（计算数学专业论文）hartley变换在地震偏移中的应用.pdf

中南大学硕士学位论文 摘要 摘要 地震偏移是一种将地震信号进行重排的反演运算，以便使地震波 能量归位到其空间的真实位置，获得地下真实构造成像。h a r t l e y 变 换是一种类似于f o u r i e r 变换的积分变换，它只有纯实数运算。事实 上，f o u r i e r 变换和h a r t l e y 变换有着本质的联系，从这种密切联系出 发，h a r t l e y 变换完全可用于基于f o u r i e r 变换的偏移方法中。与基于 快速f o u r i e r 变换的偏移相比，基于快速h a r t l e y 变换的偏移完全在实 数域中运算，具有节省计算机内存和简化复运算的特点。本文主要研 究了h a r t l e y 变换在基于传统的单程波方程和改进的单程波方程的裂 步法偏移中的应用。 本文首先依据裂步f o u r i e r 法偏移的基本思想，把h a r t l e y 变换应 用于传统的二维和三维单程波动方程的求解，经过数学推导得到裂步 h a r t l e y 变换法波场延拓公式；其次，从全声波方程出发，基于严格 的解耦理论进行单程波保幅分解，得到改进的单程波动方程；进一步， 把裂步h a r t l e y 变换法应用到改进后的单程波动方程，经过推导得到 裂步h a r t l e y 变换保幅偏移算子公式。 本文最后进行了理论模型实验，取得了良好的成像效果。经过比 较和分析偏移结果，表明了h a r t l e y 变换法偏移及相应算法的正确性， 也说明了裂步h a r t l e y 变换保幅偏移不仅可以得到正确的成像位置， 而且也补偿了球面扩散引起的振幅损失。 关键词单程波方程，保幅偏移，h a r t l e y 变换，f o u r i e r 变换 中南大学硕士学位论文 a b s t r a c t a bs t r a c t s e i s m i cm i g r a t i o ni sai n v e r s i o no p e r a t i o nt or e a r r a g es e i s m i cs i n g a l ， w h i c hc a l lm a k es c a t t e r i n ge n e r g yb em i g r a t e dt ot h ec o r r e c tl o c a t i o n sa n d g i v er e a l l yt e c t o n i ci m a g i n g h a r t l e yt r a n s f o r mw i t hr e a lc o m p u t i n gi sa n i n t e r g r a lt r a n s f o r m a t i o n ，s i m i l a rt ot h ef o u r i e rt r a n s f o r m i nf a c t ，f o u r i e r t r a n s f o r ma n dh a r t l e yt r a n s f o r mh a v et h ei n t r i n s i cr e l a t i o n s h i p f r o ms u c h c l o s er e l a t i o n ，h a r t l e yt r a n s f o r mc a nc o m p l e t e l yb eu s e dt om i g r a t i o n m e t h o d sb a s e do nt h ef o u r i e rt r a n s f o r m c o m p a r e dw i t hm i g r a t i o nb a s e d o nf f t m i g r a t i o nb a s e do nf h to n l yh a v eo p e r a t i o ni nt h er e a ld o m a i n ， s a v i n gc o m p l e xm e m o r ya n ds i m p l i f y i n gc o m p l e xc o m p u t i n g i nt h i s p a p e r , t h eh a r t l e yt r a n s f o r mi sa p p l i e dt os p l i t - s t e pm i g r a t i o nb a s e do n o n e - w a ye q u a t i o na n dm o d i f i e do n e w a yw a v ee q u a t i o n b a s e do nt h eb a s i ci d e ao ft h es p l i t - s t e pf o u r i e rm i g r a t i o n ，h a r t l e y t r a s f o r mi sa p p l i