（应用数学专业论文）正交多项式中的计算机代数.pdf

南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位 获得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范围内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文 ( 包括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论 文，并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将 公开的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检 索、文摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务；( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向 教育部指定单位提交公开的学位论文：( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和 中国学术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文 数据库，通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务。解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h t t p ：2 0 2 1 1 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 l i n d e x h t m 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答 辩；提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字：斩渔洼 2 0 1 0 年0 5 月2 8 日 南开大学研究生学位论文作者信息 论文题目正交多项式中的计算机代数 姓 名靳海涛学号 2 1 2 0 0 7 0 0 0 l 答辩日期2 0 i o 年5 月2 8 日 论文类别博士口学历硕士团硕士专业学位口高校教师口同等学力硕士口 院系所组合数学巾心专业应用数学 联系电话 l3 9 2 0 6 8 8 7 4 3 e m a i l j i n h t l 0 0 6 1 6 3 t o m 通信地址( 邮编) ：天津市南开大学西区公寓3 号楼l 单元6 0 7 室 备注：是否批准为非公开论文否 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 一一_ 一f r 一- 南开大学学位论文使用授权书 j 1 - - l i r a 根据南开人学犬丁研究生学位论文收藏和利川管理办法，我校的博十、硕十学何获 得者均须向南开人学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开人! 学有关研究生学位论文收藏和利川的管理规定。南开人学拥有在 并作权法规定范同内的学何论文使川权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文( 包 括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采川影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论文， 升编入南开人学i 枣硕十学位论文全文数据库：( 2 ) 为教学平科研目的，学校可以将公开 的学何论文作为资料在图i5 馆笛场所提供校内师生阅读，住校矧网上提供论文目录检索、文 摘以及论文全文浏览、卜载等免费信息服务；( 3 ) 根据教育部有关规定，南开人学向教育部 指定单何提交公开的学位论文；( 4 ) 学何论文作者授权学校向中国科技信息研究所币l l 中国学 术j 】刊( 光盘) 电子出：版丰十提交规定范闱的学何论文及其电子版丌：收入相应学何论文数据库， 通过其相天网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 1 卜公开学何论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图伟馆网站：h t t p ：2 0 2 1 1 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 1 i n d e x h t m 。 本人承诺：本人的学位论文是往南开人学学习期间创作完成的作品。并已通过论文答辩： 提交的学何论文电子版与纸质本论文的内容一致，如i 灭i 不同造成不良j 亓果由本人白负。 本人同意遵守上述规定。本授权1 5 签署一式两份，由研究生院和图ls 馆留存。 作者暨授权人签字： 南开大学研究生学位论文作者信息 论文题目l l ：交多项式中的计算机代数 姓名靳海涛学号 2 1 2 0 0 7 0 0 0 l 答辩日j i 】2 0 1 0 年5 月2 8 日 论文类别 博十口学历硕十团硕十专业学位口高校教师口同等学力硕+ t - ：口 院系所组合数学中心 专业戍川数学 联系电话 l3 9 2 0 6 8 8 7 4 3e i l i a i l j i n h t l 0 0 6 1 6 3 t o m 通信地j q t ( m l j 编) ：大津市南开人学阿区公寓3 号楼l 单元6 0 7 室 备注：是否批准为1 卜公开论文 否 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 瀣月 衄一 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所 取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包 含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所 涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 堑海凌2 0 1 0 年0 5 月2 8 日 非公开学位论文标注说明 根据南开大学有关规定，非公开学位论文须经指导教师同意、作者本人申 请和相关部门批准方能标注。未经批准的均为公开学位论文，公开学位论文本 说明为空白。 