（计算数学专业论文）无网格法中本质边界条件实施研究.pdf

摘要 无网格方法是一种新兴的数值计算方法，它只需要节点参数信息，而网格可 以部分或完全消除，摆脱或至少是减轻了对整个结构划分网格的困难，还有精度 高、后处理方便等许多突出的优点。因此，国内外学者已提出多种无网格方法并 将其应用于工程实际，取得了许多理论和应用成果。 在阅读大量文献的基础上，本篇学位论文系统地综述了无网格方法的发展现 状及各种无网格方法的优缺点，针对无网格法中亟待解决的关键问题作了详细的 探讨，并对移动最小二乘法中矩阵a 的可逆性、权函数的选取、罚因子的选取、 支持域半径的确定以及逼近函数的性质等关键性问题都进行了详细的分析讨论。 用移动最小二乘法建立的近似函数不具有插值特性，使用其建立变分原理的 离散求解系统( 如无网格化方法) 时，对本质边界条件的实施需特殊处理。本文 首先详细地介绍了无网格方法中各种本质边界条件处理的基本原理和方法，讨论 了各种实现方法及特点，并分析比较了各自的优点和不足之处。在此基础上提出 修正一罚函数法，它是一种变分弱形式修正的方法，即先用拉格朗曰乘子实施本 质边界条件，为增强泛函离散形式的正定性，在连续泛函中识别出拉格朗日乘子， 得到修正能量泛函；考虑到拉格朗日乘子识别法精度低，为进一步提高计算精度， 再对修正泛函使用罚函数法强加本质边界条件。与拉格朗臼乘子法相比，该方法 的总体刚度矩阵具有稀疏、带状的特性，并且对称正定；与罚函数法相比，在相 同精度的条件下，刚度矩阵条件数小，数值解对罚因子的敏感性低；与拉格朗日 乘子识别法相比，计算精度高。作为应用，文中给出了弹性力学问题、p o i s s o n 方程以及更一般的二阶自伴随偏微分方程边值问题的修正一罚函数法的刚度矩 阵表达式。并以弹性力学问题的求解为例进行了数值试验，验证了所提方法的可 靠性和精确性。 关键词g 移动最小二乘法；本质边界条件；拉格朗日乘子法；罚函数；条件数 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，m e s h l c s sm e t h o d sh a v eb e e np r o p o s e da n da c h i e v e dr e m a r k a b l e p r o g r e s si nn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n s ，t h em a i nf e a t u r eo fw h i c hi st h a tt h e yo n l yn e e d i n f o r m a t i o no fn o d a lp a r a m e t e r si n s t e a do fe l e m e n t si n f o r m a t i o na n dt h em e s hc a nb e e l i m i n a t e dw h o l l yo rp a r t l y s ot h ed i f f i c u l t yi nm e s hg e n e r a t i o no ft h es t r u c t u r ei s r e d u c e d f u r t h e r m o r e ，t h e ya l s oh a v eo t h e rm e r i t s ，i n c l u d i n gt h eh i g ha c c u r a c y , t h e c o n v e n i e n c eo ft h ep o s t p r o c e s s o ra n ds oo n al o to fs o r t so fm e s h l e s sm e t h o d sw c r e p r e s e n t e db yn a t i v eo ff o r e i g ns c h o l a r sa n da p p l i e dt ot h ee n g i n e e r i n gp r a c t i c ei nt h e p a s td e c a d e s m a n yt h e o r e t i ca n da p p l i e da c h i e v e m e n t sw e r ea c q u i r e d s of a r , t h e o r e t i c a lr e s e a r c h e sa sw e l la sr e l a t i v ea p p l i c a t i o n sa b o u tm e s h l e s s m e t h o d sa r es t i l li nt h es t a g eo fi n f a n c y c o n s i d e r i n gt h ee x i s t i n gk e yp r o b l e m so f m e s h l c s sm e t h o d s ，i m p m v e dt e c h n i q u e sa r ed i s c u s s e di nd e t a i l o nt h eb a s i so fr c a d i n