（等离子体物理专业论文）轴向流对z箍缩等离子体不稳定性的影响.pdf

摘要 本文利用理想磁流体力学( 1 v l h d ) 模型对含有轴向流动的z 箍缩等 离子体不稳定性进行了分析。文中对可压缩平板等离子体模型的色散关 系进行了推导，讨论了三种不同情况的系统扰动增长率。结果表明，轴 向剪切流能够在较大的范围内减缓或抑制瑞利一泰勒( r t ) 不稳定性的 增长，但同时也会激发低频扰动的开耳文一亥姆霍兹( k h ) 模。进一步 的研究发现，系统的可压缩性能够在一定程度上抑制r t k h 杂化不稳定 性的增长，因而使得轴向剪切流对系统不稳定性的抑制作用表现得更为 突出。此外，在r t 不稳定性快速增长的向心加速阶段，等离子体温度 较低，使用可压缩模型能够更真实地描述系统的状态。文章还分析了轴 向流动的不同速度分布对系统稳定性的影响。结果表明，对于峰值相同 不同分布的轴向流，其对不稳定性的抑制效果只依赖于扰动集中的区域 内速度剪切的大小，而与其它位置的速度剪切无关。 关键词：z 箍缩，瑞利一泰勒不稳定性，轴向剪切流，m h d 方程 a b s t r a c t a 1 1 n e a ra n a l y s i s o f t h e i d e a l m a g n e t o h y d r o d y n a m i c f m h d 、s t a b i l i t yo f t h e z p i n c h i sp r e s e n t e dmw h i c hp l a s m af l o w sa r em c l u d e di nt h ee q u i l i b n u mc o m p r e s s i b i l i t y1 5 i n t r o d u c e dm t om i l d e q u a t i o n sv i at h ea c o u s t i cv e l o c i t yo f t h ep l a s m ai ti sf o u n dt h a t ， t h es h e a r e da x i a lf l o wc a r tm m g a t e de v e ns t a b i l t z et h er a y l e i g h - t a y l o r ( r t l i n s t a b i l 时l i lal a r g ew a v e n u m b e rr e g i o n ( f o rn o r m a l i z e dw a v e n u m b e rk 24 ) ，b u ti t a l s om a k e sk e i v i n - h e l m h o l t z ( k h ) i n s t a b i l i t yg r o wf a s thi sa l s of o u n dt h a t , c e m p r e s s i b i l i vc a l ls t a b i h z et h er t k hi n s t a b i l i t y , a n dt h i sa l l o w st h es h e w e da x i a l f l o wm m g a t er tm s t a b i l l i ym o r ee f f e c u v e l y t h e r e f o r e ，o i lt h ee a r l yn a g eo ft h e i m p l o s i o n ，b e c a u s et h et e m p e r a t u r eo ft h ep l a s m ai sn o tv e r yh i g h ，t h ee o m p r e s s t h l e m o d e li sm u c hm o r es u i t a b l et h a nt h ei n c o m p r e s s i b l eo d ed i f f e r e n tf l o wp r o f i l e sh a v e a l s ob e e nm v e s t w 。a t e d ，a n di ts h o w st h a tt h er m t x g a t i o ne f f e c to ft h ea x i a lf l o wi so v j y d e p e n do n t h e n _ a g m m d eo f t h ev e l o c l t ys h e a r w h e r e t h e p a r t u r b a t m n sc o n c e n t r a t e k e y w o r d s ：z - p i n c h ，r a y l e i g h - t a y l o ri n s t a b i l i t y , s h e a r e da x i a lf l o w , m h df o r m a l a t i o n 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国工程物理研究院或其他 教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：孑坟才为 签字日期：。