椭圆教案第一课时.doc

1椭圆一、引入 问题：平面内现有两个定点，另外一动点与这两个定点的距离之和为常数 且距离之和大于，则动点的轨迹方程是什么？ 推导：如下图建立平面直角坐标系，设的坐标为，的坐标为，设的坐标为，则，又动点与两个定点的距离之和为常数，设，故，化简得，又，即，所以.二、新课讲解1、椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有.注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；2、 椭圆标准方程 在引入中，推导出点的轨迹方程为，设，则化为这就是焦点在轴上的椭圆的标准方程,这里焦点分别是，且.如下图类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程如图 椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上） 或（）（焦点在y轴上）。注：（1）以上方程中的大小，其中； （2）在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小，“谁大焦点在谁上” 例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。（3） 方程表示椭圆的充要条件是什么？（，同号，且）例1、已知方程表示椭圆，则的取值范围为_ 例2、如图，设，的坐标分别为，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程 解 设点，则，； ， 化简得3、 椭圆的简单几何性质范围：由椭圆的标准方程可得，进一步得：，同理可得：，即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里；例3、若，且，则的最大值是_，的最小值是_ 例4、设定点，是椭圆上动点，求线段中点的轨迹方程 解：（代入法求伴随轨迹）设，； （点与伴随点的关系） 为线段的中点，； （代入已知轨迹求出伴随轨迹）， ，点的轨迹方程为； 伴随轨迹表示的范围，求得 对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；顶点：圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点 椭圆四个顶点为： ， 线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，且，即； 离心率：（）， 椭圆（），保持长半轴长不变，改变椭圆的半焦距，可以发现越接近，椭圆越扁平，这样可以利用和刻画椭圆的扁平程度, 把椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。 例5、已知椭圆的离心率为，求的值 解 依题意， 当焦点在轴上，即时，有， ，得； 当焦点在轴上，即时，有， 例6、如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程 解 设点，则， 到直线：的距离， 又，化简得 椭圆第二定义：若点与定点的距离和它到定直线：的距离比是常数，则点的轨迹方程是椭圆其中定点是焦点，定直线：相应于的准线；由椭圆的对称性，另一焦点，相应于的准线：类似的焦点在轴的椭圆为.4、 点与椭圆的关系 点和椭圆（）的关系： （1）点在椭圆外； （2）点在椭圆上1； （3）点在椭圆内5、 直线与椭圆的位置关系联立直线与椭圆方程，消参数，得关于或的一个一元二次方程； （1）相交：，直线与椭圆有两个交点； （2）相切：，直线与椭圆有一个交点；（3） 相离：，直线与椭圆无交点；例7、在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点已知为等腰三角形 （）求椭圆的离心率； （）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足， 求点的轨迹方程 （）解:设,由题意可判断为钝角， 故可得,即,整理得 ,得(舍)或,所以.（）解:由（）知,可得椭圆方程为.直线方程为,A,B两点的坐标满足方程组,消去y并整理,得,解得