（应用数学专业论文）弹性杆动力学模型及其数值方法.pdf

摘要 弹性杆是一种广泛应用的工程模型，许多科学和工程系统，像海底电缆、纤维、 d n a 大分子等都可以模型化为弹性杆讨论。许多作者基于不同的假设建立了相应的 模型，如基于k i r c h h o f f 假设的动力学模型和在更一般情况下的s m k 方程等。近年 来也出现了针对弹性杆模型的数值方法的研究。本文讨论弹性杆的数学建模和相应 的数值仿真算法，主要工作包括 ( 1 ) 针对综合考虑弹性杆的剪切、拉伸、扭曲形变和受外力、外力矩的一般情况， 建立弹性杆的动力学模型。在建模过程中，通过建立不同于截面主轴坐标系 ( q ，乞，吃) 的局部非正交坐标系( ，吒，以) 。使得相关的动力学关系得到较好的表示， 在此局部坐标系下推导出弹性杆在外力、内力和弹性力综合作用下的运动平衡方程 组。与s m k 方程和k i r c h h o f f 弹性杆平衡方程比较，这一动力学模型更具有一般性。 考虑到数值计算和初边值条件的确定的方便性，还给出了相应的二阶平衡方程组。 ( 2 ) 针对所导出的非线性动力学方程组，采用有限元方法导出半离散格式和相应 的刚度矩阵。由于方程组对应的刚度矩阵是三维的，不利于半离散方程组的求解。 利用m a t l a b 软件对二维数组可以利用向量和矩阵两种形式表示的特点，把半离散方 程组表示为矩阵微分方程的形式，大大简化了计算。 关键词：弹性杆动力学模型局部仿射坐标系偏微分代数方程有限元方 法 a b s t r a c t a ne l a s t i cr o di sa l li m p o r t a n tm o d e lw i d e l yu s e di ns c i e n c ea n de n g i n e e rs t u d i e s m a n ys y s t e m s ，s u c ha su n d e r s e ac a b a l s ，f i b e r sa n dd n a ，c a nb em o d e l e da se l a s t i cr o d s t h e r eh a v eb e e nm a n yi m p o r t a n tm o d e l sb ec o n s t r u c t e d ，s u c ha sk i r c h h o 行e q u a t i o n sa n d s m km o d e l s n u m e r i c a la p p r o a c h e sf o rs i m u l a t i n gt h e ma r ea l s of o u n di nr e c e n ty e a r s m o d e l i n ga n dn u m e r i c a lm e t h o d sa r ed i s c u s s e di nt h i sp a p e r t h em a i nr e s u l t si n c l u d e ： ( 1 ) am a t h e m a t i c a lm o d e li sg i v e n ，w h i c hi sb a s e do nm o r eg e n e r a lc o n d i t i o n ss u c h a st h er o de x p e r i e n c e sb e n d ，t w i s t ，s h e a r , e x t e n s i o n ，e x t e r n a lf o r c ea n de x t e r n a lm o m e n t n o n 。o r t h o g o n a ll o c a lc o o r d i n a t es y s t e m ( d l ，d2 ，d 3 、l ，w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h ec r o s s s e c t i o nc o o r d i n a t ef r a m e s ( e l ，e 2 ，岛) ，i sc o n s t r u c t e d i nt h el o c a ls y s t e m ，t h er e l a t i o n s h i p s o fr e l a t e dv a r i a b l e si nd y n a m i cr o ds u c ha sb e n d ，t w i s t ，s h e a be x t e n s i o na n de x t e r n a lf o r c e c a nb er e p r e s e n t e dw e l l ；t h eb a l a n c ee q u a t i o n sb a s e do nt h ec r o s ss e c t i o nc o o r d i n a t e f r a m ea r ed e