一年g 月店日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解并接受中国工程物理研究院研究生部有关保存、使 用学位论文的规定，允许论文被查阅、借阅和送交国家有关部门或机构，同时授 权中国工程物理研究院研究生部可以将学位论文全部或部分内容编八有关数据 库进行检索，可以影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 学位论文作者签名：戡孑为 导师签名：= 厂亏 签字日期：2 脚f 年月，占日签字目期：占。t 厂年6 月一多日 第一章引言 1 1 z 箍缩研究的历史发展 第一章引言 长期以来，磁场驱动的z 箍缩( z p i n c h ) 作为一种产生高功率x 射线辐射 源技术的研究和发展倍受关注。尤其是进入2 0 世纪9 0 年代以后，随着脉冲功率 技术、负载技术的发展，z p i n c h 研究取得了一系列突破性进展，这使得人们认识 到有可能将其发展成为一种新的经济有效的驱动惯性约束核聚变( i c f ) 的技术 途径，从而引发了美、俄、英、法、中等国对z - p i n c h 研究和应用的极大重视。 简单的说，z - p i n c h 是指这样一个物理过程：电流沿轴向( z 方向) 通过柱 状等离子体负载并产生角向( 0 方向) 的磁场，对电荷速流产生洛伦兹力作用， 使之拥有向心的加速度，引起电荷速流向中心轴( z 轴) 箍缩，这一过程就是“z 箍 缩”。 当驱动电流足够强时，z - p i n c h 将导致巨大的等离子体聚心效应，并可能在 导体的轴线附近形成高温高密度等离子体区。因此，早在2 0 世纪5 0 年代，人们 便试图用这种方法来实现热核反应【1 】。早期的受控聚变研究计划曾致力于微秒时 间尺度、强电流、氘等离子体的z p i n c h ，其滞止密度为1 0 1 8 c m 3 量级【2 j 。人们提 出的平衡箍缩等离子体解析模型认为，在合理的约束时间内聚变的温度和密度是 可能达到的。但随着研究的深入，实验中观察到大量诸如腊肠不稳定性和扭曲不 稳定性等磁流体力学不稳定性的快速发展会严重破坏磁约束【3 j ，极大地限制可阻 达到的滞止密度和温度，而这些不稳定性在当时是无法有效抑制的，因此z p i n c h 技术在受控聚变方面无法达到令人满意的结果，以至于聚变界逐渐对z - p i n c h 研 究失去了的兴趣。然而，利用磁场压缩等离子体的研究却从未停止过，其方向主 要是强x 光源的产生和高能密度物理学。强x 射线光源( 能谱k e v 级) 更多地 用于x 射线与物质的相互作用和抗辐射加固问题的研究。高能密度物理则主要涉 及流体动力学( 包括界面不稳定性的发展) 、物质状态方程及辐射不透明度等。 人们发现，早期用于实验研究的单丝负载内阻抗较高，若想把这类系统定标 到强电流，获得更高的x 射线能量和功率产额，要求脉冲功率系统既要有极高的 驱动电压( 1 0 m v ) ，又要有极高的电功率( 1 0 0 t w ) 。受脉冲功率技术条件的 第一章引言 限制，这一要求显然是不现实的。因此，人们开始考虑发展以金属丝阵、柱形套 筒或喷气套筒为负载的动力z p i n c h 。这些负载具有较低的初始阻抗，因此对驱动 电压及电功率的要求不是很高，但是为了使内爆等离子体在极短的时间内获得足 够的动能，驱动装置必须有很高的电流上升速率和很短的电流上升时间。以此为 牵引，自2 0 世纪8 0 年代开始，世界上建立了一批用于电磁内爆研究的大型脉冲 功率装置。这些新型驱动装置可以提供峰值高达2 0 m a ，电流上升时间1 0 0 n s 量 级，上升速率高达3 x 1 0 1 4 a s 的电流脉冲。百纳秒量级的电流上升时间不仅为快 速提高等离子体内爆速度创造了条件，而且在一定程度上限制了磁流体不稳定性 的增长，提高了内爆品质。 在负载技术和脉冲功率技术发展的推动下，人们对z - p i r i c h 技术重新产生了 兴趣，并且在这一领域取得了一系列重大突破。美国s a n d i a 实验室于1 9 8 6 年在 p b f a i 基础上改建成了电流脉冲幅值1 1 5 兆安的s a t u r n 装置【4 j ，1 9 8 7 年开始进 行喷气负载z p i n c h 内爆等离子体产生x 射线实验，测得的x 射线总能量达到 4 0 0 k j ，功率2 0 t w ，能量转换效率5 8 8 ，创造了当时实验室获得x 射线源的世 界纪录 5 】，1 9 9 5 年利用铝( a 1 ) 丝阵负载，使x 光功率由过去的2 0 t w 增加到 4 0 t w 【“，在后来钨( w ) 丝阵实验中，x 射线辐射功率进一步增加到8 5 t w ，总 能量达到5 0 0 k j l 7 j 。