（计算数学专业论文）能量正交元的研究.pdf

摘要 本文分析了w i l s o n 元，q 元，旋转q l 元，b e r g a n9 参三角形元【6 】，5 节点元 【2 3 】和8 参数矩形元 2 0 】的能量正交性指出上述单元因具有能量正交的形函数 空间从而导致其单元刚度矩阵中出现位置对称由零元素组成的部分，使计算简 单我们构造了六参数及十二参数三角形能量正交元，用双参数法构造了一个 十二参矩形能量正交板元，给出了它们在正则性条件假设下的误差估计还对 c a r e y 的形函数空间进行了能量正交化，运用和【2 2 】中相似的方法，同样可以在 各向异性网格下给出它的误差估计，并证明其仍然保留了超逼近性其中十二 参能量正交三角形元为高精度元 关键词：能量正交元；误差估计；双参数法；仿射变换；各向异性 a b s t r a c t t h ee n e r g y o n h o g o n a lc h a r a c t e ro fw i l s o ne l e m e n t ，q le l e m e n t ，r o t a t e dq ie l e m e n t ，b e r g a n 9 - p a r a m e t e rt r i a n g u l a rd e m e n t 6 ，5 一p a r a m e t e r 2 3 】a n d8 - p a r a m e t e rr e c t a n g u l a re l e m e n t 2 0 】i s a n a l y s e di nt h i sp a p e r b e c a u s eo fs h a p ef u n c t i o ns p a c eb e i n ge n e r g y o t h o g o n a l ，t h es o f t n e s sm a - t r i c e so ft h e s ee l e m e n t sa r eb l o c kd i a g o n a l t h i sw i l lm a k ei te a s i e rt os o v l et h es y s t e mo fl i n e a r e q u a t i o n sa tl a s t i nt h i sp a p e r , 4 - p a r a m e t e re l e m e n t ，6 一p a r a m e t e re l e m e n t ，1 2 一p a r a m e m rt r i a n g u l a r e l e m e n t sa n da1 2 一p a r a m e t e rr e c t a n g u l a re n e r g y - o t h o g o n a ie l e m e n tw h i c hh a st w os e t so fp a r a m e t e r sa r ep r c s e n t e d u n d e rt h ec o n v e n t i o n a lr e g u l a ra s s u m p t i o nt h e i re r r o re s t i m a t e sa r eo b - t a i n e d m e a n w h i l e ，t h es u p e r c l o s ef e a t u r eo f4 - p a r a m e t e rt r i a n g u l a re n e r g y o t h o g o n a le l e m e n ti s p r o v e da n du s i n gt h es i m i l a rm e t h o dw i t h 【2 2 ，t h ee r r o re s t i m a t eo ft h i sd e m e n to na n i s o t r o p i e m e s h e si sg i v e n t h e1 2 一p a r a m e t e r t r i a n g u l a re l e m e n ti sh i g ha c c u r a c y k e y w o r d s ：e n e r g y o r t h o g o n a l p l a t e d e m e n t ；e r r o r e s t i m a t e ；m e t h o d o f t w os e t s o f p a r a m e t e r s ；a f l i n em a p p i n g ；a n i s o t r o p y 引言 有限元方法是一套求解微分方程的系统化数值计算方法，它比传统解法 具有理论完整可靠，物理直观意义明确、解题效能强等优点有限元离散化的思 