（光学专业论文）极限环网络动力学研究.pdf

摘要 摘要 本工作研究极限环网络的动力学行为。我们对全局线性耦合的网络的计算发现，在弱耦合和窄 的频率分布的情形下。极限环网络中所有振子都呈现周期运动行为，网络的振幅几乎没有变化，产 生变化的仅有位相。此时的网络动力学行为可以通过“位相”模犁来研究，e p k u r a m o t o 模型。然而 在宽频率分布和强耦合条件下，网络中不但出现振幅的周期态和稳定态，而且还出现混沌态。同时 在一定的条件下，网络中出现振幅消失，涡旋现象和周期脉冲现象。 通过与k u r a m o t o 网络模型的比较，我们发现在窄的频率分布和弱耦合情况下k u r a m o t o 网络 的位相动力学行为与极限环网络的位相动力学行为相似，如果耦合很强时，两种网络的佗相动力学 就会完全一致。在宽的频率分布和强耦合下，我们发现在同样的自然频率分布下极限环网络比 k u r a m o t o 网络达到伉相同步所需的耦合系数要小，极限环更释易达到同步。其次，对于极限环网络 模型，体系混沌耦合强度区域要比k u r a m o t o 网络模型窄，且混沌强度相比k u r a m o t o 网络模型要弱。 在双节点网络中，k u r a m o t o 网络模氆与极限环网络模型在描述位相的动力学上。两者一致。随着振 子数增加，两种网络位相同步的临界耦合值差别增加。然而，极限环网络的位相动力学与k u r a m o t o 网络的位相动力学没有本质上的差别。 关键词：网络，混沌，位相，同步 a b s t r a c t a b s t r a c t w es t u d yt h ed y n a m i cb e h a v b u mo fl i m i tc y c l en e t w o r k sw i t hl i n e a ra n dg l o b a lc o u p l i n g t h e n u m e d c a ic a l c u l a t i o ns h o wt h a ti nt h ec a s e so fw e a kc o u p l i n ga n dt h en a r r o wn a t u r a if r e q u e n c y d s t r i b u t i o n a l lo s c i l l a t o r si nt h ei i m i tc y c l en e t w o r ke x h i b i tp e d o d i cb e h a v i o u r s 。a n dt h ea m p l i t u d e o ft h eo s c i l l a t o r sa l m o s td o n tc h a n g e ，o n l yt h ep h a s e so ft h eo s c i l l a t o r sa r ec h a n g e d t h e n e y w o r kb e c o m e st h e p h a s em o d e i t h a tj st h ek u r a m o t om o d e l 1 nt h ec a s eo ft h ew i d en a t u r a l f r e q u e n c yd i s t r i b u t i o na n ds t r o n gc o u p l i n g ，t h ea m p l i t u d eo fa l lo s c i l l a t o r sn o to n l ys h o wp e n o d a n ds t a b l eb e h a v i o r si nt h en e t w o r k ，b u ta l s oe x h i b i tc h a o t i cb e h a v i o r s ，a n di nt h em e a n t i m e ， a m p l i t u d es h o wd e a t h v o d e xp h e n o m e n o na n dp e n o d i cp u l s ei nt h en e t w o r k s b yc o m p a n n gl i m i tc y c l en e t w o r kt ok u r a m o t on e t w o r k ，i nt h ec a s e so fw e a kc o u p l i n ga n dt h e n a r r o wn a t u r a f r e q u e n c yd i s t r i b u t i o n w ef i n dt h ep h a s ed y n a m i c so fk u r a m o t on e t w o r ka r e s i m i l a rt ot h ep h a s ed y n a m i c so ft h el i m i tc y c l en e t w o r k ，- ft h ec o u p l i n gs t r e n g t hi sv e r yb i g 。