鉴于s a t u r n 装置上取得的重大成果，s a n d i a 实验室立即把已经 从事了十年轻离子束惯性约束聚变研究的p b f a i i 改装成从事快过程z - p i n c h 研 究的z 装置【8 1 。1 9 9 7 年底，使用经过优化的双层密集钨丝阵，z 装置上进行的 z p i n c h 实验获得了更高的x 光功率2 8 0 + _ 4 0 t w ，x 光辐射总能量达到1 8 m j ，黑 腔辐射场温度约为1 5 5 e v ，x 光的能量转换效率达到1 5 1 8 ，】。这些实验数据不仅 展示出z p i n c h 技术在惯性约束聚变等领域的研究中具有的重要应用前景，同时 也标志着z - p i n c h 研究再一次进入了蓬勃发展的时期。 1 2z 箍缩分类 由于当代各个实验室的研究重点不同，驱动装置及使用的负载也有很大差 异，因此z p i n c h 的种类繁多，但从箍缩的物理原理来划分可以分为动力箍缩和 平衡箍缩两大类。 第一章引言 动力箍缩是指内爆等离子体在轴线碰撞滞止时，内爆动能远超过其他加热机 制的z 箍缩，大多数以金属丝阵、柱形金属套筒及喷气套筒为负载的z 箍缩属于 这类型1 2 j 。尽管动力箍缩装置的种类繁多，但我们仍可以对其物理过程作一般 性描述；首先，驱动装置通过脉冲形成线或者电容器组将高电压脉冲作用于两个 电极，使电流通过处于电极之间的负载( 丝阵、套筒或气体壳) 。当负载被击穿后， 等离子体成为轴向电流通道，在流经等离子体的电流引起的角向磁场压力作用下， 等离子体被很快加速向轴线运动，经轴线碰撞滞止后形成高温高密度等离子体， 尽管在这一过程中等离子体会发生某些欧姆加热和压缩加热，但能量转换主要体 现在离子动能的热化上，最终，负载的大部分能量将转变为远紫外( 1 和x 谱 线范围的辐射离开等离子体区域，而辐射在大多数情形中是整个过程的目的。多 年来，动力z p i n c h 内爆的研究工作集中于优化x 射线的能量和功率输出，为辐 射与物质相互作用的研究提供x 射线源，同时人们还试图将其发展为一种经济有 效的驱动惯性约束聚变( i c f ) 的技术途径。当前用于动力箍缩研究的驱动装置 有很多，其中包括美国s a n d i a 实验室的s a t u r n 装置和z 装置( 电功率分别达到 2 5 t w 和5 0 t w ) ，俄罗斯新能源所的a n g a r a 5 1 装置( 电功率6 t w ) 等等。这 些大型的脉冲功率加速器能够使高达兆安量级的电流流经厘米量级的z - p i n c h 等 离子体，使其加速到1 07 1 0 8 c m j s 的内爆速度，碰撞滞止形成高温稠密等离子体， 从而成为有效的x 射线源。在一些实验中x 光的能量转换效率已经被证实超过 1 0 【1 q “】，这充分说明了z - p i n c h 是一项高效率、高效费比的技术。 与动力箍缩相反，有些箍缩构形的特点决定了内爆过程中欧姆加热和压缩加 热是最重要的，这些包括爆炸金属丝、冻氘丝箍缩、嵌入气体的z p i n c h 以及毛 细管放电等等，它们可以归在平衡z 箍缩的范围内。从事这类研究的驱动装置功 率较小，研究目的与动力箍缩也有较大区别。爆炸金属丝主要用作光源或小型x 射线源，同时关于单丝电离阻及不稳定性的研究也为进一步了解丝阵负载的内爆 过程提供了很大的帮助 1 2 - 1 6 。冻氘丝实验作为一种聚变应用研究在稳定性方面有 许多令人惊奇的结果。在一些用单根聚乙烯或掺氘聚乙烯电介质丝作为负载的高 密度z 箍缩( h d z p ) 实验中叽强】，等离子体柱稳定时间约l o o n s ，约为阿尔芬渡 越时间的1 0 0 倍，与通常v l h d 稳定性理论的预计相矛盾。人们从数值模拟和自 相似解析解两方面研究了h d z p 的动力学过程，并企图解释其反常的稳定性【l ”】， 但至今没有一种解释是令人满意的，尚需进一步研究。毛细管放电生成的等离子 第一章引言 体接近于局部热力学平衡( l t e ) ，已应用于产生碰撞激励的真空紫外x 射线激光 器【2 “。 1 3z 箍缩中的不稳定性 众所周知，z - p i n c h 的内爆品质及滞止产生的辐射与负载材料的原子序数、 原子电离态以及等离子体的密度和温度有关，这些参数是由箍缩的收缩比和系统 动能转换为内能的能力所决定的。如果内爆等离子体壳以任何方式被破坏，则无 法在轴线处形成高温高密度均匀等离子体，从而无法达到理想的箍缩效果。理论 计算发现，磁流体不稳定性会极大地限制可以达到的滞止密度和温度。这些不稳 定性种类繁多，平衡箍缩过程中通常会有腊肠不稳定性及扭曲不稳定性出现；而 对于动力箍缩，磁瑞利一泰勒( m r t ) 不稳定性则上升到重要位置。