（计算数学专业论文）几个非线性波动方程的数值方法.pdf

山东大学硕士学位论文 几个非线性波动方程的数值方法 左进明 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本文给出了几个非线性波动方程的数值方法，此种方法旨在通过中心差分来 实现近似对这种方法做一下推广，就能应用至广义的波动方程上，而且该方法是 无条件稳定的，无耗损的，并且满足波动方程的守恒性。数值试验与理论分析有较 好的吻合。 本文共分两章 第一章给出了处理k d v ( g k d ) 和k p ( g k p ) 方程的数值方法，这种方法是 无条件稳定的，且是无耗损。它们满足孤立予解的两个守恒量一动量守恒和能量 守恒数值试验描述了一个线性孤波运动的情形以及两个孤波交互的情形 本章共分四节 第一节是引言 第二节k p 方程和它的广义形式( g k p ) 方程的数值方法，先针对( g k d v ) 方程 通过中心差分提出了一种线性隐格式方法，对方法进行了误差估计和稳定性分析 并得到该隐格式的相位差 账) = - - 2 1 e 【熹一志a “ ( ；熹絮12 南烀州3 器 一三r z 蒜一瓣ir 2 器卢一瓣1 1 2 4 - 眯1 + d ( f 6 ) 。( a + 1 ) 32 ( z ) 2 1 ( n1 ) 2 r3 ( z ) 3 r n 和相速差 瓣蝌( ；熹十；r 2 嵩泞嗡3 一器专篇一 一面1r 2 羔旷瓣1 川p ) 十。( 一百函f 7 再研一虿j 品f 川t 1 j + u l ) 山东大学硕士学位论文 对这种方法做一下推广，就可以应用到k p 方程和g k p 方程上 ( “+ 口u u 。+ p u z z r ) t 一巧札口9 = 0 ：( u + 芦t 户u 。4 - “u m ) 。一6 乱篁，= o 第三节数值试验，分别给出了g k d v ( 和g k p ) 方程中一个线性( 和块状) 孤 立于解和两个孤立子解交互的情形 第四节结论 第二章对广义非线性s c h r s d i n g e r 方程提出一种新的守恒差分格式揭示了该 差分格式满足两个守恒律，并证明格式的收敛性和稳定性 本章共分七节 第一节是引言，给出了一般的广义非线性s c h r 6 d i n i e r ( g n l s ) 方程 i 窑一p 舢l u h f o ，z f “乱棚刮t ， 和两个守恒量 q = 上训2 如= c 妣t e = 上驯v 奸+ d 2 十：i 训”2 = c 。n s 第二节给出了差分格式 i 芝：扣2 矿1 喇一而t 咿n 个+ + i 哼+ 1 i 。一2 “； 2 + + l u ? + 1 1 2 阻；l 。一2 + l 嵋l 。) ( “；+ 1 + 嵋) 和两个差分格式的守恒量 驴= “旷 e “刊2 + 燕z 塞坩“ 第三节对方法进行了误差估计，并得到收敛结果 第四节证明了该格式的稳定性 第五节进行了数值分析，保证问题的可行性 第六节给出了一个数值算例比较和一个对孤立子波的模拟 第七节结论 关键词：数值方法，k p g k p 方程，孤波，s c h r s d i n g e r 方程 山东大学硕士学位论文 c o m p u t a t i o n a lm e t h o d sf o rs o m e n o n l i n e a r f a v ee q u a t l 0 n s z u oj i n m i n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s a n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y ，j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t c o m p u t a t i o n a l m e t h o d sf o rs o m en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n sa r e 百y e n t h e s e m e t h o d sr e p l a c et h es p a c ed e r i v a t i v e sb yt h e i rc e n t r a ld i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o n s a n dt h e s em e t h o d sa r ea p p l i e dw i t hm i n o rm o d i f i c a t i o n st ot h eg e n e r a l i z e dc a s e b ya n a l y z i n g t h ea m p l i f i c a t i o nf a c t o rf o rt h e s em e t h o d s ，w