（光学专业论文）非傍轴光束传输理论及其应用研究.pdf

明川人学倾十学位论文 摘要 随激光技术的进展，特别是强聚焦光束和半导体激光光束( 有大发敞角) 描 述、光子带隙晶体和稳定腔的非傍轴本征模问题的求解，使人们开始了对非傍 轴光束的传输变换的研究。最早系统地对非傍轴光束的传输理论的研究始于七 十年代l a xe ta 1 的开创性工作，后经d a y is ，a g r a w a l ，p a t t a n a y a k ，c o u t u r e a n db e l a n g e rt t a k e n a k aw n n s e h e 等人的工作，建立起了研究非傍轴光束在自 由空问、介质( 非均匀介质，增益介质) 中传输的几种主要研究方法：1 级数 展开方法2 角谱方法3 ，衍射积分方法4 算符方法5 虚点源方法。本论文对 非傍轴光束的传输理论进行了深入的研究，并将w i g n e r 分布函数引入到非傍轴 光束的传输特性研究中，得到了w i g n e r 分布函数在自由空间的一般解析传输公 式，从而建立了一种新的研究非傍轴( 标量、矢量) 光束传输特性的研究方法一 w i g n e r 分靠函数方法。w i g n e r 分布函数方法的优点是适用范围广，可用于研 究高度非傍轴( 标量、矢量) 完全相干光束的传输特性，也可方便地用于研究 非傍轴( 标量、矢量) 部分相干光束的传输特性，它能将复杂的积分运算简化 为代数运算。在应用部分，通过选取几种具体光束阐述w i g n e r 分布函数方法在 非傍轴光束传输特性研究中的应用，并深入研究了它们在自由空间的传输特性。 本论文所做的主要工作如下： 1 。建立了一种新的研究非傍轴( 标量、矢量) 光束传输特性的研究方法 w i g n e r 分布函数方法，得到了w i g n e r 分布函数在自由空间的一般解析传输公 式。 2 用w i g n e r 分布函数方法( 标量理论) 对非傍轴标量像散g s m 光束、非傍 轴标量丁e m 。厄米一高斯光束、非傍轴标量双曲余弦一高期光束在自由空间的传 输特性进行了深入的研究，得到了传输过程中横平面上它们的交叉谱密度分布、 光强分布的解析表达式，阐述了非傍轴标量光束与傍轴标量光束在自由空间中 传输特性的差异，并且表明了在傍轴条件下，我们所得到的一般结果能直接回 到现有的傍轴结果。 3 用w i g n e r 分布函数方法( 矢量理论) 对非傍轴矢量像散g s m 光束、非傍 轴矢量各向同性扭曲g s m 光束在自由空间的传输特性进行了深入的研究，得到 了传输过程中横平面上它们的交叉谱密度矩阵的各矩阵元、横向场分量的光强 列川大学硕士学位论文 分布、纵向场分量的光强分布及总光强分布的解析表达式，并阐述了非傍轴矢 量光束与非傍轴标量光束在自由空间中传输特性的差异，说明了在何时可将光 束作非傍轴标量光束处理，何时必须将光束作非傍轴矢量光束处理。 关键词： 传输非傍轴标量光束非傍轴矢量光束w i g n e r 分布函数 四川大学硕士学也论文 p r o p a g a t i n gt h e o r yo fn o n p a r a x i a lb e a m sa n d i t sa p p l i c a t i o n a b s t r a c t s t a n d a r dp a r a x i a lt h e o r y ，b a s e do i lt h ew e l l k n o w np a r a b o l i ce q u a t i o n ，i sa b l et o g i v ea na c c u r a t ed e s c r i p t i o no fb e a mp r o p a g a t i o nw h e n e v e rt h eb e a mw a i s ti sm u c h s m a l l e r 、t h a nd i f f r a c t i o nl e n g t h n l i sc o n d i t i o ni sf u l f i l l e d i nt h ev a s tm a j o r i t yo f s t a n d a r dp r o p a g a t i o nc o n d i t i o n sa n dt h i s e x p l a i n s t h ew i d et h e o r e t i c a lu s eo f p a r a b o l i ce q u m i o ni nd e s c r i b i n gm o s tp r a c t i c a ls i t u a t i o n n e v e r t h e l e s s ，w h e n e v e r b e a mw a i s ta n dd i f f r a c t i o nl e n g t ha r ec o m p a r a b l e ，t h eo p t