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四川大学博士学位论文 非傍轴光束传输特性、相干和非相干合成研究 光学专业 博士研究生高曾辉指导教师吕百达教授 随着激光技术的发展，特别是强聚焦光束和半导体激光光束( 有大发散角) 描述、光子带隙晶体和稳定腔的非傍轴本征模问题的求解，使人们开始了对非 傍轴光束的传输特性的研究。最早系统地对非傍轴光束传输理论的研究始于七 十年代l a xe ta 1 的开创性工作，后经d a v i s ，a g r a w a l ，p a t t a n a y a k ，c o u t u r ea n d b e l a n g e r ，t a k e n a k a ，w t l n s c h e 等人的工作，建立起了研究非傍轴光束在自由空 间、介质( 非均匀介质，增益介质) 中传输的几种主要研究方法，如微扰级数法、 角谱表示法、算子法、虚点源法等等。 光束合成提供了将二极管阵列激光器、c 0 2 激光器、i i f d f 化学激光器以 及光纤激光器等定标到更高功率的方法，是作为获得超高功率激光源的有效手 段之一。目前，线性，轴对称和径向对称的光束合成模型在理论和实践中都进 行了研究，但都在傍轴范围内进行。实际工作中要求用更为严格的理论来处理 光束束宽与波长可相比拟的强聚焦激光束或有大发散角的非傍轴激光束的合 成，此时傍轴近似不再适用，必须采用非傍轴理论来研究光束合成。 本文开展了非傍轴光束传输特性、相干和非相干合成的研究工作，所取得 的主要成果包括： 使用瑞利索末菲衍射积分公式首次研究了标量非傍轴贝塞尔高斯、非傍轴 空心高斯、非傍轴相位翻转高斯光束在自由空间中的传输光场，求得了这些模 式标量光束的非傍轴传输光场解析表达式，并给出了相应的远场解析结果。这 些非傍轴结果在傍轴近似条件下，能回归到傍轴理论所得结果。使用所得结果， 通过数值计算研究了上述模式的标量非傍轴光束在自由空间的光场特性。研究 表明，用瑞利索末菲衍射积分公式法求解非傍轴光束有明显优势，使用此方法 四川大学博士学位论文 不仅可得到相对简单的解析结果，便于进一步分析传输光场特性，而且克服了 比如用微扰级数法求解带来的发散性等问题。另外，论文还证明了使用非傍轴 近似所得解析式的计算结果和使用精确的瑞利积分公式直接数值积分所得结果 的一致性，这说明我们采用非傍轴近似来处理非傍轴光束传输问题是有效的。 首次提出了一种新的激光束即相位翻转厄米高斯( p f h g ) 光束，并使用瑞利 一索末菲衍射积分公式求得了理想的p f h g 光束、带刀口的p f h g 光束和带光阑 的p f h g 光束的传输迭代方程，系统地研究了p f h g 光束t e m 。模的非傍轴传 输特性，并与傍轴情况进行了比较。傍轴p f h g 光束和相位翻转高斯( p f g ) 光束， 以及非傍轴p f g 光束的传输方程都作为非傍轴p f g h 光束的特例给出。用数值 计算例验证了理论结果的正确性。研究表明，p f h g 光束的，= 参数、横模序数 脚( 功、刀口偏移距离a l ( 啦) 和截断参数j 都要影响p f h g 光束的非傍轴性，只有 在一定的条件下傍轴近似才成立。另外，对带光阑的非理想p f h g 光束，当j 丑1 时光阑效应可以忽略。 将矢量瑞利索末菲衍射积分公式用于求解非傍轴矢量传输光场，首次提出 了矢量非傍轴双曲余弦高斯、矢量非傍轴离轴高斯和矢量非傍轴四瓣高斯光束 的概念并求得了这些模式光束的矢量非傍轴传输光场的解析表达式，也一并给 出了相应的远场解析结果。所得到的非傍轴结果在傍轴近似条件下，都能回归 到傍轴理论所得结果。使用所得的解析表达式，通过数值计算研究了上述模式 的矢量非傍轴光束在自由空间的传输光场特性。研究表明，矢量非傍轴光束的 传输光场，除了要考虑光场的横向分量外，还要考虑光场的纵向分量。光束参 数厂越大，光束的非傍轴性、矢量性越强。 首次研究了受光阑限制的矢量非傍轴双曲余弦一高斯光束和矢量非傍轴离轴 高斯光束。研究表明，光阑对传输光场有较强的衍射效应。光阑的衍射光场为 矢量场，除了光场的横向分量外，还应考虑光场的纵向分量。光阑的存在会加 强光场的非傍轴性、矢量性。光场的非傍轴性由光束参数厂和截断参数供同决 定，矩形光阑在x 和y 方向，需引入两个，参数仉和石) 和两个截断参数( 4 和嘞， 它们共同决定非傍轴光束的光场特性。矢量非傍轴双曲余弦高斯光束通过光阑 后，光场的矢量性、非傍轴性由光束参数厂和截断参数秽同决定，只有在截断 参数务2 1 时，才可忽略光阑效应的影响。矢量非傍轴离轴高斯光束通过光阑后， 光束厂参数仍然对光束的非傍轴性起着重要的作用，但截断参数瘌离轴参数 四川大学博士学位论文 材【蚴也影响着光束的非傍轴行为，非傍轴光强最大值坐标( x 的不对称是由 于l x x ，y , z ) 在x 和y 方向不同贡献的结果。 部分相干性是一些光源( 光束) 的固有属性，因此考虑部分相干性对光束非傍 轴性的影响具有重要的理论和实际意义。将非傍轴光束概念从完全相干光推广 到部分相干光，基于瑞利一索末菲衍射积分公式，首次研究了非傍轴部分相干j o 谢尔模型o s m ) 光束、非傍轴部分相干修正贝塞尔高斯( m b o ) 光束和非傍轴部分 相干厄米一高斯饵g ) 光束的传输特性。研究表明，描述部分相干光束的非傍轴特 性，除了需用参数厂描述外，还需引入一个新的参数居。非傍轴部分相干j s m 光束只有在和仃都较小的情况下，例如户0 0 1 ，t r = - 2 0 ，傍轴近似才是有效的， 否则，就必须考虑部分相干光的非傍轴性。非傍轴部分相干m b g 光束的光强和 相干谱密度由小、 和厂参数决定，而交叉谱密度还与妒有关，只有在f 很小 时傍轴近似才成立。非傍轴部分相干t e m 。模h g 光束只有在，和- ，掺数都很 小时傍轴近似成立，而横模序数m 、n 决定厂和，参数使傍轴近似成立时的取值。 首次提出非傍轴光束相干和非相干合成的概念并研究了非傍轴光束的相干 和非相干合成。采用离轴椭圆高斯光束的物理模型，基于瑞利索末菲衍射积分 公式，推导了非傍轴离轴椭圆高斯光束在自由空间传输的解析公式。