（理论物理专业论文）单面约束系统的对称性与非noether守恒量.pdf

单面约束系统的对称性与非n o e t h e r 守恒量 王静( 理论物理) 指导教师：李元成教授 摘要 力学系统的对称性和守恒律研究具有重要的理论价值和实际意义 用对称性寻求系统守恒量的近代方法主要有：n o e t h e r 对称性、l i e 对称 性和m e i 对称性本文主要研究了单面约束系统的统一对称性与非 n o e t h e r 守恒量问题建立了有多余坐标单面完整约束系统、变质量单 面完整系统、相空间中单面完整系统、单面c h e t a e v 型非完整约束、单 面非c h c t a e v 型非完整系统和单面约束v a c c o 系统的统一对称性的定 义：根据函数对时间的全导数采用沿系统运动轨道曲线的方式下的 n o e t h e r 对称性、l i e 对称性和m e i 对称性的判据，得到了这些系统的统 一对称性的判据：给出了这些系统由统一对称性直接导致的两类非 n o e t h e r 守恒量一广义n o j m a a 守恒量和m e i 守恒量的条件以及守恒量 的形式最后，研究了在单面约束的条件下奇异系统的对称性与守恒 量，建立了非完整奇异系统、单面非完整奇异系统的统一对称性的定义， 得到了这些系统的统一对称性直接导致的非n o e t h e r 的广义h o j m a n 守 恒量和m e i 守恒量的条件以及守恒量的形式 关键词：单面约束；完整约束；非完整约束；奇异系统；对称性；非n o e t h e r 守恒量 s y m m e t r i e sa n dn o n - n o e t h e rc o n s e r v e dq u n t i t i e so f s y s t e m s w i t hu n i l a t e r a lc o n s t r a i n t s w a n g j i n g ( t h e o r e t i c a lp h y s i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rl iy u a n - c h e n g a b s t r a c t t h er e s e a r c h e so nt h es y m m e t r yt h e o r ya n dt h ec o n s e r v a t i o nl a w so f m e c h a n i c a ls y s t e m sh a v ei m p o r t a n tt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e t h em o d e r nm e t h o d st of i n dc o n s e r v e dq u a n t i t i e sa l et h ef o l l o w i n g s ：n o e t h e r s y m m e t r y 、l i es y m m e t r ya n dm e is y r m n e t r y i nt h ep a p e r , w es t u d yt h e u n i f i e ds y m m e t r yo fm e c h a n i c a ls y s t e m so fu n i l a t e r a lh o l o n o m i cc o n s t r a i n t s w i t hr e m a i n d e re o o r d i n a t e s 、h o l o n o m i cs y s t e m sw i t hv a r i a b l em a s sa n d u n i l a t e r a lc o n s t r a i n t s 、h o l o n o m i cs y s t e m so fu n i l a t e r a lc o n s t r a i n t si np h a s e s p a c e 、s y s t e m sw i t hu n i l a t e r a lc h e t a e vn o n - h o l o n o m i ec o n s t r a i n t s 、s y s t e m s 晰t l lu n i l a t e r a ln o n - c h e t a e vn o n - h o l o n o m i ec o n s t r a i n t s 、s y s t e m sw i t h u n i l a t e r a lv a c c oc o n s t r a i n t s ，t h ed e f t n i t i o na n dc r i t e r i o n so fn o e t h e r s y m m e t r y 、l i es y m m e t r ya n dm e is y m m e t r yf o rt h es y s t e m sa l ep r e s e n t e d ， t h ec