（应用数学专业论文）极小过程的martin边界与rk紧化.pdf

摘要 极小过程的m a r t i n 边界与r a y - k n i g h t 紧化是m a r k o v 过程中两个重要的内容，在构 造论中有着非常重要的作用，但迄今为止还没有人研究过它们之间的关系本论文探讨了 在极小转移函数诚实的条件下极小过程的m a r t i n 边界与r a y - k n i g h t 紧化的部分联系， 主要得到了在e + e 有限时极小过程的m a r t i n 流入边界坟中的点与r - k 紧化e + e 中的点之间具有一一对应关系 关键词tm a r t i n 边界；m a r t i n 流入边界；r - k 紧化 a b s t r a c t t h em a r t i nb o u n d a r yo fm i n i m a lp r o c e s s e sa n dr a y - k n i g h tc o m p a c t i f i c a t i o na r et w o i m p o r t a n tc o n t e n ti nm a r k o vp r o c e s s e s t h e yp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nc o n s t r u c t i o n so f m a r k o vc h a i n s b u tt h e r ei sh o b o d yw h oh a sd o n ea n yr e s e a r c ho nt h e i rr e l a t i o n ss of a r i nt h i sp a p e rw ec o n c e n t r a t eo ns t u d y i n gp a r t i a lr e l a t i o n sb e t w e e nt h em a r t i nb o u n d a r yo f m i n i m a lp r o c e s s e sa n dr a y - k n i g h tc o m p a c t i f i e a t i o nu n d e rt h eh o n e s tm i n i m a lt r a n s i t i o n f u n c t i o n ，a n dm a i n l yo b t a i nt h eb i j e c t i v em a p p i n gb e t w e e n t h em a r t i ne n t r a n c eb o u n d a r y 笈o fm i n i m a lp r o c e s s e sa n de + ei nr a y - k n i g h tc o m p a c t i f i e a t i o nw h e n p e i sf n i t e k e yw o r d s ： m a r t i nb o u n d a r y ；m a r t i ne n t r a n c eb o u n d a r y ；r a y = k n i g h t c o m p a c t i f i c a t i o n i i 引言 当q 过程不唯一时，为解决q 过程的构造问题，必须将状态空间e 进行紧化，即 必须加边界点到e 中，也就是需要引进并研究q 过程的边界 最常见最简单的紧化是将e 进行单点紧化，但很多情况下仅仅用单点紧化是不够 的g e t o o r 根据预解算子给出了r - k 紧化的方法，利用这种方法我们得到了e + 上的正 规链x = ( q ，芦，五，托，巩，p ) ，这种正规链具有非常好的性质，轨道右连左极并且正规 链具有强马氏性 d o o b 结合马氏链的轨道引进了m a r t i n 边界，证明了马氏链的轨道在m a r t i n 边界中 的收敛性，但这种马氏链加了一些限制侯振挺在对马氏链不加任何限制的情况下，导出 了马氏链的m a r t i n 边界及m a r t i n 流入边界杨向群在m a r t i n 边界理论中引进了标准映 像和a 映像，并导出了不加任何条件的q 矩阵的m a r t i n 流出边界和m a r t i n 消极边界 在m a r t i n 边界理论中其所加的边界点与马氏链的轨道有密切的联系，但是在p 