（应用数学专业论文）不动点定理及其应用.pdf

硕士学位论文 n t a s t e r st h e s i s l l i i ll li llll l li it i i i iiil y 18 9 9 0 7 6 f i x e dp o i n tt h e o r e ma n di t sa p p l i c a t i o n at h e s i s s u b m i t t e di n p a r t i a lf u l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t s f o r t h em s d e g r e ei nm a t h e m a t i c s y a n gl i u p o s t g r a d u t ep r o g r a m s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c s c e n t r a lc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r ：d e n gy i n b i n a c a d e m i ct i t l e ：p r o f e s s o rs i g n a t u r e a p p r o v e d ： m a y 2 0 11 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 日期： z , - t l 岁月彳日 学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留、使用学位论文的规定，0 0 研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华中师范大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许学位论文被查阅和借阅； 学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手 段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 - 作者签名：袖柳导师签名：研弓l i 友纳 日期：2 - 0 年岁月句日日期：d - 1 年f 月 7 日 。 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。园意途塞握銮蜃溢唇；旦坐生；旦= 生i 旦三生发查! 储签名：彳撕导师签名：叉俐揪 日期：沙”年；月刁日 日期：a l 睁厂月 7 日 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 鬻麓黼罔 l “= g ，。q t = o ) 的解的存在性，q r ( n 4 ) 是一个有界光滑的区域，t 0 是固定的，其中 g h 1 ( q ) ，：q r _ r ，满足一些结构性条件： 此外，本文还利用了s c h a e f e r 不动点定理讨论了d i r i c h l e t 边值条件的双调和 问题 ， i 2 u + b ( a u ) + c ( o u ) - i - 心= 0 ，z q 1u = 丽o u = o ，2 弛 的解的存在性，qcr ( n 4 ) 是一个有界光滑的区域，c ：or ，b ：r - r ， b ，c 是l i p s c 蛾z 连续函数，1 6 0 ) l c l ( i p l + 1 ) ，i c ( g ) l c 2 ( i q i + 1 ) ，q ，q 是常数， p r ，g 最后，同样利用s c h a e f e r 不动点定理讨论了n a v i e r 边值条件的双调和问题： j 2 缸+ b ( a u ) + c ( d u ) + 肛u = 0 ，z q 1u = u = 0 ，z a q 的解的存在性，q r ( n 4 ) 是一个有界光滑的区域，c ：r n _ r ，6 ：r _ r ， b ，c 是l i p s c h i t z 连续函数，1 6 ) i c 1 ( i p l + 1 ) ，i c ( g ) i c 2 ( i q i + 1 ) ，q ，q 是常 数，p r ，口 关键词：, f 1 2 算子；b a n a c h 不动点定理；s c h a u e f 打不动点定理；解的存在性 i 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t s o l u t i o nt ot h ef o l l o w i n