（应用数学专业论文）一类奇异振荡积分算子的l2估计.pdf

摘要 振荡积分算子是一类重要的积分算子，它广泛应用于各 种调和分析问题和微分方程的解的性态研究，本文将研究以 下类型的奇异振荡积分算子t n ，( 。) ： + 。e n s 忙p ) ( 。一g ) x ( 。，y ) f ( y ) d y( a 兄) ， 其中s ( x ，y ) ，x ( x ，y ) 为r 2 上的实解析函数，k ( z ) 是r o ) 上的c 2 函数且满足 l 南k ( z ) i a zr ， i = 0 ，1 ，2 ， 且这里0 1 设6 为s ( 。，y ) 的n e w t o n 衰减率，我们得到以下关于孔的l 2 估计： i i t f l l 口ci 一1 一一i i i l l 。 为证明以上结果，我们利用s ，( 。，y ) 的p u i s e u x 分解把算子孔 分解成为不同区域上的积分算子，然后利用算子的振荡估计 和值估计及几乎正交性定理给出了定理的证明 关键字：位相函数几乎正交性振荡估计值估计 a b s t r a c t o s c i l l a t o r yi n t e g r a lo p e r a t o ri s a ni m p o r t a n tc l a s so fi n t e g r a l o p e r a t o r i t h a sb e e nw i d e l yu s e di n t om a n yh a r m o n i ca n a l y s i s p r o b l e m sa n dt h es t u d yo fs o l u t i o np r o p e r t y o fd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n t h i sa r t i c l ew i l ls t u d ys u c ht y p eo fs i n g u l a ro s c i l l a t o r yi n t e g r a l o p e r a t o ra s ： t x f ( z ) = e e i l s ( x , y ) k ( z 一! ) x ( 。，y ) f ( y ) d y ( a r ) ， a n ds ( 茹，! ) ，x ( z ，可) a r er e a la n a l y s i sf u n c t i 。n so nr 2 ，k ( z ) i sac 2 f u n c t i o no n 矾 o ) a n d s a t i s f i e s ： 砉酢) i a i 汀一，i 扎1 j 2 a n da l s o0 “ 1 l e t6b et h en e w t o nd e c a yr a t eo fs ( x ，) ，w ec a na t t a i ns u c h l 2e s t i m a t eo f 死a s ： 死刘工：c1a 一( 1 一p k i no r d e rt oa t t a i na b o v er e s u l t ，w eu s et h ep u i s e u xd e c o m p o s i - t i o no fs “x ，y ) t os e p a r a t et h eo p e r a t o r 乃i n t oi n t e g r a lo p e r a t o r s o nd i f f e r e n ta r e a s ，t h e nw eu s et h eo p e r a t o r so s c i l l a t o r ye s t i m a t e ， s i z ee s t i m a t ea n da l m o s to r t h o g o n a lt h e o r e mt og e tt h e t h e o r e m s p r o v i n g k e y w o r d s ：p h a s e f u n c t i o na l m o s to r t h o g o n a l i t y o s c i l l a t o r ye s t i m a t e s i z ee s t i