（应用数学专业论文）戴逊方程与流方程在物理中的应用.pdf

摘要 摘要 研究介观电子输运现象需用波动性的输运理论分析介观输运的物理过程，而解 决弹性散射对电子输运的影响，经常用到量子输运理论：如散射矩阵理论，维格纳 ( w e g n e r ) 函数方法，密度矩阵方法，格林函数方法等等。本文主要利用格林函数法 求解准一维物理系统中杂质散射势对电子运动的影响。 在非相对论量子力学中，多体问题是当前研究的中心问题之一。考虑到粒子之 间的相互作用，随着粒子数的增加，问题的复杂程度就自然会越来越大。在这种情 况下，选用特殊的方法来对角化哈密顿量或适当的近似方法研究相互作用的粒子系 统的物理性质具有重要的意义。 首先，介绍了6 函数的定义和一些性质。在6 函数的基础上从三个方面引出了格 林函数法，即非齐次微分方程的解，带有势项的非齐次微分方程的解和一般情况系 统的解。同时格林函数的引出也是基于它作为微分方程的核的作用，它经常被看作 是边值问题的微分方程的确切解或预解核，解带有外源或非齐次项的微分方程都归 结于解带有非齐次系统的格林函数戴逊方程；利用格林函数法推导出了在准一维系 统中电子运动满足的格林函数戴逊方程，在双杂质散射势和多杂质散射势存在的情 况下，仅考虑了两最低输运模，根据自由格林函数g o ( x ；x ) 及g o ( 0 ；0 ) 的值，求出了 电子处于两个最低标准模时格林函数的具体解，给出了电子的透射系数，并得出同 一个亚能带之间的格林函数与不同亚能带之间的格林函数都服从透射系数的关系。 其次，利用w e g n e r 流方程方法研究非线性谐振子系统和菲线性耦合谐振子系统。 对非线性谐振子系统，计算得出系统参数在流中的变化规律和系统的能级表达式； 对带坐标耦合和动量耦合的非线性谐振子系统，给出了一组系统参数关于流参数的 微分方程。通过数值分析物理参数随流参数的变化规律，给出了对角化的哈密顿量。 最后，在粒子坐标误差较小时利用自洽平均值法计算非线性谐振子的物理性质， 得到了系统的本征值，与微扰方法计算的结果比较，这两种方法所得结果是完全一 致的。 关键词格林函数；流方程；戴逊方程；散射势：透射系数；非线性系统；对角化： 自洽平均值：微扰法 河北科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h ep r o c e s so fs t u d y i n gm e s o s c o p i ce l e c t r o n i ct r a n s p o r tp h e n o m e n a ，t h et r a n s p o r t t h e o r yo fe l e c t r o n i cw a v ei sa d o p t e dt oa n a l y z et h ep r o c e s so fm e s o s c o p i ce l e c t r o n i c t r a n s p o r t h o w e v e r , t or e s o l v et h ee f f e c to nt h ee l e c t r o n i ct r a n s p o r tc a u s e db ye l a s t i c s c a t t e r i n g ，o n eo f t e nu s eq u a n t u mt h e o r yo ft r a n s p o r t ：f o re x a m p l es c a t t e r i n gm a t r i xt h e o r y , w e g n e r ( w e g n e r ) m e t h o d ，t h ed e n s i t ym a t r i xm e t h o d ，t h em e t h o do fg r e e n sf u n c t i o n ，a n d s oo n i nt h i sp a p e r , g r e e n sf u n c t i o ni su s e dt oa n a l y z eh o wd o e si m p u r i t ys c a t t e r i n g p o t e n t i a le f f e c tt h es c a t t e r i n go fe l e c t r o ni nt h eq u a s i o n e - d i m e n s i o n a ls y s t e m i nn o n - r e l a t i v i s t i cq u a n t u mm e c h a n i c s ，m a n y b o d yp r o b l e mi so n eo ft h ec u r r e n t c e n t e rr e s e a r c h e s t a k i n gi n t oa c c o u n tt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h ep a n i c l e s ，w i t ht h e n u m b e ro fp