这种不稳定 性源于等离子体受磁场推动向心的加速过程，是在等离子体真空界面上形成的。 对于大直径、高速度的内爆，瑞利一泰勒( r t ) 不稳定性快速增长，通过空泡和 尖刺等形式引起内爆壳的严重变形。与这些变形相关的密度和温度的不均匀性增 加了等离子体壳的厚度，妨碍了在轴线上快速有效的形成熟的稠密等离子体，直 接限制了内爆品质的提高。因而，长久以来z p i n c h 等离子体的稳定性问题一直 作为一个主要的研究领域得到人们的重视，并已在理论和实验方面进行了十分活 跃的探讨( 2 ”1 。 人们为改进系统稳定性所做的第一步努力是减小负载自身在轴向和角向的 初始不均匀性，降低系统的初始扰动。例如，近年来s a n d i a 实验室在s a t u r n 和z 装置上进行了大量的铝丝阵和钨丝阵研究，柱形丝阵负载中金属丝的根数从1 2 根增加到3 0 0 根，极大的减小了丝间距，改善了负载的初始稳定性，导致该实验 室创记录的x 射线功率的产生t 6 , 9 1 。但是这种方法的效果毕竟是有限的，不能从本 质上提高l 内爆品质，因此人们尝试使用其他方法抑制不稳定性的增长【2 “。 s u y d a m 2 明和g r a t t o n 等人t 3 。1 基于能量原理指出磁剪切能够对短波长局域模产生抑 制作用。研究发现，为了达到较好的抑制效果，磁场的轴向分量应与角向分量拥 f 有相同的量级。b u d k o 等人p 15 研究了等离子体壳内部轴向磁场对长波扰动的影 响，给出了相应的色散方程及增长率。分析结果表明这种机制能够减缓不稳定性 的增长，但是也意味蕾在箍缩过程中必然要消耗部分能量用于压缩壳层内部磁场。 4 第一章引言 除此之外，人们还研究了有限拉莫尔半径( f l r ) 效应、沙漏效应以及轴向剪切 流对r t 不稳定性的抑制作用。z p i n c h 内爆过程中离子温度通常大于电子温度， 这意味着在适当的条件下离子拉莫尔半径可能会变得较大，从而使得f l r 效应变 得较为明显。心e r 等人 3 2 。4 1 对静态( 没有轴向平衡流动) z 箍缩中f l r 效应进 行了分析，r u s s e l l 等人也做了类似的工作。d o u g l a s 等人对拥有弯曲表面壳 层的z p i n c h 稳定性进行了研究，通过数值模拟得出弯曲的壳层有利于减缓系统 不稳定性的结论。g o l u b 等人口7 】对初始负载为扭曲丝阵的z 箍缩稳定性进行了数 值计算得出类似的稳定性结论，并指出初始扭曲的丝阵负载比传统的柱型丝阵负 载在达到停滞点前将多拥有约2 0 的动能，这将使系统拥有释放更强x 射线的可 能。 在轴向剪切流方面，早在1 9 7 6 年w r i g h t t 瑚等人就利用v l a s o v 方程研究了轴 向剪切流对被良导体包围的柱形等离子体z p i n c h 稳定性的影响。他们发展了一 套包含剪切流、剪切热流，以及f l r 效应的微分方程组。二十年后a r b e r 和 h o w e l l 硼对处于真空中的柱形理想磁流体力学z p i n c h 模型的剪切流影响进行了 线性分析，发现在速度剪切较大的情况下会有开耳文一亥姆霍兹( k h ) 不稳定性 出现。以上两项工作都是基于平衡箍缩的构形展开的，考虑到动力z p i n c h 的特 殊构形，同时受到剪切轴向速流，理论上能够成功的缓和m = l 扭曲不稳定性f 4 0 的影响，s h u m l a k 和r o d e r i c k t 4 1 】也对不可压缩z - p i n c h 内爆模型中剪切流速的应用 进行了研究，他们发展了一套m h d 方程组用以分析不同的动力z p i n c h 构型，特 别是由柱型套筒或丝阵产生的环形等离子体，在有剪切流存在时的稳定性变化。 由于在套筒内外侧均由真空包围，其线性r t 不稳定性的增长与a r b e r 和h o w e l l 研究的内容有所不同。另外，值得注意的是为了数学上的简便，s h u m l a k 和r o d e r i c k 使用了平板几何模型来代替圆柱形套筒模型，这种近似在等离子体套筒壳层厚度 远小于箍缩半径的条件下是允许的。他们的研究表明在足够大的剪切速度下由某 些波长范围内扰动产生的r t 不稳定性是可以被缓和，甚至被消除的。同时，他 们还指出尽管大部分波长范围内的r t 不稳定性可以被缓和，但当波长大于一定 数值后由于速度和密度的不连续，系统会出现较强烈的r t k h 杂化不稳定性。这 表明，为了有效缓和系统的不稳定性，除了引入剪切流之外还应使用其他手段加 以配合。在这一结论的启发下，邱孝明等人 4 2 , 4 3 1 比较了f l r 和轴向剪切流对系 统不稳定性的缓和作用，指出，相对于剪切速度流而言，f l r 可以在更广泛的扰 第一章引言 动波长范围内对r t 不稳定性进行抑制，由此得到结论：尽管剪切流速可以对中 短波长扰动产生强烈的抑制作用，但考虑到此机制在对于长波扰动会产生r t k h 杂化不稳定性，应更趋向于利用f l r 效果去克服不稳定性的增长。 