论文题目 口限制( 2 年)口秘密( 1 0 年)口机密( 2 0 申请密级 年) 保密期限 2 0 年月日至2 0年月日 审批表编批准日 2 0 年月日 号 期 限制2 年( 最长2 年，可少于2 年) 秘密1 0 年( 最长5 年，可少于5 年) 机密2 0 年( 最长1 0 年，可少于l o 年) 硕士学位论文 正交多项式中的计算机代数 培养院系： 一级学科： 二级学科： 论文作者： 指导教师： 学号： 组合数学中心 数学 应用数学 靳海涛 侯庆虎教授 2 】2 0 0 7 0 0 】 南开大学研究生院 2 0 1 0 年4 月2 8 日 m a s t e r sd i s s e r t a t i o n c o m p u t e ra l g e b r ai n o r t h o g o n a lp ol y n o m i a l s h a i t a oj i n s u p e r v i s o r ：q i n g h uh o u at h e s i ss u b m i t t e dt ot h eg r a d u a t es c h o o lo fn a n k a iu n i v e r s i t y i np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n tf o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c e n t e rf o rc o m b i n a t o r i c s n a n k a iu n i v e r s i t y t i a n j i n ，p e o p l e sr e p u b l i co fc h i n a m a r c h2 0 1 0 c o p y r i g h t2 0 1 0 a b s t r a c t ( i nc h i n e s e ) 摘要 作为一类重要的特殊函数，经典正交多项式因其在化学，理论物理，工程 等领域的广泛应用而一直是数学研究中的热点课题。对正交多项式的研究始 于c h e b y s h e v ，至今已有相当长的历史，其主要研究课题包括微分( 差分) 方 程，递推关系，超几何表示，生成函数，以及相关恒等式等。近些年来，经典 正交多项式族已被大大扩充。与此同时，计算机代数的发展大大减轻了手工计 算的繁琐程度，从而成为研究特殊函数的最有力工具。 我们首先给出了几个与z e i l b e r g e r 算法相类似的机械化方法。由正交多项 式的超几何表示出发，利用这些方法可得到相应的微分( 差分) 方程，三项递 归方程及其它关系式。接下来，利用对比系数法，我们重点探讨了微分( 差 分) 方程和三项递归方程之间的内在关系。我们推广了w k o e p f 的相关结果， 对非一致格上的正交多项式，导出了相似的联接公式。此外，我们给出了几个 直接方法，该方法简明有效，可用来推导正交多项式的某类关联公式。最后， 我们考察了关联系数的两种特殊情况，并由此得到经典正交多项式的超几何表 示和一些参数微分等式。 所讨论的这些方法非常适合利用计算机代数系统来实现。本文介绍了已有 的相关计算机代数软件包，并介绍了作者编写的两个软件包m y s u m 和m y o r t h ， 利用它们可以自动证明和推导正交多项式的各种关系式。结尾部分给出了有待 研究的三个课题。 关键字：计算机代数，正交多项式，递归方程，微分( 差分) 方程，关联系 数，符号计算 a b s t r a c t a b s t r a c t a sa ni m p o r t a n tc l a s so fs p e c i a lf u n c t i o n s ，c l a s s i c a lo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l i ss t i l la na c t i v et o p i co fc o n s i d e r a t i o ni np u r em a t h e m a t i c a lr e s e a r c ha sw e l la s i na p p l i c a t i o n st oc h e m i s t r y , t h e o r e t i c a lp h y s i c s ，e n g i n e e r i n ge t c t h es t u d i e so n t h e mw e r ei n i t i a l e db yp l c h e b y s h e va n dh a v ea l o n ga n dr e m a r k a b l eh i s t o r y t h ei s s u e si n c l u d ed i f f e r e n t i a l ( d i f f e r e n c e ) e q u a t i o n s ，r e c u r r e n c er e l a t i o n s ，h y p e r - g e o m e t r i cr e p r e s e n t a t i o n s ，g e n e r a t i n gf u n c t i o n s ，r e l a t e di d e n t i t i e sa n d s oo n i n t h el a s tf e wd e c a d e s ，c l a s s i c a lo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sh a v eb e e nw i d e l ye x t e n d e d m e a n w h i l e ，t h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e ra l g e b r ar e d u c e sag r e a td e a lo fm a n u a l c a l c u l a t i o nt e r r i b l y , w h i c hh a sb e c o m et h em o s tp o w e r f u lt o o lf o rs t u d y i n gs p e c i a l f u n c t i o n s w ef i r s tg i v es e v e r a lm a c h i n e r ym e t h o d sw h i c ha r ea n a l o g o u st oz e i l b e r g e r s a l g o r i t h ma n dc o u l db eu s e dt oo b t a i nd i f f e r e n t i a l ( d i f f e r e n c e ) e q u a t i o n s ，t h r e e - t e r mr e c u r r e n c ee q u a t i o n s ，a n do t h e rr e l a t i o n sf r o mh y p e r g e o m e t r i cr e p r e s e n t a - t i o n sf o rt h ec l a s s i c a