ec a ng e tb e t t e rs t a b i l i t y a n dn o n d i s s i p a t i o n a tt h es a m et i m e ，t h ec o n s e r v e dq u a n t i t i e sf o rs o m e n o n l i n e a r w a v ee q u a t i o n sa r es a t i s f i e d a c c o r d i n gt oc o m p u t a t i o n a lr e s u l t s ，w ec a ng e tb e t t e r a p p r o x i m a t i o n st ot h ee x a c ts o l u t i o n t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v i d e di n t ot w oc h a p t e r s t h ef i r s t c h a p t e rg i v e sm e t h o d sf o rk d v ( g k d v ) e q u a t i o na n dk p ( g k p ) e q u a t i o n lt h e i rm e t h o d ss a t i s f yt w o c o n s e r v e dq u a n t i t i e s m o m e n t u mq u a n t i t ya n d e n e r g yq u a n t i t y t h i sc h a p t e ri sd e v i d e di n t of o u rs e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni si n t r o d u c t i o n i nt h es e c o n ds e c t i o n ，t h em e t h o d sf o rk pe q u a t i o na n di t sg e n e r a l i z e df o r m ( g k p ) a r eg i v e d w ep r e s e n tf i r s tt h em e t h o df o rt h eg i d v ，a n dt h e nt oe x t e n di t t ot h e k p ( g k p ) e q u a t i o n “+ 声t 正u 。+ p 札眦= 0 w e g e tal i n e a r i z e di m p l i c i tm e t h o db yc e n t r a ld i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o n s ，a n dt h e m e t h o di ss t a b l ea n dc o n v e r g e n t t h ep h a s ee r r o r 球) = - - 2 r f f 戋一赤胡坝 ( ；是+ _ r 12 品舻w 3 蒜 一土r 。舄一瓣1r 2 蒜p 一研1 1 2 眯4 + 。( a + 1 ) 32 ( z ) 2 ( o + 1 ) 2 广3 ( z ) 3 n 。n a n dt h ec o r r e s p o n d i n gp h a s es p e e de r r o r 眯旧辄；等+ 3 3 v 3 ) e 2 + 雩34 舄一壶r 2 品一 i i i 山东大学硕士学位论文 一志r 2 蒜芦一瓣1 艄+ o ( 一百衙”再丽芦一甄五i f p j 。，+ u 【 ”) a r ep r e s e n t e d t h em e t h o dd e v e l o p e df o rt h eg k d v e q u o t i o ni sa p p l i e dw i t hm i n o rm o d i f i c a t i o n st ot h ek p ( g k p ) e q u a t i o n s t + 卢“u 。+ i z u z 。) 。一巧u 鲫= 0 ，( 毗+ f l u 。u 。+ “u 。