想早在2 0 世纪4 0 年代就已被提出假c o u r a u t ，1 9 4 3 ) ，并在5 0 年代被西方的一些结 构工程师所采用自六十年代这种方法奠基以来，这一方法将固体力学、弹性力 学、航天结构、石油运移等实际计算得以实现，并建立了一套比较完整的数学基 础和框架理论我国数学家冯康院士参与了开创性工作【n ，赢得国际计算数学 界的认可，形成具有我国特色的有限元理论研究方法 有限元方法的基础是变分原理和剖分插值一方面，有限元方法以一种大范 围，全过程的数学分析即变分原理为出发点，而不是从自然规律的局部的，瞬时 的数学描述即微分方程出发，因此它是传统的r i t z g a l e r k i n 方法的变形，与经典 的差分方法不同另一方面，有限元方法又采用了分片多项式逼近来实现离散 化过程，它依赖于由小支集基函数构成的有限维子空间，其离散化代数方程组 的系数矩阵是稀疏的，这又与传统的r i t z g a l e r k i n 方法不同，而可看作是差分方 法的变种有限元方法正是这两类方法相结合而进一步发展的结果它具有广 泛的适用性，特别适合几何与物理条件比较复杂的问题，且便于程序标准化， 从而适用于工程应用由于有限元方法有上述优越性，它自6 0 年代以来已作为 一种独立的数值计算方法获得了迅速发展和广泛应用【2 5 】 w i l s o n 元是工程计算中常用的非协调膜元本文具体分析了该元的能量正交 性以及能量正交性对单元刚度矩阵的影响在此基础上列举了几个具有能量正 交形函数空间矩形板元的例子，并用双参数法构造了一个十二参能量正交矩形 板元 b e r g a n 等1 9 8 7 年在【6 】中提出的九参能量正交三角形板元曾一度受到关注 【8 】中石钟慈证明了其形函数空间与z i e n k i e w i c z 元的形函数空间是等价的陈绍 春在【9 】中给出了其双参数形式在分析b e r g a n 元能量正交性的基础上，本文分 别构造出了四参，六参和十二参三角形能量正交元其中四参数能量正交元具 有超逼近性，六参元为协调元，十二参元是高精度元证明了四参和六参元的形 函数空间分别与c a r e y 元m o l e y 元的形函数空间等价并给出了四参元在各向异 性条件下的误差估计 本文写作安排如下； 第一章：预备知识，介绍有限元方法所用到的一些基本定理和记号 第二章：能量正交矩形元的分析与构造 第三章：能量正交三角形元的分析与构造 2 第一章预备知识 1 1s o b o l e v 空间及嵌人定理 设彤为n 维欧氏空间，n 为彤中的区域用扩( q ) 表示一切定义在q 上的 p 次可积函数组成的集合p ( q ) 表示一切在q 上本性有界的可测函数组成的集 合则按范数 i l u l l p ( n ) = ( fl u ( x ) p d x ) i 1 ，1sp i l u l l l - ( m = p s ss u p l u ( x ) 1 p = 0 0 ( q ) 为b a n a c h 空间，而p ( q ) 为h i l b e r t 空间，其内积定义为 力= j ：础 用c 辨( q ) 表示区域q 上m 次连续可微的函数组成的集合，c 0 。( q ) 表示区域q 上无穷次连续可微函数组成的集合，简记c 0 ( q ) 为c ( q ) 记区域q 上的偏微分算子俨= 硝1 d ，其中d f = 未，为非负整数 口= l 一，) 称为n 重指标，记川= a l + 啦+ + 定义1 1 1 设曝( q ) 为区域q 上的l e b e s g u e 局部可积函数空间，“嚷( q ) 如果存在v 珞( q ) ，使得 上“矿州x = ( - 1 ) 陋l j ( 埘d x ，v 妒g ( 吼 ( 1 1 ) 则称v 是“的川阶广义导数，并记为v = 伊玑 设m 为非负函数，1 p m ，考虑函数空间 w “9 ( q ) = l u ：g a u l p ( f z ) ，i 口j 兰m ， 这个空间依范数 肛护2 兹上伊卅x ) 屯l p e o i l u l l 。，。= m a xl l d 。u l l 0 。，p = o o l a q m 3 构成一个b a n a c h 空间，我们称之为s o b o l e v 空间，并定义半范数 l u l m , p = ( 荟上矿印d x ) 毛l p a o l u b 2 鼢l i 圳嘶p 2 。 又令瞄。9 ( q ) 为c t ( a ) 按范数i l u l l 。