dt os o l v et h et r a d i t i o n a lt w o - - d i m e n s i o n a la n dt h r e e - d i m - e n s i o n a lo n e w a yw a v ee q u a t i o na n ds p l i t - s t e ph a r t l e yw a v ef i e l dc o n t i n - u c a t i o nf o r m u l ai sd e r i v e db ym a t h m a t i c a li n f e r e n c e f r o mf u l la c o u s t i c w a v ee q u a t i o n ，am o d i f i e do n e w a yw a v ee q u a t i o ni sd e r i v e d ，u s i n go n e - w a y w a v e sp r e s e r v e d a m p l i t u d ed e c o m p o s i t i o nb a s e do ns t r i c td e c o u p i n gt h e o r y t h e n ，ap r e s e r v e d - a m p l i t u d em i g r a t i o no p e r a t o ri so b t a i n e d ，b a - s e do nt h em e t h o do fs p l i t s t e ph a r t l e yb ym a t h e m a t i c a li n f e r e n c e l a s t ，as i m p l et h e o r e t i c a lm o d e lt e s ti sd o n e ，o b t a i n i n gt h eg o o d i m a g i n g a f t e rc o m p a r i s i o na n da n a l y s i so ft h er e s u l t so fm i g r a t i o n t h e c o r r e c t n e s so fs p l i t - s t e ph a r t l e ym i g r a t i o na n dc o r r e s p o n d i n ga l g o r i t h m a r ep r o v e d a tt h e s a m et i m e ，t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h e p r e s e r v e d - a m p l i t u d em i g r a t i o nn o to n l yd e r i v ec o r r e c tl o c a t i o no ft h e i m a g e ，b u ta l s oc o m p e n s a t et h ea m p l i t u d el o s sa r i s i n gf r o ms p h e r i c a l p r o l i f e r a t i o n k e yw o r d so n e w a yw a v ee q u a t i o n ，p r e s e r v e d a m p l i t u d em i g r a t i o n h a r t l e yt r a n s f o r m ，f o u r i e rt r a n s f o r m 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：毯起查日期：造圣年且月筮日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：熬拖左导师签趟兰 日期：坌堡年旦月互日 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 地震波成像概述 第一章绪论 反射地震学以研究地下地质构造、反演地下岩石物性参数为主要目标【l 】。地 震偏移是反射地震学的三大核心技术之一。它是一种将地震信号进行重排的反演 运算，已使地震波能量归位到其空间的真实位置，获得地下真实构造成像。这包 含着两方面内容：一是确定反射( 散射) 点的空间位置，展现地下的地质构造形 态；二是恢复地震波在反射界面( 附近) 的波形和振幅特征，为介质参数反演、 岩性识别与储层预测提供真实有效的依据。 从地震反射法用于地震勘探以来，地震偏移技术的发展大致可分为三个阶 段。第一，古典的偏移技术( 6 0 年代前) ，主要是基于反射点空间位置成像的手 工偏移技术；第二，早期的计算机偏移技术( 6 0 - 7 0 年代) ，应用计算机所实现 的偏移方法基本上是手工做图法的扩展，都是基于射线理论的；第三，波动方程 偏移技术( 7 0 年代以后) ，它是以波动方程数值解为基础的偏移成像技术，由于 波动方程描述地震波地下传播规律，因此波动方程一方面可以解决复杂介质条件 下成像问题，另一方面也保持了波场的动力学特征。 