r i v e d c o m p a r e dw i t ht h ek i r c h h o f fe q u a t i o n sa n dt h es m ke q u a t i o n s ，t h e b a l a n c ee q u a t i o n sa r em o r eg e n e r a l c o n s i d e rh o wt om a k et h en u m e r i c a lc o m p u t a t i o n a n dt h es u r e n e s st h ei n i t i a lb o u n d a r yp r o b l e me a s i e r , s e c o n d o r d e rb a l a n c e e q u a t i o n sa r e g i v e n ( 2 ) u s i n gf i n i t ee l e m e n t sm e t h o d ，s e m i - d i s c r e t es c h e m ea n dt h er i g i dm a t r i xo ft h e e q u a t i o n sa r ed e r i v e d b e c a u s et h er i g i dm a t r i xi st h r e e d i m e n s i o n a l ，t h es e m i d i s c r e t e s c h e m eo ft h ee q u a t i o n si sn o te a s yt os o l v e t w o - d i m e n s i o n a lg r o u po fn u m b e r sc a nb e r e p r e s e n t e da sv e c t o ro rm a t r i xi nm a t l a b u s i n gt h i sf e a t u r e ，t h es e m i d i s c r e t es c h e m eo f t h ee q u a t i o n sc a nb er e p r e s e n t e da sm a t r i xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a n ds ot h a tt h ew o r ko f c o m p u t a t i o ni ss i m p l i f i e dal o t k e yw o r d s ：e l a s t i cr o d ；d y n a m i cm o d e l ；a f f i n el o c a l l yc o o r d i n a t es y s t e m ；p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；f i n i t ee l e m e n t sm e t h o d 青岛大学硕士学位论文 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文中 依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上 已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成 果。 本人如违反上述声明，愿意承担由此弓l 发的一切责任和后果。 论文作者签名：嚏美锅 日期：知；吁年年月2 分日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学校。 学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人离校 后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为 青岛大学。 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密 ( 请在以上方框内打“”) 论文作者签名： 联婚 日期：渺7 年年月涵日 辱师始：翅伽 因期：秒牟6 冈8 目 ( 本翩影觳栅南歙哮黼，来径许眄碰僻似径匈似撇自使用) 引言 引言 弹性杆是一种重要的力学模型，在科学研究和工程中都有广泛的应用。许多重 要的工程系统像海底电缆l i 】、钻杆、纤维和大分子如d n a 等，都可以模型化为弹性 杆讨论。弹性杆的研究又是一个古老的问题，其历史可追溯到1 7 3 0 年d a n i e lb e r n o u l l i 和e u l e r 关于弹性杆在外力和力矩作用下的变形等力学问题研究工作。在1 0 0 多年 来众多的工作中，1 8 5 9 年k i r c h h o f f 建立的弹性杆结构模型有重要的奠基性意义。 