（概率论与数理统计专业论文）非线性数学期望及相关领域.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：塑塑! 重 日期：2 0 o 5 - 。2 5 - 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：董目鳃堂导师签名： n o n l i n e a r t h e s i s s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo f d o c t o ro fp h i l o s o p h y ( p r o b a b i h t ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s ) a tt h e s h a n d o n gu n e r s i t y b y m i n g s h a n gh u s u p e r v i s o r ：p r o f s h i g ep e n g a p r i l2 0 1 0 中文摘要 英文摘要 3 3 目录 c h o q u e t 期望与夕- 期望的关系 前言 预备知识 旷期望与c h o q u e t 期望的相等关系 夕一期望与c h o q u e t 期望的控制关系 g - 正态分布 1 葑言 预备知识 d 正态的计算 凸期望下的中心极限定理 随机过程的轨道语言 前言 基于概率族的测度论 3 2 1 容度与函数空间 3 2 2l p 空间 3 2 3 几种收敛性及关系 3 2 4k o h n o g o r o v 连续修正准则 3 2 5 坤空间 随机过程的轨道语言 第四章g l d v y 过程 4 1 前言 4 2g - l 6 v y 过程 4 2 1g - l d v y 过程的定义 4 2 2g - l d v y 过程的刻画 4 2 3g x 的l 6 v y - k h i n t c h i n e 表示 4 2 4g - l d v y 过程的存在性。 i x 1 1 3 6 埔 坞均加船镐 盯盯勰勰钉铊们盯 耵w弱弱骼酷 章u 地墙m 章粗弛嬲姒 章叭弛 一 二 三 第 第 第 4 3 非时齐g - i 石v y 过程 6 9 参考文献 符号表 博士期间的学术论文 致谢 7 2 7 9 8 0 8 1 山东大学博士学位论文 非线性数学期望及相关领域 胡明尚 ( 山东大学数学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 p a r d o u x - p e n g ( 1 9 9 0 ) 首次考虑了如下形式的倒向随机微分方程( b s d e ) ： ，丁，t 犰= + 夕( s ，y s ，z a ) d s 一z s d w ，t o ，卅， - ，t，t 并给出了解的存在唯一性在对b s d e 的性质深入研究的基础上，p e n g ( 1 9 9 7 ) 基于 b s d e 的解提出了夕- 期望和条件矿期望的概念：设g 满足条件( a 1 ) l i p s c h i t z 条件 和( a 2 ) g ( t ，y ，0 ) 三0 ，称 岛圈：= 珈；岛睡l 五】：= y t ，t 【0 ，卅， 为f 的g - 期望和条件夕- 期望，其中( 纨) 。f o 。7 1 为上述b s d e 对应终端f 的解特别 重要的，g 一期望是第一个动态相容的非线性期望，而c h o q u e t ( 1 9 5 3 ) 从容度出发提出 的c h o q u e t 期望( 也称c h o q u e t 积分) 至今也没有做到动态相容g 一期望的一个特点 是可以在一个概率框架下去讨论，p e n g ( 2 0 0 5 ) 进一步提出了完全不需要概率框架的更 一般的动态相容的非线性期望理论，开创性的提出了用非线性马氏链构造动态相容的 非线性期望特别的p e n g ( 2 0 0 4 ) 考虑了股票市场波动率的不确定性，具体的构造了一 类动态相容而非9 期望的例子，这可以看做g 期望理论的最初研究 p e n g ( 2 0 0 6 ) 提出了g - 正态分布，g - 期望和g - 布朗运动的概念，建立了基于g - 布朗运动的随机积分，得到了相应的i t s z 式，随机微分方程和倒向随机微分方程解的 存在唯性等一系列结果，创立了一套完整的理论框架特别吸引人的地方是，在g - 期望的理论框架下已经得到了一些很有趣的结果，出现了一些很有趣的方法，还有大 量有趣的问题另外我们指出g - 期望是动态相容的次线性期望但不是夕- 期望，而g - 期望可以看成g - 期望的一种特殊情形最近，p e n g ( 2 0 0 7 ，2 0 0 8 ) 研究了次线性期望下 独立同分布序列的中心极限定理，令人惊奇的是其极限分布存在且是g - 正态分布，这 一结果表明g - 正态分布是客观存在的，而且其在次线性期望中的地位可能比正态分 布在线性期望中的地位更重要 山东大学博士学位论文 下面我们简要介绍一下g - 期望领域的部分最近进展d e n i s - h u - p e n g ( 2 0 0 8 ) 和h u - p e n g ( 2 0 0 9 ) 考虑了g - 期望的表示定理和g 布朗运动的轨道语言；b a i - b u c k d a h n ( 2 0 0 9 ) 考虑了g - 