在实验方面，华盛顿大学通过特殊的喷气装置成功的产生了1 , 9 1 07 s 的速 度剪切，并且得到了大约7 0 0 倍静态z 箍缩扰动增长时间的稳定状态【4 ，这是一 介令人鼓舞的结果。同时，s h u m l a k 和r o d e r i c k l 4 l l 的二维模拟以及s o t n i k o v 等人 蚪5 】的三维程序模拟也显示了轴向剪切流对r t 不稳定性较好的抑制效果。所有这 些研究均肯定了轴向剪切流对z p i n c h 不稳定性的抑制效果，但同时也指出，这 种抑制效果是有限的、不全面的。因此，如何选择更好的匹配条件，优化轴向剪 切流的致稳效果，还有待于迸一步的研究。 6 第二章z 箍缩等离子体不稳定性研究基础 第二章z 箍缩等离子体不稳定性研究基础 z p i n c h 等离子体的稳定性问题是z - p i n c h 研究的一个重要领域，弗已在理论 和实验方面进行了十分活跃的讨论。总体来讲，等离子体不稳定性可以划分为两 类：磁流体动力学( m h d ) 不稳定性和动力论不稳定性。前者是由等离子体的宏 观运动引起的，而动力论不稳定性是不同粒子之间以微观不稳定模式相互作用而 引起的。本文只对z p i n c h 等离子体m h d 不稳定性进行有限的讨论。 由于人们研究不稳定性问题的最终目的是避免它们而不是去弄清它们的非 线性演化过程，因此至今所做的大多数工作属于线性稳定性分析。事实上对于 z p i n c h 系统来说，通常的等离子体稳定性概念过于严格，它要求所有增长性扰动 都是稳定的( 包括那些增长时间极长的模式) ，这一标准最终致使所有受约束的等 离子体都可看作为不稳定的。对于z p i r i c h 系统我们感兴趣的只是不稳定性增长 所需的时间是否足够长，使得高密度等离子体可以被约束至足够的时间，从而实 现z p i r i c h 应用的目标，由此我们要求的稳定性只是相对于那些可在短于应用所 需特征时间内明显增长的扰动而言的。尽管z - p i n c h 等离子体的稳定性概念相对 较为宽松，但这并不意味着工作难度会有所下降，实际上z p i n c h 的稳定性很差， 至今人们对许多发展迅速的m h d 不稳定性仍然没有十分有效的抑制手段。 2 1 平衡z 箍缩的瑚d 模型 从2 0 世纪5 0 年代热核聚燹研冗开始，桂型半衡箍缩的m i i d 穗是性f 吨题就 受到了人们的重视，并且建立了基本的稳定性判据，得出了能量原理的公式 4 7 - 4 9 】， 导出了描述z - p i n c h 不稳定性本征模式的i v l l - i d 方程( 5 0 , s u ，这些结果至今仍然是人 们进行不稳定性分析的基础。 我们从理想m 哑) 方程组出发： 、 詈捋) = o ( 1 ) p 警= 唧+ j 加 ( 2 ) 矛d ，- 7 ) = o ( 3 ) 第二章z 箍缩等离子体不稳定性研究基础 ，：土v b ( 4 ) 风 罢：v ( 伽) ( 5 ) 甜 、7 、 把所有物理量在平衡态附近作线性化展开，用下标0 代表平衡量，f 标1 代表扰 动量。假定等离子体处在v p o d o 风= 0 ，v 0 = 0 的定态平衡中，则理想b t h d 方 程组线性化为： 孥= 一q v p o p o v 坼 ( 6 ) 新 1 1 鲁叫吼一咿叶 ( 7 ) 风鲁= 一v p l + 厶骂+ 晚 ( 8 ) ：上v 骂 ( 9 ) 拿：v ( v 。x 蹦 ( 1 0 ) 钟 、1” 其中声速= l d p d d = f p p ，尹为绝热系数a 定义扰动位移向量f ( _ f ) ： 詈 ( 1 1 ) 利用上式对时间积分，得到密度、压力和磁场扰动量关于扰动位移毒p ，0 的表达 式 p l = 一f v p o p o v f p 。= 一( 手v ) 岛- c ；p o ( v 孝) b l = v ( 孝坟) 为了消除( 1 2 ) 一( 1 4 ) 式的积分常数，我们使用t k n t 的初始条件： f ( ，o ) = 0 ，n ( ，o ) = o ，p i ( r ，o ) = o ，置( l o ) = o v l ( r ，o ) 0 利用方程( 6 ) 一( 1 4 ) 式，我们可以得到关于位移f 的二阶偏微分方程： 岛豢= f ( 善) 其中力的算子f ( 毒) 是 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 第二章z 箍缩等离子体不稳定性研究基础 f ( 牡( 善+ 风v 咖i 1 ( v 峨) 1 v ( 亭玩) + 去m v ( f 蜀) 玩 按照通常的做法，对扰动项进行如下的傅立叶分析： 参( ，f ) = f ( r ) e x p ( 一i c g t + i m o + i k z ) ( 1 9 ) 这里m 和k 分别表示扰动角向和轴向的波数，本征值。