t h e p h a s ed y n a m i c so ft h et w on e t w o r ka r ea l m o s ti d e n t i c a i 1 nt h ec a s eo ft h ew i d en a t u r a i f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o na n ds t r o n gc o u p l i n g ，c o u p l i n gs t r e n g t hw h i c hn e e d e df o rl i m i tc y c l en e t w o r ko b t a i n i n g s y n c h r o n i z a t i o ni sw e a k e rt h a nk u r a m o t on e t w o r ki nt h es a m en a t u r a i f r e q u e n c yd i s t r i b u t i o n a l i o s c i l l a t o r so b t a i n i n gs y n c h r o n i z a t i o ni nt h ei j m j tc y c l en e t w o r ki sm u c he a s i e rt h a nk u r a m o t o m o d e l a n dt h ec h a o t i cr e g i o no ft h el i m i tc y c l en e t w o r ki ss m a l l e rt h a n t h ec h a o t i cr e g i o n k u r a m o t om o d e i a n dt h eb i g g e s tc h a o t i cs i r e n g t ho ft h ei i m i tc y c l en e t w o r ki sa l s ow e a k e rt h a n t h eo n eo fl h ek u r a m o t on e t w o r k i ni h ed o u b l e - n o d en e t w o r k k u r a m o t om o d e ic o m p l e t e l y r e p l a c e si i m i tc y c l em o d e if o rd e s c n b i n gp h a s ed y n a m i c s w n ht h en u m b e ro ft h eo s c i l l a t o r s i n c r e a s i n g t h ec r i t i c a ic o u p l i n gs t r e n g t ho fp h a s es y n c h r o n i z a t i o ni nt h ek u r a m o t on e t w o r ka n d l i m i tc y c l en e t w o r kh a v em o r ea n dm o r ed i f f e r e n c e s b u tt h e r ea r en o td i f f e r e n c e si ne s s e n c e a b o u tt h ep h a s ed y n a m i c si nt h et w on e t w o r k s k e yw o r d ：n e t w o r k 。c h a o s 。p h a s e ，s y n c h r o n i z a t i o n i i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：日期：至q 鳗! ! 至 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学 位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外， 允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文 的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：导师签名：日期：2 q 1 2 第一章绪论 一、引言 第一章绪论 最近几十年来，混沌行为越来越来引起人们的兴趣。混沌是一种貌似无规则的运动，指在确定 性1 # 线性系统中，不需附加任何随机囡索亦“j 以出现类似随机的性为。混沌系统的最大特点就在于 系统的演化对初始条件敏感，冈此从长期意义上讲，系统的未来行为是不町预测。自从牛顿力学的 应用经受相对论和量子力学革命性的突破有所不同，这是科学界另一次革命。这次革命的实质就在 于混沌是直接用于研究人们所感知的真实宇宙，用在人类本身的尺度大小芳不多的对象中所发生的 过程。