gn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ： 恳麓黼捌 lu = g ，z q t = o ) w h e r eq r ( n 4 ) i sas m o o t hb o u n d e dd o m a i n ，t h et ；r n et 0 i s 叙e d ， g h 1 ( q ) ，：q 冗兄n _ ra n ds a t i s f i e ss o m eo t h e rs t r u c t u r ec o n d i t i o n s i na d d i t i o n ，w ea l s ou s es c h a e f e r sf i x e dp o i n tt h e o r e mt od i s c u s st h ee x s i t e n c e o fs o l u t i o nt ot h ef o l l o w i n gb i h a r m o n i ce q u a t i o nw i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n ： 1 2 u + b ( a u ) + c ( d u ) + 弘乱= 0 ，z q tu = 塞一o ，z 锄 q r ( 4 ) i sas m o o t hb o u n d e dd o m a i n ，c ：寸r ，b ：r 一r ，b ，ca r e l i p s c h i t zc o n t i n u o u sf u n c t i o n s ，1 6 ( p ) i q ( 1 p 1 - i - 1 ) ，l c ( 口) l g ( 1 q l + 1 ) ，c l ，岛a r e j 2 u + b ( a u ) + c ( d u ) + 心= 0 ，z q 、u = 缸= 0 ，z 视 q r n ( n 4 ) i sas m o o t hb o u n d e dd o m a i n ，c ：r ，b ：r _ r ，b ，ca r e l i p s c h i t zc o n t i n u o u sf u n c t i o n s ，1 6 0 ) i a ( 囟l + 1 ) ，l c ( 口) l c 2 ( i q l + 1 ) ，a ，c r 2 a r ec o n s t a n t s ，p r ，g r k e y w o r d s ：2o p e r a t o r ；b a n a c h sf i x e dp o i n tt h e o r e m ；s c h a e f e r sf i ) c e dp o i n t i i 硕士擘位论文 m a s t e r s t h e s i $ 目录 摘要： a b s t r a c t i i 第一章引言及主要结果1 第二章 预备知识5 第三章主要定理的证明二1 1 参考文献1 9 致谢2 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章引言及主要结果 双调和方程问题解的研究一直都比较活跃1 9 8 7 年，t k u s e m o 和c a s w a n s o 在文献【5 】中研究了半线性双调和方程2 让= ，( z ，u ) ，z r ( 3 ) 的正整解 的存在性1 9 9 4 年，文如庆、陈世明在文献【1 4 1 中进一步研究了半线性双调和方 程2 钍= ，( z ，让，v 让) ，z 剧v ( 3 ) 的正整解1 9 9 8 年，许世兴在文献【1 6 】中给 出了奇异非线性双调和方程2 u = ，( z ，t ，v u ) u 一，卢 0 ，z ( 3 ) 的正 的径向对称解的存在性定理 2 0 0 7 年，吴琼、钟金标在文献f 1 5 1 中通过将双调和方程问题化为椭圆方程组 问题，利用上下解方法和不动点定理，考察了双调和方程问题： j 2 钍= m ( z ) u n ( x ) a u + ，( z ，牡，一v u ，d u ) ，z q i 缸= a u = 0 ，z a q 的弱解的存在性其中q 为冗( 2 ) 中具有光滑边界的正则区域 可见这些中外研究者的确取得了丰硕的成果在本文中，我利用b a n a c h 不动 点定理证明了非线性发展方程的初边值问题： ( p 1 ) 解的存在性，利用s c h a e f e r 不动点定理讨论了d i r i c h l e t 边值条件的双调和问题： l 2 u + b ( a u ) + c ( d u ) + 肛= 0 ，z q 1t ：五o u = ：o ，z 1 5 l q 【t 2 丽。