的实部代表扰动的波 动频率，虚部代表不稳定性增长或阻尼。定义函数r = 一i o ，r e ( r ) 为扰动的增长 率或阻尼率。将( 1 9 ) 式代入( 1 7 ) 式后得到 一0 9 2 岛f = f ( f ) ( 2 0 ) 值得注意的是，k a d o m t s e v 【5 铂已证明在此条件下力算子f ( f ) 是自共轭的厄米算子， 因此本征值是纯实数，即扰动如不是处于纯波动状态就是处于不稳定性的增长 或阻尼状态。g r a d 5 3 1 、g o e d b l o e d 及其合作者5 4 - 5 7 1 研究了力算子f ( 亭) 的谱。 将( 2 0 ) 式展开，能够得到关于径向扰动位移鼠力如下形式的二阶常微分方 程： 磊dl v x ，毋d ( 、训l 一瑶= o k=旦(卯2一f2)(2蠢一f2)d 、，、 。， 扛岛c 0 2 _ f 2 ) + 鲁( 剽+ 4 k 2 b 弘g o ( 睁磁) + r 昙路( 蚧剐( 磁) d ：小忙+ 譬忪 i，严 。 = q 2 + 瑶 蜉：笪 地p o 鹾= 磅8 十哦： 9 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 第二章z 箍缩等离子体不稳定性研究基础 f 2 = 士f 蛾：+ 一m j ( 2 8 ) p o h b t j 式中助( 力、b o o ( r ) j f n 岛：( 力由平衡条件跏一t ，b = 0 及相关的m a x w e l l 方程组给出。 对于不同的系统，( 2 1 ) 式应满足不同的边界条件：对于封闭在半径为r 的导电 壁中的弥散z - p i n c h ，其边界条件为占i 脚- r = 0 。如果等离子体的外边界是自由的， 则相应的边界条件应满足在受扰动表面上磁场切向分量和总压力( 磁压+ 热压) 的连续性要求。例如，对于真空中拥有自由边界的z p i n c h ，在箍缩表面处总压力 不应发生间断，设其角向磁场满足分布岛f = b o o ( 固( r r ) ，当存在外加轴向常 磁场b o ：时，= r 处的边界条件是 塍=：52r+m2-器mboo。+-krbo：。p(29dr k rk r m b ok r b o ) 酝( ) 一十：r 。 这里 0 ( 纠是修正的贝塞尔函数。 由于方程( 2 1 ) 式和相应的边界关系均不显含时间，因此它们已经构成一个 关于增长率r 的本征值问题。观察发现，二阶微分方程( 2 1 ) 式不同于标准的 s t u m - l i o u v i l l e 问题而独具特色：首先，二阶导数前的系数正没有确定的符号， 完全取决于特征值r 2 的值；其次，特征值f 2 以很复杂的菲线性形式出现在k 和 三的表达式中。针对这些特点，人们通常使用打靶法或瑞利一黎兹法等数值方法 求解上述问题。 利用理想m i - - i d 模型可以对任意波数m 和k 得出完全确定的主导不稳定模式， 其增长率是孤立的特征值。对于电流集中于均匀等离子体柱趋肤层中的情形，( 2 1 ) 式可以化为贝塞尔方程，从而得到如下色散关系： f 旦 2 契：l + 一m 2 掣堕 ( 3 0 ) l jw ：( ) k r 芷：( 敞) 、 这里= f k 2 r 2 + 2 f 2 尹1 ”2 ，厶( ) 和岛( 解) 是修正的贝塞尔函数。如果绝热系数 尹一。，超越方程( 3 0 ) 式可以简化，得到增长率关于波数m 和k 的函数： r = 姗+ 耥 鬻 ， 丑；欣戤( 解) i ，。( 斌) 、。 此关系由图1 给出。可以看出，腊肠型( 聊= o ) 和扭曲型( m = 1 ) 不稳定模式 l o 第二章z 箍缩等离子体不稳定性研究基础 图1z 箍缩不稳定性增长率r 与波数m 及船的关系。 对于任何波数k 都是主导的，而m l 的模式只有在短波长范围才会发展，因此， 这两种模式成为人们关心的重点。f r e i d b e r g t ” 解释了矾一0 腊肠型和m = 1 扭曲 型不稳定模式的物理机制，如图2 所示。则同样的电流流过较小的截面，因而m = 0 腊肠型扰动提高了颈缩处的磁场，增大了的磁压趋向于进一步加剧颈缩。m = 1 扭曲型扰动强迫磁力线集中于等离子体柱内凹的一侧，升高的磁压起到了失稳的 作用，从而导致不稳定性的快速增长。 较弱b ( b ) 图2z 箍缩中不稳定性的物理机制 ( a ) 拓o ，”f o ，( b ) k o ，m = l 。 z p i n c h 边界的失稳模式被称为“交换模式”，这是因为这种不稳定性会引起 磁场和等离子体之间的“交换”：磁场渗入等离子体柱中，而等离子体被逼到磁场 之外去。等离子体表面交换不稳定性的发展取决于近表面处磁场的分布情况。若 第二章z 箍缩等离子体不稳定性研究基础 如p ，砌 0 ，这是内凹等离子体表面的特征，交换扰 动是被致稳的。