 0 】+ 雩+ ) ( 1 6 ) m a l d a c e n a 在p a r a l l e ll i n e sw i l s o n 圈中读取出了零温时n = 4 s 订理论重夸克势 的领头阶项 1 2 1 ， y ( ，) ：一乓巫- 0 2 2 8 5 巫 ( 1 7 ) r 4 ( 三) r ， 重夸克势的在零温时的强耦合展开为 附卜螽知击加咖 ( 1 8 ) 通过在a d s 空间中引入黑洞，可以对应到有限温度n = 4s y m 1 3 1 ，从而可以获 得有限温度的重夸克势 1 4 】。 领头阶项是在th o o f i 耦合兄一o 。时得到的，考虑有限的th o o f i 耦合时次领头 阶项的修正，可以估计无限th o o f t 耦合下领头阶项的可靠性。对于态方程【1 5 1 1 1 6 1 ， 剪切粘度 1 7 1 1 1 8 1 ，喷注淬火参数 1 9 1 和阻力【2 0 】，都涉及到了这种次领头阶修正。 我们的目的即是要计算零温重夸克势的单圈修正。对于s t r a i g h tl i n e 和p a r a l l e ll i n e s 的简单w i l s o n 圈，目前已经获得了其弦s i g m a 模型的单圈有效作用量【2 l 】【2 2 】。这 些单圈有效作用量可以表达为作用在涨落坐标上的泛函算符的行列式的形式，这些 算符行列式可以通过求解一系列二阶常微分方程获得。除s t r a i g h tl i n ew i l s o n 圈和 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s c i r c u l a rw i l s o n 圈外，这些二阶常微分方程通常无法解析求得，另外这些方程通常存 在奇点，在采用数值方法迭代时需要进行处理。最后我们获得了有意义的结果 r = 1 3 3 4 6 0( 1 9 ) 此篇论文组织如下：第二章为重夸克势的次领头阶项和岛的计算，2 1 中首先 回顾了领头阶项的计算，然后将r 划分了两个部分，2 2 中计算了心。第三章为对k 的解析分析，给出了对k 可以进行数值计算的积分表示。第四章为k 的数值部分， 4 1 介绍了进行数值计算时的一些必要考虑，4 2 中为对数值方法的讨论。最后总结 了此篇论文。 在此篇论文的计算中，个人主要进行了数值工作，主要包括采用四阶 r u n g c k u t t a 方法对二阶常微分方程的数值计算，采用自适应s i m p s o n 方法对蜀积 分进行求解，主要包含在了第l q 章中。在本篇论文中，将采用e u c l i d e a n 度规，a d s 半径l = i 。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二章重夸克势的次领头阶项和屹的计算 2 1 重夸克势的次领头阶项 2 1 1 领头阶项的回顾 首先对重夸克势的领头阶项( 1 7 ) 式作简单的回顾，我们知道弦的经典极限对 应了强耦合规范理论的领头阶项，弦s i g m a 作用量在经典极限下，费米子坐标为零， 即变为p o l y a k o v 作用量或n a m b u g o t o 作用量，由于两者是等效的，鉴于 n a m b u g o t o 作用量在这种情况下的方便性，我们采用n a m b u 。g o t o 作用量 2 去p 2 盯店 ( 2 1 ) 其中g 为世界面诱导度规( i n d u c e dm e t r i c ) 的行列式。 g 。：g ，o x ； o x 百v ( 2 2 ) 2 q r 孑驴 z z 其中x p 和瓯，分别为目标空间即4 d s 5x s 5 空间的玻色子坐标和度规，盯。( 口= o ，1 ) 用来参数化世界面。彳嘏s 5 空间的度规可以采用e u c l i d e a n 度规的形式，即 出2 = ( 办2 十d ；2 + 如2 ) + d q ； ( 2 3 ) 其中d q 。为中的立体角元。物理3 膜即实际三维空间对应到z - - - o 的a d s 边界上。 静止重夸克的w i l s o n 圈为直线( s t r a i g h tl i n e ，在以后的论述中我们用其英文) ， 设其在时间方向上的周期为t ，在a d s 边界上s t r a i g h tl i n e 沿着时问方向将具有类似 圆的拓扑方式，我们用c 标记s t r a i g h tl i n e 。与s t r a i 曲tl i n e 对应的弦的世界面的边 界应该在a d s 边界的s t r a i g h tl i n e 上。其世界面可以由t 和z 参数化， j 为常量， 从a d s 边界延伸至a d s 视界z 专0 0 。