gal o to fl i t e r a t u r e s ，t h ea d v a n t a g e sa n d d i s a d v a n t a g e so f e f g ma n db a s i st h e o r yo fm e s h l e s sm e t h o da r ei n t r o d u c e d t h ep h y s i c a lm e a n i n go f m l s r e v e r s i b i l i t yo f m a t r i xa ，s e l e c t i o no fw e i g h tf u n c t i o n , a n dt h ep e n a l t yf a c t o r , t h ep r o p e rr a d i u so fs u p p o r td o m a i na n dt h ec h a r a c t e r i s t i co fa p p r o x i m a t ef u n c t i o na r e i n v e s t i g a t e di nd e t a i l a s p e c i a lt r e a t m e n ti sn e e d e dt or e a l j z et h ee s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sf o r m e s h - f r e em e t h o dw h i l em o v i n gl e a s ts q u a r e dm e t h o di su s e dt oa p p r o x i m a t et h e u n k n o w nf i e l df u n c t i o n s t h i si sc a u s e db yt h ef a c t t h a tm o v i n gl e a s ts q u a r e a p p r o x i m a t i o ni sj u s ta k i n do ff i t t i n gm e t h o dw i t h o u ti n t e r p o l a t i o nc h a r a c t e r i s t i c s i n t h i sp a p e r , a f t e ri n t r o d u d n gt h em e s h l e s sm e t h o ds i m p l y , w ed i s c u s se v e r yk i n do f m e t h o d so ni m p l e m e n t a t i o no fe s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n si nd e t a i la n d c o m p a r e s a d v a n t a g e sa n ds h o r t c o m i n g so fs e v e r a lk i n d so fm e t h o d s b e s i d e st h ea b o v e ，an e w m e t h o dt h a tt h em e d i f i e d - - - p e n a l t yi sp r o p o s e d ，e s s e n t i a lb o a n d a r yc o n d i t i o nw a s f o r c e db yi n t r o d u c i n gl a g r a n g em u l t i p l i e r sf w s t l y t oe n r i c ht h ep o s i t i v ed e f i n i t eo f s t i f f n e s sm a t r i x ，t h el a g r a n g em u l t i t l i e r si si d e n t i f i e d 器b o u n d a r yf o r c e ，t h e na m o d i f i e dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ew a so b t a i n e d t oi m p r o v et h ec o m p u t i n ga c c u r a c y , p e n a l t yf a c t o ri s i n d u c e di nt h eo b t a i n e dp r i n c i p l e c o m p a r i n gw i t ht h ep e n a l t y m e t h o d ，t h em o d i f i e d - - p e n a l t ym e t h o dh a st h ef o l l o w i n gs e v e r a la d v a n t a g e ：s m a l l e r c o n d i t i o nn u m b e r , l