（应用数学专业论文）不确定中立型时滞系统的鲁棒稳定性.pdf

iii 摘要 在实际控制工程系统中，时滞与不确定性现象是普遍存在的，并且两者的 存在通常都会造成系统性能下降及导致系统不稳定，严重影响了控制系统的性 能指标：另一方面，中立型系统为更一般的系统，即大多数时滞系统都可以转 化为中立型系统来研究因此，对不确定中立型时滞系统的鲁棒稳定性研究具 有较强的理论与实际意义，亦由此吸引了众多研究者 研究中立型时滞系统的方法一般有频域法、代数法以及李亚谱诺夫泛函法， 但本文主要运用李亚谱诺夫( l y a p u n o v ) 第二方法，结合l e i b n i z - n e w t o n 公式，引 进适当的自由权矩阵，考虑系统内部隐含的信息，对系统矩阵添加适当的零项， 借助m a t l a b 工具箱的l m i 软件，给出了一些中立型系统的时滞相关稳定性条件 全文的主要研究了不确定中立型时滞系统的鲁棒稳定性问题 第一章概述了时滞系统的应用背景，研究的理论与应用价值，以及时滞系 统的发展与研究现状，指出中立型时滞系统的控制问题是研究的薄弱环节 第二章讨论了一类定常时滞中立型系统的时滞相关鲁棒稳定性本章针对 中立型自身的特点，将分情况讨论中立型时滞系统的稳定性问题首先，讨论 中立时滞与离散时滞相同时情形并给出其渐近稳定的时滞相关稳定性准则，进 一步研究其改进方法的时滞相关稳定性：讨论中立时滞与离散时滞不相同时情 形同样亦给出其渐近稳定的时滞相关稳定性准则通过考虑系统内部信息，引 进自由权矩阵，给出了此类系统具有较小保守性的时滞相关稳定性判定准则 第三章进一步研究了时变时滞中立型系统的时滞相关鲁棒稳定性主要讨 论常系数时变时滞中立型系统的时滞相关稳定性以及不确定系数时变时滞中立 型系统的时滞相关稳定性通过对系统方程添加适当的零项，构造适当的 l y a p u n o v 函数，以线性矩阵不等式( l m i ) 形式给出此类系统渐近稳定的时滞相 关稳定性准则通过与已经存在的文献资料结论相比较，结果显示本文给出的 判别依据实用有效且具有较小保守性 第四章用分段插值思想来研究不确定中立型时滞系统的鲁棒稳定性充分 利用分段插值思想，通过巧妙地构造l y a p u n o v 函数，结合系统方程自有的内部 关系以及添加适当的零项，以线性矩阵不等式( l m i ) 形式给出此类系统稳定性 的判别依据通过与已有的结论相比较，结果显示本文给出的判别依据实用有 效且具有较少保守性 最后对本文所研究内容进行总结，并对中立型时滞系统的保成本控制及广 义时滞系统稳定性的研究进行了展望 关键词：中立型系统；不确定性；时滞相关；渐近稳定；线性矩阵不等式( l m i ) a b s t r a c t a b s t r a c t t h ep h e n o m e n o n 、加lt i m e d e l a y sa n dt h eu n c e r t a i np a r a m e t e r si s f r e q u e n t l y e n c o u n t e r e di nt h ep r a c t i c a lc o n t r o ls y s t e m s ，w h i c ho ft h ee x i s t e n c em a yc a u s e i n s t a b i l i t ya n dp e r f o r m a n c ed e t e r i o r a t i o ni fn o td e a l t 谢mp r o p e r l y o nt h eo t h e r h a n d ，n e u t r a ls y s t e m sa r et h em o r eg e n e r a lf o r ms y s t e m s ，w h i c hm o s tn o r m a lc o n t r o l s y s t e m sc a nb et r a n s f o r m e dt os t u d y h e n c e ，i ti sn e c e s s a r ya n ds i g n i f i c a n tt os t u d y t h er o b u s ts t a b i l i t yo fu n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m sw i t ht i m e d e l a y si nt h ed e s i g na n d a p p l i c a t i o no fr e a lc o n t r o ls y s t e m s i nt h ep a s tt w e n t yy e a r s ，m a n yp e o p l eh a v ep a i d a