lo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s t h e n ，b a s e do nt h em e t h o do f e q u a t i n gc o e f f i c i e n t s ，w em a i n l ye x p l o r et h ec o r r e l a t i o nb e t w e e nd i f f e r e n t i a l ( d i f - f e r e n c e ) e q u a t i o n sa n dt h r e e - t e r mr e c u r r e n c ee q u a t i o n s w ee x t e n dw k o e p f s r e s u l t st ot h eo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l so nn o n - u n i f o r ml a t t i c ef u n c t i o n sa n dd e - r i v es o m es i m i l a rc o n n e c t i o nf o r m u l a e m o r e o v e r ，w eg i v es e v e r a ld i r e c tm e t h o d s w h i c ha r em o r ei n t u i t i v ea n de f f i c i e n tf o rd e r i v i n gs o m er e l a t i o n s f i n a l l y , t w o s p e c i a lc a s e so fc o n n e c t i o nc o e f f i c i e n t sa r ec o n s i d e r e d ，w h i c hl e a dt oh y p e r g e o - m e t r i cr e p r e s e n t a t i o n sa n ds o m ep a r a m e t e rd e r i v a t i v ei d e n t i t i e s a l lt h ed i s c u s s e dm e t h o d sa r ei d e a l l ys u i t e df o rb e i n gi m p l e m e n t e di nm o d e r n c o m p u t e ra l g e b r as y s t e m s w ei n t r o d u c et h ek n o w np a c k a g e sa n dp r o v i d eo u i ： t w om a p l ep a c k a g e sm y s u ma n dm y o r t hf o ra u t o m a t i c a l l yp r o v i n ga n dd e r i v i n g t h er e l a t i o n sf o ro r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s a tl a s t ，w eg i v et h r e ed i r e c t i o n sf o rt h e f u t u r er e s e a r c h k e yw o r d s ：c o m p u t e ra l g e b r a ，o r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s ，r e c u r r e n c ee q u a t i o n ， d i f f e r e n t i a l ( d i f f e r e n c e ) e q u a t i o n ，c o n n e c t i o nc o e f f i c i e n t ，s y m b o l i cc o m p u t a t i o n a m ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ( 2 0 0 0 ) ：0 5 e 3 5 ，3 3 c 4 5 ，3 3 f 1 0 ，6 8 w 3 0 1 1 a b s t r a c t ( i nc h i n e s e ) a b s t r a c t c o n t e n t s 1i n t r o d u c t i o n c o n t e n t s i i i i i 1 1 1ah i s t o r i c a ls u r v e ya n do u rc o n t r i b u t i o n s 2 1 2 o r g a n i z a t i o n 4 2 p r e l i m i n a r y 5 2 1d e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n s 5 2 2 c o m p u t e ra l g e b r a 7 3b a s i cf a c t so no r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s1 0 3 1 r e p r e s e n t a t i o n s 1 0 3 2 c l a s s i f i c a t i o n 1 2 4h y p e r g e o m e t r i cr e p r e s e n t a t i o na n da p p l i c a t i o n s1 6 4 1 h y p e r g e o m e t r i cs u m m a t i o nf o rr e c u r r e n c ee q u a t i o n 1 7 4 2 d i f f e r e n t i a la n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n 1 9 i i i 6c o n n e c t i o nc o e f f i c i e n t sa n da p p l i c a t i o n s4 0 6 1b a s i ci d e a 4 0 6 2 h y p e r g e o m e t r i cr e p r e s e n t a t i o n s 4 2 6 3p o w e rf u n c t i o na n da p p l i c a t i o n s 。