擘“( t ) 不 是极小转移转移函数的情况下，马氏链一般来说不具有强马氏性，只有部分强马氏性 上述两种紧化方法对马氏链的构造有非常重要的作用，但是迄今为止还没有具体的 文献研究过它们之间的关系本论文根据【4 】给出的m a r t i n 流出边界、【5 】5 中的m a r t i n 流入边界以及r - k 紧化的内容讨论了在极小转移函数诚实的条件下两种方法所加边界点 之间的部分关系即极小过程的m a r t i n 流出边界点一般要比r - k 紧化所加边界点要多， 除非q 单流出时所加边界点个数相同；而极小过程的m a r t i n 流入边界玩中的点与r - k 紧化e + f 中的点在e + e 有限时具有一一对应关系 本论文主要分三部分： 第一章为极小过程的m a r t i n 流出边界与m a r t i n 流入边界理论m a r t i n 流出边界 主要参考杨向群可列马尔科夫过程构造论第六章，m a r t i n 流入边界主要参考侯振 挺、郭青峰齐次可列马尔科夫过程第八章 第二章介绍了r a y - k n i g h t 紧化方法，给出了e + 上的正规链并说明了正规链具有强 马氏性 i v 第三章分析了在极小转移函数诚实的条件下极小过程的m a r t i n 流出边界与r - k 紧 化的关系和极小过程的m a r t i n 流入边界与r - k 紧化的关系主要得到在极小转移函数诚 实的条件下e + e 有限时极小过程的m a r t i n 流入边界麓与r - k 紧化中的e + e 之间 存在双射关系，并给出了具体的例子进行说明 v 第一章极小过程的m a r t i n 边界 1 1 离散时间m a r k o v 链的m a r t i n 边界 设i i = ( ? 嘞) 幻e 是可列集e 上的矩阵，使得： 取隹e ，令以= ) u e 0 ， p i k 1 ， k v i j e v i e ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 2 墨磊n 。，i | i ，三量；： 定理1 1 1m a 庙o v 链= i 扎f l 的状态空间e 有下列唯一分解： e = e o u ( u e d ) a e ( 1 1 3 ) 其中岛由一切非常返状态组成，可以不出现a 可以是空集，有限集，可列无限集每 个j 毛( o a ) 都是不可约常返类 证明t 见王梓坤随机过程论2 3 ，定理i 对任意的i ，j e ，令 仍= m f n l o n p ，= j ) ； 尼= p y j = n l x o = l ，托o ； o o 向= 蜀 n = o 厶表示x t 自i 出发，从第零步算起，经过有限步到达歹的概率显然对于每个常 返类日，如果i ，j 既，则向= 1 ；如果i ，j 属于不同的常返类，则南= 0 令m = 刍，则，y = h ，i e ) 是坼的个标准测度因为b ( ) = m p ( ) ，故在 i e e 己下，x t 的初始分布为，y 对于任意的j e ，令山= m 南，显然a 表示在已下 i e e x t 从第零步算起，经过有限步到达状态j 的概率 定义1 1 1 聊，小= 笔，v 幻e 称为x r 的m a r t i n 核 由x r 的m a r k o v 性可以证明对于任意的k ( i ，j ) 老这是因为由局缸南可得 即2 笔2 丽2 礓杀丽击2 石1 对于每个不可约常返类忍，我们视其中的状态为同一个状态已，则 e = 玩u 像i n 4 ) 2 ( 1 1 4 ) 对e 不失一般性，可假定e = 1 ，2 ，3 ，) ，否则可将e 进行排序te = e l ，e 2 ， 视e i 为i 即可在e 中引进距离d ，令n ( m ) = m ， d ( i ，歹) = 1 2 一o 一2 一i + i k ( s ，1 ) 一k ( 8 ，j ) i a 。2 一” ( 1 1 5 ) s e e 则d ( ，) 是e 上的距离 定义1 1 2 设e 在d ( ，) 下的完备化记为e + 称o e ：= e + e o 为晒( 或i i ) 的 m a r t i n 边界护上的b o r e l 代数记作矿 显然， 矗l n 4 ) co e 定理1 1 2 在只下，几乎一切u q ，或者 h ，矿u q f ， 或者存在极限 d l i m = x o o o e ，矿u q 。 ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 其中h 是中断状态集，d l i r a 表示在驴中的y t f g - 证明：见可列马尔科夫过程构造论p 1 5 0 ，定理2 ) 0 称为硒的终极状态，知的分布记作p ，k ( i ，) 在矿上的扩张仍记作k ( i ，) 定义1 1 3e 上的非负( 包括o o ) 函数牡称为过份的，若 称为调和的。若 ( ) = i i 则t 撕，v i e 詹f ( k = i l i k u = 啦，v i e ； k e e e 上的过份( 或调和) 函数称为极小的，若u = u 1 + t 2 ，1 ，珏2 过份( 调和) 能推出 t 1 = c l u ，让2 = c 2 u ( c l ，c 2 常数) 对每个f o e ，令 k ( i ， ) = ! i m k ( i ，歹) ( 1 1 8 ) j 一 3 定义1 1 4 令 b = k 0 e l k ( ，) 极小调和且m k ( 1 ，) = 1 ) t 称b 为坼的本质m a r t i n 边界 注1 1 1b 是o e 的b o r e l 子集并且定理1 1 2 可加强为在只下，几乎一切u q ，或者 或者存在极限 x 8 h ，对| 3 0 ，则f 称为原子m a r t i n 边界点一切原子边界点组 成的集合称为原子m a r t i n 边界 定理1 1 4 对每个7 可积的过份函数 ( m 峨 0 0 ) 能唯一的表示成 旭= 正u 8 聊，咖暇小姐 其中鲰是日u b 上的有限测度 反之，任意给定日u b 上的有限测度m ， h i = g ( i ，亭) 肌( 必) ，i e j h u b 定义了一个，y 可积的过份函数h 4 证明t 见可列马尔科夫过程构造论p 1 5 l ，定理4 定理1 1 5b 是b e 的b o r e l 子集并且对于任意的，y 可积的过份函数危( ) ，有 u h ( o e b ) = 0 证明；见齐次可列马尔科夫过程b ，定理7 1 0 2 定义1 1 6e o o 上的函数y ( j 0 ，j l ，j 2 ，) ( 靠e ，k = 0 ，1 ，2 ，) 称为不变的，如果对于 任意的靠e ，南= 0 ，1 ，2 ，有 ，( 如，j 1 ，如，) = ，0 - ，j 2 ，矗，) 定义1 1 7 定义在q 。上的函数称为终极随机变量，如果存在e 。上的不变函数，使得 圣( u ) = ，( 0 ( u ) ，k + 1 ( u ) ，) ，u q 对于一切礼0 成立约定终极随机变量圣在q p 上取值为0 称集合a q 。为终极 集，如果示性函数厶是终极随机变量由终极集组成的q 。上的d r 代数记为魄。，称为 终极域 定理1 1 6 有界调和函数i t ，非负有界终极随机变量圣，b 上的非负有界b o r e l 可测函数 ，( 定义在b 上且不计p 一零集上的函数值之差别) 按下列关系一一对应； “i = 圣 ，西圭l i mt 正，( j 【0 ) 圭西( 1 1 1 4 ) n 证明；见可列马尔科夫过程构造论b5 7 定理7 定义1 1 8 称非负( 包括取值+ o o ) 的函数“( ) 为杨的位势，如果存在非负函数秽( ) 使得u = g v = p 口，即 n = 0 o o 札产g ( t ，j ) 吻= p 0 吩，i e ( 1 1 1 5 ) ji n = 0 5 定义1 1 9 称非负函数( ) 为磁的中断位势，如果 饥= 0 ，v i e 日 定理1 1 7 札( ) 是局的中断位势的充分必要条件是：存在h 上的非负函数，( ) ，使得 啦= e i f ( x z ) ；卢 o ) 称为q 的非保 七 守状态集 设x = x t t ，0 是完备的概率空间( q ，厂，p ) 上取值于场以锄( t ) 为转移函数的诚 实的m a r k o v 过程，则 五) 为易上不中断的极小过程由【4 】3 2 定理5 ，可以要求 五 完全可分、右下半连续，b o r e l 可测，称这样的过程为典范过程故可设 x t ) 是完备的概 率空间( q ，p ) 上取值于e a 的典范过程，其转移函数为锄( ) 令下= i n f s i 五= a ) ， 是 x d 的第n 个跳跃时刻，n = 1 ，2 ，为方便计，取7 0 = 0 则x = 五，t 1 - ) 为e 上的极小过程令 o f = u = 7 ； n = l q 。