伊在空间w “p ( f 2 ) 内的完备空间，则w 鼎 9 ( q ) 也是一个b a n a c h 空间 简记( q ) = 咿2 ( 囝，嘟( q ) = 睇2 ( q ) ， i l m = i i m 2 ，i k = i i 卅2 于是( q ) ，哪( q ) 是h i l b e r t 空间，其内积为 ( k = ( 矿“，矿v ) ，e ( q ) 1 a l _ m 定义1 1 2设x 和y 是两个线性赋范空间，如果xcy ，并且把石x 映为 i x y 的恒等算子，是连续的，即存在常数m 使得 i l x l h m i i x l l x ，y x x 则称x 嵌入y ，记为x y ，又称，为嵌入算子，m 为嵌入常数 s o b o l e v 嵌人定理设q c 彤为有界区域，其边界勰是局部l i p s c h i t z 连续的， m ，k 为非负整数，1 p 0 ，则存在常数c ，使 得 “o t , p 0 ，使 i a ( u ，v ) l c i i v l l 2 ，y v t , 则对任意f h 7 ，存在唯一的“h ，使 a ( u ，y ) = _ ，( v ) ，y v i - 1 , 其中为日的共轭空间 l a x m i l g r a m 定理对变分问题( 1 1 2 ) 的解的存在唯一性给出了明确的回答，但 是如何实际计算出这一精确解，直接从这一定理中找不到答案只有少数非常 简单的数学物理问题用分析方法可求出其精确解人们自然要问：是否能求出 其近似解? g a l e r k i n 方法就是求解变分问题近似解最有效的方法之一 求变分问题精确解的主要困难在于y 是一个无限维空间若( 1 1 2 ) 中的无限 维空间y 用一个有限维空间h 来代替，即用有限维空间来逼近无限维空间y ， ( 1 1 2 ) 化为离散变分问题： j 求，使得( 1 1 3 ) ia ( u h ，v h ) = 叭) ，y v h 这就是g a l e r k i n 方法的基本思想 关于离散变分问题( 1 1 3 ) 解的存在性，只须有限维空间是h i l b e r t 空间，双线 性泛函a ( - ，) 于v h x v h 上有定义，线性泛函，于上有定义，并且满足l a x m i l g r a m 定理条件，由l a x m i l g r a m 定理立即可知离散变分问题( 1 1 3 ) 的解在v hx 上是存 在唯一的 设 f 2 ，为有限维空间的一组基，则u h ，f h h 是基函数 f 翟。的线性组 合： = 屈m ，h = 竹f ， f = lj = l 8 ( 1 1 4 ) 把( 1 1 4 ) 代入( 1 1 3 ) ，由于口( ，) 是双线性的，是线性的，得 d ( j ，坼概= m 协 f - i j = l j = l 亦即 z ) j ( e a i j f l i - f j ) = 0 j = l i = l 其中 a o = 口( i ，m ) ，f j = n j ) 因为v h 是任意的，故竹也是任意的，从而 z a j 3 i = f j ，= 1 ，2 ，m j = l 这是一个线性方程组，其系数矩阵a = ( a “蠕。称为刚度矩阵，f = ( n ，r ) 7 称 为荷载向量求其解慨l 至，由( 1 1 4 ) 即得离散变分问题( 1 1 3 ) 的解咖这样，求解 离散变分问题( 1 1 3 ) 最终实际上成为求解线性方程组的问题 需要说明的是，在实际工程计算中发明了一种分片构造多项式并生成单刚矩阵， 最终合成为总刚矩阵的方法它方便灵活有效，更适合于有限元方法的实际使 用，因而被广泛采用 作为变分问题( 1 1 2 ) 的解u v 的近似，离散变分问题( 1 1 3 ) 的解u h v n 逼近 的程度如何，自然是理论上和实际计算中都非常关心的问题若ce 则称有 限元空间为协调元，否则称为非协调元c 幻引理和s t r a n g 引理分别就协调元和 非协调元的误差给出了解答 c a 引理如果d ( ，) ，满足l a x m i l g r a m 定理的条件，则离散问题有唯一解， 且 i l u u h l l e ci 蜒i l u l k e h 其中i e 为能量模，。= ( ( v ，v ) ) 因h h u ，结合插值逼近定理和c 6 a 引理可以得到协调元的能量模误差估计 i l u u h 进而利用n i t s c h e 对偶技巧可以得到u u h 的如模估计 o 对于非协调元，即不属于y 可以定义分片双线性型a h ( ，) 变分问题的离 散形式为 a h ( u h ，v h ) = f f , v h ) ，v v h 关于收敛性分析，有下面引理 s t r a n g 引理设a h ( ，) 为s s 上的连续双线性型，并且满足强制性，f s ， 则离散问题有唯一解，并有估计式 陋刊妊c ( 驯“讪+ 溉业掣) 其中i l w l l s = 叻) ，v s ，k s 右端第一项为插值误差，第二项为相容误差插值误差可由插值逼近定理估计， 相容误差可由非协调元分析的标准技巧来估计 a u b i n n i t s c h e 引理设u 及1 4 分别为问题( 1 1 2 ) 及( 1 1 3 ) 之解，则存在c = c o n $ 1 0 ，使得 i l u - u h ”砒皿。