e s ss e n s i t i v i t yt o p e n a l t yf a c t o r , h i g h e rc o m p u t i n ga c c u r a c y c o m p a r i n gw i t hl a g r a n g em u l t i p l i e r sm e t h o d ，t h ep r e s e n tm e t h o dh a sl e s su n k n o w n v a r i a b l e s ，a n dm a k et h es t i f f n e s sm a t r i xt ob ep o s i t i v ed e f i n i t e a sa p p l i c a t i o n s ，t h e s t i f f n e s sm a t r i xo fm o d i f i e 癌- - - p e b a l t ym e t h o df o rs o m ep r o b l e m ss u c ha se l a s t i c i t y p r o b l e m ，p o i s o np r o b l e ma n d2 - o r d e rs e l f - a d j o i n tp d fp r o b l e ma r ed e v e l o p e d i na w o r d , t h em o d i f i e d - - p e n a l t ym e t h o di n t e g r a t e st h ea d v a n t a g e so fb o t hp e n a l t y m e t h o d sa n dl a g r a n g em u l t i p l i e r sm e t h o d s f i n a l l y , n u m e r i c a le x a m p l eh a v ed e m o n s t r a t e dt h ea c c u r a c ya n dc o n v e r g e n c eo f t h em o d i f i e d - - p e n a l t ym e t h o d k e yw o r d s ：m o v i n gl e a s ts q u a r ea p p r o x i m a t i o n ；e s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s ； l a g r a n g em u l t i p l i e r sm e t h o d s ；p e n a l t ym e t h o d s ：c o n d i t i o nn u m b e r m 西北工业大学 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作 的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业 大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：毒l ：。：量墨 年月如日 指导教师签名： 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是 本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中己经注明引用的 内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体己经公开发表或撰写过的研 究成果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名： o 。- 7 年弓月；p 日 f 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 第一节无网格方法概述 在科学工程计算中，有限元的应用和取得的成绩是有目共睹的，近几十年以 来，相对于有限差分、边界元而言，最常见的，占主导地位的数值计算方法是有 限元法，它理论成熟，原理简单，可以处理各种复杂的几何形状、边界条件和材 料性质，但网格变形和单元之间的协调在一定程度上制约了有限元的发展。 有限元在具有复杂结构的二、三维结构网格的生成、特大变形和裂纹扩展方 面仍然遇到了很多的困难。随着科学技术的飞速发展很广泛应用，人们寻求和发 展了另一种途径和方法，在2 0 世纪9 0 年代新发展起来的无网格方法为这些问题 的解决提供了有效的途径，其基本思想是将整个求解域离散为独立的节点，不需 要节点连成单元，根据定义域内的待求点来确定该点附近的一个影响域，在此影 响域内建立场函数的近似函数，这样就避免了大量的单元网格划分和网格重划的 工作，极大的减少了工作量。且节点可以随机分布，增加了解决问题的灵活性， 由一系列的离散点构造位移近似函数，克服了网格生成、网格畸变和网格移动引 起的问题，从而受到了国际计算力学和工程应用上的广泛注意。 