期望在风险度量中的应用；x u - z h a n g ( 2 0 0 9 ) 考虑了对鞅的随机积分和g 布 朗运动的鞅刻画；g a o ( 2 0 0 9 ) 考虑了g - s d e 解的轨道性质；h u - p e n g ( 2 0 0 9 ) 考虑了 g - i a v y 过程；l i - p e n g ( 2 0 0 9 ) 考虑了停时和更一般的g - i t s z 式；p e n g ( 2 0 0 7 ) ，s o n e r - t o u z i - z h a n g ( 2 0 1 0 ) ，s o n g ( 2 0 1 0 ) 和h uy i n g - p e n g ( 2 0 1 0 ) 考虑了g - 鞅表示定理；等 等 本文深入系统地研究了动态相容的非线性期望理论中的一些基本问题，特别是g 期望中的一些基本问题，其中包括g - 期望与c h o q u e t 期望的关系；g - 正态分布的相 关计算；g - 期望的表示定理，g - 布朗运动的轨道语言；g - l d v y 过程等并在以下方面 取得了明显进展： 一、第一章在g 是确定性的条件下，得到了夕- 期望在全空间和在部分集合上等 于c h o q u e t 期望的充要条件；在g 是确定性的凸函数的条件下，得到了9 - 期望被 c h o q u e t 期望控制的充要条件 ( 本章的夕期望与c h o q u e t 期望相等的部分结果发表于法国c r a c a d s c i 【4 0 】，夕一期望被c h o q u e t 期望控制的结果发表于美国s t a t i s t i c sa n dp r o b a b i l i t yl e t t e r s 【3 5 】) c h e n - c h e n d a v i s o n ( 2 0 0 5 ) 首次研究了9 - 期望在l 2 ( 乃，) 上等于c h o q u e t 期望的 问题，在布朗运动的维数是1 维的情形下得到了两者相等的充分必要条件是驴期望是 经典的线性期望一个自然的问题就是，上述结果对布朗运动的维数大于1 时仍成立 吗? 能否用1 维的处理方法去处理多维的问题? 我们在对c h e n - c h e n - d a v i s o n ( 2 0 0 5 ) 中所给的方法系统研究的基础上发现：该方 法强列依赖于9 的结构，在一维情形下，夕仅由两个参数决定，但在多维的情形下， 山东大学博士学位论文 动态相容的非线性期望的研究表明：在一定条件下，动态相容的非线性期望就是9 - 期 望我们的上述结果进一步意味着c h o q u e t 期望在一定的条件下是不可能动态相容的， 从而在研究动态相容的非线性期望时，我们不能加共单调可加这个条件，同时也说明 了从期望出发研究是比较合理的 本章的第二个主要结果是考虑旷期望在三2 ( 乃) 的个子集上等于c h o q u e t 期望 的充要条件为此我们先简要回顾一下相应的空间： 记咒为所有的毒l 2 ( 乃) 满足存在关于z 的l i p s c h i t z 函数b ( t ，z ) ：【0 ，卅x r _ r 和盯( z ) ：【0 ，卅r _ r d 使得f = x t ，其中( x t ) t 【0 ，t l 是下述随机微分方程( s d e ) 的解： d x t = b ( t ，x t ) d r + 盯( t ，x t ) d w t ，叉o = z r ，t 【0 ，卅 在此基础上记 7 l f l ：= = 垂( 礴) l 2 ( 厅) ：西单调，x t 7 l f ， 7 l f 2 ：= = 西( 坼) l 2 ( 厅) ：圣可测，x r 7 l f ) 特别的集合“1 和氕2 可以看成欧式期权头寸的集合c h e r t - s u l e m ( 2 0 0 1 ) 首次研究了 9 - 期望在7 l f l 上等于c h o q u e t 期望的问题，在布朗运动的维数是1 维的情形下得到了 一个充要条件；在布朗运动的维数大于1 的情形，c h e r t k u l p e r g e r - w e i ( 2 0 0 5 ) 给出了一 个充分条件 在对这一问题进一步研究的基础上，我们发现c h e n - k u l p e r g e r - w e i ( 2 0 0 5 ) 只考虑 了倒向方程中z 的符号，实际上，z 与盯( ，x 。) 还存在着一种结构关系，我们巧妙地运 用这一关系得到了本章的第二个主要结果： 定理1 3 1 6 设g 是确定性的函数且满足条件( a 1 ) 和( a 2 ) ，则有 ( i ) 纩期望在7 l f l 上等于c h o q u e t 期望的充要条件是g 与y 无关且关于z 是正齐的， 即g ( t ，a z ) = a g ( t ，z ) ，姒o ； ( i i ) 9 期望在7 l f 2 上等于c h o q u e t 期望的充要条件是g 与y 无关且关于z 是齐次的， 即g ( t ，a z ) = a g ( t ，z ) ，v a r 特别需要指出的是对咒2 空间上的结果以前没人讨论很有趣的是我们的结果对 正齐函数，齐次函数，线性函数给出了一种解释 本章最后我们进一步研究了g - 期望在l 2 ( ，i ) 上被c h o q u e t 期望控制的条件，得 到了本章的第三个主要结果s 定理1 4 3 设g 是确定性的函数，满足条件( a 1 ) 和( a 2 ) ，且与y 无关，关于z 是凸 的，则对任给的l 2 ( 乃) 有岛岛蚓的充要条件是g 关于z 是正齐的且是次可 加的 i i i 山东大学博士学位论文 本章我们系统的研究了9 - 期望的性质，这是第一个动态相容的非线性期望我们 希望通过g - 期望的性质更好的认识更一般的动态相容的非线性期望的性质，特别是g - 期望，同时也可以把9 - 期望做为一个很好的例子这种想法在论文的第二章和第四章 都有所体现 二、第二章得到了g - 正态随机变量奇次方分布的计算公式；证明了凸期望下的 中心极限定理仍成立 ( 本章的部分结果已投a c t am a t h e m a t i c a ea p p l i c a t a es i n i c a ，e n g l i s hs e r i e s 【3 8 ) p e n g ( 2 0 0 6 ) 给出了g - 正态分布定义：随机变量x 在次线性期望壶下服从g 正 态分布指u ( ，z ) ：= 疤扛+ v x ) 】满足如下的g 热方程： 1 a 乱一言( 厅2 ( a 曼u ) + 一o 2 ( a 乞u ) 一) = 0 ，u ( o ，z ) = 妒( z ) ， 其中于2 = 啦x 2 】，矛= 一疤【- x 2 】，记x 服从n ( 0 ，【f ，于2 】) 特别的p e n g ( 2 0 0 6 ) 中对 凸函数和凹函数给出了如下的计算公式： 若妒是凸函数，则有衄妒( x ) 】= 研眵( 西) 】，其中f 在线性期望e p 下服从经典的 标准正态分布； 若妒是凹函数，则有面妒( x ) 】= 邵【妒( 式) 】，其中f 在线性期望邵下服从经典的 标准正态分布 一个自然地问题就是对非凸非凹函数，特别对妒0 ) = z 2 卅1 这类最简单的非凸非 凹函数，能否给出e 【妒( x ) 】相应的计算公式? 本章的第一个主要结果就是考虑e x 2 “+ 1 1 的计算，我们将求解g - 热方程的问题 转化为求解一个常微分方程的问题，进而得到了e 2 叶1 】的相应计算公式为此，我 们记 嘶，= 喜d 稿犏户+ l ， m 垆妻i = o 嬲( ( 2 n 1 ) + + f ，2 n 时- i 1 ， 下面是本章的第个主要结果： 定理2 3 7 设x 服从n ( 0 ，【盯2 ，1 】) ，盯【0 ，1 ) ，鲰，k 由上式给出记k = 衄x 2 n + l 】， 我们有 i v 山东大学博士学位论文 ( 1 ) 若盯( 0 ，1 ) ，则k n 满足如下方程： n 一，( 詈) + 鲰一。( 鲁) e x p 薯，二三e x p ( 一i t 2 ) d c 妒_ 1 ( 小( ) 唧( 争f 唧( _ j ) t 2 训 ( 2 n ) ! ! g n 一1 ( ) k n i 蕊焉巧扩i 五丽孓而 c n o 是g 布朗运动对任给的p 1 ，记磁( q ) 为l 咖( q ) 在范数( 谴【i x i p 】) 1 p 下的完备化 这种空间完备化的技术给很多问题的处理带来了方便，但是由于碍( q ) 中的元素 都是抽象的扩张出来的，这也使得对一些问题很难去描述：例如是否有界连续函数都 在曝( q ) 空间中，如何描述一列随机变量点点下降到0 和连续过程一个自然地问题 就是：我们能否给珐( q ) 中的元素一个具体的描述? 本章我们深入系统地研究了这一问题，给出了l 吕( q ) 空间中元素的一个具体描述 在处理这一问题上，我们首先给出一种简单而直接得办法( 可以看成非线性期望下的 k o l m o g o r o v 方法) 去证明g 期望可以表示为一族弱紧的概率测度族p 对应的上期 望更一般的我们有下面的本章主要结果： 定理3 3 7 设在次线性期望空间( q ，l 细( q ) ，疤) 中，壶满足如下的条件：存在正常数 口，p ，y 使得 1 ，i r ab i 鼠一玩1 8an 】p 悻一s 1 1 竹，v t ，s 0 则存在( q ，召( q ) ) 上弱紧的概率族p 使得 e 【x 】= s u pe p 【x 】，v x l i p ( f i ) p p v i 山东大学博士学位论文 基于此概率族p ，我们重新建立了相应的测度论具体的来说，定义相应的容度 ( 请参阅h u b e r ( 1 9 8 1 ) ) ： c ( a ) = s u pp ( a ) ，a 召( q ) p p 由容度可以引入拟连续函数的概念，在此基础上可以定义函数的拟连续修正同时还 可以引入下述函数空间；任给的p 0 ， 舻：= x ：x 可测且e i x i p 】= s u p p p e p i x i p 】 0 ，有 喵= x l p ：熙盘 i x i p l x l n ) 1 = o 卜 定理3 2 2 8 对任给的p 0 ，有 噬= ( x l p ：x 有拟连续修正且熙杰 i x l p l i x i n 力= o ) 定理3 2 2 2 ( k o l m o g o r o v 连续修正准则) 设p 0 ，( x ) t 【0 ，l l a 是一个过程满足对 任给的【0 ，l 】d ，x t p 若存在正常数c 和e 使得 e i x 一x 。i p t i t s i 抖5 ， 则x 存在连续修正又满足对任给的a 【o ，e p ) 有 蚍霉雠) p 】 。) 