i c a lf i e l da c q u i r e sn e w s t r u c t u r a lf e a t u r e sw h i c ha r en o tp r e d i c t a b l eb ym e a n so fp a r a x i a lt h e o r y ，s ot h a ta s u i t a b l e a p p r o x i m a t i o n s c h e m ei s r e q u i r e d f o ri m p r o v i n g i t d e s c r i p t i o n o f n o n p a r a x i a lp r o p a g a t i o nh a sn o to n l yac o n c e p t u a lv a l u e ：t h e r ea r ea c t u a l l yr e l e v a n t s i t u a t i o n si nw h i c hp a r a x i a l i t yc o n d i t i o ni sn o t 知f i l l e d t h ef i r s t s y s t e m a t i c a p p r o a c ht on o n p a x a x i a lp r o p a g a t i o ng o e sb a c kt op i o n e e r i n gw o r ko fl a xe ta 1 f o l l o w i n gt h i sp i o n e e r i n gw o r k ，o t h e ra p p r o a c h e sd e v e l o p e db yd a v i s ，a g r a w a l ， p a r a n a y a k ， c o u t u r ea n db e l a n g e r , t a k e n a k a ，a n dw t i n s c h ee ta 1 a r eu s e dt os t u d y n o n p a r a x i a lp r o p a g a t i o no f l i g h t b e a m s i nt h i st h e s i s ，w ew i s ht os h o wt h a t ，i nc a s eo fp r o p a g a t i o ni nf r e es p a c e ( o ri na h o m o g e n e o u sm e d i u m ) ，i ti sp o s s i b l et od e v e l o pan e wa p p r o a c ht on o n p a r a x i a l p r o p a g a t i o no fl i g h tb e a m s - w i g n e rd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ( w d f ) a p p r o a c h o nt h e b a s i so ft h e ( s c a l a r ，v e c t o r i a l ) r a y l e i g h - s o m m e r f e l dd i f f r a c t i o n i n t e g r a l ，a c l o s e d - f o r mp r o p a g a t i o ne x p r e s s i o nf o rt h ew i g n e rd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ( o rw d f m a t r i x ) o fp a r t i a l l yc o h e r e n tn o n p a r a x i a lb e a m si nf l e es p a c e ( 0 1 i nah o m o g e n e o u s m e d i u m ) i sd e r i v e df o rt h ef i r s tt i m e ，w h i c hh a sg e n e r a la p p l i c a b l ea d v a n t a g e t h e p r o p a g a t i o no fs p a t i a l l yf u l l yc o h e r e n tn o n p a r a x i a lb e a m si st r e a t e da sas p e c i a lc a s e o fo u rg e n e r a lr e s u l t 髓。