波动方程偏移自7 0 年代产生以来发展较快，逐渐形成了三大地震偏移成像 体系：( 1 ) 由c l a e r b o u t ( 1 9 7 2 ) 所引入的【2 】，建立在单向波动( 抛物线) 方程基础 上的有限差分偏移方法【3 】；( 2 ) 由s c h n o i d o r ( 1 9 7 8 ) 在绕射偏移法的基础上使用波 动方程解的k i r c h h o f f 积分公式发展而成的k i r c h h o f f 积分法偏移降习；( 3 ) 由s t o l t 与g a z d a g ( 1 9 7 8 ) 提出的在频域波数域求解波动方程、外推地震波场的傅立叶 变换偏移方法睁1 0 1 。这三种地震偏移成像方法分别基于波动方程的不同解法，其 数理基础不同，然而由于波场反向延拓实现方法的不同导致了它们各自不同的特 点及在它们基础上发展了适应不同地质条件的变形方法。 地震偏移各种方法最初是作为时间偏移方法出现的，目的是满足二维时间叠 加剖面成像需要，后来为满足横向变速情况下成像精度需要，发展了深度偏移方 法1 ( h u b r a l1 9 7 7 ，l a r n e r1 9 81 ) 。偏移技术发展至今，经历了从手工偏移到 电子计算机数字偏移，从叠后偏移到叠前偏移，从时间偏移到深度偏移，从二维 中南大学硕士学位论文第一章绪论 偏移到三位偏移，从射线偏移到波动偏移，从构造成像到岩性成像的多个相互发 展的阶段。叠前深度偏移技术在墨西哥湾的成功应用，在很大程度上刺激了叠前 深度偏移的研究热潮。目前，三维叠前深度偏移代表着地震偏移发展的水平和方 向。波动方程叠前深度偏移技术是建立在波场反向传播的基础上，通过各种波场 外推算子实现的。在三类地震偏移成像方法体系基础上，可将波动方程叠前深度 偏移方法划分为基于射线理论的k i r c h h o f f 积分法叠前深度偏移和基于递推波场 延拓的波动方程叠前深度偏移两类。这两类方法各有特点，各有长处又各有不足， 不可以相互替代。地质资料处理人员可根据实际地质条件与成像目标的不同，灵 活选用这两种偏移方法。 基于射线理论的k i r c h h o f f 积分类方法，依靠射线追踪获得成像所需的旅 行时，不受反射界面顷角限制，计算效率高，灵活，对复杂观测系统的适应性强，但 在复杂地质条件下，多值走时使射线追踪难于获得正确旅行时，导致成像效果较 差。在不太复杂的地质条件下，已得到工业界的广泛应用。 基于波场延拓的波动方程叠前深度偏移方法是处理复杂地质构造成像的有 效工具n 2 。1 副。它是从标量声波方程推导出来的，采用描述地震波在复杂介质中传 播过程的波场延拓算子进行偏移成像，物理概念清晰，从根本上解决了多路径问 题以及由速度变化所引起的聚散效应，并且具有很好的振幅保持特性n 1 。它包 括基于全声波方程的逆时偏移方法、基于单程波动方程的共炮集偏移方法以及基 于d s r 方程的炮检域偏移方法。 逆时偏移是通过波动方程在时间上做反向外推来实现偏移成像，无倾角限 制，可以处理速度场的任意变化，理论较为完善，但是其庞大的计算量，在很大 程度上限制了它在工业界的应用前景。 单程波方程偏移采用的传播算子以全声波方程在均匀介质条件下因式分解 得到的上下行波方程为基础。基于计算方法的不同，可分为有限差分法和f o u r i e r 偏移法嘲n 鲫。两类方法各有特点，它们可以分开使用，也可以联合使用( 即双域 方法) 。有限差分算法借助于差分计算，把速度、密度等介质参数的影响体现在 差分计算的矩阵方程中，这类方法能自动适应速度场的任意变化，但由于多采用 近似方程，对偏移倾角有一定限制。f o u r i e r 偏移算法一般借助快速傅立叶变换来 进行波场延拓计算。最早期的f o u r i e r 偏移法应当是相移偏移，该算法的延拓算子 不需任何近似，偏移倾角可达n 9 0 度，算法精度高，无频散现象，且容易扩展到 三维，但要求速度不能有横向变化。后来提出了适应速度横向缓慢变化的各种修 2 中南大学硕士学位论文第一章绪论 正方法，如相移加插值法( p s p i ) 和扩展s t o l t 方法等n 蝴1 。从上个世纪9 0 年代初 开始，为实现强横向变速介质精确成像，形成了一类针对横向变速介质的双域偏 移方法乜。它们基于反问题求解中常用的摄动理论，根据速度场的非均匀程度自 动在空间与波数域交替进行波场延拓。它兼具有限差分法与f o u r i e r 偏移法各自的 优点，可以自适应于介质的复杂性。在均匀介质区域，它会自动在波数域中计算， 其传播角度可达9 0 度，而在非均匀区域，将根据非均匀性强度加上空间域的修正 计算。最早出现的双域传播算子是基于弱散射假设的，是对相移传播算子的直接 改进，包括裂步傅立叶算子、相位屏算子。