无网格法的主要优点是可以彻底或部分地消除网格，摆脱或至少减轻了对整 个结构划分网格的困难，克服了有限单元法等传统数值计算方法对网格的依赖 性，特别是在自适应方法中，在节点需要增加或减少网格的地方，只要增加或删 除节点，而不需要对整个结构重新划分网格；而且提供了连续性好，形式灵活的 场函数，在处理弹塑性，裂纹动态扩展、高速碰撞、移动界面等涉及大变形的问 题时，具有广阔的应用前景i l l 。 因此，近年来无网格方法吸引了众多研究者的关注，它被认为是一种很有前 途的数值计算方法。但其仍处于探索阶段，尚有许多有待研究的问题，各种不同 的无网格计算方法在实际应用中也存在着一些不同的问题。比如与有限元相比， 其整体计算开销一般较大；大多数无网格方法的函数不是严格意义上的插值函 数，因此不具有插值性质，一般不可以像有限元那样直接施加本质边界条件等等。 总之，无网格法相对于有限元等其它数值方法来说，还处在研究探索阶段， 有待于进一步的改进和完善，并将逐步应用到传统数值方法无法触及的领域。 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 第二节无网格法在国内外研究历史及现状 无网格法就是采用对所考虑问题域内随机分布变量值( 或名义节点值) 的局 部插值函数作为试探函数，来满足数值求解的局部性要求。无网格方法具有灵活， 容易实施数值计算，求解精度高，在离散模型中不需要划分单元和网格，在未知 变量急剧变化的地方，只需增加节点，对求解复杂边界问题极具灵活性，特别在 工程应用中容易实现智能和自适应算法等优点，所以近些年来，这种方法已被推 广和应用。 追溯起来，无网格数值方法的研究已有2 0 年历史。1 9 7 7 年，h c k 等1 2 】提出 了一种新的数值方法一一光滑离子流体动力学方法( s m o o t h e dp a r t i c l e h y d r o d y n a m i c s ：s p h ) ，s p h 是一种纯拉格朗日方法，不需网格，在天体物理领 域里得到了成功应用 3 1 。近几年，s w e d e ，d y k a l 4 l 等人提出了s p h 方法不稳定的 起因及给出了稳定化方法。j o n h s o n 和b e i s s c l 5 1 等人提出了一些改善应变计算的 方法。l i u 等人提出了对核函数的修正方案，该方法具有灵活，简单易行的优点， 这是由于它利用了配点法在节点处构建离散方程无需背景网格。然而其灵活性和 简单性是以精度为代价的，在实际应用中为了获得合理的精度往往需要很密的节 点配置，其精度较低的原因在于s p h 方法中所使用的核近似技术相当于s h e p 孤d 插值，而s h e p a r d 插值的精度较低，其最初的模型不具备零阶一致性。另一个问 题在于s p h 的空间不稳定性，通常也称为拉伸不稳。 另外一条构造无网格方法的途径是采用移动最小二乘法( m o v i n gl e a s t s q u a r e s ：m l s ) 进行近似。m l s 最早是由l a n c a s t e rp 等提出，用于构造近似函 数来拟合曲线和曲面，1 9 9 2 年，n a b o b s 等最早将移动最小二乘法用于g a r l e r k i n 方程求解边值问题，从而提出了散射元法1 6 j ( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ：d e m ) ，该 方法省去了形函数导数表达式中的部分项。另外b e l y t s c h k o 等对d e m 进行了两 点改进1 7 ，在计算形函数导数时保留了被n a y r o l c s 忽略的所有项，并利用拉格朗 日乘子法引入本质边界条件，提出了无网格g a r l e r k i n 法，掀起了无网格法的研 究热潮。这类方法比s p h 方法计算费用高，但具有较好的稳定性。 b c l y t s c h k o 等给出了e f g 的误差估计嗍，对e f g 中的数值积分方案以及近似 函数的计算方法进行了深入研究，并将e f g 方法用于动态裂纹扩展的数值模拟， 克服了有限元方法在模拟裂纹扩展时需要不断进行网格从新划分的缺点1 9 j ；k r y s l 等人将e f g 用于板壳分析中【1 0 j ；l i u 等将e f g 和边界元法相耦合，用于固体的 应力分析1 1 u ；b e l y t s c h k o 和h e g e n 等，将e f g 方法和有限元方法耦合以发挥各 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 自的优势i 埘，b e l y t s c h k od u 等将e f g 用于三维撞击和流体晃动分析1 1 3 1 ；c o r d e s 等将e f g 方法用于相变问题的研列1 4 1 ；张雄等将e f g 法的思想应用于节理岩体 的分析中1 1 5 1 ；为了避免使用背景网格，b e i s s e l 等提出了节点积分方案，但计算 稳定性较差【1 6 1 ；s m o l i n s k i 等给出了e f g 法显式时间积分方案并用于求解扩展问 题1 1 一周维桓等对e f g 进行了详细介绍，并用于拱坝开裂分析中【1 8 】；张伟星等 将e f g 法应用于地基板的应力分析中【1 9 1 ；庞作会等也e f g 法进行了介绍，并将 其应用于边坡开挖问题中刚；李卧东、王元汉等用无网格法模拟岩体介质中裂纹 面实际的应力状态及计算平板弯曲问趔2 i j ；陈建等采用e f g 法计算含边沿裂纹 功能梯度材料板的应力强度因子1 2 2 1 。