（应用数学专业论文）随机序与风险聚合模型.pdf

兰州大学硕士学位论文 i 摘要 本文介绍了随机序和聚合风险模型，讨论了聚合模型中随机变量不同 情况下的比较。第一类比较分析了在理赔随机变量不变的情况下总理赔 的情况。第二类比较分析了理赔个数随机变量不变的情况下总理赔的情 况。第三类比较分析了混合分布下总理赔的情况。这些比较可用于理赔中 的风险决策。 关键词：随机序；矩母函数；聚合风险模型；停止损失序；随机大 小：卷积 兰州大学硕士学位论文i i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c er i s ko fo r d e ra n dc o l l e c t i v em o d e l w e , d i s c u s s s e v e r a lc o m p a r e so fd i f f e r e n tk i n d so fr a n d o mv a r i a b l ei nc o l l e c t i v em o d e l a t f i r s t ，w ed i s c u s st h ea g g r e g a t i o nc l a i mw h e nt h ei n d i v i d u a lc l a i ma m o u n ti s g i v e n t h es e c o n d ，w ea r g u et h ea g g r e g a t i o na tt h eg i v e nc l a i mn u m b e rr a n d o mv a r i a b l e t h ef i n a l ，w ea n a l y s i st h ea g g r e g a t i o nc l a i ma tm i x t u r ed i s t r i b u t i o n t h e s ec o m p a r e sa r eh e l p f u lt ot h ed e c i s i o no fr i s k k e y w o r d s ：r i s ko r d e r ；c o l l e c t i v er i s km o d e l ；s t o p - l o s sp r e m i u m s ；c o n l - p o u n dd i s t r i b u t i o n ；c o n v o l u t i o n 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成 果做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 日鼽上坐一 年 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰 州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学 校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被 查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本 人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时， 第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名 导师签名：! 呈塑竺日期：型：! 竺 i 兰州大学硕士学位论文1 1引言 随机序与聚合风险模型 风险管理在金融，保险和精算科学等多个领域当中扮演重要角色而随 机序在风险管理中起着重要的作用。