（应用数学专业论文）两种特殊线性模型的参数估计.pdf

文章针对两种特殊线性模型线性混合模型和混合系数线性 模型分两部分进行了讨论，分别给出了具有异方差的线性混合模型 参数的谱分解估计和混合系数线性模型中参数估计的一些结果首 先，主要对具有异方差的线性混合模型的固定效应和方差分量用矩 阵变换的方法做谱分解估计，并讨论了它的有关统计性质新估计 的突出特点是，固定效应的估计是具有良好统计性质的线性估计 线性混合模型被广泛应用于经济、金融和机械测量方面，新方法得 到的估计都具有很好的统计和实用意义最后，对于在二次损失和 矩阵损失下混合系数线性模型的参数估计问题，分别给出了在仿射 变换群下存在回归系数的一致最小风险无偏j ) 估计和一致最小 风险同变( 估计的充要条件，以及在平移群下存在一致最小风 险同变估计舢衽) 的充要条件导出了回归系数的广义最小二乘估 计的可容许性线性混合模型在经济分析、可靠性退化分析以及生 物学等领域具有重要的应用因此，对该模型的研究无论从理论上 还是从应用角度都是十分重要和必要的 关键词：谱分解混合系数线性模型线性混合模型可容许 一件 a b s t r a c t 历i sp a l d e rh a sk e e nd i s c u s s e dt w os p e c i a ll i n e a rm e d e l si n 船 d i f f e r e n tc h a p t e r s ，o n ei sl i n e a rm i x e dm o d e l ，t h eo t h e ri sl i n e a r m d e lw i t h 血x e dc o e f f i c i e n t s a n di th a sk e e nr e s p e c t i v e l yg i v e i l8 姗 r e s u l t so ns p e c t r a ld e m _ i p o s i t i o ne s t i m a t i o no fn t r a r e t e ri nl i n e a r m i x e dm o d e l sw i t hh e t e r e s c e d a s t i cv a r i a n c e sa n dp a r a m t e re s t i m a t i o n i nal i n e a rm d e lw i t hm i x e dc o e f f i c i e n t s f i r s t ，as p e c t r a l c x m l 0 s i t i o ne s t i m a t i o no ft h ef i x e de f f e c t sa n dv a r i a n c ec a i p a n e n t si n l i n e a rm i x e dm m e l sw i t hh e t e r o s c e d a s t i cv a r i a n c e s m s t l y , i sd o n eb y t h em e t h o d so fm a t r i xt r a n s f o r m a t i o na n ds 雠c o r r e s p o n d i n gs t a t i s t i c p r o p e r t i e so ft h es p e c t r a ld e c a n 瑚s i t i o ne s t i m a t i o ni sd i s c u s s e d t h e p r o m i n e n tc h a r a c t e ro ft h en 麟e s t i m a t o ri st h a tt h ee s t i m a t o ro ff i x e d e f f e c t si sal i n e a re s t i m a t i o nw i t hg o o ds t a t i s t i cp r o p e r t i e s l i n e a r m i x e dm d e l sa r ee x t e n s i v e l ya p p l i e dt ot h ef i e l d so fe c o n a r v , f i n a n c e a n dm e c h a n i c a lm 篷【s l a n dt h ee s t i m a t o ra c q u i r e db yt h en e wh b 恻 h a s 氍1 0 ds t a t i s