u ，z 挑l 的解的存在性，以及n a v i e r 边值条件的双调和问题： i 2 牡+ b ( a u ) + c ( d u ) + 肛= 0 ，z q l 缸= a u = 0 ，z a q 的解的存在性 。 ( p 2 ) ( p 3 ) 本文在证明过程中用到了两个很重要的不动点定理：b a n a c h 不动点定理和 s c h a e f e r 不动点定理，下面先叙述这两个定理文献【7 】第九章第二节中给出了 b a n a c h 不动点定理和s c h a e f e r 不动点定理： 1 、， 2 地卜孔研叮 k = 引力缸 = 仉c ： 山 ： c | l 气 = “ 兰扎一娑 丝珧一一 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s b a n a c h 不动点定理设x 是一个b a n a c h 空间，假设a ：x - 4x 是一个 非线性映射，并且满足：存在某一个常数7 0 是固定初始函数g 础( q ；胪) ，f ：r 仇_ ”是 l i p s c h i t z 连续函数，i f ( z ) i c ( 1 + i z l ) ，c 是常数，z ” 本文中，我们采取了同样的方法去研究( p 1 ) 的解的存在唯一性 r e m a r k1 1 ：牡( z ，t ) 工2 ( 【o ，刁；珊( q ) ) ，定义u ：【0 ，明- 4 瑶( q ) ，对任 意的z q ，0 t t ，【u ( ) 】( z ) = t ( z ，t ) ，( z ，t ) 驴( f o ，列；l 2 ( q ) ) ，定义 f ：【0 ，刁- 4l 2 ( q ) ，对任意的z q ，0 t t 【“) 】( z ) = i ( 2 3 ，t ) 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 为了讨论( p 1 ) 问题的解的存在性，我们需要先得到如下初边值问题： f 害弋2 缸= ，p ，) ( z ，t ) q ( o ，刀 1 归豢- 0 心印队【0 ，卵 ( p r ) iu = g ，z q t = o ， 在空间l 2 ( f o ，t i ；瑶( q ) ) 中的解的存在唯一性 文献【7 】第九章第二节中曾利用s c h a e f e r 不动点定理讨论过半线性椭圆型偏微 分方程的边值问题： j 一t + b ( d u ) + 刖= 0 ，z q，、 1u - 0 ，z 弧 m 当p 0 充分大时，存在解让h 2 ( q ) n 硪( q ) 其中q r 是有界的并且边界 光滑的区域，b ：冗nor 是光滑的，l i p s c h i t z 连续的，并且对某一常数c 和所有的 p r 都满足增长性条件1 6 白) i c o p i + 1 ) 从中我们得到了启发，本文同样的是利用s c h a e f e r 不动点定理讨论了双调和问 题( p 2 ) 和( p 3 ) 解的存在性为了得到我们的结论需要如下双调和方程的解的存 在性以及解的正则性估计： ( p 2 ) q 冬r n ( n 4 ) 是一个光滑有界的区域，f l 2 ( f 0 ，当弘 一入l 时，问题( p 2 ) 的 解在瑶( q ) 中是存在的 r e m a r k1 2 ：在文献【8 】，【1 3 】中曾详细的讨论了双调和方程d i r i c h l e t 边界条 件的特征值问题： fa 2 t ：a 乱，z q t 缸= 爰= o $ 锄 卜 的第啃譬龇，并且a x 0 舯a x = 喇i n f ，础练警 此外，还需要的另外一个双调和方程的解的存在性以及解的正则性估计： 缸a = 2 u + u p ：u = 吣f , x 枫e f l ( p 3 ，) 1 缸= u ：o ，z a q 【朋j q r ( n 4 ) 是一个光滑有界的区域，舻( q ) ，当p 一a l 时，问题( p 3 ) 的解在h 2 ( q ) n 月3 ( q ) 中是存在的 c ： l 掰 2 z = q m = 邮乩一凯 砒 一 ，-j l l 一， r e m a r k1 3 ：在文献【8 】中也已经详细的讨论了双调和方程n a v i e r 边界条件 的特征值问题： 忙嫠狴觚 艏， 的第一特征值人l ，并且a 1 o 其中a 1 = 删n ) n i n 咄f - t 吼硼锩等 u t l 。 