它是进行风险比较的重要工具，聚合 风险模型是保险业的重要模型，在进行决策的时候很多时候用于比较风险 的大小这就使得有必要把随机序与风险模型结合起来 随机比较是以比较一个随机变量比另一个随机变量更随机大或更具有 可变性的一套理论，我们经常遇到对两个随机变量进行比较的问题，最常见 的是比较二者的均值和方差，但是在某些情况下，随机变量的均值和方差是 不存在的而且这种只建立在两个数字特征基础上的大小比较带给我们的信 息实在太少，在实际应用中，我们常常拥有足够多的信息而希望能对两个随 机变量的大小程度和波动程度进行更精细的比较，由此有了一系列随机序 的产生 这些随机序可以分为两大类，一类是用以比较随机变量的大小程度，如 一般随机序，失效率序( h a z a r dr a t eo r d e r ) 和停止损失序等，在经济的效用 理论，保险，可靠性等领域都可以找到很好的实际应用的解释，比如在可 靠性中关于元件和系统的寿命的比较，从而可以了解系统的优劣另一类 是用以比较两个随机变量的波动程度，如凸序( c o n v e xo r d e r ) ；单调增凸 序( i n c r e a s i n gc o n v e xo r d e r ) ，单调增凹序( i n c r e a s i n gc o n c a v eo r d e r ) 和分 散序( d i s p e r s i v eo r d e r ) 等比如在保险中，保险公司除了关心索赔额的大小 外，还会关心这些索赔的波动程度，因为一笔数额大的索赔对保险公司的 经营更具有威胁，这就使得预先估计索赔额的大小，保险公司的破产概 率的上下界显得十分必要和重要对于多维随机变量也存在如上的随 兰州大学硕士学位论文 2 机比较问题，有关随机序的基本理论及其应用具体可以查阅s h a k e da n d s h a n t h i k u m a r 与m u l l e ra n ds t ( w a n 的论文 以前我们是计算某个时间段里的理赔总额，现在我们把风险组合理解 为在随机时间点上产生的理赔全体这样就有两个随机变量来决定理赔总 额，一个是风险随机变量即发生一次理赔需要赔的金额，另一个是发生 理赔的个数。用两个随机变量来刻画风险时应更接近实际，现在聚合风险 模型大量用于保险业与金融业，聚合模型最难解决的问题是其分布函数 的确定，为了解决这一问题有很多论文在这方面做出了贡献。比如在理 赔个数是泊松分布时可以用稀疏向量法，后来又有p a n j e r 递推算法当然还 有中心极限方法近似等方法， 保险公司在进行决策时要决定两个随机变量的选择，一个是理赔额的 随机变量选择另一个是理赔个数随机变量的选择本文主要是探讨一下在 随机序的工具下如何选择这两个随机变量，得出一些比较的原则，首先讨 论各种理赔分布下的比较情况，在这种情况下以前已经得出很多结论，只 需要做简单的介绍和总结，然后讨论在聚合模型的条件下的情况，聚合 模型中最重要的是得出聚合的风险分布，以前有一些方法和近似方法本 文把矩母序与聚合风险模型结合，探讨在理赔个数随机变量的选择如何得 出聚合风险模型的风险比较。 聚合风险模型在确定风险时是个很重要的模型，比如在保险中的理赔 模型一般可以用来描绘风险，比如汽车投保保险模型，人寿保险模型， 很多现实中的保险模型都可以用聚合风险模型近似，风险排序在风险中有 重要的应用是进行风险决策的重要工具。聚合风险模型相当于一个复合 风险模型，本文主要探讨了复合风险的决策与其意义。 本文分四部分，其中第一部分为引言，第二部分为基础知识，是第三 部分的必要准备，而第四部分是本文的主要内容。 兰州大学硕士学位论文 3 2 随机序的发展 风险比较是精算最基本的工作，风险即非负随机变量。一般说某一风 险优于另一风险是指一个风险比另一个大或者说一个风险的分布函数的 尾比另一个风险的尾重。较重的尾意思是该随机变量取大值的概率大，这 就是说该风险与具有同样均值的其他风险相比没有优势。 2 1 第一类风险介绍 定义1 1( “较大”风险) 对于两个风险x 和y ，若存在一对( x ，y ) 使 得一x 辛f f j p r 卅= 1 ，则称y “大于”x 。 定理1 2( 较大随机变量有较小的分布函数) 存在一对随机变 量( 爿，y ) 使得x 一x 甭i p r = 1 当且仅当f x ( $ ) 毋，( z ) ，v z 0 证明：必要性显然。为证充分性，我们仅给出两种特殊情形的证 明。