在这一工作中，k i r c h h o f f 根据弹性杆的平衡微分方程与经典力学中刚体定点转动微 分方程之间的相似性，提出了弹性杆平衡的动力学比拟理论【2 l 【3 1 。l o v e 在其弹性杆 著作中对此理论作了详尽的论述。 k i r c h h o f f 弹性杆的主要假设是刚性截面假设。这一假设下建立起来的弹性杆动 力学方程组简单实用而受到欢迎，成为描述细长弹性杆的主要模型之一。近3 0 年来， 随着弹性杆模型在生物工程等领域的大量应用，k i r c h h o f f 弹性杆的研究也有较人发 展，如w h i t e 4 ，f u l l e r 5 1 ，c r i c k l 6 和b e n h a n r l 8 】【9 】等对弹性杆空问几何结构的研究， b e n m a n 和l eb r e t 1 0 】建立的描述d n a 的k i r c h h o f f 模型，s h i 和h e a r s t 】【1 2 】【1 3 l 【1 4 】建 立的描述k i r c h h o f f 弹性杆的s c h r o d i n g e r 方程，以及近年来对弹性杆非圆截面、受 接触力等复杂情况的研究，弹性杆的平衡条件和在液体中的动力学描述等，发展了 k i r c h h o f f 弹性杆的理论和应用。 k i r c h h o f f 弹性杆假设忽略拉伸正应变和弯曲剪应变的作用，对许多问题的描述 有较大的偏差。比如，实验表明，d n a 在运动中出现明显的拉伸和剪切应变。作为 对k i r c h h o f f 弹性杆模型的改进，c o s s e r a t 考虑杆的轴向线应变和弯曲剪应变等因素， 建立了更精确的弹性杆平衡方程f 1 5 】f 1 6 】，自此之后，许多文献1 7 1 1 8 蛤出了c o s s e r a t 弹 性杆的不同表述。其中s m k 方程1 1 9 1 是一种重要的对称表述方法。 弹性杆的动力学方程组是非线性偏微分方程组，无法得到解析解。另外，许多 弹性杆模型，如细胞核中d n a 模型等，具有复杂的空间几何结构如缠绕、自接触 等，给数值计算提出了新的问题，推动了弹性杆数值分析方法的发展。首先，经典 的弹性杆模型通常利用e u l e r 角描述 2 0 1 ，由于e u l e r 角描述的平衡方程是强非线性的 并具有奇点，给数值计算带来凼难，因此近年来，利用四元数描述【2 0 1 【2 l 】的弹性杆模 型代替了e u l e r 角模型。另外，弹性杆模型是在牢间曲线上建立的局部坐标描述的 青岛大学硕士学位论文 偏微分方程组，因此，许多作者研究了相应的数值计算，如基于c o s s e r a t 弹性杆的 有限元方法【2 2 】【2 3 】，保结构算法【2 4 】【2 5 】和s h i ，h e a r s t 等最近提出的弹性杆的数值精确 算法等。 2 0 0 0 年以来，国内学者在这一研究领域做了许多工作。如受曲面约束弹性细杆 的平衡问剧2 6 1 ，超细长弹性杆的平衡稳定性等。刘延柱例等对d n a 弹性杆模型的 力学性质和稳定性作了深刻系统的研究，他们在弹性杆受到几何约束情况下建立弹 性杆的平衡方程，研究了弹性杆的动力学问题，推导出了曲率和挠率的动力学方程 及其哈密尔顿系统的静力学方程模型。这些重要的结果都是在以下假设下推出的： ( 1 ) 杆的长度和曲率半径远大于横截面的尺度；( 2 ) 横截面为刚性界面；( 3 ) 忽略 弯曲引起的剪切变形，横截面与中心线正交；( 4 ) 忽略中心线的拉伸变型，任意两 截面沿中心线的距离不变。在此假设下薛纭，刘延柱【2 7 1 给出了k i r c h h o f f 弹性杆分 析动力学的准坐标表达；赵维加，张光辉1 2 6 】给出了超细长弹性杆动力学仿真的曲面 处理算法。 本文综合考虑弹性杆的剪切、拉伸、扭曲形变和受外力、外力矩的般情况， 建立弹性杆的动力学模型和相应的数值方法。主要工作分为以下部分： ( 一) 引入剪切拉伸向量厂和非正交截面主轴坐标系( d ，d ：，心) 来描述弹性杆的 剪切、拉仲和扭曲形变，毋：此基础上建立弹性杆的动力学模型。考虑到理论分析和 数值计算两方面需要，模型分为两类： ( 1 ) 一阶对称模聱。模型是一阶偏微分方程组，方程纽具有对称结构，理论分析 比较方便，但由于作为我们研究的模型的实际背景d n a 模型通常是边值问 题，边界条件的确定比较困难，不利于数值计算。 ( 2 ) _ 阶非对称模型。模型是阶非对称偏微分方程组。相应的初边值条件可以 直接给出，数值离散也比较方便。而且由于向径，可以直接解出。不需要复 杂的转换计算。 ( 二) 针对文中导出的弹性杆模型，建立相应的数值分析方法。通过对弧长变量 作有限元离散，得出了相应的刚度矩阵。利用m a t l a b 软件对二维数组可以利用向量 和矩阵两种形式表示的特点，把半离散方程组表示为矩阵微分方程的形式，大大简 化了计算。 2 第一章预备知识 1 1 弹性杆相关知识1 2 0 i 第一章预备知识 f r e n e t 坐标系：讨论一长度为三的光滑空间曲线c 。