牡) 一占u w = 0 i nt h et h i r ds e c t i o n ，n u m e r i c a lr e s u l t sd e s c r i b eas i n g l e ( a n dl u m p ) s o l i t o n s o l u t i o na n dt h ei n t e r a c t i o no ft w o ( a n dl u m p ) s o l i t i o n sf o rt h eg k d v e q u a t i o n a n dt h eg k p e q u a t i o n t h ef o r t hs e c t i o ni sc o n c l u s i o n t h es e c o n dc h a p t e rg i v e san e wc o n s e r v a t i v ef i n i t ed i f f e r e n c es c h e m ef o rg e n e r a l i z e dn o n l i n e a r s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n t h e d i f f e r e n c es c h e m es a t i s f e st w oc o n s e r v e d q u a n t i t i e sa n dt h es c t i e m ei ss t a b l ea n dc o n 、e r g e n t t h i sc h a p t e ri sd e v i d e di n t os e v e ns e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni si n t r o d u c t i o n ，w h i c hg i v e se q u a t i o n i 警一p u + 小_ o ，研“锄棚“t ， a n dt w oc o n s e r v e dq u a n t i t i e s q = | “1 2 d z = c o n s t a n t e = 上训v u h 丽2 a 川“2 d 2 = c 删。 t h es e c o n dc h a p t e rg i v e sf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e i 芝：抛哆+ 1 + 聃) - 丽a m 卜 + i 哼+ 1 i 。一2 l 嵋 2 + + i u ；+ 1 1 2 h ；i 。一2 + i u 引。) ( 札；+ 1 + 哼) a n dt w oc o n s e r v e dq u a n t i t i e so fd i f f e r e n c es c h e m e q “= j 1 矿 1 2 一川蚓1 2 t 未z 丢j 旧r 2 i v 山东大学硕士学位论文 i nt h et h i r ds e c t i o n ，w em a k ea ne r r o re s t i m a t e c o n v e r g e n t t h ef o r t hs e c t i o np r o v e st h es c h e m ei ss t a b l e i nt h ef i f t hs e c t i o nw eg i v en u m e r i c a la n a l y s i s ， a v a i l i a b l e w h i c hs h o w st h es c h e m ei s w h i c hs h o w st h es c h e m ei s i ns i x t hs e c t i o n ，w eg i v ean u l n e r i c a lc o m p a r i s i o na n dd e s c r i b eas o l i t o nw a v e t h es e v e n t hs e c t i o ni sc o n c l u s i o n 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：区盘妇j 日 。 期：羔型! = ! 型 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：1 弛导师签名：i 弦盘；堑e t 期：塑竺! ：7 第一章k p 方程和它的广义形式( g k p ) 方程的数值方 法 1 1 引言 从s c o t t r , u s s e l l 1 1 提出在平静的水面上孤渡运动的情形，大量的目光开始关 注它的存在性、其中的性质、和动态的交互情形【2 l 这是因为许多非线性动态的物 理现象可以被描述成一个孤立子的模型f 2 , 3 1 诸如，k o r t e w e g d ev r i e s ( k d v ) 方程 【4 1 1 两维的k d v 方程或k a d o m t s e w p e t v i a s h v i l i ( k p ) 方程 5 l _ 正弦g o r d o n ( s g ) 方程和非线性s c h r 6 d i n g e r ( n l s ) 方程【2 】等等对此类方程已经提出了许多的数 值方法，但这些方法很少涉及到多维的情形，诸如，对k d v 方程，几种数值方法 