t i c a la n dp r a c t i c a lp u r l o s e 1 a s t ，f o rt h eg r o b l e mo f e s t i m a t i n g ) a = r a n e t e r s ，u n d e rq u a d r a t i cl o s sa n dm a t r i xl o s s ，i na l i n e a rm d e lw i t hm i x e dc c e f f i c i e n t s , i ti n sb e e ng i v e nt h a tt h e r e e x i s tt h en e c e s s a r ya n ds l l f f i c i e n tc 。i 诏i t i o n so ft h em i f o n n l ym i n i n n r i s ku n b i a s e s t i m a t o r sa n dt h eu n i f o r m l ym i r l i l i i x f lr i s k e q u i v a r i a n t ( e s t i m a t o r so fr e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t sr u d e ra na t f i n e 目甲o ft r a n s f o r m a t i o n s ，a n dt h en e c e s s 拼fa n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s o ft h e 啪e s t i m a t o r su n d e rat r a n s i t i v eg r o u po ft r a n s f o r m a t i o n s r e s p e c t i v e l y a d 1 1 i s s i b i l i t yi sd e r i v e df o rt h eg e n e r a ll e a s ts q u a r e 衄5 ) e s t i m a t o r so fr e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t s l i n e a rm i x e dm t e l sa r e h r d o r t a n ti nt h ef i e l d so fe o 啊1 1 1 i ca n a l y s i s , r e l i a b i l i t ys i n g u l a r a n a l y s i sa n db i o l o g ye t c i ti sv e r yn e c e s s a r ya n ds i g n i f i c a n tt o r e s e a r c ht h em d e l ，w h e t h e rf m n t h e o r yo ra l i c a t i o r l k e 姗d s ：s p e c t r a l 蛔r p 0 s i t i o n ，m i x e dc o e f f i c i e n t sl i n e a r d d e l l i n e a rm i x e dr i d d e l a 血i s s i b i l i t y 引言 线性统计模型是一类很重要的传统的统计模型，它包括了线性 回归模型、方差分析模型等应用十分广泛的许多模型，同时线性模 型的理论和方法也是学习和研究其它统计方法的基础因此，有关 传统的统计模型的一些较为经典的内容，在一般数理统计教科书中 都有不同程度的介绍近几十年来，特别是六十年代以来，线性模 型理论无论在广度和深度上都有不少新发展，像大样本理论、可容 许的线性与二次型估计、非参数和r o b u s t 估计、序贯和p a y e s 方法 以及自变量也带随机误差的所谓“卧r d ri nv a r i a b l e s ”模型等等 这些发展大都有实用上的意义：有的改进了传统的估计方法而提供 了较好的估计，有的扩大了模型的应用范围，有的在误差的正态性 不成立的情况下提供了可用的大样本检验和区间估计等另一些发 展的主要意义则在于纯理论方面，它加深了我们对这个重要模型的 性质的认识本文主要是针对线性模型里的两类特殊的线性模型一 一线性混合模型与混合系数线性模型进行讨论 线性混合模型是既包含固定效应又包含随机效应的一类线性模 型。