研究表明，e f g 法精度和收敛速度都高于 有限元法，e f g 法采用基于m l s 的全域近似位移函数，得到的能量泛函弱形式 也是基于整个计算域的，虽然它在近似场变量时可以脱离网格的概念，但对能量 积分时，需要在积分背景网格上进行，因此e f g 未能彻底地脱离网格。 o n a t e 等利用移动最小二乘近似来构造位移函数，并采用配点格式进行离散， 提出了有限点法【矧。该方法相对于e f g 法具有效率高，无需背景网格积分等优 点，主要应用于流体力学领域。宋康祖等将其应用于弹塑性分析中【2 q 。 a t l u r i 等提出了无网格局部伽辽金法( m e s h l e s sl o c a lp e t r o v - g a r l e r k i nm e t h o d ： m l p g ) 1 2 5 , 2 6 1 ，该方法也是用移动最小二乘法建立场函数的近似，用局部 p e t r o v g a r l e r k i n 法建立无网格格式，积分时不需要背景网格。i j u 等将m l p g 和 有限元及边界元相耦合，充分发挥它们各自的优势，a t l u r i 等还利用二次节点控 制计算误差，并将其应用于非线性、薄型梁及对流扩散等问题的研究。赵美玲等 将此方法引入电磁场计算i 砑l ，并且详细探讨了局部域上的积分策略，给出了一种 较为简便且精确的积分方案。 d u a r t e 和o d e n 等利用移动最 b - - 乘法建立单位分解( p a r t i t i o no fu n i t y ) 函 数，由此构造权函数和试函数，再通过g a r l e r k i n 法建立离散格式，提出了h p 云 ( c l o u d s ) 法l 勰, 2 9 1 ，并对这种方法进行了严格的数学论证。该方法的基本思想是用 多项式或其它合适的函数族来乘“单位分解函数”，所得的函数就叫h - p 云。它 保持了移动最小二乘的优点，如具有较好的规则性和紧支性，且这些函数的线性 组合可代表任意阶多项式。从而实现p 型和h p 型的自适应，它具有与h - p 自适 应有限元同样优良的特性，而不必形成单元。m e n d o n c c a 等将该方法用于求解铁 摩辛柯梁问题p o l ，g a r c i a 等将其应用于求解厚板的弯曲问题【3 1 】，刘欣等将其用于 平面裂纹问题的自适应分析i ”j 。 径向基函数法( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ：r b f ) 是求解偏微分方程的一种真正无 网格算法，且与空间维数无关，有多种实现方法，在离散点插值中，有些径向基 3 西北工业大学硕士学位论文第章绪论 函数具有谱收敛速率。该方法的特征是将所谓的径向基函数作为插值基函数。 f r a n k 比较了2 9 种离散数据插值方法，发现h a r d y 提出的m q 函数和d u c h o n 提 出的t p s 函数的插值精度最高【3 3 l 。这两类函数是常见的径向基函数。k a n s a 将径 向基函数引入到配点法中1 3 4 l ，用以求解双曲、椭圆和抛物线问题；k a n s a 和s h a r a n 等人发现m q 函数具有指数收敛性，而且计算效率极高闭；在k a n s a 的配点法 中，系数矩阵是非对称的；f a s s h a u e r 采用h e r n i t e 型方法，得到系数矩阵在某 些特殊的偏微分方程中是对称或反对称的p q ；w e n d l a n d 将径向基函数引入到 g a r l e r k i n 法中，建立了相应的无网格格式；c o l e m a n 用径向基函数求解椭圆型边 值问题【3 7 l ；吴宗敏等和f r a n k e l 3 8 j 等证明了用径向基函数进行离散数据插值和求 解偏微分方程的收敛性，并给出了误差估计；陈文采用径向基函数提出了边界点 方法，只需对求解域的边界用节点离散，而不需要离散求解域【3 9 】；h o n 等采用径 向基函数求解两相流问题【加j 。 将径向基函数法引入到配点法以求解偏微分方程具有许多优点，该方法是真 正的无网格法，不需要任何网格，该方法与空间维数无关。然而径向基函数一般 是定义在全域上的，且得到的系数矩阵的条件数过大。目前提出了多种方法解决 这一问题，如采用区域分解法、优化调整m q 函数的形状参数以及采用紧支径向 基函数。吴宗敏给出了正定紧支径向基函数的构造法则，并构造了一系列正定紧 支径向基函数：b u h m a n n 给出了基于t i s 函数的正定紧支径向基函数： w e n d l a n d 给出的正定紧支径向基函数与吴宗敏的相似，但它们具有最少的自由 度；张雄等将紧支径向函数应用于配点法中，建立了相应的无网格方法，用于求 解固体力学问题【4 2 l 。虽然紧支径向函数具有许多优势，但它们不能满足完备性条 件，甚至不能正确描述常应变状态。