a p p l i c a t i o no ft h er e s u l ti si l l u s t r a t e d 耐曲t h en o n p a r a x i a l p r o p a g a t i o no fp a r t i a l l yc o h e r e n ts c a l a ra n i s o t r o p i cg a u s s i a n - s c h e l l m o d e l ( a g s m ) b e a m s ，t e m lr m o d eh e r m i t e g a u s s i a n ( h g ) b e a m s ，c o s h g a u s s i a n ( c h g ) b e a m s ， p a r t i a l l yc o h e r e n tv e c t o r i a la n i s o t r o p i cg a u s s i a n s c h e l l - m o d e l ( a g s m ) b e a m s ，a n d p a r t i a l l yc o h e r e n tv e c t o r i a l t w i s t e dg a u s s i a ns c h e l l m o d e l ( t g s m ) b e a m s t h e 删川大学硕士学位论文 p r o p a g a t i n gc h a r a c t e r so f a b o v eb e a m sa r eo b t a i n e d i tc a nb ea l s or e a d i l ys h o w nt h a t t h ep a r a x i a lr e s u l t sc o r r e s p o n d i n gc a nb eo b t a i n e ds t r a i g h t f o r w a r d l y f i n a l l y , w e w o u l dl i k et om e n t i o nt h a to u rf o r m u l a t i o ni sb a s e do nat h r e e - d i m e n s i o n a lo ，弘力t r e a t m e n t ， t h et w o d i m e n s i o n a l0 ，z ) t r e a t m e n tc a nb er e g a r d e da s as p e c i a lc a s eo f o u rg e n e r a lr e s u l t k e y w o r d s ： p r o p a g a t i o n ，n o n p a r a x i a ls c a l a rb e a m s ，n o n p a r a x i a lv e c t o r i a lb e a m s w i g n e rd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n 四川大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 非傍轴光束传输理论的发展历史和国内外研究现状 白1 9 6 0 年世界上第一台红宝石激光器问世以来，激光科学技术的迅速发展，极 大的推动了相关基础和应用学科研究的发展，包括激光光学的形成和发展。激 光光学以研究激光光束( 光束是指以小的发散角定向传输的光频电磁波) 的传 输变换和控制为主题。激光光束按是否满足著名的抛物型方程( 缓变振幅近似 下的波动方程) ，可分为傍轴光束和非傍轴光束两大类光束。激光光学发展的早 期，主要是研究傍轴光束( 高斯光束、贝塞尔光束、复宗量高斯光束、高斯谢 尔光束、扭曲的高斯谢尔光束、各项异性高斯谢尔光束等) 通过自由空间、各 种介质、一阶光学系统和在光学谐振腔中的传输变换规律，建立了较为完善的 基础理论方法。虽然傍轴理论本身存在着不自治的矛盾，但在大多数情况下， 傍轴理论都很好地描述了激光光束的行为。随激光技术的进展，特别是强聚焦 光束和半导体激光光束( 有大发散角) 的描述、稳定腔和光子带隙晶体的非傍 轴本征模问题的求解 1 8 ，使人们开始了对非傍轴光束的传输变换的研究。开 始系统研究非傍轴光束传输理论始于七十年代l a xe ta 1 1 的开创性工作，在 他们1 9 7 5 年的论文“f r o mm a x w e l lt op a r a x i a lw a v eo p t i c s ”中，系统阐述 了( 在参数f l 时) 用微扰法处理非傍轴光束传输的思想和方法，初步建立起 了研究非傍轴光束传输的级数展开( 修正) 理论。随后，许多学者开始进入这 一领域，研究基模和高模高斯光束以及复宗量高模高斯光束的非傍轴修正 2 1o 。