（应用数学专业论文）常微分算子的辛几何刻划与加权的poincaré不等式.pdf

摘要 本文讨论了常微分算子的辛几何刻划与加权的p o i n c a r 6 不等式， 主要内容是： 1 考虑二阶实系数常微分算子l ( ”) ：一( p ( z ) ”7 + 口( 咖( z en 利用辛几 何，对l ( ，) 的自伴域进行了分类，给出了f ( ，) 自伴域是n 一级的充要条件 2 考虑高阶常型实系数微分算子l ( p ) ：量( p 。y ) ( t ( ze 】) 利用辛 几何，对f ( ，) 的自伴域进行了分类，给出了z ( ，) 自伴域是k 一级的充要条 件( o ksn ) 3 讨论了j 一对称常微分算子的j 一对称扩张的j 一辛几何刻 划 4 在加权s o b o l o 。空间w ( i 2 m ，) 中讨论了加权的p o i n c a r 不等式， 给出了加权的p o m 。e 不等式成立的充分与必要条件 5 在一维无界域上讨论了加权的p o i n c a r 6 不等式 6 利用一阶m 。1 。i k o 。函数，讨论了扰动系统的h o p f 环性数 关键词微分算子；自伴域；辛几何；子流形；p o i n c a r 6 不等式；h o p f 分 支；环性数 a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i sr e p o r ti st or e s e a r c hs o m eo nc o m p l e xs y m p l e c t i c g e o m e t r yc h a r a c t e r i z a t i o no fo r d i n e r yd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sa n dw e i g h t e d p o i n c a r 6i n e q u a l i t i e s 1 l e t2 ( 可) = 一( p v + q 掣b ear e a ls y m m e t r i cd i f f e r e n t i a le x p r e s s i o n d e f i n e do ni n t e r v a li i nl 2 ( ，) ，w ec l a s s i f yt h es e l f - a d j o i n td o m a i n sg e n e r a t e db yff 1a n dg i v et h ec o m p l e t ec h a r a c t e r i z a t i o nf o rk - g r a d es e l f - a d j o i n t d o m a i n sw i t hc o m p l e xs y m p l e c t i cg e o m e t y 2 l e tl ( u ) = 量( p n k y ( “) ) ( 。) b ear e a ls y m m e t r i c d i f f e r e n t i a le x p r e s s i o n d e f i n e do ni n t e r v a lf ：hb 1 i nl 2 ( n w e c l a s s i f yt h es e l g a d j o i n td o m a i n s g e n e r a t e db yt ( y ) a n dg i v e t h ec o m p l e t ec h a r a c t e r i z a t i o nf o rs e l l a d j o i n t d o m a i n sw i t hc o m p l e xs y m p l e c t i cg e o m e t y 3 w eg i v ec o m p l e xj s y n l p l e c t i cg e o m e t r y c h a r a c t e r i z a t i o n sf o rj s y m m e t r i c e x t e n s i o n so fj s y m m e t r i co r d i n a r yd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s 4 w ed i s c u s st h ew e i g h t e dp o i n c a r 6i n e q u a l i t i e si nw e i g h t e d s o b o l e v s p a c e sw “，9 ( q ；w ) u ) a n dg i v es o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o rt h e mt oh o l d 5 ，w ed i s c u s st h ew e i g h t e dp o