r i t e r i o no fu n i f i e ds y m m e t r ya l ef o u n d , t h ec o n d i t i o na n dt h ef o r mo f t w ot y p eo f n o n - n o e t h e rc o n s e r v e dq u a n t i t i e s ：t h eg e n e r a lh o j m a nc o n s e r v e d q u a n t i t y a n dt h em e ic o n s e r v e dq u a n t i t ya l e g i v e nd u et o t h eu n i f i e d s y m m e t r yo f t h es y s t e m s a tl a s t ，u n d e rt h ec o n d i t i o no f u n i l a t e r a lc o n s t r a i n t s , t h es y r m n e t r ya n dc o n s e r v e dq u a n t i t yo ft h es i n g u l a rs y s t e mi ss t u d i e d ，t h e u n i f e ds y m m e t r yo fn o r l - h o l o n o m i es i n g u l a rs y s t e ma n dn o n h o l o n o m i c s i n g u l a rs y s t e mw i t hu n i l a t e r a lc o n s t r a i n t sa r es t u d i e d ，t h ec o n d i t i o na n dt h e f o r mo ft w ot y p eo fn o n - n o e t h e rc o n s e r v e dq u a n t i t i e s ：t h eg e n e r a lh o j m a n c o n s e r v e dq u a n t i t ya n dt h em e ic o n s e r v e dq u a n t i t yf i l eg i v e nd u et ot h e u n i f i e ds y m m e t r yo f t h es y s t e m s k e y w o r d s ：u n i l a t e r a lc o n s t r a i n t , h o l o n o m i cc o n s t r a i n t ，n o n - h o l o n o m i c c o n s t r a i n t , s i n g u l a rs y s t e m ，s y m m e t r y ；n o n - n o e t h e rc o n s e r v e d q u a n t i t y , 中国石油大学( 华东) 硕士论文主要符号表 主要符号表 广义坐标 广义速度 广义加速度 广义动量 l a g r a n g e 函数 h a m i l t o n 函数 e u l e r 算子 约束函数 非势广义力 约束反力 广义反推力 约束乘子 无限小参数 无限小生成元 无限小生成元向量 规范函数 规范函数 规范函数 广义h o j m a n 守恒量 m e i 守恒量 h o j m a n 守恒量 l u t z l ( y 守恒量 g雷奇p日e厂q以p知s f吼吒瓯h k 丘 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国 石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 签名：型 嘲年4 月眵e l 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定。即： 学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅：学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名：曼丝 翩签泓 薤 4 - 民l e t 够玛ly b 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 1 1 引言 第1 章前言 动力学系统的对称性与守恒量研究有着深远的理论意义力学和物 理学各个领域里有着众多的定律、定理和法则，但它们的地位并不平等， 而是有层次的例如，力学中的胡克定律，电磁学中的欧姆定律，都是 经验性的，仅适用于一定的材科、一定的参量范围，它们是较低层次的 规律牛顿运动定律可以统帅整个经典力学，麦克斯韦方程可以统帅整 个电磁学，它们都是力学、物理学中的某一个领域中的基本规律，层次 要高得多超过了弹性限度胡克定律不成立，但牛顿运动定律却仍然有 效；对于晶体管，欧姆定律不适用，但麦克斯韦方程组却仍成立而与 时空对称性相联系的能量、动量等守恒定律，则是跨越力学、物理学各 