m a t e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘鲎或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：享) 虱鑫 签字日期：o 弓年f 月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘茔有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨窒盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学 校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名亩) 虱是 签字日期：p 弓年f 月1 日 导师签名： 、妒震球 签字日期：2 n j 年7 月年日 第一节引言、基本概念及主要结果 第一节引言、基本概念及主要结果 设s ( x ，y ) 和x ( x ，y ) 是r “时上g 。实函数，且x ( z ，y ) 的支撑集为 r ”r “上包含原点的一个充分小的邻域，定义单参数积分算子 r + o o f ，( 。) = 7e i a s ( z , y x ( 。，y ) f ( y ) d y( a 是) ，( 1 。1 ) ，一o o 一 此算子广泛应用于各种调和分析问题和微分方程的解的性态研究等， 例如tb o c h n e r - r i e z 平均问题，子流形上f o u r i e r 变换的限制定理，非线 性发展与方程的及波方程解的正则性研究若在s u p p x 上，s ( z ，y ) 的 h e s s i a n 行列式d e t ( 裂) 0 ，即位相函数s ( 。，f ) 是非退化的情形， h s r m a n d e r h 证明了算子r 在l 2 ( 舻) 上的范数满足 lj b l k _ + l 2 g 一；( a _ o 。) ，( 1 2 ) 而当位相函数是退化的情形，即存在( y o ) s u p p x ，使得d e t ( 蓑鬻) l ( 。) = o ，形如( 1 2 ) 的最优估计则复杂得多，由予该类算子与多种发展型 方程和退化的f o u r i e r 积分算子及广义r a d o n 变换之间存在密切的联 系，此类问题一直是近年来分析学家关注的重要课题 值得一提的是，1 9 7 7 年，s t r i c h a r t z 利用子流形上f o u r i e r 变换的限 制定理得到s c h o r s d i n g e r 方程与波动方程的初值问题的解的时空估计 ，因而开辟了近年来微分方程领域著名的s t r i c h a r t z 型估计方向的研 究1 9 9 1 年到1 9 9 2 年，菲尔茨奖获得者b o u r g a i n 利用该类型的振荡积 分算子的研究得到与s c h r 6 d i n g e r 方程相关的极大算子的估计，以及 b e s i c o v i t c h 型极大函数的l ，估计，他们所研究的积分算子都是形如( 1 1 ) 的特殊的算子，而对一般的情形，1 9 9 7 年。在f p s 2 】中，p h o n g 和s t e i n 研究了算子r 在n = 1 ，s ( 。，y ) 为r 2 上实解析函数情形下的范数估计， 他们发现单参数算子r 的范数i | r o l 2 - + l 2 关于a 的衰减指数与位相函 第一节引言、基本概念及主要结果2 数s ( x ，y ) 的n e w t o n 衰减率d ( 具体定义见本节后面的叙述) 之间存在密 切的关系，在此情形下，他们证明了 r 怯+ l 2 cl al 一 ( a _ o 。) ( 1 3 ) 该文为我们找到了一个解决振荡积分算子范数估计的一个新的 方法，为以后在这方面的研究工作提供了一个良好的工具，在此基 础上，相继得到了一些结果，( 见参考文献【p s 3 ， r ) 在此基础上，我们将考虑具有实解析位相的以下类型的奇异振荡 积分算子的三2 估计， n ，( z ) ：，+ 。e i a s ( 。，) ( 。一y ) x ( 。