a r t i c l e si n c r e a s e d ，t h ec o m p l e x i t yo ft h ep r o b l e mw i l lg r o w i nt h i sc a s e ，t h e c h o i c eo ft h es p e c i a la p p r o a c ht o d i a g o n a l i z a b l eh a m i l t o n i a no rs i m i l a ra p p r o p r i a t e s o l u t i o ni so fg r e a ts i g n i f i c a n c e f i r s to fa 1 1 t h ea u t h o ri n t r o d u c e st h ed e f i n i t i o n sa n dn a t u r eo ft h e6f u n c t i o ni s ， i n t r o d u c e d o nt h eb a s i so ft h e6f u n c t i o n t h ea u t h o ri n t r o d u c e st h eg r e e n sf u n c t i o n f r o mt h r e ea s p e c t si sg i v e n ，t h e s ea r ea sf o l l o w s ：n o n - h o m o g e n e o u ss o l u t i o no fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，s o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht h ep o t e n t i a lo fn o n h o m o g e n e o u sa n d t h eg e n e r a ls i t u a t i o ns y s t e ms o l u t i o n s a tt h es a r n et i m e ，b a s e do nt h er o l eo ft h en u c l e a r e q u a t i o n ，i ti so f t e ns e e na st h ee x a c ts o l u t i o no rp r e c o r es o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o ft h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m t h ep r o c e s st og a i nt h es o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t haf o r e i g ns o u r c eo rn o n - h o m o g e n e o u sa t t r i b u t e st ot h eg r e e n sf u n c t i o no ft h e n o n h o m o g e n e o u ss y s t e m s ：g r e e n sf u n c t i o nm e t h o di su s e dt og e tt h eg r e e n sf u n c t i o n d y s o n se q u a t i o n ，w h i c hi sf i tt ot h ee l e c t r o n i cm o v e m e n ti n aq u a s i - o n e d i m e n s i o n a l e l e c t r o n i cs y s t e m i nt h ec a s e so ft w od e f e c t ss c a t t e r i n gp o t e n t i a la n dm o r ed e f e c t s s c a t t e r i n gp o t e n t i a l ，t a k i n gi n t oa c c o u n to n l yt h em i n i m u mt w o m o d et r a n s p o r t ，a c c o r d i n g t ot h ev a l u eo f 钟( x ；x ) a n d 雠( 0 ；0 ) o ft h ef r e e g r e e n sf u n c t i o n ，o n e g e t st h e i d i o g r a p h i cs o l u t i o no fg r e e n sf u n c t i o n ，a n dg i v e st h ee l e c t r o n i ct r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n t t h et