近2 0 年来，线性混合模型在生物、医学、经济、金融、环境科 学及工程技术领域得到了愈来愈广泛的应用【1 ，2 】，因此关于这种模 型的研究颇受统计学家的重视在许多方面获得了重要的进展卜s ， 在线性混合模型参数估计中，方差分量的估计是最丰富多彩的一 个篇章自a i r y 最早的研究至今，统计学家们提出了很多种估计， 归纳起来分为如下6 类：方差分析估计( a n a l y s i so fv a r i a n c e f e s t i m a t e ，简记为删，极大似然估计珏纽血皿l i k e l i h o o de s t i m a t e ，简 记为e ) ，限制极大似然估计( r e s t r i c t e d 崛简记为黜圆，最小范 数估计( 包括最小范数二次无偏估计，即佃姗：最小方差二次无偏 估计，即m v q j e ：最小均方误差二次无偏估计，即加躐班等一批根据 估计具有不同性质而命名的估计) ，分散一均值模型方法( d i s p e r s i o n f f p 2 i nm z d s l ) 等，这些估计各有优缺点，近年来研究工作多集中在具 体算法上 线性混合模型的般形式是【6 1 ： y = x 8 + z “+ e 这里y 是”1 观测向量，芦是p 1 非随机的未知参数向量，称 为固定效应x 和z 是分别为”p 和”q 已知设计矩阵* h e 分别 为q l 利”x1 随机向量，称为随机效应，e 为通常的误差一般 假设e ( ) = 0 ，e ( p ) = 0 ，脚和p 互不相关且它们协方差阵为 c o v ( 口) = 盯2 g，c o y ( e ) = 盯2 r 这里g 和r 为已知或未知正定阵这在线性混合模型理论的新发展 i 6 l 中有介绍 在线性混合模型参数的一种新估计中，王松桂只就g 和r 为 单位矩阵的特殊情形进行了讨论本文第一章将在王松桂对随机效 应为一般多向分类平衡数据模型的基础上，对g 和r 为已知正定对 称阵时做进一步的研究，与 7 相比，解决的问题应用范围更广 泛第一章第一节介绍模型，第二节给出了参数的谱分解估计，第 三节讨论了谱分解估计的统计性质，最后一节将给出在实际理论应 用中的一些问题，并给出了g r 未知时，在a r ( i ) 线性混合模型中 的一种方差参数估计方法， 4 = 0 年代末期，a w a l d 创建了统计判决理论这个理论对现代统 计的发展产生了重大的影响，极大地丰富和发展了统计推断理论， 并由此产生了许多新的研究方向，可容许性理论就是其中之可 容许性是我们对所采取的判决函数最起码的要求1 9 5 6 年，s t e i n 给 出了个著名结果，对于正态回归模型，当维数m 3 时，其回归 系数的最优同变估计是不可容许的这个结果给了人们极大的震 动从而可容许性问题引起了统计学家的普遍关注在本文第三章 中，也对回归系数的可容许性作了一点探讨 混合系数线性模型的结构和性质( 见文 8 ，9 ) 与一般的线性模 型及完全随机系数的线性模型( 见文 1 。 1 1 ) 有很大的差异，而在 实际问题中又有着广泛的应用前景，如经济分析、可靠性退化分析 以及生物学等领域因此，对该模型的研究无论从理论上还是从应 用角度都是十分重要和必要的 庄东辰 8 、刘小茂 9 只讨论了混合系数线性模型中参数的 i s 估计0 = ( c7 c ) 。c7 z ，对参数的广义最d , - - 乘衄s ) 估计a ，的 瑚也、刚和可容许性都未做讨论吴启光 1 2 讨论了一类正态线 性模型中参数的瑚陋估计的存在性，而对混合系数线性模型未予讨 论本文第二章将在他们的基础上，从统计决策理论观点研究参数 的估计第一节引入了模型，第二节建立了d 的g l s 估计 i c i 。= ( c 7 d 1 c ) 一1 c 1d z 的可容许性第三节和第四节分别给出r 存 在d 的一致最小风险无偏估计和在仿射变换群下、平移群下 存在一致最小风险同变) 估计的充要条件 下面是在本文中要用到的一些记号： 0 = 臼0 0o o 0 0 00 1 ： 8 l 】1 0 臼， 0 0o o o o0 1 ： 1 11 0 ， 叩o o0 0 t o oo l 挣l ll n 叼】i1 1 这里8 ， ，k 既表示k 维向量 k m o o k 0 0 叭 籍l ii o k l l 0 = ( ( 9 - ? ，口；) 7，= ( 1 ，女) 。，旯= ( 叩1 ，r - ，7 女) 7 ， k = ( k 1 ，k 。