】= o ) 特别需要指出的是定理3 2 6 和3 2 2 2 中不要求q 是距离空间，易知g 期望满 足定理3 3 7 中的条件，从而定理3 3 7 和3 3 1 0 对g 期望和相应g - 布朗运动生 成的空间中是成立的，从而定理3 2 3 3 对g - 期望也成立 特别有趣的事，b a n a c h 空间尸，蜡和嵯在经典的线性期望下是同一空间，但 在次线性期望下这些空间是不同的且存在着本质的区别例如在壕( q ) = 嵯中有条 件g - 期望的概念，但在更大的空间中是否可以定义条件g - 期望仍然是个很有趣的问 题 特别我们指出文章 2 5 】中第一次明确提出了这种q s 轨道分析的思想，我们的文 章 2 6 】第一次严格地证明了这种q s 意义下的轨道分析 四、第四章首次提出了次线性期望下g - l 6 v y 过程的概念，得到了g - l d v y 过程 的l 6 v y - k h i n t c h i n e 公式，进而找到了g - l 6 v y 过程的分布满足的积分偏微分方程， 以及由此积分偏微分方程具体的构造g - l 6 v y 过程 ( 本章的部分结果已挂到a x x i v 4 2 】) 一 山东大学博士学位论文 则g x 【，( ) 】有如下的l 6 v y - k h i n t c h i n e 表示 ，1 g x 【，( ) 】= s u p f ( z ) v ( d z ) + d f ( o ) ，口) + 吉t r 【d 2 f ( o ) q q t 】) ， 【分，q ，q ) e u ，r 正t 0 ) - 其中( q ，q ) r d r d d ，口是( r d o 】- ：b ( r d o ) ) ) 上的测度满足 s u p i z l v ( d z ) + i q i + t r q q t 】) o 是出维g - l 6 v y 过程对任意给定的妒g l i p ( r d ) ，定义 乱( ，z ) = 衄妒 + x 。) 】，则牡是下述积分偏微分方程的唯一粘性解： a u ( z ，z ) 一s u p ( 乱( ，z + 名) 一牡( ，x ) ) v ( d z ) + ( d u ( t ，z ) ，q ) ( v , q ，q ) e u ，r 4 o + 刊1 d 2 札( ，z ) q q t 】 = o ， 其中“表示g x 定理4 2 2 3 任意给定翻满足定理4 2 1 8 中的要求，则必存在以“为表示的g l d v y 过程 特别需要指出的是若甜只含有测度z ，我们可以用这种纯跳的特殊情形去定义g - p o i s s o n 过程和g - p o i s s o n 分布进一步，我们不难将上述方法推广到用于处理非时齐 的g - l d v y 过程，即独立增量过程 特别有趣的是我们在得到g - l d v y 过程的l 6 v y - k h i n t c h i n e 公式中所用的方法完 全适用于经典l d v y 过程的情形，而且比经典的方法更简单，更直接；另外我们得 到的上述积分偏微分方程的结构与以前的学者( 请参阅a l v a r e z - t o u r i n ( 1 9 9 6 ) ，b a r l e s - i m b e r t ( 2 0 0 8 ) 和j a k o b s e n - k a r l s e n ( 2 0 0 6 ) ) 研究的结构是不同的，这之间存在着本质的 区别，关键在于我们这里的口可以取互相奇异的测度，这给问题增加了很大的难度 关键词：倒向随机微分方程；9 一期望；c h o q u e t 期望；g _ 正态分布；g - 期望；g - 布朗 运动；g - l d v y 过程 i x 山东大学博士学位论文 n o n l i n e a re x p e c t a t i o n sa n dr e l a t e dt o p i c s m i n g s h a n gh u ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 10 0 ) a b s t r a c t p a r d o u x - p e n g ( 1 9 9 0 ) f i r s ts t u d i e dt h ef o l l o w i n gb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( b s d ef o rs h o r t ) ： ，t，r y t = + 夕( s ，y 8 ，z 。) d s 一乞d 毗，t 【o ，明， j tj t a n ds h o w e dt h a tt h ea b o v eb s d eh a sau n i q u es o l u t i o n b a s e do nf u r t h e ri n v e s t i g a t i n g t h ep r o p e r t i e so fb s d e s ，p e n g ( 1 9 9 7 ) i n t r o d u c e dt h en o t i o n so fp - e x p e c t a t i o n sa n d c o n d i t i o n a lg - e x p e c t a t i o n sv i aac l a s so fb s d e s ，m o r es p e c i f i c ，s u p p o s e 夕s a t i s f i e s ( a 1 ) t h el i p s