r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n tb e t w e e nt h es a m es u b b a n dg r e e n sf u n c t i o na n dt h e d i f f e r e n ts u b b a n dg r e e n sf u n c t i o no b e y st h er e l a t i o no ft h et r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n t s e c o n d l y , o n ea p p l i e sw e g n e r sf l o we q u a t i o nm e t h o dt os t u d yn o n l i n e a rh a r m o n i c o s c i l l a t o r sa n dn o n l i n e a r c o u p l e dh a r m o n i co s c i l l a t o r ss y s t e m s f o rn o n l i n e a rh a r m o n i c o s c i l l a t o r ss y s t e m s ，o n ea c q u i r e sa ne x p l i c i te x p r e s s i o no fe n e r g y - l e v e l f o rn o n l i n e a r i i a b s t r a c t = 昌_ e昌昌= = = ：昌昌= = j 皇= ；e 昌昌昌= 罩曩昔昌；= = = = = = 宣= 宣皇= = 昌= 昌= = 昌昌葛昌= = 昌昌= 昌= 昌昌宣譬昌= = = = = 毒= = = = = 宣= 昌= 昌= = = h a r m o n i co s c i l l a t o r ss y s t e m so fc o o r d i n a t ec o u p l i n ga n dm o m e n t u m c o u p l i n g ，o n eo b t a i n s ag r o u pd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o rp h y s i c a lp a r a m e t e r sa b o u tf l o wp a r a m e t e r o n ef i n d st h i s m e t h o dc a l ld i a g o n a l i z et h eh a m i l t o n i a nb yt h en u m e r i c a la n a l y s i sm e t h o d f i n a l l y , w h e nt h ee r r o ro ft h ep a r t i c l e sc o o r d i n a t e si ss m a l l e r , o n e u s e ss e l f - c o n s i s t e n t a v e r a g em e t h o dt oc a l c u l a t et h ep h y s i c a ln a t u r eo fn o n - l i n e a ro s c i l l a t o r , a n dc o n c l u d e s i n t r i n s i cv a l u e c o m p a r i n gt h er e s u l tw i t ho n e so b t a i n e db yt h ep e r t u r b a t i o nt h e o r y , o n e f i n d st h a tt h er e s u l t sa r ec o o r d i n a t e k e yw o r d s g r e e n sf u n c t i o n ；f l o we q u a t i o n ；d y s o n se q u a t i o n ；p o t e n t i a ls c a t t e r i n g ； t r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n t ；n o n l i n e a rs y s t e m ；d i a g o n a l i z a t i o n ；s e l f - c o n s i s t e n t a v e r a g e ；p e r t u r b a t i o n i i i 河北科技大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的作品或成果。