在他们中，特别值得提到是t t a k e n a k ae ta 1 8 的研究，在他们的 论文“p r o p a g a t i o nf o rl i g h tb e a m sb e y o n dt h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o n ” 中，提出了对复宗量拉盖尔一高斯光束的所有阶非傍轴修正解，而基模高斯光束 所有阶的非傍轴修正解，可作为复宗量拉盖尔一高斯光束的所有阶非傍轴修正解 的一特例直接给出。从这一结果出发，h l a a b s 9 计算厄米一高斯光束的所有阶 非傍轴修正解，同时h l a a b sa n da w f r i b e r g e 1 0 提出了用矩阵公式确定稳 定腔的非傍轴本征模解( 即得到了稳定腔模的所有阶非傍轴修正解) 。1 9 9 2 年 a w u n s c h e 1 1 在他的论文“t r a n s i t i o nf r o mt h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o n t oe x a c ts o l u t i o no ft h ew a v ee q u a t i o na n da p p l i c a t i o nt og a u s s i a nb e a m s ” 中提出了标量亥姆赫兹方程的级数解可用两个微分算予作用在傍轴波动方程的 四川大学硕士学位论文 解上获得，并将其应用到基模高斯光束，得到了所有阶非傍轴修正解的解析表 达式。w u n s c h e 算子被f o r b e se ta 1 1 2 1 4 用于准直和聚焦光束的非傍轴 修f 解的求解，r b o r g h i ，m s a n t a r s j e t o ，a n dm a p o r r a s 1 5 用于贝塞尔光 束的非傍轴修正解的求解。近几年来，角谱理论、虚点源理论、衍射理论等方 法被用于处理矢量非傍轴光束在线性、非线性媒质、波导中的传输问题 7 ，1 6 2 8 。我们注意到绝大多数学者研究的是完全相干光束的非傍轴传输特 性，很少有人用现有的方法去研究部分相干光束的非傍轴传输特性。 1 2 现有的非傍轴光束传输的主要研究方法 1 级数展开( 修正) 方法 l a xe ta 1 1 ，3 从麦克斯韦方程组出发，利用微扰思想，在一定条件下， 把光场按- 4 , 参数展开，从而给出场的纵、横向分量的各修正阶满足的微分方 程，以及它们之间的关系。设一单色光束在自由空间主要沿z 方向传播，它满 足矢量亥姆赫兹方程： ( v2 + k2 ) e ( r ) = 0 ( 1 2 ，1 ) 上式中k 为波数。把电场矢量分解为横向分量和纵向分量： e = n e ，+ az e ： ( 1 2 2 ) 上式中a ，1 1 为纵向和横向方向的单位矢量。为简单又不失一般性下面的讨论中 取i r = a ，引入归一化坐标： x = w o 掌，y = w o r ，z = f f ( 1 2 3 ) 上式中为光束的束宽，= k w 0 2 为光束的衍射长度。 定义参数：f ：华：士 ( 1 2 4 ) f 删0 在w 。 o 的空间m t ，：o 。 换句话讲，在边界场为平面偏振场的条件下，矢量场可简化为作标量场处理。 从上面的讨论可见，v 展式中的零阶项( o 满足的方程( 1 2 7 ) 为傍轴波 动方程，它就是傍轴波动方程的解。v ( 2 n ( n 1 ) 称为对横向分量的2 n 阶修 j f 项，它是偶数阶的。2 ”称为对纵向分量的2 n + l 阶修正项，它是奇数阶的。 一个令人吃惊的结果是场的纵向分量与横向分量并不同步。对标量场，级数解 简化为： e = 炉”= ( ，2 “妒2 ”) e “ 口壶+ 簧+ 鲁胪= o 口毒毒+ 争m 。掌舵， 但正如s h o j in e m o t o 2 9 所指出，对高度非傍轴光束( f 1 ) ，级数展开 方法完全失效。此外对非傍轴部分相干光束的传输，用级数展开方法处理也十 四门i 大学硕士学位论文 分困难。 2 角谱方方法 角谱方法在傍轴光束的传输特性研究中获得了巨大成功。1 9 7 2 年w h c a r t e r 3 0 率先尝试将角谱理论用于研究椭圆高斯光束在远场的一般传输特 性，1 9 7 4 年他又系统论述了将角谱理论用于研究电磁场在远场的一般传输特性 3 1 的思想。到1 9 7 8 年，g p a g r a w a la n dd n p a t t a n a y a k 4 将角谱理论用 于研究非傍轴高斯光束的传输，从而建立起研究非傍轴光束传输的角谱方法。 自由空间中单色电磁场满足波动方程： ( v 2 + k2 ) e ( r ) = 0 ( 1 2 1 2 ) 在边界条件e ，( 墨y ，o ) ，e ，( x ，y ，0 ) 给定时，用角谱方法求解( 1 2 1 2 ) 给出解的表 达形式： g ( x , y ，z ) = 肛，( p ，g ，o ) e x p i k ( p x + q y + m z ) d p d q b ( x ，y ，z ) = 肛y ( 弘q ，o ) e x p i k ( p x + q y + m z ) d p d q c ( x ，y ，z ) ：一f 胆一，( p ，q ，o ) + q a ，( p ，g ，o ) e x p i k ( p x + q y + m z ) d p d q 。