人们研究混沌时所探索的目标就在日常生活经验与这个世界的真实图象。 众所周知，牛顿力学所描绘的世界是一副静态的、简单的、确定性的、永恒不变的自然图景， 形成了一种关于“存在”的机械自然观。而人们真正面临的世界是地质变迁、生物进化、社会变革 这样一副动态的、复杂的、随机性的自然图景，形成的是关于“演化”的自然观。因此，混沌是一 种关于过程的科学而不是关于状态的科学，是关于演化的科学而不是关于存在的科学【l l 。实际上， 混沌科学的研究表明 2 1 ，现实世界是一个有痔与无序相伴、确定性和随机性统一、简单与复杂一致 的世界。比如很久以来，人们只知道用确定论和概率论来描述客观世界。然而，晟近人们的认识到 客观世界的复杂比通常人们想象地要狭隘。纯确定论和纯概率论是一种理想化的描述，它涉及某种 无穷过程的极限。如果说一个质点的运动轨道是完全确定的，显然这就意味着要用精度无限高的仪 器来测最它，这是完全不可能做到的，冈为测鼍的精度只可能是有限的。如果把有限性( 包括测量 精度的有限性，随机检验的有限性) 作为认识自然现象与承认自然现象的有限性的基本出发点，那 么人们就可以将确定论和概率论从根深蒂固的对立关系中统一起来，混沌现象的研究止是为了解释 这个涉及经典力学中“复杂”系统的另一类应用的根本问题。 同样，对大气运动的认识，历来也有确定沦和随机论两种观点。传统的观点认为：大气运动有 其确定性的一面其规律可并j 微分方程以描述。同时，大气运动又有其不确定性的一面，这就是说 不可能确知某时、某处人气的真正状态( 尽管这种状态在理论上是存在的) ，而只能从整体上把握其 统计特性，其特性可用概率沦和统计学加以描述。 而洛伦兹的研究向人们揭示了一个新的现象【3 】，就是用微分方程描述的确定性系统在相当长的 时问后，其演化不再具有确定性，而是呈现一种“混乱”的状态，这种现象称为“混沌”。 上述两种不确定性( 两种随机性) ，一种是动力系统由于受到外界诸多因素的影响而产生的，且 人们对其中某些因素的作用，甚至因素本身的影响是什么不知道，这种特性并非是动力学系统本身 所固有的，称外在随机性。另一种是动力学系统本身所固有的，并不是由于外界的十扰，因而被称 为内在随机性。外在随机性表示系统在任何时刻，即使是很短的时间内，其状态也是不确定的，因 而是不可预报的，只能对系统的状态进行统计描述，给出它的概率分布规律。而内在随机性是系统 在短期内按确定的规律演化且有一个可预报期限，只是在足够长的时间后系统才变为不确定。因此， 内在随机性指的是系统在足够长的时问后的行为。 这种内在随机性存在于大量的保守系统和耗散系统中。需要强调的是，它与外在随机性不同， 它是在完全确定论的方程中，不需要附加任何随机因素亦可出现类似随机 亍为，导致混沌的结果。 因此，在混沌理论中可以把牛顿力学方程和统计力学方法、线性随机方程和非线性确定论力- 程以及 周期解和混沌解有机地结合起来，从而达到确定性和随机性、决定性和非决定论高度的内在统一。 这些复杂现象町以在很多领域发现，现在我们以生物系统的自组织现象为例。自然界生物种类 繁多，形态各异，功能复杂，构成了绚丽多彩的生物世界。生物界是自然界中最富有生气和最具神 秘感的领域。 众所周知，玻尔兹曼原理虽然对于解释平衡结构的形成和维持是成功的，然而，当用它来说明 东南大学硕士学位论文 非平衡的有序结构( 如生物有序) 时却遇到了极大的困难。例如，生物体的有序不能靠降低自身温 度而获得，也不能靠与外界环境的隔离而维持。 按照经典的平衡态热力学观点，无论是孤立系统的无序的平衡态的形成，还是平衡态的有序结 构的形成，系统的各个微观组态都是等概率的，平衡态都是对应于相应条件下的最可几宏观的状态。 对于生物体来说，它是有分子、细胞、组织、器官、个体、群体等按各种要求和层次组成的，它在 各个层次上都表现出有序性。如果按上述观点这种有序性的形成几乎是龙法实现的。因此，生物 确实是在远离乎衡态的条件下生存。一部生物进化史，就是生物从原始的比较均匀的无序结构发展 为高级的不均匀的有序结构的历史。 同时人们也认识到，生物之间以及生物和环境之间具有相互依存的关系，这种依存关系往往又 是非线性的。例如大鱼吃小鱼，若是线性关系，只能是小鱼多，大鱼就多。而事实并非如此。大鱼 多了，小鱼被吃掉的多了，小鱼就减少了；小鱼少了大鱼就没有足够的食物，大鱼也就要减少了。 因此丈鱼和小鱼的数量构成了种周期性的振荡。除了这种相互依存的关系以外，在许多生态系统 中还存在着明显的协同现象，例如，野兔靠植物为生，山猫靠捕获野兔生存，构成了非平衡有序结 构，这种相互竞争的协同作用便造成了野兔数和山猫数随时间而发生的“周期振荡”的宏观有序现 象。生物的种群数目除了周期性变化外，也可能在一段时期内处于稳定的数值上，也可以是周期性 变化。 描述不同的复杂体系的相互关系上，用同步是一个很好的方法。 关于自然界同步现象人们对其研究已经有几个世纪。同步这个词来源于古希腊语，义为分享共 同的时问，这个词的原始义到现在已经发展成种口语，义为不同过程在时间上的一致性或关联性。 历史上，自从物理学的早期时代，在动力学系统演化过程中。同步现象的分析已经是一个活跃 的研究课题。