，y ) ，( y ) d y( a r ) ，( 1 4 ) 其中a ，( z ) 是r o ) 上的c 2 函数且满足 i 匆k ( 。) l a j zp 一， 浩o ，1 ，2 ，( 1 5 ) 这里0 p 1 ，此类具有奇异核的振荡积分算子同时具备了振荡积分 算子和具有奇异核的积分算子的性质，该类算子与分数型广义r a d o n 变换之间存在密切的联系 为了叙述结果，我们先给出以下一些基本概念： n e w t o n 多边形：设q g 扩y 4 是s ( x ，y ) 的t a y l o r 级数，k = ( p ，q ) 鬈i o 。o ，集合u 。( n + 霹) 的闭凸包称为s ( x ，y ) 的n e w t o n 多边形； n e w t o n 图：n e w t o n 多边形的边界称为s ( 。，y ) 的n e w t o n 图； 诱导n e w t o n 多边形t 设q 口x p y q 是s ，( 茹，y ) 的t a y l o r 级数， 耳= ( p ，q ) 霹l o 口o ，p q o ) ，集合u 。耳( n + 霹) 的闭凸包称为 5 ( z ，y ) 的n e w t o n 多边形，也叫作诱导n e w t o n 多边形； 诱导n e w t o n 图t 诱导多边形的边界称为诱导n e w t o n 图。 n e w t o n 衰减率t 若记( f 1 ，f 1 ) 为对角线p = q 与s ( 。，y ) 的诱导 n e w t o n 图的交点，令 扣r a f i n 5 t 第一节引言、基本概念及主要结果 3 其中，f 取遍所有诱导多边形的边界线，则称d 为s ( x ，y ) 的n e w t o n 衰 减率， 定理1 1设s ( 。，y ) 是r 2 上的实解析函数，j 是s ( x ，y ) 的n e w t o n 衰减率，则对任意的f l 2 ( r ) 成立 i l t 。f l i l 。cla 一1 一“ f h l n 第二节预备引理4 第二节预备引理 由 p s 2 知，实解析函数s 昌( 。，y ) 可以分解为以下的p u i s e u x 展开 nj m 蹈( 。，g ) = y ) x a y 日j - 1 1 - i 。h ( v - - r l t i ( z ) ) ， ( 2 1 ) 其中r “( 。) 在0 点充分小的领域内可以表示为p u i s e u x 级数”坩( 。) = c t ，z 。z + ，0 口l 一 。，u k y ) 是光滑函数，且满足y ( o ，0 ) 0 ， 若记 n a k = a + 啦批，日女= b + m ， i = li = k + i ( ( a 。+ 1 ，置+ 1 ) ) 冬。是s ( z ，y ) 的诱导n e w , o n 多边形的顶点设五= 再瓦誊备两。照( f 。，f ) 是对角线p = g 与连接点( a + i ，b 一十1 ) 和 ( a + l ，鼠+ 1 ) 的直线的交点，而s ( z ，y ) 的n e w t o n 衰减率 62 l r a 。，i 。n 。& ( 2 - 2 ) 设审( r ) 满足o 妒l ，且当1 时事( 霉) = 0 ，当 i 1 时 毋( 。) = 1 为证明定理，将算子乃分解成两部分t 瓦，( 。) = j ! ge i l s ( 。i 。1 ( ( 。一f ) aj ) ( z 一) x ( 。，y ) f ( y ) d y + f + - ze i l s ( 。 1 一( ( 。一y ) iaf ) 彤( 。一f ) x ( z ，) ，( ) d y = 霹，( z ) + 霹，( 。) ， 其中算子砖的核函数为 k 1 ( ? ，y ) = e i x s ( 。) ( ( 。一y ) i a ) ( 岱一y ) ) ( ( z ，y ) ， 由k ( x y ) 所满足的条件知： s u p ，麝lk l ( x ，y ) id ，警l i ( ( 。一y ) ja | ) i a l 。一yi - x ( 。，y ) id f 令z y = t ，鸳l 审( t1a 园1 - a j zr x ( x ，y ) ld ( - t ) s 一a t p d t 0 ，使得g l v i ( z ，) l c 2 u ， 则孔可以延拓成厶2 ( r ) 上的有界算子，其范数满足 1 1 乃1 1 冬c t , x l ； ( i a i ) 一 证明：令 o a ( 。