4 3 7m a p l ep a c k a g e sa n da p p l i c a t i o n s 7 1s o m er e l e v a n tp a c k a g e s 4 6 7 2 u s a g eo fo u rp a c k a g e s 4 9 8f u t u r ew b r k s b i b l i o g r a p h y a c k n o w l e d g e m e n t & s u m e i v 5 2 5 3 5 8 5 9 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n o r t h o g o n a lp o l y n o m i a l ，a sa ni m p o r t a n tc l a s so fs p e c i a lf u n c t i o n s ，i ss t i l la na c t i v e t o p i co fc o n s i d e r a t i o ni np u r em a t h e m a t i c a lr e s e a r c ha sw e l la si na p p l i c a t i o n st o c h e m i s t r y , t h e o r e t i c a lp h y s i c s ，e n g i n e e r i n ga n dc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s t h e s t u d i e so ni th a v eal o n ga n dr e m a r k a b l eh i s t o r y ( i n i t i a l e db yp l c h e b y s h e v ) ， a n dt h ei s s u e si n c l u d ed i f f e r e n t i a l ( d i f f e r e n c e ) e q u a t i o n s ，r e c u r r e n c er e l a t i o n s ， h y p e r g e o m e t r i cr e p r e s e n t a t i o n s ，g e n e r a t i n gf u n c t i o n s ，m o m e n t sa n ds oo n i na p p l i c a t i o n s ，t h em o s ti m p o r t a n to r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sa r et h es o - c a l l e d c l a s s i c a lo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sw h i c hi n c l u d et h ew e l l - k n o w nj a c o b ia n dh e r - m i t ep o l y n o m i a l s i nt h i st h e s i s ，w eo n l yc o n s i d e rt h ec l a s s i c a lo r t h o g o n a lp o l y - n o m i a l sw i t ho n ev a r i a b l e ，a n ds o m e t i m e sw eu s et h ep h r a s e o r t h o g o n a lp o l y - n o m i a l s ”i n s t e a do ft h ec l a s s i c a lo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sw h e n e v e rn oc o n f u s i o n c a na r i s e r e c a l lt h a tt h eo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sc a i lb ed e f i n e db yt h es c a l a rp r o d u c t a sf o l l o w s d e f i n i t i o n1 1 a s s u m et h a tas c a l a rp r o d u c t ( ，g ) w i t ha n o n n e g a t i v em e a s u r e 口( z ) s u p p o r t e di na ni n t e r v a la ，6 】( w h i c hm a yb ei n f i n i t e ) i sg i v e n 口sf o l l o w s ( 加) = z 6 他) 出) 如( n t h e naf a m i l yo fp o l y n o m i a l sd n ( z ) 】，w i t hp n ( z ) i so fe x a c td e g r e eni nz ，i s c a l l e do r t h o g o n a lt t r tt h i ss c a l a rp r o d u c t ；, 矿f o ra r b i t r a r yn o n n e g a t i v ei n t e g e r s m ，n ，w eh a v e ( z ) ，( z ) ) = 6 ( m ，死) 兹，w h e r e 兹 0a n d6 ( m ，n ) i st h eu s u a l 一 k r o n e c k e rd e l t af u n c t i o n 浙，归 。1m m = n n ： l o t so fp r o p e r t i e sf o ro r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sa r ew e l lk n o w n ，f o re x a m p l e ， g e n e r a lo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s8 a t i s 矽at h r e e - t e r mr e c u r r e n c ee q u a t i o n ，m a n y c l a s s i c a lo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sa r es o l u t i o n so fa d i f f e r e n t i a l ( d i f f e r e n c e ) e q u a - t i o n ，e t c w ec a nf i n dm a n yi n f o r m a t i o n ( g e n e r a t i n gf u n c t i o n ，h y p e r g e o m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n