= ( n 丁) ) u ( u = r = o o ) ) ； n = ln = l 卢： + o 。， 茌u q o o ； 【s u p n l n 0 ，7 - n r ， i f u q f 7 o 蛐 咄； 当= o o 时，约定k = ，其中k = m a x ( m l t m 0 ，令巧n ) = 二a 巫+ q i 丌1 j ，( a ) = ( 巧o ) ) 幻e e 定义1 2 2 设a 0 ，t 是i i 的调和函数， 仳( a ) ：= l i mn ”( a ) n + 称为“的a 映象，其中i i ”( a ) = ( a ) ( a ) h ( a ) 表示7 , 个r t ( x ) 的乘积 、_ - - - - - - - 、，- - - - - i - 定义1 2 3 设a 0 ，“( a ) 是n ( a ) 的调和函数， t ：= l i mi i ”t ( a ) n + o o 称为u ( a ) 的标准映象，其中i i ”2 卫：坚：马表示几个i i 的乘积 定义1 2 4 展= 代b i k e ( ，) o ) b p = b i k x ( ，f ) = o 分别称为极小过程x 或矩阵q 的m a r t i n 流出边界和m a r t i n 消极边界 8 命题1 2 1 眈，岛的定义与a 的取值无关 定理1 2 2 对于一切 e ， 7 0 ，“( a ) 是( a ) 的有界调和函数，并且u ( a ) 的标准映象缸是有界函 数具1 j 钍( a ) 的一般形式是 啦( a ) = 分 e _ h ，_ ) ) = 厶蚝( i ，甜( 批( 鹰) ，露 ( 1 2 3 ) 其中露表示在召；上为0 ，在b 上为非负的有界函数组成的函数类，并且q ) ，( ) 按照以下条件是一一对应的： 撕( a ) = e 一1 7 ，( k 一) ) = e h 。l 。i m 。t j ) 啦= f ，( 墨一) ) = 口 l i m 缸。) ； n + o o ，( 墨一) 圭熙“h ( a ) 圭，熙u x v n 2 ：，乞：i ：非负且有界 ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) 有7 , 个线性无关解 ( 2 ) 鼠仅由7 , 个原子边界点组成 证明：参考可列马尔科夫过程构造论只，定理3 这时我们称极小过程x 为有限流出的，q 也称为有限流出的 定理1 2 6 对于( a ) ，乱( a ) 是在e h 上为0 的非负函数钉的位势的充分必要条件是 缸( a ) 有如下形式； 啦( a ) = e e - ) r f ( x r 一) ，q f ) = r i n ：i “( a ) 如，i e ( 1 2 8 ) 知h 其中也是状态后的非保守量 在引入了m a r t i n 流出边界后，我们可以得到典范过程相对于一些停时的强m a r k o v 性 定理1 2 7 设x = 五) 是取值于e 的典范过程，其矩阵为q = ( q i ) i d e e 并且不是 极小过程，o t 是一个停时，并且尸 e ) = 1 ， = i n f s l s n ，v 0 ，( 8 一岛s ) 中有无穷次跳跃) 则对于任意的a 恐，存在日u b e 上的函数，( ) ，使得 p a i 正。一) = ，( 托。一) 证明。参考可列马尔科夫过程构造论只8 4 ，定理1 ( 1 2 9 ) 注1 2 1 给定e 上全稳定的9 矩阵q = ( ) 以及与q 对应的转移函数v d t ) ，由【4 】 3 2 定理5 ，可以确定一个典范过程 x d ，但在黝( t ) 不是极小转移函数的情况下， 蜀) 一般来说不是强m a r k o v 过程即使把极小过程的m a r t i n 流出边界考虑在内，也只能得 到定理1 2 7 中所述的部分强m a r k o v 性 1 0 1 3 极小过程的m a r t i n 流人边界 设x t = x 1 ns 田是完备概率空间( q ，p ) 上取值于e 并且以i i = ( i i i j ) j e 为单步转移概率的离散时间m a r k o v 链 定义1 3 1e 上的非负函数0 e ) 称为i i 的过份测度，如果一切j e ， 吩v k i i k j ；( 1 3 1 ) k e e e 上的非负函数o e ) 称为i i 的调和测度，如果一切j e 码= v k i l k j ； 岛e ( 1 3 2 ) 过份测度o e ) 称为有限正的，如果0 + o 。