已经提出并成功得到应用( 如+ f o r n b e r g 和w h i t h a m 6 ，t a h a 和a b l o w i t z 7 ，) ，但 对k p 方程的数值解并没有看到成功的结果，其中一个原因是由于这些格式的稳 定性条件太苛刻本文就针对广义k d v ( g k d v ) 方程提出一种以线性隐格式为基 础的数值方法，蒋将这种方法推广到k p 和g k p 方程上这种方法是无条件稳定 的、无耗损的，数值结果也满足孤立子解的性质 1 2k p 方程和它的广义形式( g k p ) 方程的数值方法 给定k p 方程和它的广义形式( g k p ) 方程 ( u + 卢u + p t 正z t r ) z 一6 u v v = 0 ( u c + 盘“。u 。+ 肛u ? ) z 一占u 蛐= 0 ( 2 1 ) 这里日，“和6 是常数，这两个方程中最值的关注是o = i ( k p 方程) 和q = 2 ，因 为它们出现在大量的物理应用中卧 对于6 = 0 ，方程式( 2 1 ) 可以简化为一个一维三阶的k d v g k d v 方程 6 1 ， 这将有助于我们首先获得解g k d v 方程的线性隐格式，然后将这种方法做一下推 广，就可以应用到k p g k p 方程上了 对于g k d v 方程( 方程( 2 1 ) 式中6 = o ) ： 一 “c + 亡了( u 1 ) z + 札z z = 0 ( 2 2 ) 山东大学硕士学位论文 给出解方程( 2 2 ) 式的隐格式： 嵋“= 嵋一害等 ( 嘴) 。( 呀1 十一1 ) k p ( 呀1 + 一1 ) ，( 2 3 ) 这里u 二u ( m a z ，n a t ) ，z 和分别是空间步长和时间步长，上式可以简单地 通过t a y l o r 展开来得到线性格式： 一p 互t u , r n + l - lu h n 。v t u 。t + 一l l + 噼1 + c n y 。n + + l l + p 2 v r ；，。n + + 2 t = 掰1 ( 2 ，4 ) 其中： 蝣1 _ p j tt n - 1 + h + 志( 嘿- 1 ) 。】嘿n - 一i 。+ 呀1 + + 【p 一志( ) n 1 、u n - l 。一p 2 f t n - 。i ， 和 螺= p 一志u n 卜c 象= - - p + 志( 卜r = 差胪卢蠢 在获得( 2 4 ) 式的过程中，对于空i 可的离散，我们是通过中心差分来近似的 在计算方面，这种隐格式有限差分方法是十分有效的，因为对于方程( 2 2 ) 的 数值解可以在每一个时间步长段上解一个简单的、线性的五对角矩阵的代数系统 来获得( 如l u 分解) 对于一个五对角矩阵的代数系统来说，数值解的适定性条件要求矩阵是对角 占优的【8 】对于系统( 2 , 4 ) 要求满足： 嵩i 糕( ) 0 _ 卅l 湍( ) 0 _ 川 1 ，( 2 却 不满足条件( 2 5 ) 就意味着舍入误差将有可能破坏反演矩阵，然而，最值得注意的 一点在于条件( 25 ) 不会出现在一个稳定性分析中，因此它不是隐格式( 2 4 ) 的一 个限制，当不满足条件( 2 5 ) 式，将得到另一个不同的反演矩阵。 对于这种方法的稳定性，我们用线性条件来分析，由稳定性条件的定义，我们 可以得到方程( 2 ：3 ) 式中系数因子的关系有： 出) = 器 ( 2 6 ) 在这里： e = s i n t , t g 州1 - 2 p ( 1u 。s ( ) ( 2 7 ) 山东大学硕士学位论文 其中 = m a x 。l ，m ( t o ) 。l 和= k a x ，k = 2 l 为波数， l 为波长显然有 1 9 ( ) l = l ，则格式( 2 3 ) 是无条件稳定的，且是无耗损的 对于波的模拟，分析相位差是十分重要的，因为大的相位差会使离散解完全 偏离精确解，只能得到一个毫无意义的结果，对问题的离散也仅仅对长波能得到 好的近似，而由高频分量产生的相位差就不明显了。因此我们最感兴趣就在于分 析足够小的 我们首先分析线性隐格式( 2 3 ) 式的相位，其中此格式的数值相位 9 1 为： 球) = a r c t a n 甓器】， ( 2 8 ) 将( 2 6 ) 式代入( 2 8 ) 式，可以得到： p 3 ( f ) = - a r c t n n ( f 蕞) ， ( 29 ) 这里c 是由( 2 7 ) 式定义的 现在我们定义p c ( ) 为解析相位，则对于方程( 2 2 ) 中的因子为常系数因子的 解析相位为 球) = 一2 瓦a t f 【黑 由( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 式的表达，我们可以得到相位差的表达式： = p 3 ( f ) 一尸c ( ) - - a p 州= 2 c e - - a r c t 可) + 2 差f 等一志翻，( 2 1 1 ) 3 ( f ) = p 3 ( f ) 一尸c ( )n n ( 丁7 j ) + 2 云专f ：! 