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随机利率下亚式期权的定价问题摘要 摘要 亚式期权是一种典型的强路径依赖型期权，它的价值依赖于标的资产 的价格在一定时期内的平均值它最早出现于日本，故名亚式期权由于亚 式期权的强路径依赖性，所以与相应的标准期权相比，亚式期权的风险要 小，因此，价格也要比相应的标准期权低亚式期权的最主要作用是它可以 很大程度限制人为操纵标的资产价格的行为，因此，亚式期权作为一种新型 的期权备受瞩目，但由于其强路径依赖性，其定价问题也相当复杂，因此， 对其定价的研究也一直是个热门且非常有意义的课题 本文在v a s i c e k 随机利率模型下，建立了具有固定敲定价格的欧式几何 平均亚式看涨期权以及具有固定敲定价格的欧式算术平均亚式看涨期权的 偏微分方程定价模型 对具有固定敲定价格的欧式几何平均亚式看涨期权的定价偏微分方程 模型，我们参考计价单位转换方法，构造了一个全新的变换，从而将抛物型 方程的状态空间的维数降低了两维，把方程化成了一维c a u c h y 问题，最终 给出了所涉及的抛物型方程的c a u c h y 问题的显式解 对具有固定敲定价格的欧式算术平均亚式看涨期权的定价模型，我们 先对所涉及的抛物型方程的c a u c h y 问题进行常规的变量代换，使状态空间 的维数降低了一维，然后我们运用显式差分格式给出了数值解，并对算得的 一些结论讨论其相应的金融意义 关键词：期权，亚式期权，v a s i c e k 利率模型，偏微分方程 作者：刘莉 导师：朱宁( 副教授) a s i a no p t i o np r i c i n gu n d e rs t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t em o d e l a b s t r a c t a s i a no p t i o np r i c i n gu n d e rs t o c h a s t i c i n t e r e s tr a t emo d e l a b s t r a c t a s i a no p t i o ni sat y p i c a lr e p r e s e n t a t i v eo fs t r o n g l yp a t hd e p e n d e n to p t i o n i t s v a l u ed e p e n d so nt h et h ea v e r a g ep r i c eo ft h eu n d e r l y i n ga s s e ta tac e r t a i np e r i o d o ft i m e i tf i r s ta p p e a r e di nj a p a n ，s ow ec a l li ta s i a no p t i o n b e c a u s eo fs t r o n gp a t h d e p e n d e n c e ，t h ep r i c eo fa s i a no p t i o ni sc h e a p e rt h a nt h ec o r r e s p o n d i n ge u r o p e a n o p t i o n a s i a no p t i o np l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nl i m i t i n gt h es u b j e c to fm a n i p u l a t i o n o fu n d e r l y i n ga s s e tp r i c eb e h a v i o r f o rt h e s er e a s o n s ，p e o p l ep a ym u c ha t t e n t i o no n a s i a no p t i o n b e c a u s eo fi t ss t r o n gp a t hd e p e n d e n c e ，i t sp r i c i n gp r o b l e mi sa l s ov e r y c o m p l i c a t eb u tah o ta n dv e r ym e a n i n g f u lt o p i c t h i sp a p e rp r e s e n t sat h e o r yo fc o n t i n u o u ss a m p l e da s i a no p t i o np r i c i n gw h e n t h ei n t e r e s tr a t ei sm o d e l e db yv a s i c e km o d a l f o rg e o m e t r i ca v e r a g ea s