mm 。 ( 1 2 1 3 c ) 其中：川= 黯：享；1 7 ) 爿，( p ，q ，o ) = 虿1j j e ，( x ，y ，o ) e x p 【_ k ( p x + 拶) 西c 咖 纵p ，g ，旷嘉肛，( w ，o ) e x p - f 七( + q y ) d x d y 式中积分限为从一o o 悯，k 为波数，( p ，q ，m ) 为波矢的方向余弦。将( 1 2 1 4 ) 代入( 1 2 1 3 ) 可看到有两类平面波：( 1 ) 当m ( 1 时，每一平面波是均匀的， 在一给定的方向上传播。( 2 ) 当m ) l 时，每一平面波是非均匀的，在平行于x y 4 曲 的 抬 拈 2 2 l 1 ( ( 必川大学硕十学位论文 平面的方向上传播，随z 的增加指数衰减当z = ( p2 + g2 1 ) 。时，其幅值 z 7 衰减为初值的1 儿。因此在z 大于几个波长的距离外，可不考虑这种衰减平面波 对场的贡献。实际上，直接积分( 1 2 1 3 ) 是十分困难。要得到解析解在一定 条件下，用级数展丌法去求。下面以标量场为例，阐述其求解方法，对标量场， 解简化为： e ( x , y ，z ) = 肛( p ，q ，o ) e x p i k ( p x + q y + m z ) d p d q m 崩旷砉肛( y ，0 ) c x p m ( 刀+ ) 撕一 卿彤加a ( p , q , o ) e x p ( i k a z ) , ( a ：n 丑处，略去( 腩一土) 中的后一 ， 项，得： 酏舻卜尝肛( ，o ) 雩弛础 纵训力= 百i k z e ( 训，o ) 弩瞄，咖 ) ) 盟 2 2 1 1 ( ( 四j 1 i 太学硕士学位论文 她炉) = 尝肛舢肛蝎帆舢炉】墅笋武屯 ( 1 2 3 0 ) 实际上在边界条件e ，( x ，y j , 0 ) ，e ( x ，y ，0 ) 给定时，直接计算上述积分十分困难， 需要作近似处理。把r 展开为泰勒级数，仅保留前两项有： + 盘学 式中：扛了再7 式( 1 2 2 8 ) ( 1 2 3 0 ) 中的指数项中的r 用( 1 2 3 1 ) 代替，其余的r 用( 1 2 3 2 ) 代替，得： e ，( x ，y ，= ) = 堕嚣孚肛如) e x p 触盘丘茅丑蚋， ( 1 2 3 3 ) e y ( x , y , z ) _ _ 掣肛“川，o ) e 吣立学地办 ( 1 2 3 4 ) e ( 五y ，：) = ! 竺! ； ：凳；堕! 肌e ( 一，m ，。) ( x x ，) + b ( _ ，y ，。) ( y y ，) 。e x p ( 腩芷型乏粤1 二丝) 出，方， ( 1 2 3 5 ) 式( 1 2 3 3 ) 一( 1 2 3 5 ) 为用衍射积分方法研究非傍轴光束的传输特性的主要 计算公式。衍射积分方法的优点是适用范围广，可用于研究高度非傍轴光束的 传输特性，也可用于研究非傍轴部分相干光束的传输特性，但计算过程繁琐， 有时存在着数学运簋匕的困难。 4 算符方法 1 9 9 2 年，a w u n s c h e 1 1 提出了可用两个相关的基本微分算符将傍轴波动方 程的解变换为亥姆赫兹波动方程的严格解，并用这种方法计算了对基模高斯光 束的各阶修正项，建立了研究非傍轴光束的传输特性的算符方法。设有两个线 岫川大学硕士学位论文 性偏微分方程写为下列形式： l f = 0 ( 1 2 3 6 ) m g = 0 ( 1 2 3 7 ) 式中l m 为两个线性微分算符，可定义一新的线性微分算符b 满足 m = l + b( 1 2 3 8 ) 设存在线性变换算彳奇丁，它能将方程( 1 2 3 6 ) 的解f 变换为方程( 1 2 3 7 ) 的解g ，即t 满足 g = r f ( 1 2 3 9 ) 则有 【工，r + b t = 0 ( 1 2 4 0 ) 式中 厶t 】= l t 一儿。当l ，b 给定时，( 1 2 4 0 ) 给出了变换算符r 的解。 下面以标量场为例阐述算符方法理论。自由空间中沿z ：h - i 句单色光波场e ( 队= ，f ) 满足波动方程： ( vr 2 + 导一7 1 萨8 2 ) e ( p ，z ，f ) - 。 式中：v ，2 = 导+ 导，p = x i + 纠，i ，j 为x 、y 方向上的单位矢量，其解为： e ( p ，z ，f ) = e x p i ( k z t o t ) e ( p ，= ) ( 1 2 4 2 ) 式中k ：竺，e ( p ，z ) 为复振幅，满足方程 ( v r 2 + 2 i k + 导胁加。 