s ，r o d r i g u e sf o r m u l a ) o ft h ec l a s s i c a ls y s t e mj a c o b i ，l a g u e r r e ，h e r - m i t ei nm a t h e m a t i c a ld i c t i o n a r i e s 1 1ah i s t o r i c a ls u r v e ya n do u rc o n t r i b u t i o n s i nt h el a s tf e wd e c a d e s ，c l a s s i c a lo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sh a v eb e e nw i d e l ye x - t e n d e d ，e g ，t h em o s tf a m o u sa n di m p o r t a n ta s k e y - w i l s o ns c h e m e ( s e ef 1 8 1 ) m e a n w h i l e ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e mc o m p u t e ra l g e b r as y s t e m ，m a n y a l g o r i t h m i ca p p r o a c h e sh a v eb e e nd i s c o v e r e da n da p p l i e dt os t u d y i n go r t h o g o - h a lp o l y n o m i a l sa n ds p e c i a lf u n c t i o n s ，s e e 【1 5 ，1 9 ，2 1 ，3 1 ，3 4 t h e s et r e a t m e n t s i n c l u d ea u t o m a t i cp r o v i n go fk n o w ni d e n t i t i e sa sw e l l 鹪a u t o m a t i cf i n d i n go f n e wi d e n t i t i e s ，s u c ha sa l g e b r a i cd e p e n d e n c i e so rc l o s e df o r mr e p r e s e n t a t i o n sf o r s y m b o l i cs u m 8 i m p l e m e n t a t i o n so ft h e s ea l g o r i t h m sa r ea v a i l a b l ef o ra l lg e n - e r a lp u r p o s ec o m p u t e ra l g e b r as y s t e m s b a s e do nt h e s es y m b o l i ca l g o r i t h m s ， r s w a r t t o u w 【3 2 】d e v e l o p e da no n - l i n em a p l ep a c k a g ec a o p ( s t a n d sf o rc o l n - p u t e ra l g e b r aa n do r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s ) f o rc a l c u l a t i n gf o r m u l a ef o ro r t h o g - o n a lp o l y n o m i a l sb e l o n g i n gt ot h e a s k e y - w i l s o ns c h e m e t h eu s e r 8c a nc o m p u t e r e c u r r e n c er e l a t i o n s ，d i f f e r e n t i a la n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n so rm a k eap l o to fe v - e r yp o l y n o m i a li nt h ea s k e y - w i l s o ns c h e m e t h k o o r n w i n d e ra n dr s w a r t t o u w 【2 5 】g a v eam a p l ep a c k a g er e c 2 0 r t h of o ra n s w e r i n gt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n ： g i v e nat h r e e - t e r mf l g c u r r e n o gr e l a t i o n ，w h e t h e rt h e r ee x i s tf a m i l i e so fo r - t h o g o n a lp o l y n o m i a ls o l u t i o n si nt h ea s k e y w i l s o ns c h e m e ? t h e s er e s u l t sa r eu n d e rt h ep r o j e c t a s k e y - w i l s o ns c h e m e ”，w i t ht h ep u r p o s e 2 “ac o m p u t e ri m p l e m e n t a t i o no ft h e t om a k ea ni n t e r a c t i v ev e r s i o no fr e - p o r t 【1 8 ，w h i c hi n c l u d e st h r e ep a r t s ： t h et r a n s f o r m a t i o no ft h er e p o r t l i n k s 【1 8 】i n t oa n e l e c t r o n i cv e r s i o nw i t hh y p e r - t h ea d d i t i o no fi n t e r a c t i v i t yw i t hac o m p u t e ra l g e b r as y s t e m t h ec r e a t i o no fn e wa l g o r i t h m st h a tc a nb eo fa n yh e l pf o rt h eo r t h o g o n a l p o l y n o m i a l si nt h ea s k e y - w i l s o ns c h e m e r e c e n t l y , u s i n gt h em e t h o do fe q u a t i n gc o e f f i c i e n t s ，w k o e p f s e e 【2 3 ) p r o v i d e da n o t h e rm a p l ep a c k a g er e t o d ef o rt h e s a m ep u r p o s ea sr e c 2 0 r t h o h i s m e t h o di sm o r ee f f i c i e n ta n di n t u i t i v e ，a l t h o u g hi tc o u l d n tc o m p l e t e l yc o v e r t h e p a c k a g er e c 2 0 r t h o 。 