t t e n t i o no nt h es t a b i l i t ya n a l y s i so ft i m e d e l a yn e u t r a ls y s t e m sa n da c h i e v e dg r e a t r e s u l t s v a r i o u sd i f f e r e n tt e c h n i q u e sa n da p p r o a c h e sh a v eb e e np r o p o s e dt od e r i v et h e d e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t yc r i t e r i af o ran u m b e ro fd i f f e r e n tn e u t r a ls y s t e m s ，s u c ha s t h ef r e q u e n c ym e t h o d ，t h ea l g e b r a i cm e t h o da n dt h el y a p u n o v - k r a s o v s k i im e t h o d b yu s i n gt h el y a p u n o v - k r a s o v s k i im e t h o d ，c o m b i n i n g 谢ml e i b n i z - n e w t o n f o r m u l a , i n t r o d u c i n g i n t os o m es u i t a b l e f r e e w e i g h tm a t r i x e s ，c o n s i d e r i n gt h e i n f o r m a t i o nc o n t a i n e di nt h es y s t e me q u a t i o ni t s e l f , a d d i n gs o m ea p p r o p r i a t ez e r o t e r m ，r e c u r r i n gt ol m it o o l b o xi nm a t l a b ，t h i sp a p e rs t u d i e st h ep r o b l e mo f r o b u s ts t a b i l i t yc r i t e r i af o rt i m e - d e l a yn e u t r a ls y s t e m s ，a n dg e t ss o m en e ws t a b i l i t y c r i t e r i o n t h em a i nw o r k sa sf o l l o w i n g ： c h a p t e r1 ：i tg e n e r a li n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n do fa p p l i c a t i o na n ds i g n i f i c a n c eo f r e s e a r c h , a c t u a l i t yo fr e s e a r c ha n dt h es u m m a r yo ft h ec o n t e n ta n dt h eo u t l i n e ，p o i n t s o u tt h ed i f f i c u l t i e so ft h er e s e a r c h c h a p t e r2 ：t h ep r o b l e m so fd e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t yc r i t e r i af o rac l a s so f c o n s t a n tt i m e - d e l a yn e u t r a ls y s t e m sa r es t u d i e d t h ed i s c r e t ed e l a y d e p e n d e n ta n d n e u t r a ld e l a y - - i n d e p e n d e n t s t a b i l i t y c r i t e r i af o rt i m e - v a r y 吨t i m e - d e l a yn e u t r a l s y s t e m s a r e d i s c u s s e d b yc o n s i d e r i n gt h ei n f o r m a t i o n c o n t a i