宋康祖等提出了满足完备性条件的紧支径向 函数，并建立了相应的配点型无网格格式，大幅度提高了计算精度，但也增加了 计算量【4 3 l 。 基于g a l e r k i n 法的无网格法精度高，但它需要进行数值积分，不但计算量大， 而且要引入背景网格。基于配点型的无网格法计算效率高，但精度低，稳定性差。 张雄等基于最小二乘法提出了最小二乘配点无网格法和加权最小二乘无网格法 m l ，较好的解决了这一问题。然而由最小二乘变分原理得到的欧拉方程不再是原 问题的微分方程，而是其高阶导数，因此采用该类方法时若边界条件处理不当， 可能会得到虚假的结果。潘小飞等人将g a l e r k i n 和最小二乘法有机结合，建立了 g a l e r k i n 最小二乘无网格法，完全消除了最小二乘无网格法产生虚假解的可能性。 该类方法的计算精度远高于配点法，计算量远小于g a l e r k i n 法，兼有g a l e r k i n 法 和配点法的优势，是很有发展前途的无网格方法。 4 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 综上所述，可看出，由于无网格方法在场变量的逼近、边界条件引入、能量 泛函积分等方面存在灵活性，因而出现了多种无网格方法。目前学者们普遍认为， 只要建立近似函数时不需要借助于网格，不论是否需要背景网格计算积分，这种 方法就是无网格方法，表1 - 1 列出的是文献中出现频率较高的几种无网格方法。 表1 - 1 主要无网格法小结 4 5 1 1 h b 1 1 s u m m a r i z eo f m e s h l e 龉m e t h o d s 无网格法名称近似方案离散方案 背景网格 光滑质点流体动力学方法( s p h q 核函数配点法 无 散射单元法e m ) 移动最小二乘g a l e r k i n 法 有 无网格g a l e r k i n 法( 鳓移动最小二乘 g a l e r k i n 法 有 有限点法( f p m )移动最小二乘配点法无 重构核粒子法( r x p m )重构核近似g a l e r k i n 法有 无网格配点法( p c m ) 重构核近似配点法无 h p 云法( h p - c l o u d s ) 移动最小二乘g a l e r k i n 法有 h p 无网格云法佃p m e s h k gc l o u d s ) 移动最小二乘配点法无 单位分解法( p u m ) 单位分解g a l e r k i n 法有 局部边界积分法0 - j m ! ) 移动最小二乘p e t r o v - g a l e r k i n 法 无 局部p e t r o v - g a l e r k i n 无网格法( m l p o ) 移动最小二乘 p e t r o v - g a l e r k i n 法 无 紧支径向基函数无网格法支径向基函数配点法无 最d - - 乘配点无网格法( l s c ) 移动晟小二乘最t j 、_ - 乘配点法无 加权最小二乘无网格法移动最小二乘加权最小二乘法无 目前流行的无网格方法是无网格g a l e r k i n 法，即e f g m 法，它以移动最小 二乘法构造插值函数，并从微分方程的弱变分形式原理出发，导出求解问题的代 数方程。这种方法的特点是求解精度较高，但计算量大，需要“背景网格” ( b a c k g r o u n dc e l l ) 作为数值积分的积分域。 第三节无网格方法的优点和存在的主要问题 3 1 无网格方法的特点和优越性 目前己提出了十余种无网格方法，它们之间的区别主要在于所使用的试探函 数( 如移动最小二乘近似、重构核函数近似、单位分解法、径向基函数、点插值 法等) 和微分方程的等效形式( 如g a l e r k i n 法、配点法、最小二乘法、p e t r o v 5 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 g a l e r k i n 法等) 。 建立近似函数时不借助网格，基于函数逼近近似而非插值是无网格法与有限 元法的主要区别之一。采用定义在离散点上具有紧支特性的函数来构造近似函 数，而不用定义在全域上的级数展开形式是无网格法与经典加权残量法的主要区 别。无网格法具有以下优点： ( 1 ) 避免了大量的单元网格划分工作并克服了有限元中由于场函数的局部化近 似所引起的误差。 ( 2 ) 得到离散的代数方程组仅需要对节点和边界条件进行描述。 ( 3 ) 场函数及其梯度在整个求解域内是连续的，无需寻求光滑梯度场的后处理。 ( 4 ) 无网格的近似函数没有网格依赖性，减少了因网格畸变引起的困难，适用于 处理高速碰撞问题，动态裂纹，塑性流动等涉及大变形和需要动态调整节点 位置的各类应用问题。 ( 5 ) 适合进行自适应分析。 3 2 无网格方法现存在的问题和不足 和有限元方法相比，无网格是一种新兴的数值计算方法，其计算理论具有先 进性，但它的发展还刚刚起步，在处理具体问题时，缺乏成熟通用的手段，有许 多领域尚待开发，不可避免的还存在一些问题，主要表现在以下几个方面： ( 1 ) 缺乏严格的数学论证 尽管无网格解决了大量复杂的计算问题，但是大多缺乏坚实理论推导和严 格的数学证明，所以在这方面将有大量的工作要做。 