用所得结 果，对二维( 2 d ) 矩形阵列光束的相干和非相干合成进行了研究。得到了非傍轴 离轴椭圆高斯光束的相干和非相干合成光束传输的解析公式，在傍轴近似条件 下，能回归到傍轴理论所得结果。数值计算表明，合成光束的光强分布取决于 光束合成方式( 相干合成和非相干合成) 、光束束腰w d 力( 或等效为户参数五， 朋、离轴参数材( 瑚) 和子光束束数r e ( n ) 等光束参数。但对于非相干合成光束的远 场光强分布与离轴参数材o 曲无关。相干和非相干合成光束的傍轴结果是非傍轴 的特殊情况，只有在，参数较小的情况下，例如户o 0 1 ，傍轴近似才成立，当， 参数较大时，傍轴近似不再有效，必须采用非傍轴的方法来研究合成光束的传 输特性。 总之，本文在国内外研究工作的基础上，研究了自由空间中的非傍轴标量场 和矢量场、受光阑限制的非傍轴矢量场以及非傍轴部分相干光的传输光场特性， 同时，提出了非傍轴光束相干和非相干合成的概念并研究了非傍轴光束相干和 非相干合成。利用本论文的方法，拓展了非傍轴理论的研究内容，也解决了光 阑的非傍轴效应、非傍轴部分相干光的传输和非傍轴光束的相干和非相干合成 四川大学博士学位论文 等问题。本论文所取得的成果，对发展非傍轴理论和非傍轴激光束合成技术的 应用有指导意义。 关键词：非傍轴光束，非傍轴部分相干光，瑞利索末菲衍射积分公式，交叉谱 密度函数，光束相干和非相干合成 四川大学博士学位论文 s t u d y o nt h ep r o p a g a t i o np r o p e r t i e s ，c o h e r e n ta n d i n c o h e r e n tc o m b i n a t i o n so f n o n p a r a x i a lb e a m s m a j o r o p t i c s p h d c a n d i d a t eg a nz e n 舀“，s u p e r v i s o r p r o f l ub a i d a w i t ht h ed e v e l o p m e n to fl a s e rt e c h n o l o g y , e s p e i a l i yf o rt h ew i d ea p p l i c a t i o no f d i o d el a s e r sa n dp r a c t i c a lt e c h n o l o g y , t h e r ee x i s to p t i c a lb e a m so fv e r ys m a l ls p o t s i z ea n dl a r g ef a r - f i e l dd i v e r g e n c ea n g l e ，f o rw h i c ht h ep a r a x i a lt h e o r yi si n v a l i d ，a n d l o t so fs t u d yh a sb e e ni n t r i g u e df o rn o n p a r a x i a lp r o p a g a t i o mt h e 丘r s ts y s t e m a t i c a p p r o a c ht on o n p a r a x i a lp r o p a g a t i o ng o e sb a c kt op i o n e e r i n gw o r ko fl a xo ta l 。 f o l l o w i n gt h i sp i o n e e r i n gw o r k , o t h e ra p p r o a c h e s ，s u c h a sp e r t u r b a t i o np o w e rs e r i e s m e t h o d ，a n g u l a rs p e c t r u mr e p r e s e n t a t i o n , t r a n s i t i o no p e r a t o r s ，a n dv i 删s o u r c e m e t h o d ，d e v e l o p e db yd a v i s ，a g r a w a l ，p a t t a n a y a k ，c o u t u r ea n db e l a n g e r , t a k e n a k a , a n dw s n s c h ee ta 1 ，a r eu s e dt os t u d yn o n p a r a x i a lp r o p a g a t i o n o f l i g h tb e a m s b e a mc o m b i n a t i o np r o v i d e sau s e f u lt o o lf o rs c a l i n gd i o d ea r r a y s ，c 0 2a n d h f d fc h e m i c a ll a s e r sa sw e l la sf i b e rl a s e r se t c u pt oh i g h - p o w e rl e v e l u pt on o w , av a r i e t yo fl i n e a r , r e c t a n g u l a ra n dr a d i a lb e a mc o m b i n a t i o ns c h e m e sh a v eb e e n p r o p o s e da n ds t u d i e db o t ht h e o r e t i c a l l ya n de x p e r i m e n t a l l y , b u ta r er e s t r i c t e dw i t h i n t h ep a r a x i a lr e g i m e h o w e v e r , t h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o