，y ，g ) = 1 一( ( 。一z ) 1al ；) 】 1 一( ( 一。) la ) k ( z 一。) 露( 一z ) 且 皿( 。，y ，= ) = 妒( 。，。) 妒( ，z ) 则孔畎的核h ( x ，y ) 可定义为t h ( x ，y ) = e 一声圳。 ( 训，z ) ( 训，；) 以 由 io l cl ap ( 2 4 ) 及( 1 ) 和( 3 ) ，可知； ih ( x ，y ) l cl ap ( 2 5 ) 记西( z ) = 咒( 。，。) 一g ( ，= ) = 片s 5 ( “，z ) d u ，因为兕满足c | - v 0 及任意函数 ，2 。且i l i ，20 1 有 口 ，丘) i j ，1 ( 。，y ) i | ，l ( y ) i | ，2 ( 。) id y d x 瓠，ik ( x ，y ) i i ( v ) 1 2 ( ，- - 1 d y d x + ，ik ( x ，) i i ( 。) 1 2a d y d x 令o l = ( l s 2 ) 则 s j ( e 1 a 一1 + 2 a ) g ( r ，2 ) i s 陋( 嚣) 一 + s ：( 乏1 ) 女 g 巴。) 女+ ( 郇：) i 】 = 巴旧2 ) 以上两引理分别称为算子乃的振荡估计和值估计，引理2 2 的证 明只要对 z 】中引理1 稍作改变即可我们还需要以下几乎正交性定 理 第二节预备引理 9 引理2 4 设 妫) 是r 2 上的一簇矩形， t j ) 是一簇形如( 2 i 0 ) 的 积分算子，若 ( 1 ) 算子正的核函数的支撑集包含于冗f 中； ( 2 ) 对每个r j ， r j 中其。轴的投影或y 轴的投影与局在。轴或 y 轴的投影相交的矩形的个数小于某个固定的常数； ( 3 ) 在厶2 ( 冗) 上，存在不依赖于j 的常数，使得l l 乃| | a 则t = j 乃在三2 ( 只) 上有界，且l i t i | c a 引理2 4 是c o t l a r - s t e i n 引理( 见【s 第2 8 0 页) 的直接推论 第三节定理的证明 第三节定理的证明 设，勋( 。) = 1 是吼上二进制光滑单位划分，s u p p x j 2 一r 1 ，2 - j + 1 在第一象限内定义 ? ? 献，( z ) = ：譬e 1 1 5 ( $ ，v 1 一( ( 。一) a i ) 】 x ，( 嚣) x ( v ) 耳( z 一口) 妒( 。，y ) f ( y ) d y 类似的，可以定义其他象限的算子赋五，t 。- + 。，b 磊于是露可以写成 露，( 。) = t 。a ，孔f ( z ) 口，f = 士j ，女 不失一般性，我们只要对，= r = + 的情形证明定理1 。1 。而其 它象限的情形完全类似处理，为简明起见，不妨简记哎矗为乃t ，而 霹+ = e 嗽简记为乃，另一方面，当妒( 。，y ) 的支撑集充分小时，可 以假定j ，k 均为自然数 下面将根据影。( z ，“) 的分解将( j ，k ) 划分成若干范围，并分别在其 上考虑乃的和算子的范数设在s 笔( z ，g ) 分解式( 2 ，】) 中，r2 ，j ( 。) 的首 项指数q 的排列顺序为 0 d 1 。 a i o 一1 l a l o o 霹= j + d k _ j a l 。一d j o t 十d 耋k 茎j 4 4 l p i i o - 1 巧=取 如o 一1 + d k j - d 第三节定理的证明 对=乃t ，露= 露=乃* ， j - d k j + d 霹=霉e j d ，o d k 3 时，乃女巧女一0 故对每个固定的r ，算子簇 乃，七= j n 。 + r ) 是几乎正交的，由引理2 4 得 j i 强 f c l a i 一 ( 1 一2 一疆育( a 两n - - _ ( b ) z r 阿 = 【d n j 】 再对r 求和，当b a n ，此情形下b 1 设乃= 虻晰+ d 乃，则e = j 乃 由c o t l a r s t e i n 引理( 见【s 】第2 8 0 页) 知( 2 3 ) 的证明归结为以下 引理3 1 ( 1 ) 若l j j 7 i 3 ，则i | 巧乃，| | = o ； ( 2 ) 若i j j j 3 ，则存在e 0 使得 巧巧l sc ia 严一1 ) 2 一。