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2016年上海市高中数学竞赛试题及答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1.已知函数（，均为常数），函数的图象与函数的图象关于轴对称，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的解析式为 答案：解 在函数的表达式中用代替，得，在函数的表达式中用代替，得2.复数满足，在复平面上对应的动点所表示曲线的普通方程是 答案：解 设，则，从而，于是3.关于的方程的解是 答案：解 因为，所以，解得，则4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为，则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于，共有 种可能答案：48解 四颗骰子乘积等于36，共有四种情形：（1）两个1，两个6，这种情形共种可能；（2）两个2，两个3，这种情形共种可能；（3）两个3，一个1，一个4，这种情形共种可能；（4），各一个，这种情形共种可能综上，共有种可能5.已知函数，若存在，使成立，则实数的取值范围为 答案；解 易知时，只需求的取值范围，使得能取到中的值（1）当时，单调递增，因为，故只需，解得（2）当时，单调递减，因为，故只需，解得6.如图，有16间小三角形的房间，甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 （用分数表示）答案：解法一 如图1，将小三角形房间分为三类：与第一类（红色）房间相邻的房子恰有一间，与第二类（绿色）房间相邻的房间恰有两间，与第三类（白色）房间相邻的房间恰有三间，从而满足条件的安置方法共有种从而所求概率为解法二 我们从反面考虑问题，如图2，每一对相邻房间对应着一条黄色的邻边，故所求概率为7.在空间，四个不共线的向量，它们两两的夹角都是，则的大小是 答案：解 如图，为正四面体，角即为，设分别为和的中点，则，则中心在上，从而为的垂心，所以，8.已知，则的取值范围为 答案：解 注意到，及我们有，所以二、解答题（本题满分60分，每小题15分）9.如图，已知五边形内接于边长为1的正五边形求证：五边形中至少有一条边的长度不小于证 设的长分别为则由平均数原理，中必有一个大于，不妨设，则此时所以，命题得证10.设和是素数，且，求的所有可能的值解 由题设可得，因为所以，于是为正整数记，注意到，则从而由对称性，不妨设若，则，矛盾，故若，则，矛盾若，则，也矛盾故最后，由，得综上，11.已知数列满足递推关系，求所有的值，使为单调数列，即为递增数列或递减数列解 由得，令，则从而，则若，注意到，则当时，与同号，但正负交替，从而正负交替，不为单调数列当时，为递减数列综上，当且仅当时，为单调数列12.已知等边三角形的边长为5，延长至点，使得，是线段上一点（包括端点）直线与的外接圆交于两点，其中（1）设，试将表示为关于的函数；（2）求的最小值解 （1）设，则在中
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