i n c a r 6i n e q u a l i t i e so no n e d i m e n s i o n a lu n b o u n d e dd o m a i n sa n dg i v es u 嗣c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e m t oh o l d 6 ，w ed i s c u s st h em a x i m a ln u m b e ro fl i m i tc y c l e sw h i c ha p p e a rt i n d e r p e r t u r b a t i o n si nh o p f b i f u r c a t i o n sb yu s i n gd e g e n e r a t e f i r s t o r d e rm e l n i k o v f u n c t i o nw i t hm u l t i p l ep a r a m e t e r s ， k e y w o r d s d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r ；s e l g a d j o i n td o m a i n ；s y m p l e c t i cg e o m e t y ；s u b m a n i f 0 1 d ：p o i n c a 拍i n e q u a l i t i e s ；h o p f b i f u r c a t i o n ，c y c l i c i t y 二阶常微分算子自伴域的辛几何刻划 摘 要考虑二阶实系数常微分算子l ( y ) = 一( p ( z ) y ，) ，+ q ( x ) y ( z i ) ，利用辛几何，对l ( 拶) 的自伴域进行了分类，给出了l ( y ) 自伴 域是k 一级的充要条件 关键词微分算子；自伴域；辛几何；子流形 m r ( 1 9 9 1 ) 主题分类3 4 8 0 5 ，3 4 l 0 5 ，4 7 8 0 5 ，5 8 f 0 5 中图分类0 1 7 5 3 1 引言 设 f ( 可) = - ( p y ，) + 鲫 是i 上的二阶实系数微分算式，p ，p 7 ，g 在，上连续，且p ( x ) 0 当i = 【a ，b 时，由 1 1 知，f ( 可) 的亏指数必为( 2 , 2 ) 且必可生成自 伴算子如何去描述f ( 可) 的自伴域呢? 1 9 5 4 年，e a c o d d i n g t o n 在 1 3 】中给出了这个问题的完全解答同一时期，m 。a n a i m a r k 在 4 】 中给出了由“拟导数”定义的对称微分算子自伴域的完全刻划。1 9 6 2 ， w n e v e r i t t 在( 1 4 中应用微分方程l ( y ) = a y 的解给出了自伴域的 描述 当i = 【a ，+ ) 时，由h ，e y l 和e c t i t c h m a r s h 关于二阶奇 型自伴微分算子的经典理论 1 3 1 4 知，f ) 的亏指数仅为( 1 ，1 ) 与 ( 2 ，2 ) 两种情形，前者称为极限点型，后者称为极限园型当l ( y ) 为极 限点型时，w e y l t i t c h m a r s h 域是l ( y ) 自伴域的完全描述当( 芗) 为 极限园型时，w e y l t i t c h m a r s h 域仅是z ( ) 自伴域的一种特殊描述 如何得到f ( 可) 自伴域的完全描述呢? 1 9 8 2 年，曹之江教授在f 2 1 中， 给出了f ( 可) 自伴域直接而完全的描述( 以下简称为c a o 域) ，并证明了 w e y l t i t c h m a r s h 域作为一种特例包含在c a o 域中，从而完全解决了 二阶奇型自伴微分算子的解析描述问题1 9 9 9 年，w n e v e r i t t 和 l m a r k u s 在文 1 中利用辛几何也给出了微分算子f ( 掣) 自伴扩张的完 全刻划 微分算子理论是当代量子力学的数学支柱，是解决数学物理方程以及 大量科学技术应用问题的重要数学工具微分算子自伴扩张问题是微分 算子理论的基础问题之一，受到大家的广泛关注，如文 1 - 1 4 等以前 的大部分研究工作是利用分析、算子等方法对自伴域进行描述，并未对 自伴域进行分类 本文讨论二阶实系数对称常微分算子f ( 可) ，利用辛几何的方法，对其 自伴域进行了分类，同时也给出了自伴域是k 级的充分必要条件 2 预备知识 定义2 1 一个复的辛空间s 是一个复的线性空间，且带有一个辛形 式即 ( 1 ) ： 是一个半双线性型， u ，u 。 u ： ，s s c ， c ，“+ c 2 v ：叫 = c 1 阻：叫 + c 2 v ：训】 ( 2 ) ：】是一个反h e r m i t i a n 型 阻：。 = 一网，陋：c i v + c 2 w = 百陋： + 瓦阻：】 【：s = 0 = 亭“= 0 ， 对v u i v l w s ，v c l ，c 2 c 定义2 2 复辛空间s 的一个线性流形l 被称为是l a g r a n g i a n 的， 若f l ：l = 0 ，眠对v u ，钉l 有阻：。 _ 0 s 的一个l a g r a n g i a n 子流形l 被称为是完全的，若札s 且 ( “：l = o 爿“l 定义2 3 设s 是一个复辛空间若s 和s + 是s 的线性子流形， 且满足： ( 1 ) s = s p a n s 一，s + ) ； ( 2 ) s 一：s + _ o ； 则称s 一和s + 在s 中是辛正交互补，记作s = s 一0 s + 有关辛几何的概念详细见文f 1 1 3 二阶常型微分算子 设，= a ，6 1 由f ( 可) 生成的最大算子与最小算子定义如下： z 一- “( 可) = f 匆) ，y d ( 了1 m 。) = ( y ：，_ c l y ，y 7 a c ( i ) 且 ? ( 秒) l 2 ( ，) ) ； 7 _ t m ! j 、= 2 9 ) ，可d ( z m z ，) = 可| d ( 瓦，。) j ( n ) ：y ，( n ) ： y ( b ) = ) = o ， 一 曼常微分算子理论知，互n u ，和z n a x 是闭线性算子，且焉。= t i i l i n l 霉j ! 】 令 s = d ( z ，m x ) d ( z i i l 。) ， 在s 中定义辛形式【： 为： 【f ：g = ，+ d ( i n ) ：g + d ( t m i 。) = i ，g 弛，v ，夕ed ( 互。) 其中o = ，+ d ( i n ) ，g = 9 + d ( | 1 1 ) s ， ，9 业是i 厂与9 的契合 式君令 ，夕业= ，：夕 ， 则由文 1 和 1 1 知，d ( i 。) 可表示为 d ( i n ) = ，ed ( 。) d ( t m 。) _ o ) ， t m i 。是一个对称算子。 由文f l 】可得如下几个引理： 引理3 1 s = d ( t m 。) d ( j 。) 是一个复辛空间，且d i m s ：4 引理3 2 s = s 0 s + ，其中 s 一2 f e s ，( 6 ) = ，( 6 ) = o ) ， s + 2 f s i f ( a ) = ，( n ) = o ) ， 且d i m s 一= d i ms ；= 2 引粤3 3 ( 平衡相交原理) 若l 是s 的一个完全l a g r a n g i a n 子流 形，则 即 0s1 一d i m l n s 一= 1 一d i m ln s + s 1 定义3 l 设l 是s 的一个完全l a g r a n g i a n 子流形，令 惫= l d i m ln s 飞= 1 一d i m l n s + nlm 出一一一吣 吣 n d m 一 n ( ，j 阻 星 3 a l ，a 2 ，b l ，b 2 c ，使得l 满足以下条件之 ( 1 ) 当a l 与a 2 中仅有一个数为零，b l 与6 2 中仅有一个数为零时 不妨设a 2 = b 2 = 0 ，则 l = f s l a ) = ，( 6 ) = o ) ( 2 ) 当a l ，a 2 ，b l ，b 2 中只有一个数为零时，不妨设b 2 = 0 ，则 且怯 ( 3 ) l = f s l a 2 f ( a ) = a l p ( a ) f 弘) ，( b ) = o ) l = f s l a 2 f ( a ) = a l p ( a ) f 如) ，b 2 f ( b ) = b l p ( b ) f ”) ) 且旧：。2 象脊n 注从推论3 5 可以看出，s 的o - 级完全l a g r a n g i a n 子流形可以 用边界条件来描述，但边界条件全部是分离的 例3 1 l = s p a n e 1 + e 2 ，e 3 + e 4 ) = f s f ( a ) = p ( a ) f 协) ，f ( b ) = p ( b ) f ( 6 ) ) 是s 的一个0 一级完全l a g r a n g i a n 子流形 定理3 6l 是s 的1 一级完全l a g r a n g i a n 子流形车j | 啦，b i c ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，使得 l = s p a n a 1 8 1 + 8 2 e 2 + 8 3 e 3 + 8 4 e 4 ，b l e l + 6 2 e 2 + b a e 3 + 6 4 e 4 ) 且满足： 1 1 时零非全 巩 o 2 | l m 叫引0 0面当 ( 1 ) 旧毒 o j 恢 ( 2 ) a l a 石2 。h 耄a 五, 。t l 证明( 仁) 对于任意f ， 翟 0 ； t b t6 2i l b ab 4i l a la 2 l5 。5 。i 2 l5 3 谢l5 。