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 以年，月j 艚撕虢m 胡 同乃d 彦年，乙月，同 河北科技大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权河北科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 口保密，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 屯环保密。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名： 荔7 弛 指导教师躲1 勺硎 一、 沙字年媚f 同 刎多年，二月f 同 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 研究背景 1 1 1 格林函数方法理论的进展 格林函数是物理学中的一个重要函数，又称为源函数或影响函数，是由英国人 格林于1 8 2 8 年引入的。然而，直到2 0 世纪5 0 一6 0 年代，真正意义上的格林函数理论才 建立起来。其基本特点是将量子场论的费曼一戴逊技术移植于统计物理学中用来研 究相互作用多粒子系统的性质( 基态能量、元激发的性质、平衡态的热力学性质和系 统对外界的响应等) 。非平衡格林函数的概念是庄t s c h w i n g e r 首先提出的。k a d a n o f f ， b a y m 禾l k e l d i s h 各自独立地对非平衡格林函数展开研究，并把非平衡格林函数发展成 一种处理非平衡问题的有力工具【。 2 0 世纪5 0 年代以前，电导问题一直用b o l t z m a n n 方程来处理的。直到1 9 5 8 年， k a d a n o f f 和b a y m _ 9 - 空过潜心研究，用格林函数方法证明了，在金属中只有k ，1 时， b o l t z m a n n 方程才是正确的，z 是平均自由程。此后，学者们一直致力于这方面的研 究，格林函数已经用于推广到许多不同系统的输运性质，包括b o l t z m a n n 方程不适用 的情况【2 1 。 在研究介观电子输运现象过程中，科学家们建立和发展了电子波动性的输运理 论，来分析介观输运的物理过程和设计新的介观电子器件1 1 1 。为解决弹性散射对电子 输运的影响，科学家们发展了一些输运理论：如散射矩阵理论【3 】维格纳( w e g n e r ) 函 数方法【4 】，密度矩阵方法【5 】，实时格林函数方法【6 】，非平衡( n o n e q u i l i b r i u m ) 格林函 数方法1 7 j 及一些唯象理论。 从5 0 年代开始，量子场论中的格林函数方法被用于研究统计物理学中的问题。 到6 0 年代后期，格林函数理论己在许多方面取得了重要成就。固体物理学研究的是 一个具有复杂相互作用的多粒子体系。在过去多年里，格林函数方法被用于处理固 体物理中的问题，取得了很大的成就，己被普遍认为是一种强有力的数学工具，特 别是在对大体系的研究上。例如，对许多准粒子问题，只须知道相互作用过程中少 数粒子的初态与末态的跃迁振幅相应的格林函数，就能获得体系的一些特征。而对 于固体物理中的许多问题，只有对应于费米能量附近的系统格林函数才与我们要研 究的性质相关，这样格林函数就成为了研究系统性质的最直接与有效的方法，而避 免了求解整个体系的薛定愕方程带来的麻烦【8 】。 2 0 世纪7 0 年代，吉林大学吴式枢用格林函数法处理了量子多体问题，吴式枢从 格林函数的运动方程出发，提出了一个推导零温和有限温双时格林函数的不可约顶 h r p a 的久期方程，对它进行了费曼图解分析。 河北科技大学硕士学位论文 山西大学贾晶，苏晓强用格林函数法对激光相变硬化时的温度场进行了计算， 从热传导方程出发，对光斑形状、材料热物性作了恰当近似，用“像光源”方法对 边界条件进行了处理，分析了加热和冷却过程中，材料内部组织的变化，并用无界 边条件的解来模拟硬化带的特点。 2 0 世纪9 0 年代，戴振铎【9 j 在其著作中系统全面地建立了一套新的有别于传统汉 密顿算子的矢量符号，并采用新的算符作了关于电磁场普适解的推导过程；周永 利1 0 j 关于散射场积分方程的并矢形式解，使问题得到了圆满的结果。 1 1 2 格林函数方法理论的应用 格林函数方法是数学物理方程中一种常用的方法，并且广泛应用于不同的物理 领域。例如，多体量子理论的格林函数自2 0 世纪6 0 年代以来已成为凝聚态理论研究 的有力工具；为了研究多粒子体系在大于绝对零度时的平衡态行为，引入了温度格 林函数；在量子场论中计算具体物理过程的矩阵元时，也常出现格林函数，其物理 意义也是代表粒子传播的几率振幅等等。 2 0 世纪9 0 年代以来，量子点结构中电子输运特性的实验和理论研究取得了重大 的进展【1 1 , 1 2 】，大大深化了人们对相互作用介观体系相干输运性质和电子间强关联行 为的认识，其中最引人注目的是利用量子点结构进行量子体系相干输运过程中相位 的观测和含磁性杂质的金属中近藤效应的研究。 美国物理学家p h i l i pfb a g w e l l 用格林函数法推导出了在准一维系统中电子运动 满足的格林函数戴逊方程。