早在1 7 世纪，h u y g e n s 互作用的摆钟( 掉在同一个梁上) ，存在位相同步，当然，同 步不仅存在于物理领域，人们已经发现在生物，化学，物理，社会系统中都存在同步现象。一个证 实的例子是在一些南亚森林中发现的萤火虫同步闪光。在夜间，无数休息在树中的萤火虫，突然， 有几个发出闪光最初它们闪地不连贯，但过了短暂时间后，整群的萤火虫就开始以一致的方式闪 光，发出最明亮的光芒。虽然这种同步现象不能被完全理解，但是他已经被多次强调。就萤火虫的 例子，同步闪光可能方便了雄性与雌性间的求偶。在其他例子中，同步的生物地位还在讨论中。因 此，完全的同步可能导致灾难甚至灭绝，所以不同的种类同样的食物链中，可能发展不同的生理节 律，以便扩大生存的可能性。 关于这些和一些其他系统，连同一些参考书，可以在最近的由s t r o g a t z ( 2 0 0 3 ) 书中看到。 对同步的研究必然强调在给定体系的元胞中主要机制反映集体同步行为。为了获得整体的连贯 的行为，就需有相互作用的振子元胞。每个元胞的节律行为可能由于内部行为或者外部原因( 外界 的刺激和驱动) 产生。尽管内部运动产生的节律有不同的物理或生物起源，并且非常复杂，但是人 们还希望能理解就基本原理方面同步的本质。 关于上面的疑问，有不同韵方法处理这个问题。假设每个元胞的节律行为用一物理变量来描述， 这个变量随时问周期演化。当这个变量达到一个确定的l 临界值时，这个元胞发出一个脉冲( 对神经 细胞的作用潜力) ，并且这个脉冲又被传到临近的元胞。稍后，一个恢复机制使这个元胞回到初始的 状态。然后，一个新的循环开始了。本质上，每个元胞的行为与一个振子的行为相似。假定。这个 节律有一个确定的周期他就很方便地引入位相的概念，一个消逝时间的周期测量。这个释放出的 脉冲的影响是通过修改临近元胞的周期，延长或缩短，来改变他们当前的态。依据振子接受外界的 刺激的当前态这种扰动也可根据位相的移位来研究。体系的集体行为的分析在两种条件下能用这种 方法实现：( 1 ) 由一个脉冲引起的位相移动不依赖在峰电间隔中的达到的脉冲数；( 2 ) 一个脉冲的 到达影响当前的时间间隔的周期。然而这个记忆会迅速失去，并且未来的间隔行为不会被影响。 有另一个想法，同步影响的已经被广泛地研究了。这里考虑一个非线性振子的整体，这些振子都 是以固定的振幅运动在极限环上。这些振子是位相振子或极限环振子。现在让他们比较耦合在一起， 2 第一章绪论 以便没有扰动会使这屿振子中的任何一个从整体极限环上脱离。因此，描述这个系统的动力学演化 仅有一个自由量是必要的。尽管。在这样简单水平地描述很难提出专门的模型。但是，脉冲耦合的 振子这样的最先想法可能是更直观，更直接，并且更容易模拟。 然而，脉冲耦合的离散性和非线性引起了重要的数学复杂。当仅几个脉冲耦合的单元处理在动 力学的框架下可以实现，而对大数量这种单元，这样的描述就变地非常复杂。在提出第二种想法用 耦合的极限环却留有丰富的想象空间。我们必须考虑数学上易处理的模型，有连续的时间和在振子 回特殊的相互作用。我们的经验靠述我们模型带有后面属性是列外。此外，一些研究人员已经为了 寻找这样的“解”，花了许多年。例如，w i n f r e e 坚持解带有非线性相互作用的的模型 4 - 5 l ( w i n f r e e ，1 9 6 7 ，1 9 8 0 ) 。他认识到同步能被作为一种临界过程理解。肖在振子中的耦台强度足够的 强，那么宏观部分就会同步到一个共同的频率。虽然，他提出的模型解的形式最近已被发现 ( a r i a r a t n a m 和s t r o g a t s 2 0 0 1 ) ，但是在完全一般性中去解很困难。所以对同步的研究沿着另一 条方向进行下去。 最成功的尝试要归功于k u r a m o t o 6 7 】，他分析了一个位相振子的模型，这种模型的振子都以他 们自己的固有频率运动，并且被他们的位相差的正弦函数耦合在一起。k u r a m o t o 模型足够简单到 可以便于数学处理，然而有充分的复杂展现丰富的动力学现象。如这种模型充分展示了大量的同步 形式，并且容易应用于许多不同的内容。 而历史上，w i n f r e e 为了使问题易处理，作了一个假设，整个体系的振子被很弱地耦合在一起， 这里“弱”意思是相对于极限环的吸引。然后，耦合的主要影响就是使每个振于的运动只在极限环 附近，而不影响他们的振幅。因此在这样弱的耦合极限下，仅有位相变量必须被考虑。w i n f r e e 的工 作结果：同步是一种相互作用的现象，当耦合的强度超过某确定的临界，振子就会发生同步。 k u r a m o t o 重新构造了“位相模型”，并给出在一个无穷多振子数的体系中，一个有趣的自发同步的 数学分析。他的方法引用了统汁物理里的平均场理论的一个新奇的动力学扩展。 在由w i n f r e e 和k u m m o 【o 所研究的位相模型中，有三种集体行为的类型已经被发现：( 1 ) 不连贯性所有振予部以他 | j 的自然频率运动，这样的现象发生在振子间的耦合相对于自然频率 的延展是弱的；( 2 ) 锁定在任意两个振子间的位相筹随时闻的变化是个常数，这样的现象发生在振 子间的耦合相对于自然频率的延展是强的：( 3 ) 部分锁定一些振子被锁定，另一些仍以不同的频率 移动，这种态位于锁定和不连贯之间。