为了提高在强横向变速介质中大角度 波的成像精度，r i s t o w 和r u h l ( 1 9 9 4 ) 等人在裂步傅立叶方法基础上提出了傅立 叶有限差分算子瞄剥；w u 等( 1 9 9 4 2 0 0 1 ) 、d e h o o p 等( 2 0 0 0 ) 提出了更精确 的广义屏传播算予呦删；h u a n g 等( 1 9 9 9 ) 提出了基于局部b o m r y t o v 近似的传 播算子嘶划。 基于“沉降观测”概念，y i l m a z 瞰3 提出了用双平方根方程进行偏移的方法。 双平方算子叠前深度偏移可以在炮点一检波点域实现，也可以在中点一半偏移距域 ( 共中心点道集) 中进行。b i o n d i 等1 于1 9 9 6 年提出了中点一半偏移距域的叠前 深度偏移方法，并针对海洋地震数据的特点，提出了共方位角道集的成像方法， 这样三维叠前深度偏移将由五维减小为四维，大大地减少了计算量。基于双平方 根算子的共偏移距道集，叠前深度偏移也十分适合窄方位角这种观测方式。 此外，数学和物理领域新兴理论和工具为波动方程成像提供了新的思路和方 法。出现了相空间小波分析地震偏移的步进算法和h a m i l t o n 体系下地震波场延拓 的辛群算法和李群算法。中国科学院地质与地球物理研究所刘洪、李幼铭等 ( 2 0 0 1 ，2 0 0 2 ) 获得了比较准确、快速的二维和三维波场延拓算法潞3 7 1 ，建立了 波动方程辛几何算法叠前深度偏移流程及微机群并行计算流程，获得了一种高精 度深度域成像方法。 1 2 真振幅偏移理论概述 真振幅偏移的基本思想就是在构造成像的同时给出反射系数和震源子波的 信息。在理想情况下，真振幅偏移的输出场是真振幅反射信息。由于反射系数是 利用地震资料分析岩石物理参数的基础，所以真振幅偏移对于a v 0 ( 或a v a ， v p ) 分析、偏移速度分析以及偏移振幅解释都具有重要的意义，而且能够克服未偏移 3 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 剖面上存在的共深度点拖影、不正确的几何扩散补偿以及其它因素的影响。 目前关于真振幅偏移成像的理论与方法可分为三类侧( g r a y ，1 9 9 7 ) ： 第一类是由t a r a n t o l a 提出的基于偏移一反演理论的最小平方法啪1 ，应用最小平 方通式d = f m ，在实际条件下求出使d f m 的厶范数最小的模型r n ( 反射系数 或其它弹性参数等) 。 第二类是由b l e i s t e i n 柏1 等提出的k i r c h h o 膜振幅偏移理论。它通过带权的绕 射叠加偏移来实现，偏移过程中主要是在绕射叠加中应用权函数来消除波前几何 扩散、观测照明等因素引起的振幅损失。就理论水平而言，k i r e h h o 膜振幅偏移 成像技术已趋于成熟；从使用角度看，k i r c h h o f 嗔振幅偏移技术已经开始投入试 验应用阶段( h a n i t z s c h ，1 9 9 7 ：b a i n ae ta 1 ，2 0 0 2 ) 。 第三类是振幅保真的波动方程叠前偏移方法。b e r k h o u t ( 1 9 9 7 ) 哪! 提出的 d e l f t 方法，基于形一r w + 模型的共聚焦成像理论框架下的反射系数成像理念对单 程波动方程真振幅偏移具有指导意义。对真振幅偏移成像而言，波场延拓算子与 成像条件都必修考虑振幅保真问题。d eb r u i ne ta 1 ( 1 9 9 0 ) 提出了基于频率一空 间域共炮道集偏移提取与角度相关反射系数的方法。张关泉( 1 9 9 3 ) 导出非均 匀介质中符合地震波传播动力学条件的上、下行波藕合方程组。z h a n g e ta 1 ( 2 0 0 1 ，2 0 0 2 ) 州阳研究传统共炮道集波动方程偏移所引起的振幅失真问题，提 出速度垂向变化介质的共炮道集真振幅偏移成像技术，并阐明了其与k i r c h h o f f 真振幅偏移技术之间的联系。相对于k i r c h h o f 嗔振幅偏移技术而言，波动方程真 振幅偏移成像技术理论和方法仍处于研究和探索阶段。 1 3 论文研究内容和进展 地震偏移技术作为地震资料处理最为重要的处理技术之一，针对地震勘探工 作当前所面临的巨大挑战并审视波动方程偏移技术的研究和应用现状，研究振幅 相对保真的偏移技术，恢复地震波与构造和岩性有关的波场特征，满足振幅构造 解释和岩性参数反演的要求，应该成为偏移工作的主要方向。 ( 1 ) 本文从全声波方程出发，基于严格的解耦理论进行单程波保幅分解， 得到直观、高效率的直接面对地震波传播波场的压力分量进行延拓的改进的单程 波动方程，修改边界条件，使修改后的边界条件和成像方程中充分考虑振幅补偿。 从而从两方面补偿几何扩散损失和入射角变化对振幅的影响。 4 中南大学硕士学位论文第一章绪论 ( 2 ) 把h a r t l c y 变换应用于对传统的二维和三维单程波动方程的求解，经过 推导得到裂步i - i a r t l e y 变换法偏移算子公式。 ( 3 ) 进一步，把裂步h a r t l e y 变换法应用到改进后的单程波动方程，经过推 导得到裂步h a r t l e y 变换保幅偏移算子公式。 ( 4 ) 通过数值试验，比较和分析各种方法的偏移质量，表明本文提出的裂 步h a r t l c y 变换法偏移的优越性和适应性。 5 中南大学硕士学位论文第二章基于h a r t l e y 变换的基本理论 第二章h a r t l e y 变换的基本理论 h a r t l e y 变换早在1 9 4 2 年由h a r n e y 本人提出例，b r a c e w e l l 于1 9 8 3 年讨论了其 离散算法，并于1 9 8 6 年给出t 快速h a r t l e y 变换的实现方法，证明了它的运 算量约为快速f o u r i e r 变换的一半。h a r t l e y 变换实际上是一种类似于f o u r i e r 变 换的积分变换，其正反变换的积分核相同，所以实序列的h a r t l e y 变换仍是实序 列，避免了变换过程中的冗余性，能够成倍地节约内存空间。 2 1 h a r t l e y 变换的定义 定义2 1 假设g ) 为实函数，其一维正反h a r t l e y 变换分别为 h ( k ，) 2 去j ，g b ( k x x ) 出( 2 - 1 ) g ) 。了杀j 何 ，如( t x ) 撩，( 2 - 2 ) 式中， c a $ ( k x x ) = c o s ( k x x ) + s i n ( k x x ) ( 2 - 3 ) 本文为简单起见，如不特指，积分区间均从一到+ o o 。可以看到，一维h a r t l e y 变换的正反变换相同。 与f o u r i e r 变换一样，h a r t l c y 变换也可以从一维推广到高维。但是这个推广 并不像f o u r i e r 变换高维推广那样清楚明了，因为f o u r i e r 变换的积分核函数具有 可分离性，即 e x p ( i ( u x + w ) ) = e x p ( i u x ) e x p ( i v y ) ，i f i ic a s ( u x + 哕) 伽缸如似) 。 我们把伽缸+ 杪) 和伽缸伽 ) 都看为二维h a r t l e y 变换的核函数，在 1 9 9 5 年，s u n d a r a j a n 给出t - - 维h a r t l e y 变换的两类定义。 定义2 2 第一类定义为： 日o ，v ) = 去玎g ，y b 缸) 淄 b 砂( 2 - 4 ) 依据这种定义，扩展到三维h a r t l e y 变换定义为： 日w ) 2 赢胁哆z 如缸如妇跏( w z ) 蚴 ( 2 - 5 ) 6 中南大学硕士学位论文 第_ 章基于h a r t l e y 变换的基本理论 定义2 3 第二类定义为： 日n o ，y ) 2 去缈g ，y 如缸+ 哕咄( 2 - 6 ) 同理，把定义2 3 扩展到三维h a r t l e y 变换有 定义2 4 三维函数g ，y ，z ) 的第二类h a r t l e y 变换为 日n o v ，w ) 。瓦肛g 烘z 蛔( 螂+ 哕+ 舷) 蚴 ( 2 7 ) 通过观察，我们发现式( 2 - 4 ) 和( 2 5 ) 可写成一维h a r t l e y 变换的形式，所以计 算过程比第二类高维h a r t l e y 变换定义的更方便，更简单。本文把第一类定义形 式应用到地震偏移中。 2 2f o u r i e r 变换和h a r t l e y 变换的关系 f o u r i e r 变换和h a r t l e y 变换具有内在的联系， 疗( w ) 可以写成偶部d 曲和奇部d ( w ) 之和，即 日( w ) = g ( w ) + d 式中， 假设厂o ) 的一维h a r t l e y 变换 ( 2 - 8 ) p ( w ) = 去，跏s 础 ( 2 - 9 ) 。( w ) = 去p ( f ) s i n 砌 ( 2 _ r o ) 厂( f ) 的f o u r i e r 变换为 ，( w ) = 击，厂( f _ 一m 衍= 而1 ，o 。s 谢一f s i nw t ) d t ( 2 - 1 1 ) 性质2 1 对于一维函数厂( ，) ，其f o 耐e r 变换，( w ) 和h a r t l e y 变换h ( w ) 可 以相互表示，即 f ( w ) = e ( w ) 一f o ( w )( 2 1 2 ) 日( w ) = r e i f ( w ) 】一h f ( w ) 】 ( 2 1 3 ) 式中，r e 】和i m 【】分别表示复数的实部和虚部。 对二维函数几，夕) ，其二维f o u r i e r 变换定义为 币，= 去肌办却删螂= 去胁小。s 缸+ 劝一捌t 如+ 懒 ( 2 1 4 ) 中南大学硕士学位论文 第二章基于h a r t l e y 变换的基本理论 将式( 2 4 ) 展开为 h io ，y ) 2 去胪g ，j ，f o s ( 缎一秒) + s i n 缸+ 秒凇吵2 - 1 5 ) 将式( 2 1 4 ) 并f l ( 2 1 5 ) 比较后得，g ，j ，) 的第一类二维h a r t l e y 变换。