y ，又表示2 9 维向量，由上下文不致引起混淆在本 文中，z 维向量的一些分量为盯? ，7 ，：，k 其他都为零，并且“o ” 表示k r o n e c k e r 乘积，f 表示a 的任一广义逆 若矩阵为a 记它的特征值为五( 爿) ，我们始终记”= 琏+ 第二_ 尊具有导韧磋的线陆盛韩楚垫粼锨翰解崮汁 第一节模型介绍 线性混合模型的一般形式是【6 】： y = x p + z i ? + e ( 1 ) 这里y 是一1 观测向量，p 是p 1 非随机的未知参数向量，称 为固定效应x 和z 是分别为n p 和”q 已知设计矩阵* h e 分别 为口。1 和。1 随机向量，称为随机效应，e 为通常的误差一般 假l ：l , ，e ( ) ：0 ，e ( e ) = 0 ，脚e 互不相关且它们协方差阵为 c o v ( ) = 盯2 g ，c o y ( e ) = o 2 r ( 2 ) 这里g 和r 为已知或未知正定阵 第二节谱分解估计 如果模型( 1 ) 的随机部分和+ e 可分解为 和+ 口= u l 善+ + u 。氢，那么我们就考虑一般线性混合模型： y = 支+ u 1 告1 + + u 女， ( 3 ) y 为。1 观测向量，x 为”q 设计阵，r a 血= r q ，卢为固定效应， u 为订q ，的已知设计阵特别地，u 。= ，。， ，是叮，1 互不相关 的随机效应向量，其中邑= s 为随机误差向量假定 e ( 。) = 0 ，c o v ( ，) = 盯? ，( i = 1 、，k ) ，e o v ( ， ，) = 0 ，( i ，) ， 0 = ( o ? ，盯；) 。为方差分量记 矿( 目) = c o y ( y ) = a ? u 。u ? ，( 4 ) 1 2 l 盯 卧b 广嚣- “ 叫j 掣“ ，：f 1 ，= 1 ，o ，旒旷一，p r0 。0 0o o 0 00 01 i ol o q qo l o i ，n ， l k = l 。1 0 e i 。o j 。： 0 0 【0 ll ，o o i ，。k 。 以下我们求解矿( 口) 的特征值 引理2 2 1 设s p e c 爿= ，d 。 ，s p e c b = h i , - - , b 。 ，则： s p e c ( a o b ) = 慨b ，p = 1 ，m ；j = 1 ，n ) 若记 贝l j s p e c ( aqb ) = s p e c ( 1 。o 九) 引理2 2 2 1 设爿，表示”，阶方阵，其特征值 ，记b = 口，( _ o o 名p ，这里，f = ( ，i ) 为p 1 向量，其元索只取o ，1 两个值求和上限1 1 1 1 表示 i ，、= i 。一一i 、= m ，则方阵b 的特征根有如下的线性函数形式： j if 兄，= 只( x 忙0，；l 这里x ，取值为x 。，x 。 引理2 2 3 m 1v ( 的2 ，个( 可能) 的特征根可表为 且分量a ，的重数m ，= n 2 ，( n ，一1 ) ”，r ，= o 或1 ，r ：1 ，p 引理2 24 1v ( 的谱分解为 ( 6 ) 这里i 的定义同( 6 ) 式，将2 一个彤按下标的二进制次序排成向 量形式，记为瞰则有 定理z z l 爿= j z j ：f 的特征值可表示为 兀( n r ) ( 心“。o 硝1 ) ， 当( ，) 。，( r = 1 ，p ) 不全为i 时，特征值含有o j 且0 的重数为 兀( q ) “- i 证明：我们容易算出以。的特征值为o ，n ，其中。是。一1 重特 征值，嚣是重特征值对，矩阵，存在正交阵q 使得 a ，= q ? ，q ，= d i a g ( 2 m ，丑“) 记 s p e c ( z ) 2 d i a g ( a ，九) 鳃，s p e c ( 女) = d i a g ( 2 州，) 笪。 定义 铷协i p 我们用不完全归纳法，当i = ( o ，q ，o ，o ) 时，有 4 0 0 o 。= 。o o 。，其谱为 ，7 0 0 o o = 印p c ( 0 0 0 o o a o o o o ) = s p e c ( o 。o 。( 五固 a ) ) ： 当i = ( 0 ，。，o 1 ) 时，有 a d oo = 。0 lo o 。园j 。，其谱为 ( p 一 ) 个n 。1 个 s p e c ( o o 。a 。一= 矿s p e c ( 0 0 0 , 0 1 f | ( 石了面i ) ) ；瓦卸) t 1 我们不断重复进行下去，就可得到 4 ，= o ，：f ，其谱为 为”，不为1 的个数【，= o ，p 1 ) ，只表示臼向量中的某个元素 由定理2 2 1 ，我们得到矿( 臼) 的特征向量： 兄= q o oo o 叩o o0 1 0 0 0 0 0 7 ，o 1 1 0 00 0 + 0 0 0 o l ”1 ( a m ， 并记霉为2 r 2 ，阶矩阵 a q 。 