在( 1 2 3 7 ) 中以e ( p ，= ) o 代替e ( p ，z ) 得到新函数表为 e ( p ，z ，r ) o = e x p i ( k z 一删) e ( p ，z ) o 如果e ( p ，z ) o 满足方程： ( v ，2 + 2 t k 昙) e ( 0 ，z ) 。) = o 则( 1 2 3 9 ) 成为波动方程的傍轴近似解。引入算符： 叫+ f 2 嚎，b = 鲁c留02 四川大学硕士学位论文 则( 1 2 4 3 ) ，( 1 2 4 5 ) 与( 1 2 3 6 ) ，( 1 2 3 7 ) 形式相同。引入两个相关算 符互，疋，定义为： 纠+ z 砉喜而筹蒜耐“筹 疋；薹c 姜而黜而z 筹 且有关系正= ( 1 一) 疋。容易验证，上面的算符厶b ，正，疋满足( 1 2 4 0 ) ， k 因此，算符正，疋为变换算符。也容易验证l ，疋的线性叠加生成一新的变换算符 t = a t , + 6 疋 ( 1 2 4 9 ) 式中a ，b 为任意常数。因此，可按下列公式从傍轴波动方程( 1 2 4 5 ) 的解生 成波动方程( 1 2 4 1 ) 的严格解： e ( p ，z ，t ) = e x p i ( k z c t ) t e ( o ，z ) 。 ( 1 2 5 0 ) 从五可生成波动方程( 1 2 4 1 ) 的严格解： e l ( p ，z ，f ) = e x p ( - i c o t ) e x p i ( k2 + v r 2 ) 托z e ( p ，o ) o ( 1 2 5 1 ) 如果要控制e 1 ( p ，z ，t ) 在边界z = 0 上的条件。 从正可生成波动方程( 1 2 4 1 ) 的严格解： 以”力卧泐，锷笋脚娜 z s z ， 如果要控制兰巨( p ，毛r ) 在边界z = 0 上的条件。容易验证，p a ( 1 2 5 1 ) 和( 1 2 5 2 ) 形式给出的波动方程解，对应于下面关系： 掣珊【( 1 + 孚) n l 坝阱一罢( 1 一罢川脚一( 1 2 5 3 i f4 t c ) 出e z 变换算符王，正对应于分别解决两个不同的边值问题： e 1 ( p ，0 ) = z ( o ，o ) o ) ) 卯 们 2 2 q q 四川大学硕七学位论文 e 2 ( p ，o ) + 坠掣：( p ，o ) ( 。 l ko z 用算符方法去研究具体非傍轴光束的传输问题极为不便，因为它使用的数学 工具十分复杂。f o r b e s 1 2 一1 4 等人用算符方法研究了准宜和聚焦波的各阶修 正。r i c c a r d ob o r g h i 1 5 等人用算符方法研究非傍轴贝塞尔光束的各阶修正。 但至今还没人用算符方法去研究矢量光束的行为，原因是还差一个确定z 分量 光场的变换算符。此外对非傍轴部分相干光束的传输，用算符方法处理也十分 困难。 5 虚点源法 1 9 7 1 年，g a d e e s c h a m p s 3 3 提出了虚点源概念，并用虚点源球面波得到 了傍轴高斯光束，1 9 8 1 年，m c o u t u r ea n dp a b e l a n g e r 7 用该方法研究了非 傍轴高斯光束的各阶修正解，从而建立起研究了非傍轴光束传输特性的虚点源 方法。c j r s h e p p a r da n ds s a g h a f i 2 0 在1 9 9 9 年用虚点源法研究了横电场 和横磁场的非傍轴传输特性。s r s e s h a d r i 2 4 - 2 6 在2 0 0 2 年、2 0 0 3 年用虚点 源法分别研究了非傍轴拉盖尔一高斯光束、非傍轴贝塞尔一高斯光束和非傍轴厄 米一高斯光束的各阶修正解。由于该种方法总是与级数展开方法、角谱方法交织 在一起，在此不再综述。 1 3 论文的内容安排 随激光技术的进展，特别是强聚焦光束和半导体激光光束( 有大发散角) 的 描述、稳定腔和光子带隙晶体的非傍轴本征模问题的求解，使人们开始了对非 傍轴光束的传输变换的研究。本论文对非傍轴光束在自由空间的传输理论进行 了深入研究，得到了w i g n e r 分布函数在自由空间的一般传输公式，建立了研究 非傍轴光束在自由空间的传输特性的w i g n e r 分布函数方法，并应用w i g n e r 分 布函数方法深入研究了非傍轴标量像散g s m 光束、非傍轴标量t e m ，厄米一高斯 光束、非傍轴标量双曲余弦一高斯光束、非傍轴矢量像散g s t , t 光束、非傍轴矢量 各向同性扭曲g s m 光束在自由空问的传输特性。 本论文共分三章，各章内容安排如下： 第一章引言，共分三节。第一节介绍非傍轴光束传输研究的发展历史及目前 叫川大学硕士学位论文 国内外研究现状。第二节阐述目前研究非傍轴光束传输的主要研究方法。第三 节说明本论文的内容安排。 第二章非傍轴标量光束的传输理论及其应用一w i g n e r 分布函数法，共分四 节。第一节介绍w i g n e r 分布函数法的相关基础知识。第二节研究标量光场 w i g n e r 分布函数的一般传输理论，建立起研究非傍轴光束传输的w i g n e r 分布函 数方法。