在单个杂质散射势存在的情况下，根据自由格林函数的 值，求出了电子处于两个最低标准模时格林函数的具体解，进而求得电子处于更高 输运模时的解，给出了电子的透射系数【1 3 】。 对于格林函数法而言，无论是从物理含义还是数学形式上来说，都是一种具有 普遍意义的方法。格林函数表示单位强度的点源产生的场，即6 函数产生的响应。 只要知道点源或者线源产生的场，就可以用积分方法求出任意源分布所产生的场。 由于积分与坐标系无关，使得格林函数法可以兼容不同的坐标系，获得广泛的应用。 格林函数法的广泛应用主要基于以下四点： 1 ) 求解边值问题时，只要己知适合该问题的边界的格林函数，又知道源的分布， 则解可以表示为一积分形式，即使在复杂情况下，求不出严格意义上的积分解，总 可以利用数值方法求积分。 2 ) 一旦对某种边界条件的格林函数己经求出，那么此格林函数就可以适用于拥 有这种边界条件的任何边值问题，而不管它的具体边界条件是齐次还是非齐次的。 针对格林函数的这种通用性，目前许多文献和书籍都列出了很多边界类型的格林函 数，可供直接引用。 3 ) 在源分布未知的情况下，格林函数的另一重要用途是建立积分方程，在此基 第1 章绪论 础上产生的重要数值方法有矩量法。 4 、此外，格林函数用谱域展开后，在不同的坐标系下，源的谱域展开可以解释 成沿着不同方向传播的平面波的迭加，比如球贝塞尔函数有一个很好的物理解释， 即贝塞尔函数是沿着所有方向传播的平面波的积分式迭加。掌握积分函数的物理内 涵，对于熟练应用积分方法来分析电磁场问题是非常必要的1 1 4 】。 1 1 3 非线性谐振子本征值求法的进展与应用 在非相对论量子力学中，多体问题是当前研究的中心问题之一。当仅仅考虑两 个粒子之间的相互作用时，薛定谔方程的求解问题已变得十分复杂，只能用近似方 法求解。随着粒子数的增加，问题的复杂程度就自然会越来越大。在这种情况下， 选用特殊的方法来对角化哈密顿量或适当的近似方法具有重要的意义。 在量子力学中，对角化非线性谐振子求本征值问题的普通解法有：解本征方程 法、定义法、解最简代数方程法、对角矩阵法等。多体问题中由于粒子之间存在相 互作用，计算系统的本征值和算符的平均值变得十分困难，这时往往需要特殊的方 法来对角化哈密顿，即对角化系统的非线性谐振子。因此，人们对如何对角化系统 的非线性谐振子进行了更深入的研究。主要研究方法如下： 1 ) b o g o l i u b o v v a l a t i n 变换法。b o g o l i u b o v v a l a t i n 变换是著名的对角化哈密顿量的 方法之一，己成功地用于超流、超导、声子光子、声子自旋波等一系列耦合问题1 1 5 1 。 对于f e r m i 体系，b o g o l i u b o v v a l a t i n 变换在保持f e r m i 对易关系不变的条件下，其变换 矩阵为幺正矩阵，其对角化问题可转换为哈密顿量系数矩阵的对角化f l 纠。对于b o s e 体系，在保持b o s e 对易关系不变下，变换群为复辛群s p ( 2 n ，c ) 1 1 7 , 1 8 】。由于复辛群不 幺正，故变换矩阵不幺正，它们满足u r g u = g ，其中g 为反对称度规，即g r 一一g 。 由于其变换矩阵不一定是幺正的，因而不能简单地将哈密顿量的对角化转换成求系 数矩阵e 之本征值问题。马桂荣等结合l i n 等提出的含参变量的b o g o l i u b o v v a l a t i n 变 换的封闭性表式君i l e w i s 等提出的厄米不变量理论研究了时间相关简谐振子得到了 时间相关谐振子问题的精确解【1 9 - 2 1 】。 2 ) 代数对角化方法。代数对角化方法可以将满足半单李代数关系的哈密顿量对 角化f 2 毛引，与著名的b o g o l i u b o v v a l a t i n 变换相比，这种方法的特点是：对给定的系统 哈密顿量，不仅可以知道对角化后哈密顿量的具体代数结构，还能同时得知对应的 本征态。李冬鹏等用这种代数对角化方法将s s h 模型哈密顿量对角化，将得到的结果 与传统的b o g o l i u b o v v a l a t i n 变换法作相应的比较发现，好处在于对角化结束的同时 可以知道哈密顿量的本征态1 2 4 】。 3 ) 利用线性量子变换理论。张永德教授提出用线性量子变换理论来对角化哈密 顿量【2 5 2 8 1 ，刘汉俊等借助线性量子变换理论研究，z 模玻色子和费密子的二次型哈密 顿量，给出了简洁的对角化形式l ：9 。并且指出对于，z 模玻色子耦合二次型哈密顿量， 1 河北科技大学硕士学位论文 通过一个负幺正矩阵( 它是复辛群s p ( 2 n ，c 1 的元素) 可以把它对角化；对n 模费密子耦 合二次型哈密顿量，通过一个幺正矩阵( 它是复费密群f ( 2 n ，c ) 元素) 可以把它对角 化。 4 ) s c h w i n g e r 角动量表象的转动变换法。s c h w i n g e r 提出的角动量耦合玻色表示， 可相当程度地简化角动量算符的求迹与矩阵元的计算，从而使耦合玻色表示广泛地 应用于磁学、原子与分子光谱等【3 0 】。成泰民利用s c h w i n g e r 角动量表象的转动变换对 磁有序物质中二体耦合形式哈密顿量实现了对角化。 