品丽1 魅快一锄皿l 其中，对任给定ge p ( q ) ，v ，使得 a ( v ，魄) = ( g ，v ) ，v v v 即是以g 为右端项，问题( 1 1 5 ) 的共轭问题的解。 各向异性基本定理 设启是参考元，户是霞上的m 维多项式空间( 形函数空间) ，户是户的共轭 空间。设愉，晚，如 和，觑，矾) 是户和户，的一对共轭基，即 & 睁o = 6 i i ， 1s i ，j s m 设，：h ( 向一户，k 1 是有限元插值算子，满足 危( 知) = 疵( p ) ，i = 1 ，2 ，m v p 户 1 0 设瑾= t ，啦，嘞) 是一个多重指标，则伊也是霞上的多项式空间，设d i m l s p = r 像i = 1 ，2 ，r 是伊户的一组基。则咖( 知) 萨户可表示成 萨( 硒= 廊( p ) 萨a = 岛( 旬 ( 1 1 6 ) 显然， 伊户i 1 2 i 的线性组合，而岛( 力是( p ) l 至。的线性组合设 岛( = 口，疵( p ) ( 1 1 7 ) 则有( 1 1 6 ) 和( 1 1 7 ) ，我们有 岛( p ) = 嘶廊( = 。r 窳( 励= 岛( 反p ) ) 基本定理【1 7 】在上述表达下，如果岛( 9 ) 能表达成 岛( = 乃( 萨p ) 1 ，m 其中f j ( ( ) ) 7 ，1s f ，l m 同时，p ( 白c 萨户，l ( j 一1 ) ，则存在常数c ( 自满 足： i j d 。( 矗一i 矗) 1 1 l 七c ( r ) l 觑l “1 它0 s t 1 + 1 v 疗剧。卜卜“1 t k 第二章能量正交矩形元的分析与构造 2 1w i l s o n 元能量正交性分析及几个二阶问题能量正交矩形元 设q 为多边形区域，将q 剖分成矩形单元，满足通常正则性条件设k 为 单元置的直径，h = m a x h 任取单元置，设其四个顶点的坐标为口i ( 而，y j ) ，1 i 4 ； 矩形k 的中心坐标为( “c z ) = ( ! 铲，鼍氇) 平行于算轴与y 轴的两边长度分别为 拍l ，2 ，1 2 设参考正方形霞= 【一1 ，l 】【一1 ，1 】，于是变换 靠：f = 等舻等 将k 变成定k 的四个顶点变成詹的四个顶点 在参考正方形霞上，w i l s o n 元的形函数空间户( 霞) 为： 户( 旬= s p a n p 1 ，觑，al ( 2 1 ) 其中 节点变量为 其中 p i = ( 1 + f ) ( 1 + 町) p 3 = ( 1 一f ) ( 1 一功 p 5 = ；酽一1 ) p 2 = ( 1 9 ( 1 + r 1 ) 幽= ；( 1 + 0 ( 1 1 7 ) p 6 = ( ，7 2 一1 ) 七= 9 ( 反) ，t q ，乏，1 茎i 4 ，) ( 2 2 ) 6 = j ：豢撕乏= j ：等蚴 插值函数为 。= ( 1 + 。( 1 + r ) i ( a o + ( 1 一p ( 1 + 功9 ( 龟) + ( 1 9 ( 1 一功9 ( 如) ( 2 3 ) + ( 1 + 9 ( 1 一叩) 口( 盘) + ( 尹一1 ) f l + ( 叩2 一1 ) f 2 1 2 将变换氏代入( 2 ) ，( 3 ) 式，即得单元k 上的形函数 v = t 吲，”j ：翥慨如= j ：雾蚴 c 2 令v h 表示q 上的有限元空间，其中每个函数在单元k 上即为形函数( 5 ) ，考虑离 散问题( 1 1 3 ) l 求u h v h ，使得 la ( u h ，v h ) = v h ) ，y v h v h 其中a ( g h , v h ) = z rf kv u h v v h d x d y 将形函数v 进行分解 y = 9 + v 1 ， 口= ，- i一= 手， = ( 1 + 亭) ( 1 十r ) v ( d 0 + ( 1 一f ) ( 1 + r ) v ( d 2 ) ( 2 5 ) + ( 1 9 ( 1 一卵) v ( 如) + ( 1 + 0 ( 1 一r ) v ( d 4 ) 口= ；( f - 1 ) h + ；( 矿- 1 ) f 2 ( 2 6 ) 容易看出，函数9 在矗上连续，它是q 上分片双线性多项式，由单元顶点函数值 决定，因此代表可取函数k 的协调部分而函数v ，仅依赖于每个单元上v 一的二 阶导数的平均值t 一，t 2 ，所以在单元交界线上不连续，它是的非协调部分 计算知： j ：v v v ：d x d y = o v v h ( 2 7 ) 即v h 的协调部分和非协调部分在单元k 上成立能量正交关系。 下面研究w i l s o n 元的单元刚度矩阵。 