o 旯，) ( 8 ) 定理2 幺2 设矿( 臼) 的特征值为 ，则 = t 臼其中元 的表达形式为： 生 。 五。0 型尘 圆旯。，”i ( 丑， 丑，) 兄。o 。n 。( 。 九。，。) 0 o 0 o o 0 竺：f ! ! ( i ”) n o 丑q ，0 o 旯。 o 。 ”i ( q 。o 丑。) ( ”l h ) q + o g ( h p ，) 证明：因为霉为2 ”x 2 一阶矩阵，丑h ( 2 一1 ) 向量，p 为( 2r 。j ) 向量由引理2 幺3 ，我们知a = 元日而a 我们由( 8 ) 已知，故可得 定理结论。一 其甓万羔 一 渤 ，兀h 啦跏跏 ，月 p q ( ， 水只 研m + 叭玎 7d v 节 因为拶向量的一些分量为0 ，我们通过计算可知，a 向量中对应 的一些分量是相同的在a 中，我们将相同元素压缩后，就得到了 “阶向量矩阵，相对应地，也可以找到霉为一( ) 阶矩阵 同样，我们将二迸制表示与通常表示在艺上边得到了统一形式，即 z 即表示女k 维矩阵，又表示2 一2 一维矩阵 现在讨论谱分解估计方法，对( 3 ) 的协方差阵( 臼) 作谱分解 矿( 口) ：麦_ ，只，p 为投影算子，满足： 1 ) 幂等尸：p2 ) 正交p 尸，= 0 ，i j 3 ) 窆f = 4 ) p f = f 若i 硪则用尸左乘( 3 ) ，记y = p y ，x ，= f x ，g ，= p j ，则 得到变换后新模型 y = x ，卢+ 5 ，e ( s ，) = 0 ，c o v ( s ，) = 1 , p ( 9 ) 由最小二乘理论1 可知： 矿k ( 只x ) 一x ，# y ，i = 1 ，k ，称”为芦的谱分解估计进 步，可以得到矸，估计， y r p i i p l x0 x l8 x ) 。x 1p i 、p j y r a n k ( p ) 一r a n k ( 只x ) ( 酗 由定理2 2 2 知：碱6 ，旯为窖维向量，将谚代入五中对应分 量，记为丑+ ，则：z = 丘口，因为霉可逆，于是这个方程组有唯一解 口+ = 元。，称矿为方差分量的谱分解估计 若1 1 k 只要用尼个特征值即可估计出目计算方法同上， 下面我们探讨谱分解估计的统计性质 第三节谱分解估计的统计性质 定理2 3 1 若随机效应向量善，n 。( o ，盯? ，) ( 扛1 ，) 则 ( 1 ) 挚叫 ( 2 ) 谚与c 声“”( i = i ，k ) 相互独立， 证明： ( 1 ) 因为 ，。( o ，口? ，) ，所以古髻i l 亭，z i ( 见 1 7 , p 2 2 ) 删 用；来替代毒，则有：学、2 ( 2 ) 因为r s s 与卢“相互独立，所以岛与卢”也相互独立，于是玎 与c 7 p ”“( i = l ，姑相互独立( 见 1 7 ，p 3 7 ) 我们有了统计量瓒的分布，则我们就可以对它作区问估计来改 进它的精度 第四节实例 1 具有一阶自回归误差2 。t j 的线性混合模型的谱分解估计 我们沿用( 3 ) ， ，= 坳+ ，f ，十十乩彘， e ( ；) = 0 ，c o v ( 4 ，) = 仃? 其中7 。， ( i ) 1 1 一妒j p 。已生时 s p e c ( 0 ，a ，) = r l 兀( q l 。1 个 0 ，一，0 巧t i 西。，(三i f y q 一2 f 妒，妒? 1 妒， 彤。 = s p e c ( o 。丌帆) 。 ( j 屯，p _ 1 ) ；引 一j 2 ) ，由定理2 2 1 可知， ! ! ：出： 甜+ 当然我们可以对( 1 2 ) 式中砚继续化简因为里面含有很多相同 元素，我们不妨将其压缩成一个新矩阵，我们记为： 由定理2 2 2 得霉的表达形式： n n j 叫 l j ， ， 0 + 0 叶 ，臼 = ) 目 ( 矿为医 妒 妒 ， 一 一 ，。，。，l + i 0y 0 蝣 不妨令 q ，= 蟮 则曩 对y 作谱分解 n 1 ，盆_ 0 码，一 i p 1 月i 中h 得到口 000 00 o ( 1 4 ) ，中，= y ：一，f，! 妒? 1 = 。，一，p 。 l，i l ( 1 一妒j ) r7 ( ”1 ”j ) 中h ( 月1 ”，) m h o0 i ( n 。”i ) 的谱分解估计卢”，由口+ = t 叫就可以 求出目的谱分解估计 ( i i ) p ，未知时，对p ，作估t 首先对模型( 3 ) 做最小二乘估计，求出估计面不妨令 2 2 叩，两 一 ， 、 、ll；ll，ll10、ll， 。卅：神，卅：砷 ， ， 嵋 蝠 。啊毋 一 ， p 蛇y 。