c h i t zc o n d i t i o na n d ( a 2 ) g ( t ，y ，0 ) 三0 ，d e f i n e 名蚓：= y o ；岛障i 五】：= 纨，t 【0 ，卅， 岛吲i sc a l l e dt h eg - e x p e c t a t i o no f a n d 岛吲五】i sc a l l e dt h ec o n d i t i o n a lg - e x p e c t a t i o n 0 f w i t hr e s p e c tt o 五，w h e r e ( y t ) 眶【o ，卅i st h es o l u t i o no ft h ea b o v eb s d ec o r r e s p o n d i n g t ot h eg e n e r a t o rga n dt e r m i n a lv a l u ef i ti si m p o r t a n tt on o t et h a tg - e x p e c t a t i o n s a r et h ef i r s td y n a m i c a l l yc o n s i s t e n tn o n l i n e a re x p e c t a t i o n s ，b u tc h o q u e te x p e c t a t i o n s ， i n t r o d u c e db yc h o q u e t ( 1 9 5 3 ) v i ac a p a c i t i e s ，s t i l lh a v en o tb e e np r o v e dt ob ed y n a m - i e a l l yc o n s i s t e n t ac h a r a c t e r i s t i co ft h eg - e x p e c t a t i o ni st h a ti tc a nb ed e f i n e do na p r o b a b i l i t ys p a c e ，f o ro v e r c o m i n gt h i s ，p e n g ( 2 0 0 5 ) f u r t h e rp r o p o s e dt h eg e n e r a ld y - n a m i e a l l yc o n s i s t e n tn o n l i n e a re x p e c t a t i o n s ，e s p e c i a l l yt h em e t h o do fu s i n gn o n l i n e a r m a r k o vc h a i n st oc o n s t r u c td y n a m i c a l l yc o n s i s t e n tn o n l i n e a re x p e c t a t i o n s p e n g ( 2 0 0 4 ) i n v e s t i g a t e dat y p eo fe v a l u a t i o no p e r a t o r so ns t o c km a r k e tu n d e rv o l a t i l i t yu n c e r t a i n t y , w h i c hw e r ep r o v e dt ob ead y n a m i c a l l yc o n s i s t e n tn o n l i n e a re x p e c t a t i o n s ，b u tn o tg - e x p e c t a t i o n s ，t h i sc a nb es e e na st h ei n i t i a ls t u d i e so fg - e x p e c t a t i o n s p e n g ( 2 0 0 6 ) i n t r o d u c e dt h en o t i o n so fg - n o r m a ld i s t r i b u t i o n ，g - e x p e c t a t i o na n d g - b r o w n i a nm o t i o n ，c o n s t r u c t e dt h ei t 5 si n t e g r a lw i t hr e s p e c tt og - b r o w n i a nm o t i o n ， x 山东大学博士学位论文 o b t a i n e dg - i t 6 sf o r m u l a ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fg - s d ea n dg - b s d e u n - d e rt h eg - e x p e c t a t i o nf r a m e w o r k ，p e n gh a v ep r o p o s e dm a n yi n t e r e s t i n gm e t h o d sa n d o b t a i n e dm a n yi n t e r e s t i n gr e s u l t s ，m o r ei m p o r t a n t ，i th a sm a n yi n t e