任取划p ( 幻，有分解式 “= 西+ “1 v = 哥+ v l 在单元k 上有 a k ( “，v ) = a x ( f i + u ，哥+ v i ) = 4 胃( 厅，哥) + a k ( u ，v i ) + a k ( “1 + 哥) + a r ( u 1 ，v i )( 2 8 ) 由能量正交性( 2 7 ) 知 a k ( 自，v 1 ) = a x ( u 1 + p ) = 0 因此单元刚度矩阵和双线性元的相当 若在参考元上w i l s o n 元的形函数空间取成 户( 詹) = s p a n o l ，垂2 ，钆l = s p a n 1 ，参r l , 严，亭，7 ，7 2 ( 2 9 ) 节点参数的选取及对q 剖分方式与标准基时相同显然l 善，r 构成p i ( 旬的一组 基，关于问题( 1 1 3 ) 它们对应常应变，铲勃，叩2 对应高阶模态 令 詹( 白= s p a n 0 4 ，蕊，蕊) = s p a n f 2 ，勃，矿l 易知： l ? 袱如= 氇4 i 0 且和h x p k 无关 证明因为警和鲁皆为常量，再由引理1 可计算出 呲x = j ：【( 警“( 舡螂 = f t c 瓮掣) 2 + c 瓮产) 2 ) ，蚴 = j ：c c 警) 2 + c 警) 2 】螂+ j ：c c 警) 2 + c 警) 2 】螂 = 慨艮+ m 艮 由i i i i 一的定义，可得 i l w h l l ：= i i 谚n l l ；+ 1 1 w , l l ： 故( 3 1 8 ) 式成立 为证( 3 1 9 ) ，我们只需证i l w ：i i osc h l l w l h l l h 分别计算l 峨0 和l m 如下 1 1 w , 1 1 3 = jj w j l 2 d x d y j k = f 2 ( m ) 且( , i - , t 2 ) 2 + 魄呐) 2 + ( 1 3 - , 1 1 ) 2 】2 螂 ， = 4 t 2 ( w h ) f ( 正+ 霹+ 霉+ 3 置+ 3 ；墨+ 3 ；置 j k - 2 3 1 2 2 , 1 ：, 1 3 2 雹也一2 麓五l 一2 , t 3 , t 2 2 , 1 9 , t o d x d y = 4 t 2 ( w h ) 而a ：- 警t 2 c w ) 渤 矿上t c 警) 2 + c 勃蚴 = 磐( j ：4 圳圳柏也喇柏呐) ( a 3 - , 1 1 ) 】2 撕 + r 4 【如l q ) c a i 一，1 2 ) + ( q c 3 ) ( a 2 一也) + ( 臼一c 1 ) ( 如一 1 ) 】2 d x d y ) j k = 警小 啪( 3 a i - 1 ) 2 + ( 磋均( 3 a 2 - - 1 ) 2 + ( 磅均( 3 如- 1 ) 2 + 2 ( b 3 b l + c 3 c 1 ) ( 9 a 3 l 一3 3 3 l + 1 ) d x d y = 警肛( 9 ：- 6 a t + i ) + f 2 ( 皤一6 , t 2 + 1 ) + f 3 ( 9 五；- 6 a 3 + 1 ) + 2 r 3 ( 9 a i a 2 3 五l 一3 2 + 1 ) + 2 r t ( 9 a 2 a 3 3 2 3 a 3 + 1 ) + 2 r 2 ( 9 a 3 a l 一3 a 3 3 五l + 1 ) d x d y 2 去( f l + f 2 + f 3 ) f 2 ( ) 故有 j m 惦c h 2 0 w i l f ； 因此0 5 ) 式成立 下面估计一和岍一o 令y = ( y l ，托) 为多重指标，l y l = 驯+ l y 2 1 ，d r v = 丽o o r v 定理3 2 设“和分别是( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) 的解，且“铲( q ) n 砩( q ) ，则在各向 异性网格下，有如下误差估计 “一u h l l h c h l u l 加 一u h l l o c h 2 l u l 2 n 证明由s t r a n g 引理【2 】，有 i i u - - u h c ( 窠i 陋一+ 。s u 。n p 旦堡垒生；掣) 3 3 ( 3 1 5 ) f 3 1 6 ) f 3 1 7 ) 其中m h = ( ( v ，d ) = ( h l ；) k 令r l ：舻( q ) ，n 为有限元插值算子 r l h u = # v l l + 卢2 2 + 岛，i 1 2 + 鼻0 妒 则有 i n fl l u v h l l h i l u n h u l l h s c h l u l 2 皿 e h 下面我们估计( 3 2 2 ) 式右端第二项 v w ne ，w h = 哌+ w i ，帆c o ( o ) n 砩( 锄 故 令 因此 a h ( u ，嗍) 一，( 晚) = a ( u ，帆) 一，( 慨) l a h ( u ，w ) 一f ( w h ) l = l a h ( u ，峨+ 以) 