0 ，) 用二 维f o m - i e r 变换来表示，为 日。0 ，1 ，) = r e f ( - u ，y ) 】一i m f ( u ，v ) 】 ( 2 1 6 ) 同理将式( 2 6 ) 展开为 h n o ，v ) = 去缈g ，y s 似+ v y ) + s i i l 缸+ v y ) 矗d y ( 2 - 1 7 ) 比较式( 2 1 4 ) 7 1 1 ( 2 一1 7 ) 后得，g ，y ) 的第二类二维h a r t l e y 变换日n 0 ，1 ，) 用二维 f o u r i e r 变换来表示，为 h 兀0 ，v ) - - r e f ( u ，y ) 】一i m p 0 ，y ) 】( 2 1 8 ) 设七，) 和d 0 ，1 ，) 分别为二维h a r t l e y 变换日0 ，1 ，) 的偶部和奇部，则 白o ，v ) = 陋o ，v ) + 马( - ”，- v ) 2 = 去肜g ，y ) c o 妣一秒协砂( 2 - 1 9 ) 。o ，d = 阻。o ，d 日( _ “，一切2 = 去瓜，y ) s i i l k + 哕砂 ( 2 2 0 ) e 。o ，v ) = 阻n o ，y ) + ( _ ”，一v ) 】2 = 去缈k y ) c 。s ( 埘+ 秒谛 ( 2 2 1 ) 。n o ，v ) = 帆o ，v ) 一风( - “，- v ) 2 = 去肜g ，y ) s i n 缸+ 哕咖 ( 2 2 2 ) 观察比较后知，二维f o u r i e r 变换不用第一类h a r t l e y 变换的偶部和奇部来直接表 示，即 f 0 ，) q0 ，) 一o 。o ，v ) ( 2 2 3 ) 而像一维f o u r i e r 变换一样，二维f o u r i e r 变换可以用第二类h a r t l e y 变换的偶部 和奇部来直接表示，即 f ，v ) - - e n 0 ，v ) 一i o n 0 ，y ) ( 2 - 2 4 ) 性质2 2 设，0 ， ，) 和日。0 ， ，) 为二维函数g ，y ) 的f o u r i e r 变换和第一类 h a r t l c y 变换，白0 ， ，) 和o 。0 ，y ) 分别为h 。0 ， ，) 的偶部和奇部，则两个变换之间 关系为日。0 ，) = r o f ( - 材，) 】一砷0 ，y ) 】但f 0 ，) 白0 ，1 ，) 一o 。0 ，v ) 。 性质2 3 设f 0 ， ，) 和h 0 ，1 ，) 为二维函数g ，y ) 的f o u r i e r 变换和第二类 h a r t l e y 变换，e l l 0 ，) 和o r l 0 ，1 ，) 分别为h n 0 ，v ) 的偶部和奇部，则两个变换之 间关系为h n 0 ，v ) = r 4 f ( u ，y ) 卜i m p 0 ，v ) 】且f 0 ，v ) - - e n 0 ，y ) 一o 0 ，y ) 。 8 中南大学硕士学位论文第二章基于h a r t l e y 变换的基本理论 对于三维或更高维的f o u r i e r 变换和h a r t l e y 变换之间的关系则更为复杂。依 据第二类三维h a r t l e y 变换的定义，h 兀0 ，屿w ) 可以用三维f o u r i e r 变换来表示， 为 日0 ， ，w ) = r 4 f ( ，y ，w ) 】一i m f ( u ，v ，w ) 】 ( 2 2 5 ) 利用三维正弦和余弦变换公式，b r o n s t e i n 等人在1 9 9 7 年推出了两类三维 h a r t l e y 变换之间的关系口o l ，为 日n 0 ，uw ) = 去h ( - ，bw ) + ，u , - v , w ) + 日。t l , v , - - w ) 一日。( _ u , - - p , 一w ) 1 ( 2 2 6 ) 二 日。u ，hw ) = 去【h n ( _ 材，v ，w ) + 日兀0 ，一畴w ) + 日n 0 ，1 2 , 一曲一h n ( _ t j , - - b w ) 】( 2 - 2 7 ) 2 3 离散哈特利变换及快速算法( f h t ) 定义2 5 一个长度为n 的序列厂g ) ，o 疗n 一1 ，它的一维离散哈特利变换 ( d h t ) 及其逆变换为 删= 篓确b 浯珊) ，。n 一- ( 2 - 2 8 ) 刷= 专篓日p k 鲫浯诩) ，n 一- ( 2 2 9 ) d h t 与d f t 相比主要优点为： ( 1 ) d h t 是实值变换，在对实数据进行变换时避免了复数运算，从而提高 了运算效率； ( 2 ) d h t 的正、反变换( 除因子1 n 外) 具有相同的形式，因而，实现d h t 的硬件或软件既能进行d h t , 也能进行i d h t ： ( 3 ) d h t 与d f t 间的关系简单，易实现两种变换之间的相互转换。离散哈 特利变换矩阵也是正交阵，且是周期的，周期为n 。d h t 可能用来实现d f t 的 几乎所有功能，而这些实现都是在实数域进行的。 