阳 ( 3 ) 对任意的j ，成立1 i 乃i is c i ai 一( ，一w 证明t 设奶= k 。+ o x k ，显然s u p p ；幻妄f 0 ，c 2 一。n o 若记g ( # ) = ( 1 一曲( zi al ) ) k ( z ) ，算子乃可表示为 乃，( 。) ：，+ o 。n s 和，计x j ( 。) 爻( g ) 妒( 。，y ) g ( 。一) ，( ) d 第三节定理的证明1 3 算子e 乃的核 ，( l ，y 2 ) = 元j ，( 1 ) 爻j ( y 2 ) j 二等e “( 8 ( 。，v t ) 一5 ( 。，v ：) x j ( 。) x ，( z ) 砂( z ，y 1 ) 砂( z ，2 ) c ( x 一1 ) g ( 。一y 2 ) d x 当i j j 7 l 3 时，( l ，y 2 ) = 0 ，故( 1 ) 得证 另一方面，算子乃b 核可表示为 巧j ，( 。l ，。2 ) = x j ( x 1 ) x j ，( 。2 ) j e 诎( 8 ( 。，g 卜5 ( 。，) 文j ( ”) 戈，( ) 妒( z l ，) 妒( z 2 ，y ) g ( x l 一) g ( m y ) d y ( 3 , 3 ) 设西( g ) = s ( x l ，y ) 一s ( x 2 ，y ) ，( 9 ) = 戈( ) 贾，( f ) x ( 。1 ，) ) ( ( 。2 ，y ) ，r ( t ) = 尼e m ( ) ( ) 曲，t 【0 ，c 2 一。n m a x ( j ，】 由文【r j 知t j 垂( b + 1 ( f ) j cj 。? n + 1 一。 ”+ 1 为证明( 2 ) 式，不妨假定j j + 3 ，则lz 抖1 用v a nd e rc o r p u t 引理( 见【s 1 ) 得： ( 3 4 ) 。；一1 卜v2 - j ( a + “利 if ( 圳a - 南2 砖苷，( 3 5 ) 其中t 0 ，c 2 一，“ 记b ( y ) = a ( x 1 一y ) g ( 。2 一y ) ，( 3 3 ) 式可以写成 r 0 2 一j 4 n 翰心l m ) 。x j ( 3 ：i ) x j 和。) 上 f ( y ) b ( y ) d y 在区间【a ，用= 0 ，c 2 一一“ 上分部积分，得 r 虚 lk j j ，( 。，。：) i g ( 1f ( z ) b ( z ) i + if ( y ) b ( y ) id y ) 由( 1 5 ) 式及lz yl i 1i ai 一 知| 6 ( p ) i sc i ap ，故 心。，。：) i ci al 一南2 j 错( ia s c i al 一南2 j 错( i + 臂 a ( x 。一y ) a h 7 ( ci al 一由2 j 坍( ia c i ap 一百1 _ 2 j 甜 札+ 臂1 6 b ) l 曲) 札+ 鬈ig ：( 。1 一y ) a ( x 2 一y ) ld y 2 一y ) fd y ) 舡+ iai 譬侪1 南d y ) 注意s u p p 玛，【0 ，c 2 一 0 ，c 2 一，7 】，利用s c h u r 检验定理得 i i t j t i i ci ar 赤2 j 错2 一掣：iap 硝12 岭产2 学 ( 3 6 ) 第三节定理的证明 1 4 一 另一方面，设算子乃的核为巧( g ，) ，则s u p p i ( ic 2 - - 1 ，2 一，+ 【0 ，c 2 一j 。n ，由引理2 3 得 | | 乃| f g7a 争2 - j 挚 因此 j 乃巧f f gf f 舡2 一o 知n ) 2 一止型掣 f 3 7 ) 对( 3 6 ) 和( 3 7 ) 式作几何平均，令口= 看宝营杀，则 隅弓| | o i l ”一一南2 屿铲2 垃尹删ap2 一，( t ) j 一衄毕吐p 口faf 趴一再瓦掣柄2 一r 一，fse f af d ( 1 一“) 2 一c h j ”， 。 其中 0 ，故( 2 ) 式得证 下面证明( 3 ) ，当j = j 时，由( 3 4 ) 式得； i 圣归+ 1 ( y ) l ci 。 “+ 1 一。 n + 1 | c 2 i 4 ni 。一z 2i 与情形( 2 ) 类似，不难得到 ik j j ( 。