当最( ) 和f v ( - ) 都是连续单调增时，取x = j 芰1 ( 毋( y ) ) ，则可以证 a j j f y ( y ) 具有v ( o ，1 ) 分布，所以j 1 ( j y ( y ) ) 一x 由取2e y 可推出x y 。 当x 和】，为离散型时，考虑如( ) 和毋，( ) 的如下逆函数：对任意0 “ 1 “u ) = x ，当j & ( z 一0 ) 1 f x ( $ ) 时； g ( u ) = y 当j ( 一0 ) 0 成立，则存在一个分布函数序列 日，f 2 ， 使得x 一 只，z l i h _ + 。r 且序列中分布的尾依次较重。当z 取有限个值时， 注意到z 的分布函数是阶梯函数，所以停止损失变换是分段线性连续凸函 数。因此几( d ) 可以写成 z g ( d ) = m a x r 。( d ) ，a x ( d ) ，a 2 ( d ) ，a 3 ( d ) ，a ；( d ) ) ，一o o d o o 其中a 1 ，a 是线性函数。现在定义以下的函数仉( ) ，i = 1 ，2 ，n + l 丌( d ) = m a x l r 。( d ) ，a 1 ( d ) ，a 2 ( d ) ，a l ( d ) 一o o d o 成 立，这也可以从效用角度考虑，因为指数序表示那些对待风险的态度与 拥有财富额独立的一类决策者的共同偏好，这一类决策者的群体小于停止 损失序所对应的决策者群体，事实上，存在一对随机变量满足指数序， 但不满足停止损失序。 停止损失序卷积封闭性：如果风险x 和y 满足x s ly ，且风险z 独立 于x 和y ，则x + z - s ly + z ，进步有如果& 是x 的n 个独立拷贝的 兰州大学硕士学位论文 6 和，霸是y 的n 个独立拷贝的和，则有岛 s l 死 停止损失序混合封闭性：设分布函数日和q 对任意y 满足日 s lg ，u ( f ) 是 一个分布函数，并记f ( z ) = 厶g ，( z ) d c ，( ! ，) ，g ( z ) = 厶q ( z ) d u ( z ，) ，则f 。g 证明：f 的停止损失保费等于 【1 一f ( x ) l d x = 【1 一毛( z ) d u ( 剪) 1 j d，dj 捉 t rff o o = 【1 一日( x ) d u ( y ) d x = 【1 一日( x ) d x d u ( y ) j dj 露j 瓣j d 由此可以得出结论。 推论： 1 如果r ( z ) = p r z i n = 叫，g 。( z ) = p r 。i n = 叫，且对任意几有最 - - s lg ，则取矿( ) 为的分布函数得x s ly ，事 件n = n 可表示某个理赔的特征 2 特别取j ( x ) = f ”，g k ( $ ) = g * n ，其中g 和f 分别为单一理 赔五和y l 的分布函数，如果f s lg ，则五十+ 乩m + + y ， 因此，停止损失序在复合运算下是封闭的。 3 如果a 是一个结构变量，具有分布函数c ，给定事件a = a ，x 一最 和y 一( h 则最 s lg 对所有a 成立，同时有x s ly 定理2 7 ( 与理赔次数的复合) 如果m b e r n o u l l i ( q ) ，n 为一个记数随 机不变量满足e f 】qf ：t x l ，x 2 ，是风险x 的独力拷贝，则 m x - - s l x l + x 2 + + x n ， 证明：首先证明对每个d 0 ，下面事件以概率1 成立： ( 蜀+ 咒+ + 一d ) + ( x 1 一d ) + + + ( 一d ) + 这只是考虑上式右端非零情形，不妨设右端第一项为正，因为五20 ，i = 1 ，2 ，所以前两个等式符号可以去掉，等价于 五+ + 隅一d ) + + + ( 一d ) + 兰州大学硕士学位论文 7 而这当五20 ，i = 2 ，3 ，时对任意d o 总是成立的，记= p r 【= 叫利用上式得出 e 【( 墨+ 磁+ + x n d ) + 】 g n e 【( 蜀十+ + 弱一d ) + 】 e 【( 蜀一d ) + + ( 一d ) + + + ( 一回+ 】 n q , e ( x d ) + 1 q e ( x d ) + 】= e ( m x d ) + 】 最后一个不等式成立是因为有假设条件知毳1 仉骱q 定理2 8如果记数随机变量m 和满足m s l 五，为是风 险x 的独立拷贝，则墨+ 恐+ + x m s l x l - i - x 2 + + x k 2 3关于随机序其它形式的简单介绍 首先我们假设两个非负随机变量x 与y ，分布函数分别为f ( x ) ，g ( x ) ，可 靠性函数分别为f ，g - 1 即为f - 1 ) = i n f x ：f c x ) 刃，g - 1 扫) e i n f z ：g ( 士) p ) ，p ( 0 ，1 ) 定义2 9 称x 在一般随机序意义下小于y ，记作x s t y ，如果f - 1 0 ) g 1 p ) ，z 0 ，或者对任意递增的实函数西，都有e 陋( x ) 】e 【( y ) | ， 称x 在分散序意义下小于y ，记作x 胁。y ，如果 f 一1 ( 卢) 一f 一1 ( 口) g 一1 ( p ) 一g 一1 ( o ) ，0 o 卢 1 或等价地，如果g 一1 f 是分散的，即g 一1 f ( x ) 一z 是增函数。 定义2 1 01 称x 依凸序小于y ，记作x cy ，若g _ 1 f 是凸函数。 2 称x 依星形序小于y ，记作x 。y ，如果g - 1 f 是星形的，即g 。f ( z ) 肛是 增函数。 言言l 兰州大学硕士学位论文 8 3 称x 依超可加序小于y ，记作x 。y ，如果g 一1 f 是超可加的，即 g 一1 f ( x + y ) g 一1 f ( x ) + g 一1 f ( 秒) 定义2 1 0 若对所有的非( 0 ，1 ) ，成立 ，f 一1 ( p )，g 一1 0 ) f ( z g ( z ) d x ， 则称x 依竹r 变换序小于y ，记作x 。y 若对所有的增凸( 凹) 函数，期望e ) 】，e 眵( y ) j 存在，并且成 立e 【( x ) 】e 【( 1 ，) l ，则称x 依增凸( 凹) 序小于y ，记作x 妇y x 妇y ，当且仅当 f ( z 皿 g ( x ) d z ，v t 0 x 细l ，当且仅当 - f ( z ) d x g ( z ) d z ，v t 0 定义2 1 1 称x 依平均递增凸序( i n c r e a s ec o n v e xa v e r a g eo r d e r ) 小 于y ，记作x 细。y ，如果 z ”，”f 忙) d x d t _ f o 。，”百 ) d x d t , t 。 同理，我们定义平均递增凹序。 定义2 1 2 称x 依平均递增凹序( i n c r e a s ec o n c a v ea v e r a g eo r d e r ) 小 于y ，记作x 伽y ，如果 o f ( z ) 如班s o 。o 召 ) d x d t ，t 。 基于上述定义，易得下列关系： x d 却y = = 争x 嬲y 争x 妇y = = 争x 妇。y x 麻y = = 争x 卅y = = x 缸，y = = 辛x l 。抛y 兰州大学硕士学位论文 9 3 聚合风险模型 聚合风险模型是在生活中常见的一种模型，有着广泛的用途。8 = 五十+ 其中隙示总理赔额，表示理赔次数，咒表示第i 个理 赔额。此外有n = 0 时s = 0 成立。 理赔次数是一个随机变量，并且个体理赔之问是独立同分布的。这 是最初的聚合模型。也是最简单的聚合模型。 聚合模型的本身有其优点也有其不足，聚合模型忽略了一些保单信 息。如果一个保单组合只含有一个可能产生高理赔的保单，那么该项在 个体风险模型中至多会出现一次，而在聚合风险模型中它可以出现很多 次，此外，聚合风险模型我们要求理赔次数和理赔额之间是相互独立。在 实际中有时他们是相互有关系的，但是一般在实际中这些现象的影响很 小。当然模型只是现实的一种近似。不能满足各种各样的情况。一般它 的近似程度就很好了。这个模型自身有很多优点，它是一个很有效的模 型，该模型很接近实际，在计算其分布时也比较方便。