第三节w i g n e r 分布函数在研究非傍轴标量光束在自由空间传输特性中 的应用。在本节选取非傍轴标量像散g s m 光束、非傍轴标量t e m 。，厄米一高斯光 束、非傍轴标量双曲余弦一高斯光束，深入研究它们在自由空间的传输特性。第 四节给出本章小节。 第三章非傍轴矢量光束的传输理论及其应用一w i g n e r 分布函数法，共分四 节。第一节推导矢量场的瑞利衍射积分公式，以此说明合理的边界条件的提法。 第二节研究矢量光场w i g n e r 分布函数的一般传输理论，建立起研究非傍轴矢量 光束传输的w i g n e r 分布函数方法。第三节w i g n e r 分布函数在研究非傍轴矢量 光束在自由空间传输特性中的应用。在本节选取非傍轴矢量像散g s m 光束、非 傍轴矢量各向同性扭盐g s m 光束，深入研究它们在自由空间的传输特性。 第四节给出本章小节。 最后给出总结。 四川大学硕士学位论文 第二章非傍轴标量光束的传输理论及其应用 呵i g n e r 分布函数法 1 9 3 2 年，e w i g n e r 3 4 j 在量子力学中引入一种分布函数( 称为w i g n e r 分布 晒数) 在相空间描述量子力学现象。1 9 6 8 年，a w a l t h e r 3 5 又将w i g n e r 分布函 数引入光学中去研究相干与辐射词题。1 9 7 8 年，m j b a s t i a a s 3 6 再次将w j g n e r 分布函数引入光学中，并被广泛用于研究傍轴光束在一阶光学系统中的传输， 光束质量因子的分析，光学系统的成像质量的分析，图像识别等领域，取得了 极大的成功。但对非傍轴光束，由于光线扩散函数( 双重w i g n e r 分布函数) 计 算的困难，很少有人用w i g n e r 函数去研究非傍轴光束的传输特性。在本章，将 光场作标量场处理，阐述我们首次提出的把v i g n e r 分布函数引入非傍轴光束的 传输特性的研究方法，并应用它去研究了非傍轴标量像散g s m 光束、非傍轴标 量t e m ，厄米一高斯光束、非傍轴标量双随余弦高斯光束在自由空间的传输特 性。 2 1w i g n e r 分布函数的基础知识 t 部分相干光的描述 3 7 对时间平稳随机过程部分相干光，在空间一时间域中用互相干函数来描述光 场的相干性，其定义为 r ( l ，r 2 ，f ) = ( e ( l ，t ) e ( r 2 ，t4 - f ) ) ( 2 1 1 ) 式中e ( q ，f ) ，e ( r 2 ，f 4 - f ) 分别为光场在空间点、时刻f 和空间点r 2 、时刻r + f 的 复解析信号，( ) 表示系综平均，空间位置矢量用r = x i + y j + z k 表示，而 z = c o n s t 平面上的位置矢量用p = d 4 - y j 表示，表示取复数共轭。空间点的光 强用互相干函数表示为 i ( r ) = f ( r ，r ，0 ) ( 2 1 2 ) 在空间一频率域中用交叉谱密度函数来描述部分相干光场的相干性，其定义为 矽( 一，r 2 ，c o ) = f r ( q ，r 2 ，r ) e x p ( i a 2 f ) d f = ( e ( q ，缈) e 。( r 2 ，c o ) ) 1 2 ( 2 1 3 ) 四川太学硕士学位论文 式中缈为圆频率，e ( r s ，m ) = i e ( r j ，t ) e x p ( 一扎o t ) d t ( j = 1 ，2 ) 。 交叉谱密度函数是非负、有限厄米函数，满足关系 w ( r 1 ，r 2 ，c o ) = w + ( r 2 ，_ ，翻) ( 2 1 4 ) 空间点的光强用交叉谱密度函数表示为 i ( r ，c o ) = w ( r ，r ，缈 ( 2 1 5 ) 在本论文下面的讨论中，时间频率的依赖关系并不重要，为方便起见，我们将 在下面的公式中略去时间频率变量不写。 2 w i g n e r 分布函数的定义、性质 3 8 4 1 部分相干光的w i g n e r 分布函数可按交叉谱密度函数定义为 f ( p ，q ，= ) = f w ( p + 譬，p 一要，z ) e x p ( 一i q p ，) d p ( 2 1 6 ) 式中卜却_ f d x a v ，q = u i + v j ，v 为x 、y 方向上的空间频率。除非特别 说明，本论文中所有的积分限为从一。+ m 。由于( 2 1 6 ) 式变换的可逆性， 交叉谱密度和w i g n e r 分布函数等价的表达了光场的信息。 w i g n e r 分布函数同时在空间域和空间频率域描述光场的性质，这与几何光 学对光线的描述相似。完全相干光的交叉谱密度函数表为 w ( p + 譬，p 一譬，z ) = e ( p + 譬，z ) e ( p 一譬，z ) ( 2 1 7 ) 完全相干光的w i g n e r 分布函数的定义为 f ( p q z ) = 肛( p + i p t ，= 皿+ ( p - 譬, z ) e x p ( - i q p ) d o ( 2 1 8 ) w i g n e r 分布函数具有如下主要性质 3 8 ( i ) 交叉谱密度函数和w i g n e r 分布函数互为傅立叶变换，并且空间域变量 和空间频率域变量在w i g n e r 分布函数中具有同等地位。