但) 计算量大 在实际计算时，无网格法常常比传统的有限元、边界元法等更费机时，其 主要原因是它在每一点都需计算一次形函数及其导数，这其中涉及矩阵求逆和 多个矩阵的相乘。 ( 3 ) 影响无网格方法求解精度的因素多 应用不同无网格方法求解同一问题必然产生不同精度的计算结果，即使是 对于大部分都采用基于移动最小二乘法近似的无网格方法，其计算精度除受到 节点的分布密度和基函数的阶次影响外，还受到其它因素的影响，其中权函数 的选取，权函数影响域的大小及边界条件的引入对计算精度影响都比较大。 ( 实施本质边界条件困难 由于大部分无网格方法的近似函数与有限元不同，不是插值函数，不能精 6 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 确通过节点变量，因此，本质边界条件的引入比较困难，需特殊处理。 尽管无网格方法存在着不足，但无网格方法在处理工程问题有其独特的优 点。相信随着研究的不断深入，其理论与软件日益完善，会得到更为广泛的应 用。 第四节论文研究的目的及主要工作 针对大部分无网格近似函数是拟合型，而不是插值型函数，本质边界条件的 实施比较困难，因此对于本质边界条件要特殊处理。本文通过对目前已有的各种 本质边界条件施加方法的分析比较，试图找到一种合理、高效、方便地施加本质 边界条件的方法，使无网格方法在各种不同领域的工程问题中得到更为广泛的应 用。 本文的主要工作有： ( 1 ) 在阅读大量文献的基础上，系统地综述了无网格方法的发展历史、现状、特 点以及各种无网格方法的优缺点。 ( 2 ) 采用移动最 b - - 乘法来构造位移函数，是目前各种无网格方法最流行采用的 方法。本文阐述了移动最小二乘法的物理意义，对矩阵a ( x ) 的可逆性，权函 数的选取，支持域半径的确定，以及逼近函数的性质等关键问题进行了讨论。 ( 3 ) 本文在对现有实施本质边界条件方法进行了分类和总结，在此基础上，提出 了一种新的实施本质边界条件方法：修正一罚函数法，该方法不仅计算精度 高，条件数相对较小，而且刚度矩阵对称正定带状，是一种理想的边界处理 方法。 ( 4 ) 进行了数值实验，验证了修正一罚函数法的有效性、可靠性。 ( 5 ) 最后对全文进行了总结，得出一些有意义的结论，并对进一步发展无网格法 本质边界研究做出展望。 第五节小结 本章就无网格方法的产生、发展及应用作了综述，详细阐述了无网格方法 的优缺点，简要的介绍论文选题背景和依据以及本文的研究内容和创新点，在后 7 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 续的章节中，我们将对无网格法中亟待解决的关键问题作详细讨论。 西北工业大学硕士学位论文第二章无网格法的基本原理 第二章无网格法的基本原理 就无网格近似函数这个步骤而言，目前运用较多的主要有：光滑粒子法、移 动最小二乘法、再生核质点法、单位分解法、点插值法、自然单元法和基于径向 基函数近似等。在这些方案中，除了基于径向基函数的直接近似方案不构造形函 数外，其它方法都是要构造形函数的；在那些构造形函数的方案中，有些构造的 形函数是满足插值条件，有些是不满足插值条件的，不满足的占多数。本文对应 用最多的移动最小二乘法进行详细地阐述。 第一节移动最小二乘的基本原理 1 1 移动最 b - 乘近似( m o v i n gl e a s ts q u a r e ，m l s ) 在无网格伽辽金方法中，函数“g ) 司以近似的表不为： 一( x ) - p r ( x ) a ( x ) 。荟n ( x 弦( x ) ( 2 1 ) 式中p a x ) 可通过p a s c a l 三角取得，二维和三维的函数分别见图( 2 1 ，2 2 ) ，a ( x ) 是 系数向量，其中，辨为基向量的维数，p o ) 为多项式基向量。对于一维域来说： 一维： 线性基：， ) 一位工) ( m - 2 ) 二次基：p r o ) 一扛工，x 2 ) 伽- 3 )( 2 2 ) 二维： 线性基：p r o ) 。扛而y )伽- 3 ) 二次基：p r ( x ) = 仙工，y , x z , x y ，y 2 ) 伽一6 ) 9 西北工业大学硕士学位论文 第二章无网格法的基本原理 f ，内审工， 。j l ji ? 一 时， 图2 - 2 三维基函数 f i g 2 - 1 t w o d i m e n s i o n a lb a s i sf u n c t i o n f i g 2 = 2 t r i d i m e n s i o n a lb a s i sf u n c t i o n 系数向量a ( x ) 可由局部加权最小二乘拟合得到，即： w ( x - x ，) 是权函数，它是一个具有紧支撑的非负函数，即对于影响域外的， w ( x - x ，) - o ，对于影响域内的，w ( x x ，) 一o ；u ( x ，) 是u ( x ) 在k 处的函数值。 若将式( 2 3 ) 表示成矩阵形式为： j ( x ) - ( p a n ) 7 w ( x x p a u ) ( 2 4 ) 式中： u - ( u ( x 1 ) ，u ( x 2 ) ，u ( x 。) ) r ( 2 5 ) p 置 w ( x ) 一 n ( x 1 ) p 2 ( x 。) 