个领域的普遍法贝l j 对称性原理体现在力学、物理学的各个领域中，它 是当代力学、物理学中最高层次的法则当代力学家和物理学家，特别 是粒子物理学家，正高度自觉地运用对称性法则和与之对应的守恒律， 去探索物质结构更深层次的奥秘 寻求力学系统的守恒量有各种各样的方法牛顿力学从力的特征导 出了动量守恒律，角动量守恒律和机械能守恒律分析力学由l a g r a n g e 函数或h a m i l t o n 函数导出了广义动量守恒律和广义能量守恒律近代则 利用对称性方法来寻找守恒量，主要有三种方法，它们是研究作用量在 无限小变换下不变的n o e t h e r 对称性、运动微分方程在无限小变换下不 变的l i e 对称性和系统的动力学函数在无限小变换下仍然满足力学系统 原来的运动微分方程的m e i 对称性寻找守恒量的过程从早期的利用 n o e t h e r 方法( 得到的守恒量称为n o e t h e r 守恒量) 发展到现在可以采用 其它方法( 得到所谓的非n o e t h e r 守恒量) ，利用各种方法寻找力学系统 的非n o e t h e r 守恒量成了力学系统对称性与守恒量理论研究的热门课题 中国石油大学( 华东) 硕士论文第】章前言 1 2 力学系统对称性与守恒量理论研究的历史和现状 自1 7 8 8 年伟大科学家l a g r a n g e 发表名著分析力学至今，在约 束系统动力学中把力和约束都作为动力学的基本因素，即承认力的作用， 又承认约束的作用所谓约束是对非自由系各质点位置和速度所加的几 何的或运动学的限制约束本身从其数学表达上可按各种特征分为单面 约束和双面约束，定常约束与非定常约束，完整约束与非完整约束等： 从其力学表现可划分为理想约束与非理想约束；从其物理实现可划分为 被动约束与主动约束，以及主、被动约束等等【”当约束方程用等式表 示则成为双面约束，而用不等式表示时则称为单面约束，它表明系统在 运动过程中会部分或全部地脱离约束当为几何约束或约束微分方程可 以直接积分成有限形式的运动约束则称为完整约束，而不可积分的运动 约束则称为非完整约束因而，我们可以根据约束的类型将所研究的力 学系统划分为单面约束力学系统和双面约束力学系统【2 】 1 。2 ，1 约束力学系统的对称性与n o e t h e r 守恒星理论 1 9 1 8 年，德国女数学家a e n o e t h e r 系统地研究了动力学系统的 h a m i l t o n 作用量泛函在时空无限小单参数变换群作用下的不变性，发现 作用量的每一种连续对称都将有一个守恒量与之对应，得到了著名的 n o e t h e r 定理【3 】n o e t h e r 理论指出对称与守恒在本质上是联系在一起 的，从而揭示了力学系统的守恒量与其内在的动力学对称性之间的潜在 关系。 n o e t h e r 理论引起了人们的高度重视，不断地有学者对n o e t h e r 的理 论进行研究和推广我国学者在n o e t h e r 对称性与守恒量研究方面做出 了突出贡献，1 9 7 8 年，刘文森首先在我国开展n o e t h e r 对称性的研究， 并将它应用于开普勒问题【4 1 ；吴学谋相继介绍了n o e t h e r 定理在近代力 学和现代物理学中的应用晦7 1 ；李子平、罗勇、刘瑞等也作了大量工作， 建立了更具有普遍性的n o e t h e r 理论【8 。1 0 1 随后，n o e t h e r 对称性理论研 究取得重要成果。2 “ 1 9 7 9 年，l u t z k y 等举出一系列的例子说明不变量所对应的对称性不 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 一定是n o e t h e r 型的口l 捌，提出了使力学系统的运动微分方程不变的l i t 对 称性概念，随后l i e 对称性方法发展迅速，取得了丰硕的成果，代表人梅 风翔教授发表了一系列论文和专著i 7 3 8 1 ，随后，l i t 对称性方法近年来在 我国取得了一系列重要成果1 2 9 4 ”l i e 对称性的研究结果大大扩大了对称 性与不变量的研究领域， 梅风翔在2 0 0 0 年首次提出了一种不同于n o e t h e r 对称性和l i e 对称性 的新的对称性概念一形式不变性( f l p m e i 对称性) 【4 2 】，进一步扩展了对 称性与不变量的研究领域几年来，我国学者在m e i 对称性与守恒量以及 三种对称性之间的关系等方面展开了研究，取得了可喜的成绩文献 4 2 4 6 分别研究 l a g r a n g e 系统、a p p e l l 方程、n i e l s e n 方程、r o u t h 方程 和完整力学系统的形式不变性，给出了这些系统方程形式不变性的定义 判据文献 4 7 用一张图给出了n o e t h e r 对称性、l i e 对称性与m e i 对称性 之间的关系 。