i矗“，t 手ui i u i 岫 本文的主要结果如下： 定理1 1 设( ) 、( 厶) 、( ) 成立，则问题( p 1 ) 存在唯一解让l 2 ( 【o ，刁；瑶( q ) ) 定理1 2当p 0 充分大时，d i r i c h l e t 边值问题( p 2 ) 存在解u 瑶( q ) 定理1 3当p 0 充分大时，n a v i e r 边值问题( p 3 ) 存在解u 铲( q ) n 硪( q ) 本文的结构如下：在第二节中，我们给出一些准备性的知识和一些引理，命题 及其证明在第三节中，我们证明主要结果定理1 1 、定理1 2 及定理1 3 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 第二章预备知识 本节中，给出为了证明定理1 1 ，定理1 2 及定理1 3 所要用到的一些引理下面 我们先讨论问题 f 象尝2 一m 脚脚( o ，刁 弘蒜_ 0 ，( 州) 酣队f 0 卵 ( p r ) 【t = g ，z qx t = o ) 的可解性 瑶( q ) 是一个h i l b e r t 空间，定义其中的内积和范数分别为：对任意的让，u 焉( q ) ，( u ， ) 露( n ) = 上u u 如，i 瑶( = ( 上i t 1 2 如) ；，在瑶( q ) 中必存在 一组完备正交基，记为 蛾) 鼍1 命题2 1 设q 为r ( 4 ) 中的有界光滑的区域，f l 2 ( 【o ，刁；l 2 ( q ) ) g l 2 ( q ) ，时间t 0 是固定的，则抛物问题( p l ) 的解u 在空间三2 ( 【o ，卅；h g ( q ) ) 中存在且唯一 以下l e m m a2 1 一l e m m a2 5 详细的给出命题2 1 的每一步证明固定 正整数m ，我们将要寻找一个函数u m ：【o ，卅_ h 3 ( q ) ，具有形式： u m ( ) = 蘸( t ) 魄， ( 1 ) k = l 我们希望选择系数磙( ) ( 0 t k = 1 ，2 ，m ) 使得 馥( o ) = ( 9 ，峨) ( k = 1 ，2 ，m ) ( 2 ) 其中( ，) 表示l 2 ( f t ) 中的内积并且 ( 心，蛾) + b 【u m ，w k ；t 】= ：( f 蛾) ( 0 t lk = 1 ，2 ，m ) ( 3 ) 其中b 【u m ，峨；t l ：u m a w k d x l e m m a2 1 对于每一个整数m = 1 ，2 ，形如( 1 ) 式且满足( 2 ) ，( 3 ) 式的 函数是唯一的 证明： 设u m 具有形式( 1 ) ，那么 ( 心( ) ，魄) = ( t ) ( 宰) 5 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 召【u m ，魄；司5 上( 1 = 1 如( d 岫) 蛾如2 ( 功如( t ) ， ( 其中e k ( t ) = a w l a w k d 忿( = 1 ，2 ，m ) 记，七 ) = ( f ( 芒) ，u k ) = 1 ，2 ，m ) 由( 3 ) 式，利用( ：c ) ( 料) 可以得到一个常微分方程组： ( t ) + e h ( ) 矗( ) = i f ( t ) ( 七= 1 ，2 ，m ) ， ( 4 ) 结合初值条件( 2 ) ，由常微分方程组初值问题解的存在唯一性定理可知，对0 t t 存在唯一的绝对连续函数“( 芒) = ( 姥1 ( t ) ，d 2 m ( t ) ，蠕( ) ) 满足( 2 ) 及( 4 ) 几乎处 处成立所以，对0 t t 由( 1 ) 定义的式子满足( 3 ) 几乎处处成立 口 l e m m a2 2存在一个仅依赖于q ，t 常数c 使得： o m 。a s x l i i u m ( t ) l l l ：( f 1 ) + i l u m l i l z ( 【o 卅；瑶( n ) ) + 0 u 二i l l ：( 1 0 ，卅；l 。( q ) ) c ( 1 l r l l l 2 c t o ，明；驴( n ) ) + 1 1 9 0 l 2 ( m ) m = 1 ，2 ( 5 ) 证明：等式( 3 ) 两边同时乘以磙( t ) ，k 从1 加到m ，得到：对0 t t ( ，u m ) + b ，u m ；t 】- ( f ，u r n ) 几乎处处成立所以，对适当的常数qq 及0 t t 爰( 8 呶n ) ) + 2 0 u m n ) c 1 1 1 - , , , 1 1 至：( n ) + 驯椎( 。) ( 6 ) 几乎处处成立 记 7 7 ( t ) = i l u , ( t ) l l 羔：( q ) ，专( ) = i i f c t ) l l 乞c ) ， 由( 6 ) 式得，对0 t t ，0 ) a o c t ) - t - g ( 亡) 几乎处处成立由微分形式的 g r o n w m l 不等式得： , t c t ) e 白。( ，7 ( o ) + q ( s ) d s ) ( 0 t t ) 由( 2 ) 式， ，7 ( o ) = l l u m ( o ) 暾n ) 1 1 9 1 1 羔。( q ) ， 由t 的任意性，可得到 更裴荟i i u m ) | i 羔：( n ) c ( 1 1 q l l 乞c n ) + i l e i l 芝：( f o ，即；l 。