所有这些行为在统计上是稳定的，他们在相空间里有固定的 分布。 二、基本概念 在本文中，我们要用到几个重要的概念，为了下文叙述方便，现在此描述清楚。 i 李雅酱诺夫指数( l y a p u n o v e x p o n e n t ) ：这个指数用来度量相空间里阿条相邻轨道随时间而指数 式地吸引或分离的程度，这 丐条轨道有不同的初始条件。它作为混沌的重要判据，是一个系统存在 混沌的必要条件。当一个系统的李雅酱诺夫指数大下零时，系统处在混沌状态：当一个系统的李雅 普诺夫指数等于零时，系统处在周期状态：当一个系统的李雅普诺夫指数小于零时，系统处在稳定 状态。 卫= 戆i 1 否n - il n 叭石) 卜 2 吸引子( a t t r a c t o r ) ：这是指相空间的一个点集或一个子空问，随着时问的流逝，在暂态消亡之后 所有轨道都趋向于它。例如，映射的平衡点或不动点、或拟周期运动的一个环面。以及极限环，都 是经典动力学吸引子。吸引子是很重要的一个概念，很大程度上我们判别一个系统是否具有混沌， 就要看它的吸引子的类型。 3 定常吸引子。它是相空间中的一个点，它将周围的轨道全部都吸引过来。如二维空间中稳定的结 东南大学颀上学位论文 点和焦点，它反映了状态z ( 或y ) 随时间t 茸绥衰减或振荡衰减时的阻尼运动。 4 周期吸引子。又叫极限环( 1 i m i tc y c l e ) 吸引子：在远离平衡态时，经过若干次分岔之后，由于 自组织作用，系统可以进入一个规则而又稳定的周期振荡状态。极限环吸引子是相空间中的一个封 闭的环( 可能是一维的环线，也可能是二维的环面，甚至是更高维的环。) ，它将周围的轨道吸引到 这个周期的循环之中。 5 混沌吸引子。这是在三维或三维以上的另一种吸引子。也就是说，它不同于以上所指的三种吸引 子是一种在相空间中具有分数维的吸引子。下圈就是著名的洛伦兹奇怪吸引子，它是将二维空间 的图像经过多次伸长和折叠而形成的。这里需要指出的是，通常混沌吸引子具有分形结构，囚此称 为奇怪吸引子。实际上混沌吸引于是一种动力学概念，奇怪吸引子则是一种几何上的概念。由于混 沌吸引子可以不具有分形结构，而具有分形结构的吸引子，所以它们之间未必有必然的联系。但是， 研究表明，混沌吸引子往往具有非整数维数，因而往往是奇怪吸引子。 6 分岔( b i f u r c a t i o n ) ：原义为一分为二，后来人们将它加以推广，泛指在一个动力学系统中。当控 制参量改变时，其相图发生拓扑结构的变化。而分岔理论则是研究非线性方程( 代数疗程、微分方 程、积分方程等) 解的定性行为的数学理论。它包括分岔点的位置；分岔解的方向与数目；分岔解 的稳定性；分岔的类型；分岔的过程与终态( 奇怪吸引子) 等。 7 h o p f 分岔：这种分岔的特点是系统在分岔点分岔出来的不是平衡点，而是周期轨道。也就是说， 在小的激励下，不动点变成极限环。吸引子的维数增加了l 。 三、研究现状 正是从w i n f r e 和k u r a m o t o 工作起，人们对全局耦合极限环振子体系的同步现象的兴趣与日俱 增【8 一1 3 1 。经过二十多年的发展，这种模氆已经被应用于大多数最重要的领域。可能的应用包括一些 在物理学，化学，生物学，医学等领域的臼组织系统。例如，从j o s e p h s o l 连接阵u i l 4 j ，半导体激 光阵列 1 5 1 ，化学 1 6 1 ，心脏起搏器细胞1 1 7 ，闪光萤火虫1 1 8 1 ，到为了治疗神经上和精神上的疾病 4 第一章绪论 对大脑起搏控制需求的发展【1 9 2 0 。对于所有这些应用的基本原理就是理解这些系统内部产生同步 和破同步现象的机制。 然而k u r a m o t o 模硝并非什么情况下都实用，它要满足一定的条件。即只要在体系中单元耦合 后，每个振子间的吸引仍在他们的极限环附近，这种情况位相模璎就可以满足考虑火量的现象。这 是传统的k u m m o t o 模型。而另一方面，当耦合足够强时，每个振子的振幅就可能被影响，因此就 需要更为复杂的模型，在这样的模型中，振幅的动力学就和位相的动力学一样被包括。 由于这类振子有州个自由度( 振幅和位相) 。所以他的行为比k u r a m o t 0 模型更为丰富。特别是 振幅消失和混沌可能出现在某些参数范围。振幅消失指所有振子振幅都变为零，这种现象发生的条 件：( 1 ) 耦合强度与极限环的吸引在同一个量级；( 2 ) 频率扩散充分的大。混沌是一种貌似无规则 的运动，指在确定性非线性系统中，不需要附加任何随机的行为( 内在随机性) 【8 i ( e r m e n t r o u t ，1 9 9 0 ) 。 在生物系统中，这可能反映了节律消失。混沌系统的最大特点就在于系统的演化对初始条件十分敏 感，因此从长期意义上讲，系统的未来行为不町预测。 正是这两种模型代表不同的情况，所以为了更好研究问题，我们有必要把两种模型做对比分析。 