世界匝的诱导度规为彳嘏的度规，即 d s 2 【c l 】= ( 出2 + 龙2 ) ( 2 4 ) 其标量曲率为 r = - 2( 2 5 ) 将( 2 4 ) 式代入( 2 1 ) 式，可以得到重夸克的自能 研g 】= 【c 】= 去f 亨 ( 2 6 ) 我们对引起发散的( 2 6 ) 式的积分下限进行了一个正规化处理，将物理膜沿着 径向z 方向有一个轻微的移动z = 万。作用量s 的角标c 表示其为经典作用量。 间距为r 的重夸克和重反夸克对的总能量，可以从p a r a l l e ll i n e s 的w i l s o n 圈算 符的期望值中读取出来。p a r a l l e ll i n e s 在a d s 边界上沿着相反的方向在时间轴上以 类似圆的拓扑方式行进。我们用c 2 标记p a r a l l e ll i n e s 。 与p a r a l l e ll i n e s 对应的弦的世界面的边界应该在a d s 边界的p a r a l l e ll i n e s 上。 其世界面可以由t 和z 参数化，其中x 1 = 孝( z ) ，矿，x 3 = c o n s t 其诱导度规为 凼2 c d = ；+ 噔) 2 + 1 d z 2 ( 2 7 ) 将其代入n a m b u g o t o 作用量( 2 1 ) 式，并根据最小作用量原理求其最小值( 即求 解l a g r a n g i a n 运动方程) ，可以求得函数善( z ) 弛) = f 纠寿 经 p a r a l l e ll i n e s 的世界面沿z 方向最大的延伸为z o ，z o 由a d s 边界上p a r a l l e ll i n e s 的间距即重夸克对的距离来决定，它们存在着关系 z o ：攀， ( 2 9 ) ( 2 乃) i 将( 2 8 ) 代入( 2 7 ) ，得到p a r a l l e ll i n e s 的诱导度规 凼2 【g 】= 专( 也2 + 乏兽7 出2 ) ( 2 1 。) 其标量曲率为 r = - 2 ( 1 + 勺 ( 2 1 1 ) 我们可以得到重夸克对的能量 研c 2 】_ ；【c 2 】= i 1 右f ( 2 1 2 ) 注意到由于( 2 8 ) 式，p a r a l l e ll i n e s 的世界面覆盖了( t ，z ) 坐标块两次，所以 我们在( 2 1 0 ) 诱导度规下做世界面积分时有d 2 0 - + 2 i d t d z 。在( 2 1 2 ) 中我们仍 然对物理膜沿着径向方向作了一个轻微的移动z = 万。 通过将重夸克对的能量减除掉重夸克和重反夸克的自能，我们可以得到重夸克 势的领头阶项 赤 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 肚岬l i m ( e c 2 - 2 粥胪去c f 如蜀与一争一1 气卜恙孚( 2 j 3 ， 当万哼0 + 时，这个积分不再发散，给出了( 1 7 ) 式的结果。 2 1 2 重夸克势的次领头阶项 我们现在考虑重夸克势的次领头阶项。通过将弦s i g m a 作用量【7 】在经典极限附 近展开到涨落坐标的二次项并作路径积分，可以得到单圈配分函数，继而得到单圈 有效作用量【2 l 】【2 2 】。 对于静止重夸克或重反夸克，单圈有效作用量为 w c d ：一i n 丝丝里挚l ( 2 1 4 ) d e t 2 ( - v 2 + 2 ) d e t 2 ( - v 2 ) 对于重夸克对，单圈有效作用量为 w c 2 ：一i n 塑毕旦垫l 丁一 ( 2 1 5 ) d e t ( 一v 2 + 2 ) d e t i ( 一v 2 + 4 + r ) d e t 2 ( _ v 2 ) ( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 中分母行列式中的泛函算符作用在玻色子的涨落坐标上， l a p l a c i a n 由( 2 4 ) 和( 2 1 0 ) 中的度规给定，分子的行列式来自于费米子涨落。我 们引入了2 维g a m m a 矩阵，= 7 0 = 乞，乃= y 1 = ，其中乃( _ l ，2 ，3 ) 为p a u l i 矩阵。( 2 1 5 ) 式中广三p ? y 7 ，口，歹= o ，l ，为世界面的z w e i b e i n 。 作用在旋量一i - _ 的世界面协变导数为 v 。= 专+ 扣，乃雠 ( 2 1 6 ) 为对应度规( 2 4 ) 和( 2 1 0 ) 的自旋联络( s p i nc o n n e c t i o n ) ，分子的幂次“4 ” 来自于8 个两分量的2 维m a j o r a n a 费米子，每一个贡献幂次l 2 。