，j e 令e o o = i l i e o ，且存在j e e o ，使得i j ) ，e 1 = e 臣钿，e o l = e o e o o ，1 1 1 = ( 巧) 幻研 定理1 3 1 存在关于1 的有限正过份测度 证明：参考齐次可列马尔科夫过程p 1 0 9 ，引理8 2 1 设- a j e 1 ) 是1 的一个有限正过份测度，令凰= 詈j f ，则可= ( 凰) i j b 称 为i l 。的伴随链 定义1 3 2 毋上的非负函数厶0 蜀) 称为关于( o ，1 ) 的标准函数。如果 其中 0 易 0 是f 上的m a v k o v 预解式，且满足 ( 1 ) e 是l c c b ( 局部紧且具有可数拓扑基) 的拓扑空间； ( 2 ) 瞰m c m ，va o i ( 3 ) 对于任意的，朋以及z e ，i h mr x l ( x ) = ，扛) 取咒= 厶( ) l k e ) u 朋( 其中 ( ) 表示 七) 的i n d i c a t o r ) ，则何可数并且分离e 中的点令 甜( h ) = 乏二a i r x ；五l n n ，九 o ，啦o ， 咒，v i n i = l 八( 咒) = a ，n i 扎n ， ，厶竹， 由( 2 ) 和( 3 ) ，u ( n ) cm 并且分离e 中的点 令 冗( 1 ) = 甜( 爿) ， 冗( 1 ) = ( 冗( ”+ “( 冗( ”) ) 冗 = u 冗( 1 3 则 ( 1 ) 冗分离e 中的点； ( 2 ) 冗是一个凸锥，冗c h 4 并且对于a 运算封闭； ( 3 ) 对于任意的a 0 ，f 冗，瞰，冗； ( 4 ) 作为配子空间，冗在一致收敛拓扑下是可分的( 一致收敛拓扑即由度量d ( f ，g ) = s u p i f ( x ) 一g ( x ) l ，v ，g 坛诱导的拓扑) 取冗的稠密子集 g m ：鍪1 ，令 一 d ( 款) = 丽1a i 蜘( z ) 一g , - ( y ) l ，v z ，y e ( 2 1 1 ) m = l 一 则d ( ，) 是e 上的度量，e 在d ( ，) 下的完备化记作面，显然百是一个紧度量空间面 上的度量仍然记作d ( ，) ，这时( 面，d ) 称为e 的r a y - k n i g h t 紧化 冗中的函数在度量d ( ，) 下都是e 上的一致连续函数，故可以唯一扩张成为面上 的连续函数对于任意e 上的函数，( ) ，如果，( ) 在d ( ，) 下连续，( ) 在面上的连续 扩张记作，( ) 显然，对于任意d ( ，) 下的连续函数， g ，fa g = fa 雪 令 f l f 冗) 记作宠显然瓦为一凸锥，分离面中的点并且对于a 运算封闭由 于对于任意的， g 瓦，l f g i = f + g 一2 f a g ，故宠对于取绝对值运算封闭对于任意 的f , g 瓦一瓦a g = 丛与掣，f v g = 丛贮2 i 刨，故瓦一瓦对于a ，v 运算封闭由 格( 1 a t t i c e ) 形式的s t o n e - w e i r s t r a s s 定理，瓦一瓦在e ( 司中稠密，其中c ( 面) 为面上 连续函数的全体 对任意的q 0 ，令 c 严( ，一雪) = r j 一冠。g ，v ，g 冗( 2 1 2 ) 则u 。是瓦一瓦上的有界线性算子( 0 驴刮：) ，因此e 严可唯一地扩张为c ( 面) 上的有 界线性算予，并且对于任意的f 0 ，c ( 面) ，z eu 。( x ) 0 由r i e s z 表现定理， 存在唯一的豆上的有限测度u o ( z ，d y ) ，使得 ， u 。，( z ) = f ( y ) u “( z ，d y ) j f 1 4 命题2 1 2 ( u 。) 。 o 是面上的r a y 预解式 令 d = z i v ，c ( e ) ，a u 。f ( x ) 一f ( x ) a s 口一o o ) ， 则d 是e 的b o r e l 子集集合d 称为非分支( b r a n c h i n g ) 点集由【2 】定理2 1 ，( u o ) o ) ，o 对应于可上唯一的一个次m a r k o v 半群( r ) t o 命题2 1 3 设( 面，d ( ，) ) 是e 的r a y k n i g h t 紧化， ( u 。) 。 