一，( 吼+ 以) = l a t ，( u ，w ：) 一，( 以) i a h ( u w h ) l + i f ( w ：) l p o p = 高f t d x d y ，v 矿h 1 ( 的2 ，k 了 再令矿= v u ，由引理i ，有 r v 以出匆：o j k 砌= l 荟上v “v w ：d x d y l = i 荟小一帆，v w l h d x d y l = i 荟正砂岛力v w l h d x d y i 3 4 ( 3 1 8 ) f 3 1 9 ) s l i p - p o p l l 畎j t v w _ l l l 叫 嚣e 孰 s ( 胪p o 畦石) ：1 ( | | v 巾k ) 5 ( 3 2 0 ) - 一。- j 。 石了e 因为p o v = f xv d x d y = 而1 厶p d 蠲= 岛p ，故知p 0 为仿射等价的 由引理2 的证明过程知 胪础刊i 争一嘲i 罐 娴k 鬻 = 昨y , it l o 卸t 啦两i k ih 障i 卜u 2 荟( p 伊邢捌 c h 2 愀v 圳x m = 1 c h 2 1 u | 。 n 舻= 上【c 筹) 2 + ( 警) 2 】螂 m 艮 c l w h i , 把( 3 2 6 ) 式和( 3 2 7 ) 式代入( 3 2 5 ) 式，有 由( 1 5 ) 式 r 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) i 嘞( w h bj 鳓( 坛) 5 ( j 毗片) r e i n巩 sc h l u l z n l l w n l l h ( 3 2 3 ) i f ( w h l l ：ir ( 也) w l h d x d y l j n i | 一圳i o 皿l | 以o q 3 5 c h l u b 皿l l w h l l h ( 3 2 4 ) 把( 3 2 8 ) 式和( 3 2 9 ) 式代入( 3 2 4 ) 式，有 i a h ( u ，w h ) 一f ( w h ) l c h u l z , nj l w d h 故 s u pl a b ( u , w h ) - - ( f , w h ) 1 ) c h l c h “1 2 m ( 3 2 5 ) e h州h s 岫j 把( 3 2 3 ) 式和( 3 3 0 ) 式代入( 3 2 2 ) 式可得( 3 2 0 ) ，根据a u b i n n i t s c h e 引理【2 6 】可得 ( 3 2 1 ) 式 5 四节点三角形能量正交板元超逼近性分析 在“好”的网格条件( 如广义矩形网格，几乎均匀网格) 和某些范数( 如h 1 一 范数) 意义下，有限元解与有限元插值的误差远小于有限元解与真解的误差，即 i 一l u l i l l u h 一圳 这种现象称作超逼近( s u p e r c l o s e ) 现象 下面研究四节点三角形能量正交元的超逼近性质。巩上四节点三角形能量 正交元的有限元空间为 x h = i v l v ( q ) ，v l 置s p a n a l ， 2 ， 3 ，( a 1 一a 2 ) 2 + ( ，t 2 一 3 ) 2 + ( 3 一 1 ) 2 】，v 置巩，且v 在边界节点上为零1 则有限元离散问题的解空间为 v h = v l v x h ，v 在边界节点上为零l 首先来证明四节点三角形能量正交元的解与三角形线形元解的相似性： 定理3 3 设巩为三角形剖分，蝴，翰分别为以上的四节点三角形能量正交元 的解与三角形线形元解，厶为线形插值算子，则 3 6 l h u h = 巩( 3 2 6 ) 证明设，玩分别为四节点三角形能量正交元和三角形线形元的解空间： 唬= i v 日3 ；v l s p a n l l ，, 1 2 ，, t 3 1 ，y k 了 于是，由吼cv h ，可导出 这样，y v 吃 嘲( ，v ) = a h ( 磊，v ) = v ) ，y v 唬 a h ( 1 n u n 一磊，d = a h ( 1 h u h u h ，v ) = c j ：v ( 厶u h - - u h ) v 蚴 ( 3 2 7 ) 记u h l = v l , l l + 也 2 + v 3 3 + t ( l l 一 2 ) 2 + ( 也一 3 ) 2 + ( 也一 i ) 2 】，其中v l ，v 2 ，v 3 ，t 为 相应的参数( 在k 上为常数) ，则 l h u h l x = v v l l + v 2 2 + v 3 3 即 ( 1 h u 一u h ) i k = 一f 【( l a 2 ) 2 + ( 2 一a 3 ) 2 + ( 3 一，；1 1 ) 2 】 注意到v 蟊，线形插值函数可表示为 v = 而 l + 历3 2 + 历 3 于是( 3 3 2 ) 可以写为 锄以一磊= 一；善3 印j ：v m - 一如，2 + 一也，2 + c 也一2 ，v 螂c s 瑚， 由三角形面积坐标的定义知也+ 也+ ，= 1 ，此外 ( l + 2 + a 3 ) 2 = a ；+ ；+ ；+ 2 l , t 2 + 2 , 1 2 3 3 + 2 3 3 1 3 7 于是 = 砰+ ；+ 驾+ ；( a 。