却 ， 、 ，妒 o 0 o o o 0 o o 吼；吼吼 = u 善+ + u 女彘，再令善。= y 。一( x 声) ，r = 1 ，q ，则： ，旷上妻z qj f = 1专篓毒s i 于是得到妒的估计量： i = 1 ，k 于是再对进行计算，计算同( i ) 2 半相依线性i 7p 2 d 7 2 2 0 混合模型的谱分解估计 这里只讨论具有一个随机效应和一个随机误差的情形，多种随 机效应的情形类推即可，这里不在赘述 y = 印+ 增+ p ( 1 6 ) 其中e 眚= 0 ，c o x , , 善= 盯? ( l 圆i i ) ：e e = 0 ，c o y ( e ) = 盯；( 20 1 2 ) ， e i , e ：对称正定，且分别为q ，q h 和q ：q ：阶： ，e 的效应水平分别为 h i ，n 2 - 矿( 臼) = 仃? u ( o i t ) u7 + 仃；( 2 圆12 ) ( 1 7 ) 记方差分量目= ( 盯；，0 ，盯，o ) 7 ，那么y 也可写成： 1 矿( 口) = 鼠 ，i ( ， ，) ”1o j 土( ，圆，) ” f = o = 0 0 0 【( 0 0 固i o o ) 圆( 芑。0o i o o ) 】+ 吼t 【( o lo 1 0 1 ) j 。：】+ 目l o 1 ，。圆( i o i l o ) i + 目1 1 ，no j 。：】 = 盯； ( 。，o ，。) o ( 。 l q , ) 】+ 盯? o ( 。：o ，。：) 】( 1 8 ) 于是我们可以求出 0 n 2 九 n 2 a m 玎2 五。 0 0 行l a q 2 n ：。曼1 ( 1 9 ) 由丑：曩臼，可估计出口= z 又由( 1 7 ) 式我们可求得只，过程如 下： = c 00 k 2 九、0 n 2 a m ” ： ”2 ”1 2 d ；( 丑。o a ) f ；。圆2 q , 仃；( “圆 q ) + 盯h a q ： 盯；( 九o 丑。) + d 知。a 。! ，7 1 = 盯；( 五 a ) ，7 2 = 盯；( 丑呐d a ) + 仃? n , 2 q 代入，礓的值可以求得： y ( 口) = 玎l e + 叩：p 2 只= o a ) i x 2o 2 ( 。o 。) 砭 代入( 1 0 ) 式，即可求得7 7 j ( f _ 1 , 2 ) 确定了而卢j _ ( x p x ) 。1 x7 p , y 也 ( 2 0 ) 又由( 1 7 ) 知： ( 2 1 ) u ( ， 即u 。】 所以方差分量目的估计也唯 由已求得的p 确定了下来 由定理23 1 ，我们得到它的统计性质： 如以兀丸 o o p o 扎如以 ，。l = 疋 、， 霹。卉0 ，。，l 、，0， o o o 以孙兀以 q p 0 以如兀以 ，。，。 = 臼 疋 u0u 笠m 一一 r 占舌7 揩z i 叩l 由此我们可以求得仃j2 ，仃：2 的区间估计 瓣混合系数线憎捌中参数尚帕勺_ 趔笪圣澡 般地，混合系数的线性模型有以下形式 z ( f ) = n ( f ) 7 口+ 【y ( f ) 7 卢，( 囫 其中：x ( r ) = ( 一( 啊一，x ，( r ) ) 7 ，y ( f ) = ( y l ( f ) ，y 。( f ) ) 7 ， x ，( f ) ，x 。( r ) ，y ，( f ) ，y 。( f ) 都是f 的已知函数，a 是p 1 的固定系数 向量，卢是qx l 的随机系数向量，且e ( ) = b , c o v ( f 1 ) = 现对m 个样品分别在，。 0 已知则a y 口的充要条件为：x a v 对称，x a 的特征根全在 ( o 1 内，且等于l 的至多只有两个 引理2 2 1 的证明可参见 1 8 的第2 0 6 页定理4 1 0 的证明 1 l l a 。= ( x ? d , 一2 q ，d 一2 x ) 一x ，d , 2 q ，z 如= ( p d - s f d t i e ) 一r d , - j p , z 则 c o v ( a m ) = ( ? d i jq l d j j x 。) x 。d , - j q 。( r r7 + 盯2 ，。) q 。d _ 爿j ( j d , - j q 。d j j x ，) p n l i 2 p n l = p d j 阳h 岬 i i 如 设2趣定 有 盯2 ( x j d j jq j d , - j x ，) 一 ( 3 1 ) c 。v ( e 。) = ( r 7 | d ，一；只d j ；z ) 1 r ，d i f r f ，f d j ；r ( r r d i f d i ；f ) 一，+ 仃：( r ，d ，一；p d j ；f ) ( 3 2 ) 证明：因为毛的正规方程：【c ? j 9 i c ，) i 。