重夸克势的单圈 修正为 a v = 二l 州i m ( w c 2 一2 【c i 】) ( 2 1 7 ) p a r a l l e ll i n e s 的世界面覆盖了( t ，z ) 坐标块两次，这样就给( 2 1 5 ) 式的l a p l a c i a n 在z = z 0 带来了奇异性。为了避免这个问题，我们将采用共形坐标系( 毛盯) ，即对应 的度规张量正比于单位矩阵的坐标系，使得世界面仅覆盖共形坐标区域一次。新引 入的共形坐标包含了k = 的j a c o b i 椭圆函数，其定义为 z 2 z o c n t r f ：皂f 4 2 ( 2 1 8 ) 度规( 2 1 0 ) 化为 凼2 【c 2 卜夏忌口f 2 + 打2 ) q j ” 标量曲率为 r=-2(1+cn4仃)(220) 自旋联络的非零分量为 矿1 ：一脚，i o ：s n t r d n o - ( 2 2 1 ) c o 对于s t r a i g h tl i n e ，我们重新标度z ，和t 坐标，z = 老f ，f2 万z of ，使得( 2 4 ) 的共形结构未作修改。 凼2 c d = - r ( d r 2 + 蟛2 ) ( 2 忽) 自旋联络的非零分量为 矽1 一矿一专 ( 2 ) 坐标变量的范围为 娜詈，一k t r k ，。f 占砒积 ( 2 - 5 3 ) 其中正比系数为不依赖于世界面普遍系数。 对于s t r a i g h tl i n e ， p , f i r = r f 亨( - 2 ) = 一了2 t ( 2 5 4 ) 对于p a r a l l e ll i n e s ， d 2 0 - x g r f 出声z 2c 一争等 学：一冬+ o ( a ，) ( 2 5 5 ) d 因此在计算a v 时对数发散将会抵消，从而共形反常也被抵消。 2 2 屹的计算 度规的共形变换( c o n f o r m a lt r a n s f o r m a t i o n ) 会产生测度的改变。我们在做类似 c l 】- - v 2 + 2 = 2 嚣+ 争+ 2 兰f 2 厶l 【c i 】的变换时，算符。【c l 】和鑫- 【c l 】对应 的度规是不同的，前者为孑1 ：8 妒，后者为，在变换时测度也就改变。测度的变 化通常会引起非零的贡献。 由于与其相关的理论在【2 2 】已经讨论过，我们简单地把测度贡献的计算公式放 到这里。 对于测度变换，有两个公式，一个处理玻色子行列式，另一个处理费米子行列 式。考虑一个一般的2 维度规 d s 2 = g a # d c r 4 打， ( 2 5 6 ) 其标量曲率为r 。定义泛函算符 a m 兰m 。( v 2 + x ) ( 2 5 7 ) 其中v 2 为关于度规( 2 5 6 ) 的l a p l a c i a n ，m 为测度标度函数，m 和x 为坐标的函 数。泛函算符不同的m 意味着度规的共形变换，与之关联的反常对 的泛函行列 式的变分贡献一个非零的有限项。 对于玻色子，测度变换贡献公式为 ( t n 瓮卜去p 2 0 - x g - 1 nm c i r 嘲+ 耖等等， 亿5 8 ) + b o u n d a r yt e r m s 其中下标f i n 表示有限项，由于我们总是取p a r a l l e ll i n e s 和t w os t r a i g h tl i n e 的差值， 所以边界项就会抵消。 对于一个关于度规( 2 5 6 ) 的d i r a c 算符，v 。，我们定义 ：量一( r - 1 f 4 v 。) 2 + 髟- 2 】， ( 2 5 9 ) 其中，这里的r 和y 为坐标的函数。费米子的测度变换贡献公式为 ( - n 筹卜去p 2 仃廓k c 詈掰，+ 警警， 纪6 。， + b o u n d a r yt e r m s 我们给【2 2 】的积分乘了2 ，是考虑了：在这里是一个旋量空问的2 x 2 矩阵。 回到我们要计算的内容，s t r a i g h tl i n e 和p a r a l l e ll i n e s 的度规( 2 1 9 ) ( 2 2 2 ) 都 是共形度规 g 叩= e - 2 x s 。p ( 2 6 1 ) 标量曲率为 r ：2 e 2 z d a p 旦 ( 2 6 2 ) 对于s t r a i g h tl i n e ，( o - o ，o - 1 ) = ( f ，f ) ，z = i n ( 。对于p a r a l l e ll i n e s ，( a o ，q ) = ( f ，仃) ， z = i n ( 2 c w ) 。测度标度函数m = e ，r = e z 。