与快速傅立叶变换相似，计算离散哈特利变换也有几种快速算法。包括基向 量算法，b r a e e w e l l 算法，按时间抽取的快速算法，分裂基算法和近来有余品能 提出的递推减半法等1 4 9 - 5 3 1 。 按时间抽取的快速哈特利算法是以离散哈特利变换的分解公式为基础的，下 面用基4 快速算法计算离散哈特利变换。 中南大学硕士学位论文 第二章基于h a r t l e y 变换的基本理论 对g ) 进行抽取，即把o ) 分解为 厂o ) = z o ) + 厶g ) + 六g ) + 六o ) ( 2 3 0 ) 式中，zo ) = f ( 4 n ) ，厶o ) = f ( 4 n + 1 ) ，六g ) = f ( 4 n + 2 ) ，六o ) = f o n + 3 ) ， 刀= 0 , 1 ，一1 设z 0 ) 、正o ) 、 o ) 、六g ) 的离散哈特利变换分别为h 。( y ) 、日：d ) 、日，) 、 以p ) ，那么0 ) 可以分解为 何( v ) = 日l ( y ) + c 。s ( 等v ) 日：( v ) + s 证( 等y ) 日：( 一v ) + c 。s ( 等2 v 户，) s ；n ( 等2 v ) ，( 一七) + c o s ( 等3 vh 。 ) + s 证( 等3 vh 。( 一七) v = 0 , i ，一i ( 2 3 1 ) 这样，就将一个n 点的离散哈特利变换转化为四个4 点离散哈特利变换 来计算。依此类推，直至分解到最后一级。以上就是按时间抽取的基4 快速哈特 利变换算法。 第一类高维哈特利变换的快速算法可以很容易的从一维快速哈特利变换法 推广得到。 我们知道，f o u r i e r 变换的数据运算都是复数间的运算。一个复数占有2 个 实数的空间，而且2 个复数的一次乘法包含4 次实数乘法和2 次加法，而h a r t l e y 变换的数据运算只在实数间运算。对长度为的序列进行变换，根据定义直接 计算离散h a r t l e y 变换的运算量和离散f o u r i e r 变换的运算量一样，乘法运算量为 2 ，加法运算量为2 一，快速f o u r i e r 变换中的乘法和加法次数为 n l 0 9 2 n 一3 + 4 和3 l 0 9 2 n - 3 n + 4 ，而快速h a r t l e y 变换中的乘法和加法次数 为l n l 0 9 2 一3 2 n + 2 f f 【1 3 n 1 0 9 2 一三+ 6 【5 5 1 。因此，快速h a r t l e y 变换的计 算量约为快速f o u r i e r 变换的一半。余品能于2 0 0 1 年就二维离散哈特利变换，提 出了递推减半方法【”】，经推理证明了其算术复杂性比b r a c e w e l l 算法减少了 2 5 。3 5 ，属于目前运算量最小的一种算法。 1 0 中南大学硕士学位论文 第二章基于h a r t l e y 变换的基本理论 2 4h a r t l e y 变换的性质 h a r t l e y 变换基本上具有与f o u r i e r 变换相同的性质。 性质2 4 ( 线性性质) 若五o ) 和x ：0 ) 为周期等于的两个周期序列，按下 式组合 而o ) = 甜。o ) + b x 2 0 )( 2 3 2 ) 则屯0 ) 的h a r t l e y 变换为 日， ) = a h 。 ) + 坍： ) ( 2 3 3 ) 式中，a 和b 为常数。 性质2 5 ( 位移性质) 若周期序列x o ) 的h a r t l e y 变换为日 ) ，则x o + 朋) 的 h a r t l e y 变换为 x o + 脚) 旦l 日 ) c o s ( 2 疵m ) 一h ( - k ) s i n ( 2 m b n n ) ( 2 3 4 ) 性质2 6 ( 褶积性质) h a r t l e y 变换的褶积性质与f o u r i e r 变换的褶积性质有 所不同，假定序列x 。o ) 和x ：g ) 的h a r t l e y 变换分别为h 。 ) 和日：g ) 。： ) 的 奇部、偶部分别为d ： ) 和口： ) ，则 x ，o ) 毒x ：g ) 马h 。 ： ) + h ，( - k ) o ： ) ( 2 - 3 5 ) 但是如果序列有一个是偶函数，则五g ) 和x ：o ) 的褶积的h a r t l e y 变换为 工。0 ) 工：0 ) 羔l h 。任) ： ) ( 2 3 6 ) 性质2 7 ( 互相关性) 序列x g ) 和x ：o ) 的互相关的h a r t l e y 变换为 x 。o ) o 也0 ) 马日。 ) 日：传)( 2 - 3 7 ) 性质2 8 ( 导数性质)时间函数工( f ) 的一阶导数和二阶导数的h a r t l e y 变换 为： 掣与一w u ( - w ) ( 2 - 3 8 ) 掣- 日( 曲( 2 - 3 9 ) 研2 、7 这一性质与f o u r i e r 变换的导数性质相似，但区别在于h a r t l e y 变换后仍为实数。 