i a no p t i o n ，w e g e tap d ew h i c ht h ep r i c eo ft h eg e o m e t r i ca v e r a g ea s i a no p t i o ns a t i s f i e d w et a k et h e m e t h o do fc h a n g i n go fn u m e r a i r ea sar e f e r e n c e ，t h e nw es t r u c taf u l l yn e wn u m e r a i r e m e t h o d ，s ot h a tw ec a ng e tao n e d i m e n s i o n a lp d ew h i c ht h ep r i c eo ft h eg e o m e t r i c a v e r a g ea s i a no p t i o ns a t i s f i e d f i n a l l y , w eg i v eae x p l i c i ts o l u t i o nt ot h ep d e f o ra r i t h m e t i ca v e r a g ea s i a no p t i o n ，w em a k eaa d o p ti n f i n i t es c h e m et oc a l c u l a t e t h es o l u t i o nn u m e r i c a l l y a n dw eg i v ea ne x a m p l co fh o wt oc a l c u l a t et h ep r i c eo f a r i t h m e t i ca v e r a g ea s i a no p t i o n k e y w o r d s ：o p t i o n ，a s i a no p t i o n ，v a s i c e ks t o c h a s i c e ki n t e r e s tr a t em o d e l ，p a r t i a l d i f f c r e n t i a le q u a t i o n i i w r i t t e nb yl i u l i s u p e r v i s e db yz h u n i n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体己经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人承担本 声弓目的法律责任。 研究生签名：弭日期： 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致尊除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：之l 墨= l 一日期：趟盈幽 研究生签名：型l 盏= l 一日 期：趔暨幽 导师签名：鑫孟 日期：翻a 遵生凰 随机利率下亚式期权的定价问题 第一章引言 1 1 期权的基础知识 第一章引言 期权( o p t i o n ) 是指持有人在未来某确定时间，按确定价格买入或卖出一 定数量和质量的某种特定原生资产的协议 期权持有人具有按协议条款在确定时间实施这个协议的权利，但不负有 必须实施这个协议的义务，在期权合约中，确定价格称为实施价格( e x e r c i s e p r i c e ) 或敲定价格( s t r i k ep r i c e ) ，确定日期称为到期日( e x p i r yd a t e ) ，按期权合 约规定执行购入或销售原生资产称为实施( e x e r c i s e ) 1 1 1 期权的分类 1 期权按照合约中的买入和卖出原生资产可分为：看涨期权( c a l lo p t i o n ) 和看跌期权( p u to p t i o n ) 看涨期权是指持有人在确定时间，按照确定价格有权买入一定数量和 质量的原生资产的合约；看跌期权是指持有人在确定时间，按照确定价格有 权卖出一定数量和质量的原生资产的合约 2 期权按照合约中的实施日期条款可分为：欧式期权( e u r o p e a no p t i o n ) 和美式期权( a m e r i c a no p t i o n ) 欧式期权是指只能在合约到期日实施；美式期权是指能在合约到期日 ( 包括到期日) 之前的任何工作日实施。 