7 随着认识的不断深入，各种对称性的研究取得较多成果，能一次直 接导致n o e t h e r 守恒量以及h o j m a n 守恒量和m e i 守恒量的统一对称性i 鹌】 的研究就是其中之一在梅风翔教授提出统一对称性的概念之后，国内 学者在统一对称性以及联合对称性方面做出了不少成果 4 9 - 5 5 1 n o e t h e r 对称性通过广义n o c t h e r 等式可以找到守恒量，l i t 对称性 和m e i 对称性也可以通过广义n o e t h e r 等式找到守恒量，我们称其为 n o e t h e r 守恒量用其它方法找守恒量，尤其是由对称性本身直接导致的 守恒量，成了大家感兴趣的课题 1 。2 2 约束力学系统的对称性与非n o e t h e r 守恒量理论 1 9 9 2 年，h o j m a n 首先给出了f l j l i e 对称性直接求守恒量的一种新方法 1 5 6 1 ，从系统的微分方程出发，把l i e 对称性的变换条件加以限制，利用这 种减弱的l i e 对称性( 时间保持不变) 来求系统的守恒量，该方法即不依 赖于系统的l a g r a n g e 函数，也不依赖于系统的h a m i l t o n 函数，可以不必用 n o e t h e r 等式，直接通过系统的无限小变换表达式求得系统的守恒量( 称 为t q o j m a n 守恒量) 此后，许多学者对h o j m a n 方法进行分析和研究，加 以改良和推广并应用到各个系统中在我国，近几年也兴起了非n o e t h e r 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 守恒量的研究，尤其在h o j m a n 方法的应用方面成绩显著梅风翔教授研 究了相空问中运动微分方程、广义h a m i l t o n 系统、变质量完整系统、有 多余坐标的完整系统的h o j m 强守恒量 5 7 6 3 1 ，张毅等将h o j m a n 方法应用到 b i r k h o f 睹；统、h a m i l t o n 系统、广义经典力学系统和非完整系统i 6 4 - 6 7 l ，乔 永芬、赵淑红等研究了变质量非完整系统、j z c h e t a e v 型非完整系统、准 坐标下完整力学系统和非线性非完整系统r a i t z i n i e n 方程的r i o j m a n c r 恒 量【“”j ，张宏彬将h o j m a n 定理中的时间不变的l i e x 亍称推广为一般意义下 的l i e 对称性【7 2 | 7 3 1 1 9 7 9 年，l u t z k y 研究了l a g r a n g e 系统的l i e 对称性，给出了系统的 一个非n o e t h e r 守恒量表达式，被人们称为l u t z a k y 守恒量 7 4 1 傅景礼将 l u t z k y 方法进行了推广，研究了非保守完整系统的l u t z k y 守恒量【7 s 1 梅 风翔教授利用形式不变性与l i e 对称性的关系，讨论了l a g r a n g e 系统的 由形式不变性导致的l u t z k y 守恒量【_ 7 6 1 张宏彬结合了h o j m a n 守恒量和 l u t z k y 守恒量的特点。给出了一个新形式的守恒量【7 n ，而r t o j m a n 守恒 量和l u t z k y 守恒量则成为该新守恒量的两个特例 2 0 0 3 年，王树勇在他的博士学位论文【7 8 1 中提出了一种由形式不变性 直接导致一类新型非n o e t h e r 守恒量( m e i 守恒量) 的方法吴惠彬研究 了完整力学系统的形式不变性直接导致的这类m e i 守恒量1 7 9 1 许学军研 究了有多余坐标的完整系统、非保守n i e l s e n 方程和b i r l d a o f f 系统的形式 不变性直接导致的这类m e i 守恒量【咿蜘梅风翔教授在专著中研究了各 种约束力学系统的形式不变性导致的m e i 守恒量1 8 3 j ，讨论了这些系统的 n o e t h e r 对称性、l i e 对称性和形式不变性之间的关系，总结了三种对称 性各自直接导致相应的三种主要守恒量以及间接导致这三种守恒量 1 2 3 单面约束力学系统的对称性与守恒量理论 约束系统动力学的研究大多以双面约束为前提实际上，单面约束 比双面约束更普遍，研究也更困难滚动系统又滚又滑的运动，纯滚动 对应双面非完整约束，而连滚带滑的运动则对应单面非完整约束系统， 在有限空间中的运动，其边界构成单面约束振动打桩、夯土等，被冲 击的物体都是冲击运动物体的单面完整约束动力学的问题上述问题的 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文第l 章前言 分析和求解就需要应用单面约束系统动力学的理论与方法 单面约束力学系统的研究历史可以追溯到上世纪 s 4 1 ，到目前为止， 单面约束力学系统在微分变分原理，各种形式的运动微分方程，对称性 和守恒律。