5 2 g l ，则存在o z i ，, o z 2 ，_ 臼l ，国 f = “l ( ( l lc l + 0 2 e 2 + n 3 e ：+ n 4 c 1 ) + l ( 6 l e 3 + 6 2 e 4 + 6 3 e 3 + b 4 e 。1 ) ：( a 1 8 1 + p 1 6 1 ) e 1 + ( a 1 。2 + 卢1 b 2 ) e 2 + ( a 1 8 3 + 9 1 b 3 ) e 3 + ( q 1 。4 + p l b 4 ) e 4 g ：a 2 ( 。1 e 1 + 0 2 e 2 + 血3 e 3 + 。4 e 4 ) + f 1 2 ( b l e 3 + b 2 e 4 + b 3 e 3 + b 4 e 4 ) ：( a 2 。1 + 卢2 b 1 ) 一+ ( d 2 。2 + 3 , ，b 2 ) e 2 十( 口2 。3 + p 2 b 3 ) e 3 + ( a 2 。4 + _ 8 2 b 4 ) e 4 则由定理3 2 和条件( 2 ) 得 f ：g 】= ( a 1 0 1 + 卢1 6 l ，a , l a 2 + f l l b 2 ，o q a 3 + 卢1 6 3 ，o q a 4 + 3 1 b 4 ) h ( a 2 。l + 侥b 1 ，。2 0 2 + 3 2 b 2 ，0 2 孟3 + 疡6 3 ，o e 2 a 4 + p 2 b 4 ) 4 = 0 故【l ：l = 0 即l 是s 的l a g r a n g i a n 子流形由( 1 ) 知，秩 ( ：雹瓮翟) = 2 ，于是d i m l = 2 - 故由引理3 4 知，l 是s 的完全l a g r a n g i a n 子流形由( 1 ) 知， d i m lns 一= d i m l ns + = 0 因此l 是1 一级的 ( = 亭) 因为l 是s 的1 一级完全l a g r a n g i a n 子流形，所以 d i m l ：2 ，d i m l ns 一= d i m lns + = 0 ， l ：l = 0 - 因此3 a i ，b i c ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，使得 l ：s p a n 。1 e 1 + n 2 e 2 + 血3 e 3 + n 4 e 4 ，b l e l + b 2 e 2 + b 3 e 3 + 6 4 e 4 ) 易证明l 满足条件( 1 ) 与( 2 ) 推舱3 7l 是s 的l 一级完全l a n g r a n g i a n 予流形牟j n i ，b i c ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，使得 l 邓吲( 口a 。l ：。1 ，- 1 ( p ( 职n ) ) = ( n a 。3 且满足 ( p 。徘，) ， 9 k 孕9 b 鲫 = e 得 ( 1 ) 旧引 ( 2 ) i 甚a 到= 证明( ) 没 o ， 誉翟 o ； 1 a 3a 4l 1 b lb 21 1 b 3 i 面3 舀4m 15 2l 2 l5 3 f l 、则由定理3 6 知， i0 3 0 4 一i5 35 4 2 c ，使 f = 删1 ( 0 1 e 1 + n 2 e 2 + a 3 c 3 十o d e 4 ) + 2 ( b i e l + b 2 e 2 + b 3 e 3 + b 4 e 4 ) = ( 。l 理l + 6 l 2 ) e 1 + ( n 2 1 + 6 2 d 2 ) e 2 + ( 。3 9 1 + b 3 c y 2 ) e 3 + ( 0 4 a l + b 4 2 ) e 4 由f = ( ，( n ) ，p ( a ) f b ) ，( b ) ，p ( b ) f ( 6 ) ) 得 fa l a l + 6 1 a 2 = f ( a ) 1 凸2c l ：1 + 6 2 。2 = p ( a ) f a ) fa 3 a 1 + 6 3 a 2 = f ( b ) 1n 4 叽+ b 4 0 1 2 = p ( b ) f ( 6 ) 由定理3 6 ( 1 ) 知，方程组( 3 1 ) 和( 3 2 ) 的解唯一，因此 ( a lb 1 ) 。1 ( p 。职。，) = ( 瓣5 3 , ，、l - 1 ( p 。) 故结论成立 ( 车= ) 对于任意f l ，令 ( 夏) = ( a 。l ：( p 。端n ，) = 则( 3 1 ) ，( 3 2 ) 式成立故 l = s p a n a l e l + a 2 e 2 + a 3 e 3 + a 4 e 4 ， ( ：i b l e l + b 2 e 2 + b 3 e 3 + b 4 e 4 ) ( 3 2 ) 由定理3 6 知结论成亚。 