2 5h a r t l e y 变换的应用 h a r t l e y 变换是一种基于谐函数的实变换，具有f o u r i e r 变换的特性，所以在 各领域中使用f o u r i e r 变换的大部分应用都可以通过h a r t l e y 变换实现。目前， 中南大学硕士学位论文 第二章基于h a r t l e y 变换的基本理论 h a r t l e y 变换在信号处理和图像中已得到广泛应用。在数学领域，h a r t l e y 变换可 以用于数学分析和数值计算。在海洋工程领域中，h a r l e y 变换可用于波谱分析、 波浪分离、p i v ( 粒子图像测速法) 技术和微分方程的h a r t l e y 域变换，而且h a r t l e y 变换在节约计算空间和提高计算效率上与f o u r i e r 变换具备一定的优越性【5 6 1 。在 地球物理中，h a r t l e y 变换也有所应用，其中主要用于波场正演摸拟和逆时偏移 s s - e o l ，事实上，f o u r i e r 变换和h a r t l e y 变换有着本质的联系，从这种联系出发， h a r t l e y 变换完全可用于基于f o u r i e r 变换的偏移中。这也是本文主要研究的内容 之一，将会在下一章中阐述。 2 6 本章小结 本章叙述了h a r t l e y 变换的基本理论，介绍了h a r t l e y 变换的定义，性质， h a r t l e y 变换和f o u r i e r 变换之间的联系和区别以及快速h a r t l e y 变换算法和应用。 离散h a r t l e y 变换是实值变换及其正、反变换具有相同的形式的特点，是本文把 h a r l e y 变换引入到基于f o u r i e r 变换的地震偏移算法中的关键。 1 2 中南大学硕士学位论文 第三章基于h a r t l e y 变换的保幅偏移算子研究 第三章基于h a r t l e y 变换的偏移箅子研究 3 1 传统的单程波动方程 单程波动方程是研究地震波在地下复杂介质中传播模拟与偏移成像的重要 工具。利用单程波动方程进行波场延拓的偏移成像方法已广泛应用于多维地震数 据的叠前( 后) 时间、深度偏移中。常规偏移成像方法所采用的单程波动方程具 有准确的运动学特征，但在地下复杂介质的情况下，包含相位信息和振幅信息的 单程波动方程动力学特征仍存在偏差。为了提高偏移成像方法在地下复杂介质中 的成像精度，基于单程波动方程延拓算子的研究已取得了重要进展，并且能够满 足一定复杂地质构造成像的需要。随着地震勘探技术的不断发展，在提供精确地 质构造图像的同时也引发了对地震成像保真度的关注，使地震偏移技术能够为后 续的a v o a v a 分析提供可靠的岩性参数和储层信息。 单程波动问题通过将整个波场分裂为沿某个确定的优先方向上的正、反方向 传播的单程波来研究波场性质，已广泛应用于地震数据的正演模拟、偏移成像及 参数反演等方面。基于单程波场延拓理论的偏移成像技术是为解决波动方程边值 问题的适定性而提出，由全波动方程分解得到的上、下行波方程能够描述地震波 在地下介质中沿正、反垂直方向传播过程，并通过波场延拓过程消除地震波的传 播效应，实现偏移成像的目的。可以证明，在非均匀介质情况下，上、下行波是 相互耦合的：只有当完全均匀介质情况下，上下行波才可完全解耦 ( c l a e r b o u t ，1 9 7 1 ：马在田，1 9 8 9 ) 2 - 3 。 在密度恒定的各向同性完全弹性介质中，给定一个零时刻( ，= 0 ) 在 x ，= g ，y ，0 ) 的激发源，地震波的传播波场p 满足如下的声波方程： j ( 等+ 等+ 等+ 等 p 伍；w ) 一凇一墨) ( 3 - 1 ) 【丁+ 萨+ 矿+ 矿j p 哔；w j 一6 哔以，( 3 1 ) 【p u ，r ；w ) = q ，；五；w ) 其中y = 以，y ，z ) ，x = g ，y ，z ) ，q ( z ，置，w ) 对应地面接收系统记录到的反射信 号，下标s 代表炮点，下标，代表检波点。 传统的波动方程叠前深度偏移方法将式( 3 1 ) 分解为下面简单的单程波动方 1 3 中南大学硕士学位论文 第三章基于h a r t l e y 变换的保幅偏移算子研究 程来向f 延拓上、f 行波场： 陪人u = 。 ( 3 - 2 ) l u ( x ，y ，z = o ；w ) = q g ，y ，； 陋人) 仔3 ， 【d g ，y ，z = o ；w ) = 8 ( x 一置) 这里u 和d 分别表示上、下行波的频域形式，a 是平方根算子，表示为 人= 等+ 告 p 4 ， 其中v 为地震波在介质中的传播速度，w 为圆频率，= 导+ 等。 为了得到偏移剖面，传统的波动方程偏移方法常常应用反褶积成像条件 岫) 或动力学成像条件( u d ) ： r c r g ，y ，z ) = p ( w ，工，y ，z ) d ( w 工，y ，z m ( 3 5 ) 尺以炉) = 咪畿争 ( 3 - 6 ) 把全波动方程式( 3 - 1 ) 分解为式( 3 2