r e s t i n gp r o b l e m s o nt h eo t h e rh a n d ，w ee m p h a s i z et h a tg - e x p e c t a t i o n sa r ed y n a m i c a l l yc o n s i s t e n ta n d n o tg - e x p e c t a t i o n s ，b u tg - e x p e c t a t i o n sc a nb es e e na st h es p e c i a lc a s eo fg e n e r a l i z e d g - e x p e c t a t i o n s r e c e n t l y , p e n g ( 2 0 0 7 ，2 0 0 8 ) s t u d i e dt h ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mu n d e r s u b l i n e a re x p e c t a t i o n sa n do b t a i n e dt h a tt h el i m i td i s t r i b u t i o ne x i s t sa n di sj u s tt h e g - n o r m a ld i s t r i b u t i o n ，t h i ss u r p r i s i n gr e s u l ti m p l i e st h a tt h ei m p o r t a n c eo fg - n o r m a l d i s t r i b u t i o n si ns u b l i n e a re x p e c t a t i o n sm a yb eg r e a t e rt h a nn o r m a ld i s t r i b u t i o n si n l i n e a re x p e c t a t i o n s i nt h ef o l l o w i n g ，w eb r i e f l yr e c a l lp a r to ft h er e c e n tr e s u l t so fg - e x p e c t a t i o n s d e n i s - h u - p e n g ( 2 0 0 8 ) a n dh u - p e n g ( 2 0 0 9 ) s t u d i e dt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mo fg e x p e c t a t i o n sa n di t sa p p h c a t i o nt og - b r o w n i a nm o t i o np a t h s ；b a i b u c k d a h n ( 2 0 0 9 ) s t u d i e dt h ea p p f i c a t i o no fg - e x p e c t a t i o n st or i s km e a s u r e s ；x u - z h a n g ( 2 0 0 9 ) s t u d i e d t h ei t 6 si n t e g r a lw i t hr e s p e c tt og m a r t i n g a l e sa n dt h el 6 v yc h a r a c t e r i z a t i o no fg - b r o w n i a nm o t i o n ；g a o ( 2 0 0 9 ) s t u d i e dt h ep a t hp r o p e r t i e so ft h es o l u t i o nt og - s d e ； h u - p e n g ( 2 0 0 9 ) s t u d i e dg - l d v yp r o c e s s e s ；l i - p e n g ( 2 0 0 9 ) s t u d i e ds t o p p i n gt i m e sa n d t h ee x t e n s i o no fg - i t 6 sf o r m u l a ；p e n g ( 2 0 0 7 ) ，s o n e r - t o u z i - z h a n g ( 2 0 1 0 ) ，s o n g ( 2 0 1 0 ) a n dh uy i n g - p e n g ( 2 0 1 0 ) s t u d i e dt h eg - m a r t i n g a l er e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m ；a n ds oo n t h i sd o c t o r a lt h e s i ss t u d ys o m ef u n d a m e n t a lp r o b l e m si nd y n a m i c a l l yc o n s i s t e n t n o n l i n e a re x p e c t a t i o n st h e o r y , e s p e c i a l l yi ng - e x p e c t a