三了一? i 导函2 j ， ( 2 1 1 ) 对于足够小的f ，( 2 7 ) 式中的c 值可以简单的通过t a y l o r 展开得到下面的形式： e = 瓮外一妇熹一志 + d ( 幽 ( 2 1 2 ) 由于j 五a tf ( 1 一 乎) ( 一t 古舞2 ) 1 1 ，方程( 2 ，9 ) 式可以写成忍( ) = 一a r c t a n 1 ( 1 - c ) 一1 ( 1 + g ) ，则由t a y l o r 展开可以得到： p 3 ( f ) = 一a r c t a n 2 c ( 1 + c 2 + c 4 ) + o ( c 6 ) 】 = 一2 g ( 1 一妄g 2 3 c 4 ) + o ( f 6 ) ， ( 2 1 3 ) 这里已经包括了反i t 切函数( 2 1 3 ) 式中的三次项的扩展式，将( 2 1 2 ) 式c 的值代 入( 2 1 3 ) 式可以得到： p 3 ( f ) = - - 2 r e 等一志f 2 】删；熹增1 2 蒜烀增3 喾每 山东大学硕士学位论文 土2 舄一蕊1r 2 岛卢一瓣1 1 22 ( a x ) o t 胀4 ) + 。( 。( 2 1 4 ) ( a + 1 ) 32 ( + 1 ) 2 p3 ( z ) 3 p n 。n 7r 叫 这里r = a t a s ，将上面的表达式代入( 2 1 1 ) 式，我们就可以得到隐格式( 2 3 ) 式 的相位差为： 一州c ；等+ _ r 12 器浮吨3 r 4 器寺品一 一瓣1r 2 蒜肛一志艄+ 。( ( 2 1 5 ) 一i 研7 。莉肛一百叠五矛川o ，+ u 【 ”) 。 【2 - 1 5 j 我们还可以得到相速差为： & 。( 1 ) = 硒p c ( o 一面a st m 一1 二2 c 可) = 2 雨, 2 v 一 2 p + + d l _ q z 十v l ( z ) “1 。i 。z 十3 u 1 3j 。( 骈懈+ 。( m 。_ 。，( 2 1 6 ) 为了获得格式的收敛性，我们定义下面的算子： l 3 u ( z 。，t 。) = 兰鱼兰生生宅麦i 掣+ i 忑善f 西 u ( z 。，t 。) 。 u ( x m ，| t n + 1 ) + “( 。m ，。一- ) 】) ：+ 芒m ( z m ，t 。+ 。) + n ( z m ，t 。一) 。，( 2 1 7 ) l u = u t - t - 熹( 一1 ) 。+ 舭：。= 。 ( 21 8 ) 由t a y l o r 展开，我们可以得到该格式的截断误差： 3 札( z 。，。) 一l “= ：u 。( z ) 2 + 【百1u m + 虿瓦；羊可札。“+ + 等珏一t 4 ( t ) 2 + 。( ( 嚣) 4 + ( ) 4 ) ， ( 21 9 ) 故在网格比确定的情况下，当a t - 0 ，a x 0 时，i i l 3 n ( z 。，t 。) 一l n | | - 0 ，则 该问题是收敛的 下面回到k p 方程，对于k p 方程( 2 1 ) ： u 。+ ；( 札2 ) x x + # u z x z x - - 6 & t y y o ， ( 2 ，2 。) 像鼹g k d v 方程一样先给出匕式的隐格式方法： ，m “+ + 1 l ，k u n 。+ 一1 1 ，女= 。v 。n - + 1 1 女一e 焉二j ，一7 a t a z ( u ：, ，t ) ( 7 三譬十【：；) 】。 4 山东大学硕士学位论文 - 2 u a t a z u ：5 1 + u 裂 。+ 2 d t 。( ，嚣+ n - ，女1 ) ， ( 2 2 1 ) 用t a y l o r 展开，我们就可以得到k p 方程( 2 , 2 0 ) 式的线性格式： 2 p e 焉n + + 1 2 k + r m nu m n + + 1 1 ，k + s 三，i u 裂? + t ，t u 2 j ，七+ + 2 rr 。n + 一1 2 女一2 q u “，+ ，1 1 2 q 【，：葛1 - 1 = 6 n 。- ， 1 ，( 2 2 2 ) 这里： 6 m n - - ，i = 一2 p 噱n - + 1 2 鼻+ ( 1 + 8 p 一口r u 蔫+ 1 ，k ) 【焉1 * - - + 1 l ，+ ( 一1 2 p 一4 q + 2 p r 畦，量) n - - ，女1 + + ( 一1 + 8 p 一卢r u 品一1 ，k ) 【焉n - 一i i ，k 一2 p l 7 篆：，k 十2 9 l 7 = 4 1 + 2 u n 。- i l ， 和 r 三女= 1 8 p + 卢r u 三+ 1 s ：，七= 1 2 p + 4 口一2 口r m ：， = 一1 8 p + 口r u ：一l ，k ， r ：a t f a z p = p ( z ) 3 ，口= 6 z ( f ) 2 用类似的方法，我们可以直接得到解g k p 方程( 1 ) 的数值方法，将( 2 2 2 ) 式 的系数改写为： b 。