：c ? d - ，。，写成如下 形式： ( 主；善 j ( 。i ；x ，。i r 。m = 。( x r ：j i 。d i - 、l z x ，, 参i 筹孑 ( ；：) = ( f 。d j , - i 5 刁 j x j d , - i x j a 。+ x t d 。= x | d f 7 z t iy 3 d x 舀。+ 妒珥1 r 5 。= f 茸j z ， 通过解方程得到自。6 。，再利用投影阵p 和q 的性质，以及 c o v ( z ，) = f 一7 + 驴2 ，。，贝u 可得至u ( 3 1 ) 和( 3 2 ) _ 定理3 z2 在二次损失和矩阵损失下，和0 2 已知 时，a 是优于0v , j 证明：我们不妨证在( 2 7 ) 下，之是优于0 的在情况下可 类似证明 e ( 毒一) 7 ( 0 一d ) = f r 【( c7 c ) c 7z d 】【( c 7 c ) 一1 c7 z d 】7 = t r ( c 7 c ) “c d c ( c 7 c 1 1 又e 护( 0 。- d ) ( d 。一d ) 7 = e t ， ( c7 d 一1 c ) 一1 c7 d - l e 】【( c7 d 一1 c ) 一c 7 d - l e 7 = t r ( c d 。c ) 。1 故_ 有f r ( 0 一c f ) ( 0 一d ) 7 一e 打( 0 。一d ) ( 0 旷科 = ( c7 c ) 一1 c 7 d j ( ，一d i c ( c7 d 一c ) 1 c7 d j ) d j c ( c 7 c ) 一1 】0 一 下面我们继续讨论五在一般估计类中的可容许性 定理3 2 3z u ( c d ，d ) ，d 0 已知，d 的维数 ( p + q ) 2 ，r ( c ) = p + q ，则( i 。= ( c 7 d + 1 c ) 1 c 7 d z 是d 的容许估 计 证明：因为z n ( c d ，d ) ，c 为n ( _ 7 ，十9 ) 阶阵，d 0 已 矢口，d i m ( p + g ) 2 ，i 而i c ( c 7 d 一c ) 1 cr d d = c ( c7 d 一1 c ) 一1 c 7 对称 下面考察c ( c 7 d “c ) 。1 c 7d 因为 五f c ( c7 d 一1 c ) 一c7 d 一1 = a i d j c ( c 7 d 一1 c ) 一c7 d j 】 矩阵d t c ( c 7 d 一1 c ) 一1cr d i 显然对称且幂等，不妨令 p = d 一5 c ( c 7d 一1 c ) 一1c7 d j ，) h 则丑( | p ) 只能为0 或l ，而，( c ) = p 十q 2 ，所以r ( d i c ) 2 ， d ! f j r ( p ，) 2 ，故c ( c7 d 。c ) 一t c7 d 一1 的特征根中，至多只有两个为 d 二( 1 ，由引理2 2 1 即得如是d 的容许估计 第三节u m r u 估计的存在性 引理3 & 1 设c ，c ：，c 。和c = ( c l ，c 如中所示，则 当m q 有，( c ? ，口c ；) d 一- 2 ( 。一p ! ) = 0 ， d2 f ( i i ) 存在一个不等于1 的正常数岛使得( 3 固式成立， ( i i i ) 吼( c j ) n 吼( c ；) = o ) ， 这里贸( a ) 表示由矩阵a 的列张成的线性空间 0 是仅含 p + q 维向量的集合 ( i v ) c ( c7 d - 1 c ) 。1 c ；= 0 ( 3 5 ) 证明：显然，命题( j ) j 命题( i i ) 在下面，符号表示彼此等 价现证( f f ) 舒( i i i ) ( 吣易知( i i ) 铮 c ? d i l c 一c ? d i l c ( c7 d c ) 叫c j d c 一d c ；d i l c ：( c 。d c ) _ 1 c i d i l c = o ，出 i a c ；d j 。c ，n c ；d i 。c ，( c 7 d 。1 c ) 一1 c ；d ；1 c ：一c ? d i c 。( c7 d 一1 c ) t c ；d ；，c ：= 0 j o 因为c j d i c 。0k c ；d ；c ：0 ，所以存在阶为( p + q ) 的非奇 矩阵爿，使得： qd - ，1 c ，= a d i a g ( 2 ”，兄肿川) 此处，五。