因为它是一个复合 模型。在聚合模型中我们最关心的应该是它的分布函数，为了确定其分布 函数我们首先来介绍一些工具。 3 1 一些统计工具介绍 为了确定随机变量的统计特征。有必要知道下面一些函数。 1 矩母函数对于一个非负随机变量x ，其矩母函数定义为： m x ( t ) = 研e 】，一o o t h ， 如果y 和y 相互独立则有 m x ( t ) ；e e ( x + y 】= e e 。( x 】e k ( y 】= m x ( t ) m y ( t ) 矩母函数的优点在于求随机变量的分布函数，这样容易求随机和的分布函 数。 兰州大学硕士学位论文 1 0 2 特征函数它弥补了矩母函数的不足，因为有些矩母函数不存在， 它们主要是容易求随机变量的各阶原点矩。 c x ( t ) = e e t x 】，一 o 此时可以求出它的矩母函数为： 邮；郇) = 唧俐，一 - 一务t ； 5 指数分布的混合，指数分布是一大类分布，可以按照具体的情况分 析来选择参数。 一般我们设x ，y j 相互独立，x ，y e x p ( 1 ) ，i b e r n o u l l i ( 7 ) 分布， 其中有0 ，y l ，又有0 a 卢，此时有： z = ，喜+ 蔷 。正， 我们可以得出这样的矩母函数： 蜊_ ( 1 叫7 熹) 南= 锹 3 4 停止损失保费 下面来看第二类风险的应用即停止损失保费，简单介绍几个随机变量 的停止损失保费。 兰州大学硕士学位论文 1 5 1 正态分布的停止损失保费：设x n ( u ，c r 2 ) 则有： e 【( x d ) + 】= e 【( 6 u + p d ) + 】= 盯( 生一( d p ) 【1 一( 生) 】 2 伽玛分布的停止损失保费：如果有s r ( 口，p ) ，此时我们有： e 【( s d ) + = 昙【1 一g ( d ；a + 1 ，纠一d 1 一g ( d ；口，p ) 】 4 聚合模型中的随机变量的比较 在上文中，我们简单的介绍了一下随机序知道序的比较有多种，可以 是分布函数的比较，也可以是其数字特征的比较，还可以是其矩母函数的 比较，同时我们也介绍了一下聚合模型，在聚合模型中，我们知道最重 要的是如何选择随机变量，还需要知道聚合模型随机变量的分布函数。我 们知道它的分布函数一般不容易求解，很多时候都是采用近似的方法来 确定，以前我们比较随机变量时一般要知道其分布函数，现在我们借助随 机序的工具从不同的角度来比较两个随机变量，在不知道分布函数的情 况下我们可以根据其矩母函数，或者是其数字特征来比较。现在我们就不 同的情况；来进行介绍。 4 1 第一类比较 在聚合模型中，我们知道这个模型是个复合分布，它有两个随机变 量，一个是理赔额随机变量，一个是理赔个数的随机变量，现在我们就在 理赔个数随机变量取相同的情况下，理赔额随机变量变化的情况下讨论 它们的比较情况。一般随机变量的比较在不同的情况下内容不容，根据需 要我们一般比较不同的地方有时我们比较其数字特征，有时我们比较其 矩母函数，我们借助随机序的工具可以很好的完成它们。下面我们来讨论 这种情况下的比较。 兰州大学硕士学位论文 1 6 我们不妨设理赔个数随机变量服从二项分布，一般聚合模型是应用 在保险行业中，所以保险公司最关心的是其期望与方差的分布情况。 理赔额的分布情况上面已经有了介绍，一般有伽玛分布r ( a ，卢) ，对数 正态分布，p a r e t o ( c e ，x o 分布，逆高斯分布，正态分布等其它分布 就上面几个理赔额分布，在聚合模型s = 墨+ 】已+ 中，根据随机 序的性质我们知道，在角标相同的情况下，我们只要比较理赔额的分布就好 了所以我们可以把问题简化，不需要考虑聚合的整体分布情况，对于保险 公司而言，现在一般关心的是停止损失的期望值，我们不妨来进行这个比 较，根据停止损失序即第二类风险序的性质我们又知道，停止损失序的大小 与”尾重”有关，尾重的停止损失序一般较大，上面介绍的几个分布中他们的 尾重大小关系已经有明确的讨论，即正态分布的尾最小，其次是伽玛分布的 尾稍微重点，再就是对数正态分布，最后就是p a r e t o ( a ，x o ) 分布我们可以用 公式表示如下 g ( o ，1 ) s l5r ( a ，p ) 乩! l ( p ，6 2 ) s l5p a r e t o ( c l ，z o ) 。