由于无限大的系统，可以在热力学近似下，运用统计理论得到比较好的数学解。而有限维系统中，许多 现象仍然不能被理解【2 l l 。最近，有限维的体系越来越受到人们的关心。由y u m a i s t r e n k o 2 2 ，2 3 1 等 人利用k u r a m o t o 模型分析在有限维下破同步机制，以及在耦合振子中的位相混沌现象，得到了很 多有意义的结论。然而，在实际研究中，纯粹的位相振子不存在，含有振幅的极限环才具有一般性， 也就是人们为了研究方便假定了振幅没有变化。但这种假设是有条件的，b 日所有振子问的耦合很弱， 然而人们对这个弱耦合的界限知道的并不清晰。所以有些结论或多或少背离了这种模型所适用的 前提条件。原因土要是人们还停留在对这种问题的定性的认识上。所以，本文考虑振子耦合之后， 它们的振幅的也发生变化。通过数值计舞的方法展现这种模掣在有限维体系下，一些动力学行为， 并与k u r a m o t o 模型的结论作比较。从而找出k u r a m o t o 模型的局限性，定性地给出适用范围。 5 东南大学硕士学位论文 第二章极限环网络的振幅动力学 一、极限环网络的动力学方程 极限环振子的动力学由下面方程来描述【2 4 】： 2 = 似+ f 掰一i z1 2 ) z ( 2 1 ) 如果是多个振子则( 2 1 ) 方程可以如下描述： 2 = ( a j + i a ，j 一惭) z j ( 2 2 ) 这里z ：第j 个振子在复平面上的位置。每个振子都有一个稳定的极限环，这些极限环分别对应 于i z ，l - q ，在这些极限环所有振子都以它们自己的自然频率哆运动。方程( 2 1 ) 对于超临界h o p f 分岔是简单的标准形式，它忽略了依赖振幅的频率这个量。由于我们已经测量了z ，和f ，所以这个 极限环是单位循环，并且对于原点的不稳定性的增长率是l 。 我们考虑n 个形式为( 2 1 ) 振子，并让它们用线性的、全局的耦合方式连接在一起。 = ( a j + i r j l z ，1 2 ) z ，+ 熹喜c 备一z ，) c z s ， 这里k 是耦合强度，在过去人们通过定义这些振子的中心， - - 专荟z ， 4 ， 代入方程( 2 2 ) 得： 2 ，= ( a j + i o ) j - z 1 2 ) z + k ( 乏一z j ) ( 2 5 ) 这样耦合作用就发生在每个振子与中心之间，这个方法类似于统计物理中的平均场理沦。 这样中心常常被当作序参量，因为它提供一个有用的方法描述系统同步的水平。它也是展现 系统宏观行为种非常有用的量，在近年的m o n t e 和d o v i d i o ( 2 0 0 2 ) 2 4 1 再次利用这个概念来研 究极限环的动力学行为，主要强较序参量的时间演化。 然而，这种方法仅适用于非常大的体系，对低维的微观系统不能很好的描述。所以，我们只能 从原方程出发。 我f f j 定义； 勺= ( 2 6 ) 所以方程( 2 2 ) 极坐标方程： 弓= ( a j - r - r ) r j + 熹喜c 。s ( 磅一哆) ( z ，) 谚= q + 嘉喜枷岛吲 6 ， ( 2 8 ) 第一葶极限环网络的振幅动力学 二、网络中节点的振幅动力学 在有限维的极限环网络巾，振于的振幅有着丰富多彩的动力学行为。下面找们将对方秤( 2 7 ) 和( 28 ) 计算所得的实例列举如r 。 11 、极限环网络模型在有限维体系中，所表现的态 以五个振子的体系为倒，j r 且自然频率以均匀分布在【- 1 ，1 】之间。 周期态：耦合系数k = 0 0 2 ，自然频率为l 的振子。 振子振幅 图2 1 相图 时问序列 在这样的条件下，极限环网络的振子振幅的相蚓不在是单个环而而是多个，辟管此叫仍是罔 期态，但是已不像独立极限环方程中的振了振幅的相图那样仅呈现单个环面。 混沌态：耦合系数k - - 0 5 ，然频率为1 的振子。 振子振幅 罔2 2 1 r ：簿一_ | _ 1 o “、 | r l i r ”1 l 一 j “1 ”一一一 r j ： ￥j 、1 。 ，i ：谗o d = 。j - - j 。i 1 。b l- ，一一l 一 o：i一1 。i - 相图 时间序列 尽管这个网络模型是由周期性的极限环振了线性猫台起柬，然而表现r 史多的动力学行为。随 着耦合强度的增加，有限维极限环振子体系先由周期态转变为混沌态，而后又由混沌态转娈为刷期 态，最后到稳定态。类似于大体系 2 5 稳定态：耦合系数k = i1 2 ，然频率为1 的振于。 振子振暖时间序列【图2 ，3 】： 东南大学硕1 = 学位论文 在【图2 3 】中，极限环网络中振子振幅在进入稳定态有一段瞬态行为。振幅有一段周期振荡的衰减 过程。从另一个角度看，极限环振子在达到稳定解时，这种周期振荡非常奇怪即振子振幅的相图 表现出涡漩形状。现以极限环网络中振子数= 3 为例，并取自然频率以l + 2 ( ji ) ( n 1 ) ， 耦合系数k = 1 2 8 【图2 4 】。 k t 。 这种涡旋状态是我们从另一个角度观察有限维极限环网络系统中振子的振幅随时间瞬态进入稳 定态的过程。这个过程反映了振子振幅随时间的演化并非单纯的周期行为，而是呈现奇妙的旋涡状。 