- ，z 2 ) j ci ap 南2 南( i 。一。1 ) 一南， 再利用s c h u r 检验定理及引理2 3 得 i i t j l l la 一1 一w + 注意咒的共轭算子巧是形如b 的算子，由已的有界性，可知算 子e 满足( 2 3 ) 式， 算子霹，碍，露和霹的估计 我们先来考虑算子吕。；+ d s 。+ ，一d 以j ，对j 啦+ d k 扣冲1 一d ， 则有：。一2 - j ，y 一2 2 i 一俘- 。k 鼗嚣 日“ 弘 扩 掣扛 是于 第三节定理的证明 同b 的估计类似有 1 1 l i cl ap2 - ；( + ” 同样，我们将其分为b i a 和最= a i 三种情形来讨论t 当b i a i ，则1 一文+ 】一a i 文+ l 0 则t 妻| | 乃。| | - 1a 阳ap 一- o 当鼠= a 时，与前面类似，我们要得到 第三节定理的证明 1 6 则对固定的r ，由算子簇 乃，k + j = r 的几乎正交性，可得 | | 强1 l c 1 ap m i n ( 2 一，l 叫一 2 , a i 2 ) j 十k = 即有t 妻| | e 驯la a 1 一涮 - a 一- - | |乃t i | la 伊l a1 一扎“ i = 0 j + k = r 又由于a = b i ，我们可以将正改写为； m 2 可可了两而2 矿再顶币万2r 甄 即有， 妻| | et j k a 阳a 一墨la 一1 一一) i = 0 j + k = r 综上所述，则霹满足所要得到的估计( 2 3 ) 而霹的有界性证明只要 注意霹的共轭算子巧是形如口的算子即可，而露和霹满足( 2 3 ) 式 的证明与霹和露的情形完全类似 算子霹，砰，露，霹的估计下面分a l 。l 和a i 。= 1 两种情形分别考 虑 情形1 。如1 先证明l i 碍i | ci ai 一 ( 1 一，当j d 3 ，在此情形下曝乃，k ，= 0 ，乃巧= 0 由 乃k ) 的几乎正交性。只要对每个乃k 证明i i t j k i i g a 一 ( 1 _ “成立即 可 在矩形r ，k 上，。一2 - j ，y 一2 一 所以 “圳一 i ：羔 当f i o 时 当f 0 可以充分小使得d i s t ( r i ，e ) 一2 一在u r i 上 存在光滑的单位划分e f 嘲= 1 ，且s u p p e rcr f ，设乃k 限制在吃上的 光滑局部化算子为丑，由( 3 8 ) 式，对乃应用引理2 2 得 噩 o a 伊一i 12 一t a - - l + k b i o - 1 ) 。 ( 3 9 ) 另一方面，由引理2 3 得t i i 田i i cia 伊2 一m ( 3 1 0 ) 设m l = j + r ，( 3 1 0 ) 可以写成 i i t , i l cia 伊2 - ( 3 1 1 ) 当a i 。一1 b t o _ 1 时，取0 = 瓦= 妇，对( 3 9 ) 式和( 3 - 1 1 ) 式作几 何平均得； ”引l吲港ljj筹一,o，-筹,)?2-j黔-q(1-c 2 i ap iai o “”t o _ 一2 1 ”1 + 耳o _ i ” 由引理2 4 。对每一个固定的m f ，算子簇 乃l m ? ，= m i ) 满足几乎正交 性，故 。 到。量r t , l t 善坼s u p j + r r = um l = j 十 r = u 。 cla a1 一可可。幂币 第三节定理的证明1 8 注意函数坐a + x ，当o 1 时在墨单调增加，当a i 。一1 且i 。一时 ll 瓦二i 瓦西硒琢j 习 故在此情形下 i i t j k 】| scia 一1 一一) 下面考虑a i 。一l b i 。一1 的情形，由于j d 0 ， 使j = 【去叫+ p ，由( 3 9 ) 得： l 邛“一 2 ( ! 学帆0 _ l 阱扣o - 1 ( 3 1 2 ) 另一方面，由( 3 1 0 ) 并注意m l 且m l j 得 例l cl 邓“2 - 1 + 上a 1 0 一沪争 ( 3 1 3 ) 取0 = 再丽l ( 1 - 日a i i 0 而= 而l + 慨a i 。0 而= 瓯，对( 3 - 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 式作几 何平均得 恻i cia 旧1 一p 2 一 0 - o - o a i o - , 扫2 一 ( 1 一。