n si nt h e s y s t e m e q u a t i o ni t s e l f , e m p l o y i n gs o m ea p p r o p r i a t ef r e e w e i g h tm a t r i x ，t h i sc h a p t e rg i v e n s o m en e ws t a b i l i t yc r i t e r i o nr e s p e c t i v e l y c h a p t e r3 ：t h ep r o b l e m so fd e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t yc r i t e r i af o rac l a s so f t i m e v a r y i n gt i m e d e l a yn e u t r a ls y s t e m sa r es t u d i e d b yc o n s i d e r i n gt h ei n f o r m a t i o n c o n t a i n si nt h es y s t e me q u a t i o ni t s e l f , e m p l o y i n gs o m ea p p r o p r i a t ef r e e - w e i g h t m a t r i x ，t h i sc h a p t e rg i v e nt h ed e l a y - d 印e n d e ms t a b i l i t yc r i t e r i af o rt h ea b o v es y s t e m s ， w h i c hh a dl e s sc o n s e r v a t i v et h a nt h ee x i s t i n gr e s u l t s c h a p t e r4 ：t h ep i e c e w i s ei n t e r p o l a t i o nl y a p u n o v f u n c t i o n a l a p p r o a c h i s d e v e l o p e dt os t u d yt h ec o n s t a n tt i m e - - d e l a y n e u t r a ls y s t e mw i t h t i m e - v a r y i n g c o n s t r u c t e du n c e r t a i n t i e s b yc o n s t r u c t i n gas u i t a b l ep i e c e w i s el i n e a ri n t e r p o l a t i o n l y a p u n o vf u n c t i o n a l ，t a k i n gt h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h et e r m si n t h e l e i b n i z - n e w t o nf o r m u l ai n t oa c c o u n t , u t i l i z i n gb e e - w e i g h t i n gm a t r i c e si nz e r o e q u a t i o n s ，ad e l a y d e p e n d e n tc r i t e r i o ni sd e r i v e di nt e r m so fl m i s t w on u m e r i c a l e x a m p l e sa r ei n c l u d e dt os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d t h ec o n c l u s i o na n dt h ep e r s p e c t i v eo ff u t u r er e s e a r c ha r eg i v e na tt h ee n do ft h e p a p e r k e yw o r d s ：n e u t r a ls y s t e m s ；u n c e r t a i n t y ；d e l a y d e p e n d e n t ；a s y m p t o t i c a l l ys t a b l e ； l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) i v 独立性声明 秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人 