在z p i n c h 系统的典型柱形结构中，磁压梯度招2 励f 萨( r ) r 0( 3 8 ) 即所有扰动都导致势能的提高，则系统是稳定的。这就是根据能量原理判断不稳 定性的条件。 在某些情形中，我们可以通过能量原理直接得到关于系统稳定性的判断。著 名的k a d o m t s c v 判据5 2 给1 t itz 箍缩抑制脚；0 ( 腊肠型) 不稳定性的充要条件： d o p o ) j l( 3 9 ) d ( 1 n r l 2 + 猡 这里卢：2 肋p 0 b 。，为等离子体的比压。对于普通的弥散箍缩，由于，一m 时p _ 0 ， 因此要想使k a d o m t s e v 判据得以实现，需要当r 一。时压力的增长不快于，“， 这一条件通常是难以满足的。k a d o m t s e v t 5 2 1 和f r e i d b e r 9 5 司等人还对m 0 模式的 稳定性条件进行了研究，给出了如下充分必要条件： 未芸 三2 ( m 2 一。) ( 4 0 ) 玩日毋lr 、7 设不可压缩等离子体的电流拥有幂次率剖面，d o 。，则可以把上式化为如下形 式 5 l 】： m 2 2 n + 4( 4 1 ) 这预言了大部分情况下矾2 的扰动是接近稳定的，而m 。1 的模式却总是不稳 定的。 此外，人们研究过使用外加轴向磁场使z 箍缩磁流体不稳定性致稳的问题。 内部不稳定性模式中最危险的是交换和准交换模式，这些模式的扰动基本上不会 使磁力线弯曲。s u y d a m 【冽给出了七凰一0 时局域化的内部模式致稳必要条件： 三( 铲等争。 第二章z 箍缩等离子体不稳定性研究基础 其中应z ( ，b o 。) 。通常d p o ld r 0 ，而( 丘7 西) 2 表示磁力线剪切的稳定化效应。 在s u y d a m 条件的基础上n e 、v c o m b 发展出了一系列柱形等离子体稳定性的充要条 件，参见论文 5 9 】。 2 3 动力箍缩不稳定性的m i l d 模型 实验证明，以中空气体柱、金属套筒或丝阵内爆形成的空心等离子体套筒为负 载的动力z p i n c h 相对于平衡箍缩而言有更好的内爆品质和更高的x 射线转换功 率 6 0 ，6 1 ) 。在等离子体壳层的厚度较薄的情况下，通常利用平板模型对等离子体套 筒做近似。 考虑厚度为2 d 的等离子体层，在均匀磁场的压力作用下，沿径向b 方向) 加速向心运动，磁场处于( 弘：) 平面：b o = b q 舡) 矿b 毋k 。建立随等离子体壳 层一同运动的笛卡儿坐标系，如图3 所示。在此协同参考系中不存在等离子体的 平衡流动，但是由于参考系的变换，会有与工方向相反的加速度g 出现： 暑o ，f ) ：一照= 一萼 ( 4 3 ) l ，。+ ，一一一 龟 x 图3 等离子体壳层示意图 这样，等离子体满足的m h d 方程组基本上和平衡箍缩m u d 方程组( 6 ) 式相似，只是运动方程比( 8 ) 式多了一个重力项： 1 9 0d r _ _ ，l = 一v + 厶骂+ j 1 b o + n g “l 对扰动作傅立叶分析： 善( ，t ) = 善( 工) e x p ( 一i t + i k y y + i k ：) 1 4 ( 1 0 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) 一曼三童兰塑堕篁塞王壁至整壅堂笙塞量型 结合系统的平衡关系： 一v p o + t ，o 蜀+ p o g = 0 ( 4 6 ) 可以得到一个类似于( 2 1 ) 式的关于扰动位移j 方向分量的方程： 旦d x 卜刳也：o ( 4 7 ) l出 “。 其中 露= 璺d ( 棚2 一户2 ) ( 2 一户2 ) ( 4 8 ) 、 ，、 4 5 ， 、 l = - p o t ：c 0 2 _ p 2 ) + g i d p o + p o c 。9 2 _ 、小户2 ) 一丢簪( 矿刮( 4 9 ) d = c 0 4 一k 2 ( 国2 一户2 2 ) ( 5 0 ) 肛去( + ) 2 ( 5 1 ) 霹= 硪+ 壤( 5 2 ) 七2 = t ：+ 霹( 5 3 ) g o e d b l o e d 5 7 1 指出，虽然方程( 4 7 ) 式与( 2 1 ) 式相似，但它们之间的差别 十分重要，不能用简单的方法从( 4 7 ) 式转换到( 2 1 ) 式，也就是说不能用等效 重力场表示磁力线的弯曲。此外，在动力z p i n c h 实验中，大多数情况下等离子 体加速度g 远大于囡磁力线弯曲引起的等效加速度g 泸考虑半径为r 的圆柱型 套筒在角向磁场岛口驱动下向内加速，其厚度d r ，平均密度为磊，则其加速 度近似为g = 碲( 胁磊d ) 。把这个加速度与( 3 2 ) 式给出的等效重力加速度作比 较得到 坠g 等呈r ( 5 4 ) d 晶 其中，啊、正为离子数密度和离予温度。