l 因此我们可以知道，在不同的情况下我们可以根据风险情况的大小情 况，进行选择，如果我们所面对的风险比较小，比如”自行车”保险此时我们可 以用正态分布去近似可能就比较好，如果是风险比较大的风险比如”汽车 保险”，”大额财产保险”，此时一旦理赔发生，则损失很大所以它的尾应该稍 微重些，这就给我们提供了一个参考，在不同的风险程度上如何选择随机变 量 4 2 第二类比较 在第一类比较中，我们是假定理赔个数是个相同的随机变量，很自然 我们会想到，在理赔额随机变量取相同的情况下如何去比较不同理赔个数 随机变量的聚合模型。现在我们就来简单介绍一下。在聚合模型中，最 后的分布与两个随机变量的选取都有关系，上面我们介绍了几种理赔额的 兰州大学硕士学位论文 1 7 分布函数。我们不妨设理赔额的分布函数是正态分布，现在来考虑理赔个 数随机变量取不同的时候的比较情况。 理赔个数随机变量的选取一般有二项分布，泊松分布，正态分布，我 们在这里为简单起见，我们假设理赔额随机变量与理赔个数随机变量是相 互独立的。在上文中，我们介绍了复合分布这个工具，此时我们可以借 助复合分布和矩母函数的性质来进行比较。我们关心的一般还是聚合随机 变量的期望与方差，我们知道这些数字特征一般与几种矩母函数有关系， 我们前面已经介绍了几种矩母函数，有矩母函数，特征函数，概率母函 数，累积量母函数，这些都很容易来确定随机变量的数字特征。我们有聚 合随机变量的数字特征为： e 【s 】= e e s i 】= e i x l + + x i n = n l p r n = 叫 n = o = n # l p r n = 叫= p e m 总理赔额的方差可以用条件方差公式来决定，表达如下： v n f l s l = e i v a r si 明】+ v a r e si 】 = e n v a r i x 】+ v a t n # 1 】 = e n v a r x j + p ；y 【川 兰州大学硕士学位论文 1 8 总理赔额s 的矩母函数： 0 0 m s ( t ) = e e e 培i n i l = e 阢- 1 - + i = 叫p r 【= 川 n = 0 = e 【e 。m + ”+ 斯i n = 叫p r 【= 叫 n = o o o = e 【e 。( 确十一+ 】p r 【= 叫 n = o = m x ( t ) “p r 【= 叫= e 【( e 1 ”“( ) 】 n = o = m ( 1 0 9 r e x ( t ) 1 我们观察会发现，因为理赔额随机变量是相同的所以我们知道要比较 其数字特征此时总理赔额的矩母函数实际上只与理赔个数随机变量的矩母 函数有关系，现在我们的问题就转化了，我们的目标就是要比较随机变 量的矩母函数，即理赔个数随机变量的矩母函数。现在我们来分析一下我 们所介绍的随机序，因为随机序有很多种，与此相关的有两种，一种是 “指数序”，一种是“矩母函数序”现有的文章中已经有大量的说明所以 很容易得出正态分布，二项分布，泊松分布等分布之闻的矩母函数序。 因为数字特征被矩母函数唯一确定，而他们又是单调的，所以从矩母函数 的大小关系中我们就很容易得出数字特征之间的关系，我们知道有些随 机变量的矩母函数是不存在的，此时我们可以根据他们的特征函数来进行 比较，因为特征函数一定是存在的，我们的问题在于单个随机变量之间是 独立同分布的。这当然很容易解决，但是实际上很多情况下不是这个模 型，所以我们得继续拓展。 4 3 第三类比较 在前两节中，我们进行了两类比较，因为简单的聚合模型对随机变量 兰州大学硕士学位论文1 9 的选择比较苛刻，即要求理赔额之间是独立同分布的，而且要求理赔额随 机变量与理赔个数随机变量之间是独立的，因此有了很大的局限性，现 在我们稍微扩展下，我们要求理赔额之间是独立的，但是理赔额随机变 量之间可以不同分布，我们还假设理赔个数随机变量满足随机序的关系。 