n - i = 一2 p 焉n - + 1 2 ，k + 【l + 8 p 一卢r ( u 三+ l ，k ) 。 c 焉n - 十i l ，k + 【一1 2 p 一4 q + 2 启r ( ，k ) 。】n - ，女i + f 一1 十8 p 一芦r ( - 1 , k ) 。1 【焉n - 一l l ，t 一2 p e 臻n - 一1 2 女+ 2 q u 轰杏l + 2 9 瞧n - - ，女1 一l ， 和 r = 1 8 p + f i r ( u 品，l ，) 。，s ：l ，k ：1 2 p + 4 q 一2 8 r ( ，女) 。， n 。一一8 p 仙u n 。- 。，r = 差舻啬舻篱 就像处理g k d v 方程一样，我们能很容易得出方法( 2 2 1 ) 是无条件稳定的，方程 ( 2 ，2 2 ) 是收敛的 在计算方面，解线性方程( 2 2 2 ) 可以采用迭代法，诸如j a c o b i 迭代法，逐次 超松弛迭代法，针对方程( 2 2 2 ) 式，我们还可以用下面的迭代法： 2 p ( 畦n + + 2 1 lk ) 刚+ r 二，t ( 瞩n + + l l ) f l l + s 袅，i ( 譬) + 氍k ( 噶n + 吐lk ) 【l l + 2 p ( 噱n + 屯l 女) = 6 n 。- ，女i + 2 q ( u 慕+ 1 ) 【f 一1 】+ 2 q ( u 。n + ，k l 1 ) 【一”f = 1 ，2 ， ( 22 3 ) 在每一时间步长段，对初值迭代近似u o 定义为：( 譬) 0 1 = 2 ，k 一n - 。i ，对于 方程( 2 2 3 ) ，就像g k d v 方程一样，是一个五对角矩阵的线性系统，可以用l u 0 山东大学硕士学位论文 图1 1 ：g k d v 方程中o l 各自为1 和2 孤波运动的情形 分解来处理这种方法也是十分有效的，在每一个时间步长段上，通过几次的 迭代就能达到收敛，判断停止的条件可以定义为： 渺一u i t 一1 】 1 酽可广“ 同时上面的算法也适合并行计算，在每一次迭代中，线性系统( 2 2 3 ) 的次序i ( m = 1 ，2 ，n ) 在k = 1 ，2 ，l 上是相互独立的，能通过不同的过程来获得 1 3 数值实验 1 g k d v 方程中一个线性孤立子解和两个线性孤立子解交互的情形 图1 1 描述了g k d v 方程中两个孤波系数为卢= 6 ，弘= 1 ，k 。= 0 7 ，t = o 0 1 z = o 1 ，o t 分别为1 和2 ( f o r n b e r g 和w h i t h a m 6 ) ，用线性隐格式( 2 4 ) 处 理的波形，其中初始条件为： u ( 。t = 0 ) = a s e c h ( k 。3 2 一z d ) 2 7 。， - 1 0 z 4 0 ， ( 3 1 ) 这里 a = 型喾业瞒2 t 。为常数，在这里取为0 ，对于边界值，我们直接定义为： + 1 = = 0 ， m = 、- 1 ，0 1 ：m = n 一1 ，n ，n + 1( 3 , 2 ) 从图1 1 我们可以看出，波速随着o l 的增大是减小的，而振幅随着时间的增大而 增大的。对于守恒量( 动量尸( t ) = j ：u d x 和能量e ( t ) = ：“2 d x ) 是用来检 6 山东大学硕士学位论文 图1 2 ：g k d v 方程中n 各自为1 和2 孤波交互的情形 图1 3 ：k p 方程初始条件为( 3 4 ) 和在t = 3 时刻的孤波波形 验数值积分的我们从计算数值和波形来看，数值量p ( t ) 和e ( t ) 随着t 的变化 是不变的 图1 2 描述了g k d v 方程中两个线性孤波交互的情形，系数为卢= 6 ，“= 1 ，k 。= 0 7 ，k # 2 = 0 5 ，x l = 0 ，z 2 = 5 ，q 各自为1 和2 ( f o r n b e r g 和w h i t h a m 6 d 从结果来看它们也满足动量和能量守恒，其中初始条件为： 这里 2 仳( z ，忙o ) = a s e c h ( k 一一圳1 ，一1 0 z 4 0 ( 3 ，3 ) i = l 。hz 2 为初始点的位置 a = 坠笋肚： ， 山东大学硕士学位论文 图1 4 ：k p 方程初始条件为( 3 5 ) 和在t = l 时刻孤波交互的波形 图15 ：k p 方程在t = 2 时刻孤渡交互的波形 2 k p 方程中一个线性的孤立子解和两个线性孤立子解交互的情形 图1 ，3 描述了孤渡满足= 1 ，多= 6 ，p = 1 ，k 。= 0 7 ，k ”= 一0 3 ，t = 00 5 ，a x = o 2 a y = 05 在t = 3 时刻用线性隐格式( 2 2 3 ) 处理的波形，其中初 始条件为： u ( x ，y ，t = 0 ) = a s e c h 2 ( k 。