( n ) ) ) 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 再利用一次( 6 ) 式，有 0 u m ( q ) 白i l u m 嵫( q ) + 及- i l f l l $ ：( n ) 。 将上式两边关于t 从0 到t 积分，可得： ，t o u m l l 至z ( 【o 御；哪( 0 ) ) 2 上 i u m l l ( n ) 出c ( | 1 9 l i 知( n ) + l l f l l 至z ( f o 羽；驴( 蚴) 固定任意的u 丑吾( q ) ，i l v l 1 ) l 并f 1 v = 钞1 + 钞2 ，其中口1 s p a n w k 嚣= l ， 2w k ) = 0 ( 七= 1 ，2 ，m ) 因为 蛾 七0 0 ：1 是瑶( q ) 中的正交基，i i v l l l x 孑c n ) 舾0 墙( n ) 1 利用( 3 ) ，我们可以推出：对0 t t ， 几乎处处成立因此， ( u 乞，口1 ) + 引u m ，u 1 ；司= ( f , v 1 ) ( 心，口) = ( 心， 1 ) = ( f ，口1 ) 一b 【u m ，u 1 ；胡 则我们有： i ( 心，u ) i c ( i l f i l l c ) + l i u m l l h i c r , ) ) ， 所以， i l 心0 l ：( q ) c ( i i f l i l 。( n ) + i i u m 0 瑶( n ) ) ， 在【o ，刁上积分上式得： ，t i i u ：n o 驴( n ) 如c ( i l f l l 2 驴( f o ，卅；l 2 ( n ) ) + i i i l 知( 【0 ，7 1 ；嘲( n ) ) ) c c i l i l g c l o ，司；弘( n ) ) + i i g l gc n ) ) 综上，我们可得到估计： 更臻荨i i ( ) 0 l ：( n ) + 0 u m 0 胪( 【0 ，刀；哪( n ) ) + 0 u ：，1 0 胪( 1 0 ，卅；l 2 ( n ) ) c ( i i i l l l 。( 1 0 ，明；l z ( n ) ) + l i g l l l c n ) ) 口 l e m m a2 3 问题( p 1 7 ) 存在一个弱解 证明：根据l e m m a2 2 中得到的能量估计，我们知道： 袅1 在空间 l 2 ( 【o ，列；瑶( q ) ) 中有界， 心) 亲1 在空间l 2 ( 【o ，刀；驴( q ) ) 中有界所以，存在在子 7 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 列( u m 。) 墨lc u 仇，袅l 及u l 2 ( 【0 ，刁；瑶( q ) ) ，u t 驴( 【0 ，刃；l 2 ( q ) ) 使得：在 l 2 ( 【o ，刁；瑶( q ) ) 中， u m ij u ( 7 ) 在l 2 ( 【o ，刁；妒( q ) ) 中， 心。j u ， ( 8 ) 固定一个整数n ，并且选择函数v c 1 ( 【o ，卅；g g ( q ) ) 具有形式： v = d k c t ) w k ， ( 9 ) 其中 驴 怎1 是给定的光滑函数，m n 在( 3 ) 式两边同时乘以驴( t ) 对k 从1 到 n 求和，然后关于t 积分，可得到： 。 厂( 州州”；t d t = f ( f v 皿( 1 0 ) 令m = 砚及( 7 ) ，( 8 ) 式，可得：对所有具有形式( 9 ) 的v l 2 ( 【o ，明；瑶( q ) ) 都有 一r ( u ，v ) + b ”；t d t = o t ( f v 皿 ( 1 1 ) 这是因为c 1 ( 【o ，刁；瑶( q ) ) 在驴( 【o ，明；h 2 ( q ) ) 中稠密特别的：对每一个u 瑶( q ) ，当0 t t 。 ( u ，t ) ) + b u ，钌；司= ( f u ) ，( 1 2 ) 几乎处处成立另外u c ( 【o ，刁；硪( q ) ) 为了证明u ( 0 ) = 9 ，我们对( 1 1 ) 进行分部积分得： ，- t ，t 一(，u)+b【u,v；t】dt=j00 ( f v ) 出+ ( u ( o ) ，v ( o ) ) ， ( 1 3 ) - ， 对每一个v c 1 ( 【0 ，幻；h 2 ( q ) ) ，v ( t ) = 0 成立同样的由( 1 0 ) 式，可以推出： r tt t 一(，um)+bttm,v；tdt=(fv)dt+(um(o)，v(o)(1400 ) jj l l m 。( o ) 一g 在瑶( q ) 中，u m 。