磊( x 1 ) n ( x ：) 戌( x 。) p 。( x ：) a ( k ) p 2 ( 瓦) 办( 邑) m ( x 一邑) 0 0 0 0 ( x - - x 2 ) 0 0 0 o ) ( x - - x 。) 1 0 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 炉 晰 吨 叫 训 舭 嘶 ， 砷 巧 伍 w w v向v角 曲“ 西北工业大学硕士学位论文第二章无网格法的基本原理 式中： 由最小二乘原理，当，( x ) 取最小值时，( 2 4 ) 式两边对口( x ) 求偏导数： 丽a j ( x ) - a ( x ) a ( x ) 一b ( x ) 一。 ( 2 8 ) 由此便得 将( 2 1 0 ) 式带x ( 2 1 ) 式得： a ( x ) 一p 7 w ( x ) pb ( x ) - l f w ( x ) ( 2 9 ) 矗( x ) - a 4 ( x ) b ( x ) u ( 2 1 0 ) u k ( x ) 一，( x ) a 。1 ( x ) b ( x ) u ， ( 2 1 1 ) f = l 需要指出的是，在x ，处，由式( 2 1 1 ) 得到的一( x ) - u ( x ，) 。即由移动最t j , , - 乘 法得到的场函数不通过节点变量。 移动最小二乘拟合本为全区域拟合，即一个节点x ，的方程系数将涉及所有 节点，最终矩阵为满阵。为使它具有稀疏带状性，无网格法引入了局部权函数， 并由此引出了支集、定义域和影响域这些重要概念。 从节点角度来看，其权函数不为零的区域即其支集。反之，从积分点来看， 在该点权为非零的节点即此积分点有贡献的节点，这类节点的集合称之为该积分 点的定义域。所谓影响域是在具体作数值计算时，每个积分点的贡献值将送到其 定义域涉及的各个节点处。因此在节点x ，的方程中，凡有积分点贡献的非零项 就是该节点的耦合项，这样，节点x ，方程中所有非零元对应节点的集合称为x ，点 的影响域。 1 2 形函数及其导数 将式( 2 1 1 ) 写成 一( x ) 2 荟n ，( x ) u ， 1 l ( 2 1 2 ) 西北工业大学硕士学位论文第二章无网格法的基本原理 其中：n ( x ) - p t ( x ) a 4 ( x ) b ( x ) ，n ，( i ) 称为移动最小二乘形函数，需要指出的 是形函数n ( x ) 一般不满, 足k r o n e c k e r 一6 条件，即：n ，( x ，) ，屯故： ( x ) 一i ( x ，) 。 如图2 - 3 其导数为： n ( x ) ”i p 7 ( x ) a - l ( x ) b ( x ) + p 7 ( x ) 【a - l s l ( x ) b ( x ) + a 一1 ( x ) b 。( x ) 】 ( 2 1 3 ) 图2 - 3 移动最小二乘方法中位移虚值喀与位移函数u i 的差异( 一维) f i g ”d i f f e r e n c e o f d i s p l a c e m e n t v i r t u a l v a l u e 喀a n d f u n c t i o n o f m l s 这种拟合方法之所以叫移动最小二乘法，是因为对应于不同节点的局部近 似，a ( x ) 的值不相同，这与最小二乘法中a ( x ) 为固定值有区别。式( 2 1 ) 可以看作 是传统最t j 、- 乘近似法的推广，在传统的最小二乘近似法中a 是与x 无关的常 数，这里用近似，它表示函数一般并不通过场函数的节点值，而“插值”表示函 数通过节点值。移动最小二乘一般不通过数据点，所以它是一种拟合近似。 第二节移动最小二乘的基本特性 由上节可以看出，形函数受权函数和基函数的影响变化，因此选择适当的基 函数和权函数对问题求解有较大的影响。 2 1 基函数的选择 基函数的选择，多采用幂函数形式，其次数一般在一次到三次之间。提高基 1 2 西北工业大学硕士学位论文第二章无网格法的基本原理 函数的次数，可以提高计算的精度，但是提高基函数的次数也带来很多其它问题， 不仅会显著增加计算量、降低计算的效率，而且由最小二乘法得到的矩阵一般都 呈现一定程度的病态，其条件数常常偏大，如果节点分布不均匀，矩阵条件数会 迅速增大，因此基函数次数越高，问题也越严重。考虑到以上问题，可以选择低 次的基函数，并通过增加节点密度的方法来提高计算精度。图2 4 给出了高次多 项式基对p o i s s o n 问题数值解的震荡分析。 图2 - 4 高次多项式基对p o i s s o n 问题数值解的震荡i 撕1 f i g 2 - 4 h i g ho r d e rp o l y n o m i a lb a s i sf o rv i b r a t eo fc o m p u t e ds o l u t i o nt op o i s s o nf i m c t i o n 2 2 形函数的意义 可以将逼近函数分成如下的三个部分的乘积，即p ) 、a 。1 ( 功、b ( x ) ，其 中p o ) 包含了采样点的位置信息，a 。1 ) 是由所有采样基点的坐标进行包括加 权在内的简单运算后叠加而成的，由于采用了以距离为单一变量的权函数，使得 与某一逼近点有关的采样基点被限制在以该点