2016上海大同杯数学竞赛及答案.doc

2015年上海初三数学竞赛（大同中学杯）（2015年12月6日）解答本题可以使用科学计算器一填空题（每小题10分，共80分）1、已知AB为圆O的直径，AB=1，延长AB到点C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则的面积为_。解答：依据切割线定理可以得到：。因为可以得到因此有。因为AB为圆O的直径，所以时直角三角形。依据勾股定理有。而2、有编号分别为去1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球，从中任取3个小球，则取出的3个小球的编号和为奇数的概率为_。解答：从七个小球任意取出三个小球的取法为种，因为没有小球的数字不同，这样这三个球的数字和有35和结果。要使用和为奇数。应该包括两种下面情况第一种三个数均为奇数，也就是从1,3,5,7四个数中取三个，取法为第二种，一个奇数，两个偶数，也就是从1,3,5,7的四个数中取1个，从2,4,6三个数中取两个，取法有.这样和为奇数一共有种。从而取出的3个小球的编号和为奇数的概率为3、实数满足，则的值为_。解答：因为上述两个相减，得到：。因为所以有。上述相加得到所以。因此 4. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的23 倍，则这三个素数为_解答：设这三个素数为。则有。因为23是素数，从，可以得到23能够整除三个素数的积。从而可以得到其中有一个素数必为23。假设这样就有因为为素数，所以得到或这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。5. 如图，圆与圆 外切于点P ，从圆上点A 作圆的切线AB ， B 是切点，连接AP 并延长，与圆交于点C 已知圆 、圆的半径分别为2、1，则_解答：做如图所示的辅助线。可以得到为此设，则应用切割线定理有：所以。6、 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，MON 的两边分别是射线 y = x(x 0)与x轴正半轴点A(6,5)，B(10,2)是MON 内的两个定点，点P、Q分别是MON 两边上的动点，则四边形ABQP 周长的最小值是_解答：本题主要就是应用对称。应为四边形ABQP ，其中一个边AB为定值。要求四边形ABQP 周长的最小值，只要求另外三边的最小值。从对称可以得到,.四边形另外三边的最小值为依据两点间距离公式有。，从而最小值为。7. 不定方程的整数解共有_组。解答：设，所以从，可以得到所以。这样是方程的两个根，并且根为整数。所以。因此有。同时要保证为整数。这样就有，当时，当时，方程为方程没有整数解。当时，方程为方程没有整数解。当时，方程为方程，有整数解为2,4。所以或当时，方程为方程，有整数解为4,4。所以 整数解共有4组8. 设是给定的正实数， 是给定的大于1 的整数，实数 满足，则的最大值_。解答：因为有这样的一个结论，因为而所以最大值为二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分）9. 如图，在ABC中，BC = a，CA = b，ACB = 60，ABD是正三角形，P是其中心，求CP 的长度解答：分析作D点关于AB的对称点。则为等边三角形，这样就有，已知ACB = 60所以四点共圆。这个圆过P点。连接AP，BP。因为P是正三角形ABD的中心，所以因为A,C,B,P四点共圆，也就是四边形ACBP为圆内接四边形，应用圆内接四边形托勒密定理可以得到所以。10. 在1，2， ，2015 这2015 个正整数中选出个数，使得其中任意两个不同的数的和都不是50 的倍数，求k 的最大值解答：因为所有的整数，被5除余数为0,1,2,3,4， ,47,48,49。共50中情况。而。下面吧从1,2， ，2015这2015个数被50除，余数的情况列表如下。余数121524252648490第1行1215242526484950第2行5152657475769899100第3行101102115124125126148149150第40行19511952199819992000第41行200120022015第1行取1到25这25个数，取50这个个数，任意两个数的和都不能被50整除。第2行取51到74这24个数，和第一组取得的数组成新的数集，则这新的数集任意两个数的和不能被50整除。以后每行都取前24个数，取到第40行位置。最后一行取15个数。这样正整数集合最大数值个数为这样集合为这样式样50这个数可以换成1到2015之间50的倍数任意一个数。因此的最大值为977.11. 已知ABC的三边长均为正整数，周长为 35，G 和I 分别为ABC的重心和内心，且GIC = 90，求边AB的长度解答：本题有一定难度，但是抓住内心和重心的特征还是能够找到解题的路径的。由题意知道GIC = 90，并且CI平分,出现角平分+垂直的特征。这样可以构造出三角形。为此延长GI和反向延长GI.很容易得到为等腰三角形，也就是过垂心G和内心I分别做AC和BC边的垂线。设的内接圆的半径为。由面积法得到：也就是所以因为G为三角形ABC的重心，可以得到用面积法有：化简为也就是，因为为正整数所以得到，则为此为方程的两个根。有。因此当时，方程为所以此时。因此。当时，方程为没有整数解。因此。12. 设是正整数， 不是 4的倍数，求证：不是完全平方数 证明：，当为同奇数，或者同偶数时，可以得到一定是4的倍数。已知 不是 4的倍数，所以中一个为奇数，一个为偶数。假设。因为因为能够被8整除。所以