现代微分几何描述等诸方面取得了一些进展【蛄1 l e v i c i v i t a 、a m a l d i 、c y c j i o b 首先在文献 8 6 ，8 7 中提出和讨论了单 面约束的概念、单面约束系统的虚位移原理和d a l e m b e r t - l a g r a a g e 原理 六十年代，法国学者m o r e a u 利用非线性规划理论研究了具有单面完整约 束力学系统的g a u s s 原理，并将单面约束的概念及结果应用于水动力学 的研究【s s l 国内，1 9 5 8 年汪家环编写了我国第一本分析动力学专著，介绍 了质点和质点系受单面完整约束情形下的虚位移原理及其简单应用【8 9 1 梅凤翔在其专著分析力学专题中给出了具有单面约束的力学系统的 d a l e m b e r t - l a g r a n g e 原理，并首次将单面约束力学系统作为一个专题来 研究 1 9 9 3 年嫩y p a a z e s 和m 帅a e b 出版了国际上第一本涉及单面约束动 力学研究的专著单面约束系统力学 9 0 l ，从该专著中可以看到，虽然 单面约束力学系统的研究历史并不算短，但是其研究还是比较初步的， 至今，对一些基本问题的研究仍在继续【9 1 1 产生这种状况的原因一是对单面约束的解释仍然存在争议，其二是 单面约束问题数学上的处理非常复杂比如，工程中需要对振动冲击系 统的动态行为有比较深入和全面的了解时，在数学上通常采用将连续运 动和碰撞运动逐段考虑的分段描述法，因此，需要不断改变初条件以确 定下一次碰撞前的时间间隔内系统整体的运动，虽然在理论上可以用此 方法确定系统在任意时刻的状态。但即使是最简单的问题也会导致复杂 的计算可见，约束力学系统在单面完整约束和单面非完整约束的作用 下，系统的运动微分方程的积分是十分困难的，甚至是不可积的在此 情况下，由系统的对称性寻求守恒量对于了解系统的内在力学特征显得 尤为重要 单面约束力学系统的对称性与守恒量的研究是近年来才开始的张 毅建立了单面约束系统得基本理论框架 9 2 1 ，研究了具有单面完整和单面 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 非完整约束的动力学系统的n o e t h e r 理论；谢小明研究了非惯性系中单 面约束力学系统的对称性t 9 3 1 最近几年有关单面约束力学系统的对称性 与守恒量研究文献不断出现，其中以张毅为代表的研究学者作出了突出 贡献0 4 d 删，他主要研究了单面约束力学系统的n o e t h e r 理论，对非 n o e t h e r 守恒量的研究较少随后，梁景辉等在文献 1 0 7 - 1 1 0 j 中对具有 单面约束的力学系统的l i e 对称性与n o e t h e r 守恒量进行了研究；李元 成对具有单面约束的力学系统的n o e t h e r 对称性、l i e 对称性与n o e t h e r 守恒量进行了研究【1 1 卜1 1 8 1 ；张宏彬研究了单面非完整v a c e o 系统的l i e 对 称性 r i g ，由此找到n o e t h e r 守恒量；陈培胜等研究了单面完整约束系统 在相空问中的形式不变性1 1 2 州，从而找到n o e t h e r 守恒量；李红等研究了 变质量单面完整约束系统的m e i 对称性【l2 1 】，由此找到n o e t h e r 守恒量： 谢小明等研究了单面非完整系统相对运动动力学的l i e 对称性i m l 由此找 出n o e t h e r 守恒量从已发表的文献可知，迄今为止对单面约束力学系 统的n o e t h e r 守恒量的研究已比较完善，但对由对称性找到的非n o e t h e r 守恒量的研究较少 1 3 本文研究的主要内容 本文主要研究单面约束系统的统一对称性与非n o e t h e r 守恒量阀题， 较系统地建立单面完整系统、单面非完整系统、单面约束奇异系统的统 一对称性定义和判据；研究单面约束力学系统统一对称性导出白勺非 n o e t h e r 守恒量，得到一些有意义的结果本文内容共6 章： 第1 章：前言概述约束力学系统对称性与守恒量理论的发展历史 和现状包括约束力学系统对称性与n o e t h e r 守恒量、约束力学系统对称 性与非n o e t h e r 守恒量、单面约束力学系统的对称性与守恒量理论的发 展历史和现状 第2 章：单面约束系统的对称性与非n o e t h e r 守恒量在函数对时间 的全导数采用沿系统运动轨道曲线的方式下，给出受单面完整约束的动 力学系统的n o e t h e r 对称性、l i e 对称性和m e i 对称性，由此得出系统的 联合对称性和统一对称性，及其导致的非n o e t h c r 守恒量等 6 甲国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 第3 章：单面完整系统的统一对称性与非n o c t h c r 守恒量理论的应 用建立具有单面约束的有多余坐标完整约束系统、变质量完整系统和 相空间中完整系统的统一对称性的定义；根据函数对时间的全导数采用 沿系统运动轨道曲线的方式下的n o c t h c r 对称性、l i e 对称性和m e i 对称 性的判据，得到了这些系统的统一对称性的刿据；给出了这些系统由统 对称性直接导致的两类非n o c t h e r 守恒量一广义h o j m a n 守恒量和m c i 守恒量的条件以及守恒量的形式 第4 章：单面非完整系统的统一对称性与非n o c t h e r 守恒量建立 单面c h e