选定曲线上的只点为原点， 在曲线无伸缩变形的条件下，建立沿曲线c 的弧坐标s 。曲线上任意点p 在曲线上 的位置由弧坐标j 确定。以空间中的固定点o 为原点，建立定参考坐标3 ( 0 - 勿f ) ， p 点在空间中的位置由相对固定点d 的矢径，确定，为弧坐标s 的单值连续可微函 数。矢量，( s ) 完全确定曲线c 的几何形状。计算矢量，( s ) 对s 的导数，记作r ( j ) r ( j ) = 车 ( 1 1 1 ) 吣 r 为沿曲线c 在p 点处切线方向的单位切线矢量。沿d r d , 方向的单位欠量称为曲 线c 在p 点处的法线矢量，记作( j ) 。定义以下矢量为曲线c 在户点处的副法线矢 量，记作b ( s ) 召( s ) = z ( s ) ( s ) ( 1 1 - 2 ) 矢量，丑，r 组成以p 为原点，依附于曲线的右手坐标系( p n b t ) ，称为曲 线的f r e n e t 坐标系。各坐标轴分别称为法线轴、副法线轴和切线轴，其基矢量 巳，e b ，巳分别与矢量n ，b ，丁相等。切线轴和法线轴张成的平面( 丁，) 称为曲线c 在 p 点处的密切平面，法线轴和副法线轴张成的平面( ，b ) 称为曲线c 在p 点处的法 平面。 曲杆的弯扭度：设杆中心线上的任意点p 的弧坐标有无限小增量厶时，截面产 生无限小转动a o ，则弯扭度q 定义为 口：i i m 竺( 3 ) 惯性坐标和局部坐标的转化关系：记 55aa 面面面瓦 分别是对惯性坐标系和局部坐标系下对弧长j 和时间，的导数。对任意向量a ，有如 下关系式成立 3 青岛大学硕士学位论文 弹性杆平衡方程：讨论一长度为三的细长弹性杆，( s ) 为弧坐标s 的连续函数， 杆的起始端和终止端分别记为只和罡。设p 为杆中心线上的任意点，为无限接近 的邻近点，p 和，点相对固定参考点0 的矢径分别为，和，+ ，相对只点的弧坐 标分别为j 和s + a s 。规定尸和点处外法线矢量与弧坐标增大方向一致的截面为正 截面，反之，外法线欠量与弧坐标减小方向一致的截面为负截面。考虑p p 7 微元弧 段内杆的平衡，设p 点的负截面受邻近截面作用的内力主矢和主矩为一f 和一m ， 点的正截面受邻近截面作用的内力主矢和主矩为( ，+ 心) 和( m + a m ) ( 图1 1 1 ) 。 在平衡状态下上述作用力对p 点简化的主矢和主矩必须为零。仅保留各增量的一阶 小量时，导出 a f = 0 ( 1 。1 - 5 ) a m + a r f = 0 将上式各项除以血，令厶寸0 ，且利用式( 1 。1 。i ) ，得到 i l m 竺：尘：r l 一= 一= l a s - - oa s d s 则从式( 1 1 5 ) 导出杆的平衡方程 堡：口 d s( 1 1 6 ) d m + t f ：口 d s f 厶f 图1 1 1 弹性杆微元弧段的平衡 4 4l 口 口 m e i + + 孤一斫妇一孤 = = 施一巩。抛一玉 第一章预备知识 将求导过程改为相对截面的主轴坐标系( p - x y z ) 进行， ( 1 1 - 4 ) ，方程( 1 1 6 ) 改写为 堡+ q ，：口 d s 了d m + 口m + 岛，：口 基矢量r 改记为岛，由 ( 1 1 - 7 ) 参考坐标系( p x y z ) 随截面沿弧坐标s 的转动而改变方位，上式中的波浪号表 示变量相对动坐标系( p x y z ) 的局部导数，忍为弯扭度。 弹性杆曲面微分方程：m ( o x y z ) 是惯性坐标系，弹性杆的轴心曲线为空间中 的2 阶以上的光滑曲线，= ，( s ) ，式中s 是弧长参数。在曲线上任一点p 建立曲线的 f r e n e t 坐标系( p n b t 】，其中三个基矢量，曰，r 定义与上同。记，曰，r 非别为 p j ，e 2 ，e j 。借助于k i r c h h o f f 的动力学比拟方法，把超细长弹性杆的表面看作是由一 条刚性封闭的平面曲线点集蜀沿着空间曲线，( s ) 移动和旋转得到。的旋转使得 其法线方向与r ( s ) 相切。按照k i r c h h o f f 圆截而弹性杆的假定，假设： ( 1 ) 杆的长度和曲率半径远大于横截面的尺度。 ( 2 ) 忽略弯曲引起的剪切变形和中心线的拉伸变形。 利用k i r c h h o f f 的比拟方法，将弹性杆曲面沿着弧坐标j 变化看作一条封闭的平 面刚性曲线随“时间j 运动。设x ( s ) 是k 在“时刻”s 的位置，它可以看作由 点集x 。运动得到的空间点集。把集合与某元素的差定义为集合中每个元素与该元素 差的集合，则 x ( s ) = q ( s ) ( x ( o ) 一，( o ) ) + ，( j ) ( 1 1 8 ) 其中x ( o ) = 蜀，q ( s ) 是由蜀- r ( 0 ) 所在平面到x ( s ) 一，( j ) 所在平面的旋转矩阵， e ( 0 1 - i 。由( 1 1 1 ) ，对式( 1 1 - 8 ) 中对s 微分得到 i d x = 警( x ( 。) 