而且这种情况也仅存在于体系进入稳定态的l 临界耦合条件。 如果仍以三个振子的极限环网络为例，并取谚= 一r + 2 y ( j 1 ) ，( 一1 ) 。我们还得到振子振 幅达到稳定值的l 临界尺( ，) 和所需的临界耦合强度t 随y 的变化曲线( 图2 5 】。 从图中可发现：振子振幅稳定后的临界r ( j ) 随y 的增加渐渐地衰减最后趋向零，这是下面要说 8 第二章极限环网络的振幅动力学 明的振幅消失的状态，而相应的临界耦合系数却是以对数增加的方式最终趋向一个稳定值 k c = 1 5 1 。 振幅消失i 图2 6 】： 五个振子的体系，自然频率以均匀分布在卜2 ，2 】之间。 耦合系数k = i 4 ，然频率为1 的振子。 振幅时间序列 这种状态不仅存在于有限维网络中，对于大体系的也存在1 2 5 1 ，它的特点是整个体系中的振子 振幅为零。它出现的前提条件一般耍k l ，且自然频率问的问距充分大，当时间t 也充分丈后，就 会出现。对于这种比较全面的研究最早出现在f 8 1 中，并指出有限维和无限维的一些耦合的弱非线性 振子在耦合强度足够大，频率足够宽，就会出现这种振幅消失的状态。 1 2 、极限环网络振子振幅在弱耦合情况下，表现出周期脉冲现象。在振子的自然频率分布均 匀的，并且q = 一1 + 2 ( ，一i ) ( n 1 ) 下，我们计算得到下面的结果【图2 , 7 1 。 f f ； 振幅时间序列【2 7 ( a ) 】 振幅时间序列【2 ，7 ( ”】 图【2 7 ( a ) 】，在振子数n = 2 0 和耦合系数k = 0 1 条件下，网络中的j = 7 ，8 ，9 的振子振幅的 时间序列。图1 2 7 ( b ) 】，在振子数n = 4 0 和耦台系数k = 0 1 条件下，网络中的j = 7 ，8 , 9 的振子振 幅的时间序列。从两个图结果的比较中我们可以知道同样大小一个网络中所有振子振幅的脉冲周 期相同，不一样大小的网络中同样序号的振子振幅在相同的耦合强度下，它们的周期不同。 9 东南大学硕士学位论文 振幅时间序列f 2 7 ( c ) 】振幅时问序列【2 7 j ，在网络振 子数n = 6 0 和耦合系数k = 0 6 下，序号分别为j = 1 2 ，1 1 。l o 振子振幅的时间序列。耦合强度的增 加使得周期脉冲被破坏。 由此可以知道周期性脉冲是有一定的条件。下面是我们通过数值计算获得的范围。 脉冲出现的范围：横轴表示振子数，纵轴表示耦合系数【图2 8 】。 尊一 f 图2 8 】 【图2 9 】 脉冲的周期与振子数的关系【图2 9 】。其中横轴表示振子数，纵轴表示周期。 从【图2 ，8 冲的计算结果可以知道，这种周期性的脉冲仅存在于弱耦合的体系之中，耦合强度的 增加渐渐地使脉冲周围变的模糊，最终分不清。当然，体系的大小对这个耦合临界值是有一些影响 的，随着振子数的增多，临界耦合系数也在增加，但k 曼0 6 。同时由于叛子数的增加，脉冲周期 也越来越长l 见图2 9 l ，并且与振子数成正比，所这种情况人们研究大体系的时候不容易观察到。 i 3 、极限环在一定的参数情况下，出现不稳定情形旧2 1 0 。 1 0 第二章极限环网络的振幅动力学 这是因初值不同而引起的稳定振幅的变化。 i 4 、小结 在极限环网络中，由于振子的自然频率的分布和它们之间耦合强度的变化，使振子振幅动力 学行为非常复杂。具体的： ( 1 ) 、随耦合强度的变化，网络本身有三种态相互转换。 ( 2 ) 、耦合强度较弱时，振子振幅随时间演化而出现周期性的变化。振子的自然频率分布比 较宽，且它们之间的耦合强度增加到一定时，振幅会出现消失的特殊现象。 ( 3 ) 、在一定参数条件，振幅的会因初值的变化，而出现前后不一致。 东南大学硕上学位论文 第三章极限环网络与k u r a m o t o 网络的位相动力学比较 3 1 、网络的位相动力学方程 一、k u r a m o t o 整体耦合的网络动力学方程： 被称为位相模型，y m t a m o t o 模型f 6 ，7 j ， 彬= 哆+ 熹喜s i n ( 奶一) ，= l ， 二、极限环整体耦合的网络动力学方程： 我们重新写下方程( 2 3 ) 句= ( a j + i 哆一i z ，1 2 ) z ，+ 熹姜( z f z ，) 这里我们重新写下方程( 2 7 ) 和( 2 8 ) 哆= ( 以，一置一亏) + 熹；| ；c o s ( 塌一哆) 幺2 哆+ 熹薯詈s n ( 6 | 一哆， ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 这里。( f ) 是第j 个振子在复平面中位置，k 0 是耦合强度，频率q 是自然频率，位 相变量。 对任意特定的频率分布，模型有两个参量：耦合强度k 和自然频率分布的宽度占( 鲫。我们 用参数a = l 万g 0 ，我们可以从方程( 3 ) ， ( 4 ) 得到下面的位相模型方程： 警= 如+ 等扣， 这里只有一个参量，置，因为我们已经尺度改变中用了。 从方程形式看，方程( 5 ) 与k u r a m o t o 网络动力学方程( i ) 一样了。