t i o n st h e o r y ( i ) i nc h a p t e r1 ，w eo b t a i nn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rg u n d e rw h i c hg - e x p e c t a t i o n se q u a lt oc h o q u e te x p e c t a t i o n so nt h ew h o l e s p a c eo ras u b s e t ，u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tgi sd e t e r m i n i s t i c w ea l s o o b t a i na n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rgu n d e rw h i c hg - e x p e c t a t i o n s c a nb ed o m i n a t e db yc h o q u e te x p e c t a t i o n s ，u n d e rt h ea s s u m p t i o n st h a tg i sd e t e r m i n i s t i ca n dc o n v e x c h e n - c h e n - d a v i s o n ( 2 0 0 5 ) f i r s ts t u d i e da ni n t e r e s t i n gp r o b l e m ：i fag - e x p e c t a t i o n e q u a l st oac h o q u e te x p e c t a t i o n ，c a nw ef i n dt h ef o r mo fg ? u n d e rt h ea s s u m p t i o n t h a tt h ed i m e n s i o no ft h eb r o w n i a nm o t i o ni so n e ，t h e ys h o w e dt h a tag - e x p e c t a t i o n e q u a l st oac h o q u e te x p e c t a t i o ni fa n do n l yi ft h eg - e x p e c t a t i o ni st h ec l a s s i c a ll i n e a r e x p e c t a t i o n an a t u r a lq u e s t i o ni sw h a ti st h ec o n d i t i o no ngf o rm u l t i - d i m e n s i o n a l b r o w n i a nm o t i o nc a s e ? m o r es p e c i f i c ，w h e t h e rt h em e t h o du s e df o r1 - d i m e n s i o n a lc a s e c a nb eu s e dt od e a lw i t hm u l t i - d i m e n s i o n a lc a s e ? t h em e t h o di nc h e n c h e n - d a v i s o n ( 2 0 0 5 ) d e p e n d so nt h ef o r mo fg ，f o r1 - d i m e n s i o n a l x i 山东大学博士学位论文 c a s e ，t h ep o s i t i v eh o m o g e n e o u sf u n c t i o n 夕i ss i m p l ea n dj u s td e t e r m i n e db yt w op a r a m - e t e r s ，b u tf o rm u l t i - d i m e n s i o n a lc a s e ，t h ep o s i t i v eh o m o g e n e o u sf u n c t i o ni sc o m p l e x ； o nt h eo t h e rh a n d ，f o rm u l t i - d i m e n s i o n a lc a s e ，= ! ，1 + 噼a n d 叼= y 2 + 懈a r en o t c o m o n o t o n i c ，w h i c hi sd i f f e r e n tf r o m1 - d i m e n s i o n a lc a s e a l lo ft h i sg i v ean e g a t i v e a n s w e rt ot h ea b o v eq u e s t i o n i nt h i sc h a p t e r ，w eg i v ean e wm e t h o dt od e a lw i t ht h i sp r o b l e ma n do b t a i nt h e f o l l o w i n gm a i nr e s u l t ： t h e o r e m1 3 1