一，( 。) ) + r ( s ) ( 1 1 - 9 ) 其中q ( s ) 为两个旋转矩阵的乘积q = q ，幺，q ，是f r e n e t 坐标系的转动变换矩阵。幺 是绕切向量r 的旋转矩阵。形式分别为 q j ( j ) = ( 劬( s ) ) 缸3 ，幺( j ) = c o s 秒厶+ ( 1 一c o s e ) t t 7 + s i n 6 r f 其中，q , j ( s ) = e r ( o ) e ，( j ) ，( f ，- ，= 1 ，2 ，3 ) ，口为转动的角度，l 是三阶单位矩阵，记 青岛大学硕士学位论文 t = ( 互，互，互) 1 于= 雕卦 注意到q ( s ) 是正交矩阵，利用q r 左乘方程( 1 1 8 ) 得到 x ( o ) 一，( o ) = q ( s ) 7 ( x ( s ) - r ( s ) ) ( 1 1 1 0 ) ，( j ) 一，( o ) = r r ( f ) d f ( 1 1 11 ) 将式( 1 1 - l o ) 和式( i 1 - 11 ) 代入式( 1 - 1 - 9 ) 得到求解曲面点集x ( s ) 的微分方程初值问题 警= 警鲥一胁胁+ ，( 。) ) 州s ) ( 1 1 - 1 2 ) l x ( o ) - - x o 1 2 数值方法 设矿是可分的h i l b e r t 空间取有限维子空间晶为 晶= s p a n f a t ，仍，纵】 考虑近似变分方程：求纨晶满足 彳( 乒，l ，) = f ( 1 ，) ，v y s u ( 1 2 - 4 ) 这时，求解仍然化为求解一个线性方程纽。因为& 中的元素仍是通过 仍) 的 线性组合来表示的，可以设 ， 2 n = r 伤，l ，= q 够 ( 1 2 5 ) = i，= i 代入式( 1 2 4 ) 得 或者写成 nn ， 么( 纺，仍) e q 一f ( 钐) q = o ( 1 2 6 ) i = l i = 1 t = l 6 第一章预备知识 兰兰j = l 彳( 纺，仍) e 一，( 仍) 白= 。 c，2-7)i=11 f 彳( 纺，仍) e 一，( 仍) b = o ( 1 j 由y & 的任意性，即q ，乞，勺的任意性，可得出线性方程组 彳( 纺，纪) 0 = ，( 仍) ，( 1 f ) ( 1 2 8 ) 三次样条函数：三次样条函数的概念： 在区间【口，6 】上，给定疗+ 1 个互不相同的节点 a = x o 五 毛宝6 ( 1 2 - 9 ) 函数少= ，( x ) 在这些节点的值为厂( ) = 乃，i = o ，l ，。如果分段表示的函数 s ( x ) 满足下列条件 ( i ) s ( x ) 在予区间【薯，薯+ 。】上的表达式置( x ) 都是次数不超过3 的多项式； ( 2 ) s ( 玉) = 咒； ( 3 ) s ( x ) c 2 【口，b 】 则称y = 厂( x ) 为三次样条插值函数，简称为三次样条。 三次样条函数具有良好的数学性质，它是c 2 类函数，能满足工程设计关于光滑 性的要求，且不论型值点增加多少，在两个相邻节点之间均为分段3 次多项式。 7 青岛大学硕士学位论文 第二章弹性杆动力学模型 2 1 一阶动力学平衡方程 给定惯性坐标系( d 一勿f ) 中，把坐标轴分别记为，设弹性杆中心线 r ( s ，t ) 为弧坐标s 和时问t 的二元连续函数。记 55aa 磊瓦i 瓦 分别是对惯性坐标系和局部坐标系下对弧长s 和时间t 的导数。在时刻t ，任取两点 r ( s ，t ) ，r ( s + a s ，t ) 记为只，q ，在时间点f + & 时，对应两点r ( s ，t + a t ) ， r ( s + a s ，t + a t ) 记为p 、q 假设弹性杆不发生扭曲、剪切和拉伸形变时，则向量冠 平行与向量异q 。假设弹性杆尸、q 是发生扭曲、剪切和拉伸形变后的点，则可 以把昂q 到p 蚕可以看成儿个步骤，如图2 1 1 图2 1 1 假设截面是刚性的。先平移瓦孬到面，则 p q = p o p o = 纰= e 3 口a s 再把截面刚性旋转角p 得到新的坐标系记为e l , 岛，岛，使得硒旋转到砸。 ( 2 1 - 1 ) 第二章弹性杆动力学模型 尸q 2 = ( + 秒) 缸( 2 1 2 ) 由于截面刚性的假设，剪切应变只能发生在( 仍f ) 和( 参f ) 平面，相应平面的剪切量 分别记为岛，岛。拉伸只发生在f 轴，拉伸量记为，则有 百亘= ( ( 乞岛+ ，岛) 岛+ j 岛) 厶= ( q p ，+ 乞e 2 - 4 - s e ，) 厶( 2 1 3 ) 所以 冠= ，= 万丢+ 趸蚕= ( 岛巳+ e 2 e ：+ ( 1 + 岛) 岛) g( 2 1 - 4 ) 则 ( 喜) 。；刀，f ，= = c e l , e 2 , 1 + e 3 ，r c 2 - 一5 ， 记 j ：墼盟， 则得到f 描述了弹性杆的剪切拉伸，称为剪切拉伸变量。 设 7 = 掣，= t a r ( s , t ) 它们分别是速度和剪切拉伸变量。