这说明两种模型在极限条件 下是一致的。那么在一般条件下。它们会有什么差剐? 这是本文主要的工作。在分析这个问题之前， 我们先简介两种网络位相动力学一些现象。 1 2 第三辛极限环网络与k ur n 网络的位相动力学比较 三、极眼环酬络 在有限维网络中，由于极限环振子的振幅有着丰富多彩的动力学行为，从而引起位相的复杂变化。 下面我们将对方程( 27 ) 和( 2 8 ) 计算所得的实例列举如下。 ! 以五个扳子的体系为例，并且自然频率以均匀分布在1 i ，l 】之间。 周朋态：耦合系数k = o 0 2 ，自然频率由1 的振子。 位相与频率时间序列 | 羊| 3i 一、“”! t 一一 0 l_ 伊 晰 4 褂 忙相时间序歹u 图31 ( a ) 频率时间序列( 第一个振r ) 幽3 1 ( b ) 混沌态：耦合系数k = o 5 ，然频率为1 的振子。 位相与频享时间序列【图3 , 2 】 f 照相时闻序列 图3 2 ( a ) 】频率b , i 问序列【图3 2 ( b ) 】 稳定态：耦台系数k = i 1 2 ，然频率为1 的振子。 位柏时脚序列与频率序列【图3 3 j 习冀塑 东南大学硕士学位论文 位相时间序列【图3 3 ( a ) 】 频率时间序列i 图3 3 ( b ) 】 极限环网络中的振子振幅稳定后，它们对应的位相随时间最终稳定在不同的值上，而对应的频 率随时间周期性振荡，最终稳定在零上。 振幅消失旧3 4 1 ： 五个振子的体系，自然频率以均匀分布在【一2 ，2 1 之间。 耦合系数k = i 4 ，然频率为1 的振子。 位相时间序列 i t3 钗a ) 】 频率时间序列【图3 4 ( b ) 】 由于极限环网络振子振幅衰减到零，所以最终影响了位相和频率，使之表现出反常的现象： 先同步随时闯演化后又不同步。 四、k u r a m o t o 网络 在有限维网络中，下面是我们对方程( 3 3 ) 计算得到的一些结果。 五个振子的体系，自然频率以均匀分布在【- l 。l l 之间。 周期态：耦合系数k - - 0 0 1 ，然频率为1 的振子【图3 5 1 。 频率的时间序列 1 4 第三章极限环网络与k u r a m o t o 嘲络的位相动力学比较 混沌态【图3 6 】： 耦合系数k - - 0 6 ，然频率为i 的振子。 频率的时间序列 稳定态阍3 7 1 ： 耦合系数k = i 7 ，然频率为1 的振子。 频率的时间序列【图3 7 ( a ) 】 一j j 一一一。l 一一一j 一一一：一一一一i 一，一j 一 _ 一一 j 一一一一l 一一：一，一一：一一一一：一一一一：一 i ：妊- _ _ ! _ - i - - - 一i _ i - - 一- i i 一- 位相的时间序列【图3 7 ( b ) l 在耦合强度达到一定程度后，无论位相还是频率都不随时间变化，而是稳定在某个值上。 3 2 、对称自然频率分布对位相动力学的影响 在上面对极限环和k u r a m o t o 两种网络中的位相动力学的描述中，我们发现它们都有相似的性 质，即随耦合强度的增加，两种动力学网络的态都是先周期，然后混沌，最后稳定。为了更明确地认 识它们之问的关系。我们这里仅考虑有限维的极限环和k u r a m o t o 两种网络模型，并且假定网络中 的振子被整体耦合的情形。我们的目的就是区分两种模型在这种情况下，对于所有耦合强度k 和自 然频率珊的值的动力学行为。这里采用的方法主要是数值计算。为了不失一般性，国，采取随机分 布，但两种系统参数取值一样。当为了方便我们主要分自然频率均匀分布和非均匀分布。本节主要 研究自然频率对称分布的情况。 自然频率对称分布的函数； 东南大学硕士学位论文 以= 一y + 2 r ( j - 1 ) i ( n - 1 ) ，= l ，。n 为振子数，y 自然频率间隔。 为了方便我们主要从两种系统的同步的动力学机制的角度分析。由于k u r a m o t o 模型没有振幅， 所以极限环模型也先从他的位相研究开始，也就是把位相作为振幅的函数。 由于方程( 2 ) 不便于二和方程( 1 ) 进行比较。我们做数值分析对象土要是极限环模型方程( 3 ) 和( 4 ) 。 我们在这里重靳写下方程( 3 ) 和( 4 ) 弓= ( a j - k - r ：) r , + 万k 善n c o s ( q q ) ( 3 ) 岛= 哆+ 专善詈s i n ( 舅一嘭) j = 1 。n ， ( 4 ) 为了与k u r a m o t o 网络模理能够相比较，这里的a ；= l 。 一、两种网络的同步现象 在极限环网络振子系统中，由于振幅的影响使极限环某些动力学行为不同于k u r a m o t o 网络模 型。这些差别依赖于二耦合强度，自然频率的分布，系统振子数。我“j 主要采用 2 2 的平均频率的方 法分析。然而，当振子数n = 2 ，在两个系统中，关于位相同步没有筹别f 圈3 8 ( a ) 1 ，并且也没有 混沌现象。对于仅有两个振子的极限环系统，它们的振幅始终同步【图3 8 ( b ) 1 0 两种模型在n ：2 时， 关于位相从不同步到同步的动力学过程是一样的， 看图