nf a i l sf o rb e a m ss u c ha s d i o d e - l a s e rb e a m sw i t hl a r g ed i v e r g e n c ea n g l ea n d o rs m a l lb e a mw i d t hc o m p a r a b l e w i t ht h ew a v e l e n g t h , s ot h en o n p a r a x i a la p p r o a c hh a st ob et a k e ni n t oc o n s i d e r a t i o n ht h i sd i s s e r t a t i o n , s o m es t u d i e so nt h ep r o p a g a t i o np r o p e r t i e s c o h e r e n ta n d i n c o h e r e n tc o m b i n a t i o n so f n o n p a r a x i a l b e a m sh a v eb e e nd o n e t h e ya r e s u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 四川大学博士学位论文 s t a t i n g f r o mt h er a y l e i g h - s o m m e r f e l dd i f f r a c t i o ni n t e g r a l ，t h ep r o p a g a t i o n e x p r e s s i o n s i nf r e es p a c ef o r t h es c a l a r n o n p a r a x i a lb e s s e l g a u s s i a nb e a m s ， d a r k h o l l o wg a u s s i a nb e a m s ( d h g b s ) ，p h a s ef l i p p e dg a u s s i a n ( p f g ) b e a m sa r c d e r i v e da n dt h ec o r r e s p o n d i n gf a r - f i e l dr e s u l t sa r ca l s op r e s e n t e df o rt h ef i r s tt i m e b yu s i n gt h e s ee x p r e s s i o n s w h i c ha r ei nc o n s i s t e n c ew i t l lt h e r e s u l t su n d e rt h e p a r a x i a la p p r o x i m a t i o n ，t h ep r o p a g a t i o np r o p e r t i e so ft h e s ed i f f e r e n tb e a m sa r e s t u d i e d c o m p a r i s o no ft h er e s u l t so fd i f f e r e n ta p p r o a c h e ss h o w st h a tt h em e t h o do f u s i n gt h er a y l e i 曲一s o m m e r f e l di n t e g r a l sp o s s e s s e so b v i o u sa d v a n t a g e so v e rt h e p e r t u r b a t i o ns e r i e sm e t h o d t h em e t h o d su s e di nt h i sd i s s e r t a t i o na t er e l a t i v e l y s i m p l ea n de f f i e i e mi nf i n d i n gt h ea n a l 蛳c a le x p r e s s i o n sf o rt h en o n p a r a x i a lb e a m s ， w h i c ha r er n o r ct r a c t a b l ei na n a l y z i n gt h ep r o p a g a t i o np r o p e r t i e so ft h en o n p a r a x i a l b e a m sa n dt h ed i v e r g e n c eo f p e r t u r b m i o ns e r i e ss o l u t i o ni sa v o i d e d t h ep h a s e f l i p p e dg a u s s i a n ( p f b e a mi sp r o p o s e df o rt h ef i r s tl i m e s t a r t i n g f r o mt h er a y l e i 曲一s o m m e r f e l dd i 酬o ni n t e g r a l ，t h er e c u l t e n c e p r o p a g a t i o n e x p r e s s i o n sf o rn o n p a r a x i a lp f h gb e a m sh a v eb e e nd e r i v e da n du s e dt os t u d yt h e p r o p a g a t i o np r o p e r t i e so f p f h gb e a m si nf r e es p a c ea n dt h r o u g hak n i f ee d g ea n da n a p e r t u r ef o rt h ef i r s tt i m e