在由w i g n e r 分布函数 构成的表达式中，如果交换p ，q ，我们得到原表达式的对偶式。因此，如果原表 达式描述了光束在空间域的性质，则其对偶式描述了光束在空间频率域的性质。 ( 2 ) w i g n e r 分布函数是实函数，即f ( p ，q ，z ) = f ( p ，吼z ) ，但它不是非负 四川大学硕士学位论文 函数，因此它不能作为能量密度函数。然而对两个w i g n e r 分布函数总有下面的 不等式成立 i ， 寿j j e ( p ，q , z ) e ( p q ，z ) d p d q 0 ( 2 1 9 ) ( 3 ) 如果交叉谱密度函数仅在某一空间区域或者某一空间频率区域内不等 于0 ，而在该区域外恒为0 ，则其w i g n e r 分布函数具有同样的性质。 ( 4 ) 光束的交叉谱密度函数在空间域或空间频率域的位移使得w i g n e r 分布 函数产生同样的位移。 ( 5 ) w i g n e r 分布函数对空间频率域变量的积分表示横平面上的光强分布 1 ( o 棚= 嘉j j f ( p ，q ，城 w i g n e r 分布函数对空间域变量和空间频率域变量的积分表示横平面上的总光强 i = 专妒郇a z ) d p d q w i g n e r 分布函数在研究傍轴光束通过一阶光学系统的传输特性中显示出 优越性，它能将复杂的积分运算简化为代数运算。其主要结果是w i g n e r 分布函 数通过一阶光学系统的传输公式 4 0 ( ) = f ( m s 。) 式中o ，i 分别代表输出、输入平面 x j y “ v ， ，j = d ，i ，m 为一阶光学系统的光线变换矩阵( 4 x 4 矩阵) ，它是辛 觫满足辛徘= 肼，式中，= f ( ；0 汀1 ，。j 。2 x 2 零矩阵 ，为2 x 2 单位矩阵。 2 2 标量光场w i g n e r 分布函数的般传输理论 考查w i g n e r 分布函数通过线性光学系统的传输，设z = 0 平面为系统的输入 平面，z 平面为系统的输出平面，e ( p ，o ) 为系统的输入信号，e 。( p 。，z ) 为系统 四川i 大学硕士学位论文 的输出信号，则有 3 8 4 1 e 。( p 。，z ) = i h ( p 。，p j ) e ，( p ，o ) 却i ( 2 2 1 ) 式中h ( p 。，p i ) 为系统的点扩散函数，p 。= x 。i + y j j ，p 。= z 。i + 儿j 为输入、输出平面 上的位置矢量，i ，j 分别为x 、y 方向的单位矢量，f 却= 疵。咖。e 对部分 相干光，输入一输出关系为 3 8 4 0 睨( p 乩p m z ) 2j j ( p m p | 1 ) + ( p m p 。2 ) 彬( p f l ，p f 2 ，o ) d p j l 却n ( 2 2 2 ) 式中( p 。p 。z ) ，彬( p 。p 。0 ) 为输出、输入平面上的交叉谱密度。 将( 2 2 1 ) 或( 2 2 2 ) 代入w i g n e r 分布函数的定义式( 2 1 8 ) 或( 2 1 6 ) ， 得到w i g n e r 分布函数传输公式 5 - 8 p a p 。，q 。，z ) = 1 1 只( p ，q ，o ) k ( p 。，q 。，p 。，q ，) 却，内， ( 2 2 3 ) 式中相，= d u ，幽。，只( p 。，q 。，z ) ，e ( p ，q ，0 ) 为输出、输入信号的w i g n e r 分布 函数， k ( p o , q o , p j , q i ) = 专职旷矿1 。t ，”1 ) p o - 互1p o , p l - 互1p i ) e x p 一f ( q 。p - q 。p ，) 却。印。 ( 2 2 4 ) 为系统的光线扩散函数( 亦称双重w i g n e r 分部函数) ，它由光学系统的特性确 定，它有w i g n e r 分布函数的全部特性。函数足的物理意义是当输入信号的 w i g n e r 分布函数鼻( p ，q 。，0 ) = 8 ( p p ) 巧( q q ，) 系统在空间一空间频率域的响 应。 对自由空间而言，由标量场的瑞利衍射积分公式 4 2 得其点扩散函数为 h ( p o , p i ) ：去( l i k ) z e x p ( i k r ) ( 2 2 5 ) 式中a = 车为波数，旯为自由空间波长，r ：舨乏二i 严了石_ 了雨，在 r 大于几个波长以外， 四川大学硕士学位论文 式中 饰洲z 占攀掣t a， 忡。+ 知盯扣。云掣 旷弘1i 书卜西z 芋 ，1 = t = x o x 2 + + y o y i 2 + z 2 c k 一萼_ + 萼