在上文中，我们对混合分布作了简单介绍。一般我们“指数分布族”的 混合，还有“r ”分布族的混合，最终我们可以只考虑“指数分布族”的 混合，现在我们就来简单的介绍一下。 我们设x ，舛日互独立，x ，y e x p ( 1 ) ，i b e r n o u l l i ( 7 ) 分布，其中 有0 ，y 1 ，又有0 a p ，此时有： z = ，喜+ 蔷。 正) 我们可以得出这样的矩母函数： m z ( t ) _ ( 1 一，y + 7 南) 南= 百a f t - 丽t r i o - 7 ) 此时我们设理赔次数随机变量为 正且有m s l n 根据随机序的性 质，我们有总理赔的随机序由理赔额随机变量决定，我们一般比较的是其 数字特征，所以又回到我们的主题是其矩母函数的比较。因为指数分布 族是一个具有很好性质的分布族，它可以逼近很多分布，所以我们只考虑 这一类分布族，指数族的矩母函数具很好的性质，容易计算，容易比较， 只要参数选择的合适一般总能和其他分布函数逼近的很好，指数函数的性 质统计书上已经介绍的很详细，我们这里就不详细介绍了，我们现在来观 察混合指数族的矩母函数。 喇= 渊 我们可以知道，他的大小关系主要由三方面决定，分别是o t ，卢，1 对于 具体的参数时因为矩母函数是t 的函数，所以很容易判断所以对于指数分 布的混合时，我们能很容易判断总理赔的矩母函数的大小，同时就容易知 道我们所关心的数字特征的大小。 兰州大学硕士学位论文2 0 4 4 其它类比较初步 对于聚合模型的一般化，我们知道不好判断，我们前面提到了近似， 我们可以用我们所熟悉的分布函数去近似我们的模型，当个体理赔随机变 量的关系不紧密时我们可以近似认为其是独立的。当是很大的随机变 量时，我们可以根据大数定理知道它近似为正态分布，正态分布的性质我 们已经很熟悉了，可以很容易比较。我们可以把个体理赔额随机变量进 行分类，这就是我们上文所提到的复合类。我们前面介绍了一些递推关 系，如果是离散的随机和时，我们可以用p a n j e r 递推、稀疏向量法等方 法。 综上所述，对于聚合模型，我们可以借助随机序的工具进行比较。它 给我们提供了一个进行决策的方法，根据不同的情况，选择不同的比较标 准，在大量小理赔额随机变量上，可能我们关心其均值的变化情况，在 大额理赔随机变量的情况下可能我们除了关心均值外，还很在意其方差的 变化，因为一点的偏差可能有很大的损失，有的时候根据保险对象，防 止“道德风险”的发生我们大都采用停止损失理赔，在这里我们没有详细 的介绍停止损失序的应用，我们可以看出，随机序在我们的模型生活中有 广泛的用途。 5 聚合模型的应用及意义 聚合模型在我们身边屡见不鲜，我们上学都买过人生保险，它就是一 个简单的聚合模型，我们学生就是个体，其数量就是个随机变量，个数很 大，理赔额可以看成另一个随机变量，这两个随机变量之间可以认为是 独立的，而且个体理赔额之间是独立同分布的。这就是一个简单的聚合模 型，我们也可以看见，我们的生活中，汽车是个很常见的交通工具，它 也有保险，这个模型可以看成复合模型，汽车的品种很多。我们可以根据 汽车的品种来分类，每一类汽车的理赔是独立同分布的，不同类之间是独 兰卅i 大学硕士学位论文2 l 立的但分布上是不同的这就是一个简单的聚合模型，但是它是复合的。 由于各类之问的个数很多，所以各类可以近似服从正态分布。随机序给我 们提供了一种风险之间进行比较的工具。还有财产保险这是大额保险， 可以根据需要选择标准。我们选择风险变量的目标就足要和实际情况符合 的很好，即找到一个合适的随机变量。我们生活巾往往对于个模型有 很多数据，可以结合数据检验我们的近似情况，最终决定我们的决策变 量，本文介绍了多种随机序，可以根据多种选择标准来应用我们的模型。 在现代社会中，人们的风险意识越来越强，很多人都投资于金融行 业，刘随机变量的选择也就越来越关注，地位也就越来越重要。所以我们 有必要对随机序的认识进一步深入。在我们现实的模型中，聚合模型也 应用的越来越广泛，人们的保险意识也越来越强，把风险与实际结合是一- 个应用的关键点，本文主要介绍了风险的一个应用。