以，( s ，f ) 上任意一点p 为原点，在弹性杆的截面 卜建立截面主轴坐标系( p d ，d ：以) 作为局部坐标系1 1 3 1 ，与文献【2 0 】巾的局部坐标不 同，我们取一( s , t ) ，吒( j ，f ) 为位于弹性杆截而上的两个相互垂直的单位向量；在弹 性杆不发生拉伸变形的情况下，即当r l = ，2 = o ，3 = l 时，心( s ，t ) 为在点尸处，( j ，t ) 的单位切向量，其中，l ，厂2 ，3 是指，的3 个分量，下同。 记为角速度，q 为弯扭度，则有 誓以；誓一畋。 设为弹性杆的能量密度函数，则 p = 等，掰= 芸，= 蒡，膨= 誓 p 2 百肛面h 2 而朋。面 9 青岛大学硕士学位论文 分别为动量，角动量，内力和内力矩。将，分解为 它= t 七s 其中乞表不弹性杆的动能密度函数，鬈表不弹性势能密度函数，即 乞= 要【岛。y ) ，+ ，国】 乞= 吉 ( 厂一j 。) c ( ，一j 。) + ( q 一臼。) d ( q 一臼。) 其中如为线密度，为惯量矩阵，c 、d 为弹性常量矩阵，f 4 、口。分别为原始剪 切拉伸量和原始弯扭度。设弹性杆各向同性，此时c 、d 为对角阵，且 c = d i a g ( 4 ，蜀，c 1 ) ，d = 西昭( 4 ，垦，巴) ， 其中4 ，骂为截面绕哦轴和以轴的抗剪刚度，g 为截面绕以轴的抗拉刚度，4 ，垦为 截面绕d 。轴和d ：轴的抗弯刚度，q 为截面绕哝轴的抗扭刚度。所以有 = 三 几】，】，+ ，- ，缈+ ( 厂一，。) c ( j 一j 。) + ( q 一臼”) d - ( 口一口。) ( 2 1 6 ) 注意到 p = 成。】，肌= 勘，f = c ( f - f 。) ，m = d ( q q 。) ( 2 1 7 ) 在惯性坐标系( d 一勿f ) 中，利用连续性得到 豢：睾 ( 2 i - 8 ) a f 孤 7 方程( 2 1 8 ) 在截面主轴坐标系( p 一以吐以) 中的投影为【2 8 】 坚+ 缈j ：耋+ 口】， ( 2 1 - 9 ) o to s 。 另外在( d 一勿f ) 中，由于 5 2 以一5 2 d k m m3 t 3 s 利用国和口的定义得到 塑型：避型( 2 1 - 10)o td s l o 第二章弹性杆动力学模型 注意到在( 尸一d ，以以) 中，喀是坐标轴，当然此时喀是常向量，故在【p 一以吐以) 上 挚：o ，塑：o ( 2 1 - 1 1 ) o sd t 方程( 2 1 一l o ) 在( p - d ，畋以) 的投影为 警畋+ ( q 畋) = 等以+ q ( 以) ( 2 1 - 1 2 ) 利用向量积恒等式 ( q 畋) + ( 畋) q = ( q ) 以 ( 2 1 - 1 3 ) 方程( 2 1 - 1 2 ) 化为 争一卦例，k = 1 , 2 , 3 ( 2 1 - 1 4 ， 注意到 以) 线性无关，故对于任何向量口，都有 争一一卦删( 2 1 - 1 5 ， 即有 擎+ q ：挈( 2 1 - 1 6 ) d t d s 设弹性杆在力和力矩作用下任意运动，考虑弧坐标分别为s 和s + a s 的尸和，点 之间的微元弧段。设尸点的负截面在t 时刻受临近截而作用的内力和内力矩分别为 一f 和一m ，点的正截而在f + f 时刻受临近截而作用的内力和内力矩分别为 f + a f 和m + 埘，和m 均为s 和t 的二元连续函数。假设弧段上作用的单位长 度分布力g 和分布力偶h ，将全部作用力对p 点简化，j j 保留各增量的一阶小量， 根据牛顿力学的动量定理和对质心的动量矩定理，得到【2 0 】 肌如铲 ： ( 2 1 - 1 7 ) a f， l1 ” 埘+ ，f + 厅厶：厶竺 d t i 一式各项除以纽。令血一0 ，可得 青岛大学硕士学位论文 a f 一劫 i + g = o td s 半+ ，f + ：娑 d sd t 方程( 2 1 t s ) 在( e - d ，心心) 的投影为 ( 2 1 1 8 ) 争一g 。和三 m ， 掣+ 口m + j f + ：挚+ 脚 卜“7 d sd t 方程( 2 1 - 9 ) 、方程( 2 1 - 1 4 ) 和方程( 2 1 一1 9 ) 构成了构成的弹性杆的动力学方程组 _ d 警t _ p t + t a x p = o o f s - + q f + g o 一, n - ! - o ) x l p l = 望堕+ q m + 厂f + 厅 妻) a s ( 2 1 2 0 ) 等厂= 警俄y 卜“ 塑+ 国q ：i 塑 o to s 当弹性杆没有外力作用时，即g = h = 0 时，方程( 2 2 4 ) 化为s m k 方程w 。 根据( 2 1 7 ) n - i 把；b - 程( 2 1 2 0 ) 化为 岛。( 鲁y 卜等一( c ( r - r ) ) + g ，鲁+ ( 砌) = 。警+ 口( 。