0 ，d ，( p t ) e o 定义如上，则 ( 1 ) esd ； ( 2 ) 对于任意的i e ，o 0 ，泸( i ，面e ) = 0 ，并且对于任意的k e ，u 。( ， 七) ) = r ) j ( 3 ) 对于任意的i e ，t 0 ，p t ( i ，耳e ) = 0 ，并且对于任意的k e ，只( i ，( 七) ) = p t k ( ) 令 耽= x l x 面，u 1 ( 茹，e ) = 1 ) ， 则岛是雹的b o r e l 子集令e + = e r nd 命题2 1 4 对任意的七e ，z e + e ，m k ( ) 是p ( t ) 的进入律，且船m k ( 。) = o 证明；对任意的k e 芦e + e ，由r ( z ，d y ) 的半群性， 车p m ( 咖m t ( s ) = 上r ( 聋，由) 只( ! f ，女) = f a ( z ，咖) 只( 可，= 最t + a ) ( 石，q2 p “t + s ) 故p 。k ( t ) 是p ( t ) 的进入律 对任意的南e ，k z ，取f c ( 西，使得 ( x ) = 0 ，f ( x ) = 1 ，0 f 1 由于z 是非分支点，故船p j ( z ) = ，( z ) = o 而p j ( z ) 2 莓( 。) ，( m ) 弛k ( ) ， 故l t i 加m ( t ) = o - 定理2 1 1 对任意的k e ，若弧( t ) 是p ( t ) 的进入律，则存在e + 上的有限测度p ，使 得 9 ( ) = p 曲o ) p ( d z ) ，v k e ，t 0 j e + 定理2 1 2 存在取值于e + 的强m a r k o v 过程x = ( q ，厂，五，x t ，6 t ，p ) ，使得； ( 1 ) 滤子 五 是右连续的， 五) 的轨道是右连续的并且在l k 中存在左极限； ( 2 ) 对于任意的t 0 ，z e + ，p x t e ) = 1 1 ( 3 ) x 的转移函数为r ，) i ( 4 ) x 是正规的( n o r m a l ) ，即对于任意的z 矿，p 。 x o = z ) = 1 ； ( 5 ) 对于任意的e 十以及有界 五 一停时列正t ( ，船= 1 ，2 ，t ( ”) t tt ，矿的 b o r e l 子集f ，p = x t r jv j j ) = p o ( 坼一，r ) n 这里的x 不一定具有拟左连续性 定义2 1 1 定理中的x = ( q ，五，置，巩，p ) 称为p ( t ) 对应的正规链 1 6 第三章r a y - k n i g h t 紧化与m a r t i n 边界的联系 3 1r a y - k n i g h t 紧化与m a r t i n 边界的联系 前面我们通过r - k 紧化和m a r t i n 边界的内容分析了各自的性质和区别，本节我们 主要说明在极小转移函数诚实的条件下极小过程的m a r t i n 边界与r - k 紧化的联系 设p 0 ( t ) 是e = o ，l ，2 ，) 上的标准转移函数，p , j ( t ) 所确定的q 矩阵q = ( ) 全稳定x = ( n ，只五，x t ，巩，p ) 是p 0 ( t ) 所确定的正规链 对于正规链x = ( q ，五，x t ，o t ，p ) 来讲，因为f 的r - k 紧化e 及e r ，e + 结构 复杂，所以我们下面主要在q 所对应的极小转移函数赡协( ) 诚实的条件下来讨论极小过 程的m a r t i n 边界与r - k 紧化的联系 因为q 全稳定且瑁谊( t ) 诚实，所以卿“( t ) 是向后或向前方程的唯一解且是唯一的 q 函数【1 0 定理2 2 】，即( t ) 与研“( ) 相同，故x 是e 上以四m ( t ) 为转移函数的不 中断的极小过程，设赫= k 为x 的嵌入链 一极小过程的m a r t i n 流出边界与r - k 紧化 我们首先来说明极小过程的m a r t i n 流出边界与r - k 紧化的关系 ( a ) r - k 紧化 x 是不中断的极小过程，p 嚣恤( t ) 是其诚实且标准的转移函数，由2 1 可得e 的 r - k 紧化窗及e + ，正由r - k 方法我们可得面= e u o o ) ，其中 o 。 