卜 注意当a 南一l 0 ，因此对 任意的p 0 。 i i t d i c a 一 ( 1 一u ) 2 一 ( 1 8 ) r 重复以上过程得l i 乃k | | ci al 一；( 1 _ 对i i o ，当j n i d j a i + d 时，可以借助于文献【r 1 中的方 法，并利用引理2 2 2 4 即可得到l i t j k l i e a 一 ( i - u ) 又由算子 t j k 的几 乎正交性知碍和霹满足( 2 3 ) 式，而对碍，由于其共轭算子是形如对 或霹的算子，故碍也满足( 2 3 ) 式 情形2 n 。= i 考虑霹的有界性对l i 批。，重新排列 ”试。( z ) = g 。，i x + 的顺序，使得当n ，0 i 7 2 。时，r e c i 。，i = 0 ，而i 曼t 1 。 时r e c i 。，i 0 令 ( 。) = r e r i o , i ( x ) ，w = 迎 ( z ，y ) r ，l v = ( 。) ) ，对 字 蒜 第三节定理的证明1 9 r j k ( u e ) 作w h i t n e y 分解，并重复情形n t 0 l 下所用的方法不难得 到i i 砰f | g a 一 ( 1 _ w ，详细过程也可以参考文献 r 】而四和霹满足( 2 3 ) 式的证颐和a ，。l 螬形对说明完全掘弼，这里不再重复 综上所述，定理1 1 得证 注t ( 1 ) 当奇异函数k ( x y ) 被满足文献 z 中条件的k ( z ，y ) 替代 时，定理1 1 仍然成立 ( 2 ) 定理1 1 解决7g r e e n b l a t t 在r e s o l u t i o no fs i n g u l a r i t i e sa n ds h a r p e s t j m a t e s 细o s c i l l a t o r yi n t e g r m s 中提出的阊题。并把文i z j 缩果扶位相是 齐次多项式的情形推广到实解析位相函数的情形 参考文献 参考文献 b 1 b o u r g a i nj ，ar e m a r k o n s c h r s d i n g e ro p e r a t o r s ，i s r j o f m a t h ，7 7 ( 1 9 9 2 ) ，l 【b 2 b o u r g m nj ，b e s i c o v i t c h t y p em a x i m a lo p e r a t o r s a n d a p p l i c a t l o n st o f o u r i e r a n a l y s i s ，g e o m a n df n n c t a n a l 1 ：1 4 7 1 8 7 b 3 】b o u r g a i nj ，p e s t i m a t e sf o ro s c i l l a t o r yi n t e g r a l s i ns e v e r a lv a r i a b l e s g e o m a n df u n c t a n a l 1 ：3 2 1 3 7 4 g g r e e n b l a t tm ，b o u n d e d n e s so fs i n g u l a rr a d o n t r a n s f o r m so nl 9s p a c e su n d e raf i n i t e - t y p ec o n d i t i o n ，a m e r j m a t h ，1 2 3 ( 2 0 0 1 ) ，1 0 0 9 1 0 5 3 h 】h g r m a n d e rl ，o s c i l l a t o r yi n t e g r a l sa n dm u l t i p l i e r so nf a r k i v m a - t h ，1 1 ( 1 9 7 3 ) ，1 - 1 1 p s l p h o n gd h a n ds t e i ne m ，h i l b e r ti n t e g r a l s ，s i n g u l a ri n t e g r a l s ，a n d r a d o nt r a