3 随着金融市场的不断发展与完善，涌现出许多新型期权如，路径依 赖型期权，即期权的最终收益不仅仅取决于标的资产在到期日的价格，还取 决于标的资产在有效期内价格的变化过程 按对路径依赖的强弱，这类期权还可以分为两大类：弱路径有关期权和 强路径有关期权 随机利率下亚式期权的定价问题第一章引言 弱路径有关期权：期权最终收益与期权在有效期内标的资产的价格是 否达到某个合约规定的水平有关典型的例子是关卡期权 强路径有关期权：期权最终收益与期权整个有效期内( 或者部分有效期) 标的资产的价格有关典型的例子是亚式期权 这些新型期权的出现，一方面繁荣和补充了金融衍生产品证券市场，另 一方面也为期权的定价带来了新的挑战 1 1 2 期权定价理论的历史回顾 期权作为一种规避风险的衍生金融工具，它的基本特征是：期权合约买 卖双方权利和义务是不对称的期权合约持有者( 买方) 有权利根据市场变 化情况来决定是否履行合约，持有者拥有的是权利，而非义务期权合约的 卖方则正好相反，只有义务没有权利即只要买方要求实施权利，则卖方必须 履行，如果买方根据市场情况，认为实施合约无利可图，在到期日不履行合 约，则合约自动失效显然这种合约，使得买方在各种市场环境下，总是受 益，而卖方总是处于不利地位为此期权买方需要付出一定的代价即期权价 格作为期权卖方承担义务的报酬期权的买方为了得到这种权利而必须付 给卖方的报酬，我们称之为期权金 由于期权种类很多，期权合约中的原生资产、到期日、敲定价格等很多 因素的不同，这也将导致各种不同期权的不同价格因此，期权定价理论应 运而生 早在1 9 0 0 年，l o u i sb a c h e l i e r 发表了他的学位论文投机交易理论【1 l ， 它被公认为是现代金融学的里程碑在他的论文中首次利用随机游动的思 想给出了股票价格运行的随机模型，并得出了欧式看涨期权的定价公式： 唧( 措) - k n ( 筹) + 口佤( 崭) ， 其中s 为股票初始时刻的价格，k 为期权的执行价格，t 为期权到期时间， 盯为股票的波动率，n ( x ) 为服从标准正态分布的随机变量的分布函数，n ( x ) 随机利率下亚式期权的定价问题第一章引言 为标准正态分布的概率密度函数b a c h e l i e r 的模型假设中有几个缺陷，首 先，他假设股票价格服从正态分布，这样股票价格就会出现负值，而且出现 负值的概率是大于零的，很显然不符合实际情况其次，他假设股票的期望 报酬为零，这一点也与现实脱节。尽管如此，b a c h e l i e r 的研究具有重要意义 也为后人对于期权定价的研究指明了方向。 经过几十年的发展，1 9 6 4 年，s p r e n k l e 2 】提出了股票价格服从对数正态 分布的基本假设，并且他肯定了股票价格的随机性；同年，b o n e s s s 】将货币 的时间价值引入了期权定价过程，他们的定价模型可总结如下： v ( s ，t ) = s n ( d 1 ) 一k e 叫t n ( d 2 ) ， 其中，d l = 丽1i l i - l 霄s ) + ( q + ；o - 2 ) t 】，d 2 = d l 一仃沂，位是原生资产股票的期望 收益率从形式上看，该模型与b l a c k - s c h o l e s 模型相似，但是没有考虑期权 与其标的资产之间风险水平的差异 1 9 6 5 年，s a m u e l s o n 在认股定价的合理理论1 4 1 一文中对上一模型进 一步修正，假设期权的风险水平与股票的风险水平是不同的条件下，得出： y ( st ) = s e 一( a c - , 1 0 ) ( d 1 ) 一k e - a , t n ( d 2 ) ， 其中d r = 办【l n ( 妻) + ( a + 互1 仃2 ) 卅，d 2 = d l 一仃厅，a 。分别是原生资产价格& 和期权价格v t 在t = t 时刻的期望回报率虽然这个公式比上一公式有所 改进，但是公式中的a 。是依赖于投资人的偏好而定的，因此在实际交易 中不好应用 1 9 7 3 年，f i s c h e rb l a c k 和m y r o ns c h o l e s 发表了论文( 期权定价与公司 负债i s ，这篇论文奠定了期权定价模型的理论基础，提出了著名的”b l a c k - s c h o l e s ”期权定价公式 v = s n ( d 1 ) 一k e 叶t n ( d 2 ) ， 其中，d l = 刁霭1 1 n ( 嘉) + r + 0 - 2 ) ( 丁一) 】，d 2 = d l 一盯而此公式是在如下 基本假设下建立的： 3 随机利率下亚式期权的定价问题 第一章引言 ( a ) 原生资产价格演化符合几何b r o w m 运动 d s t = p s d t + a s t d w t ， 其中弘是期望收益率，盯是波动率，并且都是常数，胍是标准b r o w n 运动 ( b ) 无风险利率r 是常数， ( c ) 不支付红利， ( d ) 不支付交易费和税收， ( e ) 不存在套利机会 b l a c k - s c h o l e s 公式的出现，使得期权的定价理论发生了质的飞跃，这一 理论在金融市场的应用，大大推动了金融市场的发展不过应当注意到， b l a c k - s c h o l e s 公式中的这些假设，在现实中，任何一条都不可能成立因此， 