例3 2 l ：s p a n e 1 + e 3 ，e 2 + e 4 ) = ( f s l f ( a ) = ，( 6 ) ，p ( a ) f 弘) = p ( b ) f ，( 6 ) ) 是s 的一个1 一级完全l a g r a n g i a n 子流形 注从推论3 7 可以看出，s 的1 一级完全l a g r a n g i a n 子流形也可 以用边界条件来描述，但边界条件不是分离的，而是耦合的 4 二阶奇型微分算子 设，= 【o ，o 。) ，由f ( 刎生成的壤大算子与最小算子定义如下 哆叽_ 2 毗一h 一 唯k k 在存 、 九，p ，、 一 、 如如 z z m ( 可) = f ( 可) ，y d ( z 。) = 可：，- - + c 阿，y 7 在 o ，。) 的任何 紧子集上绝对连续，! ，l ( v ) l 2 ( ，) ) ； z “t t ( f ) = f ( 耵) ，y d ( z ，。) = y d ( z 。) l y ( o ) = ! ，7 ( o ) ：0 且 对于v z d ( z 。) 有 掣z ( 。) = o ) ； 其中 y z ( x ) 是l ( y ) 的l a g r a n g e 双线性型，即 可暑 ( 。) = y 7 ( p o 孑) 一y ( p 0 2 7 ) ) ( z ) 由常微分算子理论知，n 和t m a x 是闭线性算子，且瑶。，= t r a i n , 焉i 。 l f m a x 令 s = d ( z 。) d ( 互。i ) ， 在s 中定义辛形式 ： 为： f ：到= f f + d ( z 。i 。，) ：g 十_ d ( z 。i 1 1 ) 】= 厂9 】铲，v f ，g d ( t m a x ) 其中f = f4 - d ( t m i n ) ，g = g 4 - d ( t m i 。) s i ，9 铲是f 与夕的契合 式若令 f o 。0 = ，：9 i ， 则由文 1 】、 2 和 1 1 得， d ( t m i n ) = f d ( t m 。) l ，：d ( b 。) 】= o ) ， 易知i 。是一个对称算子 由文 2 得： 引理4 1 设妒，砂是f ( 可) = o 的两个实解，且满足 纠( n ) = 1 ，则 纠( 。) = l ，且 d ( t m i n ) = f d ( 焉“) t f ( 0 ) = ，( 0 ) = o ， ，纠( ) = 【f t p ( o o ) = o ) ， 由文 1 可得如下几个引理： 引理4 2 s = d ( z 。) d ( 咒i 。) 是一个复辛空间 引理4 3s = s os + ，其中 s = f s | ，纠( o 。) = ，妒】( o 。) = o ) s + = f s l f ( o ) = ，( 0 ) = o ) 弓i n4 4 ( 平衡相交7 ；7 理) 若l 是s 的一个完全l a g r a n g i m l 子流 形，则 os ic l i r a s d i i n n s 一= ；【l i m s + 一d i n l l n s + ；l n i i l c l i l n s 一，( 1 i i n s + ) 定义4 1 设l 是s 的一个完全l a g r a n g i a n 子流形，令 七= ；d i m s 一一d i m l n s = 去d i m s + 一d i m l n s + 则称l 是七一级的，也称d ( 死) 是七一级的 引理4 5 ( g k n 定理) ( 1 ) i 。有自伴扩张车号s 有完全l a - g r a n g i a n 子流形 ( 2 ) s 的l a g r a n g i a n 子流形l 是完全的车号d i m l = ：d i m s ( 3 ) 若t 是z 谢。的一个自伴扩张，自伴域为d ( t ) ，则s 有唯一的 完全l a g r a n g i a n 子流形l t 与其对应，使得 l t = d ( t ) d ( t m i n ) ( 4 ) 若l 是s 的一个完全l a g r a n g i a n 子流形，则t m i 。有唯一的自 伴扩张t t 与其对应，使得 d ( 死) = c l f l + + 岛，n + d ( 互。i 。) ， 其中f l ，f 2 ，一一，厶是l 的一个基，f l ，- - - ， d ( t m a x ) ，c l ，c 2 ， 是任意复数 注由引理4 5 知，讨论r m i 。的自伴扩张问题等价于讨论复辛空间 s = d ( t m a 。) d ( t m i 。) 