( 口一q ”) ) + ，( c ( 厂一厂”) ) + 厅( 2 1 - 2 1 ) 百o f 十x j = i o ) , + q y _ 0 q - i - t o x t 口：挈 方程( 2 1 - 2 1 ) 即综合考虑内力、外力和弹性力的弹性杆动力学平衡方程。 7 j 程( 2 1 - 2 1 ) 中的任意一个方程都是偏微分方程，这和文献【2 0 】中得到的只考虑外力 和弹件力得到的方稗早有区别的。 1 2 第二章弹性杆动力学模型 记旋转角为伊，则有：警，臼：_ o o ，类似上节的方法，可得到相应的二阶平衡 p 嘉一c 豢= 警( c ( 喜一厂。) 一p 警害+ g ，警一。警：( - ，韵毒+ 警。喏一) ) + 妻( c 曙一，) ) + g 2 。1 和下面的边值条件 吣，0 ) 刮札爹( 如m ( 2 2 2 ) ，( s o ) = ( s ) ，害( 则) = ( s 秒5 0 ，7 7 2 o o ，( t ，) ，口，( 工，：) 2ti ，) ( 2 2 - 3 ) ，( o ，t ) = 艿( f ) ，( 三，) = 五( t ) 青岛大学硕士学位论文 第三章平衡方程的离散与求解 3 1 变量的g a l e r k i n 离散 g a l e r k i n 方法： ，= ( f ) 办( s ) ，秒= 以( ，) 织( j ) ( 3 1 - 1 ) k = lk = l 冥中，对任蒽k ，碉a i ，以郡是天十，阴毪绥幽致，开且县仕葸膨r 导致也是迕绥明，织 是关于j 的连续函数，并且其任意阶导数也连续。( 2 2 1 ) 的离散变分方程分别为 m 急一c 争一鲁( c ( 誓一) ) + 哮鲁一g p 玎= 0 ，l ，所，+ ( 3 1 - 2 ) r 卜等一。等一( ，鲁) 鲁一等 ( 。( 鲁卅) ) 一鲁( c ( 鲁一州拍胁。删瑚，挑叫， 利用分部积分得 f 谚群凼= 伤唬i ：一r 概出= 一i 谚破凼 则 c 急织出= 静r 嫩凼= 一喜姒，脚凼 b - 4 ) r ，出= 喜姒，汀碱出= 喜口，( z ) ( 砌，卜l 碱凼) = 删( 嫩1 0 一矗7 1 1 r nn 0l 而 f f l 秘) ( 3 1 5 ) 么一叶八，ly ，r 月i i r 月f r 。7 i = 1 。 r 鲁( c ( 熹一，。) p 凼= i ( 警( c 熹) 一誓( 盯。) ) 九凼 1 4 第三章平衡方程的离散与求解 nn = yy ，一j - k = li = 1 ：yy j 二j 二一 k = l = l 岛( f ) ( c a 。( f ) ) f 谚么镌凼一j 9 i ( f ) ( o r 8 ) r 力7 吮西 岛( f ) ( c a t ( f ) ) i 谚7 么晚出+ 也( f ) ( c r 。) l 力群凼 i ( 鲁鲁) 伽兰i = 1 兰k = l( 以( f ) 匆( f ) ) r 么谚吮凼 r 等纯凼= 薯靴) 拟凼= 嚣 ( t ) r 鲁协= 薯吡) 唬凼= i 善= n 酬删一i 谚私) = 善i f n 川( 概岳 = 岛( 州概岳 = l 一谚群n i 力私) r ( ，警) 凼= 善薹( ( 砌) ) 嘲，) ) 惭唬击 r 警( 。( 鲁一q 8 ) 凼= r ( 警( 。等) 一鲁( 抛。) ) 谚，出 k = li = 1 岛( f ) ( d 瓯( f ) ) f 伤7 织九凼一岛( f ) ( d q 。) r 饬吮凼 岛( f ) ( d 以( f ) ) r 欢九凼+ 岛( f ) ( d q 。) r 谚么凼 r 鲁( c ( 誓一f 。) ) 纯出= f ( 鲁( c 誓) 一誓( 口”) ) 纯凼 nn - z 七= = k = l i = l口以) ( c a 。( 纠f 力7 噍九出1 ( f ) ( c r 。) r 旃纯凼 善n 州( c a 删胁“出m ( m ( c r 。) r 饬出 把( 3 1 6 ) 一( 3 1 1 4 ) 代入( 3 1 4 ) 、( 3 1 5 ) 得 一p 艺匆( f ) r 伤舳一c 艺 i = oi = 1口，( ，) ( 嫩i ：一饬础+ r 伤秘卜 1 5 ( 3 1 - 6 ) ( 3 1 - 7 ) ( 3 i - 8 ) ( 3 1 - 9 ) ( 3 i - l o ) ( 3 1 11 ) ( 3 1 - 1 2 ) 埘捌 = = 青岛大学硕士学位论文 n ， 善善6 ，( ，) ( c a 。( f ) ) r 伤7 办镌凼+ 岛( ，) ( c r 。) r 饬彤西+ p n n ( 喀0 ) x b , ( f ) ) r 唬办纯出一r 碱出：0p ( 喀( f ) ) 胁办纯出一r 碱出= 1 = 1k = l 。 疗= 0 ，1 , - - - , 脚，( 3 1 - 1 3 ) 威( 沪。善i = n 岛( ，) ( 概晤一谚础+ r 谚咖) - 兰i = 1 兰k = l ( ( 巩( r ) ) 扇( 州r 么呜唬凼一 r ， y 。, z b , o ) ( d 瓯( ，) ) f 。万仡击+ 岛( f ) ( d q 8 ) i 。谚缓凼一 上= l1 = i 。 