当然风险在多个领 域中都有应用，在现代化的今天，我们应该多让理论与实际结合，发挥理 论的力晕。 兰州大学硕士学位论文2 2 参考文献 1 】j o s e p hs t a m p f l i ，v i c t o rg o o d m a n ( 2 0 0 3 ) t h em a t h e m a t i c so ff i - n a n c e ：m o d e l i n ga n dh e d g i n g c h i n am a c h i n ep r e s s ，b e i j i n g 2 邓集贤，杨维权( 1 9 9 8 ) 概率论及数理统计，高等教育出版社，北 京。 3 j 叶中行，林建忠( 2 0 0 0 ) 数理金融资产定价与金融决策理沦，科学 出版社，北京。 4 陈树敏，何春雄( 2 0 0 5 ) 时间依赖的关卡期权定价，华南理工大学学 报( 自然科学版) 第3 3 卷第5 期，9 7 - 1 0 0 ( 5 】a b o n a m m o h ，a n de 1 一n e w e i h i ，( 1 9 8 6 ) c l o s u r eo ft h en b u ea n dd m r l c l a s s e su n d e rf o r m a t i o n go fp a r a l l e ls y s t e m ss t a t i s t i c sa n dp r o b a b i l i t y l e t t e r s4 ，2 3 3 2 5 5 6 a h m a d ，i a e l b a t m ，i ，a n dk a y i d ，m a na g i n gn o t i o n ，d e r i v e df r o mt h e i n c r e a s i n gc o n v e xo r d i n g ：t h en b u c ac l a s s ，j o u r n a lo fs t a t i s t i c a lp l a n n i n g a n di n f e r e n c e f 7 a r n o l d ，b ( 1 9 8 7 ) ，m a j o r i z a t i o na n dl o r e n zo r d e rab r i e fi n t r o d u c t i o n s p r i n g e r ，n e wy o r k 8 】b a rl o w ，r ，e m a r s h a l l a wa n dp r o s c h a n ，f ( 1 9 6 3 ) p r o p e r t i e so fp r o b a - b i l i t yd i s t r i b u t i o n sw i t hm o n o t o n eh a z a r dr a t e a n n a l so fm a t h e m a t i c a l s t a t i s t i c s3 4 3 7 5 3 8 9 9 9b e l z u n c e ，p r a n c o ，m a n dr u i z ，j ，m ( 1 9 9 9 ) o i la g i n gp r o p e r t i e sb a s e do n t h et e s i d u a ll i f eo fg o u t ns y s t e m 1 3 ，1 9 3 1 9 9 兰州大学硕士学位论文2 3 1 0 】f r n a n d e z r o n c e ，j ，m k o c h a r ，s c ，a n dm u n o z - p e r e z ，j ( 1 9 9 8 ) p a r t i a lo r d e r i n g so fd i s t r i b u t i o n sb a s e du p o nr i g h ts p r e a df u n c t i o nj o u r n a lo fa p - p l i e dp r o b a b i l i t y3 5 ，2 2