t h ep r o p a g a t i o no fp a r a x i a lp f h gb e a m sa n dp f gb e a m s a n dn o n p a r a x i a lp f gb e a m si st r e a t e da ss p e c i a lc a s e so fn o n p a r a x i a lp f h gb e a m s n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h et h e o r e t i c a lr e s u l t s i ti ss h o w nt h a tt h e f i p a r a m e t e r , m o d ei n d i c e s ，o f f s e t t i n gd i s t a n c e , a n dt r u n c a t i o np a r a m e t e ra f f e c tt h e n o n p a r a x i a lp r o p a g a t i o nb e h a v i o ro fp f h gb e a m s t h ep r o p a g a t i o no fp a r a x i a l p f h gb e a m sa n dp f gb e a m sa n dn o n p a r a x i a lp f gb e a m sc a l lb er e g a r d e da ss p e c i a l c a s e so f o u rg e n e r a lr e s u l t sa n dt r e a t e di nau n i q u ew a y u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，t h e n o n p a r a x i a la p p r o a c hd e s c r i b e di nt i f f sp a p e rh a st ob et a k e ni n t oc o n s i d e r a t i o n t h e a p e r t u r ee f f e c ti sn e g l i g i b l ea t 抗翌1f o rt h ep f h gb e a mi nt h r o u g ha i la p e r t u r e b yu s i n g t h ev e c t o r i a l r a y l e i 曲一s o m m e r f e l di n t e g r a l s ，t h ep r o p a g m i o n e x p r e s s i o n si nf r e es p a c ef o rt h ev e c t o r i a ln o n p a r a x i a lc o s h g a u s s i a n ( c h g ) b e a m s ， v e c t o r i a ln o n p a r a x i a lo f f - a x i sg a u s s i a nb e a m s ，a n dv e c t o r i a ln o n p a r a x i a lf o u r - p e t a l g a u s s i a nb e a m s ( f p g b s ) a r ed e r i v e da n dt h ec o r r e s p o n d i n gf a r - f i e l dr e s u l t sa r ea l s o p r e s e n t e df o rt h ef i r s tt i m e b yu s i n gt h e s ee x p r e s s i o n s ，w h i c ha r ei nc o n s i s t e n c ew i m “ 四川大学博士学位论文 t h er e s u l t su n d e rt h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o n , t h ep r o p a g a t i o np r o p 矾e so ft h e s e d i f f e r e n tb e a m sa r es t u d i e d i ti ss h o w nt h a tt h ef i e l do fn o n p a r a x i a lb e a m si s v e c t o r i a li nn a t u r e ，s ob o t ht h el o n g i t u d i n a la n dt h et r a n s v e r s a lc o m p o n e n t so ft h e f i e l ds h o u l db et a k e ni n t oa c c o u n t t h en o n p a r a x i a l i t ya n dv e c t o r i a l i t yo ft h eb e a m s i n c r e a s e sw i t ht h ei n c r e a s i n gp a r a m e t e r f t h ep r o p a g a t i o ne q u a t i o no fv e c t o r i a ln o n p a r a x i a lc o s h - g a u s s i a n ( c h g ) b e a m s a n dv e c t o r i a ln o n p a r a x i a lo f f - a x i sg a u s s i a nb e a m si nt h ep r e s e n c eo fa l la p e r t u r ea r e d e r i v e da n de x