后来很多学者对此模型进行修正，例如加入支付红利、修改利率波动率是常 数的情况，使之更符合现实 在b l a c k - s c h o l e s 公式的基础上，1 9 7 3 年，m e r t o n 导出无风险变动利率 的欧式期权定价公式： y o = s n ( d 1 ) 一口( o ；t ) k n ( d 2 ) ， 其中 哇学， d 2 = d l 一去盯行， 尸( o ；t ) 是t 时刻到期单位面值零息票在t = 0 时刻的价格，矿是标的资产与 零息票的联合方差 1 9 7 6 年，m e r t o n 6 】又导出了跳扩散情况下欧式期权的定价公式 1 9 8 5 年，h e l e l a n d 7 1 给出了考虑交易费情况下欧式期权的定价公式 后来很多学者相继研究了在随机波动率情况下期权的定价问题 总之，期权定价问题一直得以不断深入地研究，也使金融衍生品市场不 断地繁荣和完善 随机利率下亚式期权的定价问题第一章引言 1 1 。3 期权定价的方法 1 偏微分方程方法 偏微分方程方法主要是把期权价格看成是关于标的资产、利率、时间、 敲定价格等因素的函数，构造投资组合，使得此投资组合在充分小的时间内 是无风险的，由此推导出一个期权价格所满足的偏微分方程期权到期时刻 的收益函数，则可看成此偏微分方程的终值条件解此偏微分方程定解问题 则可得到期权价格公式但是当期权价格看成是很多个变量的函数时，方程 较复杂，一般情况很难得到显式解 2 概率方法 所谓概率方法就是风险中性定价法，假设所有的投资者都是风险中性 的，在风险中性的世界里，投资者的收益是无风险利率，因此期权价格是期 权的最终收益按照无风险利率的贴现 3 二叉树方法 二叉树方法就是把期权的有效期分成n 个时间段，标的资产价格在每 个时间段内以某个概率上升或下降在风险中性条件下利用无套利原理，从 后向前倒推出期权的价格当扎趋向于无穷大的时候，计算出的期权价格与 b l a c k - s c h o l e s 公式计算出的结果基本相似 4 有限差分法 有限差分法其实质上是一种数值方法，先利用偏微分方程方法推导出 期权价格所满足的偏微分方程，然后把方程化成一系列的差分问题，利用计 算机编程实现数值解 5 蒙特卡罗模拟法 蒙特卡罗模拟法就是利用计算机模拟标的资产价格的随机运动和对应 的期权收益，并将这一收益按无风险利率进行贴现，由大量的随机样本得到 的贴现后收益的算术平均值即为这一期权价格的估计值蒙特卡罗模拟法 能够处理较复杂的欧式期权定价，由于随机样本数量较大，并且不能处理早 5 随机利率下亚式期权的定价问题第一章引言 期执行，所以不能用来定价美式期权 1 1 4 影响期权价格的主要因素 1 标的资产的价格 在其他条件给定的情况下，对于看涨期权来说，标的资产价格越高则期 权价格越高，而对于看跌期权则相反下面我们仅对b l a c k - s c h o l c s 期权定价 公式这一情况给出简单证明 b l a c k - s c h o l e s 公式( 欧式看涨期权) ： c ( s ，) = s n ( d 1 ) 一k e 一n ( d 2 ) ， 其中 d - = 刁禹【l n ( 吴) + ( r + 互1 一( t 叫】， d 2 = d 1 一口厉 则 丽o c = n ( d 1 ) o ， 因此，看涨期权的价格c 是关于标的资产价格s 的增函数，即标的资产价 格越高，期权价格越高 在无股票红利的情况下，根据看涨看跌期权平价公式 p ( s ，t ) + = c ( s ) + e - r ( t 一) k 我们可以得到 丽o p = n ( d 1 ) 一1 o ， 一= = ! 一尸z ) i - 曲 面。7 1 a p8 c o aa 口 上式表明，不管是看涨还是看跌期权，都是关于标的资产波动率盯的增函 数 3 无风险利率 无风险利率对看涨和看跌期权的影响是相反的对看涨期权来说，无风 险利率越大，期权价格越大；看跌期权则正好相反和上面一样，我们可以 推导出 面o c = k ( t - t ) e - r ( t - t ) n ( d 2 ) o ， 。 百c g p = 一k ( t - t ) e r ( ) ( 一d 2 ) o 从这两个公式，我们很容易得出上面的结论 4 期权的存续期 所谓的存续期也就是期权离到期日的时间，对于看涨期权存续期越短， 期权的价值越低看跌期权则比较复杂，我们利用下面公式说明： 丝：一l去e一霉一rke-b( ) ( 如) o ，t 2t 一 =户zr、 ，vi ，t i ，l j v t - - z i _ t 厮。 ”_ 驯、 鲨：一l去e一譬一ri(e-ro( t 叫( d 2 ) t 2t 一 =卢zr、 ，v i ， l v t - z i - t 何。 ”p 2 ， 因此，我们可以看出，看涨期权离到期日越近，价值越低；而对于看跌期权， 当标的资产的价格s k 时，期权存续期越短价值越大 5 期权的敲定价格 对于看涨期权，敲定价格越高，则持有人的收益越小，因此期权价格越 7 随机利率下亚式期权的定价问题第一章引言 低；反之越高而对于看跌期权则正好相反这一点比较简单，这里就不详 细说明了 以上给出了影响期权价格的五个主要因素，需要注意的是，我们并未对 一般情况给予证明，只是根据b l a c k - s c h o l e s 那种理想化市场模型给出了简单 证明 1 2 亚式期权简介 与经典的看涨和看跌期权不同，金融市场中很多衍生产品的价格都是 依赖其历史行情的，奇异期权就是其中之一，而奇异期权中的亚式期权更是 备受瞩目亚式期权是由标准期权派生出的一种新的金融合约，最早出现于 日本，它是一种强路径期权，在期权到期日的收益，不仅取决于标的资产到 期日的价格，还与整个期权在有效期内标的资产所经历价格的平均值有关 亚式期权之所以备受瞩目是因为其标的资产平均价格的波动率一般总 是小于标的资产单个价格系列的波动率，从而其价格会比相应的标准期权 的价格更便宜更重要的是亚式期权最终收益取决于期权在有效期内标的 资产所经历价格的平均值，这一点可以有两方面重要作用：第一，避免人为 炒作股票价格；第二，减少公司员工进行内幕交易，损害公司利益的行为 下面我们就简单介绍一下亚式期权的分类以及亚式期权定价的发展 1 2 1 亚式期权的分类 根据对标的资产的平均方式的不同，亚式期权可以分为算术平均亚式 期权和几何平均亚式期权；若从期权的执行价格来分，可以分为固定执行价 格亚式期权和浮动执行价格亚式期权 算术平均： 厶= 石1 竺。& ( 离散情况) ；以= 后母打( 连续情况) 几何平均： 厶= ( 冬。黾) 击( 离散情况) ；五= e 后i n 岛打( 连续情况) 8 随机利率下亚式期权的定价问题第一章引言 我们以看涨期权为例，解释一下亚式期权假设许是亚式看涨期权到 期日的收益，乃是【0 ，t 】时间内标的资产价格的平均值，亚式期权在到期日 的收益有两种不同的类型：固定敲定价格k 下的收益和浮动敲定价格下的 收益 ( 1 ) 固定敲定价格： y h ：t = ( 如一k ) + ( 2 ) 浮动敲定价格： y i t ：t = ( 曲一矗) + 因此根据上面的内容，我们可以把亚式期权分为四类： 具有固定敲定价格的算术平均亚式期权( a r i t h m e t i ca v e r a g ea s i a no p t i o n s w i t hf i x e ds t r i k ep r i c e ) ； 具有固定敲定价格的几何平均亚式期权( g e o m e t r i ca v e r a g ea s i a no p t i o n s w i t hf i x e ds t r i k ep r i c e ) ； 具有浮动敲定价格的算术平均亚式期权( a r i t h m e t i ca v e r a g ea s i a no p t i o n s w i t hf l o a t i n gs t r i k ep r i c e ) ； 具有浮动敲定价格的几何平均亚式期权( g e o m e t r i ca v e r a g ea s i a no p t i o n s w i t hf l o a t i n gs t r i k ep r i c e ) 1 2 2 亚式期权定价的发展历史 给亚式期权定价是个很重要而且很实际的问题，但由于其强路径依赖 性，所以对它定价非常困难 对于几何平均亚式期权，为了研究的方便一般假定标的资产的价格服 从对数正态分布，这样对数正态分布变量的几何平均值仍然服从对数正态 分布，因此基于此假设，1 9 9 0 年，k e m n a 和v o r s t s l 给出了短期利率为常数 的固定敲定价格亚式期权的定价公式 = s e ( 6 一) ( t 一) ( d 1 ) 一k e r ( t 一) ( d 2 ) ， 9 随机利率下亚式期权的定价问题第一章引言 p c = k e 一( t 一) ( 一d 2 ) 一s e ( 6 一r ) ( r 一) ( 一d 】) ， 其中( z ) 是标准正态分布函数，d 。= 必鼍兰擎韭，d 。= d - 一o a 行，o a = 景， b = j ( r q 一譬) ，盯是波动率，r 是无风险利率，q 是红利率 但是，对于更复杂的浮动敲定价格的情况，给出显式解还是很困难 然而对于一系列对数正态分布的算术平均值分布不服从正态分布，所 以很难得到算术平均亚式期权定价的显式解但是算术平均亚式期权的定 价我们可以用很多方法给出数值解 1 9 9 0 年，k e m n a 和v o r s t 应用m o n t e c a r l o 减少方差法计算了算术平均亚 式期权的价格对于亚式期权这样的强路径倚赖型期权m o n t e c a r l o 方法尤其 适应，而且计算结果比较精确，但是减少方差的方法只能估计置信区间内的 误差，不能给出最大误差，另外m o n t e c a r l o 方法在计算速度上不占优势，所 以后来很多人在此基础上进行了改进 