5 ) 流方程( f l o we q u a t i o n ) 方法。1 9 9 4 年，德国的f r a n zw e g n e r 教授提出了一种新 的非微扰方法流方程方法用于对角化哈密顿量，这种方法通过一系列连续幺正 变换将哈密顿量转化成对角或块对角的形式【3 1 】。流方程方法广泛应用于固态物理、 原子核物理、光学等研究领域1 3 2 鸪5 1 。女n k e h r e i n 等人用它研究自旋玻色子模型和带结 构槽的自旋玻色子模型【3 2 ，3 3 】；s t a u b e r 用流方程方法研究耗散系统的一般渐进性质。 另外，s t a u b e r 和m i e l k e 用流方程方法研究了一些可解模型，取不同生成函数得到相似 结果，并对结果的优化提出了一些方案1 3 5 1 。 自洽平均值法是一种近似方法求系统的非线性谐振子本征值的方法，在讨论原 子、分子、固体和原子核结构中，所谓“自恰场法 被广泛地应用，并取得了一些 成功。这个方法的要点在于，把一个粒子受到其它粒子的作用，用一个自恰场来代 替。这个理论方法的缺点是忽略了粒子间的相互关联。对于这个理论方法的缺陷， 量子场论已能在理论上加以分析，从本质上阐明某些现象【3 6 】。 1 2 论文的基本内容及其框架结构 本文着重研究采用格林函数法推导准一维系统中电子运动满足的格林函数戴逊 方程，并对双杂质和多杂质散射势存在下，电子处于两个最低标准模时格林函数的 具体解进行了探讨；利用w e g n e r 流方程方法，对非线性耦合谐振子系统的哈密顿量 对角化，以及系统的本征值和一些物理量做了研究，并得出了一些结论；利用自洽 平均值法研究计算了非线性谐振子的性质，将自洽法与微扰法两种方法的计算结果 相对比，得出结论是：自洽法与微扰法完全一致。 本文共分五章，其结构安排如下： 第1 章是绪论，阐述了格林函数理论和w e g n e r 流方程方法的进展与应用，并说明 了研究这两种方法的必要性。 第2 章是格林函数方法及流方程方法简介。首先介绍了6 函数的概念及性质；其 次从三个方面介绍了格林函数方法，并得出格林函数戴逊方程；最后介绍了w e g n e r 流方程方法的基本思想和步骤。 第3 章是用格林函数方法推导出了双杂质和多杂质存在的准一维物理系统中电 子运动所满足的格林函数戴逊方程，给出了电子处于两个最低标准模时的解及透射 4 第1 章绪论 系数与反射系数，并得出同一个亚能带之间的格林函数与不同亚能带之间的格林函 数都服从透射系数的关系。 第4 章是利用w e g n e r 流方程方法研究非线性谐振子和非线性耦合谐振子系统。 对非线性谐振子系统，计算出系统参数随流参数变化的一组方程及系统的能级；对 耦合的非线性谐振子系统，得出系统参数随流参数变化的一组非线性方程，数值分 析对角化了系统。 第5 章是利用自洽平均值法计算非线性谐振子的性质。首先对哈密顿量进了变 换，使其变换成为谐振子形式，再利用自治平均值法计算得到系统的本征值，最后 与微扰方法计算的结果进行比较，所得结果是完全一致的。 1 3 论文的创新点 论文的创新主要有以下三点： 1 ) 根据格林函数法的基本算法和一些常用的处理方法，推导出了准一维系统中 杂质散射势对电子运动的影响，适当选取散射势函数，并求出处于两个最低标准模 时格林函数的具体解，给出了电子的透射系数与反射系数。 2 ) 利用流方程方法对非线性谐振子模型进行严格求解，得到了系统的能级。对 含坐标之间耦合与动量之间耦合的谐振子模型用流方程方法进行对角化，找到一组 关于流参数的非线性方程，利用数值计算分析了系统参数随流参数的变化规律，发 现耦合参数随流参数增大趋于零，非耦合参数随流参数增大趋于稳定值，从而把系 统解耦。 3 ) 利用自洽平均值方法计算非线性物理问题，对非线性谐振子的哈密顿量进行 简化并求解本征值，通过采用平均值自洽场代替高次方项，再做一个坐标平移，将 非线性谐振子转换成了线性谐振子，简化了问题的复杂性。将微扰法计算的结果与 自洽平均值方法的处的结果进行比较表明，在扰动比较小的情况下，两种方法的结 果几乎完全一致。 5 河北科技大学硕十学位论文 第2 章格林函数方法及流方程方法简介 方法。格林函数表示单位强度的点源产生的场，即6 函数场产生的响应。而6 函数是 人为定义出来的一种分析工具，正因为它在数学上的简单性，才导致了它在物理上 被广泛应用于研究质量、能量在空间或时间上高度集中的各种物理现象。 多体问题是当前研究的中心问题之一。当仅仅考虑两个粒子之间的相互作用时， 薛定谔方程的求解问题已变得十分复杂，只能用近似的方法求解。在多粒子体系中， 问题的复杂程度就自然会越来越大。在这种情况下，选用特殊的方法流方程方 法来对角化哈密顿量具有重要的意义。 2 16 函数的概念及其性质 2 1 16 函数的弓l 进 考虑长度为z 的一条细杆，质量为1 ，假设密度均匀，即 岛懈型学 p j - ，1 ：2 岛( x 炒= 1 ( 2 - 1 b ) 现在让z 呻0 ( 即缩短为一点) ，但保持质量不变，记 i m 。p t ( x ) 一6 ( x ) 6x ) = 忠：善 ( 2 2 a ) c6 ( x 灶= 仁6 ( z 皿一1 ( 2 - 2 b ) 上述积分域( + 占，一f ) 只要包含x t0 点在内即可。