中的点的个数唯 一，且岛= e + = e ( b ) 极小过程x 的m a r t i n 流出边界 x 是不中断的极小过程，坼= k 为x 的嵌入链，表示x 第n 个跳跃时 刻，令m = 第1 ，i = 1 ，2 ，b ) = m p ) 此时 q f = u = 口 o o 卜：o n = 1 1 7 q 。= ( n o l j il - i ( 1 + a ) 一1 ，矿i j ，j = t + 3 n ，札n i k = i + 3 n 叼缸( a ) 2 q + 1 ) ，矿j ：t ； o0 t h e r u r i s e 设k ( ，6 ) 的a 映像为k ( ，6 ) ，由入兄( a ) 耳( ，1 ) = ( ，t ) 一j 厶( ，1 ) 可得， 同理 虬( ，f 1 ) = ( i a 兄q ) ) ( ，f 1 ) 虬( 1 ，矗) = 而1k ( 1 ，6 ) 一百南k ( 4 ，矗) 一西 与f k ( 7 ，- ) = 。 地( 4 ， t ) = 蚝( 7 ，1 ) = 一0 又因 甄( 2 ，釉= 以( 3 ，f 1 ) = 虬( 5 ，荨1 ) _ 一0 故专l 隹b e 且l 昂同理已隹玩且昂，6 譬b e 且6 岛即极小过程x 的本质 m a r t i n 边界b = ( l ，已，6 ) ，m a r t i n 流出边界b e = 口，m a r t i n 消极边界b p = l ，已，6 ) ( b ) r k 紧化 f 卉( 1 + l k = i + 3 n 霸m ( a ) = ( a + 1 ) ， 【。 a ) 一1 ，i f i 0 ，设( 协( a ) ) 讵e 满足方程叩( m q ) = 0 ，并且哺( a ) 。一 由于p ( h ) 船k k ( t ) = 0 ，所以k ( ) = o ，v e ，。 o ，从而琅( a ) = o ，v e ，矛 关于p 嚣m ( ) 的进入律，并且l “o i m p 巧( ) = o 显然， o o 哺( a ) = e - x t p 耐( t ) d t ，i e j 0 注3 1 2 该定理说明，如果方程组( 3 1 1 ) 有非平凡解，则即使在磅洫( z ) 诚实条件下， 如果e + = e ，则由定理3 1 1 可知方程组( 3 1 1 ) 无非平凡解，即方程组( 3 1 1 ) 的 解空间维数矿= 0 ，故q 为零流入，这时由m a r t i n 流入边界理论我们知道对e 无须加 m a r t i n 流入边界点同时在此条件下x = ( q ，五，五，巩，p ) 为取值于e 的正规链， r - k 紧化所加边界点对讨论正规链无意义因此，我们只须在e + e 非空时来讨论极小 过程x 的m a r t i n 流入边界与r - k 紧化的关系 对任意的z e + e ，则( 7 ( ) ) t o 是关于p 嚣m ( t ) 的进入律令 仍( a ) = e m p x j ( t ) d t ，j e ， j 0 则叩( a ) 是向后方程v ( m q ) = 0 的非负有界解即方程组( 3 1 1 ) 解空间非空，故q 为 流入的，且由q 确定的极小过程x 从经有限时间跳回e 内状态 ( a ) r - k 紧化 x 是不中断的极小过程，船1 “( t ) 是其诚实且标准的转移函数，在q 流入的情况下， 设x 的嵌入链x t = 墨。，矗墨t o ，为x 的最后一个跳跃点，由2 1 可得e 的r - k 紧化百e r d e + ；e u o 。) 且k 矿e ，其中t o o = ，熙h ( b ) 极小过程x 的m a r t i n 流入边界 x 是不中断的极小过程，q 流入，坼= 量。，丁b 为x 的嵌入链，以为单步 转移概率令e 如= i l i e o ，且存在j 趴岛，使得i j ，易= 趴e 南，1 1 = ( n 巧) 幻n ， 则由定理1 3 1 存在n 1 的有限正过份测度，记为哟0 e 1 ) 令凰= 罄j t ( i ，j e 1 ) ，则丽2 ( _ 玎) 叫。毋为，的伴随链 设y = k ，t 盯，为以瓦为单步转移概率的极小过程，珞= ，7 n 盯) 为其嵌 入链，是y 的第礼个跳跃时刻，盯是y 的第一飞跃时，由于x 从经有限时间跳 回e 中状态，故l ，经有限时间跳到o o 或一直停留在某状态，即y = m ，t 盯) 中断， 这时令 q f = u = 盯 0 ，只( z 1 ，) ，只( z 2 ，) ，只( ，) 线 性无关 若最( z - ，) ，r ( z 。