z + k u y z o ) ， ( 3 4 ) 这里 a = 坠喾业鹾 x o 为常数，在这里取0 图1 4 1 5 描述了k p 方程中两个线性孤波交互的情形，系数为n = 1 ，日= 6 p = l ，k 。，= 0 7 ，k 。2 = 0 5 ，k 。= 一0 3 ，k p 2 = 一0 2 ，z i = 0 ，z 2 = 2 ，a t = 8 山东大学硕士学位论文 0 0 5 ，a z = 0 2 ，y = 0 5 在t = 1 和t = 2 时刻用线性隐格式( 2 2 3 ) 处理的波形 其中初始条件为： ( 3 5 ) 非坠罐型峨 对数值边界的处理，在沿着y 一轴( k = 1 ，2 ，l ) 定义为： v 搿= 嘿k = 0 ，m = 一1 ，0 ，1 m = n n + 1 ，n + 2 ( 3 6 ) 然而在沿着x - 轴，边界上的值在各个方向上不会消失，对于( ，n = 1 ，2 ，n ) 我 们用线性外插来定义： 啾= 2 u 。“+ 州t 一骣嚣2 ，k = 一1 0 ，l ； u 三譬= 2 u 。”+ ，。l l u 蒜l _ 2 ，k = l 一1 ，l ，l + 1 ( 3 7 ) 对于k p 方程，检验数值积分的守恒量分别为： r 。o 厂。 p ( t ) = u d x d y ( 3 8 ) j 一。j 一 和能量 即1 仁仁u 2 d x 曲 ( 3 。) 从上面的计算结果和波形来看，数值量p ( t ) 和e ( t ) 随着t 的变化是不变的 3k p 方程中一个块状孤立子解和两个块状孤立子解交互的情形 一个二维块状孤立子波f 和两个块状孤立子渡交互) 的传播的情形，我们认为 在各个方向是趋于0 的，对于足够大的数值计算范围，数值边界条件沿着y 轴是 趋于0 ( 3 6 ) ，沿着x 一轴满足： u = 譬= 嘿k = 0 ，k = 一l ，0 ，1k = l ，l + 1 ，l + 2 ( 3 ，1 0 ) 图1 6 描述了在t = 1 0 时刻用线性隐格式( 3 2 3 ) 处理的块状孤立子波形，系数 为o = l ，口= 6 ，= 1 ，6 = 1 、a t = o 0 5 ，a x = 02 ，a y = 0 5 ，其初始条件为： 巾m ，= 喾嚣葛篙黼， 川 9 z一 岛 + 工 z 七 2 cesa 。 | | 0 | | y zu 山东大学硕士学位论文 图l ，6 ：k p 方程初始条件为( 3 1 0 ) 和在t = 1 0 时刻的块状孤波波形 图17 ：k p 方程初始条件为( 3 1 1 ) 和在t = 8 时刻的两个块状孤波交互的情形 这里z o = 0 ，g o = 0 和w = 1 图1n 1 8 描述了在t = 8 和t = 1 6 时刻两个块状孤立子波交互的情形，初始 条件为： 喾裂高篙黼3 ( 5 w i ) ， c 。 【( z z 。) 2 + u j ：( 掣一玑) 2 + 2 p 。1 叫 这里x l = 一4 ，x 2 = 4 ，l = 2 = 1 0 ，叫l = 1 和w 2 = 0 5 对于k p 方程，检验数值积分的守恒量分别为： 和能量 p ( t ) = f ”f ”珏出曲 j 一。j 一 即) = ；仁仁抛句 1 0 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ： l l o = z ，l 山东大学硕士学位论文 图1 8 ：k p 方程在t = 1 6 时刻的两个块状孤波交互的情形 从上面的计算结果和波形来看，数值量p ( t ) 和e ( t ) 随着t 的变化是不变的。 1 4 结论 用线性隐格式来处理k p 方程和g k p 方程，它是无条件稳定的，且是无耗损 的数值实验描述了一个线性孤波运动的情形和两个线性孤渡交互的情形，它们 都满足动量守恒和能量守恒，较好的显示了孤波动态的现象 第二章广义非线性s c h r s d i n g e r 方程的一个新的守恒差 分格式 2 1 引言 非线性s c h r 6 d i n g e r ( n l s ) 方程在物理学( 如非线性光学、等离子物理学) 的应 用中扮演着重要的角色，因此最近二十年来对该方程进行了大量的研究在数值 求解方面，也已提出了许多的方法，其中包括文【1 0 】中t a h a 等人( 1 9 8 4 ) 总结和 提出了五个有限差分格式，文 1 1 中z h a n gf e i 等人( 1 9 9 5 ) 提出了一种三层七点 格式，文【1 2 和文【1 3 中z h a n gt i a n d e 等人提出了p r 格式和加权格式。本文 将讨论更一般的广义非线性s c h r j d i n g e r ( g n l s ) 方程： i 雾一p a u + a l u i 。u = o ， z c z o t 茎丁，( 1 1 ) u ( x t ，t ) = u ( x ，t ) = 0 ，0 t t ( 1 2 ) u ( z ，0 ) = u o ( x ) ， z f z 上，( 1 3 ) 这里p ，a 是实数，是正的实数。 