p r e s s e di nac l o s e df o r mf o rt h ef i r s tt i m e t h eo n a x i s f a r - f i e l da n d p a r a x i a lc a s e sa r es t u d i e da ss p e c i a lc a s e s a sc a nb es e e n , t h ea p e r t u r eh a ss t r o n g d i f f r a c t i o ne f f e c t so i lt h ep r o p a g a t i o nf i e l d 1 1 1 ed i f f r a c t i o nf i e l do fa p e r t u r ei sa l s o v e c t o r i a li nn a t u r e ；a p a r tf r o mt h et r a n s v e r s f lc o m p o n e n t ，t h el o n g i t u d i n a lc o m p o n e n t o ft h ed i f f r a c t i o nf i e l db e c o m e sn o n l l e g l i g i b l ea n db e g i n st 0i n c r e a s ew i 血t h e d e c r e a s i n go ft h ed i m e n s i o no ft h ea p e r t u r e t h ee x i s t e n c eo fa na p e r t u r ee n h a n c e s t h en o n p a r a x i a l i t ya n dv e c t o r i a lp r o p e r t i e so f t h ed i f f , a c t i o nf i e l d ，w h i c hd e p e n d so n t h ep a r a m e t e rfa n dt h et r u n c a t i o np a r a m e t e r 点t h et w of - 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m o d e l ( j s m ) b e a m s ，p a r t i a l l yc o h e r e n tn o n p a r a x i a lm o d i f i e db e s s e l g a u s s ( m s 固b e a m sa n d “ 四川大学博士学位论文 p a r t i a l l yc o h e r e n tn o n p a r a x i a lh e r m i t e - g a l l s s i a n ( h g ) h a v eb e e ns t u d i e df o rt h ef i r s t t i m e i t i ss h o w n t h a t b e s i d e s t h e p a r a m e t e r f a n e w p a r a m e t e r 知i s n e e d e d t o d e s c r i b e t h en o n p a r a x i a l i t yo ft h ep a r t i a l l yc o h e r e n tb e a m s f o rt h e p a r t i a l l yc o h e r e n t n o n p a r a x i a lj s mb e a m s ，t h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o ni sa p p l i c a b l e ，i f t h ep a r a m e t e r s f a n d 盯a r es m a l l ，e g f = o 0 1 ，乒- 2 0 ，o t h e r w i s e ，t h en o n p a r a x i a la p p r o a c hs h o u l db e a p p l i e d f o rt h ep a r t i a l l yc o h e r e n tn o n p a r a x i a lm b gb e a m s ，t h ei n t e n s i t ya n d s p e c t r a ld e g r e eo fc o h e r e n c eo fn o n p a r a x i a lm b gb e a m sd e p e n d s t h eo r d e rm ，掌 a n d 厂p a r a m e t e r s ，w h e r e a st h e i rc r o s s - s p e c t r a ld e n s i t yf u n c t i o n i s a d d i t i o n a l l y d e p e n d e n to nt h eo r i e n t a t i o n a o t h en o n p a r a x i a la p p r o a c hh a st ob eu s e do n c et h e f p a r a m e t e ri sn os m a l l f o rt h ep a r t i a l l yc o h e r e n tn o n p a r a x i a lh gb e a m s ，b o t h f a n d 后 p a r a m e t e r sd e t e r m i n e 也e i rn o n p a r a x i l i t yo fp a r t i a l l yc o h e r e n tt e m m - m o d eh g b e a m s t