t a c v 型非完整约束、单面非c h e t a e v 型非完整系统和单恧约束 v a c c o 系统的统一对称性的定义：根据函数对时间的全导数采用沿系统 运动轨道曲线的方式下的n o c t h e r 对称性、l i e 对称性和m e i 对称性的判 据，得到了这些系统的统一对称性的判据；给出了这些系统由统一对称 性直接导致的两类非n o e t h c r 守恒量一广义h o j m a n 守恒量和m c i 守恒量 的条件以及守恒量的形式 第5 章：单面非完整奇异系统的统一对称性与非n o e t h c r 守恒量建 立非完整奇异系统、单面非完整奇异系统的统一对称性的定义；根据函 数对时间的全导数采用沿系统运动轨道曲线的方式下的n o e t h c r 对称性、 l i e 对称性和m e i 对称性的判据，得到了这些系统的统一对称性的判据； 给出了这些系统由统一对称性直接导致的两类非n o c t h c r 守恒量广义 h o j m a n 守恒量和m e i 守恒量的条件以及守恒量的形式 笫6 章：总结与展望结合本论文的研究成果，并阐述单面约束力 学系统有待进一步研究的问题 7 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章单面约束系统的 对称性与非n o e t h e r 守恒量 第2 章单面约束系统的对称性与非n o e t h e r 守恒量 2 1 引言 约束系统动力学的研究大多以双面约束为前提实际上，单面约束 比双面约束更普遍，研究也更困难滚动系统又滚又滑的运动，纯滚动 对应双面非完整约束，而连滚带滑的运动则对应单面非完整约束系统 在有限空间中的运动，其边界构成单面约束振动打桩、夯土等，被冲 击的物体都是冲击运动物体的单面完整约束动力学的问题上述问题的 分析和求解就需要应用单面约束系统动力学的理论与方法 本章介绍单面约束系统的对称性与非n o e t h e r 守恒量理论在函数 对时间的全导数采用沿系统运动轨道曲线的方式下，给出受单面完整约 束的动力学系统的n o e t h e r 对称性、l i e 对称性和m e i 对称性，由此得出 系统的联合对称性和统一对称性，及其导致的非n o e t h e r 守恒量等 2 2 系统的n o e t h e r 对称性、l i e 对称性与m e i 对称性理论 2 2 1 系统的运动微分方程 假设力学系统的位形由胛个广义坐标q ，o = 】，功来确定，其运动 受有g 个单面理想完整约束 厶= 厶( ，咖0 够= 1 ，g ) ( 2 1 ) 系统的运动微分方程表为【3 3 1 昙薏一盖观+ 厶薏心卅，朋卅，渤 。埘 易2 0 ，易2 0 ，乃厶= o 其中l = 丁一v 为l a g r a n g e 函数，q j 为非势广义力，九为约柬乘子 假设曲面是光滑的，碰撞是弹性的若系统处于约束上，即约束方 程( 2 1 ) 取等号，有 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章单面约束系统的 对称性与非n o e t h e r 守恒量 a ( f ，q ) = 0 则由方程( 2 2 ) 和( 2 3 ) ，可将以表为以= 乃( f ，q ，雪) ，于是有 e ( 三) = q j + 4o = 1 ，功 其中 e = 石d 瓦0 一毒，4 = 瑶 展开方程( 2 4 ) ，成为 耍= a ，( f ，q ，圣) ( j = l ，盯) 若系统脱离约束，即约束方程( 2 1 ) 取不等号，有 a o ，q ) o 则方程( 2 2 ) 成为 e ( ) = q l ( s = 1 , - - , ) 展开方程( 2 8 ) ，成为 季，= e ( f ，q ，寸) ( s = l ，玎) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 ，8 ) ( 2 9 ) 2 2 2 系统的n o e t h e r 对称性 引进无限小变换 t = f + 磊o ，q ，缈，西( f ) = 吼( f ) + 占( ，q ，尊) ( 2 1 0 ) 其中占为无限小参数，彘，六为无限小生成元变换( 2 1 0 ) 的无限小生 威元向量为 x ( 2 磊昙+ 毒o ，力 ( 2 1 ” 对单面完整约束力学系统，在变换( 2 1 0 ) 下，n o e t h e r 等式为8 3 j 三詈彘+ x ) + ( q + 几) ( 六一口，磊) + 面dg 。= o ，凯= o 时 工未磊+ x m ) + q 一口，磊) + 五dg = o ，觐 o 时 其中 9 ( 2 1 2 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章单面约束系统的 对称性与非n o e t h e r 守恒量 x ( 1 ) - x ( o ) + 哇六吨面d 厶瓦o ：1 - 州 ( 2 1 3 ) aa a j 2 i + g ，i 一+ d ， a ”a g ， x 1 是无限小生成元向量( 2 1 1 ) 的一次扩展，而g 。