+ 如+ ，) 一；【( 。一 z ) 2 + ( 4 2 - 3 3 ) 2 + ( 3 3 - a 1 ) 2 】 ( l 一4 2 ) 2 + ( 3 2 4 3 ) 2 + ( 如一 1 ) 2 = 3 ( 砰+ 麓+ 属) + 2 ( a l + 3 2 + 也) 一3 ( 1 + 2 + 3 ) 2 因此 = 3 ( 砰+ 蠢+ 麓) 一1 v 【( l 一3 2 ) 2 + ( 2 一a 3 ) 2 + ( 如一 1 ) 2 】= 3 v ( 3 ；+ ，t ；+ 蠢) = 6 ( 4 , v a j + 也v a 2 + 4 3 v , t 3 ) 由于在k 上v 也为常数( 只和k 的顶点坐标有关) ，且 咖：；i g l j k j 其中吲为单元置的面积，于是有 j = v 【( 4 1 - - 4 2 ) 2 + u z 呐) 2 + ( 4 3 - 3 j ) 2 】州t 蚴 = 上6 ( 3 1 v 3 1 - j - 3 2 v 1 2 + 3 3 v 3 3 肌拗 = 6 哪跚蛳 一喜v ，小蚴 3 = 2 1 k i v 3 i v ( v 乃) i _ l 又因五l + 五2 + 也：l ，v ( 3v j ) ：o 这样便有 扛i j ：v 【( ”搿+ q 2 呐) 2 + 魄_ ) 2 】f 蚴= 。 ( 3 2 9 ) 将( 3 3 4 ) 代入( 3 3 3 ) 得 a h ( 1 h u 一磊，v ) = 0 ，v v 亿 取v = l h u 一a h ，利用吼( ，) 的强制性则有 i t h u 一f f h l l js c a ( t h u h 一磊，厶蝴一a h ) = 0 故有 厶粕一f f h = 0 即 i h u h2 磊 引理1 成立 对三角形线形元，有下面的结论： 定理3 4 1 2 7 1 当网格为“好”网格( 分片几乎均匀网格) 时，设， 自玩是自的 分片线形插值函数，满足l h y z ( a 。) = 自( d 。) ，i = 1 ，2 ，3 其中a ，( 扛1 ，2 ，3 ) 为三角形单 元的三个顶点，则有 上( 口一v v d x d y = o ( h 2 ) l l 训3 m l v v 死 ( 3 3 0 ) 由定理3 3 和定理3 4 ，有 i l u 一l h u l l l = o ( h 2 ) l l u l l 3 3 9 3 4 高精度能量正交三角形板元 1 引言 b e r g a n 等在【6 】中提出一种自由公式能量正交元，它是一个九参数元，以三角 形顶点上的函数值和两个一阶导数值作为单元参数，它的形函数空间中的三个 高阶模态与六个常应变能量正交。【8 】中石钟慈证明了b e r g a n 元的形函数空间实 际上与z i e k i e w i e z 不完全三次元的形函数空间是等价的我们知道，所有九参三 角形板元的误差阶都是o ( ，1 ) ，h 是单元最大长度。 1 4 ，1 5 1 发现若单元形函数外法 向导数的平均连续性在某种意义下提高一阶，可使相容误差达到o ( h ：) 另外， 若单元插值对三次多项式精确成立，逼近误差也达到o ( h ：) ，从而使整体误差达 到o ( h z ) 本文构造的十二参数能量正交三角形板元可满足上述要求。这一方面 需要自由度取成适当的形式，另一方面能量正交的形函数空间p ( 固需要包含完 整的三次多项式空间 3 ( 0 ，且自由度能唯一确定p ( 的中的元素。因为具有能量 正交的形函数空间，单元刚度矩阵为对角块，计算简便。 2 十二参数高精度能量正交三角形板元 设三角形单元k 的三个顶点，对应的三边，三边上单元外法向向量和单位切 向向量分别为a i ( x i ，y i ) ，f i ，n l ，研，1 i s3 对应的面积坐标是 ，1 i 3 。 k 的面积是，函数v 在顶点a ；上的函数值和两个一阶导数值分别是v i ，v i x ， 哳。在边a i a j 的中点函数值记为1 ) i j ，1 i ，j 3 令 d i2 y 2 一) ，d 22 y 3 一y l ，扫l2 y l y 2 ，c l2 物一勉，c 22 嗣一y 【3 。= 规一柏， r - = 去( 6 z 如+ q c ，) ，r 2 = 去( 6 s 6 - + c 3 c ，) ，如= 去( 6 t 易z + c t c 2 ) 2 去僻+ 碍) ， 1 f 3 则有以下关系成立 善玩2 善q2 。，一+ 仁- 2 吨2 = 岛“- 一。