( o ) 。g 在三2 ( q ) 中令m = m l ，再次利用( 7 ) ，( 8 ) 两 式得： , tf t 一( 、，u ) + b 【u ，v ；t d t = ( f , v ) d t + ( 9 ，v ( o ) ) ( 1 5 ) ，0j 0 由v ( o ) 的任意性，比较( 1 3 ) 、( 1 5 ) 两式，我们可以得到：u ( o ) = g 口 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s l e m m a2 4 问题( p 1 ) 的弱解是唯一的 证明： v = u 得： 我们只需验：证当f 兰g 兰0 时，问题( p 1 ) 只有零解在( 1 2 ) 式中取 ( u ，u ) + b u ，u ；司= 0 即： 一d ( 扣1 一) + i i d t ( i l l u q ) = o 、2 ”一。l 7 。 一。爿占【” 。 两边关于t 从0 到积分，可得： 因此，在空间瑶( q ) 中，u 兰0 ( q ) 0 口 命题2 2 设q 为r n ( n 4 ) 上的有界光滑的区域，当z - a 1 时，f l 2 ( q ) ，问题( p 2 ，) 的解在空间瑶( q ) 中是存在的且唯一 证明： 当弘 一a 1 时，对任意的t 瑶( q ) ，范数l l u l l = ( l u 1 2 + 肛2 如) j n 与范数陋。瑶( n ) = ( 上i u 1 2 出) 荟1 是等价的 事实上，当0 p + o o 时，一方面， 另一方面，因为 所以 l u 1 2 d a a 让1 2 + 矿如； 廿u 蒜，喇锩筹 a ls 厂舻如 ，n 一 厶l 让1 2 如 厶l 让1 2 出 石1 上阻1 2 出 a u l 2 + 舭2 如上l 让1 2 如+ 砉上 当一a l 弘 0 时， i u 1 2 如= c 1 + 砉) 上l u 1 2 如 上让2 出击上l 让1 2 出， 弘上u 2 如砉上i u 1 2 如， 9 硕士学位论文 埘【a s t e r st h e s i s ( 1 - 1 - - 砉) 上i 让1 2 d x 4 ) 上的有界光滑区域，驴( q ) ，当p 一a 1 时， 问题( p 3 ，) 的解在空间酽( q ) n 硪( q ) 中是存在的且唯一 证明： 当p - a 1 时，范数i l u 0 = ( ，l 让1 2 + p 让2 如) i 1 与范数l i u 0 硼( n ) = ， ，n ( ，i u 1 2 如) 壶是等价的，对任意的t h 2 ( q ) i l 硪( q ) 证明过程与命题2 2 类似 同样的，由l a x m i l g r a m 定理可知，对任意的，驴( q ) ，问题( p 3 ) 的解在空间 日2 ( q ) n 硪( q ) ) 中是存在的且唯一 口 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三章主要定理的证明 我们将在x = c ( 【o ，t i ；硪( q ) ) 空间中应用b a n a z h 不动点定理证明定理1 1 x = c ( 【o ，刁；硪( q ) ) 空间中的范数取为i l v l l = 。m a x i i v c t ) 1 1 日3 c n ) 给定一个函数u x ，令h ( ) = ，( z ，1 1 1 ，v u ) ，其中0 t t 则h ( t ) l 2 ( 【o ，刁；l 2 ( q ) ) 事实上， i l h l l 色c q ) ) = j 矗l ， ，u ，v u ) 1 2 如c f n ( 1 + i - i + i v - i ) 2 如 q 厶( i u l 2 + l v u l 2 ) 如+ g q ( | | u | i 至。( n ) + l i u l i ( n ) ) + 岛 要0 w 善! i ：，孑 焉：0 ：穿 【w = g ，z qx t = o w 驴( 【o ，卅；瑶( q ) ) ，一l 2 ( 0 ，l q ；l 2 ( q ) ) ，w c ( 【o ，刁；j e f j ( q ) ) 对每一个口瑶( q ) 及0 t t ，( 一，t ，) + b w ，u ；司= ( h ，幻) 几乎处处成立， 并且w ( o ) = g 定义a - x _ x ，令a f u 】= w 。 