类似( 2 4 1 ) 一( 2 4 8 ) 式的左边 的泛函算符对应了( 2 5 8 ) ( 2 6 0 ) 左侧分母的- 和f ，右边的泛函算符对应1 ( 2 5 芍 ( 2 6 0 ) 左侧分子的m 和：。对于。【c 1 1 和。 c d ，x 为0 ；对于t 【q 1 和- 【c 2 】， x 为2 ；对于：【c 2 】，x 为4 + r ：对于所有的费米子行列式y 1 。我们可以根据( 2 5 8 ) ( 2 6 0 ) 得到 旧d e t a o 【o t q 叭 、1 。荔1 拗印罄孑+ 6 d 咖一 q 石3 悖d e t a o 【o c 2 q 磊1 批筇器嘉+ 6 d 咖一 q 6 4 ) ( h 箦器卜一去l d 2 面邮驴a z 矿a z 一去p 矿z ( 2 笳， + b o u n d a r y t e r m s ( - n 箦涮卜一去d 2 面筇吾劳一昙扩扩z z ( 2 硒) + b o u n d a r y t e r m s ( ，n 粼卜茜驴面矽磐孑一昙p 卯啦z 纪卯) + b o u n d a r y t e r m s ( 一n 粼卜去驴嘉孑一万1p 傩嘶z ( 2 儡， + b o u n d a r y t e r m s ( i n i d 融e t 珥d , ： 【c 2 】i c d i 、1 k 2 石p 彩印誊孑一西l 矿z z 住6 9 ) + b o u n d a r y t e r m s 将上面的式子代入( 2 3 3 ) ( 2 3 5 ) 并求得如， ( 2 7 0 ) 砭= 0 转们馆瑚来自所有行列式的测度改变的有限项最终被抵消掉。 1 3 第三章k i 的解析处理 我们从计算泛函算符的行列式开始。考虑两个特殊的泛函算符 ，2 e = 一毒+ k ( 功 ( 3 1 ) 其中= l ，2 ，x 变量的取值范围为r b 】，k ( 功0 ，( 3 1 ) 式的泛函算符作用到的函 数需要满足d i r i e h l e t 边界条件，如y ( f ) = 出( f ) ，y ( t o ) = ) ，( t b ) = o ，x ( t ) 为坐标的时间函 数，y ( t ) 为x ( t ) 关于经典坐标的涨落即涨落坐标。而这正是s t r a i g h tl i n e 和p a r a l l e ll i n e s 对应单圈有效作用量行列式中的算符所满足的条件，即涨落坐标在时间变量间隔的 两个端点取值为0 。已经有作者证明了这样的两个泛函算符的行列式的比值为 【2 5 1 2 6 】 d e t 4 2 一a u 2 ，屹】 一= ：； d e t h ia u l ，m 】 ( 3 2 ) 其中( ，v j ) 仅为( 3 1 ) 泛函算符对应的齐次微分方程e = 0 的两个线性独立的解， 不需满足任何限定条件。n u , ，b 】表示 地川= 燮铲 ( 3 3 ) 其中形心，】为通常的不依赖于坐标的w r o n s k i a n 行列式，其定义为 m 州= 隰剖 4 ， 我们将用( 3 2 ) 式来计算行列式的比值。 我们发现对于除了( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 之外的其他泛函算符对应的齐次微分 方程都可以解析求得其线性独立解。我们求得相应微分方程的线性独立解如下，为 了易于分辨，我们将对应于s t r a i g h tl i n e 的方程的解记为( u ，v ) ，将对应于p a r a l l e l l i n e s 的方程的解记为( 刁，善) u o = s i n h ( c o g - ) - u o ( c o g )v o = e - 心兰v o ( 国f ) ( 3 5 ) ：c o s h ( c o g ) 一_ s i n h ( c o ) 兰( 西) ：( 1 + 匕) 口一三h ( 缈f ) o ) 4c 0 4 l = ( 缈f )= v , ( c o g - ) 虬= u o ( c o f )眨= v o ( c o ( ) r o = s i n h ( c o o - )彘= e o s h ( c o a ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 硕士学位论文 m a s 了e r st t t e s i s 它们对应的w r o n s k i a n 行列式可以求得 w u o ，】= w u l ，h 】= 矽【，匕】= 形【，彘】= 一缈 ( 3 1 0 ) 泛函算符对应的齐次方程不能解析求解的为 q ( 动= 箬一+ 南= o ( 3 砬( 叻= 箬巾2 + 去一c n 2 0 - ) 9 6 = o ( 3 1 2 ) d ( 喇= 窘七2 + 掣象警肛。 ( 3 1 3 ) 首先，我们注意到q ( 功和砬( 却关于矿是对称的，可以选取 轰，2 ( 仃) = 7 7 l 。2 卜盯) ( 3 1 4 ) 而d + ( 叻和口( 动关于仃是相互对称的，可以选取 六p ) = r _ ( _ 盯) ，皇p ) = r + ( _ o - ) ( 3 1 5 ) 由于上述三个二阶常微分方程无法解析求得其线性独立解，必须数值求解。为 了可以用数值方法求得某一个特解必须给出其初值条件，这种不同的归一化即给定 特解不同的初始条件将得到不同函数值的特解。对于端点为常点的方程我们可以给 定端点任意的函数值和一阶导数值，从而可以从端点开始迭代求得任意一点的函数 值和一阶导数值。对于端点为正则奇点的方程我们可以从端点附近的其他点开始迭 代，这样就需要端点领域内的解，这可以通过正则奇点领域内的级数解法求得。 我们发现微分方程q ) = 0 和砬( ) = o h 盯= k ，盯= 一k 处均有正则奇点， q ( 国) = 0 在盯= 一k 处有正则奇点，而在仃= k 处为常点，口( 动矽= 0 与之相反， 在盯= k 处具有正则奇点，而在矿= 一k 处为常点。利用椭圆函数在一k 处的展开公 式 s n ( - k + 占1 = 一1 + 二s 2 + 【_ 占4 + ( 3 1 6 ) 4 3 2 c n ( 一k 托) - 老( 1 4 i _ l o + ) ( 3 1 7 ) a n ( 一k 删= 击( 1 十i 1 扛o f 4 - - ) ( 3 1 8 ) 我们假设足够小，满足s l ，可以通过w k b 近似得到大国的各发散系数的近似行为【2 8 】 c i ( 国) = 要p 2 k m 【1 一一c 十】 ( 3 2 8 ) z脚 c 2 ( 国) = 要p 2 砌【l 一一2 c + 】 ( 3 2 9 ) c 3 ( ) = l ，e 2 r o , 1 一鲁+ 】 ( 3 3 0 ) 为了以后叙述的方便，我们引入g ( c o ) ， a ) ：“(331(co1 - - + 3 1 ) c i) = ( 3 ) 之扣) ：1 一丝+ ( 3 3 2 ) a 佃1 ：l 一旦+ ( 3 3 3 ) c 3 ) = l 一熹+ ( 3 3 ) z 国 归罕争4 7 2 1 3 ( 3 3 4 ) 对于缈l ，可以通过求解( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 在c o = o 时的近似微分方程的 解析解得到缈非常小的时候各发散系数的近似行炭j 2 8 】 g ：等c 0 3 , 1 0 1 6 6 5 5 7 国3 ( 3 3 5 ) r 2 ( 言) c l ( 国) ：缉妪0 8 3 2 7 8 5 国3 ( 3 3 6 ) r 2 ( 去) c 3 ( c o ) = 4 c 0 2 ( 3 3 7 ) 在表i 中我们展示了国非常大的时候发散系数的部分数值结果。在图i 中展示 了国非常大的时候发散系数c l ，c 2 ，c 3 在去除掉指数发散项之后的图形a 在表i i 国1 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 0 08 0 09 0 01 0 0 0 缈( 1 一g ) 0 8 4 7 2 2 80 8 4 7 2 1 70 8 4 7 2 1 5 0 8 4 7 2 1 40 8 4 7 2 1 40 8 4 7 2 1 40 8 4 7 2 1 30 8 4 7 2 1 30 8 4 7 2 1 30 8 4 7 2 1 3 等( 1 一包) 0 8 4 7 1 8 20 8 4 7 2 0 50 8 4 7 2 1 00 8 4 7 2 1 10 8 4 7 2 1 2 0 8 4 7 2 1 20 8 4 7 2 1 20 8 4 7 2 1 30 8 4 7 2 1 30 8 4 7 2 1 3 2 c o ( 1 一c 3 ) 0 8 4 7 2 0 5 0 8 4 7 2 1 10 8 4 7 2 1 20 8 4 7 2 1 30 8 4 7 2 1 30 8 4 7 2 1 30 8 4 7 2 1 30 8 4 7 2 1 30 8 4 7 2 1 30 8 4 7 2 1 3 表l 第一行对应了国的不同取值，下面三行为三个发散系数的数值结果。对照( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 可 以发现这些数据符合近似求得的常数c 。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 图i 左图为g e - 2 勋、c 2 e 2 勋3 5 ：c o 的图像，其中位于上面的曲线为c i e - 2 砌，下面的曲线为 c