在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，不 包含本人或其他用途使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明，并表示了谢意 本学位论文成果是本人在广东工业大学读书期间在导师的指导下取得的，论 文成果归广东工业大学所有 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任，特此声明 5 1 论文作者签字： 指导教师签字： 年月日 1 1引言 第一章绪论弟一早珀了匕 对于实际工程系统，由于建模误差、测量误差、线性逼近和无法预测的外部 干扰等多种原因，系统的数学模型中不可避免地含有不确定性因素又由于在 客观世界中，时滞现象普遍存在例如系统元件的老化，传输延误和惯性作用等 使得系统总存在滞后的现象，这类现象通常以微分方程作为它们的数学模型比 如在生物医学、化学反应、控制论、力学、物理学等领域中提出的数学模型均带 有明显的滞后现象在动力系统中滞后现象更为普遍，即使是质点间力的传递或 者以光速传递的信息也是如此，特别在自动控制装置中，任何一个含有反馈的系 统，由于系统中信息传输的延迟，从输入信号到输出信号，其间必有一时间差， 这一时间差说明了实际中多数时滞系统的运动不仅与系统当前状态有关，同时 还依赖于系统过去的运动状态在这种情况下，微分方程就不能精确描述其运动 模型，取而代之的是微分差分方程和微分积分方程由于它本质上是无限维的， 而且时滞是系统不稳定的一个重要因素，因而引起了国内外学者对时滞系统的 广泛重视 1 2中立型时滞系统的鲁棒稳定性的应用背景及其研究意义 时滞是自然界中广泛存在的一种物理现象，如自动控制理论、物理学、人口 理论、医学问题、生物学、经济问题等下面给出几个用时滞微分方程描述的系 统例子： 例1 2 1 图1 所示的石油精炼厂是一个典型的时滞系统控制问题 f f b 原料a 与b 进入化学反应器参与三个化学反应精炼出产品p 以及一些别的 副产品e 与尼分别表示原料a 与b 的进料速度( 每小时磅) ，得到化学反应的 线性化方程是： 窭“93口+192a”1)-101bdt + 簧v ， 仃d i d bq o 2 0 口( r ) - 5 0 3 b + 1 9 2 b ”1 ) - 1 2 8 c 爱， d - c ：6 4 0 a ( t ) + 0 3 4 7 b ( t ) 一3 2 5 c ( t ) + 1 8 7 c ( t 一1 ) 一1 0 4 p ( t ) a t ， a p ，：0 8 3 3 b ( t ) + 11 o c ( t ) 一3 9 p ( t ) + 0 7 2 4 p ( t 一1 ) a t ， 其中时间单位为1 0 分钟，6 e ，6 尼分别表示原料a 与b 标准进料速度的偏差， 吆为化学反应器的磅量，口( f ) ，b ( t ) 分别表示反应物a 与b 标准值的偏差，c ( ，) 为 媒介c 的偏差，p ( t ) 为产品p 的偏差让 一妒岫_ 诌案坞= 蔫， 反应器方程表达成线性时滞系统：一 戈( f ) = a o x ( t ) + 4 x ( t 1 ) + b “o ) ， 其中： 4 = - - 4 9 3 3 2 0 6 4 0 o 1 0 1 5 3 0 0 3 4 7 0 8 3 3 o 一1 2 8 - 3 2 5 1 1 o 0 ol - 1 0 4l ，4 2 i - 3 9 6i 1 9 20o0 01 9 20o o01 8 70 0000 7 2 4 b = lo 01 o 0 0 o 例1 2 2 呤，1 9 5 1 年c r o e c o 给出压力输送系统液体助推火箭发动机的动态方程 莎( f ) = ( y 一1 ) o ) + f 【p o 一6 ( 9 ) ) 一r 4 , ( t 一6 ( p ) ) 】d 8 此) = 古m 卅学】 2 f 4 t ) = 杀b 【州卅吣) 一却】 帅) = 寺小) 州纠 其中f 表示发动机稳定状态中具有气体储留时间色的标准减少时间，艿= 影以为 减少的时间滞量，f 为稳定状态的时滞量；( f ) = ( p ( 尹) 一万) 多为燃烧舱内的瞬时 压强，万为稳定状态燃烧舱内的平均压强；丘( f ) = ( 廊，一廊) 廊中嘲为注射推进物 的瞬时质速度，励为稳定运动状态中啦的值；庙( f ) = ( r h , - m ) l m 中噍为顺时质 逆流容量；y ( f ) = ( p , ( t ) - p 。) ( 2 a p ) 中a ( f ) 为流路上的瞬时压强，五为稳定状态 p l 的值，卸= 瓦一歹稳定状态注射器的压强，p o 为供给压强p = 歹( 2 卸) 的调节 气压，y 