( f ，口，口) 是规范函数 约束( 2 1 ) 在无限小变换( 2 1 0 ) 下的不变性归为限制方程【8 3 l x o ( 厶) = o ，当厶= 0 时 ( 2 1 5 ) 约束( 2 1 ) 对系统虚位移的限制可表为如下附加限制方程 罢量( 六一口，彘) ：o ，当厶：o 时 ( 2 1 6 ) o q 5 注意到 4 一口，磊) = 乃薏( 毛一尊，氢) = 乃x ( 坼) ( 2 1 7 ) 则等式( 2 1 2 ) 可简化为8 3 1 三面d 品+ x ( 1 ( 三) + q 一吼磊) + 面dg n = o ( 2 1 8 ) 定义2 2 1对单面完整约束力学系统，如果存在规范函数 g 。( f ，g ，口) 使无限小生成元磊，善，满足n o e t h e r 等式( 2 1 8 ) 以及条件 ( 2 1 5 ) ，则这种不变性为系统的n o e t h e r 对称性 2 2 3 系统的l i e 对称性 在变换( 2 1 0 ) 下，若系统处于约束上，方程( 2 6 ) 的l i e 对称性 确定方程为【8 3 1 昙苦六一口，面d 面d 彘一2 a 。兰品= x m ( 4 ) ( 2 1 9 ) 而当系统脱离约束时，方程( 2 9 ) 的“e 对称性确定方程为 0 咐 时 i i 觐 瓠 旦瓤旦钆 4 e 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章单面约束系统的 对称性与非n o e t h e r 守恒量 面di d 六一口，面d 五d 彘一2 b , 参o = x l ( e ) ( 2 2 0 ) 定义2 2 2 如果无限小生成元彘，满足确定方程( 2 1 9 ) ，( 2 2 0 ) ， 以及限制方程( 2 1 5 ) ，则称相应对称性为单面完整约束力学系统( 2 1 ) ， ( 2 2 ) 的l i e 对称性 2 2 4 系统的m e i 对称性 令r ，g ，k ，形为经历无限小变换( 2 1 0 ) 后的厶珐，人，厶，有 r = ，g 。，粤) = l ( t ，g ，雪) + m ( 三) + o ( e 2 ) 研= g ( f ，鼋，等) 2q ( ，孽，口) + 承( 2 ) + d p 2 ) ( 2 2 1 ) 以= 以o ，g ，粤) = a , q ，窖，室) + e x ( 1 ( a ) + o g 2 ) a f 石= 厶( f ，q ) = 矗( f ，g ) + p ( 厶) + d ( 2 ) 定义2 2 3 如果用无限小变换后的动力学函数r ，鳞，属，石代替变 换前的厶q j ，4 ，厶时，系统的运动微分方程( 2 4 ) ，( 2 8 ) 保持形式不 变，即成立 嚣等等耐 z z ， e ( r ) = 研，兰够 0 日寸i 且满足 石= 厶( ，q ) = 0 ，瓠= o 时 ( 2 2 3 ) 则这种不变性为单面完整约束力学系统的m e i 对称性 由定义2 2 3 容易得到 定理2 2 1 对于单面完整约束力学系统( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，如果无限 小变换( 2 1 0 ) 的生成元彘，六满足条件删 e ：d ) - x 警g ) 掣。! ：( 1 0 = o 当厶2 0 时 ( 2 2 4 ) e x o ( 三) _ x o ( 幺) = o ，当名 o 时i 。 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章单面约束系统的 对称性与非n o e t h e r 守恒量 还满足限制方程( 2 1 5 ) ，则单面完整约束力学系统在变换( 2 1 0 ) 下是 m e i 对称性的 2 3 对称性导致的非n o e t h e r 守恒量 2 3 1 系统的h o j m a n 守恒量 对单面完整约束力学系统，在时间不变的无限小变换下，由l i e 对 称性可直接导出h o j m a n 守恒量 命题2 3 1 对单面完整约束力学系统，如果时间不变的特殊无限 小变换下的生成元满足l i e 对称性确定方程( 2 1 9 ) ，( 2 2 0 ) 和限制方 程( 2 1 5 ) ，且存在某函数= ( f ，叮，口) 使得系统处于约束上时满足 丝+ d l n ：0 ( 2 2 5 ) ， 叫 而脱离约束时满足 堡+ 旦l n “：0( 2 2 6 ) ，d t 则单面完整约束力学系统的l i e 对称性导致h o j m a n 守恒量f 8 3 j 矗= 去毒( 肟) 畦毒。勘i l l 嘁 ( 2 2 7 ) p嘲|po qs 证明吾= 吾b 善六) + 昙善+ 昙b 孝吾六+ 毒吾靠 c 2 z s ， 在时间不变的特殊无限小交换( 彘= 0 ) 下，当系统处于约束上时，容易证 明 昙丢昙2 豪言畸丘) 一景昙六一薏毒晤互) 。2 。， 旦篮：旦旦f 一丝篮 ma q | e q sm “钧s 钧| 将式( 2 1 9 ) 对口。求偏导数，并对j 求和，得到 1 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章单面约束系统的 对称性与非n o e t h e r 守恒量 瓦oi d 五d 一毒( x m ( 4 ) ) = 。 ( 2 3 。) 利用( 2 2 5 ) ，得 吾b 考缶 = 一籍靠+ 互l 叼0 1 1 ，出8 善，一去篆象六 昙( 去老昙善，) = 一器言磊一i l 瓦a a k 瓦a 知面六 c z 崩， + 三丝o o , 旦d t 性t , b ) 1 一去罢鲁茧 将( 2 2 9 ) ，( 2 3 0 ) 和( 2 3 1 ) 代入( 2 2 8 ) 得 导晶= 寺崇鼢锄c 的卜 娩s z ， 同理可证，当系统脱离约束时。有 兰弘i i o , u ，, 【d f 3 扩3f x ( 1 ( 釉 = 。 ( 2 3 3 ) 证毕 推论2 3 1 对单面完整约束力学系统，如果时间不变的特殊无限 小变换下的n o e t h e r 对称性生成元满足l i e 对称性确定方程( 2 1 9 ) ， ( 2 2 0 ) 和限制方程( 2 1 5 ) ，且存在某函数= u ( t ，q ，口) 使得系统处于 约束上时满足( 2 2 5 ) ，而脱离约束时满足( 2 2 6 ) ，则系统的n o e t h e r 对称性导致h o j m a n 守恒量式( 2 2 7 ) ， 推论2 3 2 对单面完整约束力学系统，如果时间不变的特殊无限 小变换下的m e i 对称性生成元满足l i e 对称性确定方程( 2 1 9 ) ，( 2 2 0 ) 和限制方程( 2 1 5 ) ，且存在某函数= ( ，g ，圣) 使得系统处于约束上时 满足( 2 2 5 ) ，而脱离约束时满足( 2 2 6 ) ，则系统的m e i 对称性导致 h o j m a n 守恒量式( 2 2 7 ) 2 3 2 系统的m e i 守恒量 对单面约束力学系统。由m c i 对称性可直接导出m e i 守恒量 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章单面约束系统的 对称性与非n o e t h e r 守恒量 命题2 3 2 如果单面约束系统m e i 对称性的生成元彘，六和规范函 数g m = g m ( r ，叮，d 满足结构方程 x m x ( l ) + x m ( 工) 昙彘+ x m ( q + ) ( 茧一吼岛) + 导g 。= 。， 凯= o 时 x m ( x m ( d + x ( 1 ( ) 詈磊+ x m ( q ) ( 一。，知) + 面dg 。= o ， 凯 o 时 则系统存在如下形式的守恒量，即m e i 守恒量【删 ( 2 3 4 ) k ：x m ( l ) 岛+ 至嬖警垒( 一口厶) + g 。：c 。i l s t ( 2 3 5 ) 证明当系统处于约束上时， 纠挈+ 掣警q 蚓警b 翩 刚警( 螨吨寻彘 刺寻彘 _ x 1 f x 1 ( 三) ) - x 1 ( q ，+ 以) ( 一以品) = 亘d 挈一窖掣c 2 叫c 川翩= 。眩s e ，【， 幻， “j ”。” 。 同理可证，当系统脱离约束对，有 扣愠挈一掣剖眩，卜胁。汜s ， 证毕 推论2 。3 3 如果单面约束力学系统n o e t h e r 对称性的生成元磊，六 满足方程( 2 2 4 ) 和限制方程( 2 。1 5 ) ，且存在规范函数g | = g 0 ( r ，g ，尊) 满足结构方程( 2 3 4 ) ，则系统的n o e t h e r 对称性导致m e i 守恒量式 ( 2 3 5 ) 推论2 3 4 如果系统l i e 对称性的生成元彘，鼻满足方程( 2 2 4 ) 和限制方程( 2 1 5 ) ，且存在规范函数g k = g k p ，玑口) 满足结构方程 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章单面约束系统的 对称性与非n o e t h c r 守恒量 ( 2 3 4 ) ，则系统的l i e 对称性导致m e i 守恒量式( 2 3 5 ) 2 3 3 系统的l u t z k y 守恒量 为得到单面完整约束力学系统( 2 i ) ，( 2 2 ) 的l u t z k y 守恒量，需 要先给出两个重要关系式 首先，将运动微分方程( 2 2 ) 展开，有 巩2 鲁陪嚣一器m + 知鼍) c z s s ， 铲苫【面一丽一丽吼嵫+ 知兹j q 3 8 ) 其中d = d e t 9 2 l 篦。】，帆是行列式p 中元素铲三，兢a 乳的代数余子 式从( 2 3 8 ) 式，容易得到关系f 1 州 薏一瓦07 【百m , k ( 绞+ 4 ) + 昙( 1 i ld ) ：0 ，觐= 嘣 薏一去( 鲁g ) 十；c h 功= o ，勘 o 时 ( 2 3 9 ) 其次对于任意函数乒( f ，孽，d ，如果无限小生成元满足n e 对称性的 确定方程( 2 1 9 ) ，( 2 2 0 ) ，贝i j 容易验证沿着单面完整约束力学系统的动 力学轨线成立关系“0 4 1 未x ( j ( ) = x ( 1 ( 害) + 五d 一一d d f # ( 2 4 0 ) 下面的定理给出单面完整约束力学系统( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的l i e 对称性 导致的一类非n o e t h c