善n 善n 嘞( ，) ( c a 。( ，) ) r 力晚或出+ 嘭( ，) ( c r 9 ) r 谚群出一r 五唬出= 口 3 2 在选取的基函数下得到的方程 取样条函数为基函数， 谚o ( s ) = 耐1 ( s ) = ”= 0 ，l ，研，( 3 1 - 1 4 ) 取基函数为 耐0 1 ，破0 ，硝，科，硅，硝) ， 其中 i l s 墨 薯s i + l ，i = 1 ，2 ，n ( 3 2 1 ) 0 其它 一l s 薯 t s 薯+ i ，i = l ，2 ，n ( 3 2 2 ) 0 其它 其恬专， i 蝴扣扣啦，肛一，记 谚( s ) = 谚。( j ) ，九+ ，( j ) = 谚s ) ，= l ，2 ，n ( 3 2 3 1 6 、，、 、l，、i， i i 一 一 j s ，jli、，_i、 2 一办 2 一厅 一 + t l t i ，一，、 2 2 、-、一、j 、-，、l， i i 一 一 j s ，ji、，j_i、 一厅 一厅 + 一ii ，、，一 一 + 岛 墨 一 一 j j i 一 一 s s 一炉。一炉 第三章平衡方程的离散与求解 基函数变为 缟，谚，峻) ，则 ( j ) = ( j ) = 纵s ) = 纵5 ) = ( z + i 1 、ss ，) ( i 2 一t 一( 去一吾) c j 一，) 一嘉( s 一最) ( - 一i 1 ( s 一岛) ) o 古( 2 ( 5 啤) ( s 啤。一) + ( s 啤。一) 2 ) 吉( 2 ( s 啤) ( s 咄。一) + ( s 吨。一) 2 ) 0 焉一l j 薯 珥s 置+ l ，f = l ，2 ，n ( 3 2 - 4 ) 其它 岛一l 一s 岛一 焉一 r s 量+ i 一， 其它 i = + l ，+ 2 ，2 n ( 3 2 5 ) 一吾一吾一吾( - + 丢) ( s 一岛) 置一。s 墨 一嘉+ 紊( + 去) ( s 一岛) s j - s - s i + l , ，= ，2 ，( 3 2 - 6 ) 0 其它 岛一l j s 置- s 岛+ l ， f = n + i ，+ 2 ，2 n ( 3 2 7 ) 其它 ( 一) 对任意整数刀【2 ，3 ，n - i 】，有 r 唬出= f 。( + 去( s 一) ) 2 ( - 一丢( s 一) ) 凼 r 谚吮凼= + j ：+ ( t 一去c s 一，) 2 ( + 万2c s 一毛，) 凼= 。 1 7 ( 3 2 8 ) 、i，、l， 一 s 墨 一 一 s s ，j_，、，、 2 2 + + 0 、i，、i， i i 一 一 j s ，j_i、，i ，j、，f 2一炉2一炉 青岛大学硕士学位论文 e 。( 一去c s 一一，) 2 ( t + 万2c s 一一，) ( t + 去c j 一，) 2 ( t 万2c s 一，) 凼 广州( - + 去c s 一，) 4 ( ，一i 2c s 一，) 2 凼 k + f 1 ( ，一万1 ( s 一) ) 4 ( + i 2 ( s 一) ) 2 西 f 1 ( - 一去c j 一已，) 2 ( - + i 2c j 一，) ( - + 去c s 一+ 。，) 2 ( - 一i 2c s 一+ 。，) 幽 e 。( t + 去( s 一。) ) 2 ( t 一丢( s 一一。) ) 古( s 一一。) ( s 一) 2 凼 p ( + 丢( s 一) ) 2 ( t 一詈( s 一) ) 吉( j 一晶) ( s 一毛一。) 2 凼 屯+ f ( t i 1 ( s 一) ) 2 ( + 詈( s 一) ) 古( s 一) ( s 一。) 2 凼 f ( 一去( j 一) 2 ( + 丢( j 一) ) 吉( 5 一+ 。) ( s 一) 2 出 一9 h l = n - l 7 0 9 6 h ，：聍 3 5 9 h z ：玎+ l 7 0 堡 ，：罪一l + 一 z2 靠一l 十v 。7 0 丝一旦k ”+ 1 4 01 2 一1 3 h 2 ，：刀+ l + 一一l 2 仃1 _ i 中v 4 2 0 0其它 对r 旃形幽和r 伤咖只可能在下面几种情况下不为o ： ( 1 ) 当，= 搿时 r 力咖= 1 8 ，= 玎一l l = ” ，= 刀+ l 1 = 刀一l + 1 = n - i - n 1 = 玎+ l + 其它 ( 3 2 9 ) 第三章平衡方程的离散与求解 i = i ( + 去c j 一，) 2 ( - 一i 2c s 一，) ( t + 去c s 一殴，) ( 云一一( 去一砉) c s 一，) 凼+ r 一砉( t 一扣) ) 2 ( + i 2c ，) ( m ，( 一扣，) 出= 一警 j 谚珈= 古+ 扣磊) ) 2 ( 1 一i 2 卜嘶嚣一舢舻，卜 r ( - 一去c 葶一，) 2 ( ，+ i 2c j 一& ，) ( 一紊+ 嘉( - + 去) c s 一，) 豳 = 二等 ( 2 ) 当| = 门一1 时 i 力秘= ( ( - + i 1c s 一一，