为压强指数，考表示供给压强的小数长度，表示流路上的惯性参数， e 为流路上的弹性参数取“= ( p o a ) ( 2 印) 作为控制变量，选取6 ( 9 ) = r o ，考 = o 1 ，p = 1 ，j = 2 ，e = 1 让x ( ，) = ( ，) ，i a ( t ) ，i t ( t ) ，l f ，( f ) 】r ，则上述系统就能被改写为 具有可加式扰动的时滞系统： l j ( ，) = ( 厶+ 矗) x ) + f _ ，( a + z k 4 ( o ) ) x ( t + o ) d o + b “o ) 其中： 厶= y o 一1 o - - 0 5 5 5 6 0 o0 0o 0 o 5 5 5 6 l一1 0 l i 一5l l ，a = 0 5 5 5 6i 。 0 i y o o o o y 与，的标称值是y 。= 1 与= 1 ，且扰动描述表达为： 馘= 鲋( p ) = y 一0 00 oo 0 o oo o0 oo 0 o y 眦 0 o o 1 o 0 0 0 1 0l ，b = 0j 0 0 00 1 j 例1 1 3p 1 9 7 3 年w e l o n d o n 与j a y o r k e 研究了麻疹传播的模型为： s ( r ) = f l ( t ) s ( t ) s ( t - 1 2 ) - s ( t - 1 4 ) - 2 r + r 其中s ( t ) 表示在时刻t 无免疫力的个体数目，为这个个体在人口中所占的比例， f l ( t ) 为人口特征函数，常数滞量1 4 与1 2 为潜伏期的上限与下限 鉴于时滞在系统中普遍存在性，并且是系统不稳定的重要因素，若是单单利 用补偿办法并不能保证系统的稳定，由此研究时滞系统有很重要的理论意义与 应用前景特别，研究中立型时滞系统更是具有重要的理论价值与实际意义这 是因为中立型时滞系统是一类更为广泛的时滞系统，大多数时滞系统都可以看 作中立型系统的特殊情况；另一方面，许多时滞系统都可以转化为中立型系统来 研究 1 3 中立型时滞系统鲁棒稳定性的发展及其研究现状 自1 9 5 9 年以来，无论是一般的泛函微分方程还是较为具体的微分差分方程， 其发展是非常迅速的7 0 年代以来，无穷时滞和无界滞量的泛函微分方程也跟着 兴起，如在7 0 年代举行了三届全国泛函微分方程会议大大促进了我国泛函微分 方程的研究和发展而对时滞系统的研究在9 0 年代才引起重视并迅速发展起来 时滞系统的稳定性分析方法方要有三种：代数方法；l y a p u n o v 第二方法； 分析方法其稳定性条件，根据是否依赖系统时滞的大小，可以将其分为时滞独 立与时滞依赖两类 代数方法：代数方法即频域响应法，是基于l y a p u n o v 第一方法的即对于时 不变系统，若系统的所有特征值位于复平面的左半平面内，那么该系统是渐近稳 定的亦是说，要求系统的所有特征值有负实部如文献 4 9 】对于简单系统来 说可以实现，而对于时滞系统大多数具有无限谱，尤其对于中立型系统来说存在 具有无限不稳定谱的中立型时滞系统，研究起来非常复杂 l y a p u n o v 第二方法避免了需要求特征方程根的麻烦，只要选取适当的 l y a p u n o v 泛函，直接应用系统状态空间方程就可以得到使系统稳定的充分条件 早期通过l y a p u n o v 方法将所得的结论转化为求一类r i c c a t i 方程，处理范围广泛， 但需要对一些待定参数进行预先确定这些参数的选择直接影响着系统稳定性 4 结论的好坏，甚至会影响系统方程解的可行性目前仍没有寻找此类参数的最佳 方法1 9 9 5 年m a t l a b 推出求解线性矩阵不等式问题的工具箱( l m i ) 为l y a p u n o v 第二方法提供了强有力的研究工具 鲁棒控制理论于2 0 世纪8 0 年代初开始形成和发展，目前己取得了大量的研 究成果在时域鲁棒分析中，l y a p u n o v 方法得到了广泛的应用其一般思想是针 对不确定状态空间对象，选择一个合适的l y a p u n o v 泛函，然后基于范数的概念 得到鲁棒稳定界限由于l y a p u n o v 方法的充分性，所得的结果优劣常常取决于 l y a p u n o v 泛函选取的好坏，但到底用什么方法以确保所选的l y a p u n o v 泛函能够 满足要求，这有待于进一步研究对于时滞系统鲁棒稳定性的研究结果主要分为 两类型：一类是与滞后量大小无关性条件【1 1 1 8 】，这类结果用于处理滞后量未知 或者不易估计的系统非常方便，但是结果不免较保守另一类为与滞后量大小相 关性条件 1 9 2 4 ，用来处理已知滞后量大小或者可以给出滞后量上下界的系统， 保守性较小但是对于中立型时滞系统鲁棒稳定性的研究很少 2 5 1 2 6 1 4本论文主要工作及结构安排 本论文将主要依据l y a p