用( 1 1 ) 式乘以面得到虚部部分，用( 1 1 ) 式乘以a 西执得到实部部分，则 ( 1 1 ) ( 1 3 ) 式有着如下的关系： q = | “1 2 d x = c o n s t a n t( 1 4 ) 、e = 上驯v u h 箍i u i ”2 ) 出= c 。n s 姗t ( 1 5 ) 这里称( 1 ，4 ) 和( 1 5 ) 式分别为电荷和能量守恒 2 2 差分格式及其守恒量 对平面区域k ，。，1x 【o ，t 】做网格剖分，取空间步长z = ( 珥一研) ，时间步 长为a t 一其中= z f + j z ，t = n t ( j = 0 ，1 ，j ；n = 1 、2 ，丕) ，r = 蕊a t 为网比，记t 口为原问题( 1 1 ) 一( 13 ) 精确解u ( z j 。) 的近似，我们引入一些符 号： d ：“，n + l = 面1 ( u 川n + l 一2 “；+ 1 + “譬) 1 2 山东大学硕士学位论文 酲“? 2 志( u a t 一2 “? + u 对( 1 1 ) 式提出下面的差分格式： i 芝= 瓣1 吲一壶卜 + | q + 1 。一2 i u ；1 2 + + u ? + 12 i 嵋l 。一2 + i t 亏i 。) ( u ；+ 1 + “；) 定理1 ：差分格式( 2 ，1 ) 关于离散电荷和离散能是守恒的，即： 0 n = q n l = = q o ( 2 1 ) ( 2 2 ) e “= e ”1 = = e o ( 2 , 3 ) 其中： q ”= i i 矿酽( 2 4 ) 酽刮l 吲队兰血喜l 吲州 ( 2 5 ) 这里 忙刈z ：z 壹旧一卜z 壹l 掣i 。 j = 07 = 0 一山 证明：r m 和，m 分别表示取实部和虚部，将( 2 1 ) 式与a x ( u ”1 + 扩) 2 做内积， 然后取虚部部分得到： ，+ ，j + i i i = 0 ( 2 6 ) 其中： j = 胁掣壹和面1 ( u r l 一u ；) ( 妒+ 谢= 面1 + 2 仆刈2 ) ，：伽掣 p 壹( 鹾u ? t + “；) ( 妒+ 可) ) ：o j = o = ，m 掣毫 壶( 卜i u r 2 + 一十 + i u 一2 吲州+ l u ( u ? + 1 枷? ) ( 矿十可) ) = 0 式中豇表示“的共轭，把，、i i i i i 的表达式代入( 26 1 式并令： q “= i i “l 2 1 3 山东大学硕士学位论文 则可得q ”1 = q “，递推之，即可得到( 2 2 ) 式。 将( 2 1 ) 式与a z ( u ”1 一u “) 2 做内积，然后取实部部分得： j y + f + 1 7 i = 0 ( 2 7 ) 其中： j v = r e 掣 i 去j ( “，n h 一“? ) ( 妒一巧) ) _ o y ：兄e 掣鳄壹( 2 u ? + t + 2 叫n 妒s + l 一碍) j = 0 ：一r e 掣碍壹( u + u 刍妒一砭) ) j = 0 = 一p ( 1 l + 1 | | 2 一i i u 耶) 1 4 y ，= r e 粤 熹壹( 卜r 2 1 u ；l 。h + + i u ? + 1 1 2 l u l l 。一2 + l 乱；i 。) ( u ? + 1 + “? ) ( “；+ 1 一碍) 、 j 2 矗z j = o ( i 纠叶2 斗) 把，k v 代入( 2 7 ) 式中，并令： 肚艄酽+ 兰z 毫i 吲“ 则可得到：e ”1 = e ”，递推之，即可得到( 2 3 ) 式。 2 3 差分格式的收敛性 当z - - + 0 ，a t - 0 时，在( 2 1 ) 式中丐n 对u ( x j ，f 。) 的近似是收敛的，为了 证明这一点，我们定义这样的算子； 矾“炉i 迎盘掣一；( 邀垫岩幽) + 壶( 沁川。+ m 川”2 i u ( 巧，h + m 沁川2 1 4 山习i 大学坝士学位论文 i u ( q 如) r + i 。( q ，t 。) 吲坐巫出去坐趔)( 3 1 ) l u = j u t p a u + , 、i u l 。“= 0( 3 2 ) 由t a y l o r 展开式得： u ( q 一。，t 。) = ( 码t 。) 二( “( x j , t 。) ) 。z + ；( u ( q ，如) ) 。( 。) 2 一 一i ( u ( q ，k ) ) ( z ) 3 + o ( ( 上) 4 ) “( 巧+ l ，f 。) = ( ，t 。) + ( u ( x j , z 。) ) 。：r ：( u ( q ，t 。) ) 。( 土。) 2 + + ( “( 巧t 如) ) r 一( z ) 3 十。( ( z ) 4 ) ( q ，t 。+ 1 ) = u ( q ，t 。) + ( u ( x j , t 。) ) i + ；( “( q ，。) ) “( ) 2 + + ；心( q ，t n ) ) m ( t ) 3 + 。( (