的完全l a g r a n g i a n 子流形因此，对s 的完 全l a g r a n g i a n 子流形的分类与描述，就等价于对2 ( 可) 的自办域进行的 分类与描述 4 1 极限点型 引理4 1 1 若2 ( y ) 为极限点型，则 d ( t m i n ) = ，d ( t m 。) l f ( o ) = ，( o ) = o ) 证明设! ( 箩) 为极限点型，则其亏指数为( 1 ，1 ) 由文 1 1 第五章g 理4 1 知，对于v f ，g d ( r m a x ) 有 ，g ( 。) = 0 引理4 1 2 s + = s ，s 一= o ) 引理4 1 3d i ms = d i m d ( t 盼x ) i d ( t m i n ) = 2 定理4 1 4s 只有0 一一级完全l a g r a n g i a n 子流形 证明由定义4 1 和b j 理4 5 ，4 1 ，2 ，4 1 3 知 因为d i ms = 2 ，所以s 与c 2 线性同构因此我自 可以利用c 2 的 单位基向量 e 1 = ( 1 ，0 ) e 2 = ( 0 ，1 ) 来表示s ，即s = s p a n e 1 ，e 2 ) 设f s ，则可以如下选取f 的坐标： f = ( ，( o ) ，p ( o ) f ( o ) ) = ，( o ) e 1 + p ( o ) f ，( o ) e 2 ， 使得有结论： 定理4 1 5 对于v f ，g s 有 f ：g = f h g + ， 其中 h = ( ：一0 1 ) 证明由s 的辛形式的定义有 f ：g = ，g o o = ( f ( ，) ，9 ) 一( f ，f ( 9 ) ) = ( 一p f l 互+ p f 9 1 ) l 铲= f h g + 定理4 1 6l 是s 的( 0 一级) 完全l a g r a n g i a n 子流形号 | n 1 ，a 2 c ，使得l = s p a n a l e l + a 2 e 2 ) ，且满足 ( 1 ) a l ，a 2 不全为零； 圳1 1 1 2i ：0 证明( 牟= )对于任意f ，g l ，则存在o i ，卢c ，使得 f = a ( n l e l + a 2 e 2 ) = o l a l e l + c t a 2 e 2 g = 声( 8 1 e 1 + 0 2 e 2 ) = 卢a l e l + 卢q 2 e 2 则由定理4 1 5 和条件( 2 ) 得 ”fg - ( 血a 1 ，a a 2 ) h ( 卢a l ，9 a 2 ) + = 0 故 l ：l = 0 ，即l 是s 的l a g r a n g i a n 子流形由( 1 ) 知， d i m l = 1 因此，由引理4 5 知，l 是s 的( 0 一级) 完全l a g r a n g i a n 子流形 ( = 专) 因为l 是s 的( 0 一级) 完全l a g r a n g i a n 子流形，所以 d i m l = 1 ，d i m l n s 埔= 0 ，d i m l n s + 2 1 且 l ：l 】= 0 因此3 a l ，a 2 c ，使得 l = s p a n a l e l + a 2 e 2 ， 易证i 刿l 满足条件( 1 ) 与( 2 ) 推论4 1 7 l = s p a n a l e l + a 2 e 2 ) 是s 的( 0 一级) 完全l a _ g r a n g i a n 子流形仁号3 a l ，0 , 2 c ，使得l 满足以下条件之一： ( 1 ) 当a l ，a 2 。p 有一个为零时，不妨设a 2 = 0 则 l = f s i r ，( o ) = o ) ( 2 ) 当a l ，a 2 全非零时，则 l = f s a 2 f ( 0 ) = a l p ( o ) f ，( 0 ) ) 且满足l a 一1 1 2l ：o f “l“2f 4 2 极限园型 设2 ( 可) 为极限园型，则其亏指数为( 2 ，2 ) 由文 1 可知 引理4 2 1d i m s = 4 ，d i m s 一= d i m s + = 2 定理4 2 2 s 的完全l a g r a n g i a n 予流形有且仅有0 一级和1 一级 的 证明由引理4 4 和文1 1 的定理5 知 因为d i ms = 4 ，所以s 与c 4 线性同构因此我们可以和用c 4 的 单位基向量 e 1 = ( 1 ，0 ，0 ，o ) ，e 2 = ( 0 ，1 ，0 ，o ) ，e 3 = ( 0 ，0 ，1 ，o ) ，e 4 = ( 0 ，0 ，0 ，1 ) 来表示s ，即s = 8 p a n e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ) 设f s ，f d ( a x ) ，则可以 如下选取f 的坐标： f = ( ，( o ) ，p ( o ) f 7 ( o ) ， ，纠( 。) ， ，纠( o 。) ) = ，( o ) e 1 + p ( o ) f 1 ( o ) e 2 + ， ( ) e 3 + ，妒 ( 。) e 4 且有以下结论： 定理4 2 3 对于v f ，g s 有 f ：g = f h g + 1 7 肚卜1 。0 。0 00 0 0 。l 一1 、 、00一l0 i f ：g = ，9 铲= ，9 ( 。) 一 ，9 ( o ) = ，9 】( o 。) 西妒 ( ) 一 f g ( o ) = 醐捌鳓f 引一 ，州。， = 晦纠( o 。) ，纠( 。) 