我们断言，t o 充分小，a 是一个严格压缩算子任取u ，d x ，定义 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s w = a 【u 】，膏= a 【训h = ( z ，u ，v u ) ，h = f ( x ，d ，v d ) 磊d | 1 w 一由0 ( f 1 ) = 夏d ( d w d 雷，d w d w ) = 2 c d c w 一影) ，d w d 膏) = 一2 ( 一影，a w 一前) = 一2 ( h 一2 w 一丘+ 2 前，a w 一西) ) = 一2 ( h 一矗，a w 一雷) + 2 c a 2 w 一2 前，a w 一前) = 一2 ( h f i , a w 一西) 一2 ( d ( a w 一酋) ，d ( a w 一前) ) 丢l l w 一面| l ( q ) + 2 1 1 d ( a w 一雷) 崆：( n ) = 一2 ( h 一矗，w 一前) c , l l h - 丘0 知( f 1 ) + c e n w 一雷崆，z ( q ) c 。l l h - g l i b , ：( n ) + d 芒h a w 一前i i ( f 1 ) 上式用到了p o i n c a r e 不等式，取e * 1 1 4 , ，可得： 勃w 一刮( n ) _ 0 充分小，使得( ( 冯) 壹= 7 1 ，我们利用 b a a a c h 不动点定理，能够在时间区间【0 ，噩】中找到问题( p 1 ) 的一个弱解存在，因 为u ( t ) 瑶( q ) ，所以u ( 噩) 瑶( q ) ，我们重复上述过程，能够将解延拓到时间区 间陬，2 五】中，继续这个过程，重复有限步，我们能够在【0 ，卅中构造出一个弱解 为了验证解的唯一性，假设ud 是问题( p 1 ) 的两个弱解，我们有w = u ，哥= d 根据不等式( 1 6 ) 和对任意0 s t ， i l u ( s ) 一d ( s ) i l ( 。) - c o 。i i u d l | ( n ) 出 定理1 2 的证明 给定缸瑶( q ) ，令 ，= - b ( a u ) 一c ( d u )( 1 7 ) 因此： i l f l l 至：( q ) = i b ( a u ) 一c c d u ) 1 2 d x 。 ，n = 【q ( i u l + 1 ) + c 2 ( i d u i + 1 ) 】2 d x c ( i a , 上1 2 + l d u l 2 + 1 ) 如 + 这是我们用到了u 瑶( q ) 所以，l 2 ( q ) 由命题2 2 知， ， i 2 伽+ z w = ，互q t 加= 豢_ 0 倒q 0 8 当弘充分大时，存在唯一弱解硼月孑( q ) 有正则性定理可知：l 【j 日4 ( q ) n 霹( q ) ， 并且有估计： i i 叫1 1 ( n ) n 哪( n ) c l l f l l , ：c n ) ( 1 9 ) 其中c 为某一常数记a 【翻= t t ，其中w 是通过给定的u 及( 1 8 ) 得到的由( 1 7 ) ， ( 1 8 ) ，( 1 9 ) 可得： l l a 【词0 日( n ) n 硪( q ) c ( i i u 0 墙( n ) + i i 也0 础( n ) + 1 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 下证a ：瑶( q ) _ 磁( q ) 是连续的并且是紧映射如果在月苦( q ) 中， 那么 所以 t 珐- t a 【u 七】= w k 1 w k1 1 ( n ) n 嘲( n ) = i i a u k 1 1 ( n ) n z - z 0 ( n ) c ( 慨慨( n ) - t - 慨慨( n ) - j r1 ) s u 七pi i 叫七i i ( n ) n 础( n ) 0 充分大，则集合 u h g ( n ) l u 圭h a u ，0 入1 ) 在空间瑶( q ) 中有界假设t h g ( n ) ，u = h a u ，o a 1 ，姜= a m ，u h 4 ( q ) nh i ( q ) 并_ f i tq 中 2 ( 姜) + p 姜= 一b ( a u ) 一c ( d u ) 几乎处处成立所以 2 让+ p u = 一a 【6 ( u ) + c ( d t 上) 】， 在q 中几乎处处成立在上式两边同时乘以u 并且在q 上积分，可得： 上l u 1 2 + p u 2 出= 一上州6 ( z x 让) + c ( 。u ) 】让如 v f ( i a u l + 1 + i d 让i + 1 ) l u l 如 e ll a u l 出+ g f n d 缸l i u i 出+ 2 c 上1 i 让i 如 欧a u i 2 如+ g 上l u l 2 出 + 譬厶i d t 正1 2 如+ 鲁厶l t 正1 2 d x + c 厶l u l 2 出+ c 1 取很小，使得c e = 互1 ，上式 a u l 2 + 肛2 出= 互1 上l 让1 2 出+ 。