同年c a v e r h i l l 和c l e w l o w 刚，采用快速的f o u r i e r 变换得到了亚式期权价格 的近似值但是，他们也没能给出最大误差 后来，r o g e r 和s h i 1 0 l 用有限差分方法给出了亚式期权的数值解 c h a l a s a n i ，j h a 和v a i k o o t y 1 1 】使用三叉数方法计算出了离散亚式期权的价 格 b r o a d e 和g l a s s e r m a n 1 2 11 9 9 6 年采用m o n t oc a r l o 数值逼近的方法对期权 定价 上述学者对亚式期权定价的研究基本上是基于固定利率来研究的，而实 际中很多亚式期权的生存期限比较长，因此利率的波动对其定价将具有一定 的影响，所以在很多情况下都有必要把随机利率因素考虑进去本文主要是 在随机利率模型下给出了具有固定敲定价格的几何平均亚式期权的显式解 以及具有固定敲定价格的算术平均亚式期权的数值解 1 0 随机利率下亚式期权的定价问题第一章引言 1 3 本论文的研究内容和篇章结构 本文主要是利用偏微分方程的方法研究随机利率下亚式期权的定价 亚式期权是一种新型期权，它是在标准期权，如欧式期权基础上演化出来的 一种新型期权合约欧式期权和美式期权最终收益仅依赖于标的资产实施 日的价格，而亚式期权不仅依赖于标的资产实施日的价格，还依赖于在整个 或部分有效期内标的资产价格变化的平均值因此，亚式期权的定价将更复 杂在亚式期权价格依赖的平均值问题上，有连续几何( 算术) 平均和离散 几何( 算术) 平均，四种情况本文研究的是连续几何平均和算术平均的情 况 利率是影响金融市场变化的最基本的因子，利率风险来源于利率的随 机性为了使本论文研究的亚式期权的模型更贴近现实，建立模型时将采用 v a s i c e k 利率模型因此本论文研究的连续几何平均的亚式期权的价格将依 赖于两个随机变量：利率( v a s i c e k 利率模型) 和标的资产股票的价格( 价格 演化服从几何布朗运动) 本论文通过建立偏微分方程，最终给出了v a s i c e k 利率模型下连续几何平均亚式期权价格的显式表达式以及算术平均亚式期 权定价的数值方法 本论文的篇章结构是这样安排的，第一章介绍了期权的基础知识、亚式 期权简介以及本论文的研究内容和篇章结构；第二章介绍了v a s i c e k 利率模型 以及几种常见的利率模型，并通过构造无风险投资组合最终导出了v a s i c e k 利率模型下连续几何平均亚式期权的价格所满足的偏微分方程并对所涉及 的抛物型方程的c a u c h y 问题进行变量代换，把状态空间的维数降成了一维， 进而导出显式解；第三章利用显式差分格式给出了具有固定敲定价格算术平 均亚式期权的数值解法；第四章总结全文 随机利率下亚式期权的定价问题第二章具有固定敲定价格几何平均亚式期权的定价 第二章具有固定敲定价格几何平均 亚式期权的定价 这一章，我们将要推导出具有固定敲定价格的几何平均亚式期权的价 格所满足的偏微分方程的c a u c h y 问题并通过变量代换最终给出此c a u c h y 问 题的显式解由于本文是在随机利率下给亚式期权定价，所以，下面我们将 简要介绍一下几种常见的利率模型 2 1v a s i c e k 利率模型 在现实金融市场中，利率是影响各种金融资产以及金融衍生产品的最 基本也是最重要的因素之一长期以来，利率一直是金融研究的重点，它是 资产定价、对冲、套利的基础利率和原生资产一样都存在风险，利率风险 来源于利率的随机性但是利率过程与原生资产价格过程有一个重要的区 别：从长期来看，利率呈现出在一个均值水平上下波动的趋势，这种趋势称 之为“均值回复现象” 1 a 1 这种均值回复现象在金融学上是很容易解释的， 我们都知道利率是由货币的供求关系决定的当利率很高时，投资人的成本 大，因此投资人会减少投资，这样就减少了资金的需求量，供大于求，利率下 降；反之，当利率很低时，投资人的投资成本低，很容易激发投机积极性，因 此对资金的需求量增加，供小于求，必然导致利率上升作为反映这种“均 值回复现象”的利率模型，人们取 d r t = n ( ) ( 口( ) 一亿) + 盯( n ，t ) d w t ， 其中n 代表利率，o ( ) 和p ( t ) 是给定的正值函数，m 是标准布朗运动 下面给出几种常见的利率模型： ( 1 ) v a s i c e k 模型 d n = ( 口r + f 1 ) d t + a d w t ， 12 随机利率下亚式期权的定价问题 第二章具有固定敲定价格几何平均亚式期权的定价 其中n ，p ，盯均为正常数从这个模型中，我们可看出一个明显的缺点，那就 是利率可以取到负值，而且取到负值的概率是大于零的 ( 2 ) h u l l - w h i t e 模型 d r t = 口( ) ( p ( ) 一n ) + a ( t ) d w t ， 其中( t ) ，口( t ) ，口( t ) 是给定的正值函数，显然h u l l w h i t e 模型比v a s i c e k 模型更 一般化 ( 3 ) c i r 模型 打t = a ( o r t ) + 盯、瓦d w , ， 其中a , o 都是正数，我们可以看出c - i r 模型克服了上两个模型利率可以为 负的可能 为简单起见，本论文在以下研究中，采用v a s i c e k 利率模型 2 2 具有固定敲定价格几何平均亚式期权的定价模型 1 基本假设 ( 1 ) 市场是无摩擦的，即无手续费和税收； ( 2 ) 无违约风险； ( 3 ) 市场利率满足v a s i c e k 模型 d 亿= ( o t r t + p ) d + i t l d z t 其中q ，仃均是正常数，五是标准布朗运动； ( 4 ) 标的资产股票价格演变遵循几何布朗运动 d 最= r t s t d t + g 2 s t d b 其中0 2 是正常数，b 是标准布朗运动； 13 随机利率下亚式期权的定价问题第二章具有固定敲定价格几何平均亚式期权的定价 ( 5 ) 原生资产股票不支付红利； ( 6 ) 不存在套利机会 2 偏微分方程的推导 假设利率r 和标的资产股票价格s 的演化过程如下 d r t = ( o t r t + 3 ) d t + a l d z t d & = r t 最d t + o r 2 s t d b t 其中o t ，p ，钆口：是常数，z t ，鼠是标准布朗运动，且 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 五= o x , ( 1f o , o 具有固定敲定价格的几何平均亚式看涨期权在t 时刻的收益为嵋= ( 矗一 k ) + ，求t 时刻期权的价格y ( s ，以，r ，) 由于在推导方程时将用到零息票来构造无风险投资组合，所以下面我 们将给出零息票的相关知识 零息票：是指一张到期日( t = t ) 时刻，换取1 元现金的债券根据定义， 记零息票的价格为r = ( n ，；丁) ，则在风险中性定价下r = e ( e f r ( s ) d sj ? ( = r t ) 则由倒向k o l m o g o r o v 方程和f e y n m a n k a c 公式，推出在鞅测度下，函数 p ( r ，t ；t ) 满足以下偏微分方程的c a u c h y 问题 j 箸+ 譬等+ ( 。r + p ) 筹一r p = 。，一皿埘。，t ) lp ( r ，t ) = 1 下面我们利用一对冲方法推导具有固定敲定价格几何平均亚式期权 的价格y 所满足的方程 构造投资组合【1 4 i ：h t _ k a 1 & 一a 2 p t 使n 。在 t ，t + a t 】内无风险 则 而 随机利率下亚式期权的定价问题第二章具有固定敲定价格几何平均亚式期权的定价 d h t = r t 7 r t d t = r t v , 一1 & 一a 2 p d d t 由i t 6 公式得 d k = dp= 则 d i i = 罾+ j 掣考+ r s 嚣+ 丢眈2 s 2 丽0 2 v + c a r + p ，罾+ 丢盯。2 丽0 2 v 棚观s 是卜啦o d v sd b m ，警觑， 酉o p 小) 等印i - 2 丽c 3 2 p j d t + o l 筹r d z t ， 。： 姒_ 1 4 岛- 2 d r = 瓦o v + j 坠掣苗 朋器+ 三一2 - 2 万b 2 v 帕r 删罾+ 三盯，2 丽0 2 v 枷。观s 罴幽r s - 2 ( 瓦o p 小r + f t o 万p + 等) 出 + ( c r 2 s 等一。仃：s ) d b 。+ ( 盯。丽o v 一：盯。等) 蜴 = r ( y a i s a 2 p ) d t 因此，我们得 又有 吣芸；吣萋 瓦o p + 可0 1 2 丽0 2 p + ( 口r + p ) 筹一r p ：。否f 十可刁万+ 【口r + ) 否f 一7 尸2 u ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 将( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 式代入( 2 2 3 ) 式，得具有固定敲定价格几何平均亚式期权的 定价模型在定解区域 0 s + o o ，0 j + o o ，一o o = o 因此，经过上面一系列的代换，我们把具有固定敲定价格的几何平均亚 式期权的价格所满足的偏微分方程定解问题转化为下面的偏微分方程定解 问题： f 警+ ，1 ( t ) 宝州t ) 象州咖- 0 ，一。 z 慨吲 7 1 ，( 2 3 7 ) 其中 加) = 一主观2 竿+ 粘矽弘”_ 1 ) 一了t - t 一m 竿五1 ( e a ( t _ t ) _ 1 ) 一下0 - 1 2f - 刍( e ( t - t ) - 1 ) 一t a - t , _ a l ( c a ( t _ t ) - - 1 ) ， 肿) ：知竿) 2 + 尹12 乒1 壶( e a ( t - t ) - - i ) 一等 2 。