t h em a i ng o a lo ft h i st h e s i si st og i v eaf r a m e w o r kf o rd e r i v i n ga n dp r o v i n g m a n yr e l a t e df o r m u l a ea n di d e n t i t i e sf o rt h ec l a s s i c a lo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sb y c o m p u t e ra l g e b r am e t h o d w ec o n s i d e rs e r v a la s p e c t sf o ro r t h o g o n a lp o l y n o m i - a l si n c l u d i n gh y p e r g e o m e t r i cr e p r e s e n t a t i o n s ，d i f f e r e n t i a l ( d i f f e r e n c e ) e q u a t i o n s ， t h r e e - t e r mr e c u r r e n c ee q u a t i o n s ，c o n n e c t i o nc o e f f i c i e n t sa n dm a i n l yf o c u so nt h e i r i n t e m a lr e l a t i o n s w ef i r s tg i v es e v e r a lm a c h i n e r ym e t h o d sw h i c ha r ea n a l o g o u s t oz e i l b e r g e r sa l g o r i t h ma n dc o u l db eu s e dt oo b t a i nd i f f e r e n t i a l ( d i f f e r e n c e ) e q u a t i o n s ，t h r e e - t e r mr e c u r r e n c ee q u a t i o n s ，a n do t h e rr e l a t i o n sf r o mh y p e r g e - o m e t r i cr e p r e s e n t a t i o n sf o rt h ec l a s s i c a lo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s t h e n ，b a s e d o nt h em e t h o do fe q u a t i n gc o e f f i c i e n t s ，w ee x t e n dw k o e p f sr e s u l t st ot h eo r - t h o g o n a lp o l y n o m i a l so nn o n - u n i f o r ml a t t i c ef u n c t i o n sa n dd e r i v es o m es i m i l a r c o n n e c t i o nf o r m u l a e m o r e o v e r ，w eg i v es e v e r a ld i r e c tm e t h o d sw h i c ha r em o r e i n t u i t i v ea n de f f i c i e n tf o rd e r i v i n gs o m ec o n n e c t i o nr e l a t i o n s a n o t h e rc o n t r i b u t i o ni st op r o v i d et w om a p l ep a c k a g e sm y s u ma n dm y o r t h t h ef i r s to n ei sf o rh y p e r g e o m e t r i cs u m m a t i o n sa n dt h es e c o n do n ec o u l db e r e g a r d e d 船ag e n e r a l i z a t i o no fr e t o d e s e v e r a le x a m p l e sa r eg i v e n t od e m o n s t r a t e h o wt ol l s et h e s et w op a c k a g e s f i n a l l y , w eg i v es o m ed i r e c t i o n sf o rf u t u r er e s e a r c h ：g e n e r a t i n gf u n c t i o n s ， t h ep r o b l e mh o wt os y s t e m a t i c a l l yp r o v es o m ec l a s so fp r o p e r t i e sa n dt h ei m - p r o v e m e n to fo u rp a c k a g em y o r t h 3 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 2 o r g a n i z a t i o n t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r2 ，w eg i v ea no v e r v i e wo ft h eb a s i ct e r m i n o l o g i e s ，i n c l u d i n gh y - p e r g e o m e t r i ct e r m ( s e r i e s ) ，h o l o n o m i ce q u a t i o na n dg e n e r a t