囟纠( 。) ，纠( 。) + p ( o ) f 7 ( o ) 雪( o ) 一p ( o ) ，( o ) 雪7 ( o ) = f h g + 定理4 2 4 s 一= s p a n e 1 ，e 2 ) ，s + = s p a n e 3 ，e 4 ) 证明若f s 一，则f s , f d ( 互。) 且 ，纠( ) 0 因此 f = f ( o ) e 1 + p ( o ) f 1 ( o ) e 2 s p a n e 1 ，e 2 ) = ，叫( 。) = 若f s p a n e 1 ，e 2 ) ，则f = f ( o ) e 1 + p ( o ) 厂1 ( o ) e 2 因此【，妒】( ) = ，砂 ( ) = 0 从而f s 一这就证明了s 一= s p a n e 1 ，e 2 ) ，类似可证 s + = s p a n e 3 ，e 4 ) 定理4 2 5l 是s 的0 一级完全l a g r a n g i a n 子流形 号，j n l ，a 2 ，b t ，b 2 c ，使得l = s p a n a l e l + a 2 e 2 ，b l e 3 + b 2 e 4 ) ，且满足 ( 1 ) a l 与a 2 不全为零，b l 与b 2 不全为零； 旧到= 恢昝o 证明( 车= ) 对于任意f ，g l ，则存在o q ，q 2 ，卢l ，卢2 c ，使得 f = o la l e l + 0 2 e 2 ) + 卢1 ( 6 1 e 3 + b 2 e 4 ) = d l n l e l + o q a 2 e 2 + f i l b l e 3 + f i l b 2 e 4 g = a 2a l e l + 0 2 e 2 ) + 9 2 ( b l e 3 + b 2 e 4 ) = c e 2 a l e l + a 2 a 2 e 2 + f l = b l e 3 + 5 2 6 2 e 4 则由定理4 ，2 3 和条件( 2 ) 得 【f ：g = ( o q a l ，口1 0 2 ，卢1 6 1 ，声l b 2 ) h ( a 2 a l ，a 2 0 2 ，岛6 l ，屈b 2 ) + = 0 故【l ：l = 0 ，即l 是s 的l a g r a n g i a n 子流形由( 1 ) 知， d i m l = 2 因此，由引理4 5 知，l 是s 的完全l a g r a n g i a n 子流 形由( 1 ) 知， d i m ln s 一2 虫m l n s + 21 ， 所以l 是0 级的 ( 仁) 因为l 是s 的0 级完全l a g r a n g i a n 子流形，所以 d i m l = 2 ，d i m l n s 一= d i m ln s + 因此 o 】，a 2 ，b l ，b 2 c ，使得 1 ， l ：l = 0 l = s p a n a l e l + a 2 e 2 ，b l e 3 + b 2 e 4 易证明l 满足条件( 1 ) 与( 2 ) 推论4 2 6l = s p a n a , e 1 + a 2 e 2 ，b l e 3 + b 2 e 4 ) 是s 的0 一级完 全l a g r a n g i a n 子流形 = j 0 1 ，a 2 ，b l ，b 2 c ，使得l 满足以下条件 之一： ( 1 ) 当a l 与a 2 中仅有一个为零， b l 与b 2 中仅有一个为零时，不 妨设a 2 = b 2 = 0 ，则 l = f s i r ，( 0 ) = 0 ， ，妒】( ) = o ) ( 2 ) 当a l ，a 2 ，b l ，b 2 中只有一个为零时，不妨设b 2 = 0 ，则 l = f s l a 2 f ( o ) = a l p ( o ) f + ( o ) ， ，纠( 。) = o ) 且l ! ! zl ：0 io l0 2i ( 3 ) 当a l ，a 2 ，b z ，b 2 全非零时，则 l = f s l a 2 f ( o ) = a l p ( o ) f ，( 0 ) ，b 2 f ( i o ( o o ) = 6 1 ，纠( 。) ) l = s p a n e 1 + e 2 ，e 3 + e 4 ) = ，s f ( o ) = p ( o ) f 7 ( o ) ， 厂 ( ) = ，妒 ( 。) ) 是s 的一个0 一级完全l a g r a n g i a n 子流形 类似可得如下结论： 定理4 2 7l 是s 的1 一级完全l a g r a n g i a n 子流形车辛3 a i ，b i c ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，使得 l = s p a n a l e l + n 2 e 2 + n 3 e 3 + n 4 e 4 ，b l e l + 6 2 e 2 + b a e 3 + b 4 e 4 且满足 0 = 比一幻“一h | | l眈一眈幺4 吼西例 且 ( 1 ) 旧引o ) 旧刮0 1 旧引= 怯孙：芝驯害意窨嚣 推论4 2 8l 是s 的1 一级完全l a g r a n g i a n 子流形# 号3 a i ，b i c ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，使得 l = f e s l ( 。