0 ，( f ：1 ，p + g ，：1 ，2 ) ， 因此( 3 6 ) 旯 = 0 ，i = 1 ，p 十q 又因为贸( c ；) = 瓣( c ；d ) = 嗷( c j d j l c ，) = 9 1 ( a d i a g ( z j 一，a 。) ) ，所 以( 3 7 ) 甘( 3 4 ) 显然， ( 3 7 ) c ? d f l c 、( c7 d - 1 c ) _ 1 c ：d ；1 c ，= 0 舒c ( c7 d 一1 c ) 一c ；= 0 这就证明了( f f ) 铮( i i i ) ( f v ) 最后证明( j v ) 等( f ) ，由有： c id i ； ，。一d i ；c 。( c 7 d 一1 c ) 一，c ? d _ i = c ? d i 一( c ? d i7 c 。十c ；d ；c ：) ( c d 一1 c ) = c ? d i 一c ? d j ：0 同理可得：c ；d 【，。一珥；c ：( c7 d + 1 c ) 一1 q 珥：i _ 0 因此对每个常数a 有，扛l n c ；) d i ( 卜p ! ) ：0 ，即( i ) 式成 f j “ 立一 引理3 & 2 假定婀( c i ) n 孵( c ；) ： o ) ( 等价地 c ，( c d “c ) 。c j = 0 ) ，且模型中，仃已知，则在任何凸损失函 数l ( d ，d ) ( 即( d ，d ，) 是d 的凸函数) 下， 0 。= ( c7 d 一c ) 。1 c7 d z 是d 的l 删估计。 证明：由引理3 3 - 1 有： a7 c 7 ( h h 7 ：。2 l “k 巧o + 。：，。 7 = = d 7 c 7 ( 一f ：。2 ，“匕e0 + 。：，。 1 c j 。 = c t 、 其中，a = c y , z r + 盯2 7 匕坷0 + 。：，。 c 蠢 因为z 、n ( c d ，d ) ，所以z 的密度函数可写成： ( 2 牙) 2 1 剐一je x p 一去( z ) 7d 。( 。一c 矗) ) = ( 2 _ ，) 一j 【兀( 7 + 仃2 ，。) 】一je 。p ( 一 ) = j ( r r 7 + 仃2 ，。) 。：。 一i d7 匹2c ? ( r + o - 2 r ，) 一1 f ， d + c t7 拍 密度族是参数指数族，参数为口显然密度族的自然参数空间 是m 一因此磊是完全充分统计量又之是d 的无偏估计，所以存 任何凸损失函数下，乏是d 的u 删估计一 定理& & 1 在模型下，下述四个论断是等价的： ( i )在二次损失下，存在d 的嘲估计： ( i i )在矩阵损失下，存在d 的估计： ( i i i ) 暇( c ? ) n 职( c ；) = o ( 等价地c 。( c 7 d 一1 c ) 一c ；= 0 ) ： ( i v ) 已知，在任何凸损失函数l ( d ，d 。，d ) ( 即( d ，仃。，d ，) 是d 的凸函数) 下，如是d 的剐估计 证明：因为之是d 的无偏估计，且在二次损失c 2 7 ) 下其风险函 数有限，所以当在) 下存在d 的剐估计时，这个l 删估计的风 险函数也有限因此( f ) 铮( f f ) 现证( f ) ( i i i ) ，设在损失函数仨功下存在d 的t c r u 估计由定 理3 2 3 知是删估计假设( i i i ) 不成立，由引理3 3 1 ，存在 正常数a 使得c 7 d 一；( ，。一p i ) 0 考虑d 的另一无偏估 计，瓦= ( c r 珥i c c ，。i k ，其中见= ( n 口。：) 若 z n ( 0 ，d 。) ，则： 研( ( i ，- d ) 7 ( c i 。一d ) 一( 瓦一( z l d ) 】 = 护 ( c7 d 一1 c ) 一1 c7 d 一1 d j ，一d ：c ( c 7 d 2 1 c ) 一1 c7 d ：i 】d i d 一1 c ( c7 d 一1 c ) 一t ) 0 等号成立( c d + 1 c ) 一1c 7 d 一1 d ； ，一d 2 c ( c 7 d 2 1 c ) 一1 c ，珥 - 0 铮j p 。! d i c = d - i c 曹c7 d j ( ，一j p ) = 0 d2 ( ，】2 f 由假设可知，( 3 9 ) 0 ，这与五是嘲估计矛盾故 ( 0j ( i i i ) 下证( 打i ) j ( 如) ，设q 是d 的无偏估计，由引理3 3 2 知，对 给定的西有， r ( d ，盯。，0 。) r ( d ，盯。，d ( z ) ) ， 这里月( d ，c r o ，无) 年f j r ( d ，仃。，d 。( z ) ) 分别是