u n o v 第二方法，在时域范畴内对定常时滞与时变时 滞的中立型系统的时滞相关稳定性进行了讨论研究，得出了保证各类系统渐近 稳定的最大时滞上界全文共分为四章，主要结构安排如下： 第一章概述了时滞系统的应用背景，研究的理论与应用价值，以及时滞系统 的发展与研究现状 第二章讨论了一类定常时滞中立型系统的时滞相关鲁棒稳定性本章针对中 立型自身的特点，将分情况讨论中立型时滞系统的稳定性问题 第三章进一步研究了时变时滞中立型系统的时滞相关鲁棒稳定性主要讨论 常系数时变时滞中立型系统的时滞相关稳定性以及不确定系数时变时滞中立型 系统的时滞相关稳定性 第四章用分段插值思想来研究不确定中立型时滞系统的鲁棒稳定性充分 利用分段插值思想来给出此类系统稳定性的判别依据 最后对本文所研究内容进行总结，并对中立型时滞系统的保成本控制及广 5 义时滞系统稳定性的研究进行了展望 1 5 相关引理 引理1 【2 7 1 ( s c h u r 补定理，对给定的对称矩阵s = 鼍1 要i ，其中墨，月”的， 则以下三个条件是等价的： ( i ) s 0 ； ( i i ) s 】 o ，是2 一品1 墨2 o ； ( i i i ) $ 2 2 o ，s l s 2 踺 0 引理2 田1 给定具有适当维数的正定矩阵q ：q t , r ：r t 和适当维数的矩阵 g ，e ，则q + g f e + e ，f r g r 0 ) 表示么为半正定矩阵( 正定矩阵) ： 么r i 表示矩阵彳的转置： 表示适当维的单位矩阵： 表示矩阵不等式中的对称项 7 第二章定常时滞中立型系统的鲁棒稳定性 2 1 中立时滞与离散时滞相同时的情形 2 1 1 系统描述 考虑如下的中立型时滞系统： 曩? 一譬? 以：叫三+ 鲋o ”烈力“b + 衄o ”双卜功，f u ， ( 2 1 1 ) lx ( ) = 咖( f ) ，f - h ，0 】 其中x ( t ) r ”为状态变量，彳，b ，c r “为已知常数系数矩阵，h 为未知时滞常 数，咖( f ) 是给定区间 一向，0 】上的连续可微函数 假定时变不确定性具有如下形式： 4 ( f ) ，z k b ( t ) - d f ( t ) e 1 ，e 2 】， ( 2 1 2 ) 其中d ，巨和岛是具有适当维数的常数矩阵，( r ) 是满足l e b e s g u e 可测元素的未 知时变矩阵函数且满足： f ( f ) r f ( f ) ，v t 0 ( 2 1 3 ) 为了保证差分算子r ( 薯) = x ( r ) 一c x ( t 一向) ：c - h ，0 卜争r ”是稳定的，总假设2 9 1 ： 0 ，系统( 2 1 5 ) 是渐近稳定的，如果差分算子r ( x ，) 是稳定 的，并且存在正定矩阵q = q r ，r = r7 ，p = p7 ，w = w r 和任意适当维矩阵，z ( ，= 1 ，2 ，3 ，4 ) ，使得有下面l m i 成立： q = q 1 4 一h n , q 2 4 一h n = q 3 4 一h n , 瓯一帆 一而 其中： q l l = p a + a r p - t , - a7 互7 1 + l + 1 r + q ， q 1 2 - - = 2 r + 互一a 7 互， ， q 1 3 = p b 一4 r p c 一l + 3 r 一互b a ，五7 ， q 1 4 = n 4 r t , c a r 互r ， q 2 2 = r + h w + 互+ 互丁， q 2 3 = 一2 - 5 b + 5 7 ， q 2 4 = - r 2 c + r , r ， 瓯= 掣p b 一移p e q k 一孵一酗一番霹， q 3 。= 一乃c b 7 正7 一人- ， q “= 一r - t 4 c c r 正r 证明：选择如下的l y a p u n o v 泛函： 矿( ) = k ( ) + ( 薯) + k ( 薯) + 吆( ) ， 巧( ) = f r ( t ) p i ( 一) ， 匕( 薯) = 。z 7 ( s ) ( s ) d s ， 蚝( 薯) = 。，( s ) 戤o ) d s ， 0 0 ，q = q r 0 ，r = r r 0 ，w = 形r 0 所有这些矩阵均待定矿( 一) 沿 着系统( 2 1 5 ) 的状态轨线，关于时间f 的导数： 矿( ) = 攻( 誓) + 吃( t ) + 吃( 薯) + 吃( 一) ， ( 2 1 1 2 ) 砖( 誓) = 2 f r ( 薯) 尸r ( 薯) ( 2 1 1 3 ) 攻( 一) = x 7 ( t ) q x ( t ) - x r ( t - h ) q x ( t 一办) ， ( 2 1 1 4 ) 吃( 誓) = 戈r ( t ) r y c ( t ) - 5 c r ( t - h ) r k ( t ，办) ， ( 2 1 1 5 ) 吃( ) = 触r ( t ) w s c ( t ) 一! _ h 5 c r ( s ) 臌( s ) d s ( 2 1 1 6 ) 对任意适当维矩阵m g = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，根据l e i b n i z - n e w t o n 公式： x ( f ) 一x ( f - 而) = 。