上m 2 如一i c 上让u 如+ a ，三上l 让1 2 如+ d 上i u l 2 出 + 譬矗i a u l 2 如+ 亟2 厶l t 1 2 d x + c 1 取p 很小，使得c 口= 互1 ， i u 1 2 + p u 2 如i 1 厶i u 1 2 d x + o 厶l t 上1 2 d x ，f l + f ol 牡1 2 d x + c 2f ol u l 2 d x + g 1 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 三1 a u l 2 如+ z 肚2 d x d f l 让1 2 如+ q 取p 充分大，使得p d = j l l ，则有i i 乱| i c ，其中常数c 不依赖于0 a 1 在空间x = 瑶( q ) 应用s c h a e f e r 不动点定理，算子a 具有一个不动点t 瑶( q ) 满足问题( p 2 ) 定理1 3 的证明 同样利用s c h e a f e r 不动点定理，给定u 铲( q ) n 硪( q ) ，为了后面是叙述方 便，记h = h 2 ( q ) i 1 硪( q ) ，令 f = - b ( a u ) 一c ( d u )( 2 2 ) 则 上2 d x c f c i a u i + i d 让i + 2 ) 2 如 d i a 让1 2 + i d u l 2 + 1 】如 ( 2 3 ) o ( 8 u 0 备+ 0 l l ( 哟+ 1 ) 因此，l 2 ( q ) 由命题2 3 ，当p 充分大时，令t 1 7e 铲( q ) n 硪( q ) 是下面问题的唯一弱解， f 2 加+ 卢锄= ，z q t 硼= 伽= o ，z 御 由正则性定理可知：加( q ) i - i 硪( q ) ，并且有估计： i i 伽1 1 - ( n ) n 础( n ) c l i s i i l z ( n ) ( 2 4 ) 其中c 为某一常数记a m = 凹，其中t u 是通过给定的u 及( 2 2 ) ，( 2 3 ) 得到的由 ( 2 2 ) ，( 2 3 ) ，( 2 4 ) 可得： i i a n1 1 日t ( n ) n 础( n ) c ( i i u 0 日+ i l t 正0 日3 ( n ) + 1 ) ( 2 5 ) 下证a ：日2 ( q ) n 日3 ( q ) _ 铲( q ) i 1 础( q ) 是连续的并且是紧映射如果在 舻( q ) nh o ( q ) 中， 牡毛- u ( 2 6 ) 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a u k 】= 叫七 1 1 w kl l x t ( n ) n 础( q ) = i i a 【】l | 日( n ) n 硪( n ) c ( 1 l 让k l l x4 - 愀i i 础( n ) 4 - 1 ) s u pl i 伽七0h 4 ( n ) n h 0 2 ( n ) + o o 存在子列 0 充分大，则集合 t 正h 2 ( f 1 ) n 硪( q ) i t 正= a a 【叫，0 a 1 ) 在空间日2 ( q ) n 瑶( q ) 中有界假设u f i r 2 ( q ) n 硪( q ) ，让= a a m ，0 入1 ， 等= 州川，让日4 ( q ) n 硪( q ) 并且在q 中 2 ( 姜) + p 姜= 一6 ( u ) 一c ( d u ) ， 17 几乎处处成立在q 中 a 2 t + p u = - 入n a - ) + c ( d 让) 】， 几乎处处成立在上式两边同时乘以u 并且在q 上积分，可得： a 牡1 2 + # u 2 出= 一上州6 ( 让) + c ( 。u ) 】让出 ca u i + 1 + i d 牡i + 1 ) i 牡l 如 - c li a u i i 让l 如+ o fi o 让i i 让i 出+ 2 c 上1 m 如 侠a u l 2 如+ 仅上l 让1 2 如+ 罢上i 。牡1 2 如 + 譬厶i , l 1 2 d z + c s ol u l 2 如+ q 取e 很小，使得c = 互1 ，上式 = 互1 上i u 1 2 如+ d 上l 牡1 2 出一i c 上让诎+ q 三上脚1 2 如+ 。小1 2 如+ 譬阻1 2 如+ i c o 肌2 如慨 取p 很小，使得c 口= 互1 ，上式 ：1l i a u l 2 如+ 。上i u l 2 如+ 互1 上i u 1 2 出+ q 上i u l 2 如+ q 则可得o 三li a 砰如+ 上肛2 出口“2 如慨 取p 充分大，使得卢一e = p ，则有1 1 , 比1 1 - c ，其中常数c 不依赖于0 a 1 在空间h = h 2 ( q ) n 硪( q ) 应用s c h a e f e r 不动点定理，算子a 具有一个不动 点让h 2 ( q