由于在动力箍缩的向心加速过程中热压 远小于磁压，且d r 1 ，因此( 5 4 ) 式右端远小于1 ，即g e f f g 。由此可见， 虽然在动力z - p i n c h 内爆过程中r t 不稳定性与其它磁流体不稳定性一起发展，但 r t 模的增长要快的多，在这种情况下它们是破坏箍缩对称性的最危险的模式。 第二章z 箍缩等离子体不稳定l 生研究基础 为了能够对z - p i n c h 等离子体中r t 不稳定性的特性有一个初步的了解，我 们首先讨论r t 不稳定性的一种重要特殊构形“槽纹型扰动”。设等离子体满 足不可压缩条件驴一v = 0 ，且凰= 蹦j ) e y ，露= 钯，这时我们有丘b o = 0 ，户= 0 。 利用上述条件，方程( 4 7 ) 式简化为 罢( 矿警) 名( p o c 0 2 + g 警) 纠( 5 5 ， 由界面处压强连续导出的边界条件为 国2 单一k 2 9 邑：0 ( 5 6 ) 观察发现，对于任何未受扰动剖面西0 ) 、p o0 ) 、岛，总存在一个满足方程( 5 5 ) 式和边界关系( 5 6 ) 式的本征函数： 炙( 工) = e x p ( 一向c ) ( 5 7 ) 其对应的本征值 r = 砌= 阍 ( 5 8 ) 即为众所周知的由重力支撑的流体中r t 扰动增长率。 由于本征函数( 5 7 ) 式在x 空间处处不为零，因而对于任何波数k 而言，相 应的本征值( 5 8 ) 式对应于最快的不稳定性模式，称为全域r t 模。在短波长条 件下，全域r t 模式对应的扰动轰( z ) 局域于等离子体外边界处。通常等离子体 电导率是有限的，磁场将在等离子体外边界处厚度为5 的趋肤深度内变化。以扰 动波长旷1 为尺度，当扰动波长远小于趋肤深度( k - 1 时，它们可以在趋肤 层内部以增长率( 5 8 ) 式快速发展。这种在靠近等离子体外边界趋肤层内高速发 展的短波长扰动模式被称为局域的r t 模式，全域模的所有性质在这个尺度下仍 然成立，因此，局域r t 模局部地再现了全域r t 模的性质。 对于k - b o 0 的情况，扰动会受到( 5 1 ) 式定义的p 2 项的致稳作用，因此通 常来讲这些模式并不是最危险的。但是需要特别注意的是当矢量k 与b o 之间的角 度趋于玎2 ，k b o 值较小但仍为有限时，这种所谓的准交换模式发展十分迅速， 有可能成为主导模式。为了说明这一点，我们列出了e c k a r t l 6 2 1 及c h e n 等人 6 3 3 从 大气物理学角度分别给出的豇一m 时准交换模式及交换模式的稳定性判据： 准交换模式： 第二章z 箍缩等离子体不稳定性研究基础 交换模式： r 2 ：盟+ 嬖：盟+ 蜜 h ) 时， 不稳定性将按照均匀磁场剖面的情况发展。 尽管磁剪切对长波扰动的作用是有限的，但是轴向磁场本身依然对改善系统 的不稳定性( 特别是蠡1 1 0 = 0 纯槽纹模式) 有十分重要的影响。r y u t o v 等人闻研 究了强趋肤条件下， 亢时轴向磁场对不可压缩等离子体r t 不稳定性的抑制， 得到如r f 色散关系： 彩4 2 坛国2 兰l _ 兰兰警一2 9 2 = 。 ( 6 2 ) coso=k女y(63) 其中岛、b 品分别为等离子体内部轴向磁场和外部角向磁场。从( 6 2 ) 式不难看出， 由于轴向磁场阻碍了沿轴向发展( 也o ) 的扰动，因而在抑制槽纹型扰动增长方 面有着特殊的意义。 尽管磁剪切，以及轴向磁场本身对抑制不稳定性增长有着积极的作用，但是 由于在箍缩过程中，系统需要损失部分驱动能量用于对等离子体内部轴向磁场的 压缩，因此从能量转换的角度来讲，这并不是一种理想的致稳手段。 2 5 有限拉莫尔半径( f l r ) 效应 在z - p i n c h 内爆过程中，离子温度正通常接近或者大于电子温度兀。在适当 的条件下离子拉莫尔半径n 可以变得较大币6 郇j ，当其发展到扰动波长量级时，所谓 的有效拉莫尔半径效应交得明显起来。r o s e n b l u t h 等1 7 0 ) 首先考虑了有限拉莫尔半 径对等离子体不稳定性的影响，之后又有许多作者加以研究【7 1 7 “。可以证明f l r 效应对系统起到了致稳作用，其主要的致稳机制是离子的回旋粘性。为了研究f l r 效应对z - p i n c h 等离子体r t 不稳定性的影响，邱孝明等人【4 3 1 曾利用一种巧妙的方 法给出了有限拉莫尔半径条件下系统的扰动增长率。 考虑被角向( y 方向) 磁场b = b ( 工b 推动的厚度为2 d 的均匀密度不可压缩 第二章z 箍缩等离于体不稳定性研究基础 等离子体平板，在真空中以加速度g 沿径向( x 方向) 运动。在随等离子体运动 的坐标系中，平板内没有平衡流动，系统应满足的线性化连续性方程和运动方程 为： 孥+ h v p o = o ( 6 4 ) 成婴= 一+ - 1 0 曩+ 峨+ n g ( 6 5 ) 由于仅考虑