，啦2 ( 一而b i ，一丽c i ) 娑：黑，娑：罢， j ：1 2 23 瓦2 五，瓦2 瓦，芦1 ，一 只( k ) 表示k 上次数不超过n 的多项式 考虑板弯曲问题：求“e 瑶( q ) 使得 其中 a ( u ，= ，( 砷v v 瑶( 囝( 3 3 1 ) 砌，订= 2 a u a i - ， - i - ( 1 一盯) ( 2 啊一呦聊) 】螂，( v ) = 上肭 矿是泊松比，0 矿s ；1 ， 假定q 是多边形区域，对q 进行三角形剖分，满足通常正则性假定【l 】，构造 出的有限元空间为x h ，n = v h ，在0 1 2 上节点处取值为零1 ( 1 ) 的离散问题是： 求h k 使 a h ( u h ，v h ) = ，( v h ) ，v 垓( 3 3 2 ) 其中 ( “，v ) = rf r r a u z x v + ( 1 一( 2 “习一一u y y v x x ) d x d y v 一一，为i l v n l l 一2 ( 砂瞄5 形函数空间为 其中 p ( 的= s p a n l p ，p 2 ，p 2 p 1 = 五lp2=赴p3 2 a 3 p 4 = l , t 2p 5 = 也, 1 3 r = f 3 1 l p 7 = ( a l 一也) 3 p s = ( 也一如) 3 7 = ( 五3 一, t 1 ) 3 p l o = 3 , t 1 , 1 2 1 3 一( a l , t 2 + , t 2 , 1 3 + 1 3 , , 1 ) p h = 妒i ( 1 ，, t 2 ，, 1 3 ) p 1 2 = 9 娩( ，t l ，a 2 ，2 3 ) 函数朔( 也，_ 2 ，五3 ) ，即( 山，也，也) 满足以下条件 ( 1 ) 妒i ( i ，, t 2 ，也) ，忱( l a 2 ，a 3 ) p ( 幻，但妒l ( ，；i “屯j 五3 ) 。忱似i ，, 2 ，五3 ) 隹p 3 ( k ) ( 2 ) 妒l “a 2 ，矗3 ) o 妒2 ( l ，；1 2 ，a 3 ) ，口为任意实常数； f 3 3 3 ) ( 3 ) f 如纵扎屯a 3 ) d x d y = j = 忱( a i , , 1 2 , a 3 ) d x d y = 上竹( 礼屯也) d x d y = 。 i = 1 ，2 ： 从( 3 ) 中可以看出p 。，p 2 ，p 9 是b e r g a n 能量正交元形函数空间中的九个基 函数，再配上p l o ，由【3 】知刚好构成完整的p 3 ( k ) 故有p 3 ( k ) cp ( 叼从( 3 ) 中还可 以看出p 。，p 2 ，p 6 构成p z ( 目的一组基，他们对应常应变，p 7 ，p s ， p 1 2 对应高阶模态。令r ( t o = s p a n p 7 ，p 8 一，p 1 2 ，易知： j ：如p i d x d y = 正如p , d x d y = j ：勃鼽蚴= 。，r z ； ( s 3 4 ) 由此得 a x ( v ，w ) = f z x v a w + ( 1 一矿) ( 2 啊，r 掣一v x x w y y v ) y w x x ) d x d y 2 0 ，v v p z ( k ) ，y w 尺( p ( 3 3 5 ) 即( 3 ) 高阶模态常应变部分能量正交，这就是能量正交元的含义 满足条件( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 的函数妒( l ，也，a 3 ) ，0 2 ( a j ， 2 ，也) 有很多，容易验证下 述函数皆满足要求： 纯( i ，2 2 , 3 ) = 6 a l 2 一( l + a 2 ) 2 ；竹( l a 2 ， 3 ) = 6 a 2 3 一( a 2 + 五3 ) 2 p i ( a l ，如，a 3 ) = 6 a 3 a l 一( 3 + 1 ) 2 ；妒i ( a l ，赴，也) = ( l 一 2 ) 4 一( l a 2 ) 2 ； 妒i ( l ， 2 ， 3 ) = ( 2 一1 3 ) 4 一( 2 一 3 ) 2 ；竹( l ，a 2 ， 3 ) = ( 3 一 1 ) 4 一( a 3 一 1 ) 2 ； 竹( l ，a 2 ，a 3 ) = 砰+ 雹+ 以一( + 麓+ ，l ；) ； 协( l ， 2 ，也) = 前+ 麓+ 霜一( a + ；+ 属) 等等。 自由度取为： d l ( v ) = l ：1 d ( v ) = ( d k v ) ，d k v ) ，d 1 2 ( v ) ) 如( v ) = v 2 4 2 d 3 ( v ) = 1 1 3 f 3 3 6 ) = 箬j = 谢s 帅卜4 j = 知 d - 。( v ) = - 1 2 0 f & z 磊o v 如 设插值函数为 = 是正谢s 础卜4 正知 九”垅。小知 撕，= 罢正记s 蛳卜4 厶知 d