a 。l ( p 。徘，) = ( 训a 3b 。3 ) 。1 ( 鼢跏， 且满足 ( 1 ) 旧毒h 弦刮0 】 旧a 画。2 a 。3 驯a 4 继2 陵圳； 注从定理4 2 5 、推论4 2 6 、定理4 2 7 和推论4 2 8 可以看 出，s 的0 一级与1 一级完全l a g r a n g i a n 子流形都可以用边条件来描 述，0 一级完全l a g r a n g i a n 子流形的边条件是分离的，而1 一级完全 l a g r a n g i a n 子流形的边条件不是分离的，是耦合的从这个角度也说明 了，w e y l t i t c h m a r s h 域是不完全的，仅给出了0 一级自伴域的描述； 而c a o 域早自伴域的完全描替 参考文献 e v e r i t tw n ，m a r k a sl c o m p l e xs y m p l e c t i cg e o m e t r yw i t ha p p l i c a t i o n st oo r d i n a r yd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s j t r a n s a c t i o n so f t h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y ，1 9 9 9 ，3 5 1 ( 1 2 ) ：4 9 0 5 4 9 4 5 c a o z h i j i a n g o ns e l f - a d j o i n td o m a i n so f2 - n do r d e rd i f f e r e n t i a l o p e r a t o r si nl i m i t c i r c l ec a s e j a c t am a t h s i n i c a ，1 9 8 5 ，1 ( 3 ) ： 2 2 5 - 2 3 0 s u nj i o n g o nt h es e l f - a d j o i n te x t e n s i o n so fs y m m e t r i co r d i n a r y d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sw i t hm i d d e d e f i c i e n c yi n d i e s 【j a c t a m a t h s i n i c a ，1 9 8 6 ，2 ( 1 ) ：1 5 2 1 6 7 n a i m a r kma l i n e a rd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s m l o n d o nh a r r a p ) 1 9 6 8 ，i i e d m u n d sde ，e v a n sw d s p e c t r a lt h e o r ya n d d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s o x f o r du n i v e r s i t yp r e s s ，o x f o r d ，1 9 8 7 t i t c h m a r s he c e i g e n f u n c t i o ne x p a n s i o n s a s s o c i a t e dw i t hs e c o n d - 2 n o l ，( m ( i i 【i 打【1 l l ，i a ，l ( 、( 1 ，1 i o n s 。1 1 1 1 a ll ，i ，s o c o n de d i ( ，i o n ，o x h ) r d ， 1 9 6 2 f 7 1 e v e r i t tw n ，k a m a rv k o nt h et i t c h m a i s h w e y lt h e o r yo fo r d i n a r ys y m m e t r i c d i f f e r e n t i a le x p r e s s i o n si ：t h eg e n e r a lt h e o r y j n i e u wa r c h i e fv o o rw i s h u n d e ，1 9 7 6 ，3 4 ( 3 ) ：i - 4 8 f 8 1 e v e r i t twn o nt h et i t c h m a r s h w e y lt h e o r yo fo r d i n a r ys y m - m e t r i cd i f f e r e n t i a le x p r e s s i o n si i ：t h eo d