6 函数的性质是很奇异的。它除了 x 一0 点之外，在其他地方函数值都为0 ，但积分又等于1 ，没有一个平常的函数有此 性质。严格来说，它不是传统数学中的函数，它只是一种分布。更严格的处理，涉 及分布理论，我们在此不讨论。 6 ( x ) 描述的分布当然是一种理想的分布( 点模型) ，但由于它在数学上的简单性， 在物理学中被广泛引用。如果在数学上不过分追求严格，6 函数可以看成一个非奇 6 第2 章格林函数方法及流方程方法简介 异函数的某种极限情况采处理。在计算过程中，如果由十引用6 凼数咖诬芏u 凼雅町， 可以把6 函数换成某种非奇异函数，直到运算过程的最后，再取极限。例如，分布 p o ( x ) = 志e x p - ；2 。】 觇o 。 它满足 e 以( x 妞= 1 和觋以( o ) t 它具有6 函数的性质，即 沏击e x p 。2 寸；6 ( z ) ( 2 - 3 ) 如令2 仃；，则上式可改写成 。l i r a 。d ￥竺乃e x p 【一a x 2 26 ( z ) ( 2 - 4 ) 在上式中若让a - i a ，利用石= e x pf 1 1 ，可得 lj 溉量e x p e x p 嘞r = 6 ( x ) ( 2 - 5 ) 2 1 26 函数白曩简单性质及论证 1 ) 6 ( 一x ) - a ( x ) 利用变数替换，可得 6 ( 一x ) 出= 1 所以 6 ( 一x ) 一6 ( x ) 毗= 0 又6 ( 石) 与6 ( 一x ) 在除zt0 点外，均为0 ，所以 6 ( 一x ) 一6 ( 工) 这表明6 ( x ) 为偶函数。因此 f6 ( x 灶= 6 ( x 炒= 五1 2 ) 6 ( 戤) 2 两16 ( z ) 7 河：化科技大学硕士学位论文 3 ) s 2 ，( x ) 6 ( z 胁一厂( o ) ( 2 - 6 ) 式( 2 6 ) 中f ( x ) 是任意连续函数。因为 左边；仁厂( x ) 6 ( z 炒一s ( o f ：j6 ( x 炒一厂( o ) 4 ) 工+ 。- o d 厂( x ) 6 ( x 一口皿；厂( 口) 2 2 格林函数方法 本部分从三个方面介绍了格林函数法，进而得出戴逊方程。格林函数的引出是 基于它作为微分方程的核的作用。它经常被看作是边值问题的微分方程的确切解或 是预解核。解带有外源或非齐次项的微分方程都归结于解带有非齐次系统的格林函 数戴逊方程。 2 2 1 非齐次微分方程的解 对于任意一个齐次线性微分方程 l ( 亭) 一0( 2 - 7 ) 其中4 为线性算符，亭为时间或空间上的变量；纯( 亭) 为此方程的一个特解。为 寻求非齐次微分方程 d # 啦( 亭) = q ( 亭) ( 2 8 ) 的所有解噍( 亭) ，其中q ( 宇) 为源项，我们首先定义格林函数占皓，宇) 如下： 三名g ( 亭，亭) = 6 ( 宇一亭) ( 2 - 9 ) 其中g ( 宇，亭) 是关于宇和亭的两个自变量的函数，式( 2 - 9 ) 与式( 2 - 7 ) 比较可以看到， g ( 亭，亭) 代替了式( 2 - 7 ) 左边的妒( 亭) ，6 分布函数代替了式( 2 7 ) 右边的0 。 如能给出格林函数g ( 亭，宇，) 非齐次微分方程式( 2 8 ) 的解的结构可以写成 鸭( 亭) 一如( 亭) + r 凿g ( 亭，亭) q ( 亭) ( 2 - 1 0 ) 把式( 2 1 0 ) 代入式( 2 - 8 ) 得 续厂鸳g ( 亭，亭7 ) q ) 一，茑乓g ( 喜，亭) q ( 亭) 2 ，茑台( 亭一亭) q ( 宇7 ) ；q ( 亭) 由此可见，式( 2 1 0 ) 邑0 为非齐次微分方程式( 2 8 ) 的所有解。这个求微分方程( 2 - 8 ) 解的方法即为格林函数法。 2 2 2 带有势项的非齐次微分方程的解 代替源项q ( 亭) ，在微分方程中可包含势项，此项称为非均匀性项。也就是用自 8 第2 章格林函数方法及流方程方法简介 _ e = = = = = = = = = = = = = = = = 目= = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = ：= ：= ：= ；=：= ：= ：= = ： 变量为亭的函数y ( 亭) 乘以驴( 亭) ，然后代替q ( 亭) ，即 4 九( 亭) = y ( 亭) 九( 亭)( 2 1 1 ) 从形式上看，式( 2 1 1 ) 和式( 2 8 ) 相同，式( 2 - 1 1 ) q by ( 亭) 丸( 孝) 起到了q ( 宇) 的作用， 所以式( 2 1 1 ) 1 悯解可以写为 九皓) = 丸( 耋) + r 茑g ( 亭，芋少( 亭) 九( 拿，) ( 2 1 2 ) 式( 2 1 2 ) 是一个隐含九的方程，也就是所谓的李普曼旌温格尔方程。这样微分 方程式( 2 1 1 ) 1 拘解用积分方程表示了，如果y 矽是很小的干扰，积分部分用齐次方程 的解丸代替式( 2 1 2 ) 中的九，得到波恩近似 九( 亭) 一九( 亭) + f d t g ( 亭，亭y ( 亭) 丸( 芋) ( 2 1 3 ) 与微扰理论相比，格林函数法的优点是非均匀性项不必偏差太小1 3 7 1 。 