文( s ) d s ， 恒有： 2 x 7 1 ( f ) 1 + 工r ( t ) n z + x r ( f h ) n 3 + x r o 一办) 4 】 x ( f ) - x ( t - h ) 一- h x ( s 灿】= o ( 2 1 1 7 ) 、 对任意适当维矩阵z ( f _ 1 ，2 ，3 ，4 ) ，由于系统( 2 1 5 ) ： i ( t ) 一c j c ( t h ) = a x ( t ) + b x ( t h ) ， 恒有： 2 x r ( f ) 互+ x t ( f ) 互+ x r ( f h ) t 3 + x 7 1 o h ) r 4 z o ) 一c x ( t h ) 一a x ( t ) 一b x ( t 一办) 】= 0 ( 2 1 1 8 ) 由式( 2 1 7 ) 一( 2 1 1 8 ) 有 矿( 誓) = 考7 1 p ，j i z ) 矗考( f ，五) 一2 考，o ，j i z ) l 丁2 ，3 ，4 ，rl 文o ) a s 一。戈7 ( s ) 耽。汹 = i ，f _ 。o ，乃) 壶讹办) 一考丁。，h ) 2 h n 。，n 2 ，3 ，4 ，阳s ) 一圣r 。) h w i ( s ) ) 出 2 去。机咖卿q 吣灿 ( 2 1 1 9 ) 1 0 考7 1 ( f ，乃) = 【x 7 。( f ) ，扩( r ) ，x 7 o 一向) ， 一而) 】， ，? r ，h ，砖= 毖r 纯办) ，j r o ) 】， f ，ql lq 1 2 6 ：j q ： 幸 i q l3 q q 2 ， q q 3 3 q 幸 q 由l y a p u n o v 定理可知，因此只要q 0 ，系统( 2 1 ，5 ) 是渐近稳定的，如果差分算子r ( t ) 是稳定 的，并且存在正定矩阵r = r r o ，s = s r o ，c = 甲 o ，彬= 形r o ( 扛1 ，2 ) ， q f = q r o ( 待1 ，2 ，3 ) 和任意适当维矩阵m ，z ( f - 1 ，2 ，3 ，4 ) ，使得有下面l m i 成立： 其中： 兰i l三1 2 三1 3三1 4一射q一办互 a 丁日a 丁z 宰 三2 2 三2 3 三2 4 一h n 2 一办疋b r h b r z 幸 三3 3 兰3 4 一h n s一忍五0 0 三4 4 一玩 ，4 一办l c r h0 木奉拳 一h w , 0 00 事拳事幸奎 一| j i 0 0 木 木枣 一h 0 木 幸幸宰幸 一z 0 ，鼻= 只r 0 ，彬= 彬7 o ( f = 1 ，2 ) ，q = q r o ( i ：1 ，2 ，3 ) ，r ：r r 0 所有这些矩阵均待定矿( 薯) 沿着系统( 2 1 5 ) 的状态轨线，关于时间r 的导数： 矿( ) = 圪( 薯) + 圪( 薯) + 吃( ) + 吃( t ) + 吃( ) ， ( 2 1 2 7 ) 吃( ) = 2 。戈r o ) 出s 文o ) 一i ( t 一向) 】+ 2 。广r ( s ) 丞嘎【f ( d 一广。一而) = 2 x o ) 一x ( t 一| i z ) r s j a x ( t ) + b x ( t 一乃) + ( c 一，) 文o 一办) 】 + 2 【x 0 ) 一( c + d x o h ) + c x ( t 一2 办) 】r 叉 缸( ，) + ( b a ) x ( t 一办) 一b x ( t 一2 乃) 】， ( 2 1 2 8 ) 破( ) = 2 x 7 ( t ) p 。y c ( t ) + 2 r 7 ( ) 最f ( t ) = 2 x r ( f ) 鼻 出o ) + 风o 一办) + c 戈一办) 】+ 2 x ( f ) 一c x ( t 一办) r p 2 a x ( t ) + b x ( t 一办) 】， ( 2 1 2 9 ) 攻( x ，) x t o ) ( q l + q 2 ) x ( f ) + x r o 一办) ( q 3 一0 1 ) x ( t 一乃) 一z 7 o 一2 h ) ( q 2 + q o x ( t 一2 h ) ， 佐1 3 0 ) 吃( t ) = 文r ( t ) t u x ( t ) 一文丁o 一乃) 冗童p 一办) ，( 2 1 3 1 ) 吃( t ) 2 磁7 ( f ) 形叠( f ) 一l 戈ro ) w i s e ( s ) a s + h r r ( t ) w 2 f ( t ) 一。