，) ，r ( ，) 线性相关，则其中有一个必可表示成其它向量的线 性组合不妨设v t 0 ， 只( z l ，) = c 2 r ( z 2 ，) + c a 只( z 3 ，) + + c ，l r ( ，) 其中岛，i 1 不全为零令t 一0 ，有 局( z l ，) = c 2 p o ( z 2 ，) + c 3 p o ( x 3 ，) + + c 。晶( z 。，) 2 4 由非分支点的定义，上式即为 瓦。( ) = c 2 瓦：( ) + c 3 如( ) + + c r i 以。( ) 而显然当z 1 ，勋，互不相同时，以。( ) q 如。( ) ，矛盾所以假设不成立 即7 ( 1 ) ( a ) ，叩( 2 ) ( a ) ，卵( “( a ) 线性无关 ( 3 ) 下面说明卵( 1 ) ( a ) ，叩( 2 ) ( a ) ，叩( “) ( a ) 是方程组( 3 1 1 ) 解空间的基 任取( k o ) ) 讵e 是v ( m - q ) = 0 的非负有界解，则存在p 嚣洫( t ) 的进入律( k ( ) ，i e ) t o ，使得对于任意的i e ，l t i l r a o 尬( 。) = 0 ， 且 k ( a ) = e - x t k i ( t ) d t 再由定理2 1 1 ，存在e 牛上的概率测度以) ，使得 酬d 2 上+ 硝咖) _ 三船 p ) v i e e , 。o 船k ( = l “。i m 三鼢( 咖( 砷= l 邶i m 轰e p 罅m 砷+ 觜k e e k e e +k e e 船( 咖( nk e +e 由i 的任意性， 船础) p ( 后) = o 号( 后) = o ，七e k e e 尬( t ) = 鼢( ) ( 如) 即 呦) = 猢d t = k o 。e 以诎) d t u ( d x ) = 静出成 故r l ( 1 ( a ) ，叩( 2 ( a ) ，叩恤( a ) 是方程组( 3 1 1 ) 解空间的基由( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 可知方程组( 3 1 1 ) 的解空间维数为n 充分性得证 ( 一) 设y 1 ( a ) ，y 2 ( a ) ，y “( a ) 为方程组( 3 1 1 ) 的一组线性无关解，且妒( a ) = 1 则e ，存在嘴妯( ) 的进入律( 即( t ) ，i e ) t o ，m = 1 ，2 ，n ，使得l 啪i m 矸( t ) = 0 ， 且 甲( a ) = e - a t f ( t ) d t 所以存在e + e 上的概率测度”( ) ，使得 砰()=p。i(t)um(dx)=舫()(z)，vie，toje + 2 占e 即 y m ( ”= 。轰f 扛) 上8 以( t ) d 一l 2 ，m 因为y 1 ( a ) ，y 2 ( a ) ，y ”( a ) 线性无关，所以， 矿( a ) = 0 爿c 萨o ，k = 1 h 2 一，n 即由 k 三。扩( z ) j ( e 一艄 o = l z e e + 、e 。” e ，比矿e ，e - x t p 酊( t ) d t 0 ， c 扩( z ) = o ，地矿e ， 有c k = 0 ，k ；1 ，2 ，y , ，所以p 1 ( ) ，2 ( ) ，扩( ) 线性无关，其中扩( ) 为e + e 上 的概率测度因此( ) 至少在n 个点上取值，即e + e 上至少有n 个点 若e 弋e 有多于n 个点，则由充分性证明可知有多于n 个线性无关解，与已知矛 盾所以e + 刀中只有礼个点 这就证明了正p e 中元素个数为n = 亭方程组( 3 1 1 ) 的解空间维数为n 再由m a r t i n 流入边界霞仅由1 1 个原子边界点组成 = 令方程组( 3 1 i ) 的解空间维 数为n ( 见【1 3 】) 因此我们有m a r t i n 流入边界笈仅由n 个原子边界点组成年= e + e 中元素个数为仃 综上可知，e + e 中元素个数与菇中元素个数相等，因为矿e 和箴中的集合 均为紧空间中的b o r e l 集，故则存在双射圣：霞一e + e 下面我们举例说明m a r t i n 流入边界尾与e + e 的关系 例3 1 2e 1 = l ，4 ，7 ，1 0 ，) ，酽= 2 ，5 ，8 ，1 1 ， ，e 3 = 3 ，6 ，9 ，1 2 ，) ， e = 1 ，2 ，3 ，4 ， q