2 2 3一般情况 最后我们将讨论带有源项和非均匀性项的方程如下： d ；o i h 。( 孝) 一y ( 亭) 九。( 亭) ；q ( 亭)( 2 1 4 ) 要求式( 2 - 1 4 ) 的解，我们可以定义相应的格林函数方程为 b y ( 亭) 】g ( 芋，孝卜6 ( 宇二手7 ) ( 2 - 1 5 ) 由式( 2 8 ) 、( 式2 - 1 0 ) 幂1 式( 2 1 5 ) 可得式( 2 1 4 ) 的解的结构为 ( 亭) 一九( 言) + r d 亭g ( 亭，亭妇( 亭)( 2 1 6 ) 把式( 2 1 2 ) 代入式( 2 - 1 6 ) 并不能得出最后结果，现在我们把式( 2 i s ) 变形以下两种 形式 c 名九。( 亭) 一q ( 亭) ；y ( 亭) 办蛔( 亭) ( 2 1 7 a ) 、d ；九。( 亭) = q ( 亭) + y ( 亭) 九。( 亭)( 2 1 7 b ) 与式( 2 1 1 ) 相比，式( 2 1 7 a ) 的形式与式( 2 1 1 ) 相似。所以，式( 2 1 7 a ) 解的结构为 九。( 亭) 一鸭+ p 亭”g ( 宇，亭”y ( 亭”) 九。( 亭”) ( 2 1 8 ) 噍起到如的作用，因为如果式( 2 - 1 7 b ) 右边为零，屯即为式( 2 1 7 b ) 的解。把式( 2 1 0 ) 代入式( 2 1 8 ) 得 九，( 亭) 丸( 占) + 厂莺占( 亭，占7 ) q ( 亭) + 户宇”g ( 8 ，亭”y ”) 丸。( 亭”) ( 2 - 1 9 ) 对于式( 2 - 1 7 b ) ，如果非均匀性项y ( 亭) 破蛔( 亭) 为零，它的解为式( 2 9 ) ；如果源项 q ( 喜) 为零，它的解为式( 2 1 2 ) 。因此式( 2 1 9 ) 可视为两个线性方程解的线性组合。 河北科技大学硕士学位论文 把式( 2 1 6 ) 分另i j 代入式( 2 1 9 ) 1 构左边和右边得 九( 亭) + 厂d 亭g ( 亭，亭7 ) q ( 亭) = 丸( 芋) + _ r 畴g ( 亭，亭) q ( 亭7 ) 于亭”g ( 亭，宇”y ( 宇”) 九( 亭”) + ，d 亭g ( 亭”，亭) q ( 芋) ( 2 - 2 0 ) 对式( 2 2 0 ) 进行整理得 厂d 宇g ( 亭，亭) q ( 亭) ，莺g ( 亭，亭) q ( 宇) + 户宇丁d 亭g ( 亭，亭”少( 亭”) g ( 亭”，孝) q ( 亭7 ) ( 2 - 2 1 ) 这是一个含未知格林函数g 的隐函数方程，但由g 的定义可以看出，g 与源项q 并 没有关系。所以我们假设q ( 亭7 ) 一6 ( 亭一岛) ，则( 2 - 2 1 ) 式变为 g ( 亭，宇) 一g ( 亭，芋) + r d 亭”g ( 亭，亭”少( 宇”) g ( 亭”，亭) ( 2 - 2 2 ) 式( 2 2 2 ) 是非齐次系统的格林函数g 的一般隐含积分方程，叫做戴逊方程。它通 常简写为g g + g v g ，这里只是略去g v g 前的积分号。这时式( 2 - 2 2 ) 是- - 个线性系 统方程，通过矩阵转换可以求得解。 2 3 流方程方法 w e g n e r 流方程方法的基本思想主要是对哈密顿量进行一系列连续无穷小幺正变 换，建立新的哈密顿量，通过新哈密顿量中非对角项随流参数的增大趋于零，获得 对角哈密顿量形式，建立哈密顿量流方程。 首先对哈密顿量h 引入流参数z ，把幺正变换u 和哈密顿量h 分别看作关于z 的 算符函数u ( ，) 和h ( ，) 。其次，对( z ) 进行一系列幺正变换h ( z ) = u + u ) u ( z ) ，该 变换对z 求微分得学- 掣u ( z ) 刚+ 刚州掣 定义叩( 岫掣u ( 岫生成函数，则日( z ) 满足方程 了d h ( ) 。切( 耽( f ) 】 其中初始条件h ( ，一0 ) 一h 。对h ( f ) 满足方程的两边相同算符比较，得到一组非线 性方程流方程。从一定意义上说流方程方法实质上是把薛定谔算符方程化为关 于流参数的一系列的流方程。 薛定谔定态方程日i 掣 = i v 中，哈密顿量的幺j 下变换要求本征态也要进行 幺币变换l ( ，) tu + ( f ) lv 。因此，量子念im ( z ) 满足方程，h ( i ) lm ( z ) t i 中( ，) 任意算符0 的平均值可表示为 第2 章格林函数方法及流方程方法简介 0 = = 定义p ( d u + q ) o u ( o ，通过相同的运算过程，可知o ( ，) 满足和哈密顿量日( z ) 相同变换的方程 掣。i t ( f ) ，d ( 嘲 出 、 、7 j 其中o ( z 一0 ) 一o 。这样算符d 的平均值计算变为在本征态l 由( z ) 下的算符o ( z ) 的 平均值。既然z 畸时，哈密顿量在适当幺正变换可以对角化，而得到系统的本征值 与本征态。任意算符的平均值可表示为 0 = 2 4 本章小结 本章介绍了狄拉克6 函数的定义和一些性质，在狄拉克6 函数的基础上从非齐次 微分方程的解，带有势项的非齐次微分方程的解和一般情况这三个方面引出了