+ 魄比竿e a ( t - t ) - - 1 ) 一了t - t 删：孬u 1 2 ( e 。( ) 一1 ) 2a f l - - ( e a ( t - t ) - 1 ) 这是一个方程系数仅依赖t 的偏微分方程，与zs 无关，因此，这一变换是 合理的。 第二步：利用偏微分方程的方法解方程定解问题( 2 3 7 ) 。 令 w = e - 9 l ( 。) 让 = z + 夕2 ( t ) ， 7 - = 卯( t ) ， 其中9 。( t ) ，仍( ) ，g 。( ) 为待定函数，则 c 优g u e g , ( t ) ( 釉+ 瓦c g w 删, 挑“i ， c g ua w a z必 伊u伊w a 护 越2 。 代入方程定解问题( 2 3 7 ) 第一个方程得 令 则 g l ( ) 9 2 ( t ) 酉o w 9 批加州) 豢州簪m 郴胪_ o 9 3 ( t ) = f l ( t ) + 必( ) = 0 9 2 ( t 、= 0 ，3 ( t ) + 鲥( t ) = 0 g l ( t ) = 0 f 炙( t ) = i 2 ( t ) ， 、9 3 ( t ) = 0 | f 3 ( t ) d t 蠢一虿0 1 2 矽卜州曼+ 务坛0 1 2 。p 一2 a ( t - t ) + 导+ 面3 0 - 1 2 + ( 笔+ 面u 1 2 珥 1 9 仃1 2 1 + 素j ， f l，l 小臀 户2一8面 t 1一t一仁 唧杀潞 。婴咿：知等务鬻碡 一d 伊一r ，一 如整附一 舭 1 r 矿 r 删务陆嘉 雾立乳卜景 和堂删皿冀 一 n q ：一a胁黜临蒜 随机利率下亚式期权的定价问题第二章具有固定敲定价格几何平均亚式期权的定价 经过变换，方程定解问题( 2 3 7 ) 变形为： 其中 令 则 第三步：解方程定解问题( 2 3 8 ) 利用p o i s s o n 公式，得 ( f ，7 i ) 同理，可算出 赤c 渺卅+ e - 筚匆 丽1 k 渺圳e 一华妇 = 赤e 驴哮妒k 1 2 伽丁k e 一哮咖 = a b ， b = 赤e e 一筚咖 嚓：z ， 、2 7 - b = 赤辱e 专瓤厩 ：去，e 辛2 = 例警) 赤c 九掣咖 赤c e 瑚掣】2 + y 2 0 ( 2 3 8 ) 出 ， + f ， 一 r q = 一 警邓 一 吣罾吣 随机利率下亚式期权的定价问题第二章具有固定敲定价格几何平均亚式期权的定价 因此，解得： = e r 赤 e 一 【掣1 2 幽e2o 而1d 封 一赤岛e 专2 d ( z 丽) 一+ e 去，e 书 ：e ，- + ( 丛掣) 、 v 2 r 咪“( 掣+ 面) k n ( 譬) 第四步：代回原变量 因此 u ( x ，t ) = e 9 1 ( ) w ( f ，丁) = = e m ( 0 e 卯( 0 + 9 3 ( t ) + x n ( 卅m 咖( 掣) = e 霉+ 仇( t ，+ 驷。) + ( t ) ( 兰i 群+ 驯。k “等) v ( s ，zr t ) = e x p 一三( e 。( t t ) 一1 ) u = ( j s t - t 儿x p 一e a ( t - t ) - - 1 ) 一； - i 2 ( e a ( t - ) - - 1 ) 一了t - t + 9 ( t ) + 仍( ) + 9 3 ( ) ) ( 也) 一e x pp l ( ) 一三( e a ( 丁一t ) 一1 ) i ( n ( d ：) ， 其中 韭竺型篆堕崆+ 厕， 随机利平r 业式) i 权叼足钟h 趣 矛一手共用固疋敞疋r 检儿卅下列业氏朋权叼疋广 d 2 = d 1 一厕， “归丁删z ：( 一告一告，e 徊- t ，一( 鲁+ 筹) 抖器2 产c 丁- ，+ 导+ 面3 g 1 2 + c 鲁+ 筹) t ， 鸵( t ) = s t , , t ) 出 ：(一堕一旦+瓦pal02一里)(tt)24t2 t 一 a 。2 丁a2 t a 2 八1 。7 + 畚, t 9 0 1 0 2 ( t 叫+ 百p o 1 0 2 + 丽0 - 1 2 屯a a l 2 。( t 叫 e n ( 丁_ ) 一互0 t 1 2p 2 0 t ( t - t ) + ( 去+ j a q l 2 。) 亡一 嘉( 丢+ t ) + 百p o r l f f 2 一面0 - 1 2 + o 刮 1 2 ， 郇) = 丁删t ：、6 0 t 2 i 一丽9 0 1 0 2 + 篙) ( 丁叫3 + 三( 而0 - 1 2 一筹) ( t - t ) 2 + ( 斋 9 0 1 0 2 ) 一t 叫+ 孑1 _ 雨o - 1 2p 卅 + 赢( 72 沙 忆茄h 可p o 1 0 2 一羔一嘉 随机利率下亚式期权的定价问题第三章具有固定敲