h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o ni sa l l o w a b l ei ft h e f a n d 如p a r a m e t e r sa r es m a l l e n o u g h t h ev a l u e so ffa n dkp a r a m e t e r st a k e nf o rt h en o n p a r a x i a l c a s ea r e d e p e n d e n to nt h em o d ei n d i c e sm ，n t a k i n g t h e t w o - d i m e n s i o n a l ( 2 d ) o f f - a x i sa s t i g m a t i c g a u s s i a nb e a m c o m b i n a t i o na sa ne x a m p l e ，t h ec o n c e p to ft h eb e a mc o m b i n a t i o ni se x t e n d e dt ot h e n o n p a r a x i a lr e g i m ef o rt h ef i r s tt i m e t h ea n a l 如c a lp r o p a g a t i o ne x p r e s s i o n sf o r c o h e r e n ta n di n c o h e r e n tc o m b i n a t i o n so f2 dn o n p a r a x i c a lo f f - e x i sa s t i g m a t i c g a m s i a nb e a m sh a v e b e e nd e r i v e da n du t i l i z e df o rs t u d y i n gt h ec o h e r e n ta n d i n c o h e r e n tb e a mc o m b i n a t i o n sb e y o n dt h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o nf o rt h ef i r s tt i m e i th a sb e e nf o u n dt h a tg e n e r a l l y , t h ei n t e n s i t yd i s w i b u t i o n so ft h er e s u l t i n gb e a ma r e d e p e n d e n to nt h ec o m b i n a t i o ns c h e m e ( c o h e r e n to ri n c o h e r e n tc o m b i n a t i o n ) ，a n d b e a mp a r a m e t e r si n c l u d i n gt h ew a i s tw i d t h sw o x ，w o y ( o re q u a l l y , f - p a r a m e t e r s ) ， s e p a r a t ed i s t a n c e s y d , a n dn u m b e r so fb c a m e t s 历，疗，b u tt h ef a r - f i e l di n t c n s i t y d i s t r i b u t i o n si n 也exa n dvd i r e c t i o r sf o rt h ei n c o h e r e n tc o m b i n a t i o na r ei n d e p e n d e n t o ft h es e p a r a t ed i s t a n c e s t h ep a r a x i a lr e s u l t sc a nb er e g a r d e da ss p e c i a lc a s e so ft h e n o n p a r a x i a lo n e s ，a n do n l yf o rt h es m a l lf i p a r a m e t e r , e g 户0 0 1 ，i st h ep a r a x i a l a p p r o x i m a t i o nv a l i d o t h e r w i s e ，t h en o n p a r a x i a la p p r o a c hs h o u l db et a k e ni n t o c o n s i d e r a t i o n i nc o n c l u s i o n , t h i sd i s s e r t a t i o n e x p l i c a t e st h eu s eo fr a y l e i g h s o m m e r f e l d 璺业茎兰竖主兰竺丝苎 i n t e g r a l si ns t u d y i n gt h ep r o p a g a t i o no fn o n p a r a x i a lb e a m s t h ec o n c e p to f t h eb e a m c o m b i n a t i o ni se x t e n d e dt ot h en o n p a r a x i f lr e g i m e t h ep r o p a g a t i o np r o p e r t i e sf o r c o h e r e n ta n di n c o h e r e n tc o m b i n a t i o n so f2 dn o n p a r a x i a lo f f - 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