r 7 ( s ) r ( s ) a s = 磁7 ( f ) 彤宕( f ) 一j 1 f h s r ( 占) 办彬戈( 了) 凼+ 时7 1 ( ，) f ( ) 一万1 。，( j ) 办p ( s ) 幽 ( 2 1 3 2 ) 记h = r + 办彬，z = 办，则： j c ( t ) h x c ( t ) = a x ( t ) + b x ( t - h ) + c x c ( t 一向) rh a x ( t ) + b x ( t h ) + c j c ( t 一办) 】 = x t o ) 么r h a x ( t ) + x ro ) 彳r h b x ( t h ) + 工r ) 么，h c j c ( t h ) + x r o h ) b r h a x ( t ) + x 7 ( ，一h ) b ，h b x ( t 一而) + x 7 0 一h ) b r h c i c ( t h ) + y c r ( f h ) c7 五阴工( r ) + 戈7 o h ) c r h b x ( t h ) + 戈r o h ) c r h c y c ( t h ) ( 2 1 3 3 ) r ( t ) z r ( 薯) = a x ( t ) + b x ( t 一乃) r z 血( r ) + b x ( t 一办) 】 = x t o ) 么r z a x ( t ) + x 7 1 ( f ) 彳r z b x ( t h ) + x r ( t h ) b r z a x ( t ) + x r ( t h ) b 7 1 z b x ( t 一| z ) ( 2 1 3 4 ) 由式( 2 1 1 8 ) 一( 2 1 3 4 ) ，我们有： 矿( t ) = 圪( 薯) + 嘭( 薯) + 攻( 薯) + 吃( t ) + 吃( 薯) = x t ( f ) 置爿+ a r 鼻+ p 2 a + a7 最+ s 4 + 么r s + 叉么+ 彳r 是+ q l + q 2 卅7 ( 日+ z ) a x ( t ) + 2 x 7 ( t ) p l b + p 2 b - a r 8 c + s 1 b - a 7 s + 叉( b a ) - a 7 1 ( c + d + 彳7 1 ( 日+ z ) b x ( t 一协 + 2 z 。o ) 【_ 叉b + a 。s 2 c x ( t 一2 厅) + 2 x r o ) s ( c 一，) + 足c + 彳r h c j c ( t 一l z ) + x r o j i z ) 【一c r g b - b r g c - s , b - b r s 一( c + ，) 7 s 2 ( b 一彳) 一q + q 3 一( b - a ) r 叉( c + ，) + b r ( 何+ z ) b x o 一乃) + 2 x 7 1 0 一而) ( c + ，) r s 2 b + ( b 一彳) 7 1 s 2 c l x q 一2 h ) + 2 x r q - h ) - s , ( c d + 彳7 1 h c j c ( t 一功 + x r o 一2 h ) - c7 是b b7 是c q q 3 x ( t 一2 h ) + 圣r ( f j i z ) 一r + c r h c j c ( t - h ) 一去。( j ) 堋l 戈( s ) 凼一去。，( s ) 厅r ( s ) 凼 ( 2 1 3 5 ) 对任意适当维矩阵m ( 扛1 ，2 ，3 ，4 ) ，根据l e i b n i z - n e w t o n 公式： m ) 一川卅= 去。磁( s 灿， 恒有： 2 x z ( t ) n + ，一功m + ，o 一2 h ) n a + ，o j i z ) j ：l 】 【础) 一砸叫一去f - 。艋( s 灿】= ” ( 2 1 3 6 ) 对任意适当维矩阵z ( f - 1 ，2 ，3 ，4 ) ，由于公式： i 1 肛( s ) 凼= z ( f ) 一( c + 啦( f 一办) + ( 卜2 h ) ， 恒有： 2 x r ) 互+ x r ( t - h ) t 2 + x 7 o 一2 h ) t 3 + x r o h ) t 4 l m ) ( c 蚋m 卅+ 哪埸) 一丢肛出 - o ( 2 1 3 7 ) 由于式( 2 1 2 7 ) ( 2 1 3 7 ) ，则有： 矿c 薯，= 丢【。叩7 ( l 乃，s ) 壹叩c l 办，s ，凼， ( 2 。3 8 ， 其中： r ( t ，h ，s ) = i x 7 p ) ，z r ( t - h ) ，z 丁一2 h ) ，j r o 一l